ЛЕКЦИЯ 9 Когерентные состояния. Продолжение. Смешанные

ЛЕКЦИЯ 9
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Продолжение
Чтобы найти волновые функции состояний α в координатном представлении, можно
умножить обе части последней формулы слева на |x⟩ и учесть, что
⟨x |α⟩ = ψα(x), ⟨x|n⟩ = ψn(x).
Тогда получим
−
ψα(x) = e
α2 ∞
2
∑
n =0
αn
ψn(x).
n!
Просуммировать этот ряд можно, но хлопотливо. Поэтому будем действовать
непосредственно. Ставим задачу на собственные значения оператора a$ − в x -представлении:
a$ − ψα(x) = αψα(x),
или
1  x$
x 

+ i 0 p$  ψα(x) = αψα(x),
h 
2  x0
или, в явном виде
µω
1
(
+
h
2
h d
)ψα(x) = αψα(x).
µω dx
Общее решение уравнения сразу находится разделением переменных:
−(
ψα(x) =A e
µω
x − α )2
2h
.
Обозначая Re α ≡α1, Imα≡α2 и определяя обычным способом A из условия нормировки,
найдем
ψα(x) =
4
µω − i α1α2 i
e
e
πh
2µω
α x
h 2
1 µω
− (
x − 2α1 )2
h
2
e
.
Вводя еще обозначения
x~ ≡
2h
α
µω 1,
~ ≡ 2µhωα ,
p
2
представим искомые волновые функции в виде
ψα(x) = e− i
α 1α 2
i~
px
eh ψ 0 (x − x~) ,
где ψ 0 - волновая функция основного состояния осциллятора.
1
Состояния α , описываемые векторами α (или собственными функциями ψ0(y)
оператора a$ − , называются когерентными состояниями. Они обладают рядом замечательных
свойств.
1. В состояниях α соотношение неопределенностей минимизируется:
∆x ⋅ ∆p = h 2 .
2. Средние значения координаты ( и импульса ) в когерентных состояниях меняются
во времени по классическому закону:
x α (t) = xкл(t) =Acos(ωt+ϕ).
3. Связь между средними x,p и E такая же, как в классике:
H
α
=
p
2
α
2µ
+
µω 2
x
2
2
α
.
4. «Волновые пакеты», отвечающие когерентным состояниям, не расплываются, т.е.
дисперсия координаты (и импульса) остается постоянной.
Можно сказать, что когерентные состояния наиболее близки к классическим. Они
были открыты в связи с исследованием свойств когерентности лазерного излучения, а сейчас
используются в самых разных разделах современной физики, в том числе и в физике низких
температур.
СМЕШАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
До сих пор мы описывали состояния микросистемы векторами гильбертова
пространства |ψ⟩ и волновыми функциями ψ(q) в каком-то заданном q-представлении. Это
есть максимально полное квантовомеханическое описание состояний, и они называются
чистыми состояниями. Но бывает и так, что для некоторых состояний мы не располагаем
всей информацией, необходимой для сопоставления им векторов |ψ⟩ или волновых функций
ψ(q). Такие состояния называются смешанными, и их способ описания - иной.
Начнем с достаточно простого случая системы двух частиц 1 и 2. Для системы из
одной частицы 1 пусть волновая функция есть ψ(1) (q1), а базисные функции обозначим как
ϕn(1)(q1), так что
ψ(1) (q1) = ∑ Cn(1) ϕn(1)(q1).
n
Для системы одной частицы 2 аналогично пусть волновая функция ψ(2) (q2), а базис
образует ϕm(2)(q2):
ψ(2) (q2) = ∑ Cm(2) ϕm(2)(q2).
m
Если в двухчастичной системе 1-2 отдельные частицы не взаимодействуют, то ее
волновая функция есть произведение одночастичных:
ψ (q1,q2) = ψ(1) (q1)ψ(2) (q2) =
∑C
(1)
n
Cm(2) ϕn(1)(q1)ϕm(2)(q2).
n ,m
Но в общей ситуации, когда частицы взаимодействуют, полную волновую функцию
нельзя представить в виде произведения одночастичных. Базис здесь образуют
всевозможные произведения ϕn(1)(q1)ϕm(2)(q2), и можно записать разложение
ψ(q1,q2) =
∑C
n ,m
nm
ϕ nm (q1 , q2 ) =
∑C
nm
ϕn(1)(q1)ϕm(2)(q2).
n ,m
2
Однако, коэффициенты Cnm уже нельзя представить в прежней форме
Cnm ≠ Cn(1)Cm(2).
Введем обозначение
∑ Cnmϕm(2)(q2) ≡ φ(q2)
m
и представим общее разложение в форме
ψ(q1,q2) =
∑
φn(q2)ϕn(1)(q1).
n
Пусть теперь нас интересуют характеристики частицы 1 в общей двухчастичной
системе 1-2. Например, пусть нас интересует среднее значение какой-то наблюдаемой F$ (1)
этой частицы - скажем, ее импульса p$ (1) . Тогда в отсутствие взаимодействия мы получим:
∫ dq dq ψ
F$ (1) =
1
∗
2
(q1 , q2 )F$ (1) ψ(q1 , q2 ) =
∫ dq ψ
(1)∗
1
(q1 )F$ (1) ψ (1) (q1 )∫ dq2 ψ (2)∗ (q2 )ψ (2) (q2 )
1444
424444
3
=1
= ∫ dq1 ψ
≡
(1)∗
(q1 )F$ (1) ψ (1) (q1 ) =
∑ ρ ∫ dq ϕ
n ,n ′
(1)
nn ′
1
(1)∗
n
F$ (1) ϕ (n1′) ≡
∑C
n ,n ′
∑ρ
n ,n ′
(1)∗
n
(1)
nn ′
Cn(1′) ∫ dq1ϕ (n1)∗ F$ (1) ϕ (n1) ≡
(1)
F$nn
′ ,
ρnn’ ≡ Cn(1)∗Cn’(1).
Видим, что в случае невзаимодействующих частиц среднее значение наблюдаемой
частицы 1 определяется только ее волновой функцией, а наличие частицы 2 вообще
несущественно. Это и естественно, поскольку частицы не влияют друг на друга.
Но пусть теперь взаимодействие присутствует. Тогда
F$ (1) =
∫ dq dq ψ
1
∗
2
(q1 , q2 )F$ (1) ψ (q1 , q2 ) =

∫ dq dq ∑ φ
1
2
n
∗
n

(q2 )ϕ (n1)∗ (q1 ) ×



× F$ (1) ∑ φ n ′ (q2 )ϕ (n1′) (q1 ) =
 n′


=
∫ dq dq ∑ φ
≡
∫ dq ∑ ρ {ϕ
1
1
2
n ,n ′
n ,n ′
nn ′
∗
n

(q2 )φ n ′ (q2 ){ϕ (n1)∗ (q1 )F$ (1) ϕ (n1′) (q1 )} ≡

(1)∗
n
} ∑ρ
(q1 )F$ (1) ϕ (n1′) (q1 ) ≡
n ,n ′
nn ′
(1)
F$ nn
′ .
Здесь введена матрица плотности
ρnn’ ≡ ∫ dq2φ∗n(q2)ϕn’(1)(q1).
3
Формально среднее от F$ (1) вычисляется с ее помощью так же, как в предыдущем
случае. Но если там (в отсутствие взаимодействия) матрица плотности ρ(1)nn’ определялась
исключительно поведением частицы 1, то теперь (в общей ситуации) в нее уже входит и
поведение частицы 2. Таким образом, при наличии взаимодействия состояние частицы 1 (с
точки зрения возможности вычисления средних значений) не может быть описано какой-то
волновой функцией вида ψ(q1). Это состояние описывается матрицей плотности, которая
включает характеристики не только частицы 1, но и всей системы в целом. Такое состояние
частицы 1 (но не всей системы!) и является смешанным. В нашем примере оно возникло
потому, что, строго говоря, частица 1 не образует систему - она есть подсистема более
широкой системы 1-2. И естественно, что ее описание самой по себе будет неполным.
Теперь мы хотим ввести понятие смешанного состояния и его характеризации в
самой общей ситуации. Для этого начнем с чистого состояния ψ, которое описывается
вектором |ψ⟩ и несколько переформулируем известные нам положения. Интересовать нас
будут прежде всего средние значения наблюдаемых в заданных состояниях. В обычном
формализме
F ψ = ⟨ψ| F$ |ψ⟩.
Введем ортонормированный базис |n⟩ и перепишем эту формулу, два раза используя
разложение единицы:
F
ψ
= ⟨ψ| I$ F$ I$ |ψ⟩ =
∑
ψ n n F$ n ′ n ′ ψ ≡
n ,n ′
∑ { n′ ψ
ψ n
n ,n ′
} n F$ n ′
.
Величина
ψ ψ ≡ ρ$ ψ
есть оператор - проектор на вектор |ψ⟩. Назовем его статистическим оператором данного
чистого состояния ψ. Величины
n ′ ψ ψ n ≡ n ′ ρ ψ n ≡ (ρ ψ ) n ′n
образуют матрицу статистического оператора. Назовем ее матрицей плотности данного
чистого состояния ψ. Величины
⟨n| F$ |n’⟩ ≡Fnn’
образуют матрицу оператора F$ в заданном базисе. Таким образом,
F
∑ (ρ
)
ψ
=
ψ
= Sp (ρ$ ψ F$ ) .
n ,n ′
ψ n ′n
Fnn ′ =
∑ (ρ$
n′
ψ
F$ ) n ′n ′ ,
или
F
Итак, среднее значение наблюдаемой F в состоянии ψ можно вычислять или задавая
вектор состояния |ψ⟩, или задавая статистический оператор ρ$ ψ (матрицу плотности).
Покажем, что это же справедливо и для вероятностей. Пусть нас интересует вероятность
Wψ(f) получить при измерении наблюдаемой F в состоянии ψ значение f. Считая для
простоты записи спектр дискретным и простым, получим:
Wψ ( f ) = f ψ
2
= ψ f f ψ ≡ ψ π$ f ψ ,
4
где введен оператор проектирования
π$ f ≡ f f
на собственный вектор f оператора F$ , отвечающий интересующему нас собственному
значению f . Вычисление вероятности сводится к вычислению среднего значения этого
оператора в состоянии ψ, а потому, согласно предыдущему,
Wψ ( f ) = Sp (ρ$ ψ π$ f ) .
РЕЗЮМЕ
Чистое состояние можно задавать как вектором |ψ⟩, так и статистическим
оператором ρ$ ψ (матрицей плотности).
Свойства статистического оператора ρ$ ψ :
1. Как и всякий оператор, он есть эрмитов оператор:
ρ$ ψ + = ρ$ ψ .
2. Статистический оператор - положительный:
ϕ ρ$ ψ ϕ ≥ 0, ∀ϕ ∈ Η .
Действительно,
ϕ ρ$ ψ ϕ = ϕ ψ ψ ϕ = ψ ϕ
2
≥ 0.
3. Диагональные матричные элементы его лежат в интервале (0,1):
0 ≤ n ρ$ ψ n ≤ 1 .
Это сразу следует из того, что
⟨n| ρ$ ψ |n⟩ = |⟨n|ψ⟩|2 ≡ |ψn|2.
Справа величина неотрицательная, а сумма всех таких величин 1.
4. След статистического оператора равен 1:
Sp ρ$ ψ = 1.
Действительно,
Sp ρ$ ψ = Sp( ρ$ ψ I$ ) = ⟨ψ |I|ψ⟩ = ⟨ψ |ψ⟩ = 1.
5. Статистический оператор чистого состояния - идемпотентный:
ρ$ ψ 2 = ρ$ ψ .
Это следует из того, что двойное проектирование ничего нового не дает.
5
6. Статистический оператор подчиняется уравнению
∂
i h
ρ$ = H$ , ρ$ ψ .
∂t ψ
[
]
Это следует из его определения и из уравнения Шредингера:
∂
ρ$ =
i h
∂t ψ
∂ψ
∂ψ
∂
=i h
ψ ψ = ih
ψ + ψ ih
= H$ ψ ψ − ψ ψ H$ =
∂t
∂t
∂t
{
}
[
]
i = H$ ρ$ ψ - ρ$ ψ H$ = H$ , ρ$ ψ .
Проведенное рассмотрение делает естественным следующее обобщение.
Основной постулат квантовой механики
Произвольное
состояние
квантовомеханической
системы
описывается
статистическим оператором ρ$ общего вида, т.е. некоторым эрмитовым положительным
оператором с единичным следом:
ρ$
+
= ρ$ , ρ$ ≥ 0,
Sp ρ$ =1.
Физический смысл смешанных состояний, т.е. состояний, описываемых
статистическими операторами общего вида, устанавливает следующее важнейшее
утверждение:
Всякий статистический оператор может быть представлен как
ρ$ = ∑ ρ a ρ$ ψ a ,
a
где ρ$ ψ a - статистические операторы (проекторы) чистых состояний ψ , а ρ a - числа со
свойствами
ρa≥0, ∑ ρ a = 1.
a
Доказательство основывается на математическом результате, что всякий эрмитов
оператор с конечным следом (такие операторы называются ядерными) имеет чисто
дискретный спектр. Ставим задачу на собственные значения
ρ$ |ψa⟩ = ρa |ψa⟩,
где числа ρa вещественны ( ρ$
+
= ρ$ ), а векторы |ψa⟩ - ортонормированы
⟨ψa|ψa’⟩ = δaa
и образуют базис:
∑
ψ a ψ a = I$ .
a
Умножаем обе части уравнения справа на ⟨ψa|, суммируем по а и учитываем разложение
единицы:
ρ$ =
∑ρ
a
a
ψa ψa =
∑ρ
a
a
ρ$ ψ a .
6
Для чисел ρa имеем:
ρa ≡ ρa ⟨ψa|ψa⟩ = ⟨ψa|ρa|ψa⟩ = ⟨ψa| ρ$ |ψa⟩ ≥ 0,
где использовано уравнение на собственные значения и положительность ρ$ .
Наконец, вводя произвольный ортонормированный базис, найдем:
∑ρ
a
a
=
∑ρ
a
ψa ψa =
∑∑ρ
a
a
=
a
ψa n n ψ a =
n
n


n ∑ ρ a ρ$ ψa  n =
a

∑
n
∑∑ρ
∑
n ψa
a
ψa n
a
n ρ$ n = Sp ρ$ = 1 ,
n
и утверждение доказано.
В основной постулат входит, разумеется, тот же способ вычисления средних
значений в произвольном состоянии, что и для чистых состояний:
F ρ = Sp( ρ$ F$ ).
Преобразуем эту формулу:
F
ρ


= Sp( ρ$ F$ ) = Sp (∑ ρ a ρ$ ψ a )F$  =
 a

т.е.
F
ρ
=
∑ρ
a
F
a
ψa
∑ρ
a
a
Sp(ρ$ ψ a F$ ) =
∑ρ
a
F
a
,
a
.
Отсюда проистекает великий смысл смешанных состояний. Они соответствуют ансамблю,
т.е. множеству копий одной и той же системы, каждая из которых находится в каком-то
квантовом состоянии ψa, но не известно, в каком именно. Об этом мы можем судить лишь
вероятностно, причем вероятность того, что при измерении F мы «наткнемся» на систему в
состоянии ψa равна как раз ρa. Тогда среднее значение F в смешанном состоянии будет
вычисляться как средневзвешенное отдельных средних F a с весами ρa:
ρa ≥ 0,
∑
ρa = 1.
a
Обычная терминология здесь такая. Если у статистического оператора ρ$ есть хотя
бы два различных собственных значения ρ a , то состояние называется смешанным. Если же у
него есть только одно собственное значение (тогда оно равно 1), то состояние - чистое.
Последнее естественно, ибо тогда ρ$ сводится к ρ$ ψ , а мы видели, что задание ρ$ ψ - один из
возможных способов описания обычных (чистых) состояний.
Если состояние смешанное, то при вычислении средних приходится проводить
двоякое усреднение. Первое из них (слагаемые F a в последней формуле) - специфическое
квантовомеханическое усреднение, от которого никуда не денешься. Оно присуще уже
чистым состояниям и не имеет классического аналога. Второе усреднение (суммирование по
а с весами ρa) проводится по ансамблю и связано лишь с неполнотой описания. Мы с ним
встретились в изначальном примере, когда искусственно выщепили одну частицу из единой
двухчастичной системы. Такое усреднение не является специфическим для квантовой
механики. Оно присуще уже классической физике и составляет основу любого
статистического подхода. Поэтому в квантовой механике главенствующая роль принадлежит
именно чистым состояниям. А смешанные состояния широко используются в квантовой
7
статистике, а также при описании поляризационных свойств пучков частиц (например,
фотонов при наличии у света частичной поляризации).
И в заключение одно замечание технического характера. Найдем квадрат
статистического оператора:
ρ$ 2 = (∑ ρ a ρ$ ψ a 2 = (∑ ρ a ψ a ψ a (∑ ρ b ψ b ψ b ) =
a
a
=
b
∑ρ ρ δ
a
b
ψa ψb =
ab
∑ρ
a,b
2
a
∑ρ
a
ρb ψ a ψ a ψ b ψ b
a,b
ψ a ψ a , т.е.
a
ρ$ 2 =
∑ρ
2
a
a
ρ$ ψ a .
Шпур находим сразу, учитывая, что Sp( ρ$ ψ ) = 1:
Sp ρ$ 2 =
∑ρ
2
a
.
a
А теперь вспомним, что
ρ$ a ≥ 0, ∑ ρ a = 1.
a
Если состояние чистое, то отлично от нуля только одно ρ$ a , причем оно есть 1.
Поэтому для чистого состояния
Sp (ρ$ 2 ) чист = 1.
Для смешанного состояния есть несколько ненулевых ρ$ a . Каждое из них меньше 1,
а потому (ρ$ 2 a ) < ρ a . Это значит, что
∑ρ
2
a
<
a
∑ρ
a
= 1,
a
т.е. для смешанного состояния
Sp ( ρˆ 2 смеш ) < 1 .
В итоге получен критерий, позволяющий определить, не решая задачу на
собственные значения оператора ρ$ , описывает ли он чистое состояние, или смешанное.
8
9