Геометрия воскового кружева пчелиных сот

V областная научно-практическая
конференция обучающихся
«Первые шаги в науку»
«Геометрия воскового кружева
пчелиных сот»
Автор: Шанина Анна,
Студентка 2 курса
Специальности «Дошкольное образование»
Руководитель: Мельникова С.В.,
Преподаватель математики
Образовательное учреждение:
ТОГБОУ СПО «Педагогический колледж г. Тамбова»
Тамбов
2 февраля 2012 года
«Мой дом построен по законам
самой строгой архитектуры.
Сам Евклид мог бы поучиться,
познавая геометрию моих сот»
Пчелы разрешили задачу, предоставляющую
немалые геометрические трудности.
Архитектура сот с их шестигранными
ячейками известна практически каждому.
Но действительно ли форма ячеек идеальна?
Выдвинем гипотезу:
идеальной геометрической
фигурой для построения
пчелиных сот является
шестиугольник.
Выбор геометрической фигуры
для заполнения плоскости «без
просветов».
Перед пчелами стояла задача –
заполнить пространство улья
правильными многоугольниками
сплошь без просветов.
Какие многоугольники наиболее
приемлемы для этих целей?
Суммы внутренних углов выпуклого n-угольника
равна (n-2)180. Сумма углов правильных nугольников, сходящихся в одной вершине паркета,
равна 360°.
(n 2) 180
Тогда
n
k 360°. Отсюда k=2n/(n-2)
 Если n=3, то k=6, то есть в одной
вершине паркета могут сходиться
6 правильных
треугольников;
 если n=4, то k=4,то есть в одной
вершине паркета могут сходиться
4 квадрата;
 если n=6, то k=3,то есть в одной
вершине паркета могут сходиться
3 правильных
шестиугольника;
Отсюда n = 3, 4, 6.
Поэтому, чтобы заполнить улей сотами без пустот,
пчелы должны были «выбрать» одну из форм:
правильный треугольник, квадрат, правильный
шестиугольник.
Заметим, что при строительстве торцовых мостовых
шашкам придают шестиугольную форму, но
делается это потому, что тупые углы меньше
скалываются.
Выбор геометрической фигуры с
точки зрения экономии
материала для ее изготовления.
Объем меда, содержащегося в одной ячейке
сот, будет зависеть от площади основания
ячейки и ее высоты.
Выбор формы связан с количеством воска,
расходуемого на соты.
Боковая поверхность призмы зависит от
периметра основания призмы и ее высоты.
Высоты у призм одинаковы, а вот периметры
различны.
Найдем периметры правильного треугольника,
квадрата и правильного шестиугольника,
считая их площади равными.
P3=
6а
4
P4=
4а
3
P6=
6а 2
4
Найдем отношение периметров.
P3 : P4 : P6
6
6 2
:
4
:
4
4
3
27
4,6 : 4 : 3,7
3
3
Правильный шестиугольник имеет
наименьший периметр среди фигур равной
площади.
Пчѐлы экономят воск и время для построения
сот.
Они заполняют пространство
так, что не остаѐтся просветов, экономя при
этом 2% воска.
Выбор формы геометрического
тела для ячейки.
Соты – трехмерное тело, представленное
в виде шестиугольной призмы. Они
образуют два слоя с открытыми
концами, при этом закрытые ее концы
плотно соединены друг с другом.
Существует задача «о пчелиных ячейках», над
которой бились ученые в XVIII веке.
Ее полное решение принадлежит известному
математику Маклореню, который занимался
ей по совету натуралиста Ремюра.
Еще математик IV века до н. э.
Паппус обратил внимание на
строго геометрическую форму
пчелиных сот. Дарвин пытался
объяснить возникновение этого
сложного инстинкта пчел
теорией естественного отбора.
Он допускал, что предки
современных пчел сооружали
ячейки цилиндрической формы,
и что эти ячейки, тесня друг
друга, постепенно превратились
в шестигранники
Другой момент, учитываемый пчелами
при постройке сотов - это наклон ячеек.
Ячейки с обеих сторон поднимаются на
13 градусов выше, чтобы они не были
полностью параллельны земле. Таким
образом, мед не вытекает из них.
Технология построения ячеек
сот.
Во время работы
пчелы-работницы,
цепляясь друг за
дружку, собираются
в клубок. Цель обеспечение
необходимой
температуры для
производства воска.
Существует еще одна довольно любопытная
деталь: возведение гнезда начинается с
верхней его части и продолжается
одновременно в два или три отдельных ряда
вниз.
Использование принципа
«пчелиных сот» человечеством
Принцип «пчелиных сот» широко используется в
архитектурных ансамблях всего мира, в
строительстве гигантских сооружений, в создании
новых дизайн – проектов, в производстве экоматериалов и нанотехнологиях, мобильная
сотовая сеть построена на принципах построения
пчелиных сот.
Гипотеза подтверждена. Остается только
удивляться мудрости этих трудолюбивых
насекомых.
Заключение.
При условии одинаковой
площади наименьший
периметр имеет правильный
шестиугольник. Используя
фигуру в построении сот,
пчелы сокращают расход воска
и составляют
пространственный паркет, где
не остаѐтся просветов.
Шестигранная форма соты –
наиболее устойчивая форма в
смысле распределения
нагрузок.
Объѐмы пчелиной ячейки и
правильной шестиугольной
призмы равны, но у «
пчелиной ячейки» наименьшая площадь
поверхности, что выгодно с
экономической точки зрения.
Принцип «пчелиных сот»
широко используется в
архитектурных ансамблях
всего мира.
Библиография
1. Азевич А.И. Геометрические вариации на пчелиную
тему// Математика в школе.- М: Наука, 1998. №21 с.
32-38.
2. Богданов К.Ю. Физик в гостях у биолога М.:
Наука,1986.
3. Бялко А. В. Наша планета – Земля. //Библиотечка «
Квант» М.: Наука, 1989. вып. 29 с.12-14
4. Вайскопор В.В. Наука и удивительное. Как человек
понимает природу. М.: Наука, 1985.
5. Геометрия.7-11 класс: учебное пособие для
общеобразовательных учреждений/ [Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутусов, С.Б. Кадомцев и др.].- М.:
Просвещение, 2008.
6. Вдохновение, данное пчелам. http://
www.islam.ru/science/architects/inspiration/