(Выборочное наблюдение). - Камышинский технологический

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Экономика и бухгалтерский учет»
СТАТИСТИКА. Выборочное наблюдение
Методические указания к проведению
практических занятий
Волгоград
2014
ББК 60.6 я 7
С 86
СТАТИСТИКА. Выборочное наблюдение: методические указания к проведению практических занятий / Сост. Г. А. Машенцева,
Е. О. Мухина. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2014. – 31 с.
Рассматриваются понятие выборочного наблюдения и его
преимущества, ошибки выборочного наблюдения и определение
необходимой численности выборки. Кроме того, приведены контрольные вопросы, задания и тесты для проведения практических
занятий.
Предназначены в помощь студентам, обучающимся по направлениям 080100 «Экономика» профиль «Бухгалтерский учет,
анализ и аудит», 080200 «Менеджмент» профиль «Финансовый
менеджмент».
Табл. 20. Библиогр.: 9 назв.
Рецензент: З. А. Костина
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2014
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................... 4
1. ПОНЯТИЕ О ВЫБОРОЧНОМ НАБЛЮДЕНИИ ......................... 5
2. ОШИБКА ВЫБОРКИ ..................................................................... 6
2.1. Понятие и виды ошибок выборки ................................. 6
2.2. Средняя ошибка выборки ............................................... 7
2.3. Предельная ошибка выборки ....................................... 10
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ ВЫБОРКИ ......................... 11
4. МАЛАЯ ВЫБОРКА ...................................................................... 12
5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ........................................... 13
5.1. Контрольные вопросы .................................................. 13
5.2. Тесты .............................................................................. 14
5.3. Задачи ............................................................................. 18
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .................................................................. 30
3
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время от работника, занятого в любой области
науки, техники, производства, бизнеса и прочее, связанной с изучением массовых явлений, требуется, чтобы он был, по крайней
мере, статистически грамотным человеком. В конечном счете, невозможно успешно специализироваться по многим дисциплинам
без усвоения какого-либо статистического курса. Поэтому большое значение имеет знакомство с общими категориями, принципами и методологией статистического анализа. Основу статистической грамотности в значительной мере дает предмет “Общая
теория статистики”.
В результате изучения данной темы студент должен
знать: значение статистического наблюдения; программу и
организационные вопросы статистического наблюдения; виды и
способы статистического наблюдения; способы отбора в выборочную совокупность; ошибки выборки.
уметь: рассчитывать показатели выборочного наблюдения.
4
1. ПОНЯТИЕ О ВЫБОРОЧНОМ НАБЛЮДЕНИИ
Выборочным называется такое наблюдение, при котором характеристика всей совокупности единиц дается по некоторой их
части, отобранной в случайном порядке.
Причины применения выборочного наблюдения:
1. Экономия материальных, трудовых, финансовых ресурсов
и времени.
2. Выбранное наблюдение часто приводит к повышению точности данных, т.к. уменьшение числа единиц наблюдения резко
снижает ошибки регистрации величин признака (описки, недоучет,
двойной счет…).
3. Выборочное наблюдение является единственно возможным,
если наблюдение сопровождается полной или частичной порчей наблюдаемых объектов (качество партий яиц, прочность тканей и т. д.).
Ту часть единиц, которые отобраны для наблюдения, принято
называть выборочной совокупностью или просто выборкой, а всю
совокупность единиц, из которых производится отбор, - генеральной совокупностью.
Принята следующая система обозначения показателей для выбранной и генеральной совокупности.
Показатель
1. Объем совокупности
2. Средняя величина исследуемого признака (например, средний размер зарплаты)
3. Доля единиц с исследуемым признаком (например, доля работников с зарплатой не ниже определенного уровня)
4. Дисперсия
Генеральная совокупность
N
x
p
2
В зависимости от применения техники отбора разделяют выборку серийную (гнездовую) и типологическую.
• В случае типологической выборки генеральная совокупность разделяется на типы (группы, районы), а затем производится
случайный отбор единиц из каждого типа.
• При серийной выборке выбирают не единицы, а определенные серии, группы, районы, внутри которых производится
сплошное наблюдение.
Существуют два способа отбора единиц в выборочную совокупность:
5
- повторный отбор
каждая попавшая в выборку единица возвращается в генеральную совокупность и имеет шанс вторично попасть в выборку.
- бесповторный отбор
отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность, а для оставшихся единиц вероятность попасть в выборку
увеличивается. Бесповторный отбор дает более точные результаты, но иногда его провести нельзя (исследование потребительского
спроса).
Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько состав выборки представляет генеральную совокупность, иначе говоря, от того, насколько выборка репрезентативна
(представительна). Для обеспечения репрезентативности выборки
необходимо соблюдение принципа случайности отбора единиц.
2. ОШИБКА ВЫБОРКИ
2.1. Понятие и виды ошибок выборки
Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из
единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокупности может в той или иной мере отличаться от состава генеральной совокупности.
Расхождение между характеристиками выборки и генеральной
совокупности составляет ошибку выборки.
Виды ошибок выборки
Ошибки
выборки
Ошибки
регистрации
Ошибки
репрезентативности
Систематические
Случайные
Обусловлены причинами, действующими в одном направлении (например, округление
цифр).
Неправильный, тенденциозный
отбор единиц, без соблюдения
принципа случайности (выбираются преднамеренно худшие
или лучшие единицы).
Проявляются в различных направлениях и уравновешивают
друг друга (невнимательность).
6
Несмотря на принцип случайности отбора единиц, все же имеются расхождения между характеристиками выборки и генеральной совокупности (но эти
ошибки объективны и не связаны
с волей наблюдателя).
Основная задача выборочного метода – изучение случайных
ошибок репрезентативности.
2.2. Средняя ошибка выборки
Случайная ошибка репрезентативности зависит от следующих
фактов (при этом считается, что ошибок регистрации нет):
1. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки выборки, т.е. ошибка выборки обратно пропорциональна ее численности.
2. Чем меньше варьирование признака, тем меньше ошибка
выборки. Если признак совсем не варьирует, а, следовательно, величина дисперсии равна нулю, то ошибки выборки не будет, т.к.
любая единица совокупности будет совершенно точно характеризовать всю совокупность по этому признаку. Таким образом,
ошибка выборки прямо пропорциональна величине дисперсии.
В математической статистике доказывается, что величина
средней ошибки случайной повторной выборки может быть определена по формуле:
2 ,
x 
(1)
n
Однако следует иметь в виду, что величина дисперсии в генеральной совокупности 2 нам не известна, т.к. наблюдение выборочное. Мы можем рассчитать лишь дисперсию в выборочной совокупности S2. Соотношение между дисперсиями генеральной и
выборочной совокупности выражается формулой:
n
,
n 1
Если n велико, следовательно n  1
 2  S2 
(2)
n 1
Таким образом, можно приблизительно считать, что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии.
2 = S2
И формула средней ошибки повторной выборки (1) примет
вид:
7
S2
x 
n
,
(3)
Но здесь мы рассмотрели только ошибку выборки для средней
величины интересующего признака. Существует также показатель
доли единиц с интересующим признаком. Расчет ошибки этого
показателя имеет свои особенности.
Дисперсия для показателя доли признака определяется по
формуле:
S2=(1-),
(4)
Тогда средняя ошибка повтора выборки для показателя доли
признака будет равна:
 
 (1   )
n
,
(5)
Доказательство формул (3) и (5) исходит из схемы повторной
выборки. Обычно же выборку организуют бесповторным способом. Т.к. при бесповторном отборе численность генеральной совокупности N в коде выборки сокращается, то в формулы ошибки
выборки включают дополнительный множитель 1 
n
, и формулы
N
принимают вид:
n

 1   ,
 N
 (1   ) 
n
 
 1   ,
n
 N
x 
S2
n
(6)
(7)
Пример. Определим, насколько отличаются выборочные и генеральные показатели по данным 10%-ной бесповторной выборки
успеваемости студентов.
Оценка, хi
2
3
4
5
Итого
Число студентов в выборке, fi
9
27
54
10
100
8
Расчет ошибки бесповторной выборки для средней величины:
S2 
n
x 
 1  
n  N
n= 100 N= 1000
Найдем выборочную дисперсию по формуле:
 x  ~x 
f
2
S2 
i
 fi
i
Здесь не известна величина ~
x , которую можно найти как
обычную среднюю взвешенную величину:
 xifi  2  9  3  27  4  54  5  10  3,65
~
x
100
 fi
S2 
(2  3,65) 2  9  (3  3,65) 2  27  (4  3,65) 2  54  (5  3,65) 2  10
 0,61
100
Таким образом, x  0,61  1  100   0,07
100  1000 
Т.е. можно сказать, что средний балл всех студентов ( x ) ра-
вен 3,650,07
Теперь рассчитаем долю студентов в генеральной совокупности, обучающихся на «4» и «5».
Найдем по выборке долю студентов, получивших оценки «4»
и «5».

54  10
 0,64 (или 64%)
100
Расчет ошибки бесповторной выборки для доли производится
по формуле:
  (1   ) 
n
 
 1  
n
N


0,64  (1  0,64) 
100 
(или 4,5%)
 1 
  0,045
100
 1000 
Таким образом, доля студентов, обучающихся на «4» и «5» по
генеральной совокупности (P) составляет
0,640,045
(или
64%4,5%).
9
 
2.3. Предельная ошибка выборки
То, что генеральная средняя и генеральная доля не выйдут за
определенные пределы можно утверждать не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности.
В математической статистике доказано, что генеральные характеристики отклоняются от выборочных на величину ошибки
выборки (±), лишь с вероятностью 0,683. Применительно к выборочным исследованиям это понимается так, что значения пределов
можно гарантировать лишь в 683 случаях из 1000. В остальных же
317 случаях значения этих пределов будут иными.
Вероятность суждения можно повысить, если расширить пределы отклонений, приняв в качестве меры среднюю ошибку выборки, увеличенную в t раз.
Т.е. с определенной степенью вероятности мы можем утверждать, что отклонения выборочных характеристик от генеральных
не превысят некоторой величины, которая называется предельной
ошибкой выборки  (дельта):
t,
(8)
где t – коэффициент доверия (коэффициент кратности ошибки), определяемый в зависимости от того, с какой доверительной
вероятностью надо гарантировать результаты выборочного исследования.
На практике пользуются таблицами, где вычислены вероятности для различных значений t. Приведем некоторые из них.
t
0,5
1,0
1,5
Вероятность
0,383
0,683
0,866
t
2,0
2,5
3,0
Вероятность
0,954
0,988
0,997
Например, если в нашем примере мы хотим увеличить вероятность суждения до 0,954, то мы берем t = 2 и таким образом изменяем пределы отклонений среднего балла всех студентов и доли
студентов, обучающихся на «4» и «5».
x  t  x  2  0,07  0,14  x  3,65  0,14
То есть,
x~
x  x ,
(9)
10
  t    2  0,045  0,09  P  64%  9%
То есть,
P     ,
(10)
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ ВЫБОРКИ
При организации выборочного исследования следует иметь в
виду, что размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборочной совокупности. Из формулы (3) следует, что
средняя ошибка выборки обратно пропорциональна, n т.е. при
увеличении численности выборки, например в 4 раза, ее ошибки
уменьшаются вдвое. Таким образом, увеличивая численность выборки можно довести ее ошибку до сколь угодно малых размеров.
Повышение процента выборки ведет к увеличению объема исследовательской работы, затрат труда и материальных средств. Но
если в выборку взять недостаточное количество образцов, то результаты исследования могут содержать большие погрешности.
Путем несложного преобразования выведенных ранее формул
ошибки выборки можно получить формулы для определения необходимой численности выборки.
Для примера рассмотрим вывод формулы численности повторной выборки для средней величины признака.
Формула предельной ошибки повторной выборки для средней
величины имеет вид:
x  t  x ,
x 
2
S2
 x  t  S
n
n
Выразим из последней формулы величину n (численность выборки). Для того, чтобы избавиться от знака корня, возведем всю
формулу в квадрат и произведем дальнейшие математические преобразования:
x 2 
2
2
t 2S 2
 n  t S2 ,
x
n
(11)
Ниже в таблице приведены остальные формулы численности
выборки. Их вывод попробуйте сделать его самостоятельно.
11
Формулы численности выборки
Для средней
Для доли
Метод отбора
Повторный
Бесповторный
n
t 2S 2
x 2
n
t 2S 2 N
Nx 2  t 2 S 2
(11)
(13)
n
t 2 (1   )
 2
(12)
n
t 2  (1   ) N
N 2  t 2  (1   )
(14)
При определении необходимой численности выборки по при2
веденным формулам возникает затруднение, т.к. S и  заранее не
известны, а будут определены лишь после проведенного выборочного исследования.
2
Вместо фактического значения S и  подставляют приближенное значение, полученное из предыдущих исследований или на
основе каких-либо пробных выборочных исследований.
Пример. Для исследования средней заработной платы 10000
рабочих завода необходимо провести выборочное исследование.
Каков должен быть объем выборки, чтобы можно было бы утверждать, что ошибка выборки не превысит 1 рубль (с вероятностью
0,997). Дисперсия заработной платы 150. Отбор бесповторный.
Решение: Формула численности бесповторной выборки для
средней величины имеет вид (из таблицы):
n
t 2S 2 N
Nx 2  t 2 S 2
x = 1
Нам известно: t= 3
; S 2 = 150 ;
Таким образом, n 
3 150 10000
 1189 (11,89%)
10000 12  32 150
N = 10000
;
2
4. МАЛАЯ ВЫБОРКА
В экономических исследованиях эксперимент может проводиться на основе малой выборки. Под малой выборкой понимается
несплошное статистическое исследование, численность единиц
которого не превышает 20. Расчет ошибки выборки здесь имеет
свои особенности. Здесь мы не можем приравнять генеральную и
выборочную дисперсию. Мы говорили, что если n велико,
12
то n  1 . Но когда выборочная совокупность небольшая, этот
n 1
коэффициент нужно принимать во внимание. И поэтому средняя
ошибка в малой выборке исчисляется по формуле.
Sм . в . 2
м . в . 
(15)
n
S2м.в.–дисперсия в малой выборке.
где
Sм.в.
2
x  ~x 


i
2
n 1
(16)
Предельная ошибка малой выборки имеет обычный вид:
м.в.  t  м.в.
(17)
Но здесь величина коэффициента доверия t иначе связана с
вероятностной оценкой, чем при нормальной выборке.
Английский ученый Стьюдент доказал, что в случае малой
выборки вероятностная оценка того, что предельная ошибка не
превысит t-кратную среднюю ошибку в малых выборках, зависит
еще и от численности выборки.
t
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
5
0,626
0,792
0,884
0,933
0,960
7
0,644
0,816
0,908
0,953
0,976
Численность малой выборки (n)
10
12
16
0,656
0,662
0,666
0,832
0,838
0,846
0,924
0,930
0,936
0,966
0,970
0,975
0,984
0,988
0,991
18
0,668
0,848
0,938
0,977
0,992
20
0,670
0,850
0,940
0,978
0,992
5. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
5.1. Контрольные вопросы
1) Что такое выборочное наблюдение и каково его преимущество? Приведите примеры выборочного наблюдения.
2) Назовите способы отбора выборочных совокупностей?
Приведите примеры.
3) Перечислите ошибки выборочного наблюдения? Приведите примеры.
4) Назовите способы распространения выборочных данных
на генеральную совокупность?
13
5) Что называется малой выборкой?
6) Что представляет собой серийный отбор? Приведите примеры.
7) В каком случае возникают систематические ошибки?
Приведите примеры.
8) Дайте определение ошибке репрезентативности?
5.2. Тесты
1 Чему равна выборочная совокупность и доля выборки в
процентах если в районе проживают 10 тысяч семей, из них 500
семей обследуются на предмет определения среднего размера семьи:
а) численность выборки – 10 тысяч семей, доля выборки – 0,5;
б)численность выборки – 500 семей, доля выборки – 0,5;
в) численность выборки – 500 семей, доля выборки – 5,0;
г) численность выборки – 10 тысяч семей, доля выборки – 5,0?
2 К какому виду статистического наблюдения относится выборочное наблюдение:
а) сплошное;
б) несплошное;
в) единовременное;
г) непосредственное?
3 Выборочная средняя –это:
а) отношение численности выборочной совокупности к численности генеральной совокупности;
б) доля единиц, обладающих тем или иным признаком в совокупности;
в) среднее значение признака у единиц, которые подверглись
выборочному наблюдению;
г) расхождение между выборочной характеристикой и характеристикой генеральной совокупности;
д) доля единиц, обладающих тем или иным признаком в выборочной совокупности
14
4 В теории статистики при вычислении средней ошибки выборки для средней используют следующие данные:
а) коэффициент доверия;
б) выборочная дисперсия;
в) выборочная доля;
г) объем выборки;
д) доверительная вероятность.
5 Средняя (стандартная) ошибка выборки – это:
x - х ), т.е.
а) минимально возможное расхождение средних ( ~
минимум ошибок при заданной вероятности их появления;
б) максимально возможное расхождение выборочной и генеральной средних, т.е. максимум ошибок при заданной вероятности
их появления;
в) такое расхождение между средним выборочной и генеральx - х ), которое не превышает   ;
ной совокупностями ( ~
г) отклонения характеристик генеральной совокупности от
выборочной с вероятностью 0,954.
6 Что произойдет с предельной ошибкой выборки, если вероятность, гарантирующую результат, увеличить с 0,954 до 0,997:
а) увеличится в 1,5 раза;
б) увеличится в 2,0 раза;
в) уменьшится в 2,0 раза;
г) уменьшится в 1,5 раза;
д) не изменится.
7 Виды отбора единиц в выборочную совокупность:
а) типический и серийный;
б) повторный и бесповторный;
в) индивидуальный, группой и комбинированный;
г) случайный и механический.
8 Способы отбора единиц в выборочную совокупность:
а) собственно-случайный;
б) повторный;
в) механический;
г) серийный;
15
д) бесповторный;
е) группой;
ж) типический.
9 Если численность собственно-случайной повторной выборки увеличить в 4 раза, то допустимая ошибка выборки:
а) уменьшится в 4 раза;
б) увеличится в 4 раза;
в) уменьшится в 2 раза;
г) увеличится в 2 раза;
д) не изменится.
10 Механический отбор представляет собой отбор:
а) когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последовательность в расположении единиц;
б) при котором генеральная совокупность разбивается на качественно однородные группы, затем внутри каждой группы проводится случайная или механическая выборка;
в) когда в случайном порядке отбираются не единицы, подлежащие обследованию, а группы единиц, внутри отобранных групп
обследованию подлежат все единицы;
г) при котором генеральная совокупность строго подразделяется на единицы отбора а затем в случайном повторном или бесповторном порядке отбирается достаточное число единиц.
11 Проведен 5%-ный механический отбор из генеральной совокупности объемом 2000 единиц. Чему равен шаг отсчета:
а) 25;
б) 100;
в) 20;
г) 5.
12 Средняя ошибка выборки при серийном бесповторном отборе определяется по формуле:
а) x 
 х2
r
;
16
2
i
б) x 
n
 х2
в) x 
n
 х2
г) x 
r

1 n
;
N
;

1 r
.
R
13 Численность выборки при повторном
случайном отборе определяется по формуле:
2
2
2
а) r  t   x   x ;
собственно-
б) n  t   x   x ;
2
2
2
в) n  t   x  N  ( N   x  t   x ) ;
2
2
2
2
2
г)  x   x  t
14 К малой выборке относят выборку, которая включает в себя:
а) не более 20 единиц совокупности;
б) более 30 единиц совокупности;
в) от 30 до 50 единиц совокупности;
г) не более 30 единиц совокупности.
15 В районе А проживает 2500 семей. Для установления среднего числа детей в семье была проведена 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. В результате обследования были получены следующие данные:
Число детей в семье
0
1
2
3
4
5
Количество семей
10
0
12
4
2
2
Если средняя величина для генеральной совокупностисоставляет 1,69. с вероятностью 0,977, можно утверждать полученные
пределы, характеризуют _______ совокупность.
17
а) генеральную;
б) разнородную;
в) однородную;
г) выборочную.
16 По данным пробного обследования коэффициент вариации
составляет 40 %. Следовательно, в выборочную совокупность
нужно отобрать _________ единиц, чтобы с вероятностью 0,954
предельная относительная ошибка выборки не превысила 5 %:
а) 1280;
б) 256;
в)128;
г) 6,4.
17 Из генеральной совокупности формируется ___________
совокупность:
а) неоднородная;
б) выборочная;
в)бесповторная;
г) однородная.
18 Ошибки репрезентативности характерны для _________
наблюдения:
а) непосредственного;
б) единовременного;
в)выборочного;
г) сплошного.
5.3. Задачи
Задача № 1.
Из общего количества рабочих предприятия была проведена
30%-ная случайная бесповторная выборка с целью определения
затрат времени на проезд к месту работы.
Результаты выборки следующие:
Затраты времени на
проезд к месту работы, мин.
Число рабочих
до 30
30 -40
40-50
50- 60
60 -70
70
80
200
55
45
18
Определить:
1) средние затраты времени на проезд к месту работы у рабочих данного предприятия, гарантируя результат свероятностью
0,997;
2) долю рабочих предприятия, у которых затраты времени на
проезд к месту работы составляют 60 мин. и более, гарантируярезультат с вероятностью 0,954.
Задача № 2.
Выходной контроль качества поступающих на предприятие
комплектующих изделий, осуществляемый в порядке механической выборки, дал следующие результаты:
Отклонение размера изделия от принятого по
ГОСТу, %
От -2,0
до -3,0
-1,0
-2,0
0,0
-1,0
1,0
0,0
2,0
1,0
3,0
2,0
4,0
3,0
5,0
4,0
Число изделий
5
15
20
80
50
20
5
5
Определить:
1) пределы значений среднего отклонения размера изделий от
стандарта по ГОСТу с вероятностью 0,997;
2) пределы доли изделий с отрицательным отклонением в общей совокупности изделий с вероятностью 0,954.
Задача № 3.
Произведен 10%-ный пропорциональный типический отбор
рабочих со сдельной и повременной системами оплаты труда для
изучения показателей выполнения сменного задания. Отбор единиц в каждой группе бесповторный.
Выборка дала следующее распределение численности рабочих
по проценту выполнения норм выработки:
Группы рабочих
по оплате труда
Рабочиесдельшики
Группы рабочих по проценту выполнения
сменного задания
до 100
100 - 120
120 - 140
140 и
выше
20
150
80
30
19
Итого
рабочих
280
Группы рабочих
по оплате труда
Рабочиеповременщики
Итого
Группы рабочих по проценту выполнения
сменного задания
до 100
100 - 120
120 - 140
140 и
выше
40
100
60
20
220
60
500
250
140
50
Итого
рабочих
Определить:
1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,954
заключен средний процент выполнения сменного задания длявсех
рабочих предприятия;
2) возможные пределы доли рабочих, выполняющих сменное
задание не менее чем на 120% (с вероятностью0,954);
3) необходимую численность выборки при определении доли
рабочих, выполняющих сменное задание не менее чем на 120%,
чтобы с вероятностью0,954 предельная ошибка выборки не превышала 3%.
Задача № 4.
В АО «Прогресс» работает 3000 человек. Методом случайной
бесповторной выборки обследовано 1000 человек, из которых 820
выполняли и перевыполняли дневную норму выработки.
Определить:
1) долю рабочих, не выполняющих норму выработки, по данным выборочного обследования;
2) долю всех рабочих акционерного общества, не выполняющих норму с вероятностью 0,954).
Задача № 5.
Из партии изготовленных изделий общим объемом 2000 единиц проверено посредством механической выборки 30%изделий,
из которых бракованными оказались 12 изделий.
Определить:
1) долю бракованных изделий поданным выборки;
2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий, для всей партии с вероятностью 0,954).
20
Задача № 6.
По данным выборочного обследования 10 000 пассажиров
пригородного сообщения средняя дальность поездки пассажира
составила 35,5 км, а среднееквадратическое отклонение -16,0 км.
Определить:
1) пределы средней дальности поездки пассажиров с вероятностью 0,954;
2) как изменится предельная ошибка выборки, есливероятность будет принята равной 0,997?
Задача № 7.
Хронометраж работы станочника дал следующие результаты:
Затраты времени на изготовление одной
детали, с
Количество
деталей, шт.
50-60
60-70
70-80
80- 90
90 - 100
Итого
3
27
35
29
6
100
Определить:
1) средние затраты времени на обработку одной детали по
данным наблюдения;
2) предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954, учитывая, что речь идет о массовом производстве, т. е. выборка производится из генеральной совокупности бесконечно большого объема.
Задача № 8.
В механическом цехе завода в порядке малой выборки изучались фотографии рабочего дня 10 рабочих. Время непроизводительной работы и перерывов, зависящих от рабочего и по организационно-техническим причинам, для обследованных рабочих составило: 52, 48, 60, 46, 62, 54, 51, 49, 55, 53 мин.
Определить:
1) доверительные пределы, в которых находится среднее время непроизводительной работы и перерывов для всех рабочих цеха, гарантируя результат с вероятностью 0,99;
2) вероятность того, что среднее время непроизводительной
работы и перерывов всех рабочих цеха отличалось от полученного
по выборке не более чем на 3 мин.
21
Задача № 9.
Из 200 ящиков по 100 деталей в каждом, поступивших на
склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной серийной выборки отобрано 5 ящиков, все детали которых проверены на вес. Результаты проверки следующие:
Средний вес
1детали, г
1
2
№ ящика
3
4
5
50
49
53
53
55
Определить:
1) возможные пределы среднего веса детали для всей партии,
поступившей на склад (с вероятностью 0,954);
2) объем случайной бесповторной серийной выборки чтобы с
вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки при определении
среднего веса одно й детали для всей партии не превышала 0,7 г.
Задача № 10.
На предприятии с числом установленных металлорежущих
станков 120 единиц необходимо на основе выборочного обследования определить долю станков возрастом свыше 10 лет. Никаких
предварительных данных об удельном весе этого оборудования в
общей численности установленного оборудования нет.
Определить, каков должен быть объем выборки с механическим отбором , чтобы при вероятности 0,954 предельная ошибка
выборки не превышала 5%.
Задача № 11.
Объем выборки: 1) увеличился в 2 раза; 2) уменьшился в 2
раза.
Определить, как изменится ошибка простой случайной повторной выборки.
Задача № 12.
На основе 5%-ной бесповторной выборки получены следующие данные о пробеге автомобильных шин, эксплуатируемых в
городских условиях:
Пробег
шин, тыс.
км
Число шин
40 - 42
42 -44
44 -46
46- 48
48- 50
50-52
4
8
22
26
40
20
22
Определить доверительные интервалы среднего пробега шин в
городских условиях, гарантируя результат с вероятностью 0,954.
Задача № 13.
По 25 рабочим механического цеха собраны данные о прохождении этим и рабочими технического обучения и проценте выполнения норм выработки. Результаты обследования следующие:
Группы рабочих
Число рабочих
Не прошедшие
техническое обучение
11
Прошедшие техническое
обучение
14
Процент выполнения норм
выработки
каждым рабочим
98,0; 102,0,108,0; 103,2;
97,5; 100,0; 104,0; 100,8;
107,2; 105,4; 99,2
112,8; 118,4; 106,8; 103,1;
108,9; 111 ,4; 100.8; 114 , 1,
110,8; 112,0; 107 ,9; 106,9;
118,7; 110,2
Установить, используя метод дисперсионного анализа, существует ли зависимость между процентом выполнения норм выработки и повышением квалификации, гарантируя результат с вероятностью 0,95.
Задача № 14.
Для определения средней из совокупности произведена типическая выборка. Совокупность разделена на три однородные группы численностью3000, 5000 и 10 000 единиц соответственно.
Отбор 5%-ный. Результаты, полученные по данным выборки,
следующие:
Группы
1
2
3
Выборочная
средняя
12
15
18
Выборочная
дисперсия
9
16
25
Гарантийную вероятность принять равной 0,997. Определить
доверительные интервалы средней.
Задача № 15.
Методом собственно случайной бесповторной выборки было
обследовано 150 студентов дневного отделения одного из высших
учебных заведений. Доля студентов, совмещающих работу и учебу, составила, по данным выборки, 30%.
23
Определить вероятность того, что ошибка доли студентов
дневного отделения этого учебного заведения, работающих в течение учебного года, не превысит 5%; 10%.
Задача № 16.
Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции
района, чтобы ошибка доли фирм, несвоевременно уплачивающих
налоги, не превысила 5%? По даннымпредыдущей проверки, доля
таких фирм составила 32%.
Доверительную вероятность принять равной 0,954 (0,997).
Задача № 17.
Общая численность служащих предприятия составляет 324
человека.
Рассчитайте численность механической выборки для определения доли служащих, прошедших повышение квалификации по
использованию вычислительной техники, чтобы с вероятностью
0,954 ошибка репрезентативности не превышала 10%.
Задача № 18
Из 220 отобранных изделий 5% не соответствуют ГОСТу.
Определить среднюю ошибку повторной выборки и границы,
в которых находится доля продукции, соответствующая ГОСТу,
для всей партии с вероятностью 0,997.
Задача № 19
В сберегательных банках города методом случайной повторной выборки было отобрано 1600 счетов вкладчиков. Средний
размер остатков вклада по этим счетам составил 3,2 тыс. руб. при
коэффициенте вариации 30%. Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении среднего размера остатков вклада не превысит 0,05 тыс. руб.?
Задача № 20
Для определения средней продолжительности телефонного
разговора и доли разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., предполагается провести выборочное наблюдение
методом случайной выборки. По данным аналогичных обследований, среднее квадратическое отклонение продолжительности раз-
24
говора составило 3,5 мин., а доля телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., составила 0,4.
Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать для
того, чтобы с вероятностью 0,954 (0,997) найти среднюю продолжительность телефонного разговора, с ошибкой, не превышающей
30 с, а также долю телефонных разговоров, продолжительность
которых превышает 5 мин., с ошибкой, не превышающей 5%?
Задача № 21
На автотранспортном предприятии известны следующие результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин
одного типоразмера в городских условиях при работе водителей
различной квалификации:
Пробег автомобильных
шин, тыс, км
Число шин
при работе
при работе
водителей 1 класса
водителей 2 класса
2
10
6
26
18
10
10
8
4
6
40
60
50- 52
52-54
54- 56
56 - 58
58 - 60
Итого
Определить на основе приведенных данных существенно ли
расхождение среднего пробега автомобильных шин для двух
групп водителей, гарантируя результат с вероятностью 0,954.
Задача № 22
Обработка детали № 318 производится в цехе на трех станках,
имеющих различную производительность. Для определения доли
бракованных деталей для всей партии продукции организована
типическая выборка. Методом бесповторного отбора от каждого
станка взято 10% деталей из числа обработанных за день и получены следующие результаты:
№ станка
Число проверенных деталей, шт.
В том числе
брак
1
200
2
120
3
250
4
3
6
25
Определить:
1) предельную ошибку выборки и доверительные интервалы,
в которых с вероятностью 0,997 будет находиться процент бракадля всей партии деталей, обработанных за день;
2) вероятность того, что процент брака для всей партии деталей
будет отличаться от полученного по выборке не более, чем на 0,7%.
Задача № 23
Построить 95%-ный доверительный интервал для оценки генерального среднего размера детали по данным 12 деталей, произведенных на токарном автомате, если отклонения размеров этих
деталей от середины поля допуска оказались следующими:
NQ детали
Отклонение
размера в МК
1
-1
2
+2
3
-2
4
+4
5
-3
6
+2
7
+6
8
-1
9
0
10
+4
11
+2
12
-1
Задача № 24
Для характеристики использования рабочего времени в механическом цехе проектируется повторное проведение моментного
наблюдения. Проведение предыдущего наблюдения дало следующие результаты: 420 отметок состояния «работа» и 60 -состояния
«простой».
Определить необходимое число моментных наблюдений и обходов рабочих мест с вероятностью 0,954 (0,997), приняв точность
результатов в пределах 1% (2%). Число рабочих мест в цехе - 60.
Задача № 25
При проверке автомобильных шин на сопротивление разрыву
была проведена малая выборка и получены следующие результаты:
№ шины
Сопротивление
разрыву, кг/см
1
164
2
180
3
176
4
168
5
156
6
186
7
190
8
170
Определить доверительные интервалы, в которых заключен
средний уровень сопротивления материала разрыву, гарантируя
результат с вероятностью 0,99.
Задача № 26
Компания, сдающая автомобили в аренду, решила оценить
размеры простоев автомобилей в ремонте в течение года. Выборка
26
по 10 автомобилям показала, что в прошлом году количество дней,
в течение которых автомобили находились на ремонте, составило:
15; 11; 19; 24; 6; 18; 20;15; 18; 9.
Определить с вероятностью 95% доверительный интервал для
среднего числа дней в году, когда автомобили не используются в
связи с ремонтом, полагая, что распределение времени простая
автомобиля в ремонте подчиняется нормальному закону. Не производя дополнительных расчетов, указать, будет ли доверительный интервал шире или уже, если нужно будет его рассчитать с
вероятностью90%.
Задача № 27
По результатам выборки имеются следующие данные: средняя равна 8, среднее квадратическое отклонение 2,6, а объем выборки - 32 единицы.
Какому уровню доверительной вероятности соответствует доверительный интервал средней 7,195 < х < 8,805?
Задача № 28
Для изучения важности сторон маркетинговой деятельности
была проведена простая случайная выборка, в процессе которой
были изучены мнения 50 руководителей маркетинговых служб
предприятий пищевой промышленности.
Из 11 вопросов 16% участников выборочного обследования
наиболее важным посчитали ценовую политику.
Определить с вероятностью99% доверительный интервал доли руководителей маркетинговых служб в генеральной совокупности предприятий пищевой промышленности, оценивающих ценовую политику, как наиболее важную сторону маркетинга.
Как изменится величина доверительного интервала, если будет обследовано не 50, а 70 руководителей?
Задача № 29
По данным выборочного обследования, средняя арифметическая величина равна 100. При уровне доверительной вероятности
90% верхняя граница доверительного интервала генеральной
средней составила 112.
Какой величине равна нижняя граница доверительного интервала?
27
Задача № 30
Из партии в 4000 электрических лампочек было отобрано по
схеме собственно случайной бесповторной выборки 200 лампочек.
Средняя продолжительность горения лампочек в выборке оказалась равной 1250 ч.
Какова вероятность того, что средний срок службы лампочек
во всей партии заключен в пределах от 1220 до 1280 ч?
Среднее квадратическое отклонение по предшествующим исследованиям равно 150 ч.
Задача № 31
Для определения процента нестандартных деталей в партии
по схеме повторной выборки было отобрано 500 деталей, среди
которых оказалось 12 нестандартных.
Какова вероятность того, что доля нестандартных деталей во
всей партии отличается от доли деталей, полученной по выборке
не более чем на 0,02 (по абсолютной величине).
Задача № 32
Из партии в 8000 деталей было подвергнуто контролю 12,5%
деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных.
Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от выборочной доли не более чем
на 1,5%, если выборочная совокупность образована по схеме:
а) повторной выборки;
б) бесповторной выборки.
Задача № 33
Выборочное обследование дальности поездок населения в
пригородных электропоездах трех дорог, организованное по схеме
10%-ной типической бесповторной выборки, дало следующие результаты:
Дальность
ездки, км
0-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
Итого
подорога 1
5
15
20
40
30
10
120
Число пассажиров
дорога 2
дорога 3
5
20
10
40
20
25
35
10
70
45
100
180
28
Итого
10
45
80
100
110
55
400
Определить:
1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,997
заключена средняя дальность поездки пассажира по каждой дороге
и в целом по пригородному сообщению;
2) вероятность того, что средняя дальность поездок по трем
дорогам вместе отличается от полученной по выборке не более
чем на 0,8 км.
Задача № 34
Из генеральной совокупности численностью в 400 единиц
планируется 10%-ная выборка с механическим отбором единиц.
Определить:
1) объем выборки;
2) интервал отбора;
3) на сколько частей делится генеральная совокупность.
Задача № 35
Предельная ошибка доли признака при случайной повторной
выборке равна 8%.
Определить, как следует изменить объем выборки, если величина ошибки должна быть уменьшена до 5%.
Задача № 36
Из партии изготовленных изделий в 1800 шт. проверено посредством механической выборки 25% изделий, из которых бракованными оказались 18.
Определить:
1) долю бракованных изделий по данным выборки;
2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий в партии с вероятностью 0,954.
29
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. В.Г. Минашкин, А.Б. Гусынин, Н.А. Садовникова, Р.А. Шмойлова.
Теория статистики. Учебно–практическое пособие. Москва 2001, 211 с.
2. Годин А.М. Статистика: учеб.для вузов / Годин А.М. - М.: Дашков и К,
2009. - 460с.
3. Громыко Г.А. Общая теория статистики. Практикум. – М.: Инфра-М,
1999 г.
4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики:
Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1996.
5. Общая теория статистики: статистическая методология изучение
коммерческой деятельности: Учебник/под.ред. А.А. Спирина, О.Э. Башиной. –
М.: Финансы и статистика, 1994.
6. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики. – М.: Статистика, 1998. – 422 с.
7. Теория статистики. : учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой . - М. :
Финансы и статистика , 2004 . - 656с.
8. Толстик, Н.В. Статистика : Учеб.-метод. пособ. / Толстик, Н.В. ,
Матегорина, Н.М. . - Ростов н/Д : Феникс , 2000 . - 480с.
9. Экономика и статистика фирм. Учеб. для студентов эконом. спец. вузов /
Под ред. Ильянковой С.Д. – М.: Финансы и статистика, 1998 г.
30
Составители:
Галина Александровна Машенцева
Евгения Олеговна Мухина
СТАТИСТИКА. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
Методические указания к проведению практических занятий
Под редакцией авторов
Темплан 2014 г., поз. № 14К.
Подписано в печать 15.07.2014 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,42.
Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в КТИ
403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5
31