Краткий конспект лекции по курсу Высшая алгебра , прочитанной

Краткий конспект лекции по курсу «Высшая алгебра», прочитанной на
физическом факультете СПбГУ для студентов базового потока 10 октября
2013 года
Повторение. Мы изучаем прямую на плоскости и на прошлой лекции закончили пункт
общее уравнение прямой. Подробнее, мы определили уравнение прямой следующим образом.
Опр. Пусть на плоскости выбрана и фиксирована прямоугольная декартова система координат; даны A, B, C ∈ R, удовлетворяющие условию A2 + B 2 6= 0. Говорят, что прямая l на
плоскости задана уравнением Ax+By +C = 0 (или уравнение Ax+By +C = 0 задает прямую
l), если справедливо утверждение
M (x, y) ∈ l ⇐⇒ Ax + By + C = 0.
Мы доказали следующие утверждения.
Теорема 1.1. Всякая прямая на плоскости может быть задана уравнением Ax + By + C = 0,
где A2 + B 2 6= 0.
Теорема 1.2. Всякое уравнение Ax + By + C = 0, A2 + B 2 6= 0, задает некоторую прямую на
плоскости.
Замечание.
Если прямая l задана уравнением Ax + By + C = 0, A2 + B 2 6= 0, то вектор
µ ¶
A
~ =
перпендикулярен прямой l.
N
B
Обозначение. Если прямая l задана уравнением Ax+By+C = 0, то уравнение Ax+By+C =
0 называется общим уравнением прямой l.
Также мы обсуждали на прошлой лекции, что эквивалентные уравнения задают одну и
ту же фигуру на плоскости и, что уравнение, задающее данную прямую, не единственно.
Перейдем теперь к новому материалу.
2. Уравнение прямой в отрезках на осях. Уравнение пучка прямых, проходящих
через данную точку. Прежде всего разберем некоторые частные случаи положения прямой
l на плоскости и опишем какие особенности имеет соответствующее общее уравнение Ax +
By + C = 0 прямой l.
• C = 0 ⇐⇒ прямая l проходит через начало координат;
• A = 0, C 6= 0 ⇐⇒ прямая l параллельна оси (OX);
• A = C = 0 ⇐⇒ прямая l совпадает с осью (OX);
• B = 0, C 6= 0 ⇐⇒ прямая l параллельна оси (OY );
• B = C = 0 ⇐⇒ прямая l совпадает с осью (OY ).
Доказательства приведенных выше пяти свойств является простым упражнением. Далее,
предположим, что прямая l не проходит через начало координат и не параллельна ни одной
из координатных осей. В этом случае справедлива
Теорема 1.3. Прямая l может быть задана уравнением вида
x
a
+ yb = 1. При этом M1 (a, 0) —
точка пересечения прямой и оси (OX), M2 (0, b) — точка пересечения прямой с осью (OY ).
2
Доказательство. Согласно теореме 1.1, прямая l может быть задана общим уравнением Ax+
By + C = 0. При этом ни один из коэффициентов A, B или C не может быть равен нулю
(поскольку прямая l не проходит через начало координат и не параллельна осям координат).
Следовательно, уравнение Ax + By + C = 0 может быт переписано в виде
y
A
B
x
x+
y = 1 ⇐⇒ ¡ C ¢ + ¡ C ¢ = 1.
−C
−C
−A
−B
¡
¢
¡ C¢
Последнее уравнение имеет требуемый вид, при a = − C
A , b = −B .
Ax + By = −C ⇐⇒
Координаты точки M1 (x1 , y1 ) пересечения прямой l и оси (OX) удовлетворяют уравнениям
x1
a
+
y1
b
= 1 и y1 = 0, откуда находим x1 = a. Аналогично, точка M2 пересечения прямой l с
осью (OY ) имеет координаты x2 = 0, y2 = b.
Обозначение. Уравнение вида
x
a
¤
+ yb = 1 называется уравнением прямой в отрезках на осях.
Пучком прямых называется множество всех прямых, проходящих через данную точку
M0 (x0 , y0 ). Уравнения всех таких прямых фактически были построены нами при доказательстве теоремы 1.1. Именно, справедливо следующее утверждение.
Предложение 1.4. Всякая прямая, проходящая через фиксированную точку M0 (x0 , y0 ) может быть задана уравнением вида A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 при подходящих A, B ∈ R,
удовлетворяющих условию A2 + B 2 6= 0.
Доказательство. См. доказательство теоремы 1.1.
¤
3. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
Опр. Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 называется нормальным, если выполнены
условия A2 + B 2 = 1, C 6 0.
Обозначения. Если уравнение прямой Ax + By + C = 0 нормально, то принято обозначать
−C =: % и записывать уравнение в виде Ax + By = %.
Следующее утверждение показывает какую информацию о прямой содержит нормальное
уравнение.
Теорема 1.5. Пусть прямая l задана нормальным уравнением Ax + By = %. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Величина % равна расстоянию от начала координат до прямой l.
2) Верны
A = cos α, B = sin α, где α — угол между нормалью к прямой
µ равенства
¶
A
~ =
N
и положительным направлением оси (OX).
B
µ ¶
~ = A «смотрит» из начала координат в сторону пря3) Вектор нормали к прямой N
B
мой. Более точно, если точка P — основание перпендикуляря, опущенного из начала
−−→
~.
координат на прямую l, то вектор OP сонаправлен вектору N
4) Расстояния от произвольной точки M1 (x1 , y1 ) до прямой l может быть вычислено по
формуле dist(M1 , l) = |Ax1 + By1 − %|.
Доказательство. Отметим,
µ ¶ прежде всего, что в силу определения нормального уравнения,
~ = A имеет единичную длину. Следовательно, равенства A = cos α,
вектор нормали N
B
B = sin α вытекают из определения функций cos и sin.
3
Далее, пусть P (x0 , y0 ) — основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на
−−→
~ и координаты точки P удовлетворяют
прямую l. Тогда вектор OP коллинеарен вектору N
−−→
~ , Ax0 + By0 = %. Иными
уравнению прямой. Следовательно, справедливы равенства OP = λN
словами x0 = λA, y0 = λB и Ax0 + By0 = %. Подставляя первые два равенства в третье, находим A2 λ + B 2 λ = %. Учитывая равенство A2 + B 2 = 1, получаем λ = %. Отсюда вытекает, что
−−→ ~
векторы OP и N
сонаправлены, и длина перпендикуляра, опущенного из начала координат
¯−−→¯
¯
¯
~ | = %. Таким образом пункты 2 и 3 теоремы 1.5 доказаны.
на прямую l, есть ¯OP ¯ = %|N
Наконец, для любой точки M1 (x1 , y1 ) расстояние от точки M1 до прямой l есть модуль
¯
−−−→
−−→¯¯
~ . Иными словами, dist(M1 , l) = ¯¯Пр ~ −
проекции вектора P M1 на вектор нормали N
P
N M1 ¯ =
−−−→ ~
|(P M1 , N )| = |A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 )| = |Ax1 + By1 − (Ax0 + By0 )| = |Ax1 + By1 − %|.
¤
Теорема 1.5. Всякая прямая может быть задана нормальным уравнением.
Доказательство. Согласно теореме 1.1, всякая прямая может быть задана общим уравнением
Ax + By + C = 0.
Поделим это уравнение на величину
√
√
A2 + B 2 . Получим эквивалентное уравнение
B
C
A
x+ √
y+ √
= 0.
2
2
2
2
+B
A +B
A + B2
A2
(∗)
Далее, если справедливо неравенство C 6 0, то уравнение (∗) является нормальным (проверьте это). Если же коэффициент C положителен, домножим уравнение (∗) на (−1) и получим
−√
A
B
C
x− √
y− √
= 0.
2
2
2
2
+B
A +B
A + B2
A2
Уравнение (∗∗) является нормальным при C > 0 (проверьте это).
(∗∗)
¤
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Опр. Уравнение прямой вида y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Всякая «невертикальная» прямая может быть задана уравнением с угловым коэффициентом. Более точно, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.7. Если прямая l не параллельна оси (OY ) и не совпадает с осью (OY ), то она
может быть задана уравнением с угловым коэффициентом. При этом справедливо равенство
k = tgϕ, где ϕ — угол между прямой l и положительным направлением оси (OX).
Доказательство. По теореме 1.1 прямая l может быть задана общим уравнением Ax + By +
C = 0. Поскольку прямая l не параллельна оси (OY ) и не совпадает с осью (OY ), коэффициент B не равен нулю. Следовательно, общее уравнение прямой может быть переписано в
A
виде y = − B
·x−
C
B.
Последнее уравнение и есть уравнение с угловым коэффициентом, где
A
C
k = −B
, b = −B
.
В случае параллельности прямой l и оси (OX) (или совпадения прямой l и оси (OX))
очевидно равенство k = 0 = tgϕ. Предположим, теперь, что прямая l пересекает ось (OX)
в точке M0 (x0 , y0 ), где y0 = 0. Далее, выберем на прямой l точку M1 (x1 , y1 ) такую, что
y1 > 0, и точку M2 (x2 , y2 ) на оси (OX) такую, что x2 > x0 , y2 = 0. Угол ϕ между прямой l
4
и положительным направлением оси (OX) равен углу M\
1 M0 M2 . Следовательно, выполнены
соотношения
−−−−→ −−−−→
(M0 M1 , M0 M2 )
(x1 − x0 )(x2 − x0 ) + (y1 − y0 )(y2 − y0 )
p
cos ϕ = −−−−→ −−−−→ = p
=
(x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 (x2 − x0 )2 + (y2 − y0 )2
|M0 M1 | · |M0 M2 |
(x1 − x0 )
(x1 − x0 )(x2 − x0 )
=p
=p
.
2
2
(x1 − x0 ) + y1 (x2 − x0 )
(x1 − x0 )2 + y12
(∗ ∗ ∗)
Воспользуемся теперь равенствами y1 = kx1 + b, 0 = kx0 + b, откуда следует y1 = k(x1 − x0 ).
Подставляя последнее равенство в (∗ ∗ ∗), получим
1
(x1 − x0 )
, а значит cos2 ϕ =
.
1 + k2
1 + k 2 |x1 − x0 |
Остается вычислить тангенс угла ϕ:
p
sin ϕ
|k| · |x1 − x0 |
1 − cos2 ϕ
tgϕ =
=
=
= k.
cos ϕ
cos ϕ
x1 − x0
cos ϕ = √
В последнем равенстве мы учли, что y1 > 0, а потому y1 = k(x1 − x0 ) = |k| · |x1 − x0 |.
¤
5. Взаиморасположение двух прямых. Предположим, что две прямые l1 и l2 на плоскости
заданы уравнениями A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0. Наша задача определить
взаиморасположение прямых l1 и l2 . Именно, необходимо ответит на следующие вопросы.
• Не параллельны ли данные прямые? Если да, то каково расстояние между ними.
• Не совпадают ли данные прямые?
• Если прямые не параллельны и не совпадают, то каков угол между прямыми и какова
их точка пересечения?
Сразу отметим, что прямыеµпараллельны
либо
¶
µ ¶совпадают тогда и только тогда, когда их
A
1
~1 =
~ 2 = A2 коллинеарны. Последнее равносильно сонормальные векторы N
и N
B1
B2
~ 1 = λN
~ 2 или иными словами A1 = λA2 , B1 = λB2 . Осталось заметить, что
отношению N
при дополнительном условии C1 = λC2 уравнения эквивалентны и прямые совпадают. При
условии C1 6= λC2 уравнения неэквивалентны и прямые параллельны.
Остальные вопросы, связанные с взаиморасположением двух прямых на плоскости, обсудим на следующей лекции.