На правах рукописи Кораблев Филипп Глебович ПРИМАРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ УЗЛОВ В УТОЛЩЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И ВИРТУАЛЬНЫЕ УЗЛЫ 01.01.04 — геометрия и топология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Екатеринбург — 2012 Работа выполнена на кафедре компьютерной топологии и алгебры Челябинского государственного университета. Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физико–математических наук, профессор С. В. Матвеев Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физико–математических наук, А. Ю. Веснин кандидат физико–математических наук, М. А. Овчинников Ведущая организация: Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Защита состоится 31 января 2012 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН. Автореферат разослан декабря 2011 г. Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук И. Н. Белоусов ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ1 Актуальность темы Утолщенные поверхности, то есть прямые произведения замкнутых ориентируемых поверхностей на отрезок, являются самыми простыми многообразиями после трехмерной сферы S 3 . Изучение узлов в таких многообразиях является естественным шагом в дальнейшем развитии теории классических узлов в S 3 . Одним из распространенных способов исследования объектов комбинаторной топологии является разбиение их на максимально простые части, и исследование каждой из частей по отдельности. Хорошо известна теорема Кнезера-Милнора (см. [6]), которая утверждает, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие M может быть представлено в виде M = M1 # . . . #Mn #k(S 2 × S 1 ), где каждое из многообразий M1 , . . . , Mn неприводимо. Более того, такое представление единственно, то есть определяется исходным многообразием M . В силу этой теоремы в большинстве случаев рассматриваются только неприводимые многообразия. Аналогом теоремы Кнезера-Милнора для классических узлов в S 3 является теорема Х. Шуберта (см. [8]), которая состоит в том, что любой нетривиальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарных узлов, и слагаемые такого разложения определены однозначно, то есть зависят только от исходного узла. Одной из целей настоящей диссертации является доказательство аналога теоремы Х. Шуберта для узлов в утолщенных поверхностях. Отметим, что в общем случае обобщение теоремы Х. Шуберта на случай узлов в утолщенных поверхностях неверно. Один из контрпримеров приведен в работе С.В. Матвеева [10]. В ней же было доказано, что любой гомологически тривиальный узел в утолщенной поверхности (то есть узел, определяющий нулевой элемент первой группы гомологий с коэффициентами в Z2 ) раскладывается на примарные слагаемые единственным образом. Для такого разложения используется операция кольцевой связной суммы, которая является прямым обобщением операции связного суммирования классических узлов на случай узлов в утолщенных поверхностях. 1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (№11-01-00605). 3 Хорошо известна связь между узлами в утолщенных поверхностях и виртуальными узлами, введенными Л. Кауффманом в 1999 году в работе [3] (также см. [10]). Определим на множестве узлов в утолщенных поверхностях отношение эквивалентности следующим образом: два узла стабильно эквивалентны, если от одного к другому можно перейти с помощью последовательности преобразований дестабилизации (уменьшений рода поверхности без изменения узла) и обратных преобразований стабилизации. Тогда множество виртуальных узлов совпадает со множеством классов стабильно эквивалентных узлов в утолщенных поверхностях (см. [1, 3, 5, 9, 10]). В частности, каждый виртуальный узел реализуется бесконечным числом различных узлов в утолщенных поверхностях, при этом операция связного суммирования виртуальных узлов индуцируется операцией кольцевой связной суммы их представителей. Будем говорить, что узел в утолщенной поверхности, являющийся представителем виртуального узла, минимален, если он не допускает дестабилизаций. В 2003 году Г. Куперберг доказал (см. [5]), что для каждого виртуального узла существует единственный минимальный представитель. Одним из основных результатов диссертации является теорема, являющаяся обобщением теоремы Х. Шуберта для виртуальных узлов: Теорема 2.1. Любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарных и тривиальных виртуальных узлов, причем примарные слагаемые такого разложения определены однозначно. Важное отличие этой теоремы от теоремы Х. Шуберта состоит в том, что в разложении присутствуют тривиальные слагаемые. Причина этого заключается в том, что, как показал Т. Кишино в 2004 году в работе [4], существуют нетривиальные виртуальные узлы, являющиеся связной суммой тривиальных виртуальных узлов. В случае классических узлов это невозможно. На множестве всех узлов в утолщенных поверхностях вводятся четыре типа редукций. Редукция типа 1 узла K ⊂ F × I состоит в разрезании утолщенной поверхности F ×I по несжимаемому разбивающему собственному послойному кольцу, пересекающему узел K в двух точках, и приклеивании к копиям этого кольца двух ручек индекса 2, содержащих тривиальные дуги. Ре- 4 дукцией типа 2 является операция дестабилизации. В качестве кольца, задающего дестабилизацию, выбирается любое несжимаемое послойное кольцо, в том числе и разбивающее. Если в результате дестабилизации получается утолщенная поверхность, не содержащая никакого узла, то мы помещаем в нее тривиальный узел. Редукция типа 3 узла K ⊂ F ×I состоит в следующем: разрежем утолщенную поверхность F × I по паре собственных послойных колец, каждое из которых пересекается с узлом K в одной точке и которые разбивают все многообразие F × I на две части. Склеим копии колец на крае каждой из частей так, чтобы получились два узла в утолщенных поверхностях. Редукция типа 4 состоит в вырезании локального узла. Непосредственно проверяется, что редукции типов 1 и 4 являются обратными для операции кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях, а редукция типа 3 является суперпозицией стабилизации и редукции типа 1. Если в результате редукции типа 1,3 или 4 один из получившихся узлов совпадает с исходным, то такая редукция называется тривиальной. В диссертации используются методы теории корней, разработанной С. Матвеевым и С. Хог-Анжелони в 2007 году (см. [2]). В этой работе было получено простое доказательство теоремы Кнезера-Милнора (см. [6]), обобщение теоремы Х. Шуберта для заузленных графов в произвольных многообразиях и другие результаты. В частности, приемы, описанные в этой работе, оказываются полезными для доказательства еще одного основного результата диссертации, который состоит в следующем: Теорема 1.4. Пусть K ⊂ F × I — узел. Будем применять к паре (F × I, K) и получающимся из нее парам нетривиальные редукции типов 1 – 4 до тех пор, пока это возможно. Тогда этот процесс всегда конечен, причем получающийся в результате набор узлов в утолщенных поверхностях зависит только от исходной пары (F × I, K), с точностью до удаления пар вида (S 2 × I, O), где O ⊂ S 2 × I — тривиальный узел в S 2 × I. Цель работы. Целью настоящей диссертации является доказательство аналогов теоремы Х. Шуберта для узлов в утолщенных поверхностях и виртуальных узлов. Основные результаты 1. Доказано, что конечный результат применения 4-х видов 5 редукций к произвольному узлу в утолщенной поверхности существует и определен однозначно с точностью до удаления тривиальных узлов в S 2 ×I, то есть не зависит от последовательности редукций, а определяется только исходным узлом (теорема 1.4). 2. Доказано, что любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму нескольких примарных и нескольких тривиальных виртуальных узлов. Примарные слагаемые такого разложения определены однозначно (теорема 2.1). Основные методы исследования. В работе используются стандартные методы маломерной топологии, в том числе техника устранения пересечения поверхностей в трехмерных многообразиях. Используется модификация этой техники, при которой все получаемые поверхности должны допустимым образом пересекать фиксированную кривую (узел) в многообразии. Помимо этого используются методы теории корней [2]. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейших исследований узлов в трехмерных многообразиях. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов и семинаров для студентов и аспирантов математических специальностей. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: 1. Семинар под руководством академика РАН А. Т. Фоменко в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова ; 2. Семинар под руководством член.-корр. РАН С.В. Матвеева в Челябинском государственном университете; 3. Семинар под руководством член.-кор. РАН И.А. Тайманова в Институте математики Сибирского отделения Российской Академии наук; 6 4. Семинар под руководством под руководством член.-кор. РАН А.А. Махнева в Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук; 5. Международная школа-конференция по геометрическому анализу (Горно-Алтайск, 2010); 6. Всероссийская школа-конференция по геометрии и анализу (Кемерово, 2011). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]–[16]. К списку ВАК относятся работы [12]– [14]. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии. Она изложена на 71 странице, снабжена 45 рисунками, библиография содержит 21 наименование. Нумерация теорем, лемм и т. п. в каждой главе своя. Основные результаты диссертации — это теоремы 1.4. и 2.1. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение состоит из двух параграфов. В нем описываются направления исследований, наиболее близкие к теме диссертации, формулируются известные результаты. Глава 1 посвящена изучению редукций узлов в утолщенных поверхностях и состоит из четырех параграфов. Параграф 1.1 посвящен определениям основных объектов изучения — узлам в утолщенных поверхностях и четырем видам редукций всех таких узлов. Под узлом в утолщенной поверхности понимается пара (F × I, K), где K ⊂ F × I — простая замкнутая кривая в прямом произведении замкнутой ориентируемой поверхности F на отрезок I. Приводится два примера узлов в утолщенных поверхностях рода 2 и результаты примененных к ним редукций. Параграф 1.2 посвящен теории корней геометрических объектов (см. [2]). Пусть Γ — произвольный ориентированный граф с множеством вершин V(Γ) и множеством ребер E(Γ). Обозначим через E(2) (Γ) множество таких пар ребер графа Γ, что начальные вершины каждой пары совпадают. Будем говорить, что вершина V ∈ V(Γ) является корнем вершины U ∈ V(Γ), если существует ориентированный путь в графе 7 Γ из вершины U в вершину V , и из вершины V не исходит ни одного ребра. Следующие условия на граф Γ были предложены С.В. Матвеевым. Они достаточны как для существования, так и для единственности корня любой его вершины, и уточняют аналогичные условия, приведенные в [2]. (FC): (от слов Finiteness Condition) любой ориентированный путь по ребрам графа Γ имеет конечную длину; (MF): (от слов Mediator Function) существует такая функция µ : E(2) (Γ) → N ∪ {0}, −−→ −−→ что для любой пары ребер (U V1 , U V2 ) ∈ E(2) (Γ) выполнено следующее: −−→ −−→ (MF1): если µ(U V1 , U V2 ) = 0, то найдется вершина W ∈ V(Γ), в которую можно проложить ориентированные пути по ребрам графа Γ как из вершины V1 , так и из вершины V2 ; −−→ −−→ −−→ (MF2): если µ(U V1 , U V2 ) > 0, то найдется такое ребро U W с той же начальной вершиной, что для каждого i = 1, 2 −−→ −−→ −−→ −−→ µ(U Vi , U W ) < µ(U V1 , U V2 ). Теорема 1.1. Если граф Γ удовлетворяет условиям (FC) и (MF), то корень любой его вершины существует и единственен. Это теорема является аналогом леммы Ньюмана о диаманте (см. [7]), но лучше нее приспособлена для решения конкретных геометрических задач. Построим конкретный ориентированный граф Γ. В качестве множества вершин V(Γ) рассмотрим множество, состоящее либо из пар вида (F ×I, K), то есть узлов в утолщенных поверхностях, либо наборов таких пар, рассматриваемых с точностью до добавления или удаления тривиальных узлов в S 2 × I. Две вершины −−→ U, V ∈ V(Γ) соединены ориентированным ребром U V ∈ E(Γ), если набор узлов V получается из набора узлов U с помощью нетривиальной редукции типа 1, 2, 3 или 4. 8 Параграф 1.3 посвящен доказательству теоремы о том, что построенный граф Γ обладает свойством (FC). Ключевой момент состоит в построении функции сложности. Пусть Ω — вполне упорядоченное множество, состоящее из троек вида (g, s, w), где g, s — неотрицательные числа, а w — упорядоченная конечная последовательность неотрицательных чисел, причем множество таких последовательностей упорядочено лексикографически. На множестве всех троек также вводится лексикографический порядок. Пусть K — множество всевозможных пар вида (F × I, K), где K ⊂ F × I — узел. Функция ϕ : K → Ω называется функцией сложности, если для любой пары (F 0 × I, K 0 ) ∈ K, получающейся из пары (F × I, K) ∈ K в результате нетривиальной редукции типа 1, 2, 3 или 4, справедливо соотношение ϕ(F × I, K) > ϕ(F 0 × I, K 0 ). Пусть (F × I, K) — узел. Числом Шуберта называется максимальное число s(F × I, K) таких попарно непересекающихся трехмерных шаров B1 , B2 , . . . в F ×I, что для каждого i = 1, 2, . . . пересечение K ∩ Bi является заузленной дугой в Bi . Пусть (F × I, K) — узел, g(F ) — род поверхности F , и пусть c1 , . . . , c2g(F ) — такой упорядоченный набор простых замкнутых кривых на F , что каждая следующая кривая трансверсально пересекает предыдущую ровно в одной точке. Упорядоченный набор трансверсальных узлу K вертикальных колец C = {Ci ⊂ F × I, 1 6 i 6 2g(F )} называется контрольным, если для каждого i = 1, . . . , 2g(F ) кольцо Ci изотопно кольцу ci × I. Пусть (F × I, K) — узел, C = {C1 . . . , C2g(F ) } — контрольный набор колец. Весом узла (F × I, K) называется величина w(F × I, K) = min(#(C1 ∩ K), . . . , #(C2g(F ) ∩ K)), где миниC мум берется по всем возможным контрольным наборам колец, а на множестве всех упорядоченных последовательностей вида (#(C1 ∩ K), . . . , (C2g(F ) ∩ K)), где #(Ci ∩ K) – число точек пересечения кольца Ci и кривой K, вводится лексикографический порядок. Функция ϕ : K → Ω задается следующим образом: ϕ(F × I, K) = (g(F ), s(F × I, K), w(K)), где g(F ) — род поверхности F , s(F × I, K) — число Шуберта пары (F × I, K), w(K) — вес узла K в утолщенной поверхности 9 F × I. Значением ϕ(F × I, K) является тройка элементов, где первые два элемента — это неотрицательные числа, а третий — упорядоченная последовательность чисел длины 2g(F ). В леммах 1.3 и 1.4 доказывается, что построенная функция ϕ действительно является функцией сложности. Основным результатом параграфа 1.3 является следующая теорема: Теорема 1.2. Граф Γ обладает свойством (FC). Параграф 1.4 посвящен доказательству того, что построенный граф Γ обладает свойством (MF). Функция µ : E2 (Γ) → N ∪ {0} определяется следующим образом: пусть для каждого −−→ i = 1, 2 ребро U Vi ∈ E(Γ) отвечает нетривиальной редукции пары (Fi ×I, Ki ) ∈ U вдоль поверхности Xi ⊂ Fi ×I. Тогда значение −−→ −−→ µ(U V1 , U V2 ) равно минимальному числу #(X1 ∩ X2 ) компонент связности пересечения X1 ∩ X2 среди всевозможных пар поверх−−→ −−→ ностей X1 , X2 , задающих ребра U V1 , U V2 соответственно. Для доказательства свойства (MF2) используется некоторая модификация стандартной техники устранения пересечений поверхностей в многообразиях. Отличие от стандартной техники состоит в том, что при устранении пересечений каждая из поверхностей должна допустимым образом пересекаться с рассматриваемым узлом. Основным результатом первой главы является следующая теорема: Теорема 1.4. Пусть K ⊂ F × I — узел. Будем применять к паре (F × I, K) и получающимся из нее парам нетривиальные редукции типов 1 – 4 до тех пор, пока это возможно. Тогда этот процесс всегда конечен, причем получающийся в результате набор узлов в утолщенных поверхностях зависит только от исходной пары (F × I, K), с точностью до удаления пар вида (S 2 × I, O), где O ⊂ S 2 × I — тривиальный узел в S 2 × I. Глава 2 состоит из двух параграфов и посвящена приложению доказанной теоремы 1.4 к теории виртуальных узлов. Основным результатом этой главы является следующая теорема: Теорема 2.1. Любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарных и тривиальных виртуальных узлов, причем примарные слагаемые такого разложения определены однозначно. 10 В параграфе 2.1 приводятся основные понятия теории виртуальных узлов. Помимо классического определения виртуального узла через виртуальные диаграммы и обобщенные движения Радемайстера (см. [3, 9]), мы приводим более удобное в нашем случае эквивалентное определение виртуального узла как класса эквивалентности узлов в утолщенных поверхностях (см. [3, 5, 9]). Отношение эквивалентности порождается гомеоморфизмами узлов и операцией стабилизации, которая состоит в следующем: для узла в утолщенной поверхности (F × I, K) выберем два таких непересекающихся диска D1 , D2 ⊂ F , что (Di × I) ∩ K = ∅, i = 1, 2. Вырежем из многообразия F × I цилиндры D1 × I, D2 × I и склеим кольца ∂Di × I, i = 1, 2, на крае замыкания многообразия (F \ (D1 ∪ D2 )) × I по такому гомеоморфизму ∂D1 × I → ∂D2 × I, что в результате получается утолщенная поверхность, содержащая узел. В параграфе 2.2 операция кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях (F1 ×I, K1 ) и (F2 ×I, K2 ) определяется следующим образом: для каждого i выберем диск Di ⊂ Fi и изотопно продеформируем узел Ki так, чтобы пересечение li = Ki ∩(Di ×I) было тривиальной дугой в топологическом шаре Di × I. Тогда узел K ⊂ (F1 #F2 ) × I, который получается склеиванием многообразий (Fi \ IntDi ) × I, i = 1, 2, по такому гомеоморфизму ϕ : ∂D1 × I → ∂D2 × I, что ϕ(∂l1 ) = ∂l2 , называется кольцевой связной суммой узлов K1 ⊂ F1 × I и K2 ⊂ F2 × I (также см. [9, 11]). Операция кольцевой связной суммы узлов в утолщенных поверхностях индуцирует операцию связного суммирования виртуальных узлов, которую удобно понимать следующим образом: для каждого виртуального узла v1 , v2 выберем его реализацию узлом в утолщенной поверхности Ki ⊂ Fi × I, i = 1, 2 соответственно. Кольцевая связная сумма K1 #K2 задает виртуальный узел v, который называется связной суммой узлов v1 , v2 и обозначается v = v1 #v2 . Операция связного суммирования виртуальных узлов многозначна, так как зависит от конкретных реализаций виртуальных узлов v1 , v2 и дисков, задающих кольцевую связную сумму. Будем говорить, что разложение v = v1 #v2 одного виртуального узла v в связную сумму узлов v1 , v2 тривиально, если один из этих узлов совпадает с v, а второй тривиален. Нетривиальный виртуальный узел называется примарным, если его нельзя пред- 11 ставить в виде нетривиальной связной суммы двух виртуальных узлов. Реализация виртуального узла называется минимальной, если она не допускает дестабилизаций (редукций типа 2). Лемма 2.1. Если v = v1 #v2 , то минимальная реализация узла v допускает редукцию типа 1, 3 или 4, в результате которой получаются реализации узлов v1 и v2 . В частности, из этой леммы следует, что виртуальный узел v примарен тогда и только тогда, когда его минимальная реализация узлом в утолщенной поверхности примарна. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С. В. Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе. 12 Список литературы [1] Scott Carter, J. C., Seiichi, K., Saito, M. Stable equivalence of knots on surfaces and virtual knot cobordisms // J.Knot Theory Ramifications. 2002. V. 11. P. 311 – 322. [2] Hog-Angelony, C., Matveev, S. Roots in 3-manifold topology // Geometry and Topology Monographs. 2008. V. 14. P. 295 – 319. [3] Kauffman, L. H. Virtual knot theory // European Journal of Combinatorics. 1999. V. 20. № 7. P. 662 – 690. [4] Kishino, T., Satoh, S. A note on non-classical virtual knots // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 2004. V. 13. № 7. P. 845 – 856. [5] Kuperberg, G. What is a virtual link? // Algebraic and Geometric Topology. 2003. V. 3. P. 587 – 591. [6] Milnor, J. A unique decomposition theorem for 3-manifolds // Amer. J. Math. 1962. V. 84. P. 1 – 7. [7] Newman, M. H. A. On theories with a combinatorial definition of “equivalence” // Ann. of Math. 1942. V. 43. P. 223 – 243. [8] Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten // Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949. V. 3. P. 57 – 104. [9] Кауффман, Л., Мантуров, В.О. Виртуальные узлы и зацепления // Труды МИРАН им. В.А Стеклова. 2006. Т. 252. № 1. С. 114 – 134. [10] Мантуров, В.О. Теория узлов // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2005. 512 с. [11] Матвеев, С.В. Разложение гомологически тривиальных узлов в F × I // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 433. № 1. С. 13 – 15. 13 Работы автора по теме диссертации [12] Кораблев, Ф.Г., Матвеев, С.В. Редукции узлов в утолщенных поверхностях и виртуальные узлы // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. № 6. С. 748 – 750. [13] Кораблев, Ф.Г. Единственность корней узлов в F × I и примарные разложения виртуальных узлов // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 4. С. 160 – 175. [14] Кораблев, Ф.Г. Примарные разложения виртуальных узлов // Вестник Кемеровского государственного университета. 2011. Т. 2. № 3. С. 59 – 63. [15] Кораблев, Ф.Г. Разложение узлов в прямом произведении поверхности на отрезок // Тезисы школыконференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск. 2010. С. 50 – 51. [16] Кораблев, Ф.Г. Примарные разложения виртуальных узлов // Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу, Кемерово, 19-26 июня 2011. [http://www.math.kemsu.ru/kma/file/tesis/index.htm] — Кемерово: КемГУ, 2011, номер гос. Рег. 0321102235. 14 Кораблев Филипп Глебович ПРИМАРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ УЗЛОВ В УТОЛЩЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ И ВИРТУАЛЬНЫЕ УЗЛЫ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук Подписано в печать 7.12.2011 Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,85. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 138. Бесплатно. ФГБОУ ВПО Челябинский государственный университет. 454001 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129. Издательство ЧелГУ. 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 57б