ПОРЯДОК ПРИМАРНЫХ СЛАГАЕМЫХ ДЛЯ ВИРТУАЛЬНЫХ

Ф. Г. КОРАБЛЁВ
ПОРЯДОК ПРИМАРНЫХ СЛАГАЕМЫХ
ДЛЯ ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ
Вводится специальный класс жёстких виртуальных узлов. Доказывается, что
для всех таких узлов корректным образом определён порядок на множестве примарных слагаемых. Приводится пример, показывающий, что требование жёсткости является существенным.
Kлючевые слова: виртуальный узел, жёсткий узел, связная сумма, редукция.
1. Редукции узлов в утолщенных поверхностях
Узлом в утолщенной поверхности называется простая замкнутая кривая
в прямом произведении F × I, где F — замкнутая поверхность, I — отрезок.
Два узла в утолщенной поверхности F × I будем считать эквивалентными, если
существует гомеоморфизм ϕ : F × I → F × I, переводящий один узел в другой.
Введём на множестве узлов в утолщенных поверхностях две операции редукции (также см. [1; 2]):
Редукция типа 1. Пусть K ⊂ F × I — узел в утолщенной поверхности,
A ⊂ F × I — собственное послойное кольцо, разбивающее многообразие F × I
на две части и пересекающее узел K в двух точках. Тогда редукция типа 1
вдоль кольца A состоит в разрезании многообразия F × I и узла K по кольцу
A и заклеивании получившихся копий этого кольца двумя ручками индекса 2 с
тривиальными дугами в них. В результате получаются два узла в утолщенных
поверхностях (рис. 1, слева).
Рис. 1. Редукция типа 1 (слева) и типа 2 (справа)
Редукция типа 2. Пусть K ⊂ F × I — узел в утолщенной поверхности,
A1 , A2 ⊂ F × I — пара непересекающихся послойных колец, каждое из которых
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ No. 12-01-31276, гранта НШ-1414.2012.1
по государственной поддержке ведущих научных школ и программы ОМН РАН (проект 12-Т1-1003/2).
120
Ф. Г. Кораблёв
пересекается с узлом K в одной точке, и объединение A1 ∪ A2 разбивает многообразие F × I на две части. Тогда редукция типа 2 вдоль колец A1 , A2 состоит в
разрезании многообразия F ×I и узла K по паре колец A1 , A2 и склеивании копий
этих колец на крае каждой части так, чтобы получились два узла в утолщенных
поверхностях (рис. 1, справа).
Будем говорить, что редукция типа 1 или 2 узла K ⊂ F × I тривиальна,
если один из получающихся в результате нее узлов совпадает с исходным узлом
K ⊂ F × I.
2. Примарные разложения виртуальных узлов
Теория виртуальных узлов была предложена Кауффманом в работе [3]. Операция дестабилизации узла K ⊂ F × I состоит в разрезании многообразия F × I
по послойному неразбивающему кольцу, не пересекающему узла K, и приклеивании к копиям этого кольца на крае получившегося многообразия двух ручек
индекса 2. Обратное преобразование стабилизация узла K ⊂ F ×I состоит в увеличении рода поверхности F без изменения кривой K. Тогда виртуальным узлом
называется класс эквивалентности узлов в утолщенных поверхностях, рассматриваемых с точностью до применения операций стабилизации и дестабилизации.
Более подробно об узлах в утолщенных поверхностях и их связях с виртуальными
узлами см. [1; 2; 4].
Каждый виртуальный узел можно реализовать бесконечным числом различных узлов в утолщенных поверхностях, сводимых один к другому с помощью
последовательности дестабилизаций и стабилизаций. Реализацию виртуального
узла v узлом K ⊂ F × I будем называть минимальной, если узел K ⊂ F × I не
допускает дестабилизаций. В работе [5] доказано, что минимальная реализация
каждого виртуального узла единственна.
Определение 1. Будем говорить, что виртуальный узел v является связной
суммой виртуальных узлов v1 и v2 (обозначается v = v1 #v2 ), если какая-нибудь
реализация узла v узлом в утолщенной поверхности допускает редукцию типа
1, в результате которой получаются реализации узлов v1 и v2 .
Нетривиальный виртуальный узел v называется примарным, если его
нельзя представить в виде связной суммы v = v1 #v2 , где оба узла v1 , v2 отличны от исходного узла v.
Из [2, предложение 4] следует, что если v = v1 #v2 , то минимальная реализация виртуального узла v узлом в утолщенной поверхности допускает нетривиальную редукцию типа 1 или 2, в результате которой получаются реализации
(не обязательно минимальные) виртуальных узлов v1 и v2 . В отличие от связного
суммирования классических узлов в сфере S 3 , операция связного суммирования
двух виртуальных узлов многозначна. Это означает, что существует бесконечное
число неэквивалентных виртуальных узлов, которые раскладываются в связную
сумму одного и того же набора примарных виртуальных узлов. Более того, в
общем случае операция связного суммирования не ассоциативна.
Порядок примарных слагаемых для виртуальных узлов
121
3. Жёсткие виртуальные узлы
Определение 2. Виртуальный узел v называется жёстким, если выполняется
одно из следующих условий:
1. Узел v является примарным или тривиальным.
2. Узел v единственным образом представляется в виде связной суммы
v1 #v2 , где v1 , v2 6= v, причем каждый из узлов v1 , v2 является жёстким.
Это определение корректно в силу основного результата работы [2]: любой виртуальный узел можно разложить в связную сумму конечного числа примарных и тривиальных виртуальных узлов, причем примарные слагаемые такого разложения определены однозначно. Отметим, что минимальная реализация
жёсткого виртуального узла узлом в утолщенной поверхности допускает ровно
одну нетривиальную редукцию типа 1 или 2. Причём в результате это редукции получаются два узла в утолщенных поверхностях, которые также задают
жёсткие виртуальные узлы. Отметим также, что любой виртуальный узел, представляющийся в виде связной суммой двух примарных или тривиальных виртуальных узлов, является жёстким. На рис. 2 (сверху) приведен пример узла
в утолщенной поверхности рода 3, задающего жёсткий виртуальный узел. Этот
узел представляется в виде связной суммы трёх примарных виртуальных узлов.
Также на рис. 2 (снизу) приведён пример узла в утолщенной поверхности рода 3, который задаёт нежёсткий виртуальный узел (кривые s1 , s2 ⊂ F задают
различные нетривиальные редукции типа 1).
Рис. 2. Жёсткий (сверху) и нежёсткий (снизу) виртуальные узлы
4. Порядок на множестве примарных слагаемых
для виртуальных узлов
Определение 3. Пусть v1 , v2 , . . . , vn — набор виртуальных узлов. Формулой
суммирования узлов v1 , v2 , . . . , vn называется:
1. Выражение vi , состоящее из одного узла vi , i = 1, . . . , n.
122
Ф. Г. Кораблёв
2. Выражение вида (A)#(B), где A и B — формулы суммирования.
Удобно в формуле суммирования не писать пару скобок (, ) в случае, если
между ними стоит только один узел vi , i = 1, . . . , n. Примером формулы суммирования пяти виртуальных узлов v1 , v2 , v3 , v4 , v5 является выражение
((v1 #v3 )#(v2 #v4 ))#v5 .
Будем говорить, что формула суммирования A виртуальных узлов
v1 , v2 , . . . , vn задаёт виртуальный узел v, если узел v получается в результате
последовательности операций связного суммирования узлов v1 , v2 , . . . , vn в соответствии с порядком, заданным формулой суммирования A.
Теорема 1. Пусть v — жёсткий виртуальный узел, раскладывающийся в связную сумму примарных и тривиальных виртуальных узлов v1 , v2 , . . . , vn . Тогда
формула суммирования A узлов v1 , v2 , . . . , vn , задающая узел v, определена однозначно с точностью до перестановки пар слагаемых для каждой операции
связного суммирования в A.
Доказательство. Если виртуальный узел v является примарным или тривиальным, то n = 1 и формула суммирования A состоит из одного виртуального узла,
совпадающего с v.
Пусть узел v не является примарным или тривиальным виртуальным узлом.
Так как узел v жёсткий, то существует единственная формула суммирования A′ ,
задающая узел v и состоящая из двух виртуальных узлов. Пусть A′ = v ′ #v ′′ .
Заметим, что так как каждый из узлов v ′ и v ′′ является жёстким, то он также задаётся единственной формулой суммирования, состоящей из двух жёстких
виртуальных узлов, и так далее.
Справедливость теоремы следует из коммутативности операции связного
суммирования виртуальных узлов и того, что любой виртуальный узел раскладывается в связную сумму конечного числа примарных и тривиальных виртуальных узлов единственным образом.
Теорема 1 является аналогом теоремы о порядке примарных тета-кривых в
3-многообразиях (подробнее см. [6]). Следующий пример показывает, что требование жёсткости виртуального узла v в формулировке теоремы 1 является существенным.
Пример. Пусть узел K ⊂ F × I, проекция которого на поверхность F изображена на рис. 3, задаёт виртуальный узел v. Поверхность F является поверхностью рода 2 и получается из сферы с четырьмя дырками отождествлением
края D1+ с краем D1− и края D2+ с краем D2− . Участки k1 , k2 , k3 являются танглами с четырьмя концами. Рассмотрим поверхности S1 , S2 ⊂ F × I, задающие
редукции типов 1 и 2 соответственно. Поверхность S1 является послойным разбивающим кольцом, соответствующим кривой s ⊂ F , а поверхность S2 является
парой послойных неразбивающих колец, соответствующих кривым s1 , s2 ⊂ F .
Так как поверхности S1 и S2 не пересекаются, то виртуальный узел v не является
жёстким.
Порядок примарных слагаемых для виртуальных узлов
123
Рис. 3. Пример нежёсткого виртуального узла, который задаётся двумя различными
формулами суммирования
Пусть K1 ⊂ T 2 × I, K2 ⊂ T 2 × I и K3 ⊂ T 2 × I — узлы в утолщенных
торах, которые получаются в результате последовательного применения к узлу
K ⊂ F × I редукций типа 1 и 2 вдоль поверхностей S1 и S2 соответственно. В
силу основного результата работы [2] получающийся набор узлов не зависит от
порядка применения этих редукций. При этом будем считать, что для каждого
i = 1, 2, 3 узел Ki содержит тангл ki и задаёт виртуальный узел vi . Тогда виртуальные узлы v1 , v2 , v3 являются примарными слагаемыми разложения узла v в
связную сумму.
Заметим, что в результате выполнения редукции узла K вдоль поверхности S1 получаются два узла в утолщенных торах, первый из которых содержит
танглы k1 и k3 , а второй — тангл k2 (этот узел совпадает с K2 ⊂ T 2 × I). В
результате дальнейшего применения к первому узлу редукции типа 2 вдоль поверхности S2 получаются два узла K1 ⊂ T 2 × I и K3 ⊂ T 2 × I. Следовательно,
виртуальный узел v задаётся формулой суммирования (v1 #v3 )#v2 .
С помощью аналогичных рассуждений (выполнив редукцию узла K сначала
вдоль поверхности S2 , а потом вдоль поверхности S1 ) получим, что виртуальный
узел v задаётся формулой суммирования (v1 #v2 )#v3 .
Список литературы
1. Кораблев, Ф. Г. Редукции узлов в утолщенных поверхностях и виртуальные
узлы / Ф. Г. Кораблев, С. В. Матвеев // Докл. Акад. наук. — 2011. — Т. 437,
№ 6. — С. 748–750.
2. Кораблев, Ф. Г. Единственность корней узлов в F × I и примарные разложения
виртуальных узлов / Ф. Г. Кораблев // Тр. Ин-та математики и механики УрО
РАН. — 2011. — Т. 17, № 4. — С. 160–175.
3. Kauffman, L. H. Virtual knot theory / L. H. Kauffman // Europ. J. of
Combinatorics. — 1999. — Vol. 20, № 7. — P. 662–690.
124
Ф. Г. Кораблёв
4. Матвеев, С. В. Разложение гомологически тривиальных узлов в F × I /
С. В. Матвеев // Докл. Акад. наук. — 2010. — Т. 433, № 1. — С. 13–15.
5. Kuperberg, G. What is a virtual link? / G. Kuperberg // Algebraic and Geometric
Topology. — 2003. — Vol. 3. — P. 587–591.
6. Matveev, S. A semigroup of theta-curves in 3-manifolds / S. Matveev, V. Turaev //
Moscow Math. J. — 2011. — Vol. 11, № 4. — P. 805–814.