Стенин В.А. Пространство состояний в задачах автоматизации

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Филиал «Севмашвтуз» государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский
г о с у д а р с т в е н н ы й м о р с к о й тежнический у н и в е р с и т е т » в г . С е в е р о д в н и с к е
В. А. С т е н и н
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ В ЗАДАЧАХ
АВТОМАТИЗАЦИИ СЭУ
Учебное
пособие
Северодвинск
2008
У Д К 629.12.03
Стенин В.А. Пространство состояний в задачах автоматизации С Э У :
У ч е б н о е п о с о б и е . - С е в е р о д в и н с к : С е в н а ш в т у з , 2008. - 92 с .
Ответственный редактор: зав. кафедрой «Океанотехника и энергетические
установки», профессор А.И. Лычаков
Р е ц е н з е н т ы : к.т.н., д о ц е н т к а ф е д р ы « О к е а н о т е х н и к а и э н е р г е т и ч е с к и е у с ­
тановки» О.Д.Мюллер;
в е д у щ и й и н ж е н е р - к о н с т р у к т о р К О Ф Г У П (1ДС « З в е з д о ч к а » )
к.т.н., д о ц е н т В . В . К и я н и ц а
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по спе­
ц и а л ь н о с т и 140200,141200.
В учебном пособии рассматриваются вопросы математического описа­
ния теории автоматического управления судовыми системами на основе
пространства состояний, представлены основы матричного исчисления и
векторного анализа, методы моделирования систем управления. Дается м е ­
т о д и к а о ц е н к и у с т о й ч и в о с т и и качества п р о ц е с с о в у п р а в л е н и я , р а с с м а т р и ­
вается р а с ч е т н е с т а ц и о н а р н о г о т е п л о о б м е н а м е т о д о м п е р е м е н н ы х с о с т о я ­
ния.
В у ч е б н о м п о с о б и и п р е д с т а в л е н ы : и л . 22, т а б л . 2, с п и с о к л и т е р а т у р ы и з 7
наименований.
Печатается п о р е ш е н и ю р е д а к ц и о и н о - и з д а т е л ь с к о г о с о в е т а С е в м а ш в т у з а .
ISBN 5-7723-0718-5
© С е в н а ш в т у з , 2008 г.
Введение
И с с л е д о в а н и е с и с т е м ы у п р а в л е н и я во в р е м е н н о й области
с
п о м о щ ь ю переменных состояния предпочтительнее как по методическим
соображениям, так и благодаря удобству обозначений и простоте
проведения
анализа.
Преимущество
методического
характера
обусловливается
возможностью охарактеризовать систему
понятием
«состояние системы», которому соответствует точка в определённом
евклидовом пространстве. В этом случае поведение системы во времени
характеризуется траекторией, описываемой этой точкой. Применение
м а т р и ц и в е к т о р о в позволяет з а п и с ы в а т ь в более к о м п а к т н о м виде, как
у р а в н е н и я с и с т е м ы управления, так и их решение.
Е с л и с и с т е м а с о д е р ж и т п е р е м е н н ы е во времени п а р а м е т р ы или
нелинейные элементы, то возможность применения хорошо известных
частотных методов (после соответствующего преобразования системы)
становится ограниченной. Однако во временной области уравнений могут
быть исследованы численными методами с использованием ПЭВМ. В
этом
случае
представление
системы
в
пространстве
состояний
оказывается особенно удобным.
Представленный в пособии материал является учебным. При
изложении
материала в
г л а в а х 1, 2 и 3
автор
опирался
на
фундаментально
разработанную
теорию
матричного
исчисления
и
векторного
анализа, представленных
в
монографиях
известных
а в т о р о в : Д е р у с с о П. П р о с т р а н с т в о с о с т о я н и й в т е о р и и у п р а в л е н и я . - М.:
Мир,1970.- 3 4 3 с ; С ю Д., Мейер А. Современная теория автоматического
управления
и
ее
применение.
Пер.
с
англ.
Бочкова
В.С.М.:Машинрстроение, 1972.-544с; Директор С. Введение в теорию систем.
Пер.с англ.Бусленко В.Н.- М . : М и р , 1 9 7 4 . - 4 5 4 с ; Теория автоматического
управления.Ч.1./Бабаков Н.А. и др. Под ред. Воронова А.А.- М.:Высшая
школа, 1977.-303с.
С о д е р ж а н и е главы 4 является оригинальным; теоретические и
экспериментальные
обоснования
применения
теории
пространства
состояния к исследованию нестационарного теплообмена выполнялись
на кафедре «Океанотехника и энергетические установки». Результаты
математического
моделирования
нестационарного
теплообмена
на
П Э В М методом переменных состояния показывают
перспективность
использования
этого
метода для
решения
уравнений
в
частных
производных, получения передаточных функций тепловых элементов
и
последующего
результативного
расчета систем автоматического
регулирования СЭУ.
1. М а т р и ц ы
1.1. О с н о в н ы е п о н я т и я
Матрица
-
это совокупность
чисел
или
объектов другой
природы,
расположенных в виде таблицы.
1
А=
а
п
a
2i
1
1
| Э]2 | . . . | а , . |
...
| л
м
,
... | ... ! ... I ... !
1
1
1 > .1
Т а к а я т а б л и ц а , с о с т о я щ а я и з m с т р о к и п с т о л б ц о в , с о д е р ж и т m-n к л е т о к
(позиций). Числа или л ю б ы е другие объекты, расположенные в клетках
таблицы, называют элементами матрицы.
Кроме приведенной клеточной записи используют и другие способы
представления матриц, например:
1
о^, <3„,
«II
«12
а,,
о„
о„,,
Прямоугольная матрица, имеющая m строк и п столбцов, называется mxn
матрицей. Если т = п , т о матрица называется квадратной, а число п - её
порядком. Матрицу можно определить соотношением: А = [ a j .
Е с л и м а т р и ц а с о с т о и т и з о д н о г о с т о л б ц а или о д н о й с т р о к и , т о о н а
соответственно называется столбцовой (или строчной). К примеру, n x l матрица
н а з ы в а е т с я м а т р и ц е й - с т о л б ц о м , в е к т о р о м - с т о л б ц о м , п-ве к т о ром или п р о с т о
вектором.
Вектор можно представить в виде:
Квадратная матрица порядка п называется диагональной,
э л е м е н т ы е£ в н е г л а в н о й д и а г о н а л и р а в н ы н у л ю , т о е с т ь :
если
все
[d,
о
...
о i
[О
0 ...
d„\
Э т а м а т р и ц а з а п и с ы в а е т с я к р а т к о D=diag(di, d , . . . . do). Е с л и в
диагональной матрице d = d - - < l i i l , т о имеем единичную матрицу п-го
п о р я д к а . М а т р и ц а п р о и з в о л ь н о й р а з м е р н о с т и , в с е э л е м е н т ы к о т о р о й р а в н ы О,
н а з ы в а е т с я н у л е в о й м а т р и ц е й ( о б о з н а ч а е т с я 0).
2
=
)
=
=
2
1.2. О с н о в н ы е о п е р а ц и и н а д м а т р и ц а м и
Сложение
матриц. С у м м а д в у х м а т р и ц А и В о д и н а к о в ы х р а з м е р о в
определяется как матрица С таких ж е размеров, каждый элемент которой равен
с у м м е с о о т в е т с т в у ю щ и х э л е м е н т о в м а т р и ц , т о е с т ь С = А + В , е с л и с,,= а ^ Ь,,.
П р и м е р 1.1.
1
3
[о
0
~ "Ш
2
04J4
7
~
_ 2
3
1 0
<W
0
1Л
-wJ
~
1
L
3
^
1
3
1
о J"
Умножение матрицы на число. П о о п р е д е л е н и ю п р о и з в е д е н и е м м а т р и ц ы
А на число а (число называют скаляром) является матрица С=А-а, элементы
которой получаются умножением соответствующих элементов матрицы А на
это число, т о есть c.^aa.j.
П р и м е р 1.2.
,_[5
4
-|]J10
" [1
2
0J
[_
8
2
4
-2]
°_Г
Умножение матриц. П р о и з в е д е н и е м м а т р и ц ы А р а з м е р а ( т х п ) н а
м а т р и ц у В р а з м е р а (пхг) я в л я е т с я м а т р и ц а O A - В р а з м е р а ( m x r ) э л е м е н т Су
к о т о р о й , р а с п о л о ж е н н ы й в i j к л е т к е , р а в е н с у м м е п р о и з в е д е н и й э л е м е н т о в i-ой
с т р о к и м а т р и ц ы А на с о о т в е т с т в у ю щ и й э л е м е н т j - r o с т о л б ц а м а т р и ц ы В , т о
есть
c,,=a |-b)j+a -b2 +...+a -b q=^a b .
1
l2
i
in
I
rt
l4
Умножение А на В допустимо (произведение А-В существует), если
ч и с л о с т о л б ц о в А р а в н о числу с т р о к м а т р и ц ы В ( в т а к и х с л у ч а я х г о в о р я т , ч т о
эти д в е м а т р и ц ы с о г л а с у ю т с я п о ф о р м е ) .
Пример 13.
[ ( 2 1 + 0 - 2 + 3-4 + 1-3) (2-3 + 0 1 + 3 0+1-5)1 ["17 | Г |
5
1 2
О 0
4
0|х|
= 1(5-1 + 1- 2 + 2- 4 + 0-3) (5-3+1-1 + 2-0 + 0-5) | = | 15 16 |.
4 О
1 N
1(0-1 + 0-2 + 4-4+1-31 (0-3 + 0-1 + 4-0+1-5)1 I l 9 5 I
А
Транспонирование
матрицы.
Преобразование матрицы А, состоящее в
з а м е н е с т р о к с т о л б ц а м и ( и л и с т о л б ц о в с т р о к а м и ) п р и с о х р а н е н и и их
нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого
преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и
о б о з н а ч а е т с я А или А ' .
1
П р и м е р 1.4.
1
3
4]
[0
2
5J
Д'-1
1
д - I
[0
3
4|
2
5J-
Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и
обозначается Sp(A) или Т г ( А ) (Spar, Trace).
13. Матричная запись системы линейных уравнений
П е р в о н а ч а л ь н о м а т р и ц ы б ы л и в в е д е н ы д л я у п р о щ е н и я з а п и с и систем
линейных уравнений, что обусловило и определение основных матричных
операций. Система линейных уравнений
а
J
У2 ^ и-х^а -х +...
22
L
Х
+
2
+а
Ут = °т\ ' 1 т2 '
а -х \
гп
я
+ • • • + Ч„„ ' *„
записывается одним матричным равенством:
Ух
Уг
Д е й с т в и т е л ь н о , п е р е м н о ж и в в п р а в о й ч а с т и р а в е н с т в а ( т х п ) - м а т р и ц у на
столбцовую матрицу, получим:
tУу]
j ~ « „ • • * | + « и - * 1 + —
I v_ I I o_, ос, + a_,
+
« 1 . - * . .
or, + ... + e„, x„
Из равенства матриц-столбцов следуют равенства для соответствующих
элементов, которые совпадают с исходной системой уравнений. Если
обозначить
У=
то матричное равенство запишется следующим образом: у = А х ,
1.4. О п р е д е л и т е л ь
Рассмотрим
неизвестными:
два
линейных
алгебраических
уравнения
с
двумя
П
14
\ •' • J
или в матричной форме:
Ах=у,
(1-2)
где
л-fa'
<Ч
Выражения
а
«II
« И
" « И
"2!
«11 - « И
~
а
1 2
11
д а ю т р е ш е н и е с и с т е м ы (1.1) в п р е д п о л о ж е н и и , что в е л и ч и н а а •а
п
равна нулю. Величина а
1
Г
а -а а
и
и
п
п
-а -д
п
21
не
называется определителем матрицы А и
о б о з н а ч а е т с я det(A), т о е с т ь det(A)=A= а
-а
п
-а .
и
Следовательно, система
21
у р а в н е н и й (1.1) и м е е т р е ш е н и е , е с л и det(А>Ю.
Основные свойства определителей легко доказываются на основе общего
выражения и словесно формулируются следующим образом:
1. О п р е д е л и т е л ь м а т р и ц ы н е и з м е н я е т с в о е г о з н а ч е н и я при в з а и м н о й з а м е н е её
с т р о к и с т о л б ц о в . П о э т о м у все с в о й с т в а о п р е д е л и т е л я , с ф о р м у л и р о в а н н ы е д л я
столбцов, справедливы и для строк и обратно.
2. П р и п е р е с т а н о в к е д в у х с т о л б ц о в о п р е д е л и т е л ь м е н я е т з н а к ( с в о й с т в о
антисим метрии).
3. О п р е д е л и т е л ь р а в е н н у л ю , если все э л е м е н т ы к а к о г о - н и б у д ь с т о л б ц а р а в н ы
н у л ю или е с л и о д и н из с т о л б ц о в является л и н е й н о й к о м б и н а ц и е й л ю б ы х е г о
д р у г и х с т о л б ц о в (в ч а с т н о с т и , о п р е д е л и т е л ь , у к о т о р о г о х о т я б ы два с т о л б ц а
одинаковы, равен нулю).
4. У м н о ж е н и е всех э л е м е н т о в к а к о г о - н и б у д ь с т о л б ц а на с к а л я р X р а в н о з н а ч н о
у м н о ж е н и ю о п р е д е л и т е л я на X ( о б щ и й м н о ж и т е л ь э л е м е н т о в с т р о к и л и с т о л б ц а
м о ж н о в ы н е с т и за з н а к о п р е д е л и т е л я ) .
5. У м н о ж е н и е м а т р и ц ы п-го п о р я д к а на с к а л я р X с о о т в е т с т в у е т у м н о ж е н и ю её
о п р е д е л и т е л я на Х\ т о е с т ь det(A.-A)=X. -detA.
B
6. З н а ч е н и е о п р е д е л и т е л я н е и з м е н я е т с я , е с л и к
п р и б а в и т ь д р у г о й с т о л б е ц , у м н о ж е н н ы й н а с к а л я р X.
какому-нибудь
столбцу
7. Е с л и д в а о п р е д е л и т е л я о д и н а к о в ы х п о р я д к о в р а з л и ч а ю т с я м е ж д у с о б о й
т о л ь к о э л е м е н т а м и i-ro с т о л б ц а , т о их с у м м а р а в н а о п р е д е л и т е л ю , э л е м е н т ы i го с т о л б ц а к о т о р о г о р а в н ы с у м м а м с о о т в е т с т в у ю щ и х э л е м е н т о в i-x с т о л б ц о в
исходных определителей, а остальные элементы те же, что у исходных
(свойство линейности).
Вычисляется
определитель
различными
способами.
Разложение
о п р е д е л и т е л я п о э л е м е н т а м с т р о к и или с т о л б ц а п р о щ е всего, к о г д а в этой в
этой с т р о к е и л и с т о л б ц е и м е е т с я е д и н с т в е н н ы й н е н у л е в о й э л е м е н т . Т о г д а
о п р е д е л и т е л ь р а в е н п р о и з в е д е н и ю э т о г о э л е м е н т а на е г о а л г е б р а и ч е с к о е
дополнение. К такому виду м о ж н о преобразовать определитель путем операций
над е г о с т р о к а м и или с т о л б ц а м и , и с п о л ь з у я о с н о в н ы е с в о й с т в а .
Процесс вычисления иллюстрируется следующим
П р и м е р 1.5.
j-2 3
15
4
0
0
6
5
Oj
-2
3
2
uj
- 3 21
1 5|
| 5
0
-3
2|
4
0
2
2
11
3
2
5
1 5
0 - 2 1
образом.
3 21
5
-2
1
З д е с ь с н а ч а л а п е р в а я с т р о к а , у м н о ж е н н а я — н а (-2), п р и б а в л я й с я ~ к
последней строке, в результате чего второй столбец содержит только один
ненулевой элемент. Разложение п о этому столбцу приводит к определителю
третьего порядка. Прибавляя ко второй и третьей строкам первую, умноженную
на (-4/5) и (-1), п о л у ч а е м с т о л б е ц с е д и н с т в е н н ы м н е н у л е в ы м э л е м е н т о м .
Теперь разлагаем определитель по первому столбцу и сводим е г о к
о п р е д е л и т е л ю в т о р о г о порядка. Т а к к а к э л е м е н т ы п е р в о й с т р о к и о к а з а л и с ь
р а в н ы м и , в ы н о с и м за знак о п р е д е л и т е л я м н о ж и т е л ь 17/5 и, р а с к р ы в а я
определитель второго порядка, получаем окончательный результат Л=102.
Наиболее
просто
вычисляется
определитель
треугольной
или
диагональной матрицы: он равен произведению диагональных элементов. Это
с л е д у е т из р а з л о ж е н и я п о э л е м е н т а м с т о л б ц о в ( с т р о к ) о п р е д е л и т е л я в е р х н е й
(нижней) треугольной матрицы (в случае диагональной матрицы разложение
м о ж н о выполнить п о элементам строк и л и столбцов). Значения определителей
т р е у г о л ь н ы х м а т р и ц не зависят о т э л е м е н т о в , р а с п о л о ж е н н ы х в н е г л а в н о й
диагонали.
П р и м е р 1.6.
4
2
3 -7
0
1
0
-3
0 0
5
6
0 0
0
2
2
0 0 0
0
1 0 0
= 2 . Ь 5 - 2 = 20.
П р и м е р 1.7.
0 0 5 0
= 2-1-5-2 = 20.
0 0 0 2
С помощью разложения Лапласа можно также показать, что определитель
квазидиагональной матрицы равен произведению определителей квадратных
матриц, расположенных вдоль главной диагонали:
П р и м е р 1Я.
4
О
1
о
о
2
1
-2
о
о
4
О
1
3
2
0
о
о
2
1
-2
О О О
1
2
3
2
О
О О О
0
-1
I
2
О
-2
= 17-(-2) = -34.
1.5. О б р а щ е н и е м а т р и ц
В обычной алгебре два числа, произведение которых равно единице,
н а з ы в а ю т в з а и м н о о б р а т н ы м и . Ч и с л о , о б р а т н о е ч и с л у а, о б о з н а ч а е т с я а" и п о
о п р е д е л е н и ю а-а"'=1. А н а л о г и ч н о в м а т р и ч н о й а л г е б р е д в е к в а д р а т н ы е
матрицы, произведение которых равно единичной матрице, т о есть А - А ' - 1
н а з ы в а ю т в з а и м н о о б р а т н ы м и (А"' о б р а т н о А ) .
1
О п р е д е л е н и е о б р а т н о й м а т р и ц ы о с у щ е с т в л я е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м : 1)
элементы
м а т р и ц ы А п-го п о р я д к а з а м е н я ю т с я их а л г е б р а и ч е с к и м и
д о п о л н е н и я м и ; 2) м а т р и ц а а л г е б р а и ч е с к и х д о п о л н е н и й т р а н с п о н и р у е т с я , в
р е з у л ь т а т е ч е г о п о л у ч а е м п р и с о е д и н е н н у ю и л и в з а и м н у ю м а т р и ц у к А (она
о б о з н а ч а е т с я через A d j A ) ; 3) в ы ч и с л я е т с я о п р е д е л и т е л ь Д м а т р и ц ы А и
п р и с о е д и н ё н н а я м а т р и ц а A d j A у м н о ж а е т с я на в е л и ч и н у , о б р а т н у ю э т о м у
определителю.
О б р а т н а я м а т р и ц а су ш е с т в у е т д л я м а т р и ц ы А п р и у с л о в и и , что detA*0.
Вычисление обратной матрицы иллюстрируется примером:
2
1
0
А = -3
0
7
-5
4 -1
-28
>
-38
-121
I
-2
-13
7
-14
3
28
1
7
38
-2
-14
•12
-13
3
14
47
19
47
1
47
I
94
1
47
]3
94
7
94
7
47
3
94
у ч и т ы в а я , ч т о detA=-94.
1.6. Р е ш е н и я н о р м а л ь н о й о д н о р о д н о й с и с т е м ы
В матричной форме нормальная однородная система дифференциальных
у р а в н е н и й (f=0, в о д н о р о д н о й с и с т е м е все с в о б о д н ы е ч л е н ы р а в н ы н у л ю ) и м е е т
вид:
Л
л •х.
— - А
А
Б у д е м искать е ё р е ш е н и е в в и д е x=h-e*\ г д е h-вектор ( с т о л б е ц ) п р о и з в о л ь н ы х
п о с т о я н н ы х . П о д с т а в л я я х в и с х о д н о е у р а в н е н и е , п о л у ч а е м h-A,-e' =A h-e*\
u
ю
и
После сокращения на скаляр е
и п е р е н е с е н и я A h в л е в у ю ч а с т ь равенства:
(X-E-A)-h=0.
В ы н о с я за с к о б к и вектор h, н е о б х о д и м о у м н о ж и т ь п р е д в а р и т е л ь н о >.-h на
е д и н и ч н у ю м а т р и ц у Е.
У р а в н е н и е (X-E-A)-h=0 и м е е т н е т р и в и а л ь н о е р е ш е н и е при у с л о в и и , что
о п р е д е л и т е л ь м а т р и ц ы (А.-Е-А) о б р а щ а е т с я в н у л ь , т о есть 1 Х.Е-А I =0 или
А-а
а
п
и
Л-а
°2i
.
п
= 0
Т а к как п о р я д о к м а т р и ц ы А равен п, т о Д(А.) является м н о г о ч л е н о м п-й
с т е п е н и о т н о с и т е л ь н о к, т о е с т ь A(A,)=V +ai-X. " +...+a i-X" an- К о р н и у р а в н е н и я
Д ( Х ) - 0 д а д у т з н а ч е н и я Х Л. ,..., К,, п р и к о т о р ы х и с х о д н а я с и с т е м а и м е е т
н е т р и в и а л ь н ы е р е ш е н и я . Р е ш е н и е (0, 0,..., 0) н а з ы в а ю т т р и в и а л ь н ы м
решением.
,
D
1
+
Ib
ь
2
Р а с с м о т р и м н а и б о л е е п р о с т о й с л у ч а й , к о г д а все к о р н и у р а в н е н и я Д(А.)=0
п р о с т ы е . Т о г д а при Л.=А* и м е е м о д н о р о д н о е у р а в н е н и е ( Л ^ Е - А ) - п ' Ц ) , и з
к о т о р о г о м о ж е м о п р е д е л и т ь вектор h . Т а к и м о б р а з о м , р е ш е н и е н о р м а л ь н о й
с и с т е м ы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й , с о о т в е т с т в у ю щ е е к о р н ю Л,, будет
х^Цг^-е**'. В с е г о п о л у ч и м п т а к и х р е ш е н и й , с о о т в е т с т в у ю щ и х п к о р н я м \
1
w
и
Для л ю б о й к в а д р а т н о й м а т р и ц ы А п о у с т а н о в и в ш е й с я т е р м и н о л о г и и
(Й.-Е-А)
называется
характеристической
матрицей,
а
Д(Х)=0
характеристическим уравнением. Корни ЙоДг^-Дп называются собственными
значениями (характеристическими числами), а вектора h , h ,.--, h
с о б с т в е н н ы м и в е к т о р а м и м а т р и ц ы А.
( 1 )
(2)
( o J
1.7. О п р е д е л е н и е ф у н д а м е н т а л ь н о й м а т р и ц ы
Решение нормальной однородной системы линейных дифференциальных
у р а в н е н и й м о ж е т б ы т ь п р е д с т а в л е н о в в и д е : x=H<p(t)c. П р и 1=0 м а т р и ц а (p(t)
р а в н а е д и н и ч н о й м а т р и ц е , с л е д о в а т е л ь н о , н а ч а л ь н о е у с л о в и е Хо-Н*с, о т к у д а
с*Н"'*хо. П о д с т а в л я я э т о з н а ч е н и е в о б щ е е р е ш е н и е , п о л у ч и м : x=H-<p(t)H'
'•x =<D(t)-Xo. М а т р и ц а n-го п о р я д к а Ф(х)= H-(p(t>H" называется ф у н д а м е н т а л ь н о й
матрицей. М а т р и ц а Н называется модальной матрицей и может б ы т ь получена
как с о в о к у п н о с т ь п с т о л б ц о в h , к о т о р ы е я в л я ю т с я р е ш е н и я м и о д н о р о д н ы х
у р а в н е н и й ( X , - E - A ) h = 0 ( i = l , 2,..., n).
1
0
(l)
(l)
Э л е м е н т а м и д и а г о н а л ь н о й м а т р и ц ы cp(t) я в л я ю т с я
ф у н к ц и и е (1=1 2,..., п).
ы
я
экспоненциальные
Рассмотрим в качестве примера однородную систему дифференциальных
уравнений:
О
А
^ 1
— — 4 - JCJ — 8 • JC + JC;
eh
— - - 5 x. — 9 - x~ + д:,;
L
2
3
dt
^
Л
Л
Для этой системы:
А-
8
1
•9
1
6
-1
А-Е-А =
А-4
8
-1
-5
Я+9
- I
-4
6
А+1
Алгебраические дополнения элементов первой строки:
Д„(л) =
AuU)=
u V
,
У
v
Я
+
9
[ б
5
_
1
2
= А + 1 0 А + 15;
A+lJ
1
[-4
= 5 - А + 9;
Я + lJ
Г-5
А+ 9
—4
О
Характеристический многочлен и собственные значения:
2
Д(Я)="(Л-4)-(я +]0-А+15)+8-(5-А+9)-1-(4-Д+б)=
5
г
= А + 6 - А + 1 1 - А + 6 = (А + 1)-(А + 2)-(А + 3)
Ai=-1;
А =-2;
2
Аз=-3.
Собственные векторы:
ЛЖ)'
h
w
= к. •
(
h " = к,-
(2
h » = к, •
h
(,)
= к,
Принимаем
к 1=1/2;
к2=-1;
к З = - 1 /6
(эти
значения
выбираются
п р о и з в о л ь н о исходя из с о о б р а ж е н и й у д о б с т в а ) . П о л у ч а е м м о д а л ь н у ю м а т р и ц у .
3
1 Г
н = 2 1 1;
1 2 1
н' =
1
1
-1
0
-2
1
-3
5
-1
Фундаментальная матрица:
3
= H-<?(t)-H
_l
1 Г
= 2
е '
О
О
2
1 1
1
е~
О
2 1
1
О
- 1 0
1
-2
1
-3
5
-1
После перемножения получим:
2
3-е"'+е" '-3 е
-
2-е~'+«Г '-3 е
2
3
е' +2-е~ '
2
• е- '
J •
- z•
:
-3 е" "
.-2-1 ,
-
Общсе решение рассматриваемой однородной
уравнений:
}
JT, =(3-*-'
-3-е- ')-х
10
2е
системы
+(-3-^' - 2 - е * +5.е*).т
х
где х , Хго, з о - э л е м е н т ы в е к т о р а
с о о т в е т с т в у ю щ и х п е р е м е н н ы х п р и г=0.
1 0
Хо, р а в н ы е
ю
+
2
,
-е
дифференциальных
- ^ ) - *
начальным
ю
;
значениям
1.8. О п р е д е л е н и е х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о п о л и н о м а
М н о г о ч л е н n-ой с т е п е н и о т н о с и т е л ь н о X, о п р е д е л я е м ы й у р а в н е н и е м ! ХЕА | = 0 , называется характеристическим уравнением матрицы А. О б щ и й вид
э т о г о у р а в н е н и я : Х + а - Х " + а - Х ' + . . . + а = 0 . З д е с ь а, - с у м м а всех д и а г о н а л ь н ы х
м и н о р о в п е р в о г о п о р я д к а , р а в н а я следу м а т р и ц ы А ( о б о з н а ч а е т с я л и б о Тг(а),
л и б о Sp(A)); а - с у м м а всех д и а г о н а л ь н ы х м и н о р о в в т о р о г о п о р я д к а м а т р и ц ы
А ; а„ - о п р е д е л и т е л ь м а т р и ц ы А.
П р и м е р 1.9.
Найти характеристическое уравнение матрицы А.
п
п
1
,
ь2
2
п
2
-2
А=
3
1
1
3
-1
В общем виде характеристическое уравнение имеет вид:
2
£ +а Л
г
+а -Л
2
+
а,=0.
Определим коэффициенты:
а, = -Тг(А
+Л + Я з ) = + ( а + о
2
п
ц
+ а „ ) = + ( 2 + 1-l)=+2;
Тг(А)= - ( Л + ^ + Я,)= -fan + « н + а Д
3
1
2
1
+
3 -1
а = Д = +6.
5
1
>
3
12-2
+]
- 1 |1
= -5;
1
3
Характеристическое уравнение:
г
Л Ч 2 - Л - - Л + 6 = 0.
Итак:
r-TrrCAH^+Tr^AH^-.-.-K-iy-lAN
1.9. Э к с п о н е н ц и а л ь н а я ф у н к ц и я от м а т р и ц ы
Воспользовавшись
разложением
в
степенной
ряд
экспоненциальной
ф у н к ц и и от с к а л я р н о й п е р е м е н н о й
•
л
1
= 1 + — + ± — ' — + • - = } - ——,
1!
2!
t& s\
п о д с т а в и м ф у н к ц и о н а л ь н у ю м а т р и ц у <р({)в в и д е :
е^'
2= 1 At
Д и а г о н а л ь н у ю м а т р и ц у п о д знаком с у м м ы м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь как
р е з у л ь т а т в о з в е д е н и я в s-ю с т е п е н ь д и а г о н а л ь н о й м а т р и ц ы Л , э л е м е н т а м и
которой являются собственно числа матрицы А, то есть:
я,
"4
Л=
; л' =
К
К
Таким образом, по аналогии со скалярным случаем можно записать:
то есть
матрица
<p{t) п р е д с т а в л я е т с о б о й
экспоненциальную
функцию
от
матрицы (л-г).
В ы я с н и м х а р а к т е р ф у н д а м е н т а л ь н о й м а т р и ц ы p(t). П о д с т а в л я я р е ш е н и е в
однородное дифференциальное уравнение ^
= А-х, п о л у ч а е м т о ж д е с т в а :
да
(3/
Т а к как в этих тождествах х - вектор начальных значений, не зависящий
0
о т в р е м е н и , т о <Ц/)=Л-Ф(/), т о е с т ь ф(/) - э т о такая м а т р и ц а , п р о и з в о д н а я
которой
по времени
Аналогичными
равна произведению
свойствами
обладает
матрицы
скалярная
А на саму
функция
exp(at),
матрицу.
поэтому
можно записать соотношение:
dt
dt
Вообще, экспоненциальную функцию о т любой квадратной матрицы х
м о ж н о п р е д с т а в и т ь в в и д е с х о д я щ е г о с я ряда:
2!
3!
& s\
О б р а т н о й к м а т р и ц е е' я в л я е т с я ф у н к ц и о н а л ь н а я м а т р и ц а :
( ^ j r - ' = i - £ l - £ l . . . y(_iyil.
l
=e
J+
+
2!
=
3!
Дифференцирование
экспоненциальной
выполняется п о обычному правилу:
£
V
' si
функции
от
матрицы
dt
Р а з л о ж е н и е в р я д т а к ж е и с п о л ь з у е т с я д л я в ы ч и с л е н и я <D(t)=exp(a-t), т а к
как доказано, что этот ряд сходится равномерно и абсолютно.
1.10. Ф о р м у л а К о ш и для у р а в н е н и я в-го п о р я д к а
Р а с с м о т р и м д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е п-го п о р я д к а :
_
+
„ , . _
т
+
... а . , = «(,).
+
|
З а д а ч а К о ш и д л я т а к о г о у р а в н е н и я с о с т о и т в о т ы с к а н и и р е ш е н и я x(t),
у д о в л е т в о р я ю щ е г о н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м при t = 0 .
dx
dt
Уравнение
подстановок:
n-го
порядка
dt'
приводится
dx
к
нормальной
форме
серией
d-'x
Тогда получаем эквивалентную систему линейных дифференциальных
уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от
переменных:
dx
dt
dt
d^
- - x •
dt
В м а т р и ч н о й записи э т а с и с т е м а и м е е т в и д :
*]
d х
2
dt
—
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
-и
а
Характеристическая матрица:
~ « 2
~ ° 1
0
*|
0
X
-
+
х
я
F(a)=(/L-E-A)
к
-1
0
0
0
0
Л
-1
0
0
0
0
0
Я
-1
=
а
я
О п р е д е л и т е л ь этой м а т р и ц ы р а с к р о е м п о э л е м е н т а м п о с л е д н е й с т р о к и .
После удаления этой строки и j - r o столбца получаем определитель, элементы
к о т о р о г о в ы ш е главной д и а г о н а л и р а в н ы н у л ю , а п о г л а в н о й д и а г о н а л и
р а с п о л а г а ю т с я j - 1 э л е м е н т о в X и n-j э л е м е н т о в , р а в н ы х - 1 . С л е д о в а т е л ь н о ,
алгебраическое дополнение элементов последней строки:
И характеристическое уравнение получаем в виде:
Л(Я)= А" + а , - А""' + ... + <!„_, -Я + а = 0 .
я
1.11. П р и в е д е н и е с и с т е м ы у р а в н е н и й к н о р м а л ь н о й ф о р м е
Е с л и с и с т е м а у р а в н е н и й п е р в о г о п о р я д к а задана в п р о и з в о л ь н о й ф о р м е :
Ям —
+
т
+ •- +я»,- ж= *
•л„+и -и,(0+... + и Ч Л ' Л
в1
яи
где u , ( r ) k „ . - m з а д а ю щ и х ф у н к ц и и в р е м е н и .
В м а т р и ч н о й записи эта с и с т е м а и м е е т в и д :
Q-~ =
dl
lV-x+U-u,
Приведение ее к нормальной форме означает преобразование матрицы Q
в е д и н и ч н у ю , ч т о м о ж н о о с у щ е с т в и т ь у м н о ж е н и е м у р а в н е н и я с л е в а н а Q" , е с л и
detQ*0. Т о г д а н а х о д и м :
1
— = А-х + В-и,
dt
где
l
]
А — Q~ - W и B = Q
-U.
В общем случае более целесообразно применить процедуру исключения
Г а у с с а - Ж о р д а н а к м а т р и ц е [ Q , W , U ] п о с т о л б ц а м м а т р и ц ы Q. В р е з у л ь т а т е
п о л у ч и м м а т р и ц у [1,А,В], к о т о р а я и о п р е д е л я е т н о р м а л ь н у ю ф о р м у и с х о д н о й
системы дифференциальных уравнении.
П р и м е р 1.10.
"1
1 2
3
2
4
5
3
8
" 1
-2
0^
0
1
2
4
0
-1
-6
4
-2
1
dx
dt ~
"0
-Г
Преобразование матрицы [Q,W,U] выполняется следующим образом:
1
1
2 ! 1 -2
0 ! о -1
3
2
4
i
о
5
3
8
!
-
1
1
2
4
-6
4 ! "2
0
1
1
1
2
1
-2
0
0
-Г
0
-I
-2
-3
7
2
4
3
0
-2
-2
-6
4
4
-2
6
1
0
0
-2
5
2
4
0
1
2
3
-7
-2
-4
-3
2"
0
0
2
0
10
0
-6
0
1
0
0
-2
5
2
4
0
1
0
3
3
-2
2
-3
2"
0
0
1
0
-5
0
-3
0
Эквивалентная система уравнений в нормальной форме:
-2
5
3
0
2"
3 - 2
-5
0
'4
2
-3
2 ~
-3 • 4 )
0
2.Метод переменных состояния
2.1. П е р е м е н н ы е и у р а в н е н и я с о с т о я н и я
динамической системы
М е т о д п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я о с н о в а н на п о н я т и и состояние
системы.
Состояние динамической системы описывается совокупностью физических пе­
р е м е н н ы х *,(/),...,*„(/), х а р а к т е р и з у ю щ и х п о в е д е н и е с и с т е м ы в б у д у щ е м при
условии, если известно состояние в исходный момент времени и приложенные
к системе воздействия.
Р а с с м о т р и м с и с т е м у , п о к а з а н н у ю на р и с . 2 . 1 , о п и с ы в а е м у ю п е р е м е н н ы м и
с о с т о я н и я jr,(/)i*j(f),•••.*,.(О* п о з в о л я ю щ и м и п о н а ч а л ь н ы м з н а ч е н и я м п е р е м е н ­
н ы х л , ( г ) х ( / Д . . . , х „ ( г ) (в н а ч а л ь н ы й м о м е н т в р е м е н и / ) и з а д а н н ы м в о з д е й с т ­
0
2
0
0
виям и,(/) и «,{/) при / >
определить будущие значения переменных состояния
и выходных переменных.
П о я с н и м п о н я т и е п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я на п р о с т о м п р и м е р е о б ъ е к т а
( р и с . 2.2), с о с т о я щ е г о из груза с м а с с о й т, п о д в е ш е н н о г о н а п р у ж и н е с к о э ф ­
фициентом упругости к и двигающегося в цилиндре с коэффициентом трения /
Дифференциальное уравнение этой системы м о ж н о представить в виде
(2.1)
В качестве переменных состояния введем переменные
*•(/)-Я'*
]
(2.2)
dt
"id)
И';
UjftJ
л/
.V:
х„
dt
1Г>
-уid)
Рис. 2.1. Пример системы, описываемой
переменными состояния x , х ,..., х :
и,(/),ы (/),...,«„(/) — входные перемен­
ные;
t
2
я
2
У] (0> .Уз (Oi • • ч >"„ (') — выходные перемен­
ные;
Рис. 2.2. Пример, поясняющий понятие пе­
ременных состояния
П о д с т а в л я я в ы р а ж е н и я (2.2) в у р а в н е н и е (2.1), п о л у ч и м
at
и, у ч и т ы в а я в ы р а ж е н и я (2.2), м о ж н о н а п и с а т ь
dx,
~dt
(2.3)
да
m
m
т
С и с т е м а у р а в н е н и й 1-го п о р я д к а (2.3) и я в л я е т с я с и с т е м о й у р а в н е н и й в
переменных состояния для рассматриваемого объекта.
В общем случае нелинейной системы уравнения в переменных состояния
имеют вид
a
M
i,0)= ./i[*i.*2>--'*„." i' 2
«„.4*
x {t)^f U ,x ,...,x ;u ,u ,...,u ,t\
2
2
l
2
K
l
2
^ ^
m
24
*•(')=/Л*|.*1.
4,
Е с л и ж е п р е д п о л о ж и т ь , ч т о в (2.4) ф у н к ц и и / , . Л , л и н е й н ы
относи­
т е л ь н о п е р е м е н н ы х *,,.„,.*„,»,,„.«„ и н е з а в и с я т о т в р е м е н и t, т о и х м о ж н о п р и ­
вести к в и д у
i, =а х
п
+ах
1
и
х =a x
2
2l
t
х =a x
а
Bl
t
2
+.-- + а х
!я
+а х +...
22
а1
и
+а х
2
+а х
+Ь и, +Ь и
я
1п
я
+ -..+а х
г
т
в
12
+--- + Ь и ;
2
]т
+ *,,», +Ь и
22
2
+Ь щ +Ь и
я1
й2
2
+...
+--- +
т
+Ь и ;
2т
т
Ь и.
ян
я
В м а т р и ч н о й ф о р м е у р а в н е н и я (2.5) и м е ю т в и д
i,
а„ о,, ... o,_Tx, 1 Г А,, ... Ь и
1т
Ь-,, ... Ь-,
(2.6)
а
л1
а
н2
... а„
М а т р и ц у - с т о л б е ц , с о д е р ж а щ у ю в с е п е р е м е н н ы е с о с т о я н и я в п р а в о й части
у р а в н е н и я (2.6), н а з ы в а ю т вектором состояния и о б о з н а ч а ю т п р о с т о ч е р е з ж,
т.е.
Вектор выходных сигналов обозначают через и. Таким образом, в ком­
пактной векторно-матричной форме система может быть описана при помощи
уравнения
(2.7)
i = Ax + В о ,
где
A — к в а д р а т н а я [n, n] м а т р и ц а :
A =
_<j„,
и
...
a
n
В — п р я м о у г о л ь н а я [n, m\ м а т р и ц а :
*п •••
В
Д л я п о л н о г о о п и с а н и я с и с т е м ы к у р а в н е н и я м с о с т о я н и я (2.5) или (2.6)
н е о б х о д и м о д о б а в и т ь у р а в н е н и я , у с т а н а в л и в а ю щ и е связь м е ж д у п е р е м е н н ы м и
с о с т о я н и я *,,...,*„ и в ы х о д н ы м и п е р е м е н н ы м и у,,.-,у ,
р
которая обычно выра­
жается в виде системы линейных алгебраических уравнений:
У\ =С|,*, +с х
п
у =с х
2
21
}
+ ... + с х ;
2
1я
+с х
21
2
+ ... +
п
с х;
1в
а
или в в е к т о р н о - м а т р и ч н о й ф о р м е
у = Сж.
(2.8)
При этом матрицу-столбец
У1
у -
н а з ы в а ю т выходным
вектором,
а матрицу С(р,п) — матрицей
выхода:
Р е ш е н и е в е к т о р н о г о д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я (2.7) м о ж н о п о л у ­
ч и т ь п р и п о м о щ и т а к о г о ж е метода, к о т о р ы й п р и м е н я ю т д л я р е ш е н и я у р а в н е ­
ния 1-го п о р я д к а . Д е й с т в и т е л ь н о , р а с с м о т р и м у р а в н е н и е 1-го п о р я д к а :
x = ax + bu
(2.9)
t
где х иу— с к а л я р н ы е ф у н к ц и и в р е м е н и , а а и Ь — п о с т о я н н ы е в е л и ч и н ы .
П р е о б р а з у я у р а в н е н и е (2.9) п о Л а п л а с у , п о л у ч и м
sX(s) - л:(0) = aX{s) + bU(s),
откуда
(2.10)
s-a
s-a
В з я в о б р а т н о е п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а о т у р а в н е н и я (2.10), р е ш е н и е найдем в
виде
(2.11)
Р е ш е н и е в е к т о р н о г о у р а в н е н и я (2.7) о п р е д е л и м а н а л о г и ч н ы м о б р а з о м , а
именно:
s\(s)-ж(0) = AX(j)+B\]{s)
(2.12)
или
1
где
X(s) = [si - А]" *(0)+[Л - A]-'BU(y),
I — е д и н и ч н а я (п, п) м а т р и ц а :
i
о"
1
(2.13)
i
0
1
П о а н а л о г и и с р е ш е н и е м (2.11) п о л у ч и м с л е д у ю щ е е р е ш е н и е н е о д н о р о д ­
ного в е к т о р н о - м а т р и ч н о г о у р а в н е н и я (2.7):
А,
х^)=е ж(0)+ Je
где матричная функция
A < , l l
Bu(tyr,
(2.14)
м о ж е т б ы т ь п р е д с т а в л е н а в в и д е ряда, т . е .
**#*
А 2,2
е " = 1 + А/ + —
+
...+
+ ...,
2!
к\
с х о д я щ е г о с я д л я всех к о н е ч н ы х з н а ч е н и й /.
О б щ и м р е ш е н и е м о д н о р о д н о г о у р а в н е н и я (2.7) п р и •(/)=<>, о п и с ы в а ю ­
щ и м с в о б о д н о е к о л е б а н и е с и с т е м ы , является
х =с Ч(0).
(2.15)
Функцию
А
с в
Фп(<) •• Ф|-('Г
ф(/)=.
(2.16)
_Ф-|(0 -
Ф»(')_
называют переходной, или фундаментальной, матрицей. В развернутой форме
в ы р а ж е н и е (2.15) и м е е т в и д
,(01
ГФ..(') -
Ф.-(')Т*.(°)'
'.(*)J к-(<) - *-Wl*.(o)J
Откуда
(') = Ф,1 * (0)+9,2*2 (°)+ - - + Ф«Л (°) = *.i 0)
t
+ *,,</)+... + *„</)
(/=!,...,«>
+
(2.17)
О ч е в и д н о , ч т о в ы р а ж е н и е (2.17) о п и с ы в а е т и з м е н е н и е ;-й с о с т а в л я ю щ е й
в е к т о р а с о с т о я н и я х,(/)> в ы з ы в а е м о е н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и *,(о), а к а ж д ы й и з
ч л е н о в в ы р а ж е н и я в п р а в о й части
^Д'ЬФД'ЫО)
п р е д с т а в л я е т с о б о й и з м е н е н и е i-й с о с т а в л я ю щ е й в е к т о р а с о с т о я н и я л, (/), в ы з ы ваемое^-м начальным условием.
С л е д о в а т е л ь н о , к а ж д ы й и з э л е м е н т о в q> (<) п е р е х о д н о й м а т р и ц ы ср(/)
v
м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь к а к р е а к ц и ю /-й п е р е м е н н о й с о с т о я н и я п р и *,{<))= 1 и н у ­
л е в ы х н а ч а л ь н ы х з н а ч е н и я х всех о с т а л ь н ы х п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я .
У р а в н е н и е (2.14) с у ч е т о м в ы р а ж е н и я (2.16) м о ж н о п р е д с т а в и т ь т а к ж е в
виде суммы общего и частного решения
1
(2.18)
*(')= «св(0 *вын(')=Ф('МО)+ /Ф(/-ОВ||(Т)Л,
+
г
е
Д
*ныи(0 — р е а к ц и я с и с т е м ы н а вектор у п р а в л е н и я «(/); п р и у ч е т е р е ш е н и я
(2.14)
ф ( / - т ) = «*<">.
С о с т а в л я ю щ а я 1 В Ы Н 0) является ч а с т н ы м р е ш е н и е м д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о
в е к т о р н о - м а т р и ч н о г о у р а в н е н и я (2.7).
Методы вычисления переходной матрицы. Вычисление переходной
м а т р и ц ы <р(/) в с л у ч а е , когда м а т р и ц а А н е з а в и с и т о т в р е м е н и , м о ж н о в ы п о л ­
нить о д н и м и з с л е д у ю щ и х м е т о д о в .
Метод разложения
де бесконечного ряда
в ряд. П е р е х о д н у ю м а т р и ц у м о ж н о п р е д с т а в и т ь в в и ­
Ж)=е*
г2.2
=I + Ai+—+
2!
j3,3
— + ...
3!
Ограничившись конечным числом членов ряда и произведя их суммиро­
в а н и е , н а й д е м п р и б л и ж е н н о е в ы р а ж е н и е д л я <p(t).
М е т о д , о с н о в а н н ы й на о п р е д е л е н и и с о б с т в е н н ы х з н а ч е н и й м а т р и ц ы .
П р и м е н я я к в ы р а ж е н и ю (2.16) п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а , п о л у ч и м
Ф(*)=Ф(/)МИ=Н-АГ
и, с л е д о в а т е л ь н о ,
Ф^-Г^Л-Л]-'}.
(2-19)
О п р е д е л е н и е <p(f) с в о д и т с я к в ы ч и с л е н и ю с о б с т в е н н ы х з н а ч е н и й м а т р и ц ы
А
Рассмотрим пример вычисления переходной матрицы. Пусть уравнения
системы имеют вид
х - -fcc, - ах .
2
2
В этом случае
s
1 I
" I
[*1-А]= ,
[b s + a
В результате обращения матрицы получим
г
Ф(*)=[Л-А]~' =
1
s+
"
ф + а) + Ь
'1-
Пусть матрица А имеет действительные и различные собственные значения
1
где
2
2
s
'
2
2
2
а > АЬ.
Тогда
2
Ja -4b
> , - л>"^ -
1
2
- а>- **
б(е^'-е-^)
1
1
е" '' - е" '
J L ^ - X ^
Метод, основанный на теореме Сильвестра. Предположим, что имеется
некоторая ф у н к ц и я /(А) ОТ м а т р и ц ы А, к о т о р у ю м о ж н о п р е д с т а в и т ь в в и д е
с т е п е н н о г о ряда:
*=|
где
X,.
А — к в а д р а т н а я м а т р и ц а (п, п)сп
различными собственными значениями
Тогда согласно теореме Сильвестра
/(А)=1ЖМО,
где
F(U=n
В ч а с т н о м случае, когда
/ ( А ) = ф ( г ) = е*,
имеем
Првмср 2.1. Предположим, что уравнения системы имеют вид
x =x
-3x ;
l
i
t
х
=x -x .
г
l
i
В этом случае
\-\
-3
=0
1
2
К + 2 = О,
Имеем
причем
А=
1
-3
1
-1
Согласно К) Ту
Таким образом
y"2V2
I -3
i о
+sin 72/
+ [ - ^ s i n -Jit \A = cos-Л*
1 -1
0 1
72
72
1 .
cos 72/ + - = sin 72/
72
- -=sin72(
V2
-т= sin 72/
cos 72/ - —= sin 72/
72
72
2.2. М а т р и ч н а я п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я
Применяя преобразование Лапласа к уравнениям в переменных состоя­
ния (2.7), (2.8), п о л у ч и м
s\{s)= AX(s)+ ф ) + BU(s);
(2.20)
Y(*)=CX(*),
откуда, и с к л ю ч а я \(s) и полагая х ( о ) = 0 , найдем
|
У(5) = с ( л - А ) - в и ( г ) .
(2.21)
Матрицу
1
Ф(у)=С(Л-А) В,
(2.22)
у с т а н а в л и в а ю щ у ю связь м е ж д у в е к т о р а м и в ы х о д а \(s)
матричной передаточной функцией системы
(МПФ).
и в х о д а v(s),
называют
Если с и с т е м а и м е е т т о л ь к о о д и н в х о д u(t) и т о л ь к о о д и н в ы х о д y(t), т о
м а т р и ц ы В и С в (2.20) п р е в р а щ а ю т с я в с к а л я р ы , к о т о р ы е о б о з н а ч и м , с о о т в е т ­
с т в е н н о , мере» b и с.
Т а к и м о б р а з о м , для о д н о м е р н о й с и с т е м ы
Ф(5) = Ш = с ( , | - А ) ' 4 .
V(s)
(2.23)
Из ф о р м у л ы (2.23), (2.22) о ч е в и д н о , ч т о о п р е д е л е н и е п е р е д а т о ч н о й ф у н к ­
ц и и с и с т е м ы п о у р а в н е н и я м с о с т о я н и я (2.7), (2.8) т р е б у е т о б р а щ е н и я м а т р и ц ы
(si - А ) , ч т о в н а ш е м с л у ч а е в ы с о к о й р а з м е р н о с т и м а т р и ц ы А м о ж е т п р е д с т а в ­
л я т ь н е к о т о р ы е т р у д н о с т и . О д и н из с п о с о б о в р е ш е н и я э т о й з а д а ч и о с н о в а н н а
так называемом алгоритме Леверье.
Пусть
i
(sl-A)'
=V ( )R( ),
S
S
где
a
i
Ч*(у) = s" + a„_ s ~ + ... + a s -t-a
l
{
0
и
R ( * ) = j " '1 + 5" R , + . . . + R..,.
2
Т о г д а а, и R, м о ж н о в ы ч и с л и т ь п о с л е д у ю щ и м ф о р м у л а м :
А, = А - » а „ . , = - s p u r А , -* R, = A, +«„_,!;
А - AR, —> а _ - -^spur А -> R = А +а . 1;
2
п
2
:
2
2
п
A
А _, = AR„_ -*а, =
я
2
spurA, i -> R i = „ i
2
n
n -1
A , = AR„_, - » а,, = — s p u r A
B
-» R„ = 0 .
4 2"
Таким образом,
Пример 2.2.
Пусть
" 0
-I
0
X - -1
-2
1
0
-2 \ + 1 3 u;
2 1
0
1 2 1
У=3 I 2
Имеем
A, - A ;
a - 2;
2
0
-1
0
1 0 0"
-1
-2
-2 + 2 0
1 0
1
0
0
0
0
1
"2
R,=
- I О
-1
0
1
0
2
0
2"
А, = AR, = - 2
I
0 ; а, = - 1 ;
:
-1
1 0
0
0
0
2
I 0
-2
0
0
0 1
2
2
-1
-1
0 0"
"1
R
= А + (-1)| 0
2
2
L
0
-2
О
А, - A R = 0
0
2
2+2+ 2
2 0
0 2
R, = 0 .
= ~2;
И, следовательно.
ф(л)=-^г[с1В* + C R , B 5 + CR,B];
г
1
Э
2
5 +2s - 5 - 2
. 2
1 2 1
3
1
2 1
3
1 2
-1
0
0
-2
1
2
2 1
1 2
1 1 0
4 2'
"8
<*) =
1
3 5+
9
1
3
5 + 2л - 5 - 2
17 11
s +
1 О О 4 2
О 1 о 1
3 s* +
О 0 1 2 1
1 2 1
3
I 2
-1
-3
29
7
6 5 5
0
0
2
-2
0
0
2
-1
-1
S+
-7
-6
14
2
:
<W \ - ~
' +Я0Д + 70 ^ 35(-0,935 +1,145+ |)
5 + 2 5 - - 5 - 2 ~ 0,55 + 5 - 0,55-1
3
Ч
2
Решение обратной задачи — определение уравнений состояния п о задан­
ной п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и , в о с о б е н н о с т и д л я м н о г о м е р н ы х с и с т е м , с в я з а н о с
более существенными трудностями.
23. У п р а в л я е м о с т ь и н а б л ю д а е м о с т ь
П р е д ы д у щ и й этап развития т е о р и и а в т о м а т и ч е с к о г о р е г у л и р о в а н и я , д о
ш и р о к о г о и с п о л ь з о в а н и я в ней понятия п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я , б ы л связан с
о п и с а н и е м С А Р при п о м о щ и п е р е м е н н ы х в х о д - в ы х о д . ^>тот с п о с о б м а т е м а т и -
ческого описания удобен для инженерной практики, но развитие метода пере­
м е н н ы х состояния п о к а з а л о , что м е т о д в х о д - в ы х о д и м е е т и с у щ е с т в е н н ы е ог­
р а н и ч е н и я . Э т и о г р а н и ч е н и я связаны в о с н о в н о м с п о н я т и я м и у п р а в л я е м о с т и и
н а б л ю д а е м о с т и , к о т о р ы е не у ч и т ы в а л и с ь в м е т о д е п е р е м е н н ы х в х о д - в ы х о д .
П р и получении п е р е д а т о ч н о й м а т р и ц ы с л о ж н о й с и с т е м ы п о п е р е д а т о ч н ы м
м а т р и ц а м или п е р е д а т о ч н ы м ф у н к ц и я м е е п о д с и с т е м ( э л е м е н т о в ) в о з м о ж н о со­
к р а щ е н и е п о л ю с о в ( н у л е й ) , о к а з ы в а ю щ и х с у щ е с т в е н н о е в л и я н и е на д и н а м и к у
с и с т е м ы . П р е н е б р е ж е н и е этим с о к р а щ е н и е м при р а с ч е т е с и с т е м у п р а в л е н и я ,
как п о к а з ы в а е т о п ы т , м о ж е т п р и в е с т и к о ш и б о ч н ы м р е з у л ь т а т а м .
У п р а в л я т ь с о с т о я н и е м с и с т е м ы х(/) м о ж н о и з м е н е н и е м вектора в х о д а
н(<), а н а б л ю д а т ь е е с о с т о я н и е м о ж н о , измеряя вектор в ы х о д а у(/). В связи с
этим в о з н и к а ю т д в а в о п р о с а , и м е ю щ и х к а р д и н а л ь н о е з н а ч е н и е для т е о р и и ав­
томатического управления.
М о ж н о ли в ы б р а в с о о т в е т с т в у ю щ и м о б р а з о м в х о д ы о(/), п е р е в е с т и о б ъ ­
е к т у п р а в л е н и я из н е к о т о р о г о п р о и з в о л ь н о г о с о с т о я н и я х(/ ) в д р у г о е п р о и з ­
0
в о л ь н о е с о с т о я н и е х(/,)?
М о ж н о л и , н а б л ю д а я в е к т о р в ы х о д а у(/) в т е ч е н и е д о с т а т о ч н о д о л г о г о
промежутка времени, определить начальное состояние объекта х(/ )?
0
О т в е т на п е р в ы й в о п р о с связан с п о н я т и е м у п р а в л я е м о с т и , а о т в е т на
второй вопрос — с понятием наблюдаемости.
Определение п о н я т и й управляемости и наблюдаемости. Понятие
управляемости связано с возможностью приведения системы в заданное со­
с т о я н и е с п о м о щ ь ю в х о д н ы х или у п р а в л я ю щ и х в о з д е й с т в и й .
Понятие наблюдаемости связано с возможностью определения перемен­
н ы х состояния по результатам и з м е р е н и я в ы х о д н ы х п е р е м е н н ы х .
В к а ч е с т в е п р и м е р а , п о я с н я ю щ е г о эти п о н я т и я , р а с с м о т р и м о б ъ е к т , о п и ­
сываемый уравнениями состояния:
.*
=
х - -х
2
2
- и;
л, - ~2х^ + и;
х - -3JC - 2и;
4
4
у = х +х + 0,5*,.
1
л
И з р и с . 2.3 в и д н о , что п е р е м е н н а я х не с о е д и н е н а с о в х о д о м и п о э т о м у
он не м о ж е т в л и я т ь на е е и з м е н е н и е во в р е м е н и . Т а к у ю п е р е м е н н у ю с о с т о я н и я
н а з ы в а ю т неуправляемой.
Переменная х не соединена с выходом и поэтому по
наблюдению в ы х о д а ^ невозможно определить х . Такую переменную состоя­
ния н а з ы в а ю т
ненаблюдаемой.
1
г
2
s+2
1
5+3
-2
0,5
Рис. 2.3. Структурная схема системы с одним
неуправляемым (А. = l ) и одним ненаблюдае­
мым (X. - - 1 ) полюсом.
Более общее определение управляемости заключается в следующем.
С о с т о я н и е [ х л ] н а з ы в а ю т у п р а в л я е м ы м , если м о ж н о н а й т и м о м е н т вре­
0
м е н и /,(/, > / „ ) н в х о д u(t), п е р е в о д я щ и й с и с т е м у за интервал в р е м е н и [/„,/,] из
с о с т о я н и я [л„,1 ] в с о с т о я н и е [0,(,]. Е с л и л ю б о е с о с т о я н и е х е Х я в л я е т с я у п р а в ­
0
л я е м ы м д л я /„, т о о б ъ е к т н а з ы в а ю т полностью
управляемым
в момент времени
V Если объект полностью управляем в указанном выше смысле для любого
т о е г о н а з ы в а ю т полностью
М о ж н о т а к ж е д а т ь с л е д у ю щ е е о п р е д е л е н и е . Систему
стью управляемой,
если для любых моментов
данных
х
состояний
начальное
состояние
0
t,
u
управляемым.
и JC, существует
х в конечное
0
времени
управление
t и г,,
b
называют
u(t\{t < ( < ' , ) ,
0
полно­
> f и любых
0
за­
переводящее
х,.
С у д и т ь о т о м является л и с и с т е м а у п р а в л я е м о й п о в и д у е е у р а в н е н и й с о ­
стояния в о б щ е м с л у ч а е (за и с к л ю ч е н и е м п р и м е р а о д н о м е р н о й с и с т е м ы ) о ч е н ь
трудно.
О д н а к о , если у р а в н е н и я с и с т е м ы
х = Ах + Ви;]
у = Сх
(2-24)
приведены к канонической форме
х - Ах + Ви;
(2.25)
у = Сх,
где
А — диагональная матрица, т о судить о том, является ли система управ­
л я е м о й , м о ж н о исходя из с л е д у ю щ е г о .
З а п и ш е м п е р в о е у р а в н е н и е (2.25) в р а з в е р н у т о й ф о р м е
1=1
г
2
- х
г
х
2
+X*2,«,;
•=i
Э т и у р а в н е н и я п о к а з ы в а ю т , ч т о у п р а в л я ю щ и е в о з д е й с т в и я 2, н е б у д у т
оказывать какого-либо влияния на переменную x, если
f
т.е. если в с е э л е м е н т ы у-й с т р о к и м а т р и ц ы В р а в н ы н у л ю .
С л е д о в а т е л ь н о , к а н о н и ч е с к и е п е р е м е н н ы е с о с т о я н и я х, к о т о р ы е с о о т в е т ­
с т в у ю т н у л е в ы м с т р о к а м м а т р и ц ы В, я в л я ю т с я н е у п р а в л я е м ы м и . Э т о о з н а ч а е т ,
что и з м е н е н и е э т и х п е р е м е н н ы х п р о и с х о д и т н е з а в и с и м о о т у п р а в л я ю щ и х в о з ­
д е й с т в и й и, и ц е л и к о м о п р е д е л я е т с я н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и , а т а к ж е в н е ш н и м и
возмущениями.
Т а к и м о б р а з о м , с и с т е м а (2.24) является у п р а в л я е м о й , е с л и м а т р и ц а в не
с о д е р ж и т строк, в с е э л е м е н т ы к о т о р ы х р а в н ы н у л ю .
У с л о в и я у п р а в л я е м о с т и д л я с и с т е м ы , о п и с ы в а е м о й у р а в н е н и я м и (2.24),
н е т р е б у ю щ и м и и х п р и в е д е н и я к к а н о н и ч е с к о й ф о р м е (2.23), о п р е д е л я ю т с я с л е ­
д у ю щ е й теоремой (или критерием), полученной Калманом.
Н е о б х о д и м о е и д о с т а т о ч н о е у с л о в и е д л я у п р а в л я е м о с т и с и с т е м ы (2.24)
заключается в том, чтобы матрица
Q = |B,AB,A1B,...,A*'IB]
(2.27)
и м е л а р а н г п.
Ч а с т о м а т р и ц а (2.27) и м е е т р а н г п д л я н е к о т о р о г о v < п, т . е .
rangQ =
rang[B,AB,...,A - B]=n.
B
L
(2.28)
v
Н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и е v, п р и к о т о р о м и м е е т м е с т о р а в е н с т в о (2.28), н а з ы ­
в а ю т показателем
управляемости.
И з в ы р а ж е н и я (2.27) в и д н о , ч т о у п р а в л я е м о с т ь о п р е д е л я е т с я с в о й с т в а м и
м а т р и ц А и В . К р и т е р и й у п р а в л я е м о с т и (2.27) о с т а е т с я с п р а в е д л и в ы м и д л я
дискретной системы, если ее уравнения представить в виде
Как было показано в рассмотренном выше примере, переменная х явля­
ется н е н а б л ю д а е м о й , е с л и о н а н е с о е д и н е н а с в ы х о д о м и п о н а б л ю д е н и ю в ы х о ­
да у ее определить невозможно. Но для управления необходимо располагать
с в е д е н и я м и о т е к у щ и х з н а ч е н и я х вектора с о с т о я н и я . П о э т о м у в о з н и к а е т в о ­
п р о с : п р и каких у с л о в и я х , н а б л ю д а я векторы в ы х о д а и в х о д а , м о ж н о н а й т и п е ­
р е м е н н ы е с о с т о я н и я х?
Систему (2,24) называют наблюдаемой,
если по данным измерения или
наблюдения векторов y{t) и «(*) на конечном интервале времени t < t < t мож2
n
i
но однозначно
определить
ют полностью
начальное
наблюдаемой,
состояние
х(/ ). Систему
0
если наблюдаемы
все ее состояния
(2.24)
называ­
в любые
мо­
менты
времени.
Предполагая, что уравнения системы приведены к нормальной форме,
р а с с м о т р и м у р а в н е н и е связи м е ж д у в е к т о р о м в ы х о д а у и в е к т о р о м с о с т о я н и я х:
у = с*,
где
с =
"с„
с,,
с
...
с„
...
с ,
..
2
...
..
с
Л.
У р а в н е н и е (2.24) в р а з в е р н у т о й ф о р м е и м е е т в и д
я 2
> i(')=Z » «(') n . + .- + с х +...
,
c
j:
=c
jc
и
У; (') =
S
С
х
Лк
c
(') = .i * i +
+
с
+
1
x
+
чj
+
с
с х;
1я
я
х
• • • « » •"
*=|
Из этих уравнений следует, что переменная х может быть определена по
у
п е р е м е н н ы м у ,у ....,у ,
у
г
если коэффициенты с
р
ц
( д л я / = 1.2,...,р) н е в с е р а в н ы
нулю. Д р у г и м и словами, х является наблюдаемой переменной, если элементы
у
у'-го с т о л б ц а м а т р и ц ы С н е в с е р а в н ы н у л ю , и л и л и н е й н а я , с т а ц и о н а р н а я с и с т е ­
ма я в л я е т с я н а б л ю д а е м о й , е с л и м а т р и ц а в ы х о д а С н е с о д е р ж и т с т о л б ц о в , э л е ­
менты которых равны нулю.
Условия наблюдаемости в общем случае, когда уравнения (2.20) не при­
ведены к нормальной форме, определяются следующей теоремой (или критери­
ем).
Необходимые и достаточные условия для полной наблюдаемости состоят
в том, чтобы матрица
T
T
T
R =|C\A4:\(A )V,...,(A )^C ]
(2.30)
и м е л а р а н г п. И з в ы р а ж е н и я ( 2 . 3 0 ) о ч е в и д н о , ч т о н а б л ю д а е м о с т ь о п р е д е л я е т с я
с в о й с т в а м и м а т р и ц А и С . Т а к ж е как и в с л у ч а е к р и т е р и я у п р а в л я е м о с т и , е с л и
м а т р и ц а R и м е е т р а н г и д л я н е к о т о р о г о ц < п, т . е .
nn.gR,
T
T
T
T
,
T
=rang[c ,A C ,...,(A )" C J= ,
N
т о н а и м е н ь ш е е ц , п р и к о т о р о м и м е е т м е с т о р а в е н с т в о (2.20), н а з ы в а е т с я
зателем
наблюдаемости.
пока­
2.4. О п е р а т о р н а я ф о р м а з а п и с и л и н е й н ы х с и с т е м
Л и н е й н а я с и с т е м а n-го п о р я д к а с о д н и м в х о д н ы м и о д н и м в ы х о д н ы м
с и г н а л а м и о п и с ы в а е т с я о б ы к н о в е н н ы м д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е н и е м л-го
п о р я д к а вида
L{p,t)y=M{p,t)u(2.31)
где у — в ы х о д н о й с и г н а л с и с т е м ы ;
и — входной сигнал системы;
( *d
р — оператор 1 р = —
О п е р а т о р ы L(p,t) и М(р,()
представляют собой полиномы относительно р
с переменными коэффициентами:
ф / ) = ] [ > „ _ , (0/>';
;
(2.32)
А * М = 5>,-Л')Р'.
В с л у ч а е с т а ц и о н а р н о й с и с т е м ы у р а в н е н и я (2.31) п р и н и м а ю т в и д
L{p)y=M{p)u,
где
(2.33)
L(p) И А/(р) — п о л и н о м ы с п о с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и ;
(2.34)
С и с т е м у (2.33) м о ж н о п р е д с т а в и т ь в о б ы ч н о м в и д е ( р и с . 2.4 а), г д е п е р е ­
д а т о ч н а я ф у н к ц и я с ( $ ) = - ^ у у х а р а к т е р и з у е т с и с т е м у в о б л а с т и и з о б р а ж е н и й по
Л а п л а с у . В о многих с л у ч а я х н е т н е о б х о д и м о с т и п е р е х о д и т ь в о б л а с т ь изобра­
ж е н и й . М о ж н о с и с т е м у п р е д с т а в и т ь б л о к о м G{p)-~~
( р и с . 2.4 б) и с ч и т а т ь ,
что э т о т б л о к о б о з н а ч а е т т е ж е д е й с т в и я , ч т о и п р е д у с м а т р и в а е м ы е д и ф ф е р е н ­
ц и а л ь н ы м у р а в н е н и е м (2.33). Д р у г и м и с л о в а м и , G{p) — о п е р а т о р н о е з в е н о , н о
во в р е м е н н о й о б л а с т и .
Рассмотрим основные способы получения уравнений в переменных со­
стояния д л я с и с т е м , о п и с ы в а е м ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и у р а в н е н и я м и (2.31) и л и
(2.33).
L(s)
a)
ХЫ*.
ML.
G(p) =
Hp)
б)
Рис. 2.4. Представление уравнений (2.33) в виде блок-схемы, составленной относительно:
а - изображений переменных; б - оригиналов переменных (как функций времени).
Д л я с и с т е м ы вида (2.33) к о р н и п о л и н о м а Цр) я в л я ю т с я п о л ю с а м и , а к о р ­
ни п о л и н о м а м{р) — н у л я м и . Е с л и м{р) с в о д и т с я к п о с т о я н н о й в е л и ч и н е , т о
можно сказать, что система не имеет членов в числителе, характеризующих ди­
намику, и входной сигнал непосредственно не фигурирует в выражении для
в ы х о д н о г о с и г н а л а y{t). Д л я этого случая с у щ е с т в у е т н е с к о л ь к о п р о с т ы х м е т о ­
д о в п о л у ч е н и я у р а в н е н и й состояния с и с т е м ы , н е к о т о р ы е из к о т о р ы х р а с с м а т ­
риваются ниже.
М е т о д р а з л о ж е н и я на п р о с т ы е д р о б и ( к а н о н и ч е с к и е ф о р м ы )
Без п о т е р и о б щ н о с т и р а с с м о т р и м
систему
G{p) = -ц-^,
описываемую
уравнением
(2.35)
L(p)y = и.
П о л а г а я , ч т о L{p) и м е е т п р о с т ы е н у л и , м о ж н о н а п и с а т ь
(2.36)
где
— п о л ю с ы ф у н к ц и и G{p) и л и к о р н и п о л и н о м а
Разлагая
L(X,).
на простые дроби, получим
1
-А
с
(2.37)
откуда
Z-^U)=J<').
Если положить
(2.38)
*,(,b-L-«0),
р-К
то
(2.39)
С о г л а с н о у р а в н е н и ю (2.38) п е р е м е н н а я
х, у д о в л е т в о р я е т
следующему
дифференциальному уравнению первого порядка:
х , - М , = « ; i = l...,t.
С и с т е м а у р а в н е н и й (2.40) э к в и в а л е н т н а у р а в н е н и ю
х = Ах+Ьи,
где
(2.40)
(2.41)
0"
ч
V
= Л; ь=
А =
я
0
(2.42)
1
п
Имеем также
у
где
=с
1
(2.43)
X ,
с — вектор, составляющими которого служат вычеты, т.е.
с,
У р а в н е н и я (2.41) и (2.43), п о л н о с т ь ю х а р а к т е р и з у ю щ и е с и с т е м у , образу­
ют уравнения состояния системы.
1
р-л,
Xi
1
р--к
j
Ci
-
х
2
х„
Рис. 2.5. Структурная схема стационарной системы, записанной в канонической форме.
Описанный метод получения уравнений состояния имеет то преимущест­
в о , ч т о связан с п о л у ч е н и е м Л - м а т р и ц ы , к о т о р а я , б у д у ч и д и а г о н а л ь н о й , з н а ч и ­
тельно упрощаем последующие выкладки. Кроме того, здесь в явной форме ф и ­
гурируют собственные значения, или полюсы системы.
Б л о к - с х е м а с и с т е м ы , с о о т в е т с т в у ю щ а я у р а в н е н и я м (2.41) и (2.43), п о к а ­
з а н а на р и с . 2.5. И з э т о й с х е м ы в и д н о , ч т о к а ж д а я с о с т а в л я ю щ а я ф у н к ц и и G(p)
представляется о т д е л ь н о й в е т в ь ю .
Н е т р у д н о в и д е т ь , что д л я п р и м е н и м о с т и м е т о д а н е о б я з а т е л ь н о , ч т о б ы
все к о р н и б ы л и д е й с т в и т е л ь н ы м и . Е с л и X, и Х — к о м п л е к с н ы е с о п р я ж е н н ы е
корни, т о выходные сигналы
и х с о о т в е т с т в у ю щ и х ветвей т а к ж е б у д у т к о м ­
плексными сопряженными.
2
г
1
П p a м е р 2-3. Рассмотрим систему, описываемую уравнением [р + \)у = и. Производя
разложение на простые дроби, получим
_j
J
+ ——
1
Р +1
где
P-J
P+J
j = V^T.
Следовательно,
"Г
о"
;*= 1
о -Л
'j
Н е о б х о д и м о , о д н а к о , з а м е т и т ь , ч т о во м н о г и х с л у ч а я х б ы в а е т н е у д о б н о
в в о д и т ь в р а с с м о т р е н и е к о м п л е к с н ы е п е р е м е н н ы е с о с т о я н и я . О д н а из п р и ч и н
э т о г о з а к л ю ч а е т с я в т о м , что мы л и ш а е м с я в о з м о ж н о с т и п р е д с т а в л я т ь с и с т е м у
в n - м е р н о м п р о с т р а н с т в е с о с т о я н и й , в с л е д с т в и е чего р е к о м е н д у е т с я и з б е г а т ь
п р и м е н е н и я м н и м ы х в е л и ч и н при н а п и с а н и и у р а в н е н и й с о с т о я н и я . П о э т о м у
о п и с а н н о е к а н о н и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е о б ы ч н о не п р и м е н я ю т , е с л и и м е ю т с я
комплексные полюсы.
Е с л и с и с т е м а и м е е т к р а т н ы е к о р н и , т о , как п о к а з а н о н и ж е , м е т о д р а з л о ­
ж е н и я на п р о с т ы е д р о б и остается с п р а в е д л и в ы м .
Пример 2.4. Рассмотрим систему, для которой М{р) = 1 и
2
L[p) =
(р-1 ) {р-Х ).
}
г
В данном случае
ФУ
2
(р-Х,)
(р-?м)
(Р-^У
где
1
1
гг = - с , .
Блок-схема системы представлена на рис. 2.6, а соответствующие уравнения состоя­
ния имеют вид
Л[ — Я.,л:, + х ; х - "k x +и; х - X JT + и
2
X.
-
X
2
1
0
0
x
2
0"
0
0
z
"0"
х
2
+ 1
К.
выходной сигнал определяется уравнением у = с х, где
с,
с-.
2
1
3
С2
р-Х,
С/
р-Л,
Х2
1
Хз
^
р-Л.
С}
Рис. 2.6. Структурная схема системы.
1
В о б щ е м с л у ч а е L(p) = {p-X f'{p-X f
...{p-X f( г д е А, +к +... + к - я )
м е т о д р а з л о ж е н и я н а п р о с т ы е д р о б и , как н е т р у д н о в и д е т ь , п р и д а е т м а т р и ц е А
системы жорданову каноническую форму, т.е.
x
2
r
2
г
(2.44)
А=
О
- М М
где к а ж д ы й д и а г о н а л ь н ы й э л е м е н т / , ( * . , ) п р е д с т а в л я е т м а т р и ц у т и п а
О
ft,,
о
X.
А,
(2.45)
К,
о
где к а ж д ы й и з э л е м е н т о в h,
Составляющие
(Х*- j ~ "
п
о
з
и
ц
и
я
м
h — или единица, или нуль.
it
в е к т о р а А, с о о т в е т с т в у ю щ и е
t j - й , (А, +А-,)-й,
> равны единице, а все остальные — нулю.
Б л о к - с х е м а , с о о т в е т с т в у ю щ а я к а ж д о й и з п о д м а т р и ц J .(>.,-),
k
р и с . 2.7 ( с , , t , — в ы ч е т ы ) .
п о к а з а н а на
.1
ki,
х<
p~K
р-К
c:.k,
Ci,ki
Рис. 2.7. Структурная схема линейной стационарной системы, матрица А которой имеет
жорданову форму Л , .
У р а в н е н и я с о с т о я н и я , м а т р и ц а Л к о т о р ы х и л и д и а г о н а л ь н а я Л из с о б с т ­
в е н н ы х з н а ч е н и й , и л и ж о р д а н о в а Aj, б у д у т н а з ы в а т ь с я к а н о н и ч е с к и м и у р а в н е ­
н и я м и с о с т о я н и я . В э т о м с л у ч а е с и с т е м а представляется в п р о с т о й ф о р м е ,
у д о б н о й д л я п о с л е д у ю щ и х выкладок.
Метод простых множителей
Е с л и ф у н к ц и я 0(р)
р а з л о ж и м а на м н о ж и т е л и , е е м о ж н о п р е д с т а в и т ь в
виде
I
и
1
Xj
1
>
(2.46)
1
р-*|
р-К
Рис 2.8. Структурная схема линейной стационарной системы, функция G(p) которой раз­
ложена на множители.
С о о т в е т с т в у ю щ а я б л о к - с х е м а п р е д с т а в л е н а н а р и с . 2.8. П р и н и м а я в к а ч е ­
стве переменных состояния указанные на этом рисунке переменные, имеем
л, = А.,*, + и;
(2.47)
х„ - \„х +
а
причем выходной сигнал равен х . При записи уравнений состояния в матрич­
я
ной ф о р м е с о о т в е т с т в у ю щ и е м а т р и ц ы и м е ю т в и д
о
1
о
X,
А=
(2.48)
к.
1
Г
0"
0
;
с -
(2.49)
0
о_
1
Как н е т р у д н о в и д е т ь , п р и м е н и м о с т ь этого м е т о д а н е о г р а н и ч и в а е т с я слу­
чаем простых корней.
Метод, применяемый при аналоговом м о д е л и р о в а н и и
П р и а н а л о г о в о м м о д е л и р о в а н и и с и с т е м а Gip) =
реализуется различ­
но?)
ными обратными связями. При этом используются с у м м и р у ю щ и е , инверти­
рующие и интегрирующие звенья. Уравнения состояния можно записать, осно­
в ы в а я с ь н а э т о м п р е д с т а в л е н и и с и с т е м ы . В д а н н о м с л у ч а е р а с к л а д ы в а т ь L{p) н а
м н о ж и т е л и нет н е о б х о д и м о с т и .
Првмср 2.5. Возможная реализация функции
У
и
1
(2.50)
р +ар +Ьр + с
показана на рис. 2.9. Если в качестве переменных состояния принять переменные, приведен­
ные на рис. 2.9, то уравнения можно записать в виде
-to,;
= х - ах,; х, =
2
= -сх + и,; у--
Следовательно
-а
1
0"
А = -Ь
0
1
-с
0 0
"0"
;
b - 0 ;
1
1"
с= 0
0
Рис. 2.9. Блок-схема аналогового моделирования объекта, описываемого уравнением (2.20).
Нормальная форма
Классический подход заключается в том, что в качестве переменных со­
с т о я н и я п р и н и м а ю т с я в ы х о д н о й с и г н а л и и-1 е г о п р о и з в о д н ы х . П р е и м у щ е с т в о
т а к о г о п о д х о д а — п р о с т о т а п р е д с т а в л е н и я р е з у л ь т а т о в , когда с о б с т в е н н ы е зна­
ч е н и я р а з л и ч н ы . К р о м е т о г о , как м ы у ж е в и д е л и р а н е е , т а к о е п р е д с т а в л е н и е
в о з м о ж н о д л я н е л и н е й н о г о д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я о б щ е г о вида. Е с л и
и=2, т о выходной сигнал может быть представлен классическим фазовым порт­
р е т о м н а ф а з о в о й п л о с к о с т и . Е с л и л > 2 , в ы х о д н о й сигнал м о ж е т б ы т ь п р е д с т а в ­
лен т р а е к т о р и я м и в «-мерном « ф а з о в о м п р о с т р а н с т в е » . В ы б и р а я при
L
a
(p)=Y* »-iP'
в качестве переменных состояния
ДГ| — у , Х — X] , Xj — JT; ,
Х — ДГ„_| ,
получаем для уравнений состояния с л е д у ю щ у ю матрицу:
2
п
о
А=
(2.51)
-"zL
а»
В матричном уравнении имеем
' 0"
т
0
0
11
0
По Дезоеру, эти переменные
состояния.
называются нормальными переменными
Qn-t
а„
Рис. 2.10. Блок-схема аналогового моделирования объекта, уравнение которого записано в
нормальной форме.
П р и а н а л о г о в о м м о д е л и р о в а н и и с и с т е м а п р е д с т а в л я е т с я , как п о к а з а н о на
р и с . 2.10.
2.5. У р а в н е н и я с о с т о я н и я л и н е й н ы х с т а ц и о н а р н ы х с и с т е м с ч и с л и т е л е м
п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и п о р я д к а /, г а е / < / < п
Е с л и ч и с л и т е л ь М[р)
передаточной функции имеет порядок, меньший
и л и р а в н ы й порядку £{/»), т о с и с т е м а п о - п р е ж н е м у м о ж е т б ы т ь о п и с а н а у р а в ­
н е н и я м и (2.37), (2.39).
М е т о д р а з л о ж е н и я на п р о с т ы е д р о б и
В д а н н о м с л у ч а е п о с р а в н е н и ю с р а н е е р а с с м о т р е н н ы м и м е т о д а м и ка­
ких-либо существенных отличий не наблюдается, если не считать возможности
п о я в л е н и я в р а з л о ж е н и и п о с т о я н н о г о члена, к о г д а п о р я д о к М(р) р а в е н порядку
L(p) (' = " ) • С л е д о в а т е л ь н о , и м е е м
1
у-с
где
чае.
x + du,
d—постоянная.
В с е о с т а л ь н ы е в е л и ч и н ы с о х р а н я ю т т о т ж е в и д , как в п р е д ы д у щ е м с л у ­
Метод разложения на простые множители
В ы р а ж а я G(p) ч е р е з нули и п о л ю с ы , п о л у ч и м
где
у, —
н у л и ф у н к ц и и G(/>). Т а к к а к
ф у н к ц и и G(p)
Р
у
- =\+h — т о
м о ж н о поставить в соответствие блок-схему,
:
р-К,
п о к а з а н н у ю на
1
Л -У
/>-Х.
л, - У ,
передаточной
:
р-Х.
Рис. 2.11. Структурная схема линейного стационарного объекта с разложенной на
множители функцией G(p), степени числителя и знаменателя которой удовлетворяют
условию 1<п.
р и с . 2.11. В ы б и р а я в к а ч е с т в е п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я п е р е м е н н ы е , п р и в е д е н н ы е
на р и с . 2.11, и м е е м
i , = X , x , +(Х, - у > ;
i , = X , J : , +(Х, - у , ) » , +(Х, - y , V :
у —
кх ,
п
откуда достаточно просто найти соответствующие матрицы.
Метод, применяемый прн аналоговом моделировании
Н е т р у д н о в и д е т ь , ч т о д л я у ч е т а ч и с л и т е л я н е о б х о д и м о на с х е м е р и с . 2.10
добавить лишь соответствующие прямые связи.
Например, система
1
2
У _ dp +ер +jp + g
и
p + ар +Ьр + с
р е а л и з у е т с я с х е м о й , п о к а з а н н о й на р и с . 2.12.
i
1
Основываясь на этой схеме, м о ж н о сразу написать уравнение состояния
-а
Х
2
А
-
-Ь
-с
1 0" *1
е
+ f
1
1 0
g
0
-ad'
-bd
-cd
т
у = с я +du,
где
г
с
=(1
О О).
З а м е т и м , что А и с не о т л и ч а ю т с я о т м а т р и ц в п р и м е р е 2.5, в т о время как
Ь п р е т е р п е в а е т и з м е н е н и е ; у с т а н о в и т с я т е п е р ь я в н о й ф у н к ц и е й о т и.
Нормальная форма
В д а н н о м с л у ч а е м о ж н о и з б е ж а т ь и с п о л ь з о в а н и я п р о и з в о д н ы х y{t) и,
кроме того, уравнение состояния в нормальной форме можно получить
соответствующей заменой переменных.
d
f
u(t)
Хз
XL
Х2
XI
•©т
• О
(-)
(-)
Рис. 2.12. Представление линейного стационарного объекта в виде структурной схемы с
прямыми и обратными связями.
Пример 2.6. Рассмотрим систему
р+а
{р + Ь^р + с)
У
и
или в другой форме
du
=^
*-У (Ь с)^АЬс)у
+
+
Вместо обычной замены х = у,
+
аи.
(2.52)
* и т.д. положим
{
2
dt
y=
x,+k u;
{l
—- - х-, + к.и;
dt
2
1
(2.53)
(2.54)
^
= -{Ь + с)х - (be)*, + к и.
dt
2
(2.55)
г
Из уравнения (2.53) имеем
dy_
=
dx^
du
+
(2.56)
dt
Используя уравнение (2.56), находим
_ dy
du
-k,u.
"di~
°~dT
Из уравнения (2.56) можно получить
, du
, du
d\v dx,
+ k —-,- +*, di
dt
dt
dr
а из уравнений (2.55), (2.57), (2.58) найдем
d
(2.57)
Xl
2
(2.58)
=
0n
1
(2.59)
Приводя подобные члены и сравнивая с уравнением (2.52), определим
* = 0 ; *, = 1 ; * = я - ( А + с).
Таким образом, при указанной замене уравнение состояния для системы,
описываемой уравнением (2.52), принимает вид
0
1
0
х
2
а
-be
-(b + с)
Для общего случая имеем
(2.60)
,-0
г д е п о л и н о м L{p) с н о р м и р о в а н , т.е. а = 1.
J=0
0
2.6. У р а в н е н и я с о с т о я н и я л и н е й н ы х с т а ц и о н а р н ы х с и с т е м с ч и с л и т е л е м
передаточной функции порядка / > п
Если степень числителя превосходит степень знаменателя, т о уравнения
состояния будут содержать производные входного сигнала, т а к ч т о уравнения
состояния примут вид
*~л*
+ ь,.
+
ь,^... ь,Щ
+
7
y = c x + du.
2
6
1
)
\
В д а н н о м с л у ч а е ф у н к ц и ю G(p)необходимо
G(p) = d p' ...
(
записать в следующей форме:
+^ l ± ^ .
(2.62)
а р + . . . + Я.
Р а ц и о н а л ь н а я часть м о ж е т б ы т ь р а з л о ж е н а при и с п о л ь з о в а н и и к а к о г о л и б о и з р а с с м о т р е н н ы х м е т о д о в . О с т а ю щ а я с я часть о п р е д е л я е т п о я в л е н и е в
у р а в н е н и и (2.61) п р о и з в о д н ы х о т и.
fl
+
+
d
rP
0
2.7. У р а в н е н и я с о с т о я н и я л и н е й н ы х систем с п е р е м е н н ы м и п а р а м е т р а м и
В э т о м с л у ч а е с и с т е м а о п и с ы в а е т с я у р а в н е н и е м (2.31). М е т о д ы ,
основанные
на и с п о л ь з о в а н и и
разложения
на п р о с т ы е д р о б и ,
здесь
малопригодны. Однако методы, применяемые при моделировании, и метод
п р и в е д е н и я к н о р м а л ь н о й ф о р м е могут б ы т ь и с п о л ь з о в а н ы .
М о ж н о показать, ч т о п р и
где
«, = I , и
имеем
* (.)=ьм
0
*,(<)=*.<<)-
*.(<)•
(2.63)
З д е с ь с и м в о л С ' о б о з н а ч а е т ч и с л о с о ч е т а н и й из п э л е м е н т о в п о г, т . е .
д
г!(п- г)!
2.8. У р а в н е н и я с о с т о я н и я с и с т е м ы д л я с л у ч а я н е с к о л ь к и х в х о д о в и
выходов
П р и н и м а я во в н и м а н и е в с е и з л о ж е н н о е в ы ш е , н е т р у д н о п о л у ч и т ь
уравнения состояния для системы с несколькими входами и выходами. В
данном случае для характеристики системы вместо векторов Ь и с должны
и с п о л ь з о в а т ь с я м а т р и ц ы В и С.
Пример 2.7. Рассмотрим систему с двумя входами и выходами (рис. 2.10). Заметим,
что система имеет шестой порядок. Следуя методу нормальных координат, принимаем к
качестве переменных состояния
-Х, = z,, х = jc = z,; Xj — z ; x = ; x = z ; x = x = z .
Основываясь на приведенной схеме, получим
х = Ах + Ви; у ~ Сх,
где
0
1
0
0
0
0
2
;
2
5
t
h
х,х
-(X, + х )
0
0
0
0
0
0
-X,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- к
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-х
2
А-
4
г
s
5
4
1 0
; С
,
0
0
0
0
1 0
к
5
0
1
0
0
0
0
1 0
it.
0
И/
0
*1
=1
- /Т\
ъ
3"
У2
/7 + Х
U2I
4
2 4
> iTl
»
р(р+К)
Рис. 2.13. Структурная схема, рассматриваемая в примере 2.7.
2.9. Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е д л я с т а ц и о н а р н ы х с и с т е м
Х о р о ш о и з в е с т н о , ч т о д л я с и с т е м в и д а (2.33) у р а в н е н и е
/,(*.) = 0 ,
(2.65)
где
к —
комплексная
переменная —
является
характеристическим
у р а в н е н и е м с и с т е м ы , а корни у р а в н е н и я (2.35) — п о л ю с ы с и с т е м ы .
Е с л и с и с т е м а (2.33) о п и с ы в а е т с я у р а в н е н и е м с о с т о я н и я
х = Ах + Ви,
(2.66)
то можно показать (упражнение для самостоятельного выполнения), что
характеристическое уравнение можно записать в следующей форме:
\А-Х1\ = 0.
(2.67)
Следовательно,
ф)=\А-\1\.
К о р н и у р а в н е н и я (2.67) [и, с л е д о в а т е л ь н о , п о л ю с ы с и с т е м ы (2.53)]
известны в м а т р и ч н о м и с ч и с л е н и и к а к с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я и л и как
х а р а к т е р и с т и ч е с к и е ч и с л а м а т р и ц ы А. У р а в н е н и е (2.37) п о л у ч а е т с я при
нахождении
такого
вектора
»
в
пространстве
состояний,
который
преобразуется м а т р и ц е й А с т о ч н о с т ь ю д о п о с т о я н н о г о м н о ж и т е л я сам в себя.
Другими словами,
Av = kv,
(2.68)
где
К, как и в с л у ч а е у р а в н е н и я (2.67),— скалярная к о м п л е к с н а я в е л и ч и н а .
В е к т о р ы , у д о в л е т в о р я ю щ и е у р а в н е н и ю (2.68), н а з ы в а ю т с я с о б с т в е н н ы м и
в е к т о р а м и м а т р и ц ы А.
2.10. О п р е д е л е н и е п е р е х о д н о й м а т р и ц ы л и н е й н о й с т а ц и о н а р н о й с и с т е м ы
Для линейных стационарных систем переходная матрица в большинстве
случаев легко может быть найдена. В данном случае
^ ^
где
= ЛФ(МО);Ф<<ОАЬ/,
(2-69)
at
А — постоянная м а т р и ц а .
Для линейной стационарной системы первого порядка имеем
«И>,0 = ехр
\
ad!
Э т о в ы р а ж е н и е д а е т п о в о д искать р е ш е н и е с и с т е м ы у р а в н е н и й в
а н а л о г и ч н о й ф о р м е , т.е. в виде э к с п о н е н ц и а л ь н о й ф у н к ц и и о т м а т р и ц ы А.
Определим экспоненциальную функцию матрицы А и истекшего времени
t-t с л е д у ю щ и м в ы р а ж е н и е м :
(l
*b)if
e
A
'Jf-t«Y
(
9
2.70)
где
Если д а л е е о п р е д е л и т ь п р о и з в о д н у ю о т
производных ее элементов, т о станет ясно, что при
фОлЬе**'
у р а в н е н и е (2.69) у д о в л е т в о р я е т с я т о ж д е с т в е н н о .
Следовательно, д л я случая стационарной
с в о д и т с я к виду
=
матрицы
как
матрицу
(2.71)
системы
'М'У^ВШ'^,
общее
решение
(2.72)
а п р и о т с у т с т в и и в н е ш н е г о воздействия u(t), т . е . д л я а в т о н о м н о й с и с т е м ы ,
решение принимает вид
*(<)=И' 40.
(2.73)
О д н а к о м ы п о к а н е д а л и в ы р а ж е н и я е^' ^ в з а м к н у т о й ф о р м е . Ч т о б ы
с д е л а т ь э т о , м ы д о л ж н ы найти э л е м е н т ы Ф „ ( / - / ) ; Ф ( / - / Д . . . м а т р и ц ы
о
4
0
1г
Ф.Л'-'Л
<М'-0
1
ко-',)]_ф ('-'с)
•
л )
Выражение
(2.70)
•
показывает,
•
Ф„Л'-0
что
теоретически
Ф(/ - 1 )
0
можно
о п р е д е л и т ь при п о м о щ и б е с к о н е ч н о г о м а т р и ч н о г о ряда в и д а
1
:
О д н а к о в о б щ е м с л у ч а е т а к о й путь п р а к т и ч е с к и м а л о п р и г о д е н . Д л я
ч а с т н ы х с л у ч а е в с у щ е с т в у ю т б о л е е у д о б н ы е м е т о д ы . Р а с с м о т р и м н е к о т о р ы е из
них.
Матрица Л — диагональная. Это, например, имеет место, когда система
/7-го п о р я д к а с о с т о и т из п н е с в я з а н н ы х о д н а с д р у г о й систем п е р в о г о п о р я д к а
или когда при п р о с т ы х п о л ю с а х G{p) и с п о л ь з у е т с я р а з л о ж е н и е н а п р о с т ы е
д р о б и . В д а н н о м с л у ч а е Л = А , где л — д и а г о н а л ь н а я м а т р и ц а , э л е м е н т а м и
к о т о р о й с л у ж а т с о б с т в е н н ы е значения ( и л и п о л ю с ы ф у н к ц и и G{p)). Д л я этой
матрицы можно записать
о
г
к"
Л" =
о
X".
и, н е п о с р е д с т в е н н о и с п о л ь з у я в ы р а ж е н и е (2.70), п о л у ч и м
,л<<-0 _
к{1
0
е
Этот результат достаточно ясен, если перейти к системе несвязанных
дифференциальных уравнений первого порядка.
Собственные
значения
матрицы Л
различны, но А —
не
д и а г о н а л ь н а я . С л у ч а й I н а в о д и т на м ы с л ь , ч т о когда А не д и а г о н а л ь н а я , м ы
д о л ж н ы стараться н а й т и п о с т о я н н у ю м а т р и ц ы Р, которая п р е о б р а з у е т м а т р и ц у
А в д и а г о н а л ь н у ю Л , т.е. Л = Р АР.
О т с ю д а Р\Р =А,
и поскольку
А" = РАР , и м е е м
У
1
Это эквивалентно преобразованию
Х
(2.74)
при помощи которого уравнение
~ Л Ф ; Ф ( /
at
преобразуется в уравнение
о
Л
М
dt
или
(2.75)
Л
Т а к к а к т е п е р ь м а т р и ц а Р АР д и а г о н а л ь н а я , э л е м е н т ы в
( /
матрицы в ,
как в с л у ч а е I , л е г к о м о г у т б ы т ь н а й д е н ы . И з с о о т н о ш е н и я Ф = я е м о ж н о
заключить, что каждый элемент Ф должен быть линейной комбинацией
(/
K,t,
a)
ч л е н о в e '~' .
Простой способ нахождения матрицы Р в данном случае состоит в т о м ,
что
сначала
находятся
п
собственных
векторов
удовлетворяющих
уравнению
Av, =X,u,; i = l,...,n,
(2.76)
а з а т е м ф о р м и р у е т с я м а т р и ц а Р, с т о л б ц а м и к о т о р о й с л у ж а т п в е к т о р о в
о,.
]
С п р а в е д л и в о с т ь т а к о г о с п о с о б а с т а н о в и т с я я с н о й , если с о о т н о ш е н и е Р~ АР = Л
переписать как
АР = РА.
(2.77)
Е с л и матрица Р с ф о р м и р о в а н а , к а к о п и с а н о в ы ш е , т о н е т р у д н о в и д е т ь ,
что у р а в н е н и е (2.77) с в о д и т с я к у р а в н е н и я м (2.76).
Если уравнения системы записаны в нормальной форме, т о матрица А
п р и н и м а е т в и д (2.76). В э т о м с л у ч а е м а т р и ц е й , п р е о б р а з у ю щ е й м а т р и ц у А в
диагональную матрицу Л , будет матрица Вандермонда
1
1
1
.
.
.
1
(2.78)
Матрицей,
преобразующей
систему
из
канонической
формы
н о р м а л ь н у ю , является м а т р и ц а УС, г д е С — д и а г о н а л ь н а я м а т р и ц а
в
[с,,...,с„].
Ч т о б ы п о к а з а т ь э т о , в ы п и ш е м в ы х о д н о й с и г н а л у и п-1 е г о п р о и з в о д н ы х :
V = У с лг;
' '
df"
— - У с,
dt
tT
= У с,Д.,х,...;
dt
dt
tT
(2.79)
В ы р а ж а я н о р м а л ь н ы й вектор с о с т о я н и я
У
dt
dt"
ч е р е з к а н о н и ч е с к и й в е к т о р состояния
Х
=
г
получим
С,
Поскольку
х
ы
с
и лг —
(7
с,
2
.
.
с„
векторы с о с т о я н и я с и с т е м ы с о о т в е т с т в е н н о в
н о р м а л ь н о й и к а н о н и ч е с к о й ф о р м е , с л е д о в а т е л ь н о , мы д о к а з а л и в т о р у ю ч а с т ь
нашего утверждения. Теперь можно записать
УС\(УСУ
где
САС
A
v
1
=УС\С
'V
1
=А„,
— матрица А системы, записанной в нормальной форме. Так как
]
= Л , т о УАУ~ = А ., ч т о д о к а з ы в а е т п е р в у ю часть н а ш е г о у т в е р ж д е н и я .
и
Метод преобразования Лапласа.
п р о с т ы х , т а к и к р а т н ы х корнях.
П у с т ь x(s)=L
Этот
метод
применим
как
при
[х(/)], где L — о п е р а т о р п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а , a x(t)
о п р е д е л е н а на п о л о ж и т е л ь н о й
п о л у о с и , начиная с / - 0 . Т о г д а
0
уравнение
х = Ах п р и х(о) = л: п р и н и м а е т в и д
ц
sX(s)-
X(i
=AX{s),
(2.80)
откуда находим
{si-A)x(s)
=x;
n
X{ )={sI-AYx .
s
Так как
то
LH,,O)]=L[^] (,;-^
=
или
tl
<K/,0)=L-'Krf-^rj.
(2.81)
С л е д о в а т е л ь н о , д л я н а х о ж д е н и я Ф{ф) н е о б х о д и м о в ы ч и с л и т ь м а т р и ц у ,
о б р а т н у ю м а т р и ц е {si - / * ) , и д л я к а ж д о г о э л е м е н т а этой м а т р и ц ы о с у щ е с т в и т ь
обратное преобразование Лапласа.
Пример 2.8. Рассмотрим систему
1
С(Р)=
"РСР+«Х/? Р)
+
При записи ее в нормальной форме получим
0
А= 0
I
0
0
1
"о"
; *=
0
-ар
0
1
Матрица Вандермонда имеет вид
1
1
1
- а -р
а
р
У - 0
0
2
2
а+Р
.1р
ар
1
_JL
у-' =
а(а-р)
а
а(а-р)
1
р(р-а)
Отсюда можно найти перехддную матрицу Ф(/.0). Итак.
ар
а(а-р)
ре"'"
р-ч
A,
<&(t,0) = Ve V
ае~*
pflJ-а)
ар
а(а-р) рф-а)
е""
е"
а-р
(1-а
н
а-р
ае "' ре
+
а-р р-а
. (2.82)
1
а-р
р-а
Этот же результат мы можем получить, используя преобразования Лапласа. Имеем
s -\
0
0
1
0
А= 0
0
- I
О ар у + (а + р)
I
- ар - (а +• р)
0
0
1
{sI-A)-
j + (a+p)
s
I
5 .sfs + aX-v + P) s(.s+c<Xs+P)
о л + (« + Р)
'
(j + аХ^ + р)
0
-«Р
(* + аХ* + Р)
j
л+u
т+Э
*
Р(р-гх) /(а-р)
5+P
.v + а
up/(»-p)
s +-a
аР(р-а)
t
j+а
v+P
I / O * - " ) , »'(a-P)
i +a
s+P
а/(о - p) в ( p - a )
| Ц
1
Нетрудно видеть, что в результате преобразования L (si - А)'' придем к тому же
выражению переходной матрицы, т.е. к выражению (2.82).
Пршмср 2,9. Для системы, приведенной на рис. 2.14, найти: а) переходную матрицу;
б) переходный процесс по переменным состояния при r(l) = О и дг, (О) = 4, д: (0) = 2 ; в)
реакцию системы на входной сигнал r{t)= cos 2/, прикладываемый в момент г = 0 при
начальных условиях JC, (о) = дг, (0) = 0.
г
р+Ь
Р и с 2.14. Структурная схема системы, рассматриваемой в примере 2.9.
Уравнения системы имеют вид
1 =-6*t + 5х
г = -J,
2
;
г
так что
-6
0'
5
,ь =
-1 0
А
Собственные значения системы (полюсы) можно получить, записав определитель
Ь
Х
5
= X(X + 6)+5 = (X lXx 5).
\A-7J\ = ~ ~
-1
Следовательно, X = - 1 , - 5.
Чтобы найти переходную матрицу, сформируем сначала из предварительно
найденных собственных векторов преобразующую матрицу Р. Написав соответственно для
Х = -1 и X = - 5 уравнение Az = \z, находим с точностью до постоянного множителя
Г
5"
. Следовательно,
следующие собственные векторы:
и
1^
1
+
"1 5"
'-1
+
5'
1 1
4 1 -1
Путем проверки можно убедиться, что
Л = Р АР.
Переходную матрицу можно сформировать с помощью следующего преобразования:
5е"' - 5е'
,
4
$е"-е
Если rif) * 0; д, (О) = 4 и л (0) - 2 , то переходный процесс определяется выражением
г
3
-е
4»)=Ф0.ОМО)= 2
3
-е
S _
+-е
2
1
s
.5
+-е
12
2
И, наконец, при r(f)=cos2/ и дг,(0)= дг (о) = 0 реакция системы с момента
определяется согласно уравнению (2.52) выражением
;=О
2
1 'г
ifce" '-' -5^ '- )cos2trfi
о
(
,
i (
, ,
4
5
1^И'-''-е- "-'*)со 2хЛ
5
29
25
— I L2sin2f + cos2*-—
4 е ' + —е '
5
— 14sm2/ + 6cos2l
291
е
4
+-с
4
s/
П е р е д т е м как з а к о н ч и т ь э т о т раздел, з а м е т и м , ч т о , п о с к о л ь к у д л я
линейных стационарных систем функция
Ф(/,/„)
Ail
и м е е т в и д e '°\
то эта
ф у н к ц и я н е и з м е н я е т с я п р и с д в и г е во в р е м е н и . Б е з п о т е р и о б щ н о с т и м о ж н о
считать
t = 0.
Поэтому
0
переходную
матрицу
линейной
ннвариантой
во
времени системы будем иногда обозначать как ф ( / ) .
2.11. П е р е д а т о ч н ы е ф у н к ц и и л и н е й н ы х с т а ц и о н а р н ы х с и с т е м
М а т р и ч н а я з а п и с ь в е с ь м а у д о б н а и для п р е д с т а в л е н и я с и с т е м ы в о б л а с т и
и з о б р а ж е н и й по Л а п л а с у . В с л у ч а е с т а ц и о н а р н о й м н о г о м е р н о й с и с т е м ы б у д е м
о б о з н а ч а т ь и з о б р а ж е н и я п о Л а п л а с у в х о д н ы х с и г н а л о в ы,(/), u (t),
2
s
т р а д и ц и и к а к U (s),
U ( )-
t
можно
в области
выходные
сигналы
r
изображений
m-мерным
и (/) п о
г
А н а л о г и ч н ы м о б р а з о м вектор с о с т о я н и я
представить
вектором
Y(s).
n-мерным
вектором
Соотношение
между
x(s),
а
этими
в е к т о р а м и у с т а н а в л и в а е т с я п е р е д а т о ч н ы м и м а т р и ц а м и H(s) И G(S) т и п а я * г и
ту.г с о г л а с н о с л е д у ю щ и м у р а в н е н и я м :
X(s)=H{s)u{s);
(2.83)
Y{s) = G{sW(2-84)
Напомним, что передаточная функция, связывающая входной и выходной
сигналы, определяется как преобразование Лапласа от реакции системы на
входной сигнал в виде единичного импульса при нулевых начальных условиях
и п р и р а в е н с т в е н у л ю всех д р у г и х в н е ш н и х с и г н а л о в . С л е д о в а т е л ь н о , э л е м е н т
h (s) м а т р и ц ы H{s) п р е д с т а в л я е т с о б о й п р е о б р а з о в а н и я п о Л а п л а с у и м п у л ь с н о й
4
п е р е х о д н о й ф у н к ц и и по i-й п е р е м е н н о й с о с т о я н и я в о т н о ш е н и и / - г о в х о д н о г о
с и г н а л а п р и равенстве н у л ю в с е х д р у г и х в х о д н ы х с и г н а л о в .
Представляет интерес установить взаимосвязь между
матричными
передаточными функциями системы
H(s),
G(s), в в е д е н н ы м и
согласно
у р а в н е н и я м (2.83) и (2.84), и м а т р и ц а м и в о в р е м е н н о й о б л а с т и А, В, С и D.
М о ж н о у б е д и т ь с я , ч т о п р а к т и ч е с к и в с е ф о р м у л ы для п р е о б р а з о в а н и й п о
Л а п л а с у п р и с к а л я р н о й ф о р м е з а п и с и с п р а в е д л и в ы и для с л у ч а я з а п и с и в
м а т р и ч н о й ф о р м е . Р а с с м о т р и м , н а п р и м е р , с и с т е м у i = Ax + Bu;
y-Cx^Du.
П р е о б р а з у я п о Л а п л а с у о б е части п е р в о г о у р а в н е н и я при н у л е в ы х н а ч а л ь н ы х
условиях, получим
sX{s)=AX{s)+BV{s)
или
[sI-A]X(s)=
BU(S).
Следовательно,
(2.85)
X(S)*[SI-AYBU(S).
П р е о б р а з у я п о Л а п л а с у о б е ч а с т и у р а в н е н и я y{t) = Cx{i)+Du(t), п о л у ч и м
Y{s)=CX(s)+DV{s)
(2.86)
>
т а к что
Y{s) = (C(i7 - ЛУ В + DJj{s).
(2.87)
И з у р а в н е н и й (2.83) - (2.87) н а й д е м
Н(?) = 1а-АУв;
(2.88)
G{s) = C[sl - A] B + D.
(2.89)
У р а в н е н и я (2.88), (2.89) о п р е д е л я ю т п у т ь п о л у ч е н и я п е р е д а т о ч н о й
функции системы из уравнений, записанных через переменные состояния.
Пример 2.10. Для системы, рассмотренной в примере 2.4, имеем
1
1
X
А -
с--
0
0
Г
с
0'
0
0 ; В=Ь= 1
1
Х
0
1А
=ll
c
*1
c,l; d = 0.
Тогда
-1
0
Сг]
( S
A l
0
1
= [С,
С
7
С;]
о
о
<?-KY
о
d-v)
-1
(
)
(
(s-X )
2
0'
1
1
Пример 2.11. Рассмотрим теперь систему из примера 2.6. Располагая матрицами А, В
и С, получим
- I
О О О
О
5
О
{sI-A)
=
s + \s
0
0
О
О
О
О
0
0
0
0
0
0
о
0
О
о
0
s
-1
0
0
s + X,
S+
Следовательно,
1
s + X, + Х,
(s + ^Xs + X,)
(s + Xjs
о
+ X)
2
о
о
О
у + >.
3
(sI-A)-
О
s+X
4
о
,s{.S + / - )
5
1
о
5 + /-«
Отсюда
о
(s + /. X* + A,)
о
4
к,
H(S)=(S/-AYB
о
=
к
:
о
о
о
,
G{s)=C[sI-A\ B
= CH(s) =
5 + /.,
0
5+
A,
s+ k
3
Матрицы
H{s)
И G(S)
приведенной на рис. 2.13.
s(s + X )\
b
можно также получить непосредственно из схемы
2.12. П р и м е н е н и е т е о р и и г р а ф о в
Передаточные
функции
сложной
многоконтурной
САР
можно
определить по структурной схеме без приведения ее к одноконтурной, если
и с п о л ь з о в а т ь м е т о д т е о р и и графов.
С т р у к т у р н у ю с х е м у С А Р м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь как о д и н из в и д о в г р а ф а ,
и для о п р е д е л е н и я п е р е д а т о ч н ы х ф у н к ц и й пользоваться ф о р м у л о й М е з о н а :
£Н,Ф,
w
=-!=!
,
(2.90)
Ф
где
W
rr
—
отношение изображения
Z переменной г к изображению
X
п е р е м е н н о й д;;
ф =1-£н
1 (
+£н
<=i
Н,
—
передаточная
структурной
схемы;
произведение
функция
r
t
—
передаточных
1 |
i-i
-£нз +... ;
1
; - i
разомкнутой
число
функций
несоприкасающихся контуров; Н , —
}
ц е п и /-го з а м к н у т о г о
замкнутых
контуров
разомкнутых
в схеме;
цепей
/-Й
контура
Н,
2
—
пары
произведение передаточных функций
р а з о м к н у т ы х ц е п е й i-й т р о й к и н е с о п р и к а с а ю щ и х с я к о н т у р о в ; г, — ч и с л о т р о е к
н е с о п р и к а с а ю щ и х с я к о н т у р о в ; Н, — п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я /-й п р я м о й ц е п и о т
п е р е м е н н о й х к п е р е м е н н о й z\r — ч и с л о п р я м ы х цепей о т х к z; Ф, — ф у н к ц и я
Ф для т о й части с т р у к т у р н о й с х е м ы , которая н е соприкасается с i-й п р я м о й
ц е п ь ю OTJC KZ.
Ф о р м у л а (2.90) п о з в о л я е т б е з п р е о б р а з о в а н и я с т р у к т у р н о й с х е м ы С А Р
о п р е д е л и т ь л ю б у ю е е п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю , т.е. о т н о ш е н и е и з о б р а ж е н и я
о д н о й из п е р е м е н н ы х ( о б о б щ е н н ы х к о о р д и н а т ) к и з о б р а ж е н и ю в н е ш н е г о
воздействия и л и д р у г о й п е р е м е н н о й .
IV.
Рис. 2.15. Структурная схема многоконтурной САР с дополнительной связью по задающему
воздействию.
И с п о л ь з у я ф о р м у л у (2.90), н у ж н о и м е т ь в в и д у с л е д у ю щ е е . П р я м ы е цепи
от х к z могут частично совпадать одна с другой. При определении
п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и р а з о м к н у т о й цепи к а ж д о г о из к о н т у р о в н у ж н о
у ч и т ы в а т ь з н а к о б р а т н о й с в я з и , о б р а з у ю щ е й э т о т к о н т у р . К о н т у р ы не
с о п р и к а с а ю т с я о д и н с д р у г и м , к о г д а у н и х н е т ни о б щ е й к о о р д и н а т ы ( с т р е л к и
на с т р у к т у р н о й с х е м е ) , ни о б щ е г о з в е н а ( п р я м о у г о л ь н и к а н а с т р у к т у р н о й
схеме). Если
в структурной схеме есть более трех несоприкасающихся
контуров, т о при вычислении функции Ф нужно добавить соответствующие
с у м м ы . К а ж д а я из ф у н к ц и й Ф, в ы ч и с л я е т с я т а к ж е , к а к и ф у н к ц и я Ф , н о
рассматривается л и ш ь та часть структурной схемы, которая не соприкасается с
1- й п р я м о й ц е п ь ю о т х к г.
з а м к н у т ы е к о н т у р ы , т о Ф, = 1.
Е с л и с i-й п р я м о й ц е п ь ю с о п р и к а с а ю т с я
все
Пример 2.12. По структурной схеме САР (рис. 2.15) нужно определить ее
передаточную функцию относительно задающего воздействия g. Воспользуемся формулой
(2.60) и начнем с вычисления функции Ф. В рассматриваемой схеме пять замкнутых
контуров; передаточные функции их разомкнутых цепей W W ,-W ,-W ,~W W W^W .
i4
2
3
t
{
2
A
Следовательно:
£ r l „ =W
(
+
W -W, _ - W№W<
2
.
Wt Wx
I-1
Очевидно, что схема содержит пары из 1-го и 2-го, 1-го и 3-го, 1-го и 4-го, 2-го и 4-го
несоприкасающихся контуров, поэтому
Н>, - fV,W - WJ¥ - W,W, - W W<.
I
г
%
2
Имеется только одна тройка из несоприкасающихся контуров, и она состоит из 1-го,
2- го и 4-го контуров:
Н = -W W W ,
31
y
2
t
Четырех несоприкасающихся контуров в системе нет, следовательно, теперь можно
определить функцию
н
+
Н
Н
1
;
/
Ф = 1-Х 1. 1 ^ ^=0-^)К -^Х'+^)+^]+'* ,» »'з»'4
1=1
,'1
От задающего воздействия g к регулируемой координате v идут две прямые цепи
передачи сигнала Их передаточные функции
г
Н, =W W W W, и н =w,tv w .
t
b
2
г
2
]
Рис. 2.16. Структурная схема дифференцирующего гироскопа.
С первой прямой цепью со1грикасаются все замкнутые контуры, со второй прямой
цепью не соприкасается только 4-й контур, следовательно,
Ф, =1 и Ф , = \ + W,;
Х Н , Ф , = ^ [ ^ ^ ( 1 +^
]
-
Теперь можно определить искомую передаточную функцию
гг,гг (гггг ( гг^-,]
:
7
И. = -
Ф
1 +
[ +
(1 - W , \ { i - W j l + Wj + W^ + Wiw w,w<"
x
Легко убедиться, что преобразование рассмотренной структурной схемы
в э к в и в а л е н т н у ю о д н о к о н т у р н у ю и м е е т б о л е е с л о ж н ы й расчет. И с п о л ь з о в а н и е
ф о р м у л ы (2.90) о б ы ч н о у м е н ь ш а е т т р у д о е м к о с т ь о п р е д е л е н и я п е р е д а т о ч н ы х
функций С А Р , структурная схема которой имеет несколько взаимосвязанных
контуров.
Пример 2.13. Составить передаточную функцию И-'^ дифференцирующего гироскопа
(рис. 116).
Начнем с вычисления функции Ф. В схеме три замкнутых контура (г, = 3) и все они
соприкасаются, так как имеют общее звено W , следовательно, г =г =... = 0.
Передаточные функции разомкнутых цепей контуров
i
2
ъ
Определяем функцию
ф = 1-(Н„ + н
1 г
+H„)*\+IT IV -w,w w
1
s
2
+w w w,.
6
l
2
В схеме две прямых цепи от входной величины р к выход!юй величине а . Их
передаточные функции
Н, =W (-W )V
3
2
и Н
L
г
=W W .
T
T
7
Обе прямые цепи содержат звено и ,, которое входит и во все замкнутые контуры
системы, т.е. нет замкнутых контуров, не соприкасающихся с прямыми цепями, поэтому
Ф, =Ф,
=1.
Теперь по формуле (2.90) определим искомую передаточную функцию:
. Н,Ф +Н,Ф
|
QB
Ф
г
.
-W,W W^W,W
2
y
\+W W -w,w w +w w w
wXw,-w w,)
X
5
2
2
b
x
2
%
Э.Оценка у с т о й ч и в о с т и и к а ч е с т в а п р о ц е с с а у п р а в л е н и я
ЭЛ. С у щ е с т в у ю щ и е м е т о д ы о ц е н к и у с т о й ч и в о с т и н а П Э В М
Пусть динамика С А У описывается системой линейных дифференциаль­
ных уравнений
ibr,
at
— -а х
at
и
+ в л + ... +о дг + ь / , ;
у
2:
:
гв
я
г
(3-D
dx
dt
г д е * , , x ,...,*„ - к о о р д и н а т ы , х а р а к т е р и з у ю щ и е п о в е д е н и е с и с т е м ы .
z
С и с т е м а п у р а в н е н и й (3.1) с о к р а щ е н н о м о ж е т б ы т ь з а п и с а н а в м а т р и ч ­
ной ф о р м е
dt
где А - квадратная матрица коэффициентов вида
а,,
а" 2„1 ... а,.
'11
<з„ а „ . . . а ,
(3.2)
(3.3)
А , «,j В - одностолбцовая матрица коэффициентов (вектор ~ столбец) с элементами
Ь^Ь ,...,Ь ;/
2
а
- возмущающее воздействие; х - вектор - столбец интересующих
нас координат с элементами JC,,X ,...,*„.
2
А. М. Ляпунов показал, что устойчивость в линейных системах не зави­
сит от возмущающих воздействий н определяется решением однородной сис­
темы уравнений
Ах.
(3.4)
dt
Д л я т о г о ч т о б ы р е ш е н и е с и с т е м ы (3.4) б ы л о а с и м п т о т и ч е с к и у с т о й ч и ­
в ы м , н е о б х о д и м о и д о с т а т о ч н о , ч т о б ы в с е к о р н и Я, (г= 1, 2,
п) у р а в н е н и я
и м е л и о т р и ц а т е л ь н ы е в е щ е с т в е н н ы е части, т.е. л е ж а л и с л е в а о т м н и м о й о с и на
плоскости комплексного переменного Я.
а,, - Я а,,....
О21
°22
а
а ...
я1
я2
°1»
а
т
З а п и ш е м (3.5) в м а т р и ч н о м в и д е
- Я
= 0
(3.5)
\А-Щ
= 0.
(3.6)
Здесь и далее Е означает единичную матрицу
I
0... о
О
1... о
О 0... 1
У р а в н е н и е (3.6) н а з ы в а ю т х а р а к т е р и с т и ч е с к и м у р а в н е н и е м с и с т е м ы
(3.2), а его к о р н и Я, (/ = 1, 2,..., п) я в л я ю т с я с о б с т в е н н ы м и ч и с л а м и ( с о б с т в е н ­
н ы м и з н а ч е н и я м и ) м а т р и ц ы А . С у м м а э л е м е н т о в , с т о я щ и х на г л а в н о й д и а г о н а ­
л и , о б р а з у е т с л е д м а т р и ц ы А и о б о з н а ч а е т с я SpA. С л е д м а т р и ц ы с в я з а н с с о б ­
ственными числами соотношением
a
=
l
SpA=X « £' <'
где/=1,2
и.
Р а з в е р н у в о п р е д е л и т е л ь (3.5) по и з в е с т н ы м п р а в и л а м , п о л у ч и м х а р а к т е ­
р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е п - й степени о т н о с и т е л ь н о к
(о(А) = | А-ЯЕ
1
2
| = а Л" + а.Л"" +а Я"'
0
г
+... + а _ Л + а = 0 ,
П
1
П
(3.7)
п о с л е ч е г о п р и м е н я е т с я какой - л и б о и з и з в е с т н ы х к р и т е р и е в и с с л е д о в а н и я у с ­
тойчивости или производится непосредственное вычисление корней уравнения
численными методами. В такой постановке эта задача обычно и рассматривает­
ся.
О д н а к о р а з в е р т ы в а н и е на П Э В М о п р е д е л и т е л я в ы с о к о г о п о р я д к а (3.5) и
приведение его к характеристическому полиному связано с серьезными трудно­
стями чисто вычислительного характера.
Рассмотрим кратко существующие методы исследования устойчивости с
т о ч к и з р е н и я в о з м о ж н о с т и их п о с т а н о в к и на П Э В М . И з в е с т н ы е к р и т е р и и Р а у с а
- Гурвица, Льенара - Шипара, А.В. Михайлова, Найквиста, Ланцоша и другие
б ы л и с о з д а н ы з а д о л г о д о п о я в л е н и я П Э В М и п о э т о м у , е с т е с т в е н н о , н е все о к а ­
з а л и с ь о д и н а к о в о у д о б н ы для п р и м е н е н и я н а П Э В М . В с в я з и с э т и м в о з н и к а е т
з а д а ч а о ц е н к и с у щ е с т в у ю щ и х к р и т е р и е в с т о ч к и з р е н и я р е а л и з а ц и и их н а
П Э В М и видоизменения их применительно к специфике электронных цифро­
вых машин.
Критерий Рауса - Гурвица. Для раскрытия определителя Гурвица
можно применить метод главных элементов или другие методы (например,
п р и в о д я е г о к т р е у г о л ь н о м у виду). Л о г и ч е с к и е у с л о в и я критерия Г у р в и ц а в
э т о м с л у ч а е с о в п а д а ю т с о с т р у к т у р о й к р и т е р и я Рауса.
Составим определитель матрицы Гурвица из коэффициентов характери­
с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я (а, * 0 ) ; / = 1, 2, . . . , и - 1. Д л я п е р е х о д а м а т р и ц ы Г у р в и ц а
к правому треугольному виду проделаем следующие элементарные преобразо­
в а н и я : из к а ж д о г о э л е м е н т а второй с т р о к и в ы ч т е м с т о я щ и й н а д н и м э л е м е н т
первой с т р о к и , п р е д в а р и т е л ь н о у м н о ж е н н ы й на с, = — . В м е с т о с т р о к и с э л е -
ментами
a a aa
Q
1
t
(t
получим строку со следующими элементами: № Д Д ,
где
2
6, = л , - с , в , ; Ь =а,-с,а,;
А
Ь = а -с,а
7
И Т. Д.
а,
а,
а
ь
а , ....
а
а
а
а
О
о,
а,
а, ....
О
а
я
а,
0
0
ь
0
ь
г
А
ц
ь
2
0
0
....
....
...д
яА
Выполним аналогичные операции в остальных нижележащих строках.
З а т е м в ы ч т е м из к а ж д о г о э л е м е н т а т р е т ь е й с т р о к и п р е о б р а з о в а н н о й м а т р и ц ы
стоящие над ней элементы преобразованной строки, у м н о ж е н н ы е на с
, и
а
повторим аналогичные операции в нижележащих строках. Продолжим процесс
п о т о й ж е с х е м е д о тех п о р , п о к а н а т - м ш а г е н е п о л у ч и м п р а в у ю т р е у г о л ь ­
ную матрицу, эквивалентную исходной.
Таким образом, имеем
}
г
А
Аг
А*
А* •
А
Аг
А»
•А и
0
0
А
0
0
0
А
0
0
0
0 ..
п
м
К а к известно, о п р е д е л и т е л ь т р е у г о л ь н о й м а т р и ц ы р а в е н п р о и з в е д е н и ю
э л е м е н т о в главной д и а г о н а л и . Д л я т о г о ч т о б ы р а с с м а т р и в а е м а я с и с т е м а (3.7)
б ы л а у с т о й ч и в о й , н е о б х о д и м о и д о с т а т о ч н о , ч т о б ы все э л е м е н т ы А , , , А , А „ ,
; г
А
я
} я
, р а с п о л о ж е н н ы е на г л а в н о й д и а г о н а л и о п р е д е л и т е л я Д
t
и Ч
, б ы л и по­
л о ж и т е л ь н ы {а > 0 ) . В случае, е с л и хотя б ы о д и н и з д и а г о н а л ь н ы х э л е м е н т о в
0
неположителен, условия Гурвица для устойчивой системы не выполняются. В
таком виде вычисления совпадают с расчетной схемой критерия Рауса. Изло­
женная процедура позволяет анализировать устойчивость линейных систем с
помощью ПЭВМ
К р и т е р и й Льенара - Ш и п а р а . Одна из модификаций критерия Рауса Г у р в и ц а б ы л а п р е д л о ж е н а Л ь е н а р о м и Ш и п а р о м в 1914 г. К р и т е р и й Л ь е н а р а Ш и п а р а ф о р м у л и р у е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м : для т о г о ч т о б ы и с с л е д у е м а я с и с -
тема была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выпол­
нялось любое из следующих четырех неравенств:
а >0, 43„ >0,
Д, >0, Д >0,
п
2
<*„ >0,
}
а„_,
>0,
Д
> F T
«„ > » " - i . " -з
й
я
>0, Д, >0,
А, >0, Д >0,
2
,
э
°п
'
>
&2 >
'
где Д,Д,Д,Д, - д и а г о н а л ь н ы е м и н о р ы м а т р и ц ы Г у р в и ц а .
>
П
> f t
>П
> f t
П р и н и м а я во в н и м а н и е , ч т о Л, = а , , м о ж н о п р и в е д е н н ы е в ы ш е у с л о в и я
представить следующим образом:
при н е ч е т н о м я
, д ,
>0.
д„_ , д ,
5
2
а , , а,,
' 3 ' ая.
н
а.
2'
>0.
, Д.-,.
А
ая-Г а.
А-!. Д»
>0.
а.
>о.
д , д , . . . . д„_ , д . ,
2
4
3
а., а ,
г,..., а .
я
при ч е т н о м п
Д .,_з>
Д„ Д„
иг
д , д ,
2
4
а,, о , ..
3
д
3 5
д„
а , , а „ ..
Л;, Д ,
4
а*
Д-2>
fl-J.
Д,
я -1
я
д п. - 3„' д .
>о.
>о.
>о.
,
« -3»
Я
°Д-Р
A „ . j , Д„
>о.
Критерий Льенара - Шипара требует удовлетворения примерно вдвое
меньшего количества детерминантных неравенств, чем обычный критерий Гур­
вица.
Частотные критерии. Несмотря на наметившуюся тенденцию широко­
го внедрения П Э В М в область анализа и синтеза автоматических систем, час­
т о т н ы е м е т о д ы п р и м е н и т е л ь н о к м а ш и н н о й п о с т а н о в к е не у т р а т и л и с в о е г о з н а ­
ч е н и я . Р е а л и з а ц и я их на П Э В М м о ж е т и м е т ь как с а м о с т о я т е л ь н о е з н а ч е н и е , и
т о г д а п р о е к т и р о в щ и к м о ж е т б ы с т р о п о л у ч и т ь ц е н н у ю и н ф о р м а ц и ю при о б с л е ­
довании большого количества различных сочетаний параметров (можно стро­
и т ь л и н и и р а в н ы х з а п а с о в у с т о й ч и в о с т и п о м о д у л ю и п о ф а з е и в ы в о д и т ь их на
печать), т а к и вспомогательное. Так, например, при машинной постановке D разбиения критерий Михайлова может применяться д л я выделения областей
устойчивости среди нескольких претендентов на нее. Машинная реализация
ш т р и х о в к и п о Н е им арку в т о м в и д е , в каком о н а п р и м е н я е т с я п р и р у ч н ы х в ы ­
числениях, требует составления довольно сложной программы.
П р и п о с т а н о в к е н а П Э В М м е т о д а а м плиту д н о - ф а з о в ы х х а р а к т е р и с т и к ,
и с с л е д о в а н и е ведется п о п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и
QQS" +a s*
+...+ а
t
я
Т р е б у е т с я в ы ч и с л и т ь U{o))=ReW(jo)); V(6i) = \mW(jei) а затем п о с т р о и т ь
t
>(»)"
i4(u?) = J r ( u ) ) + f ' ( o ) ; Q>{a>) = arctg
1
z
где А{а>)- а м п л и т у д н а я х а р а к т е р и с т и -
ка, <р{о>) - ф а з о в а я х а р а к т е р и с т и к а с и с т е м ы .
Построение на П Э В М амплитудно-фазовой характеристики сводится к
многократному вычислению передаточной функции при мнимом значении ар­
г у м е н т а s = jot и п о с л е д у ю щ е г о п о с т р о е н и я к р и в ы х п о м о д у л ю и а р г у м е н т у .
3.2. И с с л е д о в а н и е с и с т е м с п о м о щ ь ю в ы ч и с л е н и я к о р н е й
Одним из эффективных итерационных
л я е т с я м е т о д Н ь ю т о н а . К а к все и т е р а ц и о н н ы е
ляемостью результата при случайных сбоях
быть компактно размещена в запоминающем
применяют для вычисления простых корней.
способов вычисления корней я в ­
методы, о н обладает самонсправв машине, а информация может
устройстве. О б ы ч н о этот метод
Рассмотрим постановку этого метода к а П Э В М для вычисления вещест­
венных и комплексных корней.
Пусть требуется найти решение уравнения
(3.9)
/ ( Я ) = О,
г д е /(Л) - в е щ е с т в е н н а я , д в а ж д ы н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м а я ф у н к ц и я .
П у с т ь и з в е с т н о , ч т о в н у т р и н е к о т о р о г о и н т е р в а л а [а,Ь] с у щ е с т в у е т т о л ь ­
ко один корень, а производная f
(%) н е и м е е т к о р н е й в н у т р и э т о г о и н т е р в а л а .
В ы б е р е м н е к о т о р у ю т о ч к у X , л е ж а щ у ю в н у т р и и н т е р в а л а , и п р о в е д е м каса­
v
т е л ь н у ю к кривой у = / ( Я ) в этой точке. Уравнение касательной
У~/<*<,) = /(Л )(Л-Л,),
0
(3.10)
П о л а г а я у = 0 и р е ш а я ( 3 . 1 0 ) о т н о с и т е л ь н о я, п о л у ч и м
ПК)
Е с л и т е п е р ь в з я т ь п о л у ч е н н о е з н а ч е н и е Я в к а ч е с т в е точки Я, и п р о в е с ­
т и в н е й к а с а т е л ь н у ю , з а м е н я ю щ у ю к р и в у ю у = /(Л), и с н о в а р е ш и т ь у р а в н е ­
н и е , т о п о л у ч и м з н а ч е н и е А,, т . е.
Даш^!ешш1е в ы ч и с л е н и я м о ж н о п р о д о л ж и т ь по р е к у р р е н т н о й ф о р м у л е
Л
- Л - ^ ' " г у » которая с у в е л и ч е н и е м п д а е т все б о л е е т о ч н о е п р и б л и ж е н и е
яА
я
к и с т и н н о м у з н а ч е н и ю к о р н я . Как т о л ь к о Л
б у д е т о т л и ч а т ь с я о т Я„ н а в е л и ­
чину, м е н ь ш у ю з а р а н е е з а д а н н о г о з н а ч е н и я т о ч н о с т и е, м о ж н о п о л а г а т ь , ч т о
корень вычислен с заданной степенью точности и погрешность его по абсолют­
ной в е л и ч и н е м е н ь ш е е.
В ы ч и с л и т е л ь н а я п р о ц е д у р а Н ь ю т о н а р а с п р о с т р а н я е т с я н на к о м п л е к с ­
ные корни. Пусть задана аналитическая ф у н к ц и я / ( г ) комплексного переменно­
го 2 внутри з а д а н н о й о б л а с т и W. Б у д е м с ч и т а т ь , что в с ю д у внутри э т о й о б л а с т и
п р о и з в о д н а я / ( z ) * 0 . Т р е б у е т с я найти к о р е н ь ф у н к ц и и / ( z ) , л е ж а щ и й в н у т р и
области W. Р а с с м о т р и м н е к о т о р у ю точку г е W и р а з л о ж и м ф у н к ц и ю / (z) в
р я д Т е й л о р а в о к р е с т н о с т и этой т о ч к и , о г р а н и ч и в а я с ь д в у м я ч л е н а м и р я д а
/(2) = / ( г ) + / " ( г Д г - 2 ) + Л ( )
(3.11)
яА
0
0
п
2
П р е н е б р е г а я о с т а т о ч н ы м ч л е н о м R (z) и з а м е н я я функциюf(z)
f(z )+f
функцией
( z X z - z ) , м о ж н о перейти о т т о ч н о г о у р а в н е н и я / (z)=Q к п р и б л и ­
n
0
0
женному
/ ( z ) + / ' ( ^ X r - z ) = 0.
n
a
(3.12)
Решив это уравнение относительно z и обозначив полученное решение
А*,)
_
через г,, б у д е м и м е т ь z, - z - —
. П р о д о л ж а я э т о т п р о ц е с с и п р и н и м а я каf ( o)
0
7
z
ж д ы й раз за ц е н т р р а з л о ж е н и я в н о в ь п о л у ч а ю щ у ю с я т о ч к у г„, м о ж н о н а п и с а т ь
рекуррентную формулу
/
м
Е с л и н а ч а л ь н о е п р и б л и ж е н и е взято д о с т а т о ч н о б л н з к о к и с к о м о м у к о р ­
ню, то последующие приближения сходятся к корню с квадратичной скоро­
стью.
3.3, П о с т р о е н и е х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о п о л и н о м а на П Э В М
Р а с с м о т р и м н е к о т о р ы е о с о б е н н о с т и п р и в е д е н и я уравнения (3.5) к в и д у
(3.7), ч т о б ы п о к а з а т ь т р у д н о с т и , к о т о р ы е в о з н и к а ю т при р е ш е н и и э т о й з а д а ч и
на П Э В М .
Р а з в е р н у в х а р а к т е р и с т и ч е с к и й о п р е д е л и т е л ь | А - ЛЕ |, п о л у ч и м у р а в н е ­
н и е п - й с т е п е н и о т н о с и т е л ь н о Л, т. е.
п 2
Л" + а , Я " - ' +а Л '
2
+... + а„ = 0 ,
где а, - с у м м а всех д и а г о н а л ь н ы х м и н о р о в п е р в о г о п о р я д к а , р а в н а я следу SpA;
а
г
- с у м м а в с е х д и а г о н а л ь н ы х м и н о р о в в т о р о г о п о р я д к а м а т р и ц ы А ; а„ - о п р е ­
д е л и т е л ь м а т р и ц ы А.
Ч и с л о д и а г о н а л ь н ы х м и н о р о в к - го п о р я д к а м а т р и ц ы А р а в н о
д* _ " ( " - ! ) - ( " - * + !)
к\
к= 1,2,
п.
Таким образом, непосредственное развертывание характеристического
о п р е д е л и т е л я и п р и в е д е н и е е г о к в и д у (3.7) э к в и в а л е н т н о в ы ч и с л е н и ю
Д' + Д + ... +Д" =2" - 1
определителей различных порядков. Для больших значений п эта задача требу­
ет большого объема вычислительной работы. В связи с этим б ы л и разработаны
специальные методы развертывания характеристического определителя, минуя
вычисление многочисленных диагональных миноров (методы A . M . Данилев­
с к о г о , А . Н . К р ы л о в а , и н т е р п о л я ц и и , Л е в е р ь е - Ф а д д е е ва и д р . ) .
О д н и м из с а м ы х э к о н о м и ч н ы х с точки з р е н и я к о л и ч е с т в а о п е р а ц и й я в ­
ляется метод A . M . Данилевского. Сущность его состоит в приведении опреде­
лителя
г
я
я
а
-Л
и
.... а
п
1й
а
°21
А-ЛЕ
а
П 'Л °2п
к так называемому нормальному виду Фробениуса
«, - Я
а , .... а,.,
I
-Я
0
1
0
0
а
.... О
я
О
0
0
1 - Я
Развертывание определителя, записанного в нормальном виде Фробе­
ниуса, н е п р е д с т а в л я е т з а т р у д н е н и й . Р а з л а г а я о п р е д е л и т е л ь п о э л е м е н т а м п е р ­
вой с т р о к и , п о л у ч и м х а р а к т е р и с т и ч е с к и й п о л и н о м
(-1)"(Я" + а,Л + а Я " +...+ в ) .
- 1
пА
5
и
Легко убедиться, что элементы первой строки матрицы Фробениуса суть
коэффициенты характеристического полинома. Переход от матрицы А к по­
добной матрице Фробениуса осуществляется с помощью преобразования подо­
бия
A, =S"'AS,
где S - неособенная матрица, последовательно преобразующая строки матрицы
А, н а ч и н а я с п о с л е д н е й , в с о о т в е т с т в у ю щ и е с т р о к и м а т р и ц ы А , . П р и в ы ч и с л е ­
н и и на м а ш и н е к о э ф ф и ц и е н т о в х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о п о л и н о м а ц е л е с о о б р а з н о
производить частичную проверку правильности вычисленных коэффициентов,
контролируя выполнение соотношения
М е т о д , п р е д л о ж е н н ы й А.Н. К р ы л о в ы м , з а к л ю ч а е т с я в п р е д в а р и т е л ь н о м
преобразовании уравнения
<р(Л) = \
А-ЛЕ\
в эквивалентное ему
2
D (Я) =
Ь,. -Л
Я"
ь.
развертывание которого по степеням я осуществляется значительно проще, так
как о п р е д е л и т е л ь м о ж н о р а з л а г а т ь п о м и н о р а м п е р в о г о с т о л б ц а . М е т о д ч у в с т ­
вителен к в ы р о ж д е н и ю о п р е д е л и т е л е й и и м е е т н е с к о л ь к о м е н ь ш у ю т о ч н о с т ь
вычисленных коэффициентов.
3.4. М а т р и ч н ы й м е т о д о ц е н к и у с т о й ч и в о с т и
Р а с с м о т р и м с и с т е м у в и д а (3.2). К а к б ы л о в ы я с н е н о , у с т о й ч и в о с т ь в л и ­
нейных системах определяется решением однородного уравнения
—=Ах.
dt
Необходимое и достаточное условие устойчивости состоит в том, чтобы
в ы п о л н я л о с ь н е р а в е н с т в о Re Я, < 0 , i = 1, 2,
п, где Я, - р е ш е н и я а л г е б р а и ч е ­
с к о г о у р а в н е н и я | А - ХЕ | = 0.
Р а с с м о т р и м н е с к о л ь к о иной п о д х о д , п о з в о л я ю щ и й л е г к о о ц е н и т ь у с т о й ­
ч и в о с т ь путем п р о с т о г о в о з в е д е н и я в с т е п е н ь н е к о т о р о й с п е ц и а л ь н о й м а т р и ц ы .
В теории аналитических функций широко известно дробно - линейное преоб­
разование
Я = <^1>.
ip-l)
(3.14)
О н о о б л а д а е т т е м с в о й с т в о м , что левая п о л у п л о с к о с т ь к о м п л е к с н о г о п е р е м е н ­
н о г о Я п е р е в о д и т с я им во в н у т р е н н о с т ь е д и н и ч н о г о к р у г а с ц е н т р о м в н а ч а л е
к о о р д и н а т п л о с к о с т и к о м п л е к с н о г о п е р е м е н н о г о р, при этом м н и м а я о с ь , р а с ­
с м а т р и в а е м а я как о к р у ж н о с т ь б е с к о н е ч н о г о р а д и у с а , п е р е х о д и т в е д и н и ч н у ю
окружность. Если комплексная переменная Я перемещается вдоль мнимой оси,
то комплексная переменная р движется вдоль окружности единичного радиуса.
Каждой точке левой полуплоскости соответствует вполне определенная точка,
принадлежащая внутренности единичного круга, и, наоборот, т. е. э т о соответ(Л +
ствие взаимно - однозначно
1)
Подставим значение А из (3.14) в характеристическое уравнение (3.6),
тогда
A - ^ - E U .
I
Р-\
После некоторых преобразований получим
| (-Е-А)-р(Е-А)
| = 0.
(3.15)
-рЕ | = 0.
(3.16)
Умножим у р а в н е н и е ( 3 . 1 5 ) н а ( Е - А ) ' ' .
1
| (-Е-А)
(Е-А)'
1
Матрицу (- Е - А Х Е - А ) м о ж н о преобразовать
(- Е - А + Е - Е ) (Е - А)" = 1 ( Е - А ) - 2 Е 1 ( Е - А ) - ' = Е - 2 ( Е - А ) " ' .
Характеристическое уравнение относительно новой переменной р б у ­
д е т иметь вид
1
| В-рЕ | = 0,
где В = Е - 2 ( Е - А ) " ' .
Критерий формулируется с л е д у ю щ и м образом: для того чтобы система
(3.2) была асимптотически устойчива, н е о б х о д и м о и достаточно, чтобы для
матрицы
В =Е-2(Е-А)-
1
(3.17)
выполнялось условие
В * - > 0 при
оо,
(3.18)
где 0 - нулевая матрица.
Вычисления м о ж н о ограничить, если абсолютное значение каждого из
элементов матрицы В
к
не превышает величины ~ , т. е. если выполняется нера­
венство
(3.19)
Пример 3.1. Пусть автоматическая система описывается дифференциальными урав­
нениями:
dt
= -0,9*, + 3,1*, - 0,2*.,
dt
= -0,4*, + 2,5*, + 3,2*, ,
^ - = I , l x . -1.5*. -3,1*,.
dt
Исходная матрица коэффициентов А равна
- 0,9
A= -0.4
1,1
3,1 -0,2
-2,5 га
-1,5
-3,1
Определим матрицу Е - А
ьь
1
2
3
-0,9
3,1
1 0 - -0,4
-2,5
0
-1,5
1 0
Е-А = 0
0
0
1
-1,9
-0,2
0,2
3,5
-3,2
1,5
4,1
0,4
=
-3,1
-3,1
-и
Найден обратную матрицу
0,60896
0,41371
0,29319
[ Е - А ] " = 0,05978
0,25471
0,19588
0,14151
0,01781
0,25090
1
Умножая матрицу (Е - А)
тельно имеем
В = Е - 2 ( Е - А)
на два и вычитая полученную матрицу из единичной, оконча­
- 0,21792
-0,82742
-Ю.58638
= -0,11957
0,49057
-0,39177
- 0,28302
-0,03561
0,49820
Условие (3.19) не удовлетворяется. Возведем матрицу В в степень
В
2
=
0,31238
-0,204712
0,15981
0,07828
0,35354
-0,31726
-0,07506
В
4
=
0,19896
0,42811
0,06956
-0,10453
0,07594
0,04585
-0,23548
0,17088
0,10816
-0,04001
0,18328
Неравенство (3.19) удовлетворяется на втором шаге
1
1
п 3
Следовательно, условие устойчивости (3.18) выполняется.
Э.5. С т а н д а р т н ы е ч и с л е н н ы е м е т о д ы п о с т р о е н и я п е р е х о д н ы х
процессов
Рассмотрим существующие численные методы построения переходных
процессов.
Найдем решение уравнения
(3.20)
dx
с н а ч а л ь н ы м у с л о в и е м y(x ) = у .
b
и
Р а з л о ж и м р е ш е н и е у = у(х) э т о г о у р а в н е н и я в р я д Т е й л о р а в о к р е с т н о с т и
т о ч к и х:
(3.21)
1!
2!
П о л ь з у я с ь этим р я д о м и у р а в н е н и е м (3.20), н е т р у д н о п о л у ч и т ь р е к у р ­
р е н т н ы е о т н о ш е н и я , по к о т о р ы м м о ж н о в ы ч и с л и т ь п р и б л и ж е н н ы е з н а ч е н и я
У =у(х ),
где х -х + nh, я = 0 , 1 , 2, . . . . Е с л и в р а з л о ж е н и и (3.21) с о х р а н и т ь д в а
я
я
п
0
п е р в ы х ч л е н а , то п о л у ч а е т с я ф о р м у л а Э й л е р а
^,=л+А/и.^ ).
- и з в е с т н о из условия з а д а ч и .
(3-22)
я
у
а
П о л а г а я п = 0, п о л у ч и м з н а ч е н и е у , а затем, п о л а г а я n = 1 и
}
полученное значение у найдем у
у
2
используя
и т. д.
Наибольшее распространение получил метод Рунге - Кутта четвертого
порядка. Формула для вычисления переходного процесса получается с исполь­
з о в а н и е м п е р в ы х п я т и ч л е н о в р я д а Т е й л о р а (3.21), т. е.
^
B +
i = n + 7(*i+2* +2*,+* ),
о
I
4
(3.23)
где
Л).
к =kf(x„ +~h,
г
у +
п
k =hf(x„+~h,
у +±к ),
3
* =*/(*«
4
n = 0, 1, 2,
я
2
(3.24)
+h,y +k ),
n
3
к-I.
О т м е т и м , что в ы ч и с л я я п е р в ы е пять ч л е н о в р я д а Т е й л о р а п о ф о р м у л е
разложения, необходимо вычислить значение функции / и всех ее производных,
число которых составляет десять. М е ж д у тем по формуле Рунге - Кутта требу­
ется т о л ь к о ч е т ы р е х к р а т н о е в ы ч и с л е н и е ф у н к ц и и /
Метод Рунге - Кутта получил наибольшее распространение. Он легко
реализуется в случае решения системы дифференциальных уравнений первого
порядка (нормальная форма Коши), обеспечивает достаточную точность по­
строения переходного процесса, занимает мало места в оперативном запоми­
н а ю щ е м у с т р о й с т в е , но т р е б у е т б о л ь ш о г о о б ъ е м а в ы ч и с л е н и й .
М е т о д Рунге — Кутта четвертого порядка, а также метод Адамса приме­
н я ю т с я д о с т а т о ч н о ш и р о к о и о б ы ч н о входят в с т а н д а р т н о е п р о г р а м м н о е о б е с ­
печение П Э В М .
3.6. М а т р и ч н ы й м е т о д п о с т р о е н и я и н т е г р а л ь н ы х к р и в ы х
И з в е с т н о , ч т о о б щ е е р е ш е н и е л и н е й н о й с т а ц и о н а р н о й с и с т е м ы ~ = Ах
at
может быть записано в виде
JAdl
A{
x(t) = e°
0)
x = e '-'
Q
л
П р и ( = 0 и м е е м х (t) = е '
Х а
.
(3.25)
х.
0
0
Таким образом, задача интегрирования данной системы дифференци­
а л ь н ы х у р а в н е н и й (3.25) сводится к з а д а ч е п о с т р о е н и я и н т е г р а л ь н о й ( ф у н д а ­
ментальной) матрицы е
А 1
. Укажем возможности относительно простого при­
ближенного построения интегральной матрицы.
И з в е с т н о , ч т о интегральная матрица е ' м о ж е т б ы т ь п р е д с т а в л е н а в в и ­
де разложения в матричный степенной р я д
А
^
=
Е
+
А
,
И ^ . . .
+
+
^ f
+
. . .
f ; < i f .
=
(3.26)
Ряд сходится абсолютно для любой квадратной матрицы А при л ю б ы х
значениях t Удерживая в разложении достаточное количество членов, можно
вычислить интегральную матрицу с л ю б о й степенью точности. Однако для п о ­
лучения надлежащей точности должно быть использовано слишком большое
количество членов ряда Тейлора и з - з а его медленной сходимости.
П о л а г а я в (3.26) t = kh, р я д м о ж н о п р е д с т а в и т ь к а к
л*
е
=
лм ]* = Е + (Ah)k +
{
A
h
[е
)
^ +
С д р у г о й с т о р о н ы , если сходится р я д (3.26), т о с х о д и т с я и с л е д у ю щ и й
ряд:
г
Рассмотрим
АН
- =
ш 1
ш :
2!
3!
последовательные приближения
Е
+
А
/
,
+
+
+
для
экспоненциальной
матрицы е
Е + AA = D , ,
Е + АЬ+ i!*l=D,,
2!
E
+
A A
+
^
2!
+
^ l + ^ = D
3!
4!
4
4
,
Е + АА+ ^
+
... +
D
2!
3!
ml
М о ж н о показать, ч т о п р и в о з в е д е н и и л ю б о й из м а т р и ц ы D , , . . . . D „ в с т е ­
пень к получают различные по точности приближения к интегральной матрице
л
е '. П о с т р о е н и е к р и в о й п р о ц е с с а п р о и с х о д и т , если м а т р и ц а D | ,
, Dt, умножа­
ется н а в е к т о р н а ч а л ь н ы х у с л о в и й * .
0
Алгоритм имеет следующий вид:
х =О х .
1
к
я
(3.27)
0
М о ж н о показать, ч т о и с п о л ь з о в а н и е м а т р и ц ы D * в к а ч е с т в е п е р в о г о
приближения матрицы г
м
соответствует по точности методу Эйлера, примене­
л
н и е м а т р и ц ы DJ в качестве в т о р о г о п р и б л и ж е н и я д л я е ' с о о т в е т с т в у е т п о т о ч ­
ности у с о в е р ш е н с т в о в а н н о м у м е т о д у Э й л е р а - К о ш и . Е с л и и с п о л ь з о в а т ь мат­
рицу D * , то вычислительная процедура получения интегральных кривых соот­
ветствует п о т о ч н о с т и м е т о д у Рунге т р е т ь е г о п о р я д к а . П р и м е н е н и е м а т р и ц ы D J
в качестве четвертого приближения интегральной матрицы соответствует п о
т о ч н о с т и и с п о л ь з о в а н и ю и з в е с т н о г о м е т о д а Рунге - К у т т а ч е т в е р т о г о п о р я д к а .
Прямср 3.2. Пусть имеется система дифференциальных уравнений:
dt
-3-^+2,2-J: +0,8-J;J,
2
dx^_
0.4-*! -4,7-JCJ +63-Jt, +0,1-JC ,
dt
dx±
0,3-д, -3,1-JCj - 4 , 4 - ^ + 0 , 6 - ^ ,
dt
4
dt
-0,5-*, + 0 , 8 л + 1,9-*, - U *
2
4
и задан вектор начальных условий хо=[0,5; 0,5; 0,5; 0]', где штрих означает транспонирова­
ние.
A=
-3
2,2
0,8
0,4
- 4,7
6,8
03
-3,1
-4,4
-0,5
0,8
1,9
0 "
0,1
0,6 '
- U
Построим матрицу В при R=10:
0,7
0,04
0,03
-0,05
0,22
0,08
0 "
0,53
0,68 0,01
-0,31 0,56 0,06 '
0,08
0,19 0,87
Умножая матрицу В на вектор начальных условий Хо=[0,5; 0,5; 0,5; 0]', получим:
0,7
В-х
и
=
А
п
, n
=
B -x,=
0
0,51
"0,500"
0,04
0,53
0,68 0,01
0,5
0,625
0,03
-0,31
0,56 0,06
0,5
0,140
- 0,05
0,08
0
0,110
' 0,5012
В -х
0,08
0,22
0,19
0,2458
0,2504
0,87
0,007' "0,5"
' 0,499 '
0,0691
0,0797
0,7463 0,0548
0,5
0,448
0,0224
-0,3265
0,1166
0,0827
0,5
-0,094
-0,0696
0,0421
0^221
0,7691^
0 j
0,147
0,3375
0,1382
0,0501
0,0082
-0,0721
-0,0008
- 0,1337
-0,0052
0,0248
0,0672
-0,0145_
-0,0255
0,0310
0,0210 "
0.0205
0,0046
0,0022
-0,0070
0,00015
-0,0151
-0,0122
-0,0117
0,0031
-0,0024
' 0,0002 "
-0,00048"
-0,0005
-0,00076
-0,0006
-0,00026
-0,0072
-0,00464
3.7-Составление матричных уравнений состояния
Математические уравнения, описывающие систему, удобно представить в
в и д е б л о к - с х е м ы . Т а к а я с х е м а с о с т о и т и з б л о к о в , внутри к о т о р ы х у к а з ы в а е т с я
функция, моделируемая блоком. Наиболее часто в качестве основных элемен­
т о в и с п о л ь з у е т с я и н т е г р и р у ю щ и е звенья ( и н т е г р а т о р ы ) , у с и л и т е л ь н ы е з в е н ь я
( у с и л и т е л и ) и с у м м и р у ю щ и е звенья ( с у м м а т о р ы ) .
Используемый при построении блок-схемы линейного дифференциального
уравнения метод состоит в последовательном интегрировании наивысших про­
и з в о д н ы х у р а в н е н и я , п о л у ч е н и и всех п р о и з в о д н ы х н и з ш е г о п о р я д к а и з а в и с и ­
м ы х п е р е м е н н ы х . Б л о к - с х е м а составляется и з у с л о в и я у д о в л е т в о р е н и я д а н н о м у
д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м у у р а в н е н и ю , т. е. п р о и з в о д н ы е у м н о ж а ю т с я на с о о т в е т с т ­
в у ю щ и е и м к о э ф ф и ц и е н т ы и эти ч л е н ы с у м м и р у ю т с я , о б р а з у я " з а м к н у т у ю
цепь". Поясним этот метод на примерах.
П р и м е р 3.3. О п и с а т ь с и с т е м у у р а в н е н и е м
у+ ау+Ьу = и,
где v(t)-входная,
а .у(/)-выходная в е л и ч и н ы , в т е р м и н а х п р о с т р а н с т в а с о с т о я ­
н и й . С х е м а м о д е л и р о в а н и я с и с т е м ы п о к а з а н а на р и с . 3.1.
ГУЛ
I*.
EZD-
Рис. 3.1.Схема моделирования системы (пример 3.1)
У д о б н о в к а ч е с т в е п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я в ы б р а т ь в ы х о д ы и н т е г р а т о р о в , т.е. у
и у. П у с т ь J:, - у, х -
у, о т к у д а
г
XI = х , хг = -Ьх
3
-ах
{
2
+ о.
Данная система в векторной форме имеет вид
Xi
0
-Ь
Х2
у = [1 0\
1
х
-а
\
х,
0"
+
1
[0]и.
X,
Следовательно,
о
Г
-Ь
-а
,
в=
"0"
, С = [1 0], D = [0j.
1
Теперь рассмотрим обобщение методики, изложенной в примере
на слу­
чай линейной системы с постоянными параметрами, одним входом и выходом,
описываемой уравнением
(р" « - i P " ' + ••• + <* Р + о! )у = (р р" + Р^р"~" +
+
n
1
где р = %
а
й
+
0 )>,
О
С х е м а м о д е л и р о в а н и я э т о й с и с т е м ы и з о б р а ж е н а на р и с . 3.2.
(3.28)
В ка­
честве переменных состояния выбираются в ы х о д ы интеграторов. Постоянные
величины а, и Ъ, должны быть выражены через а. и р, из условия удовлетво­
рения с х е м ы у р а в н е н и ю (3.28).
Р и с . 3 . 2 . К о б о с н о в а н и ю методики с о с т а в л е н и я у р а в н е н и й с о с т о я н и я .
Н е п о с р е д с т в е н н о из схемы м о д е л и р о в а н и я с л е д у е т
v = .г, + б и,
я
v -
+ b u, к < п.
t
х
я
(3.29)
t
= -(a x, +(!,*, + ... + а._,х„) + b„u.
{l
Дифференцируя у, получим
ру - х\ +• Ь и.
п
П о с л е д у ю щ а я п о д с т а н о в к а х\ из уравнения (3.29) д а ё т
ру ~ х-, + Ь,и + Ь„ и.
(3.30)
С о г л а с н о п р и в о д и м о й п р о ц е д у р е вторая и с т а р ш и е п р о и з в о д н ы е у р а в н ы
p\v
= x: I Л, i>+b v = х, +b,u + b, o+b, о,
n
"
р"
,
;
у = х„ + b„_,v + b„.,pv
"
n
р''У - -(ot.^'i +(i Xy +...+a _ x„)
]
Подставив
у,ру
р"~'у
(з.з1)
+ ... + b„p" и,
n
+ b„v + b„_ pu + ... + b ,p t).
i
из у р а в н е н и й
l
l
(3.29), (3.30) и (3.31) в у р а в н е н и е (3.28)
и с о п о с т а в л я я р е з у л ь т а т с в ы р а ж е н и е м д л я р"у> з а д а в а е м ы м у р а в н е н и е м (3.31),
получим в ы р а ж е н и е д л я а, и Ь, в виде
а, =Ь,
(3.32)
и
* = А>
Й
(3.33)
У р а в н е н и е (3.33) п р е д с т а в л я е т с о б о й у д о б н у ю ф о р м у з а п и с и в ы р а ж е н и я д л я Ь,.
В д а н н о м с л у ч а е Ь, находятся п у т ё м п о с л е д о в а т е л ь н ы х п о д с т а н о в о к . Т а к к а к из
у р а в н е н и я (3.33) следует, ч т о р , м о ж н о записать в в и д е
о
1
" А '
О ... О
0 ... О
1
А-.
... о
=
а., 1
.А .
т о & м о ж н о т а к ж е о п р е д е л и т ь , у м н о ж и в о б е части э т о г о в ы р а ж е н и я н а о б р а т ­
(
н у ю м а т р и ц у к о э ф ф и ц и е н т о в . С о г л а с н о п о л у ч е н н ы м в ы р а ж е н и я м о д н а из ф о р м
м а т р и ц А , В , С и D д л я с и с т е м ы , о п и с ы в а е м о й у р а в н е н и е м (3.28), и м е е т в и д
0
0
-а
(3.34)
- а , -а .
п
л
г
V
*i
. -or^j
0 .. О
а._,
1
0 .. О
А-,
а._,
«...
1. . О
А.*
ог
а , . . . а,.,
=
ь.
1
О
0
C = [l 0
о... ol
D = * =A0
"А "
П р и в е д ё н н ы е у р а в н е н и я состояния с о о т в е т с т в у ю т т а к н а з ы в а е м о м у
дартному виду
системы.
П р и м е р 3.2. П р и в е с т и у р а в н е н и е
у+ Зу+ 4у+у
= 2о+ ЗУ+ У+ 2v
к стандартному виду.
И з у р а в н е н и я (3.33) и м е е м :
4,= А =2,
* =А_,-а..Л=3-3(2)=-3,
1
= 1 - 3 ( - 3 ) - 4 ( 2 ) = 2,
*z =
-<*„-А
г» =
- « „ . А -«„_ 6, -аг._Д - 2 - 3 ( 2 ) - 4 ( - 3 ) - 1 ( 2 ) - 6.
3
2
О т с ю д а д а н н а я с и с т е м а представляется в в е к т о р н о - м а т р и ч н о й ф о р м е
С х е м а м о д е л и р о в а н и я и з о б р а ж е н а на р и с . 3.3.
Рис. З . З . С х е м а м о д е л и р о в а н и я с и с т е м ы ( п р и м е р 3.2.).
стан­
4.Нестационярный
теплообмен в пространстве
состояния
Исследование технической системы
во временной области с
п о м о щ ь ю переменных состояния предпочтительнее как по методическим
соображениям, так и благодаря удобству обозначений и простоте
проведения
анализа.
Преимущество
методических
характеристик
обуславливается
возможностью
охарактеризовать
систему
понятием
«состояние системы», которому соответствует точка в определенном
евклидовом пространстве. В этом случае поведение системы во времени
характеризуется траекторией, описываемой этой точкой. Применение
матриц и векторов позволяет записывать в более компактном виде как
уравнения системы управления, так и их решение [1].
Если система содержит переменные во времени параметры или
нелинейные элементы, то возможность применения хорошо известных
частотных методов становится ограниченной. Однако во временной
области уравнения могут быть исследованы хотя бы численными
методами с использованием Э В М . В этом случае представление системы в
пространстве состояний оказывается особенно удобным.
Для системы, описываемой системой обыкновенных
уравнений, уравнения состояния записываются так [1]:
г x(t)=
i
A-x(t)+B-u(t);
y{t) = C-x(t)+D-u{t),
(4.1)
г д е Aft),
Bft),
C(t),
Dft) я в л я ю т с я в о б щ е м
и з м е н я ю щ и м и с я во времени элементами, а
X,
«1
2
n
общем
виде
с
У=
U
В
матрицами
Уг
.
показана на рис.4.1.
случае
У\
«2
Х
X =
линейных
Уп
блок
схема,
соответствующая
этим
уравнениям,
D(-t)
B(t)
ctt>
Рис.4.1. Блок-схема, соответствующая линейным уравнениям состояния.
В случае системы с постоянными (неизменными во времени)
п а р а м е т р а м и м а т р и ц ы A(t), bit), C(t), D(t) п о с т о я н н ы и м о г у т з а п и с ы в а т ь с я
п р о с т о к а к А, В, С, D. А - о с н о в н а я м а т р и ц а с и с т е м ы , т а к к а к е е с т р у к т у р а
определяет характер переходной матрицы состояния. От этой матрицы
зависит характер как вынужденного, так и с в о б о д н о г о р е ш е н и й . Ее т а к ж е
называют матрицей состояния объекта. В - матрица связи; структура этой
матрицы определяет характер связи входа системы с
размытыми
переменными состояния. Она также называется матрицей
передачи
управления. С - также матрица связи - связи переменных состояния с
выходом системы (называется иначе матрицей выхода). D - снова матрица
связи, непосредственно связывающая вектор входа системы с вектором
выхода.
Структура
этой
матрицы
определяет,
каким
образом
в ы н у ж д а ю щ и е ф у н к ц и и на входе воздействуют на различные в ы х о д ы . Для
большинства физических систем D является нулевой матрицей, так что
ч л е н Du о б ы ч н о р а в е н н у л ю ; х - в е к т о р п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я о б ъ е к т а ; и
- вектор управляющих воздействий; у - вектор выходных переменных.
4.1.0бобщение численных методов теорией
пространства состояний
Для
решения
краевых
задач, к п р и м е р у ,
нестационарной
т е п л о п р о в о д н о с т и п р и м е н я ю т , в о с н о в н о м , ч и с л е н н ы е м е т о д ы , из к о т о р ы х
можно
выделить
следующие: метод
конечных
разностей; вариационноразностные методы; метод прямых; статистические методы [5]. Наибольшее
применение в теории теплопроводности в силу своей универсальности
получил м е т о д к о н е ч н ы х разностей [5,61. С р е д и
вариационно-разностных
методов, в которых дискретная модель задачи получается с использованием
методов, в
которых
дискретная
модель
задачи
получается
с
использованием вариационной формулировки, выделяется метод конечных
э л е м е н т о в (к п р и м е р у , ч и с л е н н ы е м е т о д ы на о с н о в е м е т о д а Г а л е р к и н а [ 6 ] ) .
Каждый
из
перечисленных
методов
имеет
свои
преимущества
и
недостатки, причем
реализация
каждого
метода
требует
своего
м а т е м а т и ч е с к о г о о б е с п е ч е н и я [5,6].
В связи с этим представляет интерес задача объединения методов
решения
задач
нестационарного
тепломассопереноса
(в ч а с т н о с т и ,
нестационарной теплопроводности)
на
основе
использования
единого
математического
аппарата. Интересна
в
этом
плане
работа
[5], где
предлагается комбинированный метод расчета температурных полей в
конструкции летательных аппаратов, объединяющий достоинства разностносеточных и конечно-элементных методов. Однако в обосновании метода
сделан
основной
упор
на
практическую
реализацию: обеспечение
безытерационного сращивания решений в подобластях в общее решение
всей
конструкции и соблюдение
условий технологичности
реализации
метода.
Рассмотрим
объединяющие
особенности
численных
методов
п р и м е н и т е л ь н о к расчету н е с т а ц и о н а р н о й т е п л о п р о в о д н о с т и . К п р и м е р у ,
п р и м е н е н и е м е т о д а п р я м ы х о с н о в а н о на з а м е н е п р о и з в о д н ы х п о всем
переменным, кроме одной (например, времени), конечными разностями. Это
приводит
к
системе
дифференциальных
уравнений (в общем
случае
нелинейных), для
численного
решения
которой
можно
использовать
м е т о д ы Р у н г е - Кутта, А д а м с а и д р у г и х . М е т о д к о н е ч н ы х р а з н о с т е й и
метод конечных элементов также позволяют привести
нестационарное
у р а в н е н и е т е п л о п р о в о д н о с т и в и д а (в ч а с т н о с т и , о д н о м е р н а я з а д а ч а )
! - . . £ .
(4,)
с начальными и краевыми условиями
ы(*,0) = 0,
0<x<s,
и(0,/) = * 0 %
K(J,0 = <K0,
к системе дифференциальных уравнений первого порядка [5].
В качестве единого математического подхода в этом случае может
быть
принят
метод
переменных
состояния (МПС), основанный
на
и с п о л ь з о в а н и и т е о р и и м а т р и ч н о г о и с ч и с л е н и я и в е к т о р н о г о анализа. Д л я
системы,
описываемой
совокупностью
обыкновенных
линейных
дифференциальных
уравнений, пространство
состояний
может
быть
представлено
зависимостями
(4.1), а
блок-схема
в
общем
виде,
с о о т в е т с т в у ю щ а я э т и м у р а в н е н и я м , п о к а з а н а на р и с . 4 . 1 .
Рассмотрим
реализацию
основных
численных
методов
нестационарной
теплопроводности
на
основе
теории
пространства
состояний. В методе прямых с конечно-разностной аппроксимацией для
з а д а ч и (4.2) р а з о б ь е м и н т е р в а л
0S*5.J
узлами
^
с шагом h. П о формуле
численного дифференцирования для внутренних линий
1s i< я-1
получаем
систему уравнений метода прямых [5]
1<i<п-1,
s т • и _, - 2т-и, + т-и ,
;
м)
(4.3)
Л
с начальными и краевыми условиями
и(*,0) = 0,
0<i<s,
l<i<n-U
ы(0,0 = «К/)> u(s,i) = v{t).
Система уравнений
(4.3) м о ж е т
с о с т о я н и я в ф о р м е (4.1), г д е
2т
т
т
0
-2т
..
, и(0 =
0
-2т
представлена
уравнениями
0'
>(0"
0
0
А=
0
быть
0
,
с=
, D = [0].
1
л
Использование
предлагаемого
подхода для конечно-элементного
способа
расчета
нестационарной
теплопроводности
наглядно
демонстрируется
на
примере
полуднскретного
метода
Галеркина, в
р е з у л ь т а т е п р и м е н е н и я к о т о р о г о у р а в н е н и е (4.2) п р е о б р а з у е т с я к виду [ 6 ]
1 du,.
2 du, 1 du,,,
,
,
,
—+
- + - •—— = т-и, , - 2т-и, + m-u,,,, 1 < i < л - 1 , ( 3 . 4 )
6 dt
3 dt
6 dr
С начальными и краевыми условиями
«(j:,0)-0,
0<x<s,
\<.i<n-\,
Уравнения
образом:
состояния
для
Г iV-i(r)=^jc(()-t-flu(r);
*^ V(/) = C * ( ( ) + I > - M ( * ) ,
2
3
J_
6
1
1
N = 6
3
0
0
2
3J
где
системы
(4.4) в ы г л я д я т
следующим
И з вероятностных методов в теории теплопроводности чаше всего
используется
метод Монте - Карло. Реализацию метода для процесса
нестационарной
теплопроводности
можно
осуществить, для
примера,
моделированием
гауссовского
процесса
с
дробно-рациональной
с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю [5,6]. В э т о м с л у ч а е п р о ц е с с y ( t ) п о л у ч а е т с я в
в и д е л и н е й н о й к о м б и н а ц и и ф у н к ц и и u(t) и m е е п р о и з в о д н ы х
dt"
- ' dt'
где u(t) является решением л и н е й н о г о стохастического
уравнения с постоянными коэффициентами
(4.5)
дифференциального
(4.6)
dt
dt
a z(t) е с т ь г а у с с о в с к и й б е л ы й ш у м .
П р е д с т а в и м у р а в н е н и я (4.5) и (4.6) в о п е р а т о р н о м
m
У(р) = \b p
m
-(р)=кя"
1
+ Ь^р""
+ а
я
^р ~
виде
+ — + Ь р\-и(р),
(4.7)
а
]
+
+
4
• •' °ОР\-**(Р) •
8
(-)
Положим, что n > т . Тогда можно получить правильную (степень
полинома числителя меньше и л и равна степени полинома знаменателя)
передаточную функцию процесса
1
W(p)=
fr. +f>f -p + h • p + ...+ b„ • p" _ \{p)
z
a +o, р + а
0
2
p +... + а
г
я
p"
z[pY
где
n - размерность модели процесса.
Уравнения переменных состояния в этом случае т а к ж е
с о в о к у п н о с т ь ю з а в и с и м о с т е й (4.1), г д е
о
0 0 0
1
о о
0
О
О 0
... 1
а»
-Ь.
ь,-ь.
А=
С = О ...
о
-
а.
ь .,-ь
в
я
записываются
4.2. М е т о д п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я р е ш е н и я
задач теплообмена с г р а н и ч н ы м и у с л о в и я м и первого рода
Определим температуру в центре плоской стальной пластины
н е о г р а н и ч е н н о й п р о т я ж е н н о с т и и т о л щ и н о й 25 = 50 м м ч е р е з к а ж д ы е 30
секунд после начала нагревания. Начальная относительная температура в
центре
пластины
в = 0,
температура
на
поверхности
в = 1,
п
=
Л- 4 5 , 4 - ^ р ,
с
с = 502
и р = 7800 ~ .
Решим
поставленную
задачу
точным аналитическим методом и методом переменных состояния, и
сравним полученные результаты. Моделирование на основе метода П С
проводилось совместно с инженером Леонтьевым С.А. при разделении
п л а с т и н ы н а п = 5 и п = 15 с п п е в .
Решение аналитическим
методом. Вычислим
относительную
температуру в как функцию числа Фурье по следующей формуле:
п
(4.9)
4
Определяя коэффициент температуропроводности металла, имеем:
a
=
i
=
_ 4 5
ср
1
4 _
=
|
0
,
v
/
,
t
/
502-7800
'
З н а ч е н и е ч и с л а Ф у р ь е п р и т - 30 с е к у н д :
лТак
0.025г
как
/ о = 0,5568>0,3, то при р е ш е н и и
можно
ограничиться
п е р в ы м ч л е н о м р я д а (4.9) [ 5 ] :
2
4
Г т
в„ =1
exd
0,5568 = 0,6777
ж
|_ 4
Результаты расчета для остальных чисел Фурье приведены в
т а б л и ц е 4.1.
Решение методом конечных разностей в П С . Для составления
математической
модели
нестационарной
теплопроводности
с
использованием
пространства состояний
применительно
к
плоской
пластине
необходимо
перейти
от
дифференциального
уравнения
теплопроводности
дв
2
(д в
.—а•
ст
\дх
2
2
г
дв
1
дв
н
2
ду
2
dz
к системе дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.
Потенциальную
возможность осуществить подобное
преобразование
предоставляет метод конечных разностей Шмидта. Разделим пластину на
5 с л о е в о д и н а к о в о й т о л щ и н ы Ах ( в с о о т в е т с т в и и с и с х о д н ы м и д а н н ы м и
Дж=0,05/5=О,01 м). В э т о м с л у ч а е с и с т е м а д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й ,
описывающая процесс нестационарной теплопроводности, может быть
представлена следующим образом:
(в
=т-0 -2-т-в +т-в +Ь
х
о
в -тв -2-т-в
г
]
ъ
г
2
1
+т-в
1
в =т-в
1
+Ь
3
-2-т-в +т-в
3
в
2
+Ь
А
У
=т-в -2-т-в +т-0 +Ь
А
3
А
. 0 ~тв -2-т-в
S
А
5
л
+т-в +Ь
5
6
5
В данной системе уравнений величина
а
т=
где а - коэффициент температуропроводности исследуемого материала.
Учитывая, что
Л
а =
Р-С
а также исходные данные, получаем:
= 0,116
=
Т
Величины & и & - параметры граничных условий первого рода,
а
причем
в
соответствии
ft,,u ,fe ,fi ,6j
2
3
4
распределение
9
с
исходными
данными
0 = в = 1.
о
9
Величины
- параметры условий однозначности и представляют собой
температур
рассматриваемой задаче
в
теле
в
начальный
момент
времени,
в
= Ь = Ь = b = b = 0.
г
г
t
5
Ф у н к ц и о н а л ь н ы е б л о к и п р о г р а м м ы Personal V i s u a l Simulator, и з
которых
построена
структурная
схема,
описывающая
процесс
нестационарной теплопроводности применительно к плоской стенке,
с л е д у ю щ и е : б л о к step - ф о р м и р у е т с к а ч о к в х о д н о г о с и г н а л а о т н у л е в о г о
з н а ч е н и я д о з а д а н н о г о п о с л е и с т е ч е н и я о п р е д е л е н н о г о в р е м е н и ; б л о к gain
- б л о к , у м н о ж а ю щ и й с и г н а л н а з а д а н н о е ч и с л о ; б л о к integrator и н т е г р и р у ю щ и й б л о к ; б л о к summing - с у м м а т о р ; б л о к p l o t - п р и е м н и к
сигнала, организует вывод выходного сигнала в виде графика.
Математическая
модель,
построенная
на
основе
системы
приведенных выше дифференциальных уравнений, изображена на рис.4.2.
Входной
сигнал,
сформированный
блоком
step,
проходит
последовательно чеоез функциональные блоки модулиоуемой системы и
в о с п р и н и м а е т с я б л о к о м plot, к о т о р ы й о т о б р а ж а е т в ы х о д н о й с и г н а л в в и д е
г о а б и к а в системе координат, гле по одной из осей откладывается воемя.
а по другой - температура.
Т е х н о л о г и я м о д е л и р о в а н и я п о и ч и с л е с л о е в п л а с т и н ы п - 15
аналогична описанной выше, поэтому в таолнцс 4 1 представлены
к о н е ч н ы е р е ч у л ь т а т ы м о д е л и р о в а н и я , МИНУЯ в с е п р о м е ж у т о ч н ы е с т а д и и
j j
шМз\
-ИЖ>
-Й0.116
2 £ b
—10.?32 I
1
-ЧоЩ-
-ижь
-ИсГТТЩ
-иж
0.232 К
-наш
гл—гт
m
М агзг h
г - Н Ш — f » ( 2.,)
-ижь
ИЖ] ^
iyr?V
40.232 И-
Рис. 4.2. Математическое моделирование нестационарной теплопроводности на основе
метола конечных иазностей.
Решение методом конечных элементов в ПС.
При тех же
исходных данных оазделим пластину на 5 слоев одинаковой толщины Л
л = 0 , 0 1 м. Т о г д а с и с т е м а д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й , о п и с ы в а ю щ а я
процесс нестационарной теплопроводности будет иметь вид:
арв •+ bp$y + ар8 = твц - 2тв + тв
ap9 +bp0 +арв = тО, -2тв + т # ,
ар9 +Ьрв) +арв = тв -2тв +тв
арв + bp9 + арв = тв - 2тв„ + m9
арв, + Ьр9 + ар9 = тв - 2m9 +т9
0
г
t
2
}
ь
2
2
А
г
г
2
t
%
ъ
ъ
ь
щ
у
(4Л0)
А
i
s
ь
46
1
г д е : а = - ; Ь- -
- к о э ф ф и ц и е н т ы п р и п р о и з в о д н ы х ; рв = —
- производная
т е м п е р а т у р ы по в р е м е н и .
П о с л е п р е о б р а з о в а н и я с и с т е м ы у р а в н е н и й (4.10) и м е е м :
Ох= с А
-с
А - сА +
= сА -сАъ+сА
-cA
-сА
= сА -cA +cA
- сА + ь
= сА -cAi
+сА
+b
t
+ ь,
(4.11)
А
t
= сА -сА^сА
-с
А -сА+ь,
В данной системе уравнений:
Ь
Величины
2
2/1
#
0
и #
с исходными
параметры
условий
г
2/3
*
* ч
2/3
Ь
- п а р а м е т р ы г р а н и ч н ы х у с л о в и й п е р в о г о рода, в
9
соответствии
* i -Ь
Ь
данными
0 = & =\.
0
однозначности;
9
в
Величины
Ь ,Ь ,Ь ,Ь ,Ь
у
г
г
А
-
ъ
рассматриваемой
задаче
=Ь = 6, = & , = 0 .
Ъ
Результаты моделирования представлены в таблице 4.1.
Таблица 4.1.
Результаты аналитического моделирования процессов теплообмена.
Врем
я,
сек
Решение
аналитическим
методом
Решение методом конечных
разностей в ПС
п=5
0
30
60
90
120
150
180
Решение методом конечных
элементов в ПС
п -5
п = 15
Fo
в
67
Ав,
%
в
Ав,
%
в
0,0000
0,5568
1,1136
1.6704
2,2272
2,7840
3,3408
0,0000
0,6777
0,9184
0,9793
0,9948
0,9987
0,9997
0,0000
0,5107
0,8073
0,9242
0,9701
0,9883
0,9954
0,00
24,64
12,10
5,63
2,48
1,04
0,43
0,0000
0,6189
0,8856
0,9656
0,9897
0,9969
0,9991
0,00
8,67
3,57
1,37
0,51
0,18
0,06
0,0000
0,5093
0,8151
0,9303
0,9737
0,9901
0,9963
п = 15
A9
%
t
в
0,00 0,0000
24,84 0,6175
И,25 0,8931
5,00 0.9712
2,12 0,9914
0,86 0,9975
0,34 0,9993
А9,
%
0,00
8,88
2,75
0,83
0,34
0,12
0,04
211)
240
270
300
330
3.8976
4.4544
5.0П2
5.5680
6.1248
0.9982
П.9993
0.17
0.07
0.9997
1.1 н Ню 0 . 9 9 9 7
0.4)3
0.9999
0.01
0.00
0 » »
J.IMHHP
1.1KH.MI
J .1М1-ГМ > U
ннн)
0.02
0.01
0.9986
0.9995
1.1 ИНН 1
0.00
U.9998
1.1ННИ1
о.оо
0,00
0.9999
j.OI ню
U.9999
Ш Ю О
0.13
0.02
0.01
1>Л2
0.9997
0.9999
1.0*100
o.ol
1.IHKH)
0.00
ОЛИ)
JJH.HH>
0.00
0.05
OJHI
Рис. 4.3. Математическое моделирование нестационарной теплопроводности на основе
метода конечных элементов.
М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь , построенная н а о с н о в е с и с т е м ы у р а в н е н и й
(4.11) в Personal Visual Simulator, и з о б р а ж е н а н а р и с . 4 . 3 .
И з р а с с м о т р е н и я т а б л и ц ы 4.1 в и д н о , ч т о р е з у л ь т а т ы м о д е л и р о в а н и я п р и
числе слоев п=5 существенно отличаются о т результатов расчета п о точной
ф о р м у л е (4.9) п р и ч и с л а х Fo < 2,7840.
Однако точность результатов моделирования заметно повышается, если
п л а с т и н у р а з д е л и т ь н а б о л ь ш е е к о л и ч е с т в о с л о е в (п=15). Н а п р и м е р , п р и
р а с ч е т е м е т о д о м к о н е ч н ы х р а з н о с т е й , д л я м о м е н т а в р е м е н и г = 30 с е к у н д
п о г р е ш н о с т ь Д 0 с н и ж а е т с я с 24,64 % д о 8,67 % . Э т о п о з в о л я е т с д е л а т ь в ы в о д
о том, что при разделении пластины н а большое количество слоев (например,
150) п о г р е ш н о с т ь р е з у л ь т а т о в м о д е л и р о в а н и я б у д е т м е н е е 1 % . Т а к ж е и з
р а с с м о т р е н и я т а б л и ц ы 4.1 в и д н о , ч т о р е з у л ь т а т ы р а с ч е т а м е т о д а м и к о н е ч н ы х
разностей и конечных элементов практически совпадают.
4.3.Метод переменных состояния решения
з а д а ч т е п л о о б м е н а с г р а н и ч н ы м и у с л о в и я м и т р е т ь е г о рода
Представляется возможным применить описанную в ы ш е методику
расчета
нестационарной
теплопроводности
с
использованием
теории
пространства состояний для решения задач нестационарного теплообмена с
г р а н и ч н ы м и у с л о в и я м и т р е т ь е г о р о д а . Г р а н и ч н ы е условия т р е т ь е г о р о д а
являются
типичными
для теплообмена
во многих
технологических
процессах, в различных режимах технологических систем, в характерных
процессах
теплопередачи
энергетических
установок
и
теплообменных
аппаратов.
Рассмотрим
конкретную задачу о нагревании стальной
плиты
неограниченной протяженности в воздушной среде. Разделим плиту н а 7 слоев
одинаковой толщины. Система дифференциальных уравнений, описывающих
процесс нестационарного теплообмена, будет выглядеть следующим образом:
dx
dt^
•
m t +m t -{m +m }t
i 0
2 1
2
l
l
dr
XF
* i
dr
dt • mJ, +mJ
dh_
-2—f
t
3
dr
=/и ( +яу -2—
dr
^ = т& + m t - (m,л-+ m,) -t
dr
= m f +m f -2^~f
Д а н н а я с и с т е м а , в с в о ю о ч е р е д ь , м о ж е т б ы т ь п р е д с т а в л е н а в матричной
г
4
6
t
2
s
t
2
7
7
форме:
x(t)= M0
где
+ Bu(t),
и - [t ]- вектор у п р а в л я ю щ и х в о з д е й с т в и й ;
0
6
«i
-2т
0
0
0
0
0
т
0
0
0
0
т
-2т
2
т
0
0
0
0
0
т
2
-2т
0
0
0
т
0
0
0
0
0
0
Вычислим
значения
Щ
0
А=
2
2
Допустим, что толщина
г
2
0
0
- 2т
т
0
0
т
- 2т
0
0
2
г
коэффициентов
вышеупомянутой
т
2
2
2
т
г
г
т
7
- Ц
2
+«:)
дифференциальных
стальной
плиты
уравнений.
неограниченной
п р о т я ж е н н о с т и 26 =70 м м , о н а р а в н о м е р н о п р о г р е т а д о т е м п е р а т у р ы г = 1 5 ° С
0
и
помешена
в воздушную
среду с температурой
теплоотдачи на поверхностях плиты
следующими физическими свойствами:
г„=25°С;
2
а = 15 В т / м * К .
коэффициент
Сталь
20
обладает
5
р = 7830-^-;* = 5 1 - ^ ;с = 4 9 4 - ^ , 0 = U 2 - Ю — .
м К
кг-К
с
Тогда:
S*L.-**L JL
Mim
=
m
с
cpFS
срб
»
= 3,878-10-*!
494-7830-0,01
с
AF
AF
Л
51
„,,,«1
= —
= 0,13185-.
с r>" cpFS
cpfi •
494 • 7830 • 0.01 с
Для подтверждения полученных в ходе математического моделирования
с п о м о щ ь ю Personal Visual Simulator р е з у л ь т а т о в ( с м . табл. 4.2) р е ш и м
п о с т а в л е н н у ю з а д а ч у а н а л и т и ч е с к и м м е т о д о м , д л я чего п р и т е х ж е и с х о д н ы х
д а н н ы х о п р е д е л и м т е м п е р а т у р у в центре п л а с т и н ы ч е р е з к а ж д ы е Д г = 4 0 м и н .
после начала н а г р е в а н и я .
Д л я з а д а н н ы х у с л о в и й и г = 40 мин. р а с с ч и т ы в а е м о п р е д е л я ю щ и е
критерии:
т
=
1
.
fl
=
£
£
=
15^035
-
Л"
0.035"
/>.
51
Относительная температура в плоской стенке определяется уравнением
(4.9). Т а к к а к Fo=25,8612 > 0,3, т о при р е ш е н и и м о ж н о о г р а н и ч и т ь с я п е р в ы м
членом р я д а ( 4 . 9 ) . Значения N = 2 s i n / i , / ( / ; , + s i n ^ , cos/i,) и //, в зависимости
t
от
критерия
Bi о п р е д е л я е м
из таблицы,
приведенной
в [ 7 ] : W, =1,0017,
//, = 0 , 1 0 1 1 . Т о г д а :
1
в = 1,0017 cos | 0,1011 — — ] е х р ( - 0 , 1 0 1 1 • 25,8612 ) = 0,7690 .
^
0,035)
'
F V
Т е м п е р а т у р а в ц е н т р е п л и т ы через з а д а н н ы й и н т е р в а л в р е м е н и г :
^ = ' « - ^ = о ( ^ - ^ ) = 25-0,7690-(25-15) = 17,3098°С.
Результаты расчета аналитическим методом для остальных значений г
с в е д е н ы в т а б л и ц у 4.2.
Таблица 4.2.
Результаты аналитического моделирования процессов теплообмена.
Время,
сек
Решение аналитическим
методом в П С
Решение методом конечных разностей
в ПС
п=7
г
0
2400
4800
7200
9600
12000
14400
16800
19200
21600
24000
26400
28800
31200
33600
36000
Fo
0
25,8612
51,7224
77,5837
103,4449
129,3061
155,1673
181,0286
206.8898
232,7510
258,6122
284,4735
310,3347
336,1959
362,0571
387,9184
в
1,0000
0,7690
0,5904
0,4533
0,3480
0,2671
0,2051
0,1575
0,1209
0,0928
0.0712
0.0547
0,0420
0,0322
0,0247
0,0190
/, °С
15,0000
17,3098
19.0961
20.4675
21,5203
22,3268
22,9491
23,4255
23,7912
24,0720
24,2876
24,4530
24,5801
24,6776
24,7525
24,8100
i, °С
15,0000
17,3178
19,1083
20,4814
21,5346
22,3422
22,9617
23,4367
23,8011
24,0805
24,2948
24,4592
24,5852
24,6819
24,7560
24,8129
п = 15
Д/,%
0,0000
0,0462
0,0639
0,0679
0,0664
0,0690
0,0549
0,0478
0,0416
0,0353
0,0296
0,0253
0,0207
0.0174
0,0141
0,0117
/, "С
15.0000
17,3163
19,1060
20,4789
21,5320
22,3398
22,9595
23,4348
23,7994
24,0790
24,2936
24,4581
24.5843
24,6812
24,7554
24,8124
Д/,%
0,0000
0,0375
0,0518
0,0557
0,0544
0,0582
0,0453
0,0397
0,0345
0,0291
0,0247
0,0208
0,0171
0,0146
0,0117
0,0097
Д а н н ы е , п р е д с т а в л е н н ы е в т а б л и ц е 4.2, с в и д е т е л ь с т в у ю т о х о р о ш е й
с х о д и м о с т и результатов, п о л у ч е н н ы х в х о д е м а т е м а т и ч е с к о г о м о д е л и р о в а н и я .
Параллельно проведенные аналитические исследования
нестационарного
т е п л о о б м е н а с и с п о л ь з о в а н и е м т е о р и и п о д о б и я и р а с ч е т н ы х г р а ф и к о в [7]
подтвердили
работоспособность
предложенной
математической
модели.
Предпочтательно
применение
ТПС в решении
инженерных задач
с
г р а н и ч н ы м и у с л о в и я м и третьего рода, к о г д а п о г р е ш н о с т ь в ы ч и с л е н и й не
превышает
0,06%, а
число
исходных
дифференциальных
уравнений
сравнительно невелико.
Список литературы
1. Д е р у с с о П. П р о с т р а н с т в о с о с т о я н и й в т е о р и и у п р а в л е н и я . - М . :
Мир,1970.-343с.
2. С ю Д., М е й е р А. С о в р е м е н н а я т е о р и я а в т о м а т и ч е с к о г о у п р а в л е н и я и
е е п р и м е н е н и е . П е р . с а н г л . Б о ч к о в а В . С . - М . М а ш и н о с т р о е н и е , 1972. - 5 4 4 с .
3. Д и р е к т о р С . В в е д е н и е в т е о р и ю с и с т е м . П е р . с англ. Б у с л е н к о В . Н . М.:Мир,1974.-454с.
4. Т е о р и я а в т о м а т и ч е с к о г о у п р а в л е н и я . Ч . 1 / Б а б а к о в Н . А . и д р . П о д
ред. Воронова А.А.- М.:Высшая школа,1977.- 303с
5. Б е л я е в Н . М . , Рядно А.А. М е т о д ы т е о р и и т е п л о п р о водности.Ч. 1. - М . :
В ы с ш а я ш к о л а , 1982. - 3 2 7 с .
6. Ш и Д. Ч и с л е н н ы е
м е т о д ы в з а д а ч а х т е п л о о б м е н а . - М . : М и р , 1988. -
544с.
7. П е х о в и ч А . И . , Ж и д к и х В . М . Р а с ч е т ы т е п л о в о г о р е ж и м а т в е р д ы х т е л . М.: Э н е р г о и з д а т , 1988.- 304с.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение
3
1. Матрицы
4
1.1 .Основные понятия
4
1.2.0сновные операции над матрицами
5
1.3.Матричная запись системы линейных уравнений
6
1.4.0пределитель
7
1.5.Обращение матриц
10
1.6. Решение нормальной однородной системы
10
1.7. Определение фундаментальной матрицы
П
1.8. Определение характеристического полинома
13
1.9.Экспоненциальная функция от матрицы
14
1.10. Формула Коши для уравнения n-го порядка
16
1.11. Приведение системы уравнений к нормальной форме
17
2. Метод переменных состояния
19
1.1. Переменные и уравнения состояния динамической системы
19
1.2. Матричная передаточная функция
26
1.3. Управляемость и наблюдаемость
28
1.4.0переторная форма записи линейных систем
33
1.5. Уравнения состояния систем, если порядок 1<п
41
1.6. Уравнения состояния систем, если порядок 1>п
44
1.7. Уравнения состояния систем с переменными параметрами
45
1.8. Уравнения состояния системы с несколькими входами и выходами
45
1.9. Характеристическое уравнение для стационарных систем
46
МО.Определение переходной матрицы линейной стационарной системы
47
1.11. Передаточные функции линейных стационарных систем
53
1.12. Применение теории графов
56
Э.Оцсика устойчивости и качества процесса управления
59
ЗЛ.Существующие методы оценки устойчивости
59
3.2. Исследование систем с помощью вычисления корней
63
3.3. Построение характеристического полинома на ПЭВМ
64
Стр.
3.4. Матричный метод оценки устойчивости
66
3.5. Стандартные численные методы построения переходных процессов
68
3.6. Матричный метод построения интегральных кривых
70
3.7. Составление матричных уравнений состояния
72
4. Нестационарный теплообмен в пространстве состояния
77
4.1. Обобщение численных методов теорией пространства состояний
78
4.2. МПС решения задач теплообмена с граничными условиями первого рода
82
4.3. МПС решения задач теплообмена с ГУ третьего рода
87
Список литературы
90
Стенин Валерий Александрович
Пространство состояний в задачах
автоматизации С Э У
Учебное пособие
Компьютерный набор и верстка автора
Подготовка к печати О.А. Мартиросян
С д а н о в п р о и з в о д с т в о 22.10,07 г. П о д п и с а н о в п е ч а т ь 21.01.2008 г.
Уч.-изд. л . 2,44. Ф о р м а т 8 4 х 1 0 8 ' / . У с л . - п е ч . л . 5,75.
И з д . № 1352. З а к а з № 1426.
! б
Центр научно-технической информации, технических средств обучения и
вычислительной техники
164500, г. С е в е р о д в и н с к , у л . В о р о н и н а , 6.