Теория вероятностей - Вологодская государственная

Министерство сельского хозяйства РФ
ФГБОУ ВПО
«Вологодская государственная молочнохозяйственная академия
имени Н.В.Верещагина»
Кафедра статистики и информационных технологий
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методические указания
и
контрольные задания
Вологда - Молочное
2012
УДК 519.22 (07)
ББК 22.171 р 30
Т338
Составитель –
Старший преподаватель
кафедры статистики и информационных технологий
Н.А. Кучанская
Рецензенты –
К.э.н., доцент
Кафедры высшей математики и физики
В.Ю. Ивановская
Старший преподаватель
Кафедры статистики и информационных технологий
В.Б. Кузнецов
Т338 Теория вероятностей и математическая статистика: Методические
указания и контрольные задания/ Сост. Н.А. Кучанская. – Вологда–
Молочное: ИЦ ВГМХА, 2012. – 33 с.
Методические указания и контрольные задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначены для студентов экономического факультета заочной формы обучения.
УДК 519.22 (07)
ББК 22.171 р 30
2
Введение
Задача любой науки состоит в выявлении и исследовании
закономерностей, которым подчиняются реальные явления и процессы. Найденные закономерности имеют не только теоретическую ценность, они широко применяются на практике – в планировании, управлении и прогнозировании.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая
закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями
понимаются явления с неопределённым исходом, происходящие
при неоднократном воспроизведении определённого комплекса
условий.
На теорию вероятностей опирается математическая статистика, задача которой заключается в том, чтобы по отграниченным данным восстановить с определённой степенью достоверности характеристики, присущие генеральной совокупности, т.е.
всему мыслимому набору данных, описывающему изучаемое явление.
Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов
наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.
Если теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений на основе абстрактного описания действительности
(теоретической вероятностной модели), то математическая статистика оперирует непосредственно результатами наблюдений над
случайным явлением, представляющем выборку из некоторой
конечной или бесконечной гипотетической генеральной совокупности. Используя результаты, полученные теорией вероятностей,
математическая статистика позволяет не только оценить значения
искомых характеристик, но и выявить степень точности выводов,
получаемых при обработке исходных данных.
Данные методические указания и контрольные задания по
курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначены для студентов экономического факультета заочной
формы обучения, включают контрольные задания и вопросы, а,
также примеры решения задач и вопросы к экзамену.
3
1 Содержание разделов дисциплины
Тема 1. Введение в теорию вероятностей.
Предмет и задачи теории вероятностей. Основные понятия.
Классификация событий, операции над ними. Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности. Формулы комбинаторики для вычисления вероятностей.
Тема 2. Основные формулы для вычисления вероятностей.
Теоремы сложения. Условная вероятность, теоремы умножения. Вероятность появления хотя бы одного события. Формулы
полной вероятности и Байеса.
Тема 3. Повторение испытаний.
Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Вероятность
отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях.
Тема 4. Случайные величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Способы
задания случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Функция распределения
вероятностей и её свойства. Плотность распределения вероятностей. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в
заданный интервал. Свойства плотности распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Тема 5. Нормальное распределение.
Нормальное распределение, вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трёх сигм. Распределения, связанные с нормальным.
Тема 6. Предельные теоремы теории вероятностей.
Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Тема 7. Вариационные ряды.
4
Задачи математической статистики. Виды вариационных рядов. Графическое изображение вариационного ряда. Средние величины. Структурные характеристики. Показатели вариации. Начальные и центральные моменты вариационного ряда. Асимметрия и эксцесс.
Тема 8. Выборочный метод.
Генеральная и выборочная совокупности. Понятие оценки
параметров распределения. Свойства статистических оценок. Точечная и интервальная оценки. Доверительные интервалы для
оценки математического ожидания нормального распределения.
Тема 9. Проверка статистических гипотез.
Статистическая гипотеза и общая схема её проверки. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания
нормального распределения. Проверка гипотез о виде распределения. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
2 Указания по выполнению отдельных задач
Задачи 1-20 включают в себя две темы: «Основные формулы
теории вероятностей» и «Повторение испытаний».
Пример 1. Вероятность попадания по мишени первым стрелком равна 0,6, вторым 0,85. Каждый стреляет один раз. Найдите
вероятность одного попадания.
Введём обозначения: А1 – событие, заключающееся в том,
что первый стрелок попал, А2 – в цель попал второй стрелок. События A1 , A2 - им противоположные (стрелки промахнулись). Событие А – только один стрелок попал. В соответствии с теоремами сложения и умножения вероятность искомого события определяется следующим образом:
P( A) = P( A1 ) ⋅ P( A2 ) + P( A1 ) ⋅ P( A2 ).
Р(А)=0,6⋅0,15+0,4⋅0,85=0,09+0,34=0,43.
Пример 2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,75. Найдите вероятность
того, что студент сдаст хотя бы один экзамен.
5
Введём обозначения: Аi – событие, заключающееся в том, что
студент сдаст i-й экзамен (i=1,2,3). Событие А – студент сдаст
хотя бы один экзамен. Рассмотрим противоположное событие A студент не сдаст ни одного экзамена. A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 , тогда по теореме умножения вероятностей для независимых событий
P( A) = P( A1 ) ⋅ P( A2 ) ⋅ P( A3 ) =0,1⋅0,2⋅0,25=0,005.
События А и A - противоположные, поэтому P( A) = 1 − P( A) .
Итак, Р(А)=1-0,005=0,995.
Пример 3. На первом заводе из каждых 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором – 95, на третьем –
85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50, 30 и
20% всех электролампочек, поставляемых в магазины данного
района. Требуется найти вероятность приобретения стандартной
электролампочки.
Обозначим искомое событие через А, а события (гипотезы),
заключающиеся в том, что приобретенная лампочка изготовлена
соответственно на первом, втором и третьем заводах, через Н1,
Н2, Н3. По условию вероятности этих событий равны:
Р(Н1)=50%/100%=0,5, Р(Н2)=30%/100%=0,3, Р(Н3)=20%/100%=
=0,2. Условные вероятности события А относительно каждого из
них: PH ( A) =0,9, PH ( A) =0,95, PH ( A) =0,85. Это вероятности приобретения стандартной лампочки при условии изготовления ее соответственно на первом, втором, третьем заводах. Для нахождения
вероятности события А воспользуемся формулой полной вероятности:
1
2
3
P ( A) = P ( H 1 ) ⋅ PH1 ( A) + P ( H 2 ) ⋅ PH 2 ( A) + P ( H 3 ) ⋅ PH 3 ( A).
Таким образом, Р(А)=0,5⋅0,9+0,3⋅0,95+0,2⋅0,85=0,905.
Пример 4. Перед посевом 90% семян было обработано
ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для
растений из обработанных семян равна 0,05, для растений из
необработанных семян равна 0,4. Взятое наудачу растение
оказалось пораженным. Какова вероятность того, что оно
выращено из обработанного семени?
Событие А – наудачу взятое растение окажется поражённым
вредителями. Гипотезы: Н1 – растение обработано ядохимикатами, Н2 – растение не обработано. Требуется найти вероятность
того, что растение было обработано при условии, что оно оказа6
лось поражённым. Поэтому следует воспользоваться формулой
Байеса:
PA ( H 1 ) =
P( H 1 ) ⋅ PH1 ( A)
P( H 1 ) ⋅ PH1 ( A) + P( H 2 ) ⋅ PH 2 ( A)
.
90%
100% − 90%
= 0,9; P ( H 2 ) =
; PH1 ( A) = 0,05; PH 2 ( A) = 0,4.
100%
100%
0,9 ⋅ 0,05
0,045 9
Таким образом, PA ( H 1 ) =
=
= .
0,9 ⋅ 0,05 + 0,1 ⋅ 0,4 0,085 17
P( H 1 ) =
Пример 5. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми автомашин, а их имеется десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший
день.
Автобаза будет работать нормально (событие А), если на линию выйдут или восемь (событие А1), или девять (событие А2),
или все десять автомашин (событие А3). По теореме сложения
вероятностей
Р(А)=Р(А1+А2+А3)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3).
Каждое слагаемое находим по формуле Бернулли:
Р n (m)=C mn ⋅р m ⋅q n − m
Здесь n=10, m =8,9,10, а p=1-0,1=0,9, так как p должно означать вероятность выхода автомашины на линию; тогда q=0,1. В
результате получим:
Р(А1)=Р10(8)=С 108 ⋅(0,9)8⋅(0,1)2 ≈ 0,1937;
Р(А2)=Р10(9)=С 109 ⋅(0,9)9⋅(0,1)1 ≈ 0,3874;
Р(А3)=Р10(10)=С 1010 ⋅(0,9)10⋅(0,1)0 ≈ 0,3487.
Следовательно, Р(А)=0,1937+0,3874+0,3487=0,9298.
Пример 6. Найдите вероятность того, что из 1000 новорожденных окажется от 455 до 545 мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.
Для нахождения вероятности попадания числа мальчиков в
интервал от 455 до 545 воспользуемся интегральной теоремой
Муавра-Лапласа:
Р n (m1,m2) ≈ Ф(х2)-Ф(х1), где х1= m1 − n ⋅ p ; х2= m2 − n ⋅ p .
n⋅ p⋅q
n⋅ p⋅q
Здесь n=1000, m1=455, m2=545, p=0,515, q=1-0,515=0,485.
7
х 1=
455 − 1000 ⋅ 0,515
1000 ⋅ 0,515 ⋅ 0,485
≈ -3,80;
х 2=
545 − 1000 ⋅ 0,515
1000 ⋅ 0,515 ⋅ 0,485
≈ 1,90.
Р1000(455,545) ≈ Ф(1,9)-Ф(-3,8)=Ф(1,9)+Ф(3,8)=
=0,4713+0,499928 ≈ 0,9712.
Пример 7. Вероятность изготовления изделия высшего сорта
на данном предприятии равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее
число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из
150 изделий?
Наивероятнейшее число m0 изделий высшего сорта определяется из двойного неравенства: n ⋅ p − q ≤ m0 ≤ n ⋅ p + p , где n=150,
p=0,78, q=1-0,78=0,22
150 ⋅ 0,78 − 0,22 ≤ m0 ≤ 150 ⋅ 0,78 + 0,78
116,78 ≤ m0 ≤ 117,78
Так как m0 может принимать только целые значения, то m0 =117.
Следующие 10 заданий охватывают тему «Случайные величины»: 21, 22, 23, 24 и 25 задачи на дискретные случайные величины, с 26 по 30 – на непрерывные.
Пример 8. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность
того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего,
равна для первого станка 0,75, для второго 0,8, для третьего 0,9.
Построить ряд распределения и найти математическое ожидание
и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
Введём обозначения: p1, p2, p3 – вероятности того, что, соответственно первый, второй и третий станки не потребуют внимания рабочего, тогда q1, q2, q3 – вероятности того, что станки потребуют внимания.
q1=1-p1=0,25, q2=1- p2=0,2, q3=1-p3=0,1.
Дискретная случайная величина X – число станков, не требующих внимания рабочего может принять 4 возможных значения: 0, 1, 2, 3. Найдём соответствующие им вероятности:
Р(X=0)=q1·q2·q3=0,25·0,2·0,1=0,005,
Р(Х=1)=p1·q2·q3+q1·p2·q3+q1·q2·p3=0,75·0,2·0,1+0,25·0,8·0,1+
+0,25·0,2·0,9=0,08,
Р(Х=2)=p1·p2·q3+p1·q2·p3+q1·p2·p3=0,75·0,8·0,1+0,75·0,2·0,9+
+0,25·0,8·0,9=0,375,
Р(Х=3)=p1·p2·p3=0,75·0,8·0,9=0,54.
8
Составим закон распределения случайной величины Х – числа станков, не требующих внимания рабочего:
xi
pi
0
1
2
3
0,005 0,08 0,375 0,54
Контроль: 0,005+0,08+0,375+0,54=1.
Найдём математическое ожидание случайной величины Х по
формуле:
М(Х)=х1·р1+х2·р2+х3·р3+х4·р4.
М(Х)=0·0,005+1·0,08+2·0,375+3·0,54=2,45.
Для нахождения дисперсии запишем ряд распределения случайной величины Х2:
xi2
0
1
4
9
pi 0,005 0,08 0,375 0,54
М(Х2)=0·0,005+1·0,08+4·0,375+9·0,54=6,44.
D(Х) найдём по формуле:
D(Х)=М(Х2)-(М(Х))2=6,44-(2,45)2=0,4375.
Пример 9. Вероятностный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев – дан в виде закона распределения:
xi
pi
5
10 15 20 25 30
0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
Найти функцию распределения процентного изменения
стоимости акций и построить её график.
Для дискретной величины Х, которая может принимать значения х1, х2, х3, . . ., х n , функция распределения имеет вид:
F(x)= ∑ P( X = xi ) для всех х i <х.
Найдём функцию распределения процентного изменения
стоимости акций:
Если х ≤ 5, то F(x)=0,
9
если 5<x ≤ 10, то F(x)=P(X=5)=0,1,
если 10<x ≤ 15, то F(x)=P(x=5)+P(X=10)=0,1+0,1=0,2,
если 15<x ≤ 20, то F(x)=P(X=5)+P(X=10)+P(X=15)=0,2+0,2=0,4,
если 20<x ≤ 25, то F(x)=P(X=5)+P(X=10)+P(X=15)+P(X=20)=
=0,4+0,3=0,7,
если 25<x ≤ 30, то F(x)=P(X=5)+P(X=10)+P(X=15)+P(X=20)+
+P(X=25)=0,7+0,2=0,9,
если x>30, то F(x)=0,9+0,1=1.
Таким образом, искомая функция распределения имеет следующую аналитическую запись:
0 при х ≤ 5,
0,1 при 5<x ≤ 10,
0,2 при 10<x ≤ 15,
F(x)= 0,4 при 15<x ≤ 20,
0,7 при 20<x ≤25,
0,9 при 25<x ≤ 30,
1 при x>30.
График F(x):
F(x)
1
0,9
0,7
0,4
0,2
0,1
0
х
5
10
15 20 25
30
Пример 10. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности:
0
при х<0,
2
f(x)= x /9 при 0 ≤ x ≤ 3,
0
при x>3.
Найти математическое ожидание, дисперсию и вероятность
того, что Х примет значение из интервала (2;4).
Для нахождения математического ожидания и дисперсии
воспользуемся следующими формулами:
b
b
a
a
M(X)= ∫ x ⋅ f ( x) ⋅ dx; D(X)= ∫ x 2 ⋅ f ( x) ⋅ dx - (M ( X ))2 .
10
3

1
1 x4 3
1
 ⋅ dx = ⋅ ∫ x 3 ⋅ dx = ⋅
⋅(34 – 04)= 2,25.
0 =
36
9 0
9 4
 
0
3
3
2
 
D(X)= ∫ x 2 ⋅  x  ⋅ dx -(2,25)2= 1 ⋅ ∫ x 4 ⋅ dx -5,0625=
9 0
 9 
0
5
= 1 ⋅ x 30 - 5,0625= 1 ⋅(35 – 05) – 5,0625=0,3375.
45
9 5
3

2
M(X)= ∫ x ⋅  x
9
Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной
величины Х вычисляется по формуле:
b
P(a<X<b)= ∫ f ( x) ⋅ dx .
a
4

1 x3
 ⋅ dx + ∫ 0 ⋅ dx = ⋅
9 
9 3
2
3
3
4

P(2<X<4)= ∫ f ( x) ⋅ dx = ∫  x
2
2
3
2
=
1
⋅(27-8)= 19 .
27
27
Пример 11. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью:
0,
при х <–1,
3
f(x)= a⋅(1-x ), при –1 ≤ x ≤ 2,
0,
при x >2.
Найдите коэффициент а и функцию распределения вероятностей F(x).
Так как все значения данной случайной величины заключены
на отрезке [− 1;2] , то коэффициент а определяем с помощью равенства:
b
∫ f ( x) ⋅ dx = 1.
a
2
∫ a ⋅ (1 − x

x 
) ⋅ dx =а⋅  x − 
4

4
3
−1
2
−1
=а⋅((2- 16 )-(-1- 1 ))=а⋅(-2+ 5 )= а⋅  − 3  .
4
4
4
 4 
а⋅  − 3  =1, откуда а= − 4 .
 4 
3
Функция распределения вероятностей находится с помощью
следующей формулы:
x
F ( x) =
∫ f ( x) ⋅ dx .
−∞
х
При х <–1: F(х) = ∫ 0 ⋅ dx =0.
−∞
11
−1
x
−∞
−1
При –1 ≤ x ≤ 2: F(х)= ∫ 0 ⋅ dx + ∫  − 4  ⋅ (1 − х 3 )⋅ dx =
 3
 x х − 4х − 5
 =
.
4  − 1
3

0 − 4 ⋅  x − x
3 
4
4
−1
−∞
х
∫ 0 ⋅ dx =
2
 2
4 
16  
1 
4
5
 +0= − ⋅   2 −  −  − 1 −   = − ⋅  − 2 +  =1.
4  −1
3 
4 
4 
3 
4
= 0 − 4 ⋅  x − x
3 
)
 4
3
∫−1 − 3  ⋅ 1 − х ⋅ dx +
При x >2: F(x) = ∫ 0 ⋅ dx +

(
2
4
Таким образом, функция распределения имеет вид:
0,
при х <–1,
х 4 − 4х − 5
,
3
F(x)=
при –1 ≤ x ≤ 2,
1,
при x >2.
Задачи 31 – 40 составлены по теме «Вариационные ряды».
Для решения 2 пункта этих задач полезно использовать следующие формулы:
k
∑x
1) средняя арифметическая
i =1
x=
⋅ fi
i
,
n
где k – число интервалов,
xi - середина i-го интервала,
fi - частота i-го интервала,
k
n= ∑ f i - число элементов совокупности;
i =1
k
∑ (x
2) дисперсия
D=
i =1
i
− x)2 ⋅ fi
;
n
3) среднее квадратическое отклонение
k
4) асимметрия
As =
µ3
σ3
, где
∑ (x
µ3 =
i =1
i
σ = D;
− х)3 ⋅ fi
n
- центральный момент
третьего порядка вариационного ряда;
k
5) эксцесс
Ek =
µ4
− 3,
σ4
где
µ4 =
∑ (x
i =1
i
− x)4 ⋅ fi
n
- центральный момент
четвёртого порядка вариационного ряда.
В вариантах 0, 1, 4, 9 рекомендуется упрощённый способ
подсчёта этих характеристик. Для того, чтобы избежать громоздких вычислений, вводятся условные варианты:
12
xi − C
,
h
где С – ложный нуль (новое начало отсчёта), h – шаг (длина интервала).
В качестве ложного нуля можно принять любую варианту.
Обычно выбирают варианту, которая расположена примерно в
середине вариационного ряда (часто у неё наибольшая частота).
Тогда:
ui =
k
x=
∑u
i =1
i
⋅ fi
n
⋅h+C
;
2
k
 k 2

 u ⋅ f  u ⋅ f  
∑
∑
i
i
i
i

  ⋅ h2 ;
−  i =1
D =  i =1

 
n
n


 


 

3
 k 3
 k 2
  k

 k
 
 u ⋅f
 ∑ ui ⋅ f i   ∑ ui ⋅ f i 
 ∑ ui ⋅ f i 
i
i
∑
i =1
i =1
i =1




  ⋅ h3 ;
µ3 = 
− 3⋅
⋅
+ 2 ⋅  i =1

 

 

n
n
n
n


 


 


 





2
4
 k 4
 k 3
  k

 k 2
  k

 k
 
 u ⋅f
 ∑ ui ⋅ f i   ∑ ui ⋅ f i 
 ∑ ui ⋅ f i   ∑ ui ⋅ f i 
 ∑ ui ⋅ f i 
i
i
∑
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1








  ⋅ h4
µ4 = 
− 4⋅
⋅
+ 6⋅
⋅
− 3 ⋅  i =1

 

 


 

n
n
n
n
n
n


 


 


 


 









При вычислении медианы и моды потребуются следующие
формулы:
k
M e = x0 +
(∑ f i ) ÷ 2 − f MHAK
e −1
i =1
f Me
⋅h,
x0 −
нижняя граница медианного интервала;
HAK
f Me
−1 − накопленная частота в интервале, предшествующем медианному;
f Me − частота медианного интервала;
h − длина интервала.
В качестве медианного берут интервал, накопленная частота
которого содержит в себе половину единиц совокупности.
где
13
M o = x0 +
где
( f Mo
f Mo − f Mo −1
⋅h,
− f Mo −1 ) + ( f Mo − f Mo +1 )
x0 −
нижняя граница модального интервала;
f Mo − частота модального интервала;
f Mo −1 − частота в предыдущем интервале;
f Mo +1 − частота в интервале, следующим за модальным.
Модальным является интервал с наибольшей частотой.
В пункте 5 при нахождении выравнивающих частот для построения нормальной кривой следует воспользоваться вычисленными ранее x и σ :
n⋅h
f Тi =
⋅ f (u i ) ,
σ
где n − сумма наблюдаемых частот;
h − длина интервала;
ui =
xi − x
σ
и
f (u ) =
1
2π
⋅l
−
u2
2
- значения функции затабулированы.
Затем на график гистограммы отмечают точки (x i ; f i нак ) и соединяют их плавной линией.
Для оценки степени близости теоретического распределения
эмпирическому следует проверить гипотезу Н0: эмпирический
ряд имеет нормальный закон распределения. Для проверки используется критерий согласия Пирсона.
Критерий предполагает, что результаты наблюдений сгруппированы в вариационный ряд, причём частоты fi ≥ 5, i = 1,2,.. Если
f i < 5 , то i-ый интервал присоединяется к соседнему. В качестве
критерия принимают величину:
l
χ =∑
2
i =1
(f
− fiT )
fiT
2
i
,
где l - число суммируемых величин,
f i - эмпирические частоты,
f i T - теоретические частоты (найденные в пункте 5),
χ 2 - случайная величина, распределённая по закону «хи»квадрат.
Для оценки близости эмпирического и теоретического распределений, необходимо рассчитать фактическое значение χ ф2 и
сравнить его с табличным χ т2 при уровне значимости α и соответ14
ствующем числе степеней свободы k = l − 1 − s , где l - число интервалов, s - число параметров генерального распределения (для
нормального распределения s = 2 ).
χ т2 находят по таблице критических точек распределения χ 2 .
Если χ ф2 < χ т2 - нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном
распределении генеральной совокупности; если χ ф2 > χ т2 , то гипотезу отвергают.
Пример 12. На основании следующих данных найдите числовые характеристики интервального вариационного ряда.
Распределение времени обработки детали (мин) рабочими завода.
Интервал
Число рабочих
1-3
5
3-5
12
5-7
11
7-9
9
9 - 11
3
Для определения числовых характеристик воспользуемся расчётной таблицей:
Интервал
Частота, fi
Середина интервала, xi
xi⋅fi
( xi − x ) 2 ⋅ f i
( xi − x ) 3 ⋅ f i
( xi − x ) 4 ⋅ f i
f i HAK
1–3
3–5
5–7
7–9
9 - 11
5
12
11
9
3
2
4
6
8
10
10
48
66
72
30
66,6125
33,67
1,3475
49,7025
56,7675
-243,135625
-53,9055
0,471625
116,800875
246,938625
887,4450313
88,944075
0,16506875
274,4820563
1074,183019
5
17
28
37
40
Итого
40
-
226
207,1
67,17
2325,21925
-
Для достижения требуемой точности все вычисления производились с помощью программы Excel.
На основании выше приведённых формул получаем:
1) средняя арифметическая
x=
226
= 5,65.
40
2) дисперсия
D=207,1/40=5,1775.
3) среднее квадратическое отклонение
σ = D = 5,1775 = 2,2754.
4) коэффициент асимметрии
67,17
1,67925
µ3 =
= 1,67925 , As =
3
40
(2,2754)
5) коэффициент эксцесса
2325,21925
µ4 =
= 58,1305 , E k =
40
= 0,1425 .
58,1305
− 3 = −0,8315 .
(2,2754) 4
6) мода
15
Модальным является интервал с наибольшей частотой. В нашем случае это интервал (3;5), следовательно,
Mo = 3+
(12 − 5)
14
⋅2 = 3+
= 4,75.
(12 − 5) + (12 − 11)
8
7) медиана
Накопленные
частоты
находятся следующим образом:
f 2 + f 3 ,... Половина единиц рассматри-
f1нак = f1 , f 2нак = f1 + f 2 , f 3нак = f1 +
ваемой совокупности n = 20,
2
накопленная частота
f 3нак = 28
пер-
вой из всех других накопленных частот стала больше 20, поэтому соответствующий ей интервал (5;7) является медианным. Таким образом,
Me = 5 +
20 − 17
6
⋅ 2 = 5 + = 5,5455.
11
11
Теме «Выборочный метод» соответствуют задачи 41 – 50, в
которых идёт речь о доверительном интервале, покрывающем с
надёжностью γ неизвестное значение генеральной средней нормально распределённой совокупности.
Пример 13. Определить вероятность того, что допущенная
при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего
процента выполнения месячного плана рабочим цеха не превысит
2%, если было обследовано 25 рабочих и известно, что процент
выполнения плана любым рабочим есть нормально распределённая случайная величина с σ =8%.
Для определения вероятности воспользуемся доверительным
интервалом, покрывающим средний процент выполнения месячного плана:
~
х −∆≤ x ≤ ~
x +∆,
где x − средний процент выполнения плана, ~x − выборочное
значение среднего процента, ε − погрешность оценивания.
Искомая вероятность равна γ = P( ~x − x ≤ ∆) = 2 ⋅ Ф(t) ,
где
t=
∆⋅ n
σ
,
Ф(t ) − функция
Лапласа.
В условиях нашей задачи
t=
16
0,02 ⋅ 25
0,08
∆ = 0,02;
σ = 0,08;
n=25, тогда
=1,25. Значение функции Лапласа находим по таблице.
Таким
образом,
искомая
вероятность
γ = 2 ⋅ Ф(1,25) =
=2·0,3944=0,7888.
Пример 14. По данным 9 измерений некоторой величины
найдены средняя результатов измерений ~x = 30 и «исправленное»
среднее квадратическое отклонение Ŝ =6. Найдите границы, в которых с надёжностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.
Среднее квадратическое отклонение результатов измерений
неизвестно, поэтому для определения границ истинного значения
воспользуемся доверительным интервалом:
t ⋅ ŝ
t ⋅ ŝ
~
x- γ ≤ x ≤ ~
x+ γ
n
n
,
где ~x − выборочная средняя результатов измерений, Ŝ – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, n- объём выборки,
tγ − найдём по таблице значений t-критерия при γ = 0,99 и ν=n-1=8
степеням свободы.
t 0,99 = 3,355 . Тогда искомый доверительный интервал примет
вид:
30 −
3,355 ⋅ 6
3,355 ⋅ 6
≤ x ≤ 30 +
.
9
9
После вычислений получим:
23,29 ≤ x ≤ 36,71 .
Последние 10 заданий составлены по теме «Проверка статистических гипотез», а именно: проверка гипотезы о числовом
значении математического ожидания нормального распределения
при известном среднем квадратическом отклонении.
Выдвигается гипотеза Н0 о том, что а=а0 относительно гипотезы Н1 возможны три случая: 1) параметр а равен числу, которое
больше числа а0; 2) параметр а равен числу, которое меньше а0;
3) параметр а не равен числу а0.
При проверке гипотезы Н0 используется критерий:
~
U= (x − a0 ) ⋅ n , по которому вычисляется U . Затем по табσ
факт
лице значений функции Лапласа определяется Uкр.
Рассмотрим три вида конкурирующей гипотезы Н1:
1) Н1: а>а0.
При такой гипотезе Ф(uкр) находится из соотношения
1 − 2 ⋅α
Ф(uкр ) =
,
2
17
где Ф(uкр) – функция Лапласа, α − заданный уровень значимости. По таблице значений функции Лапласа находим Uкр.
Если Uфакт<Uкр, то гипотезу Н0 принимают.
2) Н1: а<а0.
В этом случае Uкр определяется аналогично.
Если Uфакт> -Uкр, то гипотезу Н0 принимают.
3) Н1: а ≠ а0.
Здесь Ф(uкр) вычисляется из равенства: Ф(uкр ) = 1 − α .
2
Если -Uкр<Uфакт<Uкр, то гипотезу Н0 принимают.
Пример 15. Установлено, что средний вес таблетки лекарства
сильного действия (номинал) должен быть равен 0,5 мг. Выборочная проверка n=100 таблеток показала, что средний вес таблетки равен 0,53 мг. На основе проведённых исследований можно
считать, что вес таблетки есть нормально распределённая случайная величина со средним квадратическим отклонением 0,11
мг. На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать полученное в выборке отклонение от номинала случайным.
Проверяемая гипотеза Н0: а=0,5 мг, конкурирующая
Н1: а=0,53.
Поэтому здесь имеет место случай, когда в конкурирующей
гипотезе параметр а равен числу, большему а0.
~
Вычисляем U = (x − a0 ) ⋅ n = (0,53 − 0,5) ⋅ 100 = 0,3 ≈ 2,73 .
факт
σ
Находим Ф(uкр) из соотношения
0,11
0,11
1 − 2 ⋅α
Ф(uкр ) =
2
=0,45. По таб-
лице значений функции Лапласа находим Uкр=1,645.
Uфакт>Uкр, значит, гипотезу Н0 отвергаем. Другими словами,
полученное в выборке отклонение от номинала неслучайно.
18
3 Общие указания по выполнению контрольной работы
Методические указания и контрольные задания по теории вероятностей и математической статистике предназначены для студентов экономического факультета заочного отделения.
Задания к контрольной работе составлены в десяти вариантах. Студент выполняет контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера
(шифра). Работы, не отвечающие обязательным для студента вариантам, не будут учитываться. В каждый вариант входит решение шести задач и рассмотрение основных аспектов по двум теоретическим вопросам.
1.
2.
3.
4.
5.
Указания по оформлению контрольной работы
Работа должна быть представлена в срок, установленный
планом работы.
Перед решением каждой задачи необходимо привести её
условие.
Решение задач должно сопровождаться соответствующими формулами и пояснениями к ним.
Вычисление вероятностей следует производить не менее
чем с четырьмя десятичными знаками.
Работа должна быть оформлена аккуратно, страницы пронумерованы, а в конце работы указан перечень используемой литературы.
Варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Номера задач для контрольного задания
1
11
21
31
41
51
2
12
22
32
42
52
3
13
23
33
43
53
4
14
24
34
44
54
5
15
25
35
45
55
6
16
26
36
46
56
7
17
27
37
47
57
8
18
28
38
48
58
9
19
29
39
49
59
10
20
30
40
50
60
19
4 Контрольные задания
1. Партия из 20 изделий содержит четыре бракованных.
Найдите вероятность того, что среди 5 наудачу выбранных изделий окажется 3 бракованных.
2. Для успешной сдачи экзамена необходимо ответить хотя
бы на один из двух предложенных теоретических вопросов и решить задачу. Вероятность того, что студент правильно ответит на
теоретический вопрос, равна 0,8, решит задачу 0,95. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен.
3. В городе 4 коммерческих банка, оценки надёжности которых равны 0,85, 0,8, 0,95, 0,9 соответственно. Найдите вероятность того, что в течение некоторого промежутка времени обанкротится хотя бы один.
4. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут
дать доход владельцу с вероятностью 0,6 (для каждого пакета).
Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,98, можно было ожидать доход
хотя бы по одному пакету акций?
5. На ферме имеется три транспортёра. Вероятности того,
что они выдержат гарантийный срок службы, соответственно,
равны 0,77; 0,92; 0,8. Найдите вероятность того, что наудачу выбранный транспортёр выдержит гарантийный срок.
6. У сборщика имеется 18 деталей, изготовленных первым
заводом и 22 детали, изготовленные вторым заводом. Вероятность того, что деталь первого завода стандартная, равна 0,92;
для второго завода эта вероятность 0,8. Наудачу взятая деталь
оказалась стандартной. Каким заводом вероятнее всего изготовлена эта деталь?
7. Вероятность того, что клиент банка вернёт заём в период
экономического роста, равна 0,96, а в период экономического
кризиса 0,82. Предположим, что вероятность того, что начнётся
20
период экономического роста, равна 0,68. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернёт полученный кредит?
8. В одной урне 2 белых и 8 чёрных шаров, а в другой – 3
белых и 9 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом
вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из
второй урны также случайно вынимают три шара. Найдите вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны белые.
9. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность второго автомата вдвое больше производительности первого. Первый автомат
производит в среднем 85% деталей отличного качества. Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, равна 0,8. Сколько деталей отличного качества в среднем
производит второй автомат?
10. Однотипные приборы выпускаются 3 заводами в отношении 3:4:5, причём вероятности брака для этих заводов соответственно равны 0,04, 0,05, 0,03. Приобретённый прибор оказался
бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен 3-м заводом?
11. При установившемся технологическом процессе автомат
производит 0,75 числа деталей первого сорта и 0,25 – второго.
Установите, что является более вероятным – получить 3 первосортных детали среди 5 наудачу отобранных или 4 первосортных
среди 6 наудачу отобранных.
12. Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в
среднем бывает 90% изделий первого сорта. Какова вероятность
того, что среди 5 наудачу выбранных изделий будет не менее 4
первого сорта?
13. При данном технологическом процессе 80% всей продукции оказывается продукцией высшего сорта. Определите наи21
вероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 200 изделий и его вероятность.
14. Вероятность изготовления нестандартной детали равна
0,05. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятнейшее число нестандартных деталей в ней было равно 50?
15. По данным выборочного обследования на 100 домохозяйств приходится 56 легковых автомобилей. Найдите вероятность того, что 500 домохозяйств имеет 300 легковых автомобилей.
16. Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%.
Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян взойдет не
менее 75 и не более 95?
17. На склад поступает продукция с 3 фабрик, доля которых
составляет соответственно 20%, 45%, 35%. В продукции первой
фабрики 70% изделий высшего сорта, второй – 60%, третьей –
80%. Найдите вероятность того, что среди 300 наудачу взятых
изделий число изделий высшего сорта заключено между 180 и
220.
18. В результате проверки качества приготовленного для
посева зерна было установлено, что 80% семян всхожие. Определите вероятность того, что среди отобранных и высаженных
100 зерен прорастет не менее 75.
19. Вероятность появления события в каждом из 500 независимых испытаний равна 0,85. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
20. При обработке некоторой детали наблюдается в среднем
6% нарушений норм её установленных размеров. Установите необходимое количество деталей, подлежащих обработке, чтобы
ожидать с вероятностью 0,95 отклонение частоты появления не22
точных деталей от вероятности этого события не более, чем на
0,03.
В задачах 21 – 22 найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, постройте график функции распределения вероятностей
этой случайной величины.
21.
-3
3
5
10
xi
pi
0,2
0,2
0,4
0,2
22.
xi
pi
0
0,2
0,2
0,3
0,25
0,4
0,4
0,1
23. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая
независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность
попадания в мишень для первого стрелка 0,7, для второго 0,8.
Найдите ряд распределения и математическое ожидание случайной величины Х – общего числа попаданий.
24. Вероятность успешной сдачи первого экзамена равна 0,8,
второго 0,8, третьего 0,7. Найдите ряд распределения и математическое ожидание случайной величины Х – числа экзаменов,
которые студент не сдаст.
25. Найдите закон распределения случайной величины Х,
которая может принимать только два значения: х1 – с вероятностью р1=0,8 и х2 (х1<х2), если известно, что М(Х)=1,7 и
D(X)=0,36.
26. Случайная величина Х подчинена закону распределения с
плотностью
0,
при х <0,
f (x)= a⋅cos(х/3), при 0 <x < 3π/2,
0,
при х > 3π/2.
23
Найдите коэффициент а и функцию распределения вероятностей F(x).
27. Случайная величина Х подчинена закону распределения с
плотностью
0,
при x < 0,
2
3
f(x) = а⋅(3х –х ), при 0 < x < 2,
0,
при х > 2.
Найдите коэффициент а и математическое ожидание М(Х).
28. Случайная величина Х подчинена закону распределения с
плотностью
0,
при x < - π/2,
2
f(x) = а⋅cos x, при – π/2 < x < π/2,
0,
при х > π/2.
Найдите коэффициент а и вероятность попадания в интервал
(0; π/3).
29. Найдите дисперсию случайной величины Х, которая
задана интегральной функцией F(x):
0,
при х ≤ 0
2
F(x)= 0,25⋅x , при 0 < х ≤ 2;
1,
при х > 2.
30. Случайная величина Х задана функцией распределения
вероятностей
0, при x < 2,
2
F (x)= (x − 2) , при 2 < x < 5,
9
1, при х > 5.
Найдите плотность распределения случайной величины, ее
математическое ожидание и вероятность попадания в промежуток (3; 6).
По данным задач 21-30 необходимо:
1. Начертить графики полигона и гистограммы.
24
2. Вычислить среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
3. Вычислить моду и медиану
4. По найденным характеристикам сделать вывод о близости
формы эмпирического ряда распределения нормальному.
5. Построить нормальную кривую по опытным данным на
графике гистограммы.
6. Произвести оценку степени близости теоретического распределения (нормального) эмпирическому ряду с помощью критерия согласия Пирсона (уровень значимости α
принять равным 0,05).
Задача 31.
Распределение затрат на 100 руб. продукции по предприятиям хлопчатобумажной промышленности.
Интервал
96,397,3
97,398,3
98,399,3
99,3100,3
100,3101,3
101,3102,3
102,3103,3
103,3104,3
104,3105,3
3
5
12
16
19
20
17
6
2
Число
предприятий
Задача 32.
Распределение объема товарной продукции на 1 кв.м производственной площади (в млн. руб.)
Интервал
Число предприятий
0-0, 2
0, 2-0, 4
0, 4-0, 6
0, 6-0, 8
0, 8-1, 0
1, 0-1, 2
1, 2-1, 4
7
13
25
22
15
12
6
Задача 33.
Распределение объема основных фондов (млрд. руб.) предприятий трикотажной промышленности.
Интервал
Число
предприятий
2,02,14
2,142,28
2,282,42
2,422,56
2,562,70
2,702,84
2,842,98
2, 983,12
6
12
15
38
19
5
3
2
Задача 34.
25
Распределение оплаты труда на одном из малых предприятий
за месяц.
Интервал
260274
274288
288302
302316
316330
330344
344358
358372
3
7
10
26
25
15
8
6
Число
работ
Задача 35.
Распределение производственных площадей (тыс. м2) предприятий текстильной промышленности.
Интервал
1,031,37
1,371,71
1,712,05
2,052,39
2,392,73
2,733,07
3,073,41
3,413,75
2
9
15
17
23
16
12
6
Число предприятий
Задача 36.
Распределение средних удоев молока в фермерском хозяйстве (литров) от одной коровы за день.
Интервал
Число
коров
7,510,5
10,513,5
13,516,5
16,519,5
19,522,5
22,525,5
25,528,5
28,531,5
31,534,5
3
5
12
15
29
16
9
7
4
Задача 37. Распределение средней урожайности (ц/га) в фермерских хозяйствах области.
Интервал
Число
хозяйств
9,813,2
13,216,6
16,620,0
20,023,4
23,4 26,8
26, 830,2
30,233,6
33,637,0
2
6
9
30
27
15
8
3
Задача 38
Распределение декадной выручки от реализации (млн.руб.) в
коммерческих торговых палатках микрорайона.
Интервал
Число
палаток
26
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
3
13
25
24
16
12
7
Задача 39. Распределение индекса цен по группе продовольственных товаров (%)
Интервал
98,499,6
99,6100,8
100,8102,0
102,0103,2
103,2104,4
104,4105,6
105,6106,8
106,8108,0
108,0109,2
Число
товаров
3
7
18
20
19
17
11
4
1
Задача 40. Распределение длины резьбы на муфте вентилей (в
мм).
Интервал
Число
51,4851,72
3
51,7251,96
5
51,9652,20
17
52,2052,44
22
52,4452,68
28
52,6852,92
18
52,9253,16
5
53,1653,40
2
Задача 41. Среднее значение дальности, полученное по i2 независимым испытаниям равно ~x = 2200 м . Среднее квадратическое
отклонение измерительного прибора σ = (42 + i) м. В предположении о нормальном распределении определите доверительную вероятность того, что точность оценивания будет равна ∆=(33-3⋅i)
м. Принять i=3.
Задача 42. Решить задачу 41 при i=4.
Задача 43. Решить задачу 41 при i=5.
Задача 44. Средняя продолжительность горения лампы в выборке из n=(20-i) ламп оказалась равной ~x = (780 + 10i )ч . В предположении о нормальном распределении с надежностью γ найти
доверительный интервал для средней продолжительности горения ламп всей партии, если среднее квадратическое отклонение
продолжительности горения σ = (28 + i) ч. Принять i=6 и γ =0,907.
Задача 45. Задачу 44 решить при i=4 и γ =0,992.
Задача 46. Задачу 44 решить при i=2 и γ =0,966.
27
Задача 47. На основании n=(8+i) испытаний установлено, что
в среднем для изготовления полупроводникового диода требуется
~
x = (44 + 2i )сек. , «исправленное» среднее квадратическое отклонение Ŝ =(3+i) сек. Предположив, что время изготовления диода
есть нормальная случайная величина, определите с надежностью
γ доверительный интервал для оценки среднего времени изготовления одного диода. Принять i =1, γ =0,9.
Задача 48. Задачу 47 решить при i=3 и γ =0,95.
Задача 49. Задачу 47 решить при i=5 и γ =0,99.
Задача 50. Задачу 47 решить при i=8 и γ = 0,98.
Задача 51. По результатам n=(7+3i) измерений температуры
в печи найдено ~x = 246 0 C . Предполагается, что ошибка измерения
есть нормальная случайная величина с σ = (6 + i)0 С . Проверьте на
уровне значимости α гипотезу Н0: a=2500 С против конкурирующей гипотезы Н1: a=2400 С. Принять i=0 и α =0,05.
Задача 52. Задачу 51 решить при i=3 и α =0,025.
Задача 53. Задачу 51 решить при i=6 и α =0,03.
Задача 54. На контрольных испытаниях n=(20-2i) ламп было определено ~x = 296ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально с σ = (12 + 2i)ч , проверьте на уровне значимости α
нулевую гипотезу Н0: a=290ч против конкурирующей гипотезы
Н1: a=300ч. Принять i=0 и α =0,035.
Задача 55. Решить задачу 54 при i=1 и α =0,06.
Задачу 56. Решить задачу 54 при i=2 и α =0,01.
Задачу 57. Решить задачу 54 при i=3 и α =0,02.
28
Задача 58. По данным задачи 54 проверьте на уровне значимости α =0,01 нулевую гипотезу Н0: a=290ч против конкурирующей гипотезы Н1: a ≠ 290ч при i=1.
Задача 59. По данным задачи 54 проверьте на уровне значимости α =0,08 гипотезу Н0: a=295ч против конкурирующей гипотезы Н1: a ≠ 295ч при i=0.
Задача 60. По данным задачи 54 проверьте на уровне значимости α =0,15 гипотезу Н0: a=300ч против конкурирующей гипотезы Н1: a ≠ 300ч при i=4.
5 Теоретические вопросы
Теоретическая часть контрольной работы включает в себя
два вопроса: по теории вероятностей и по математической статистике.
0 вариант
1. Выведите формулу для вычисления вероятности появления хотя бы одного события.
2. Виды вариационных рядов и их графическое изображение.
1 вариант
1. Выведите формулы полной вероятности и Байеса.
2. Какие вы знаете средние величины, характеризующие вариационный ряд? Чему равны мода и медиана для нормального закона распределения?
2 вариант
1. Выведите формулу Бернулли.
2. Приведите примеры характеристик, выражающих изменчивость (вариацию) значений признака.
3 вариант
1. Виды случайных величин (приведите примеры). Способы
задания случайной величины.
2. Центральные моменты вариационного ряда. Что вы можете сказать о центральном моменте 2-го порядка?
4 вариант
1. Виды числовых характеристик случайной величины и их
смысл.
29
2. Дайте понятие статистической оценки параметров генеральной совокупности. Какие виды оценок вы знаете?
5 вариант
1. Сформулируйте свойства интегральной и дифференциальной функций распределения случайной величины.
2. Какими свойствами должна обладать оценка, чтобы её
можно было считать “хорошим” приближением к неизвестному генеральному параметру.
6 вариант
1. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной
случайной величины. Вычисление вероятности отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания.
2. Какую величину можно принять в качестве несмещённой
оценки генеральной дисперсии?
7 вариант
1. Сколько значений (в процентах) находится в промежутке
(a − σ ; a + σ ) для нормальной случайной величины.
2. Дайте определение доверительного интервала для оценки
параметров генеральной совокупности.
8 вариант
1. Правило 3-х сигм и его практическое применение.
2. Статистическая гипотеза, суть проверки статистической
гипотезы.
9 вариант
1. Предельные теоремы теории вероятностей.
2. Какую задачу решают с помощью критерия Пирсона?
6 Вопросы к экзамену по дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»
1. Предмет и задачи теории вероятностей. Формулы комбинаторики.
2. Основные понятия теории вероятностей.
3. Классическое, геометрическое и статистическое определения
вероятности. Свойства вероятности.
4. Теорема сложения для несовместных событий. Следствия из
теоремы сложения.
5. Теорема сложения для совместных событий.
30
6. Условная вероятность. Теорема умножения.
7. Независимые события. Теорема умножения для независимых
событий.
8. Теоремы умножения для произвольного числа событий.
9. Вероятность появления хотя бы одного события.
10. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
11. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
12. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
13. Формула Пуассона.
14. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
15. Наивероятнейшее число появления события.
16. Дискретная случайная величина. Способы задания дискретной случайной величины.
17. Непрерывная случайная величина. Способы задания непрерывной случайной величины.
18. Математической ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.
19. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства дисперсии.
20. Среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.
21. Функция распределения вероятностей и ее свойства.
22. Плотность распределения вероятностей. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
23. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения.
24. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
25. Нормальный закон распределения. Вероятность попадания в
заданный интервал нормальной случайной величины.
26. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной
случайной величины от ее математического ожидания.
27. Распределения, связанные с нормальным.
28. Предельные теоремы теории вероятности.
29. Задачи математической статистики.
31
30. Виды вариационных рядов.
31. Графическое изображение вариационного ряда.
32. Средние величины.
33. Структурные характеристики.
34. Показатели вариации.
35. Начальные и центральные моменты вариационного ряда.
Асимметрия и эксцесс.
36. Генеральная и выборочная совокупности.
37. Свойства статистических оценок.
38. Точечная и интервальные оценки. Доверительный интервал.
39. Доверительные интервалы для оценки математического
ожидания нормального распределения.
40. Статистическая гипотеза и общая схема её проверки.
41. Проверка гипотез о числовом значении математического
ожидания нормального распределения.
42. Критерии согласия. Критерии Пирсона и Колмогорова.
Рекомендуемая литература
1. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. Пособие для студ. втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.
– 448 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров. Изд. 12-е, доп. – М.:
Юрайт, 2012. – 479 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство к решению задач. Изд. 6-е, доп. – М.:
Юрайт, 2012. – 479 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, II ч. – М., 1999.
5. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистика:
Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2004.
6. Калинина В.Н. Математическая статистика. – М., 1998.
32
7. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Под ред. В.А. Колемаева. –
М.: ИНФРА-М, 1997. – 302 с.
8. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
9. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями:
Учебное пособие. – Москва: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.
10.
Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики
с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство
для решения задач. – Ростов-н/Д.: Феникс, 1999. – 320 с.
11.
Социально-экономическая статистика: учебник для
бакалавров/Под ред. М.Р. Ефимовой. – 2-е изд., перераб. и доп. –
М.: Издательство Юрайт, 2012. – 591 с. – Серия: Бакалавр. Углублённый курс.
12.
Статистика: учебник для бакалавров/Под ред. И.И.
Елисеевой. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт,
2012. – 558 с. – Серия: Бакалавр. Углублённый курс.
Содержание
Ведение………………………………………………………………3
1 Содержание разделов дисциплины………………………………4
2 Указания по выполнению отдельных задач….………………….5
3 Общие указания по выполнению контрольной работы………..19
4 Контрольные задания…………………………………………….20
5 Теоретические вопросы………………………………………….29
6 Вопросы к экзамену по дисциплине…………………………… 30
Рекомендуемая литература………………………………………...32
33