208.6 кб

Глава 8
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Модуль 1 «Переменные и зависимости между ними»
Основные цели обучения:
– познакомить
учащихся
с
понятиями:
переменная,
зависимость,
график
зависимости;
– рассмотреть способы задания зависимостей;
– рассмотреть примеры зависимостей, заданных формулой и графически.
На изучение модуля предлагается выделить 4 урока.
К этому модулю относятся следующие компьютерные материалы:
– демонстрации: Д-П 801 «Прямая пропорциональность», П-Д 801 «Обратная
пропорциональность»;
– презентации: П-801 «Давайте вспомним», П-802 «Проверь себя».
В общем взгляде на функцию мы придерживаемся старой устоявшейся традиции
рассматривать
функцию
как
определенный
вид
зависимости.
математический язык учебника вошли такие понятия, как
Поэтому
в
величина, переменная,
зависимость, уравнение зависимости и т. д.
Был определенный период, когда теоретико-множественный язык, несомненно,
полезный и необходимый при изучении математики, искусственно насаждался во все
темы программы. Появился соблазн и функции изучать на языке отображений, начиная
с отображений конечных множеств и их свойств. По-видимому, этот подход неудачен в
педагогическом отношении. Главное при первичном знакомстве с функциями – это
получить достаточно простой, но мощный инструмент для описания меняющихся
процессов, как это, собственно, и было в истории науки. Поэтому, хотя возврат к
внешне неточным представлениям о переменных величинах и зависимостях между
ними некоторым учителям и покажется старомодным, мы выбрали классический путь.
При изучении материалов учебника обратите внимание учащихся, кроме основной
части, на раздел «Примеры и комментарии» на стр. 1, где приводятся определения
прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин, известных учащимся
с шестого класса. При рассмотрении графиков зависимостей сосредоточьте внимание
учащихся на графике окружности и её уравнении, с которым они также уже
знакомились при изучении главы «Квадратные корни».
1
Из задачника к этому модулю относятся задания А-3 С-1 № 2. Задание А-3
направлено на развитие навыков приведения алгебраического выражения к требуемому
виду, в том числе, на повторение выделения полного квадрата в примерах под буквой
В, Г. В задании А-3 не требуется построение графиков зависимостей, так как учащиеся
еще не готовы к этому, кроме задания В, где речь идет об уравнении окружности,
которую можно и нужно строить. С-1 № 2 посвящено работе с уравнением окружности.
Заданий дано избыточное количество, различной степени сложности, таким образом,
предоставляется возможность для организации индивидуальной работы с учащимися.
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания Т-801, Т-802. Задания даны
на закрепление навыков выражения одних величин через другие на конкретном
материале из курса физики и закрепление понятий прямо пропорциональной и обратно
пропорциональной зависимостей.
Модуль 2 «Функциональная зависимость»
Основные цели обучения:
– ввести понятия: функция, область определения функции, способы задания
функции, свойства функции;
– отработать понятия при решении примеров.
На изучение модуля предлагается выделить 3 урока.
К этому модулю относятся следующие компьютерные материалы:
– демонстрации: П-Д 802 «Понятие функции», Д-П 802 «График функции»;
– презентации: П-803 «Давайте вспомним», П-804 «Проверь себя».
Предложенное
в
учебнике
определение
функции
исходит
из
понятия
функциональной зависимости. Построение фразы таково: «…у называется функцией …
если задан способ …». Тем самым функция определяется не как некоторый объект
(например, часто сам способ называют функцией), а как обозначение ситуации,
выделения определенной связи между переменными. Поэтому не стоит так прямо
ставить вопрос: что такое функция? В определенном смысле понятие функции (как
понятие числа, вектора, точки, множества) является одним из основных, близких к
неопределяемым исходным понятиям.
Обратите внимание на определение графика функции на вопрос: что значит
построить график функции?. Дается ответ в первом приближении, разумеется, дальше
он будет постепенно уточняться. Обращаем внимание еще на несколько моментов
изложения. График функции выбирается в качестве основного способа представления
2
её свойств; схема исследования функции вводится с помощью графика и называется
«чтение графика». В этом модуле «чтение графика» ограничивается четырьмя
свойствами без обоснований и комментарий как первое знакомство, как факт. Обратите
внимание также на примеры, приведенные в разделе «Примеры и комментарии», их
нужно рассмотреть с учащимися.
Из задачника к этому модулю относятся задания А-1 №№ 1–3. Задания
стандартные, направлены на отработку введенных понятий. Заметим только, что для
нахождения области определения функции y = 1 − x 2 квадратное неравенство 1 –
х² ≥ 0 повторите оба способа решения: системами и с модулем |х| ≤ 1.
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания Т-803–Т-806. Задания
стандартные; обратите внимание учащихся в Т-803 на №№ 6, 7, где функция задана
двумя формулами. При решении примеров из Т-804, где функция задана неявно, можно
подходить по-разному, в зависимости от ситуации: сначала выразить у, а потом
подставлять в полученную формулу значения х, или сначала подставить в данную
формулу значение х и решить полученное уравнение. Выбор варианта решения зависит
от предложенной формулы и пристрастий ученика. Мы не возражаем, если при
выполнении этого задания учащиеся будут использовать калькулятор. Например, при
работе с числом х = –0,02.
Модуль 3 «Стандартные функции»
Основные цели обучения:
– познакомить учащихся с функциями вида у = кх, y =
k
, у = ах² и их графиками;
x
– познакомить учащихся с центральной и осевой симметрией в системе координат
и с исследованием функции на наличие симметрии ее графика.
На изучение модуля предлагается выделить 2 урока.
К этому модулю относятся следующие компьютерные материалы:
– демонстрации: П-Д 803 «Стандартные функции», Д-П 803 «Симметрия
графика»;
– презентации: П-805 «Давайте вспомним», П-806 «Проверь себя».
В учебнике теория стандартных функций представлена коротко: формула
функции, ее название. Название графика, его вид и особенности. Примеры графиков
вынесены в раздел «Примеры и комментарии»; в этом разделе также разобрано
3
построение графика функции y =
1
. Обращаем внимание, что с учащимися графики
x
этих функций и им аналогичных нужно нарисовать для каждого случая. Вторая часть
теории модуля – это симметрия. Пока не вводится понятия четной, нечетной функции,
но фактически именно об этих свойствах функций и идет речь. На данном этапе
хотелось бы, чтобы учащиеся научились изображать эскизы графиков, обладающих
симметрией, и переводить геометрические понятия на язык формул.
Из задачника к этому модулю относятся задания А-1, С-1 В. Задание А-1
посвящено работе с формулами стандартных функций, наиболее громоздким является
задание под цифрой 2, которое, может быть, имеет смысл выполнять по вариантам,
разбив учащихся на группы. Не предполагается, что непременно каждый ученик
должен провести исследование на установление зависимости с каждой табличкой.
Задание С-1 № 1. В рассчитано для дополнительных занятий на построение гиперболы,
перемещающейся в системе координат. Центром симметрии гиперболы y =
k
, как
x
известно, является точка с координатами (0; 0). При перемещении гиперболы в системе
координат в первую очередь нужно определить координаты ее центра симметрии. Это
легко сделать, если функция будет представлена в виде (х – а)(у – b) = k. Центром
симметрии будет точка с координатами (a; b).
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания ЛР-801, ЛР-802, КТ-801,
КТ-802. Советуем выполнить эти задания с учащимися. При выполнении теста КТ-802
для определения зависимости одной переменной от другой читать следует в том
порядке, как они записаны. Например, запись х, у означает х(у).
Модуль 4 «Линейная функция»
Основные цели обучения:
– познакомить учащихся с понятием «линейная функция», ее свойствами и
графиком;
– научить строить графики линейных функций и определять свойства.
На изучение модуля предлагается выделить 4 урока.
К этому модулю относятся следующие компьютерные материалы:
– демонстрации: П-Д 804 «Линейная функция», Д-П 804 «График линейной
функции»;
– презентации: П-807 «Давайте вспомним», П-808 «Проверь себя».
4
В материалах учебника предлагаются свойства линейной функции, в виде ответов
в общем виде, далее в разделе «Примеры и комментарии» объясняется, как можно
найти нули линейной функции, промежутки постоянного знака, определить характер
монотонности и доказаны утверждения о монотонности линейной функции и области
ее значений. Разобраны примеры и даны способы построения графика. Обращаем
внимание, что учитель не должен следовать один к одному к материалам учебника при
работе с учащимися. Например, общие формулы свойств нужно вывести с учащимися,
а в готовом виде может быть они нужны разве что для проверки ответов ( так ли у них
получилось при решении примера, как дано в общем виде), доказательства
монотонности и области значений приведены для индивидуальной работы с сильными
учащимися и учащимися, интересующимися математикой. В учебнике приведено также
много графиков линейных функций, обратите на них внимание учащихся. Мы считаем,
что для накопления зрительных образов важно, особенно на первых порах, увидеть
разнообразное расположение прямых в координатной плоскости. Также еще раз
обращаем внимание, что определение свойств функций мы связываем в первую
очередь с «чтением графика», отдавая предпочтение развитию визуального мышления
в противовес алгоритмическому, но при изучении данного материала хотелось бы,
чтобы эти две линии («чтение графика» и определение свойств по формуле) шли
параллельно.
В задачнике к этому модулю относятся задания А-2 №№ 4, 5; С-1 № 1. А, Б; С-2
№№ 1, 4; П-1, П-2. Задания, в основном, стандартные. Задание С-1 № 1 можно
использовать для проверки усвоения изученного материала, заметим также, чтобы
было обращено внимание учащихся на тот факт, что не всякая прямая в системе
координат является графиком линейной функции. Задания С-1 Б, П-1, П-2
предлагаются в качестве дополнительных.
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания Т-807–Т-809, КТ-803, КТ804.
При выполнении теста Т-809 под цифрой 4) можно рассуждать так: прямая у = –
х + 2 параллельна прямой у = –х, являющейся биссектрисой второго и четвертого
координатных углов. Перпендикулярная к ней (у = –х) прямая – это биссектриса
первого и четвертого координатных углов у = х. Поэтому искомая прямая будет иметь
угловой коэффициент k = 1. Дальше решаем по известному алгоритму. Задание под
цифрой
7)
аналогичное,
точка
Р(–3; 4) лежит на окружности, касательная к ней перпендикулярна радиусу, который
5
лежит на прямой, проходящей через центр окружности, точку О(0; 0) и точку Р(–3; 4).
Перпендикулярная к ней прямая будет проходить через центр окружности и точку с
координатами (3; 4). Угловой коэффициент искомой прямой k =
4
. Другой вариант
3
решения этих заданий – объяснить учащимся соотношение коэффициентов взаимно
перпендикулярных
прямых:
если
прямая
у = k1х + b
перпендикулярна
прямой
у = k2х + b, то k1 ⋅ k2 = –1.
Эти задания, а также задание под цифрой 8), конечно, относятся к заданиям
повышенной сложности. Тесты КТ-803, КТ-804, как и все остальные тесты из этого
раздела, составлялись для проверки усвоения учащимися изученного материала.
Модуль 5 « Модуль»
Основные цели обучения:
– изучить аналитическое раскрытие модуля;
– познакомить учащихся с функцией у = |х|, у = |х – а| и их графиками;
– повторить решения линейных уравнений, неравенств, содержащих модуль.
На изучение модуля предлагается выделить 2 урока.
К этому модулю относятся следующие компьютерные материалы:
– демонстрации: П-Д 805 «Функция y = |x|», Д-П 805 «График модуля»;
– презентации: П-809 «Давайте вспомним», П-810 «Проверь себя».
В результате изучения модуля учащиеся должны научиться раскрывать модуль
аналитически, строить графики функций у = |х|, у = |х – а|. Также предполагается, что на
этих уроках будет повторяться, хотя бы кратко, решение уравнений, неравенств с
модулем с использованием определения модуля как расстояния между точками
числовой оси. В учебнике представлены подробные теоретические материалы, а также
разобрано достаточное количество примеров от стандартных до, так называемых,
повышенного уровня сложности (к примерам повышенного уровня сложности мы
относим те из них, в которых выражение или формула функции содержит два модуля),
и при работе нужно на них обратить внимание учащихся с целью накапливания
зрительных образов. График модуля линейной функции – это ломаная, это должно
остаться в памяти учащихся.
Из задачника к этому модулю относятся задания С-3, часть из них, та, где нет
квадратичной функции, которая будет изучаться в следующем модуле. Обращаем
также внимание, что в этом задании содержатся примеры на повторение – построение
6
гиперболы. При построении графиков из этого задания под цифрами 3), 4) советуем
сначала определить координаты вершин ломаной (точки, где выражение под знаком
модуля меняет знак), а потом найти дополнительные точки, лежащие правее правой
вершины и левее левой вершины.
Из рабочей тетради к этому модулю относится задание КТ-807.
Модуль 6 «Квадратичная функция»
Основные цели обучения:
– познакомить учащихся с понятиями: квадратичная функция; четность функций;
наибольшее, наименьшее значение функции; вершина параболы;
– научить строить параболу и определять ее свойства.
К этому модулю относятся следующие компьютерные материалы:
– демонстрации:
П-Д
806
«Квадратичная
функция»,
Д-П
806
«График
квадратичной функции»;
– презентации: П-811 «Давайте вспомним», П-812 «Проверь себя».
В материалах учебника изложение теории начинается с повторения свойств и
графика стандартной квадратичной функции, при этом вводится понятие четности
функций. Это не значит, что его нужно отрабатывать при решении примеров на
определение наличия этого свойства у других функций. Подробно учащиеся будут
знакомиться с ним в девятом классе и хотелось бы, чтобы понятие четности функции
ассоциировалось у учащихся с параболой у = ах². Свойства квадратичной функции
общего вида определяются по графику и рассмотрены на примере конкретной функции
в разделе «Примеры и комментарии» под цифрой 1). В этом разделе в примере 1)
приведен еще один способ нахождения абсциссы вершины параболы: как среднее
арифметическое координат вершин, так как парабола симметрична относительно
прямой х = х0 и расстояние от точки х0 до х1 равно расстоянию от х2 до х0, т. е. х0 –
х1 = х2 – х0. Отсюда получается формула х0 = х1 +
x2
. Кстати, можно заметить, что это
2
свойство абсциссы вершины справедливо для любой пары точек параболы,
симметричных относительно ее оси симметрии. Этот материал носит дополнительный
характер, и учитель использует его по своему усмотрению. В примере 2) сознательно
выбрана парабола с иррациональными корнями, чтобы показать учащимся, что
иррациональный корень – это не преграда при построении графика. В примере 2) еще
раз подчеркивается, что определение координат вершины параболы связано с
7
выделением полного квадрата. Может, найдутся учащиеся, кому больше понравится
выделять полный квадрат в формуле функции для определения координат вершин
параболы, а не запоминать готовые формулы для подстановки в них числовых
коэффициентов. Таких учащихся нужно поддерживать, на наш взгляд. В разделе
«Примеры и комментарии» на стр. 12 представлены все виды расположения параболы
относительно оси Ох. Это важный материал, на него нужно обратить внимание
учащихся и его можно активно использовать для решения различных задач. Например,
для определения свойств функции; для составления формулы функции по координатам
трех точек; для определения коэффициентов а, b, с квадратичной функции. Еще раз
хотелось бы заметить, что приведенные в учебнике в общем виде свойства функции не
обязательно в таком же виде представлять учащимся. Больше времени следует уделить
разбору конкретных примеров.
Из задачника к этому модулю относятся задания С-1 Г, С-2 №№ 2–5, П-3, А-3 Г.
Задания С-2 №№ 4, 5 выполняются по графику, направлены на закрепление
навыков чтения графиков, тем самым, развития визуального мышления. Задание П-3
содержит интересные задачи из физики на формулу равноускоренного движения,
решение которых может оживить урок математики. Решение этих задач можно
предложить учащимся в качестве домашней творческой работы, разбив их на блоки, с
последующим выступлением перед ученической аудиторией.
Из рабочей тетради к этому модулю относятся задания Т-810–Т-813, КТ-805, КТ806. Они стандартные, могут использоваться для проверки усвоения изученного
материала.
Модуль «Обобщение по теме»
Основные цели обучения:
– провести контроль усвоения учащимися изученного материала;
– устранить, по мере возможности, пробелы в знаниях учащихся;
– разобрать решение обобщающих заданий по главе;
– рассмотреть задания из раздела «Комбинаторика».
К этому модулю из задачника относятся материалы С-1 №№ 3–5; С-3, П-1–П-3,
разделы «Исследования и доказательства» и «Комбинаторика».
Из заданий С-1 №№ 3, 4 хорошее задание для обобщения, но при недостатке
времени, предпочтение лучше отдать решению примеров С-1 № 5.
8
Задание С-3 стандартное, полезное для повторения изученного. Задания П-1–П-3
включены в этот модуль повторно, на тот случай, если они не были разобраны при
изучении модулей 4 и 6. Задания из раздела «Исследования и доказательства»
относятся к необязательным, хотя 1 и 2 пункты с сильными учащимися необходимо
разобрать.
Из раздела «Комбинаторика» считаем обязательным познакомить учащихся с
понятиями целой и дробной части числа и решить с ними простые задания.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ИУМК по МОДУЛЯМ
На изучение этой главы выделяется 22 урока (по учебному плану 102 урока в год)
№
п/п
Модуль
§
Кол№№ из
учебво
задачника
ника уроков
1
2
А-3, С-1
№2
№№ из
рабочей
тетради
Т-801,
Т-802
1
Переменные и
зависимости
между ними
2
Функциональная
зависимость
2
2
А-2 №№ 1–
3
Т-803,
Т-804,
Т-805,
Т-806
3
Стандартные
функции
3
3
А-1, С-1 В
ЛР-801,
ЛР-802,
КТ-801,
КТ-802
4
Линейная
функция
4
4
А-2 №№ 4,
5; С-1 № 1.
А, Б; С-2
№ 1, С-2
№ 4, П-1,
П-2
Т-807,
Т-808,
Т-809,
КТ-803,
КТ-804
ЦОРы
Демонстрации: Д-П 801
«Прямая
пропорциональность»,
П-Д 801 «Обратная
пропорциональность»;
Презентации: П-801
«Давайте вспомним»,
П-802 «Проверь себя»
Демонстрации: П-Д 802
«Понятие функции», ДП
802
«График
функции»;
Презентации: П-803
«Давайте вспомним»,
П-804 «Проверь себя»
Демонстрации: П-Д 803
«Стандартные
функции», Д-П 803
«Симметрия графика»;
Презентации: П-805
«Давайте вспомним»,
П-806 «Проверь себя»
Демонстрации: П-Д 804
«Линейная функция»,
Д-П 804 «График
линейной функции»;
Презентации: П-807
«Давайте вспомним»,
П-808 «Проверь себя»
9
№
п/п
Модуль
5
Модуль
6
Квадратичная
функция
7
Обобщение по
теме
§
Кол№№ из
учебво
задачника
ника уроков
5
2
С-3
6
6
А-3 Г, С-1
Г, С-2
№№ 2, 3, 4,
5, П-3
3
С-1 № 3, 4,
5; С-3, П-1 –
П-3,
«Исследования и
доказательства»,
«Комбинаторика»
№№ из
рабочей
тетради
Т-810–
Т-813,
КТ-805,
КТ-806
ЦОРы
Демонстрации: П-Д 805
«Функция y = |x|», Д-П
805 «График модуля»;
Презентации: П-809
«Давайте вспомним»,
П-810 «Проверь себя»
Демонстрации: П-Д 806
«Квадратичная
функция», Д-П 806
«График квадратичной
функции»;
Презентации: П-811
«Давайте вспомним»,
П-812 «Проверь себя»
10