Лекция: Определенный интеграл 1. Введение. Р ас с м от р и м г р аф и к ф ун кц ии на о т р ез к е a; b и y f (x) н еп р е р ы вн ой в ыч ис л и м п л ощ ад ь ф и гу р ы, о г ра ни че нн о й л ин и ям и y 0, y f ( x), x a, x b. Эт у ф иг у ру бу д е м на зы в ат ь к ри в ол ин е йн о й т ра пе ц и ей. Р ас с м от р и м р аз б ие ни е о т ре з ка T a x0 x1 x2 ... xn1 xn b. Д ля ка жд о г о р аз б и ен ия T н аи б о ль ш ее з на че ни е xi буд е м о б оз н ач ат ь . В е лич ин а х а ра к т е р изу ет ся т ем, чт о 0 xi 0 i. a; b : n S n yi xi , S lim S n . i 0 n 1 О пр ед е л е н и е. И нт ег р а л ь но й сум м о й наз ыв а ет ся с ум м а n (n) f (t i ) xi , гд е xi t i xi 1 i 0 Ко н ечн ы й п ред е л ин т ег р а ль н ы х с ум м 0 п ри b на зы ва е тс я оп р ед е л ен н ым и нт ег р а л о м: на зы ва е тс я инт е г р ал и нт е г р и ру ем о й a;b, на I f (t )dt. Ф ун кц ия a если оп р ед е ле нн ы й I су щ е ст ву е т. Чи с л о a наз ы ва ет с я ни ж ни м п ред е л о м ин те г р и р ов ан ия, b ве р х ни м п р ед е л о м инт е г ри р о ва ни я. 2. Суммы Дарбу. Р ас с м от р и м a; b : р аз б и ен ие О б оз н ачи м от р ез к а T a x0 x1 x2 ... xn1 xn b. mi min f ( x), M i max f ( x). че р ез xi Т о гд а xi mi f (t i ) M i . Ни ж н ей с у мм о й Да р б у буд е м н аз ыв ат ь с ум м у вид а n s T mi xi , в е р хн е й i 0 n S T M i xi . i 0 Т о гд а су м м ой sT I S T . 2 Дарбу – с ум му Ут в. 1 С во й с тв а су м м Д а рб у : sT S T . 1) 2) Ес л и п ол уч и т ь к д ан н о му р аз б ие ни ю T р аз б и ен и е т о T1 : xk ; xk 1 до б ав ит ь т оч к у xk ; xx; xk 1 , и то ни жн яя с у мм а ув е л ичи тс я, а ве р х н яя – у ме нь ши т ся, т. е. s T1 sT , S T1 S T 3) Д ля лю б ы х д ву х ра з би ен ий сп р ав ед ли в о н е р ав е нс тв о T1 и T2 от р е з ка s T1 S T2 . Док аз ат ель ст во п у нк т а 3 . П у ст ь м ес т о ц еп о ч ка не р а ве нс тв Т а ки м о б р а з ом, T T1 T2 . Т о г да и м ее т s T1 s T ST S T2 s во з р ас т аю щ ая п о с лед о ва те л ьн о ст ь, а S уб ы ваю щ а я T a; b T и сущ е ст ву ет ч ис л о, р азд е ляю щ е е дв а мн о ж е ств а. Ут в . 2 ( Н е об ход и м о е и нт егр и ру ем о ст и ) f (x) и д о с т ат очн о е S T sT 0 инте г р и ру ем а сущ е ств уе т р аз би е н ие, д л я к от о р о г о n n i 0 i 0 S T s T ( M i mi )xi i xi , на зы ва е тс я к о ле б ан ие м ф ун кц ии. 3 для у с ло в и е лю б о г о S T sT . где в е ли чи на i Те о р е ма . f (x) Ес л и м о н от о н на я ф у нк ц ия , то S T sT 0. f (x) в оз р а ст а ет. Р а сс м о т ри м р аз б ие ни е T от р ез к а a; b : a x0 x1 x2 ... xn1 xn b. Т о гд а m1 f (a), M 1 m2 , M 2 m3 , .... , M n1 mn . Док аз ат ель ст во. П уст ь Т о гд а n S T s T ( M i mi )xi ( M 1 m1 M 2 m2 ... M n mn ) i 0 ( f (b) f (a) ). 0. Сл е дс тв и е1 . О т сю д а Е с ли сл ед уе т, чт о S T sT 0 пр и f (x) н е пр е рыв н а я ф ун к ци я , т о S T sT 0. Док аз ат ель ст во . Р аз о бъ е м от р ез о к a; b : м он о т он н о ст и: a ; b на ин те р ва л ы a c0 c1 c2 ... cn1 cn b. На к а жд о м и нт е рв а л е f (x) м о н от о нн а и из д о к аз ат е ль ст ва те о р е м ы м о жн о п ол уч ит ь сл ед ую щ ие н е ра ве н ств а: S 1 s1 | f (c1 ) f (a) |, S 2 s 2 | f (c2 ) f (c1 ) |, S 3 s 3 | f (c3 ) f (c2 ) |.... и т. д. Т. е. S T s T M , гд е M не к о т о ра я к о нс та нт а. f (x) Сл е дс тв и е2 . Е с ли о тр ез ке т о он а и нт ег ри р у е ма н а э т о м от р ез к е . a ; b, н е пр е рыв н а я 3. Свойства определенного интеграла. b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 4 ф ун к ци я на f (x) н е пр е ры вн а н а a ;b, т очк а та ка я , что c (a; b) Те о р е ма ( о с р ед н е м) . Е с ли то с у щ ес тв у е т b f ( x)dx f (c) (b a). a Доказательство. Пусть m и M - н аи м ен ьш е е и на и б о ль ш е е зн ач ен ие ф ун к ци и на о т ре з ке a ;b. Т о гд а b m (b a) a b 1 f ( x)dx M (b a) m f ( x)dx M b a a b 1 f ( x)dx п р ом е жу т оч н ое з н ач ен ие не п р е ры в н ой b a a ф ун кц ии f (x), к о т о р о е д о ст иг а ет ся в н е к от о р о й т оч к е c. b 1 f ( x)dx . Т. е. f (c) b a a 4. Дифференцирование интеграла по верх нему пределу. x Р ас с м от р и м ф у н кц и ю Ф( x ) f (t )dt , x (a; b). a f (x) н еп р ер ыв на н а a ;b, то F (x) ди ф фе р ен ц ир у е м а на (a ; b) и Ф ( x) f ( x). ( F ( x) пе р в о о б ра зн ая д л я ф ун кц ии f (x) ) Те о р е ма . Ес л и x x F F ( x x) F ( x) Док аз ат ель ст во. f (t )dt. x П о т е о р ем е о с р ед не м с ущ е с тву ет з н ач ен ие c ( x ; x x) x x та к о е, ч т о F f (t )dt f (c) x. x От сю д а п о луч а ем, ч то F f (c) f ( x) п ри x 0. x 5 Ф о р м ул а Н ь ют о н а - Ле й бн и ца Ес ли н еп р е р ыв на я f (x) ф у н кц ия a ;b, на то b f ( x)dx F (b) F (a), гд е F (x) п е рв о о б р аз на я дл я f (x). a x Ф( х ) f (t )dt F ( x) C Ф(а) 0 С F (а). a x Ф( х ) b f (t )dt F ( x) F (а) f (t ) dt F (b) F (а). a a Св о й ст ва о пр е де ле нн ог о ин т ег ра ла b 1. a 2. b b a a ( f (t ) g (t )) dt f (t )dt g (t )dt b b a a f (t ) dt f (t )dt b 3. Если f ( x) 0, т о f (t )dt 0. a b 4. Если f ( x ) g ( x) , т о a 5. Формула a интегрирования b интеграле b f (t )dt g ( x) dx u vdx a по частям в определенном b uv u v dx a 6. Ф о р му л а з ам е ны пе р е ме нн ы х в оп р ед е ле нн о м ин те г р ал е Ес ли f (x) не п ре р ы вн а на a ;b , x (t ), t ; , a ( ), b ( ), то b f ( (t )) (t ) dt f ( x)dx a Д о ка за т ел ь ств о с л ед ует из ф о р м у лы 6 F ( (t )) f ( (t )) (t ) Приложение Выч ис л ен и е п л ощ а де й Выч ис л ен и е о б ъ е м ов П ус ть в п р ос т р ан ст ве з ад ан о те л о V и и зве с тн ы п л ощ ад и S (x) ег о се че ни й п л ос к о ст ям и, п е рп ен ди к ул я рн ы ми о си 7 OX и п р о х од я щ и ми ч е ре з т о ч ку x. Т о гд а о бъ е м т е л а вы р а жа е тс я ф о р му л о й b V S ( x)dx a О б ъ ем т ел в ра щ ен и я. Ес ли т е л о V пол уч ен о в р ащ е ни е м к рив о й y f (x) во к ру г 2 о си OX , т о пл о щ ад ь с еч ен ия р ав н а S ( x) y , а о бъ е м b те л а V выч ис л яе т ся п о ф о р му л е V y 2 dy a 8 Пр и м ер ы. 1, 5 1. 4x 0,5 2 dx 4x 5 2 2. xe x dx 1 3 3. 3 2 18 x dx 3 4. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и ф ун кц ий y x, y 5 x, x 1, x 2. 5. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и ф ун кц ий y x 2, y x 4 x,2. 6. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и 2 ф ун кц ий y x, y x 2. 7. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и ф ун кц ий y 1 x, y x 1 2, y 2( x 2) 3 2. 9 8. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и ф ун кц ий y 2 x , y x 3. 9. Н айд ит е объем о г ра ни че нн о г о ци ли нд р ам и т ел а, д вум я x2 y2 R2 , x2 z 2 R2. 1 0. Н айд ит е о бъ е м пи р а мид ы , у к о т о р ой пл о щ ад ь о сн о ва ни я ра вн а S и в ыс о т а ра вн а H . 1 1. На йди т е о бъ е м о г ра ни че нн о г о п ов е р хн о ст я ми т ел а, x 2 4 y 2 1, z x ( x 0), z 0. 10 1 2. Н а йди те о бъ е м те л а, о б р аз ов а нн о г о в р а щ ен и ем во к р уг ос и OX ф иг ур ы, о г ра ни че нн о й г р а ф и ка м и ф ун кц ий y 2x x 2 , y x 2 1 3. Н айд ит е о бъ е м т ел а, о б р аз ов а нн о г о в р а щ ен и ем во к р уг п ря м о й x 2 о б л ас ти, ог р а н ич ен н ой г ра ф и к а ми ф ун кц и й y x 3 , x 1, x 0, y 4 1 4. В ы чи с ли ть о бъ е м т е л а, п ол уч ен н ог о в р ащ ен ие м э лл ип с а о си x2 y2 1 a2 b2 во к р уг OX . Т. е. г р аф и ка y2 b2 2 (a x 2 ) 2 a во к р уг о с и OX . 4 V a b2 3 В о к ру г о си OY . 4 V b a2 3 11 Пр и л ож е ни е о пр е де ле н н ог о физ ич е ск их з ад ач ин т ег р ал а дл я ре ш е ни я а) П ут ь, п р ой д е нн ый т е л о м, д ви га ю щ им ся с о с к о р ос ть ю v(x) за п р о м е жу т о к в р е м ен и t1 ; t 2 , в ы ра ж а ет ся ф о р му л о й b V S ( x)dx a F F (x), и a ; b р ав н а б) Р а б от а п е ре м ен н о й си л ы, з ад ан н ой ф о р му л о й на п ра в ле нн о й в д ол ь о си OX b V F ( x)dx a в) Д ав л ен и е ж ид к о ст и н а ве р ти к а ль ную пл а ст ин у, о г ра ни че нн ую ли ни я ми x a, x b, y f1 ( x), y f 2 ( x) , вы чи с ля ет ся по ф о р му л е b P g ( f1 ( x) f 2 ( x) ) x dx a г) Да вл е ни е жид к о ст и н а г о ри з он та л ьну ю п л ас ти ну п о «за к о ну П а с к а ля » р ав н о в е су ст о л б а э т ой ж ид к о ст и, и P g S h, гд е пл от н о ст ь жи д к ос ти, пл а ст ин ы, п ог р уж е ни я. S пл ощ ад ь h глу б ин а 12 на о т ре з к е 1 5. Н айд ит е р а б оту , к от о р у ю ну жн о з ат р ат ит ь, чт о б ы вы к ач ат ь жи д к ос ть пл о тн о с тью из ци ст е рн ы , им ею щ е й форму па р а б о ли че с к о г о ц и ли нд р а. 1 6. Н айд ит е д ав л е ни е в од ы пл о тн о с тью на ве р ти к а ль ную пл а ст ин у, им ею щ ую ф о р му т р ап ец ии с ве р х ни м о с н ов ан ие м, л еж ащ и м на п о ве р х н ос т и во ды. 1 7. Н айд ит е пл о тн о с тью д ав л е ни е в од ы на к ру г л ы й ил лю м ин ат о р д и а м ет р о м на п о л ови ну п ог р у ж ен ны й во ду. D, в 1 8. Н айд ит е р а б от у , к о т о рую ну жн о з ат р ат ит ь , чт о б ы р ас тя ну ть п р уж ин у с од ни м ук р е пл е нн ы м к о нц о м ж ес т к ос ти c на р а сс т оя ни е S. 13