ИДЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ В СТРУКТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Глава 8
ИДЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ
В СТРУКТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
Математическая теория как формальная система может получить интерпретацию на объектах
другой математической теории, т. е. исходным понятиям и отношениям могут быть поставлены в
соответствие понятия и отношения другой формальной системы. В этом случае мы имеем дело
с формальной, или внутренней интерпретацией
математической теории. Прилагая математическую
теорию для описания какого-либо явления или
процесса, мы придаем ее определениям (по крайней мере, части их) эмпирический смысл, т. е. даем ее истолкование в рамках обычного языка или
в терминах содержательной науки.
Содержательная интерпретация также не единственная, как и формальная. Одна и та же математическая теория может быть использована для
решения задач самой разнообразной природы. Некоторые математические объекты непосредственно
связываются нами с определенными содержательными представлениями вследствие того, что они
исторически возникли на их основе. Так, мы говорим, что геометрия есть наука о пространственных формах, теория вероятностей — наука о массовых явлениях и т. д. В этих случаях можно говорить о естественной или генетической содержательной интерпретации математической теории.
Мы имеем здесь дело с некоторой преимущественной интерпретацией, но эта преимущественность
имеет смысл исключительно в генетическом плане.
В логическом же плане все интерпретации равнозначны, они хороши или плохи лишь в той мере,
в какой отражают основные отношения интерпретируемой теории.
161
Математическая теория, если она по своему
происхождению достаточно близка к опыту, т. е.
она имеет естественную эмпирическую интерпретацию, как правило, связана с некоторыми идеализациями, с представлениями об объектах, которые, будучи идеальными, вместе с тем тесно связаны с эмпирическим основанием теории. Прямая
линия в рамках евклидовой геометрии — это не
луч света, не натянутая нить и т. п., т. е. не элемент эмпирической интерпретации, но некоторый
идеальный объект, существующий в сознании как
общая схема всех эмпирических прямых, наделенная рядом дополнительных свойств (как непрерывность, бесконечность, отсутствие ширины), не фиксируемых непосредственно в опыте. С другой стороны, такого рода идеализации не являются формальными объектами — они, очевидно, соприкасаются с определенной эмпирической областью, а
именно со сферой естественной эмпирической интерпретации. Благодаря этой связи они обладают
особой наглядностью, эмпирической осязаемостью,
вследствие чего часто истолковываются как непосредственное описание опыта 1.
Описание такого рода идеализаций представляет собой не что иное, как описание допущений,
при которых данная теория прилагается к определенной эмпирической сфере. В силу этого идеальная модель выполняет роль связующего звена
между формальной структурой и ее естественной
эмпирической интерпретацией. К примеру, использование геометрии в реальных измерениях основано на гипотезе, что свойства эмпирической прямой, точки и т. д. в достаточной мере соответствуют свойствам ее идеальной модели.
Идеальная модель не определяет ни самого
существования математической теории, ни сферы
1
Определения в «Началах» Евклида, как «линия — это
длина без ширины», «точка — тело, не имеющее размеров»,
и т. д., являются не чем иным, как описанием идеальных
объектов, но не описанием свойств реального пространства,
как это иногда утверждается. В современных строгих аксиоматиках такие описания просто остаются в стороне, как
нечто излишнее. Было бы ошибочным, однако, игнорировать
их вообще при рассмотрении структуры математики.
162
ее приложений. Будучи органически связанной с
естественной интерпретацией, она имеет место
лишь в генетически фундаментальных теориях: в
геометрии, арифметике, теории вероятностей, в математическом анализе и некоторых других. Тем не
менее понимание ее сути и статуса чрезвычайно
важно. Дискуссия о предмете теории вероятностей, имевшая место в 20-х гг., была фактически
дискуссией о взаимосвязи идеальных и эмпирических моментов в этой теории. Понятие идеальной
модели вышло на первый план также в связи с
вопросом о месте геометрии в современной физике.
Некоторые замечания
к частотной интерпретации теории
вероятностей
Традиционная теория вероятностей, основные
определения которой впервые достаточно четко
были сформулированы П. С. Лапласом, вводит
понятие вероятности как отношения числа благоприятных случаев к числу равновозможных в некотором процессе. Так, если игральная кость представляет собой правильный кубик с шестью гранями, каждая из которых занумерована, то вероятность выпадания определенного номера при бросании кости, очевидно, равна
. В данном случае
мы вычисляем так называемую априорную вероятность, т. е. устанавливаем некоторую гипотезу об
опытной вероятности, основываясь на идее физической равновозможности каждого из случаев: ни
одна грань кости не имеет каких-либо преимуществ перед другими, и нет причин ожидать, что
в достаточно длинном ряду испытаний она будет
выпадать чаще, чем другие. Очевидно, что в такого рода априорных предположениях мы можем
ошибаться. С точки зрения здравого смысла, рождение мальчика и девочки равновозможны, и
априорную вероятность мы должны были бы принять равной
. Практика, однако, показывает,
163
что это не так, что вероятность рождения мальчика несколько больше вероятности рождения девочки.
В 20-х гг. нашего века немецкий математик и
физик Р. Мизес подверг критике лапласовское понимание вероятности как неудовлетворительное,
прежде всего, с точки зрения его практического
использования. Он указал на тот факт, что в большинстве практически важных случаев, с которыми
имеет дело теория вероятностей, равновозможности вообще не существует. Так, если игральная
кость сделана неправильно (с неравномерным распределением массы, например), то отдельные случаи выпадания вовсе не будут равновозможными.
В применении теории вероятностей к вопросам
страхования, демографии и к физике мы имеем
дело чаще всего именно с такого рода случаями.
«Статистика показывает нам, — пишет Мизес, —
что из 1000 мужчин 40-летнего возраста 11 не доживут до 41 года. Мы говорим в этом случае, что
вероятность смерти 40-летнего мужчины в течение
года равна 0,011. Но где здесь равновозможные
случаи?» [67, с. 16].
Действительно, признак «умереть в течение года», по которому ведется статистика, не равновозможен ни с признаком «выжить», ни с каким-либо
другим признаком. Ситуация здесь совершенно подобна случаю с неправильной игральной костью.
Традиционное определение вероятности, по мнению
Мизеса, имеет смысл лишь в самых простых случаях, например, применительно к предсказаниям
в азартных играх, где равновозможность
имеет
место и она некоторым образом непосредственно
физически определима. Кроме того, традиционное
определение вероятности, согласно Мизесу,
содержит логический круг, ибо мы определяем равновероятность через равновозможность, но саму
равновозможность мы вынуждены в конечном итоге определять через равновероятность.
Реальный смысл, по Мизесу, имеет только апостериорная вероятность, определяемая как относительная частота события в некоторой серии наблюдений или экспериментов. Теория вероятностей
164
есть теория массовых явлений, опирающаяся на
опыт, и она не есть собственно математическая
теория, но представляет собой скорее часть естествознания,
использующую
математические
методы
для
обработки
своих
наблюдений. Как всякая естественнонаучная дисциплина,
она исследует свой предмет не целиком, не во всех
связях, но лишь в рамках определенных абстракций и идеализаций. Механика, изучающая движение реальных материальных тел, в теории имеет
дело с материальными точками, с абсолютно твердыми телами и т. д., иначе говоря, с идеализированными сущностями, к которым непосредственно
относятся законы механики. В качестве такой
идеализированной, «рациональной» модели для
теории вероятностей Мизес вводит понятие коллектива как бесконечной серии наблюдений, где появляются некоторые события с наличием или отсутствием определенного признака. Эта последовательность событий (коллектив) удовлетворяет двум
требованиям. Во-первых, отношение числа событий, обладающих данным признаком, к числу всех
событий является устойчивым и имеет предел в
том смысле, что оно отличается от некоторого числа n/m на как угодно малую величину с увеличением серии наблюдений (признак наличия предела частоты). Во-вторых, эта последовательность
такова, что всякая ее произвольно выбранная подпоследовательность будет сохранять то же самое
устойчивое отношение по данному признаку (принцип иррегулярности). Ясно, что здесь речь идет не
об описании реального эмпирического объекта, к
которому приложима теория вероятностей (реальные серии испытаний всегда конечны), а об описании идеализированной эмпирической модели, идеального объекта, к которому приложимы законы
теории вероятностей.
Вопрос о том, насколько идеальный объект теории соответствует ее внутреннему содержанию, в
данном случае — известным законам теории вероятностей — должен быть решен, очевидно, посредством анализа этих законов, выяснения основ165
ных предпосылок, которые лежат в основе их обоснования. Мизес провел тщательную работу в этом
отношении. Он показал, что формулировка основных операций с вероятностями уже необходима
предполагает указанные идеальные допущения о
сериях наблюдений. С этой, собственно, теоретической точки зрения частотная интерпретация теории вероятностей не вызывает каких-либо возражений у математиков, и мы должны по всей видимости считать, что Мизес имеет ту же заслугу перед теорией вороятностей, что и М. Борн перед
квантовой механикой, впервые указавший адекватную интерпретацию ее основных уравнений.
Мизес впервые в явной форме выразил основные
идеализирующие предпосылки теории
вероятностей, которые в неявной форме предполагались и
раньше ее формальным аппаратом и использовались при решении практических задач. Такого рода выявление фундаментальных идеализаций важно в нескольких отношениях: оно позволяет
с
единой точки зрения подойти к построению самого
формального аппарата и, что даже более важно,
предотвратить неправильное истолкование основных принципов теории и выявить случаи ее неправильного использования. Мизес показал, что
все так называемые парадоксы теории вероятностей проистекают из ее использования за пределами допущений, на основании которых сформулированы ее законы [67, гл. III]. Общая сфера использования законов теории вероятностей, по Мизесу, — это сфера массовых явлений, которые подчиняются основным требованиям
коллектива.
А. Я. Хинчин писал по этому поводу: «Как бы мы
не относились к частотной теории и ее будущим
возможностям, мы должны признать, что именно
в ее основных тезисах нашел себе отражение
взгляд, играющий основоположную роль в современных воззрениях: взгляд на теорию вероятностей как на учение о массовых явлениях» [96, № 1,
с. 85].
В философском плане, однако, концепция Мизеса содержит в себе ряд заведомо ошибочных положений. Подчеркивая прикладную роль теории
166
вероятностей и некоторым образом более точно
определяя область ее приложения, Мизес отверг
ее математический статус вообще. Теория вероятностей для него - раздел естествознания, использующий математические методы. Такой вывод является, конечно, совершенно необоснованным. Он
никак не вытекает из той в целом позитивной реформы теории вероятностей, которую Мизес осуществил, и обусловлен, прежде всего, не очень ясным пониманием статуса математики вообще, отношения ее к опыту, в частности отношения математической структуры как таковой к ее идеальной
интерпретации.
С современной точки зрения совершенно ясно,
что теория вероятностей должна быть признана
математической дисциплиной просто потому, что
она в существенной своей части может быть изложена формально в соответствии со всеми канонами математического мышления. «Математика,—
как указывал Хинчин, — определяется не предметом, но методом» [96, № 1, с. 90]. Мизес не отвергает формального аппарата теории вероятностей.
Утверждая, что эта теория является частью естествознания, он, скорее всего, хотел этим сказать,
что в отношении между формализмом теории и
сферой его использования эта последняя (т. е. эмпирические процедуры подсчета вероятностей)
должна быть поставлена на первый план, а сам
формализм должен рассматриваться как аппарат,
подчиненный конкретным задачам. Такое понимание связи между математикой и опытом законно
в некотором отношении, при рассмотрении, скажем, возникновения той или иной фундаментальной математической теории, но оно неприменимо к
случаю, когда математическая теория уже имеет
твердые формальные основы. В этом последнем
случае опыт уже не может деформировать, видоизменить математическую теорию в ее фундаментальных требованиях, но, напротив, сам он берется
лишь в том аспекте, в котором удовлетворяет принятым формальным преобразованиям.
Обычная евклидова геометрия может рассматриваться и как чисто математическая структура,
167
безотносительно к какой-либо эмпирической интерпретации и как учение о пространстве. В последнем случае мы связываем формальный аппарат
с определенной эмпирической интерпретацией и
делаем геометрию теорией некоторых физических
отношений. Но мы все-таки не делаем тем самым
геометрию физической теорией, по крайней мере
до тех пор, пока подбираем ее эмпирическую интерпретацию в соответствии с ее формальной
структурой. Мы можем отказаться от контроля
формальной структуры и начать исследовать физическое пространство как таковое, используя евклидову геометрию там, где она подходит. Здесь
мы переходим, конечно, в область физики, но такой подход также не отвергает существования геометрии как математической теории, поскольку в
качестве формальной системы геометрия остается
и существует независимо от наших эмпирических
поисков, от того, в частности, к каким результатам
они могут привести.
Подобно физической геометрии, можно мыслить
себе и содержательную теорию вероятностей как
науку, исследующую вероятностные отношения в
опыте, опираясь на некоторые интуитивные или
эмпирические их признаки. Но, во-первых, это не
отвергает существования теории вероятностей как
математической дисциплины, применимой для описания по крайней мере части такого рода физического опыта, а во-вторых (в чем Мизес, по-видимому, не отдает себе ясного отчета), вставая на
такой эмпирический путь, мы уже не можем ограничиться
идеальной
моделью вероятностного
процесса, который подчинен определенному формализму, но должны будем дать эмпирические определения вероятности, независимые от него, и
при необходимости ввести новый формализм, отличный от существующего. Конкретная методология Мизеса с очевидностью противоречит его общей эмпирической установке. Разрабатывая свою
интерпретацию, он постоянно настаивал на том,
что она должна сохранить существующий аппарат
теории вероятностей. А это значит, что декларируя физический статус теории вероятностей, он
168
разрабатывал ее исключительно как математик,
лишь выясняя общие предпосылки использования
определенной математической структуры. Уточнение идеальной модели, чем фактически занимался Мизес, есть исключительное дело математика,
ибо такая модель, хотя она и имеет эмпирические
ассоциации, строится не на основе опыта, а всецело в соответствии с требованиями существующего математичекого аппарата.
Недостаточно ясное понимание статуса идеальной модели ведет Мизеса и к другим ошибочным
положениям. Так, он считает, что закон больших
чисел, доказанный без ссылки на определение коллектива, ничего не говорит о действительности,
представляя собой не более чем некоторое утверждение об арифметических последовательностях. По
мнению Мизеса, существует единственно законная
логика построения теории вероятностей, а именно
от принципов коллектива как опытных фактов к
доказательству всех других ее положений. Принципы коллектива, которые Мизес вводит в начале в качестве определенных идеализаций, при обсуждении закона больших чисел начинают выступать как опытные факты, независимые от теории
и однозначно предопределяющие логику ее построения. Мизес совершенно упускает из виду, что
эти принципы сформулированы как идеальные требования применительно к данной теории, что они
говорят об опыте ничуть не больше, чем все другие ее утверждения, и что совершенно безразлично, выведем ли мы положения теории из этих принципов или эти принципы — из известных раньше
утверждений теории. Не осознавая адекватно статуса идеальной модели, Мизес ошибочно считает,
что его концепция вероятности покоится на опыте,
в то время как классическая теория вероятностей
ограничена анализом идеальных схем, ничего не
говорящих о действительности. А. Я. Хинчин совершенно справедливо указывает, что в отношении
к опыту обе эти концепции совершенно одинаковы:
обе они ничего не говорят о действительности без
дополнительных эмпирических допущений. Идеальная модель сама по себе не определяет сферу
169
приложения, хотя и указывает на некоторые ее
общие признаки.
В некотором смысле мизесовская концепция
даже более удалена от опыта в смысле непосредственного указания сферы своего приложения. Согласно Мизесу, теория вероятностей применима
там и только там, где существует коллектив, удовлетворяющий принципу существования
предела
частоты и принципу иррегулярности. Пусть в некотором эксперименте мы наблюдаем устойчивую
частоту определенного признака. Как мы можем
сказать, что эта серия испытаний удовлетворяет
понятию коллектива? Мы просто допускаем, что
это так, и удовлетворительные результаты предсказания показывают нам, что мы не ошиблись.
Итак, серия является коллективом, если она подчиняется законам теории вероятностей. Однако существуют и некоторые непосредственные эмпирические критерии коллектива. «Равновозможность»,
которая фигурирует в лапласовском определении
вероятности в своем буквальном толковании, есть
именно такого рода эмпирический признак. Мы
видим, что некоторое событие не имеет причин
для преимущества перед другим в своем появлении. Этим высказыванием мы фиксируем физический признак, который позволяет нам приписывать
событиям одинаковую вероятность уже как математическую характеристику. Поэтому Мизес неправ, утверждая, что классическая теория вероятностей оторвана от опыта. Эта теория связывала себя с опытом посредством представлений о
равновозможности и о независимости в простом
эмпирическом истолковании этих понятий. Напротив, обобщая понятие вероятности, отрывая его от
представления о равновозможности, Мизес распространяет его приложение на такие сферы, где
формулировка аналогичных простых эмпирических
критериев приложимости, по-видимому, уже невоз2
можна . Таким образом, субъективно намереваясь
2
Теория вероятностей применима к тем эмпирическим
коллективам, которые достаточно хорошо удовлетворяют
170
связать теорию вероятностей с опытом более органично в смысле истолкования основных понятий, в действительности Мизес шел совершенно в
другом направлении, к более абстрактному, теоретическому истолкованию этого понятия с более
обосредованным отношением его к опыту.
Это в общем вполне обычно. Ничто в науке не
рождается иначе, как вместе с массой ошибок и
субъективных оценок. Здесь нам важно лишь отметить тот факт, что основные недоразумения в
концепции Мизеса проистекали из неясных представлений о структуре математической теории, об
отношении идеализированной модели к формальному аппарату, с одной стороны, и к опыту —
с другой.
идеальному коллективу. Но можно ли заранее на основании
каких-то признаков установить эту особенность эмпирического коллектива? Здесь мы имеем методологическую проблему, которая, очевидно, относится не только к применению
теории вероятностей. Некоторые идеи на этот счет обсуждаются в работе [91].
171