Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà 3 Ïîñòðîåíèå è àíàëèç ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè  ýêîíîìåòðè÷åñêîì àíàëèçå ìîäåëü âèäà Y = α + βX + U ïðèâåäåííóþ ê ëèíåéíîé ôîðìå ïóòåì ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ, íàçûâàþò ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëüþ. Ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà X íàçûâàåòñÿ îáúÿñíÿþùåé (íåçàâèñèìîé) ïåðåìåííîé èëè ðåãðåññîðîì; ïåðåìåííàÿ Y îáúÿñíÿåìîé (çàâèñèìîé) ïåðåìåííîé èëè ðåãðåñàíäîì; U îñòàòêîì (îøèáêîé), ðàâíûì ðàçíèöå ìåæäó íàáëþäàåìûìè çíà÷åíèÿìè è òåîðåòè÷åñêèìè, ìîäåëüíûìè. Ðåãðåññèîííûì àíàëèçîì íàçûâàþò ñèñòåìó ìåòîäîâ îöåíêè ïàðàìåòðîâ êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè íà îñíîâå èìåþùèõñÿ íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé (X, Y ). Ìîäåëü ëèíåéíîé ðåãðåññèè, îïèñûâàþùàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó íàáëþäàåìûìè çíà÷åíèÿìè (Xi , Yi ), i = 1, . . . , p â âûáîðêå, ñîñòîÿùåé èç p íàáëþäåíèé, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå Yi = α + βXi + Ui , i = 1, . . . , p. Ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íàçûâàþò ïðîöåäóðó ïîèñêà òàêèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ α è β , êîòîðûå ïðè ïîäñòàíîâêå ìèíèìèçèðóþò ñóììó êâàäðàòîâ îñòàòêîâ Ui : p p X X 2 S= Ui = (Yi − α − βXi )2 . i=1 i=1 Äèôôåðåíöèðóÿ S ñîîòâåòñòâåííî ïî α è β , è ïîëîæèâ çíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ðàâíûìè íóëþ (÷òîáû íàéòè òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì), ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ α è β : p X ∂S = −2 (Yi − α − βXi ) = 0 ∂α i=1 p X ∂S = −2 (Yi − α − βXi ) Xi = 0 ∂β i=1 Ñèñòåìó óðàâíåíèé ýòîãî âèäà íàçûâàþò èíîãäà ñèñòåìîé íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû, ò. å. êîýôôèöèåíòû α è β , îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: p P β= Xi − X̄ Yi − Ȳ i=1 p P , Xi − X̄ 2 i=1 α = Ȳ − β X̄. ãäå X̄, Ȳ ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ. Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèîííîé ìîäåëè, ïîëó÷àåì íàáîð ðàñ÷åòíûõ (òåîðåòè÷åñêèõ) çíà÷åíèé ïåðåìåííîé Y , êîòîðûå òàêæå íàçûâàþò îöåíêàìè: Ŷi = α + βXi . Ðàçíîñòü ôàêòè÷åñêîãî è ðàñ÷åòíîãî çíà÷åíèÿ Ui = Yi − Ŷi , i = 1, . . . , p è åñòü îñòàòîê (íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ). Îñòàòîê ÿâëÿåòñÿ íå ÷åì èíûì, êàê ðàñ÷åòíûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé îøèáêè, íå ïîäàþùåéñÿ íàáëþäåíèþ.  êà÷åñòâå ìåðû àäåêâàòíîñòè ðåãðåññèîííîé ìîäåëè ÷àñòî èñïîëüçóþò êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè. Ïîñëåäíèé çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé p P R2 = i=1 p P Ŷi − Ȳ Yi − Ȳ 2 2 , 0 6 R2 6 1. i=1 ×åì áîëüøå çíà÷åíèå R2 , òåì âûøå ñòåïåíü àäåêâàòíîñòè óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè, ïîñêîëüêó ýòó âåëè÷èíó ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê äîëþ äèñïåðñèè íàáëþäàåìûõ äàííûõ, îáúÿñíåííûõ ïîñòðîåííîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëüþ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñ íåñêîëüêèìè îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè. Ïóñòü (X1i , X2i , . . . , Xmi ), i = 1, . . . , p âåêòîð íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé m ïåðåìåííûõ X1 , X2 , . . . , Xm ; (Y1 , Y2 , . . . , Yp ) âåêòîð íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé îáúÿñíÿåìîé ïåðåìåííîé Y . Òîãäà ìíîãîìåðíàÿ (ìíîæåñòâåííàÿ) ëèíåéíàÿ ðåãðåñèîííàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ñòàíäàðòíîì âèäå òàê: Yi = β1 X1i + β2 X2i + · · · + βm Xmi + Ui , i = 1, . . . , p. ×òîáû â ýòîé ìîäåëè âûäåëèòü ñâîáîäíûé ÷ëåí (ïî àíàëîãèè ñ α èç ïðåäûäóùåé ìîäåëè), äîñòàòî÷íî äîáàâèòü íîâûé ðåãðåññîð, âñå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ðàâíû åäèíèöå. Íàïðèìåð, ïóñòü ýòî áóäåò X1 , ò.å. X1i = 1, i = 1, . . . , p è β1 ñâîáîäíûé ÷ëåí. Îöåíêîé íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ÿâëÿåòñÿ òàêîé âåêòîð ïàðàìåòðîâ (β1 , . . . , βm ), êîòîðûé ìèíèìèçèðóåò ñóììó êâàäðàòîâ ðåãðåññèîííûõ îñòàòêîâ S= p X (Yi − β1 X1i − · · · − βm Xmi )2 i=1 Ìîäåëü ðåãðåññèè çàïèñûâàåòñÿ áîëåå êîìïàêòíî â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé îïðåäåëèì âåêòîðû Y , β , U è ìàòðèöó X ñëåäóþùèì îáðàçîì: Y1 β1 U1 X11 X12 . . . Y2 β2 U2 X21 X22 . . . Y = . . . , β = . . . , U = . . . , X = . . . . . . . . . Yp βm Up Xp1 Xp2 . . . ôîðìå. Èòàê, X1m X2m ... Xpm Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü ðåãðåññèîííóþ ìîäåëü òàê Y = Xβ + U à ñóììó êâàäðàòîâ îñòàòêîâ S = U T U = (Y − Xβ)T (Y − Xβ) . Èñõîäÿ èç óñëîâèé ìèíèìèçàöèè ñóììû êâàäðàòîâ ðåãðåññèîííûõ îñòàòêîâ ïîëó÷àåì ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé ∂S = −2 X T Y − X T Xβ = 0 ∂β îòêóäà X T Xβ = X T Y. ∂S = 0, ∂βi Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêà ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ åñòü β = XT X −1 X T Y. Ôîðìóëà äëÿ êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè îñòàåòñÿ ïðè ýòîì ïðåæíåé è åãî òî÷íî òàê æå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îöåíêè àäåêâàòíîñòè ïîñòðîåííîå ìîäåëè. Çàäàíèå  òàáëèöàõ íèæå ïðèâåäåíû äàííûå çà 10 ëåò î âûïóñêå âàëîâîé ïðîäóêöèè (ÂÏ, òûñ. ãðí.), ñòîèìîñòè îñíîâíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôîíäîâ (ÎÏÔ, òûñ. ãðí.) è çàòðàòàõ òðóäà (ÇÒ, òûñ. ÷åë-÷àñ) ïî îäíîé èç îòðàñëåé ïðîèçâîäñòâà (öèôðû ïî ïîñëåäíèì äâóì ïîêàçàòåëÿì äàíû â 10 âàðèàíòàõ). Íà îñíîâå ýòîé èíôîðìàöèè íåîáõîäèìî: 1. Ïîñòðîèòü ïðîèçâîäñòâåííóþ ôóíêöèþ ÊîááàÄóãëàñà, èñïîëüçóÿ ðåãðåññèîííûé àíàëèç. 2. Îöåíèòü ñòåïåíü àäåêâàòíîñòè ðåãðåññèîííîé ìîäåëè ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè R2 . Íà áàçå ïîñòðîåííîé ýêîíîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè îïðåäåëèòü: 2.1. Ýëàñòè÷íîñòü âûïóñêà âàëîâîé ïðîäóêöèè ïî êàæäîìó ðåñóðñó. 2.2. Ñòåïåíü îäíîðîäíîñòè ïîëó÷åííîé ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè. 2.3. Ìîäåëè ñðåäíåé è ïðåäåëüíîé ôîíäîîòäà÷è; ñðåäíåé è ïðåäåëüíîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòè òðóäà; ïîòðåáíîñòè â êàæäîì ðåñóðñå ïðè çàäàííûõ âåëè÷èíàõ âòîðîãî ðåñóðñà è âàëîâîé ïðîäóêöèè; ôîíäîâîîðóæåííîñòè òðóäà; ïðåäåëüíîé íîðìû çàìåùåíèÿ ðåñóðñîâ. 3. Ñäåëàòü òî÷å÷íûé è èíòåðâàëüíûé ïðîãíîçû âàëîâîé ïðîäóêöèè íà 11-é ãîä, ýêñòðàïîëèðóÿ ïî ëèíåéíîìó òðåíäó íà 11-é ãîä ðÿäû äèíàìèêè ÎÏÔ è ÇÒ. Ïî êàæäîìó ïóíêòó ñäåëàòü ýêîíîìèêî-ñòàòèñòè÷åñêèå ïîÿñíåíèÿ è âûâîäû. Íàïîìíèì, ÷òî ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèåé ÊîááàÄóãëàñà íàçûâàåòñÿ ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ, ñâÿçûâàþùàÿ îáúåì âûïóñêà ñ çàòðàòàìè òðóäà è êàïèòàëüíûìè âëîæåíèÿìè: Y = AK α Lβ ãäå Y ïîêàçàòåëü âûïóñêà ïðîäóêöèè, K ñòîèìîñòü îñíîâíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ôîíäîâ (êàïèòàëà, êàïèòàëüíûõ âëîæåíèé), L çàòðàòû òðóäà â íàòóðàëüíîì âûðàæåíèè. Íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû A, α è β íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èëè ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììû êîððåëÿöèîííî-ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà. Ðåêîìåíäóåòñÿ èñïîëüçîâàòü òàáëè÷íûé ðåäàêòîð Excel. Ðàñ÷åòû ïàðàìåòðîâ ïðîâîäÿòñÿ â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: 1. Ââîä â ýëåêòðîííûå òàáëèöû èñõîäíûõ äàííûõ.  ñîîòâåòñòâóþùèé ëèñò îòêðûòîé êíèãè Excel ââîäÿòñÿ ïåðåìåííûå Y , K , L â âèäå îòäåëüíûõ ñòîëáöîâ. 2. 3. Ëîãàðèôìèðîâàíèå èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ. Ñ ïîìîùüþ êîìàíäû =LN(àäðåñ ÿ÷åéêè) îñóùåñòâëÿåòñÿ ðàñ÷åò ïåðâîãî ÷èñëà èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòîëáöà è ðåçóëüòàò çàíîñèòñÿ â íîâóþ òàáëèöó ëîãàðèôìèðîâàííûõ äàííûõ. Îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ ïóòåì êîìàíä Êîïèðîâàòü Âñòàâèòü ïðàâîé ìûøüþ. Ðåãðåññèîííûé àíàëèç ëîãàðèôìèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ. Ñíà÷àëà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîäãîòîâêà ê àíàëèçó ñ ïîìîùüþ êîìàíä Ñåðâèñ Íàäñòðîéêè Ïàêåò àíàëèçà. Çàòåì âûïîëíÿåòñÿ ñàì ðàñ÷åò ïóòåì èñïîëüçîâàíè êîìàíä Ñåðâèñ Àíàëèç äàííûõ Ðåãðåññèÿ. Ïðè ýòîì ñëåäóåò óêàçàòü àäðåñ ÿ÷ååê âõîäíîãî èíòåðâàëà Y (ò.å. ñòîëáåö ñî çíà÷åíèÿìè LN (Y)) è âõîäíîãî èíòåðâàëà X (ñòîëáöû ñî çíà÷åíèÿìè LN(K), LN(L)). Âûâîä èòîãîâ àíàëèçà îñóùåñòâëÿåòñÿ íà íîâûé ðàáî÷èé ëèñò. Ïðè ýòîì α = êîýôôèöèåíò ïðè K, β = êîýôôèöèåíò ïðè L, LN (A) = êîýôôèöèåíò ïðè Y -ïåðåñå÷åíèè. ×òîáû íàéòè A, ñëåäóåò îñóùåñòâèòü ïîòåíöèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ âñòðîåííîé ôóíêöèè EXP. Òî÷íîñòü ïîñòðîåííîé ýêîíîìåòðè÷åñêîé ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì äåòåðìèíàöèè R2 . 4. Ðàñ÷åò õàðàêòåðèñòèê ïðîèçâîäñòâåííîé ôóíêöèè Îñòàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå íàäî ðàññ÷èòàòü, ìîæíî âû÷èñëèòü òàêæå â Excel. Îäíàêî òåõíè÷åñêè ýòî ìîæíî ñäåëàòü è âðó÷íóþ, èñïîëüçîâàâ ïîëó÷åííûå â Excel ïàðàìåòðû A, α, β , ïîäñòàâèâ èõ â ôîðìóëû. Êàê è â ïðåäûäóùèõ ðàáîòàõ, i íîìåð ãðóïïû, j íîìåð ñòóäåíòà â ãðóïïå. Äëÿ äàííîé ðàáîòû âàðèàíò îïðåäåëÿåòñÿ êàê j mod 10 + 1. Âàëîâàÿ ïðîäóêöèÿ Y è îñíîâíûå ïðîèçâîäñòâåííûå ôîíäû K Âàðèàíò Ãîä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y 425 471 510 527 544 587 590 618 643 685 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 410 415 422 433 444 450 466 478 480 500 415 426 439 450 468 481 492 511 520 525 430 438 444 453 472 486 491 503 517 525 445 450 460 479 488 493 523 534 547 551 450 458 469 482 493 500 518 524 529 547 K 305 326 348 398 400 440 485 520 527 544 312 335 390 411 430 476 515 554 619 635 280 310 325 360 399 420 457 488 514 554 400 411 428 430 465 478 502 534 548 560 324 357 380 379 399 416 424 451 462 470 Çàòðàòû òðóäà L Âàðèàíò Ãîä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 174 189 200 225 239 253 267 276 291 302 160 166 173 189 194 199 207 216 226 238 167 176 189 200 221 235 244 253 266 295 170 181 194 205 228 239 260 265 278 300 175 183 199 213 226 241 257 269 281 299 L 92 101 112 128 143 159 162 177 183 190 101 125 136 144 155 160 171 179 189 200 88 67 100 105 120 133 148 163 170 175 111 122 135 140 158 166 177 182 196 209 124 137 148 156 171 189 194 222 235 256 Ëèòåðàòóðà 1. Àëüñåâè÷ Â.Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýêîíîìèêà. - Ì.: Äèçàéí ÏÐÎ, 1998. 2. Òåðåõîâ Ë.Ë. Ïðîèçâîäñòâåííûå ôóíêöèè. - Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1974. 3. Êëåéíåð Ã.Á. Ïðîèçâîäñòâåííûå ôóíêöèè. - Ì.:Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1986. 4. ÃðàíáåðãÀ.Ã. Äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè íàðîäíîãî õîçÿéñòâà. - Ì.: Ýêîíîìèêà, 1985.