Какой момент М нужно приложить к стержню ОА, чтобы из

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский Томский политехнический университет»
А.П. СОКОЛОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Томск
Издательство ТПУ
2011
УДК 531.8(075.8)
С594
Соколов, А.П. Теоретическая механика в олимпиадных задачах: учеб.
Пособие / А.П. Соколов – Томск : Изд-во Том. политех. ун-та, 2011. – 56 с.
Настоящее пособие предназначено студентам, углублённо изучающим
теоретическую механику. Оно является тренировочным материалом для
подготовки к олимпиадам по теоретической механике различного уровня.
Задачи разбиты по разделам и расположены в порядке усложнения их
решения.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Томского
политехнического университета.
Рецензенты:
к.ф.-м.н., доцент М.А. Шеремет, ТГУ
к.т.н., доцент О.Н. Попов, ТГАСУ
к.т.н., доцент В.А. Дубовик, ТПУ
ISBN
© Томский политехнический университет 2011,
©А.П. Соколов 2011
СТАТИКА
Куб с ребром a шарнирно соединён с основанием в точке О . На него
действуют силы, равные по модулю F , как показано на рисунке. Какую F
A
силу нужно приложить в точке D , чтобы уравновесить куб?
F
а
F
C
B
D
F
О
G
Е
Груз весом
Q
подвешен на тросе, огибающем блок и
прикрепленном к стержню
AB .
Определить реакцию шарнира
qo 
3Q
a
A , если M  4 Qa ,
.
Два однородных стержня: длиной , весом и длиной ,
весом , соединены шарниром . Стержень укреплён
шарнирно, а стержень опирается на остриё .
Определить, при каком угле система находится в
равновесии в вертикальной плоскости, если расстояние
(отрезок - горизонтальный).
Однородный угольник весом G = 1000 Н закреплён
шарнирно в точке A и поддерживается тросом,
перекинутым через идеальные невесомые блоки. На
угольник действует пара сил с моментом M = 400 Н.м.
Размер b = 0,5 м. Размеры блоков пренебрежимо малы.
Определить реакцию опоры A.
H
Ящик М весом Р удерживается клещевым захватом с помощью сил
трения. Определить наименьший коэффициент трения скольжения при
указанном на рисунке положении. Весом деталей захвата пренебречь.
АВ=ВС=2а; DЕ= 2а; Н=4а.
Тяжёлый тонкий однородный стержень АВ опирается на диск
радиуса R и удерживается невесомой нитью ВD. Диск может
свободно поворачиваться на оси О . Размер OD=R. Определить
длину l стержня АВ, при которой стержень будет сохранять
равновесие в указанном на рисунке положении.
  30 0 ,   150 , трение
отсутствует. Сила Р = 3 Н. Определить величину силы Q
В клиновом механизме углы
при равновесии механизма.
Справка: sin 15  0,2588 , cos15  0,9659 .
0
0
Однородная балка длиной 200 см и весом 400 Н подвешена на
пружинах. Пружины имеют в ненапряжённом состоянии
одинаковую длину, но жёсткость пружины 1 в два раза больше
жёсткости пружины 2 (жёсткость пружины равна силе,
необходимой для растяжения пружины на 1 см). АD = ВЕ = 30
см; DК = 20 см. Определить вес Р груза, который надо положить на балку в точке К,
чтобы балка заняла горизонтальное положение.
Однородный стержень АВ , AB  2b , весом Р в точке А
опирается на идеально гладкую вертикальную стену, а в
точке С на уступ. Расстояние между уступом и стеной
равно l , l 
b
. Определить при равновесии угол  и
8
реакции опор.
Определить, с какой силой Q барабан M давит на
неподвижный барабан N , если к концу A рычага
BA подвешен груз P =250 Н. Принять AC =74 см,
BC =6 см, a =6см, b =12 см. Весом стержней
пренебречь.
Четыре одинаковых тяжёлых однородных стержня, соединённых шарнирно, образуют
ромб с диагоналями AC= 2a и BD = 2b . Середины сторон BC и CD соединены невесомой
распоркой MN. Ромб расположен в вертикальной плоскости, и его вес равен P .
Определить усилие в распорке.
A
B
D
M
N
C
Однородная призма с основанием в форме равностороннего треугольника
ABC опирается ребром A на гладкую вертикальную стену, а ребром
B - на шероховатую горизонтальную плоскость.
Каким должно быть минимальное значение коэффициента трения
скольжения
f min
призмы её грань
между ребром
BC
B и плоскостью, чтобы при равновесии
была вертикальна?
Конструкция состоит из трёх балок, соединённых
между собой шарнирами и . Опорами конструкции
служат: заделка в точке и цилиндрический шарнир в
точке . На конструкцию действуют : сила кН,
распределённая нагрузка интенсивностью кН/м и пара
сил с моментом кН•м. Размеры даны в метрах.
Определить момент в заделке .
Тяжёлую отливку необходимо передвинуть по горизонтальному
полу цеха. Вес отливки G , коэффициент трения между отливкой и
полом f; трос наклонён к горизонту под углом .
1. Определить силу F, приложенную к концу троса, выразив её
через G, f, .
2. При каком значении  сила F, приложенная к тросу, будет
минимальной?
К треугольному ключу с сечением в виде прямоугольного
треугольника с катетами AB = a и BC = b приложена пара сил с
моментом M . Определить давления, производимые вершинами A , B
и C на грани гнезда замка. Трением пренебречь, зазор между ключом
и гнездом считать малым.
В кривошипно-шатунном механизме шатун выполнен в виде
прямоугольного треугольника АВС (катет АС в данном
положении горизонтален), при этом ОА  АВ  r . Зная
моменты пар сил М и M 1  M 3 , приложенных к кривошипу
и шатуну, определить силу F , направленную вдоль АС и
уравновешивающую механизм.
На гладкой наклонной плоскости с углом наклона α
находятся
два
бруска,
соединённые
нитью,
перекинутой через идеальный блок. Коэффициент
трения скольжения между брусками равен f . Вес
верхнего бруска Р1 . Найти вес Р 2 нижнего бруска
при равновесии системы.
Какой момент М нужно приложить к стержню ОА,
чтобы из положения, показанного на рисунке, сдвинуть
вправо полуцилиндр радиуса R и веса Р, если
коэффициент трения между полуцилиндром и опорной горизонтальной плоскостью f = 0,5 ?
Вес стержня ОА и трение в контактной точке В не учитывать.
К концам рычага AB подвешены грузы M 1 и M 2 весом P1 и
P2 , которые свободно опираются на другой рычаг CD ,
параллельный AB одинаковой с ним длины и расположенный с
ним в одной вертикальной плоскости. Считая a > c , показать, что
b P d
система будет в равновесии при условии:  1  . Найти
a P2 c
натяжения нитей
AC и BD .
Тормозная колодка прижата силой F к шкиву, на
который действует вращающий момент M против
часовой стрелки. Размеры указаны на рисунке.
Определить условие самоторможения, т.е. условие, при
котором обеспечивается равновесие шкива при любом
M > 0. Коэффициент трения скольжения между
поверхностями равен f .
Система состоит из n горизонтальных, однородных
стержней одинаковой длины и весом P каждый,
укреплённых с помощью тросов. При этом
С B
С1 B1 С 2 B2 С3 B3
1


 ...  n n  .
A1 B1 A2 B2 A3 B3
An Bn 4
Найти натяжение троса A1 K и определить его значение при n   . Примечание: сумма
первых членов геометрической прогрессии a j  a1q
j 1
( j  1,..., n )
выражается
a1  a1q n
формулой S n 
; где q - знаменатель прогрессии.
1 q
Двухступенчатый блок с радиусами ступеней r = 0,05 м и R = 0,1
м подвешен на двух нитях, намотанных на малую и большую
ступени блока. Конец D нити движется вертикально по закону
s  0,01 t 3 м. Нити не скользят по блоку. Определить скорость и
ускорение точки A блока в момент времени t1 = 1 с. Положение
точки A в этот момент указано на рисунке.
К концу невесомого стержня ВЕ подвешен груз весом G = 1
кН. В точках С и D к стержню прикреплён трос,
проходящий через идеальный блок. ВС = СD = DЕ . Углы
 и  неизвестны. Определить реакцию шарнира В.
Система, состоящая из стержня 1 и ползуна 2, находится в
равновесии. Вес однородного стержня АВ равен Р , а его
длина 2 l ; с – расстояние от шарнира А до горизонтальной
плоскости; f - коэффициент скольжения между ползуном,
весом Q , и плоскостью. Центр тяжести ползуна совпадает с
точкой А , а вертикальная стена идеально гладкая.
Определить значения угла  при равновесии и точку
приложения равнодействующей реакции плоскости на ползун
зависимости от  .
в
На звено
OA шарнирного четырёхзвенного
механизма действует пара сил с моментом M 1 .
Определить момент M 2 пары сил, которую надо
приложить к звену O1 B , для того чтобы механизм
находился в равновесии при  =90˚,  =30˚, если
OA  a , O1 B  b . Весом звеньев и трением пренебречь.
Конструкция, расположенная в вертикальной плоскости, состоит
из трёх одинаковых стержней весом Р каждый, соединённых в
точке D . Определить силу реакции в опоре B .
Трос с силой F на конце охватывает два блока. Оси
блоков
укреплены
на
концах
взаимно
перпендикулярных стержней ОА и CD, соединённых
шарниром D. OD=2AD, BD=BC, α=600.
Определить реакции шарнирно-неподвижных опор О и
В.
Диск 1 может скользить по плоскости. Полагая, что в указанном
положении известны длина l стержня 2 и его угловая скорость
ω=const, определить ускорение точки Р диска.
При каком значении f - коэффициента трения
скольжения (покоя) между бруском Б и
горизонтальной поверхностью, система тел находится в
равновесии? Стержень ОА однородный весом Р и длиной
Р . Трением в точке С пренебречь.
3h . Вес бруска также равен
В кривошипно-ползунном механизме ОА = АВ = r , М1 = М 3 . В положении, указанном
на рисунке (AC⁄⁄ F ⁄⁄x), определить силу F
О
, уравновешивающую механизм.
M
30 О
M1
A
y
C F
x
30 О
B
Клин 1 весом Q и брусок 2 весом P = 10 Н удерживаются в равновесии силами трения.
Угол α = 300, коэффициент трения для всех трущихся поверхностей f = 0,2.
Определить максимальный вес Q , при котором ещё сохранится равновесие.
1
Q
P
 
2
Гладкий шар радиуса R и веса Р, касаясь вертикальной
стены, покоится на горизонтальном полу. С какой силой F
следует прижать к шару брусок высотой h, чтобы шар
оторвался от пола? Коэффициент трения бруска по полу
равен f.
Три однородных шара A, B, C одинаковых радиусов положены на
горизонтальную плоскость , взаимно прикасаются и обвязаны
шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости, а четвёртый
шар О того же радиуса и также однородный весом 10 Н лежит на
трёх нижних. Определить минимальное натяжение T шнура, при
котором шары находятся в контакте друг с другом. Трением шаров
между собой и о горизонтальную плоскость пренебречь.
Стороны ромба ABED подвешенного в точке A, сделаны
из
одинаковых
тяжёлых
однородных
стержней,
соединённых шарнирно. Середины сторон BE и ED
соединены невесомым стержнем-распоркой. Зная вес P
ромба и длины его диагоналей AE=a и BD=b, определить
усилие в распорке.
Два однородных одинаковых стержня АВ , ОА весом Р и длиной 2l
каждый соединены шарниром A и нерастяжимой нитью BC , причём
OC  CA  l . Стержень OA может вращаться вокруг горизонтальной
оси О в вертикальной плоскости. Определить натяжение нити BC .
Примечание: воспользоваться тригонометрическим соотношением
sin   tg
1  tg 2 .
Стержни однородные весом Р и длиной l каждый находятся в
вертикальной плоскости. Определить коэффициент трения в точке
при равновесии системы в указанном положении.
В
Кривошипно-кулисный механизм расположен в вертикальной
плоскости. Определить момент М при равновесии механизма в
указанном положении, пренебрегая весом камня А и трением в
соединениях звеньев. Вес кулисы ВС равен Р Н, а кривошипа
равен Q 
ОА
P
Н. Кулису и кривошип считать однородными
2
стержнями. AB  2r м,
AC  3r м.
Три человека подняли однородную плиту, имеющую вид
параллелограмма ABCD. Один взялся за вершину А, два других за края плиты, при том так, что вес плиты распределился
равномерно между всеми тремя. Указать точки, в которых взяли
плиту два последних человека.
На рудничных электровозах мощного типа применяются
тормоза пневматического типа. Сжатый воздух,
поступающий из особого резервуара, давит на поршень B
цилиндра. Это давление посредством рычага OA передаётся
на тормозную колодку. Определить реакцию шарнира O и
давление тормозной колодки на колесо, если давление на
поршень B равно Q = 50 кН. AC =
2
5
1
4
OA, tg  = .
Коэффициент трения колодки о колесо равен 0,18. Размерами тормозной колодки
пренебречь.
Два груза C и D веса P каждый с помощью невесомых
блоков одинакового радиуса, верёвок и балки AB
приведены в состояние равновесия, причём балка
горизонтальна. Определить усилие в ветви 1 верёвки, если
все ветви вертикальны, а ось блока с неподвижным центром
точка подвеса груза D лежат на одной вертикали.
и
КИНЕМАТИКА
Очень длинная доска лежит на двух катках А и В , причём каток А – ступенчатый. Из
положения, указанного на рисунке, катки начали одновременно без проскальзывания
катиться по горизонтальной поверхности. Через какое время расстояние между осями
катков уменьшится вдвое, если скорость доски V = 0,5 м/с ?
V
R=d
d=1м
A
B
s=10м
AB
AC
A и касаются
неподвижного круга радиусом R и с центром в точке O . Шарнир
A движется по прямой AO с постоянной скоростью V .
Два стержня
и
связаны шарниром
Найти угловые скорости и угловые ускорения стрежней в тот
момент, когда
AO  2 R .
Скорости точек , и треугольной пластины
перпендикулярны её плоскости и направлены в одну
сторону, их величины заданы и удовлетворяют
условию:.
Определить угловую скорость пластины и положение
её мгновенной оси вращения (угол равен , ).
Стержни AC и AB связаны шарниром A и касаются неподвижного круга
радиусом R с центром в точке О. Шарнир А движется по прямой AO с
постоянной скоростью V. Найти угловые скорости стержней в тот
момент, когда AO = 2 R.
Для данного положения механизма определить ускорение ползуна B ,
если колесо радиуса R = 50 см катится с постоянной скоростью его
центра Vo = 5 мс, угол  = 30 .
Определить скорость и ускорение точки В на втулке 1 кулисного
механизма в положении, определяемом углом
, если длина
кривошипа 2 О1А=r, расстояние О1О=r и АВ=0,5r. Известна угловая
скорость стержня 3 =const.
Двухступенчатый блок с радиусами ступеней r = 0,05 м и R =
0,1 м подвешен на двух нитях, намотанных на малую и большую
ступени блока. Конец D нити движется вертикально по закону
s  0,01 t 3 м. Нити не скользят по блоку. Определить скорость и
ускорение точки A блока в момент времени t1 = 1 с. Положение
точки A в этот момент указано на рисунке.
К концу невесомого стержня ВЕ подвешен груз весом G =
1 кН. В точках С и D к стержню прикреплён трос,
проходящий через идеальный блок. ВС = СD = DЕ . Углы
 и  неизвестны. Определить реакцию шарнира В.
Суммирующий механизм состоит из зубчатого колеса
радиусом R и двух параллельных зубчатых реек, движущихся
в одном направлении с постоянными скоростями V1 и V2 .
Определить ускорение точки А зубчатого механизма.
Система трёх тел движется в вертикальной плоскости как
показано на рисунке. Диск 2 катится без скольжения,
V  const , R1  2r1  2r , r2  r . Определить ускорение
точки M в указанном на рисунке положении.
Кривошип OA поворачивается вокруг неподвижного
шарнира O так, что   kt , и имеет на конце A ползун,
заставляющий кулису KL перемещаться в направляющих
E . При этом ползун C с двумя взаимно
перпендикулярными направляющими приводится в
движение по прямой KL благодаря стержню BM ,
шарнирно соединённому с кривошипом OA в точке B .
Определить уравнения движения точки C и её
траекторию, если OA  a , OB  b .
При вращении стержня 1 вокруг горизонтальной оси
О цилиндр 2 движется со скольжением по
горизонтальной плоскости, не отрываясь от неё. В
указанном положении определить ускорение центра
цилиндра С и его угловое ускорение, если радиус
цилиндра R , а угловая скорость стержня 1 равна
  const .
Трос с силой F на конце охватывает два блока. Оси блоков
укреплены на концах взаимно перпендикулярных
стержней ОА и CD, соединённых шарниром D. OD=2AD,
BD=BC, α=600.
Определить реакции шарнирно-неподвижных опор О и В.
Диск 1 может скользить по плоскости. Полагая, что в указанном
положении известны длина l стержня 2 и его угловая скорость ω=const,
определить ускорение точки Р диска.
Стержень 1 во всё время движения проходит через
качающуюся втулку В . Ползун А , к которому
шарнирно крепится стержень, движется по
горизонтальным направляющим с постоянной скоростью
V  const . Определить угловую скорость и угловое
ускорение стержня 1 в указанном положении.
Скорости точек А, В и С треугольной пластины АВС
перпендикулярны её плоскости и направлены в одну
сторону, их величины заданы и удовлетворяют условию:
VC : VB : VA = 3 : 2 : 1. Определить угловую скорость
пластины и положение её мгновенной оси вращения (угол
ABC равен 900, AB = BC = a).
В плоском механизме длины звеньев одинаковы и равны l .
Для положения, указанного на чертеже, известны: угловая
скорость  1 первого звена и угловое ускорение  3 третьего
звена. Определить  1 и  3 .
Конец A стержня AB движется по горизонтальной
направляющей. Стержень опирается на выступ высотой h.
Угловая скорость стержня постоянна и равна  . Определить
скорость точки K стержня при  =450.
В указанном на рисунке положении плоского механизма
скорость и ускорение точки
A кривошипа 1 равны :
V A  2m / c , a A  2m / c 2 .
Определить скорость и ускорение точки
равны
АВ  ВС  0 ,8 м / с
B шатуна 2, если длины
.
Нить АКМ закреплена в неподвижной точке А и продета через кольцо К , скользящее по
стержню АВ со скоростью V . Другой конец нити привязан к муфте М , скользящей по
стержню ВС . Длина нити l , AB=h . Определить скорость муфты М в зависимости от
расстояния АК.
A
VК
К
B
90 0
M
C
Эпициклический механизм состоит из двух колёс одинакового
радиуса : неподвижного 1 и подвижного 2, приводимого в
движение кривошипом , который вращается с угловой
скоростью . С колесом 2 шарнирно связан шатун , при этом
ползун перемещается в горизонтальных направляющих.
Определить скорость ползуна в положении, показанном на
рисунке, когда шарнир совпадает с наивысшей точкой колеса
2.
Стержень длиной l = 1 м движется так, что скорость точки A
VА = const = 2 м/с.
В момент времени, когда  = 300 , определить ускорение точки M
стержня, скорость которой численно равна скорости точки A.
Полуцилиндр радиуса R перекатывается без проскальзывания так,
что угол  меняется по закону  = 2 sin 2t. Найти скорость и
ускорение точки С контакта цилиндра с плоскостью в момент
времени t .
Квадрат
совершает
плоское
движение,
касаясь
120 0 . Скорость
вершинами А и В сторон угла
V A  V  konst . Для положения квадрата, когда
ОА  OB  a . , найти на стороне АD такую точку М, для
которой вектор разности ускорений точек М и В



направлен параллельно стороне АВ : a M  a B ⁄⁄ АВ .
Определить величину и направление ускорения точки М.
Кривошип 1 длиной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой
скоростью  1   . Обруч 2 радиуса R , шарнирно соединённый в точке А с кривошипом,
скользит по неподвижной прямой ON . По обручу с постоянной скоростью u движется
точка М в направлении против часовой стрелки. Для положения механизма, когда
AON  30 0 и CM ⁄⁄ ON , найти абсолютные скорость и ускорение точки М.
Изогнутый под прямым углом стержень 1 вращается с угловой скоростью  1   вокруг
оси О. Стержень 2 длиной l имеет на концах шарнирно закреплённые втулки, скользящие

по стержню 1. Скорость втулки А относительно стержня 1 равна V . Найти положение
мгновенного центра скоростей Р стержня 2 в его абсолютном движении и определить
расстояние ОР.
Для данного положения механизма определить скорость и ускорение
ползуна В, если колесо радиуса R=50 см катится с постоянной
скоростью его центра Vo=5 M/C, если
=30 град.
Стержень OA длиной l вращается вокруг точки O в плоскости
рисунка со скоростью u точки A . Пропущенная сквозь
неподвижное кольцо B нерастяжимая нить одним концом
присоединена к точке A , а другим концом M скреплена с кольцом,
которое скользит вдоль стержня.
Для заданной текущей конфигурации системы, когда AB  l 3 ,
стержень вертикален, а ветвь нити AB горизонтальна, определить
абсолютную скорость кольца М .
В мальтийском механизме кривошип 1 вращается
вокруг оси, проходящей через точку O
перпендикулярно плоскости рисунка, с постоянной
угловой скоростью
1  2 рад/с. Палец A ,
неподвижно
прикреплённый
к
кривошипу,
скользит вдоль паза диска 2 радиуса R и
приводит его во вращение вокруг оси, проходящей
через
точку
O1 параллельно оси вращения
кривошипа.
Для указанного на рисунке положения механизма определить угловую скорость и угловое
ускорение диска 2 , а также ускорение пальца относительно диска, если OA  R  20 см,
  45 0 .
Шатуны
AC и BC двух одинаковых кривошипных
механизмов связаны шарниром C . Кривошипы O1 A
и O 2 B одинаковой длины r вращаются синхронно и
равномерно. Расстояние O1O2  2r .
Найти скорость и ускорение точки
рисунке конфигурации системы.
C для указанной на
Кольцо М жёстко крепится к ползуну С линейки
эллипсографа CD длиной l . Нить АВ проходит через
кольцо М и имеет в точке В скорость V  const .
 СD и скорость V D
ползуна D в зависимости от угла  , в момент, когда
AMK  OCD .
Определить угловую
скорость
Призма движется поступательно со скоростью 3 м/с, а закон движения
груза С имеет вид: ОС = s = t2 (t - в секундах, s - в метрах). Определить
при t1 = 2 секунды абсолютную скорость груза В.
Полуцилиндр 1 радиуса R , движется с постоянной скоростью V , во
всё время движения касаясь стержня 2. Определить угловую скорость
стержня 2 в зависимости от угла  , если OB  3R .
Ползун A перемещается по прямолинейным направляющим
с помощью рычага, который вращается вокруг неподвижной
оси O . Определить модуль скорости ползуна в зависимости
от угла поворота рычага  , если в данный момент его
угловая скорость  , а расстояние от оси
направляющих равно h .
O до
Тарельчатый толкатель ABD движется в направляющих с
постоянной скоростью u и приводит в движение цилиндр радиуса
R , который катится без скольжения по горизонтальной плоскости,
не отрываясь от плоскости АВ . Определить по величине и
направлению (т.е. углы между векторами и осью х ) скорость и
ускорение точки M цилиндра относительно толкателя в указанном
положении системы.
Пренебрегая проскальзыванием тел в точках контакта
поверхностей, а также трением качения, определить усилие в
невесомом стержне ОА при движении системы под действием
силы Q  const .
o
Принять: m1  m2  m3  m ; R2  2r ; R3  r ;   60 .
Дана схема станка-качалки. OA= r; AB=12r; BC=6r; CD=3r.
Угловая скорость кривошипа 1 равна ω=const.
Определить скорость и ускорение точки Е – точки подвеса
штанг глубинного насоса в изображённом на рисунке
положении.
Стержни
ОА и ВD соединены между собой кольцом M , которое может
скользить по ним. Стержень OA вращается с постоянной угловой
скоростью  , а стержень ВD неподвижен. В указанном на рисунке
положении определить абсолютное ускорение кольца M и его скорость по
отношению к стержню
OA , если в этом положении OM  l .
Стержень АВ скользит концом А по
неподвижной окружности радиуса r
и опирается на угол в точке С этой
окружности. Длина стержня АВ l =
4г. Точка А движется с постоянной по
величине скоростью v0 . Найти
подвижную и неподвижную
центроиды стержня АВ и ускорение
его точки В как функции угла ср
Равнобедренный
прямоугольный
треугольник
ОАВ
вращается с постоянной угловой скоростью ω по часовой
стрелке вокруг оси, перпендикулярной плоскости треугольника
и проходящей через точку О. Точка М движется с постоянной относительной скоростью v0
вдоль стороны АВ. Полагая АВ = а, найти абсолютные скорость и ускорение точки М в тот
момент, когда она находится в точке А.
Диск радиуса R катится без скольжения по горизонтальной
плоскости и выталкивает вверх стержень ВК вдоль
направляющего паза, наклоненного под углом а к горизонту. В
данном положении системы известны скорость иА и
ускорение wA центра А диска и угол φ
Определить
скорость
и ускорение
стержня ВК в указанном
положении системы.
Указание. Рассмотреть движение точки В стержня как сложное.
Эпициклический механизм состоит из двух колёс одинакового радиуса R: неподвижного 1
и подвижного 2, приводимого в движение кривошипом OA, который вращается с угловой
скоростью . С колесом 2 шарнирно связан шатун BC, при
этом
ползун
C
перемещается
в
горизонтальных
направляющих.
Определить скорость ползуна C в положении, показанном на
рисунке, когда шарнир B совпадает с наивысшей точкой
колеса 2.
Даны два конических зубчатых колеса,
оси которых
неподвижны. Известно, что  АОВ =  ,  ВОС =  .
Первое колесо вращается с угловой скоростью  1 .
Определить
угловую
скорость  2
второго
колеса
и
вычислить её в том случае, когда  =600,  =900,  1 =10 рад/с.
В механизме кулиса AC скользит относительно выступа, не
отрываясь от него. Определить ускорение точки B,
принадлежащей кулисе, в положении, показанном на
рисунке. Кривошип OA длиной r вращается с постоянной
угловой скоростью  .
ДИНАМИКА
Определить модуль количества движения однородного стержня длиной АВ = 1м и массой
m = 5кг, совершающего плоскопараллельное движение, в тот момент, когда его угловая
скорость ω = 4рад/с, а скорость точки А равна 4 м/с.
VA

A
B
Однородный сплошной цилиндр весом G и радиусом r
скатывается из точки без начальной скорости по прямолинейному
A B ( AB = l
участок в виде дуги радиусом R .
наклонному участку
) и переходит в точке
B
на
Определить изменение силы, с которой цилиндр давит на опору,
при переходе через точку B .
Груз 1 массой 10 кг прикреплён к тросу, намотанному на
цилиндрический барабан 2 с радиусом 20 см. Груз падает из
состояния покоя в течение двух секунд, после чего к барабану
прикладывается постоянный тормозящий момент М .
Найти момент, обеспечивающий остановку груза в течение
последующих четырёх секунд. Барабан считать однородным
сплошным цилиндром (масса барабана
m2  0 ).
Механическая система состоит из ступенчатого барабана 1, однородного
диска 2 и гибкой нерастяжимой нити. Радиусы: r1  r , R1  2r , R2  1,5r ;
масса диска - m ; момент инерции барабана - 2m r 2 . Система движется под
действием силы тяжести диска. На барабан действует момент
сопротивления (трения) M  0,05mgr .
Определить ускорение центра С диска
Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Стержень
1 вращается с угловым ускорением  = 40 рад c 2 под действием
пары сил с моментом M и приводит в движение однородную
пластину массой 5 кг. Размер l = 0,3 м. Определить модуль
реакции стержня 2, когда угол  = 45.
Для быстрого торможения маховиков применяется электрический тормоз, состоящий из
двух диаметрально расположенных полюсов с обмоткой, питаемой постоянным током.
Токи, индуцируемые в массе маховика при его движении мимо полюсов, создают
тормозящий момент M1, пропорциональный скорости v на ободе маховика: M1=kv, где k
- коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров маховика. Момент M2 от
трения в подшипниках считать постоянным. Диаметр маховика D, момент инерции его
относительно оси вращения J.
Найти: через какой промежуток времени остановится маховик, вращающийся с угловой
скоростью ω0.
Грузовой автомобиль везёт в кузове тяжёлую бетонную плиту, двигаясь со скоростью V .
Коэффициент трения скольжения между плитой и кузовом равен f . При каком
минимальном тормозном пути плита не сместится относительно кузова?
Катушка радиусом R = 3r и массой m в средней части
радиусом r обмотана нитью, концы которой натягиваются
постоянными силами F и F1 = 2 F. Катушка катится без
скольжения, момент инерции JС = 3 mr2.
Определить ускорение aС оси катушки.
При каких значениях крутящего момента M однородный диск весом
и радиусом R катится без скольжения. Коэффициент трения
скольжения равен f . Сопротивление качению не учитывать.
Ползун M массой 20 кг перемещается вдоль стержня AB ,
наклонённого к горизонту под углом  =30˚ . Ползун в
движение приводит сила Q =700 Н, направленная под углом
 =30˚ к стержню. Определить время t , в течение которого
скорость ползуна увеличится на 2 м/с, если коэффициент
трения f =0,2.
Система тел 1 и 2 , расположенная в горизонтальной
плоскости, находится в покое. После внезапного
приложения постоянной силы Q  const тело 2 начинает
скользить по поверхности АО1 , заставляя вращаться
однородный стержень 1 . Пренебрегая трением,
определить скорость тела 2 после смещения его влево на
расстояние s  R , если OA  2 R , m1  m2  m .
Р
Система состоит из двух брусков массы m1 и m2. Пружина
жёсткости с крепится к бруску 1 и бруску 2. В положении
равновесия пружина не деформирована и имеет длину l0. В
некоторый момент брусок 2 отклонили от положения равновесия на
s0 вправо и отпустили без начальной скорости. Определить
скорость бруска 1 в зависимости от смещения бруска 2 относительно бруска 1 ,
пренебрегая трением между брусками, а также между бруском и поверхностью.
Система состоит из однородного стержня массой m , длиной AB  l
и ползунов A и B , которые могут двигаться соответственно по
горизонтальной и вертикальной направляющим. В начальный момент
0
времени стержень находился в покое и составлял угол   30 с
горизонтальной осью Ox .
Пренебрегая весом ползунов и трением, определить угловую скорость и угловое
0
ускорение стержня, а также давление ползуна В на направляющую при   0 .
Сплошной однородный диск радиуса r скреплен с тонким однородным
стержнем АВ. В положении, указанном на рисунке, диск находится в
покое и начинает катиться без скольжения. Определить скорость
удара конца В о плоскость. Вес стержня считать равным весу диска.
На барабан радиуса r с моментом инерции J намотан трос, несущий
груз массой m. Груз опускается, раскручивая барабан. В момент, когда
угловая скорость барабана становится равной  0 , включается тормоз,
развивающий момент сопротивления вращению барабана МС= 2mgr .
Определить время торможения, пренебрегая массой троса.
Треугольник OAB, стороны которого представляют собой
однородные тонкие стержни равной длины, массы m каждый,
может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей
через вершину O перпендикулярно плоскости OAB. Из
положения, когда сторона OA горизонтальна, треугольник
отпускают без начальной скорости. Определить давление на
ось O в начальный момент времени и в момент, когда сторона
AB станет горизонтальной.
Тяжёлый однородный цилиндр радиуса r раскрутили до угловой
скорости  и поставили в угол. Коэффициент трения скольжения
между стенками угла и цилиндром равен f . Определить, сколько
оборотов сделает цилиндр до остановки.
Механизм движется под действием сил тяжести, причём
однородный цилиндр 1 катится без скольжения. Массы
1
m1=m3=20кг, J2=0,4кг.м2, R2=0,2м, r2=0,1м. Принять
g=10м/с2. Определить натяжение наклонного участка нити.
2
30 О
3
Однородная круглая катушка 1 радиусом R  2 r в средней части барабана радиусом
обмотана нитью так, что концы нити расходятся в разные стороны и натягиваются
грузами 2 и 3 с одинаковыми массами m 2  m 3  m . Масса катушки m 1  m ,
момент инерции катушки относительно её оси J  2mr .
С каким ускорением будет двигаться ось катушки? Считать, что катушка катится без
скольжения.
2
Одинаковые однородные стержни АВ и ВС длиной l
соединены цилиндрическим шарниром, на оси которого
укреплён невесомый ползун В . Стержни опираются в точках А
и С на вертикальные гладкие стенки, расположенные на
расстоянии а друг от друга ( а  l ). Ползун может скользить по
шероховатому горизонтальному полу с коэффициентом трения
f . При каком соотношении между а и l эта система будет
находиться в равновесии в любом положении ползуна на
плоскости ?
r
Груз 1 массой m1 находится на шероховатой горизонтальной
плоскости. К грузу прикреплена нить, перекинутая через блок 2, на
другом конце которой прикреплён груз 3 массой m3 . Грузы
движутся с ускорением a  0,25 g .Масса блока 2 равна m2 и
распределена по ободу равномерно. Нить по блоку не
проскальзывает.
1. Найти коэффициент трения груза 1 о плоскость, выразив его
через m1  m2  m3 .
2. Определить численное значение коэффициента трения для случая, когда
m1  m2  m3
На барабан катка массы m и радиуса R , лежащего на
горизонтальном шероховатом полу, намотана нить, к которой
приложена сила T под углом к горизонту. Радиус барабана r,
радиус инерции катка с барабаном . В начальный момент
каток находился в покое, затем катился без скольжения.
Определить закон движения оси катка С.
Однородный стержень АВ весом G подвешен на нити DЕ.
Пружина, прикреплённая к стержню в точке А, натянута так,
что стержень занимает горизонтальное положение.
Определить угловое ускорение стержня в момент обрыва нити.
Левый конец нерастяжимой нити намотан на
цилиндрический барабан 1 радиуса r , а правый – на
цилиндрическую ступень радиуса r тяжёлой катушки 2 .
Катушка опирается на гладкую плоскость, наклонённую
под углом   30 0 к горизонту. Радиус инерции
катушки  С  r 2 , r  25 см . С каким угловым
ускорением ε должен вращаться барабан 1 , чтобы
центр С катушки не перемещался?
Механическая система состоит из тонкого однородного
стержня АВ, пружины АО и нити ОВ. В положении
равновесия стержень горизонтален. Треугольник ОАВ –
равносторонний. Определить модуль и направление ускорения
центра масс стержня и его угловое ускорение в первый момент
после внезапного разрушения нити.
Гирька 1 массой m падает с высоты h , попадает в вертикально стоящий гвоздь 2 длиной l
и вбивает его полностью в деревянную доску 3 . Какую минимальную силу F . надо
приложить, чтобы вытащить гвоздь. Массой гвоздя пренебречь, а силу сопротивления
древесины считать прямо-пропорциональной углублению гвоздя.
Призма 1 массы m может скользить без трения по
горизонтальной поверхности. По её боковой грани, составляющей
угол  с горизонтом, начинает двигаться под действием силы
тяжести тело 2 массы m . Коэффициент трения скольжения
между телом и призмой равен f . Определить ускорение призмы
при f = 0,5 и   45 .
0
Два одинаковых однородных цилиндра массы m и
радиуса R каждый катятся без скольжения по
горизонтальной плоскости под действием
вращающего момента M , приложенного к цилиндру
2 . Во всё время движения цилиндры соприкасаются в
точке C . Коэффициент трения скольжения между
цилиндрами f . Определить ускорение точки O1 .
Тонкое однородное кольцо 1 массы m движется в
вертикальной плоскости, перекатываясь без скольжения по
неподвижному цилиндрическому валу 2 . Ось вала O .
Определить силу трения в точке контакта K в зависимости от
её положения ( угла  ).
В вагоне висит однородный стержень длиной l . Вагон движется с
постоянной скоростью V , а затем мгновенно останавливается. На
какой угол отклонится стержень?
Однородный цилиндр массой m катится без скольжения по
невесомой наклонной балке. Определить реакции заделки
О в зависимости от расстояния s и угла  .
Эпициклический механизм расположен в горизонтальной
плоскости. Масса шестерни 1 равна 2m , масса кривошипа 2
равна m ; R0  2r , r1  r . Движение начинается из
состояния покоя под действием переменного момента
M  mr 2    t . Определить угловую скорость кривошипа 2
через 2 секунды после начала движения.
Деревянная доска длиной l и массой m может вращаться без
трения вокруг горизонтальной оси OO1 . В центре доски
застревает пуля массой m1 , летевшая перпендикулярно доске
со скоростью V0 . Определить, на какой максимальный угол
от вертикали отклонилась доска.
Ось блока 1 движется горизонтально с ускорением a0=g/√3.
Момент инерции блока J0=mR2. На блок намотана нить с
грузом 2 массой m на конце. Груз опускается под действием
силы тяжести, причём нить составляет постоянный угол α с
вертикалью. Определить угол α и угловое ускорение блока.

Система состоит из однородного диска 1 весом
P,
радиусом R и невесомого стержня 2 длиной AB  R 5 ,
соединённых между собой шарниром A . Тела 1 и 2
удерживаются в покое в вертикальной плоскости (рис. а).
Предоставленный самому себе, диск 1 начинает опускаться,
проскальзывая по идеально гладкой стене, а стержень 2
вращается вокруг оси В . Определить скорость центра
диска 1 в указанном на рис. б положении системы.
Груз 1 массой 10 кг прикреплён к тросу, намотанному на
цилиндрический барабан 2 с радиусом 20 см. Груз падает из
состояния покоя в течение двух секунд, после чего к барабану
прикладывается постоянный тормозящий момент M.
Найти момент, обеспечивающий остановку груза в течение
последующих четырёх секунд. Барабан считать однородным
сплошным цилиндром (масса барабана m2  0).
Нить с грузом 1 на конце охватывает большую ступень барабана 2
и блок 3 и вторым концом намотана на малую ступень барабана. С
осью блока 3 связан груз 4. Система движется под действием сил
тяжести, нить нигде не проскальзывает. Массы m1 = m , m2 = m3
=0, m4 = 6m. Определить натяжение нити на участке AB.