И наступят тяжелые времена

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
Великоархангельская средняя общеобразовательная школа.
11 класс. Тема урока
“Иррациональные уравнения”.
Учитель математики Зайцева Нина Викторовна.
Цели урока:
1. Расширить представления учащихся о методах решения иррациональных уравнений.
2. Продолжить работу по формированию у учащихся умений решать иррациональные уравнения.
3. Развивать логику, учить рассуждать последовательно, доказательно, не теряя из
виду ни одного момента.
Попробуйте без алгебры прожить,
Без логарифмов и без уравнений,
Поверьте мне, будете потом тужить,
Здесь никаких не может быть сомнений.
I.
Сообщение темы и цели урока.
Решением уравнений в школе мы с вами занимаемся, по меньшей мере, в течение семи лет. В этом году вам придется сдавать выпускные и вступительные экзамены, где часто предлагаются уравнения, в которых применяются преобразования,
обычно не встречающиеся при решении стандартных школьных уравнений.
Сегодня на уроке мы рассмотрим различные методы решения иррациональных
уравнений.
Определение: уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется
иррациональным.
Например: Даны уравнения. Какое из них иррациональное?
х  6 =2,
5
1  3х =3,
х
 3х  4 ,
2 1
3х  3 7  0 ,
х 1  х  3
II. Повторение.
Вспомните понятие корня n–ой степени: (корнем –ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а), т.е. n а =b, где b n  a , b-всякое.
Введение арифметического корня автоматически приводит к появлению еще
одного понятия «модуль числа». Действительно, чему равен а ?
Если а  0, то a 2  a ; если а <0, то a 2  a .
А если же нам ничего неизвестно о знаке, например, √ sin2x , мы вынуждены
придумать новое понятие “модуль числа”: а n  a .
а, еслиа  0,
а  а 
 а, еслиа  0.
III. Свойства корней.
Отметим важные свойства корней, которые необходимо помнить при решении
иррациональных уравнений:
-Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими.
Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен
смысла.
-Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом
действительном значении подкоренного выражения.
Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение
не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.
Рассмотрим несколько уравнений (устно, по заранее подготовленным записям):
х  2  2
1.
Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение
решений не имеет.
2х  3  х  3  0
2.
При х  1,5 величина 2 х  3 неотрицательна, а величина х  3 положительна.
Следовательно, их сумма всегда больше 0. Поэтому уравнение решений не имеет.
4 х  х6  2
3.
Найдем область допустимых значений для левой части уравнения.
4  х  0,


 х  6  0.
 х  4,
 

 х  6.
Левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного х . Т.о.
вопрос о решении этого уравнения снимается - ведь нельзя даже осуществить
операцию сложения в левой части, т.е. не существует сама сумма 4  х  х  6 .
Каков же вывод?
Данное уравнение заведомо не может иметь решений, т.к. левая часть этого уравнения не существует ни при одном значении неизвестного х .
Нельзя ставить вопрос о том, при каких значениях х некоторое алгебраическое выражение равно определенному числу (больше или меньше некоторого
числа), если это выражение не существует.
Из того факта, что алгебраическое выражение написано, не следует, что оно
существует. Строго говоря, следует выяснить, существует ли оно, и если существует, то где, и лишь после этого решать поставленную задачу: решить уравнение
(неравенство), строить график и т.д.
Еще раз подчеркнем, что это уравнение заведомо не может иметь решений.
Ответ: данное уравнение заведомо не может иметь решения.
4. х  3  х  9  х  2
Левая часть уравнения есть разность двух корней, при этом при любых значениях х х -3< х +9, следовательно, эта разность всегда отрицательна и не может
быть равна неотрицательному значению корня х  2 . Значит, это уравнение не
имеет решения.
Запись: f х  а . Если а  0 , уравнение не имеет корней,
если a  0 , то уравнение равносильно уравнению f x   a 2 .
Этот метод называется метод освобождения от знака радикала.
IV.
Методы решения иррациональных уравнения.
1) Метод приведения уравнения к простейшему виду путем возведения
обеих частей уравнения в такую степень, чтобы освободиться от корня (радикала).
1) х  2  х  8
проверка:
х1  11,
х  2  х 2  16 х  64
х1  11 ,
11  2  9 ,
11-8=3,
х  17 х  66  0
2
9  3, 11-корень
х2  6
6  2  4,
х2  6,
6-8=-2, 6-не корень.
Ответ: 11.
2)
3
проверка:
х3  19  х  1
х3  19  х3  3х 2  3х  1,
х1  2,
3х 2  3х  18  0,
х 2  х  6  0,
х1  2,
х2  3,
3
3
 23  19  2  1, -3= -3.
33  19  3  1,
2=2.
х2  3 .
Ответ: -2, 3
3) 4 25 х 2  144  х,
х  0,
25 х  144  х ,
2
4
х 4  25 х 2  144  0. пусть х 2  а  0, тогда
а 2  25а  144  0,
а1  16,
D  49,
а2  9.
х2  9
х1  3,
или
х2  3,
х 2  16
х3  4,
х4  4 .
Ответ: 3, 4.
Вывод: при возведении обеих частей уравнения в четную степень не может происходить потери корней (могут быть получены посторонние корни). Следовательно, решая уравнения достаточно найти все корни уравнения f 2 х   q 2 x , а
затем исключить посторонние. В этом случае проверка является обязательным
элементом решения.
Как правило, иррациональные уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства:
 f  x   q x   f  x   q x 
f  x   q x   
или 
 f  x  0
q x   0
Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.
 х  5
3  х  х 2  5 х  2
х2  4х  5  0

3  х  х  5х  2  

  х  1  х  1
3  х  0
х  3
х  3

2
Ответ: -1.
2)Метод уединения корня.
1) 2 х  х2  х  9  3
Удобно ли проводить проверку, если корни дробные или иррациональные числа?
Нет. Тогда, как же лучше поступить в таком случае?
q x   0,
f  x   q x   
2
 f x   q x 
Запись:
Решение.
2х  х2  х  9  3 
3  2 х  0,
2 х  3,
х2  х  9  3  2х   2
 2

2
 х  х  9  9  12 х  4 х
3х  11х  0
3

х  2 ,

  х  0  х  0.

11
 х 

3

Ответ: 0.
2) 2 х  15  х  1  3
В этом уравнении лучше сначала найти область допустимых значений, т.к. подкоренные выражения просты для решения.
Ответ: 5, 17.
3) Метод введения новой переменной (метод подстановки).
1) х2  5  2 х2  5  8
пусть
х 2  5  y  0 , тогда y 2  2 y  8  0
y1  4,
y2  2.
х 2  5  2,
х 2  5  4,
х  3.
Ответ:  3.
2) Пусть 3х  3 3х  1  41,
3 х  1  3 3 х  1  40  0,
3х  1  y  0, тогда y 2  3 y  40  0.
2
Ответ: 21 .
3
3х  5
х2
1  6
.
х2
3х  5
3х  5
пусть
 y  0, тогда
х2
3)
х2
1
 .
3х  5 y
Ответ: 3.
4) 2х2  5х  2  2х2  5х  9  1.
пусть 2 х 2  5х  2  t  0,
2 х 2  5 х  9  t  7, тогда t  t  7  1.
Ответ: -4,5; 2.
5) Метод умножения обеих частей на сопряженное выражение.
В некоторых иррациональных уравнениях разность подкоренных выражений в
одной части совпадает с другой частью или является множителем ее. В этом случае целесообразно использовать данный метод.
1) 2х2  5х  2  2х2  5х  9  1 , (1).
 2 х  5х  2    2 х  5х  9  
2
2
2
2
2 х 2  5 х  2  2 х 2  5 х  9  7,
2 х 2  5х  2  2 х 2  5х  9
(2)
Сложим (1) и (2) и получим
2 2х2  5х  2  8
2 х2  5х  2  4
2 х 2  5 х  2  16
2 х 2  5 х  18  0
х1  2; х2  4,5
Ответ: -4,5; 2.
2) х   1  х  1 10  х  4
ОДЗ. х  1.
Умножим обе части на выражение




х 1  х  1  х 10  х  4   0
х 1  х  10  х  3  0
х 1  х  1  1  х  1 10  х  4  0
х1  0 или
1  х  1 , тогда
1  х  10  х  3  0
1  х  3  10  х
1  х  9  6 1  х  10  х
6 1 х  0
1 х  0
х2  1.
Проверка:
 1  1 10  4  0 - неверное равенство,
х  0,
0- посторонний корень.
х  1, 0  1 9  4  1 - верное равенство.
Ответ: -1.
6) Метод разложения на множители.
1. х  3 х  1  3 х 2  1, х  1
 х  3

х 1  3 х 1 х 1  0

х  1 х  3  3 х  1  0.
Ответ: 1, 3.
2.
2 х2  21х  11  2 х2  9 х  4  18х  9.
2 х 2  21х  11  0,
2 х  1 х  11  0,
1

 2

х  ,
2
2 х  9 х  4  0,  2 х  1 х  4  0,  
18 х  9  0.
92 х  1  0.
 х  4.


2 х  1 х  11  х  4  3  0.
1
Ответ: , 5.
2


Применение группировки.
3. 2 х х  4 х  х 2  3х  2 х  3  0,
2х



 х  2  0,
х  3   0.
х0
х 2  х3

х  2 2х 
Ответ: 1, 4.
7) Метод выделения полного квадрата.
х  3  4 х  1  х  8  6 х  1  1,


2
х 1  2 
х 1  2 


2
х  1  3  1,
х  1  3  1,
х  1  y  0, тогда
y  2  y  3  1.
_________________________________________
0
2
3
0  y  2,

 y  2.
2  y  3

 y  2  3  y  1.
y  3

 y  2  y  3  1.
0  y  2,

2  y  3  y  1.
2  y  3

1  1
y  3

 y  3.
решений нет.
2 y3
решения системы
Осуществим подстановку 2  y  3 .
2  x 1  3
4  x 1  9
5  x  10
Ответ: 5  x  10.
х 2  2 х  1  х 2  4 х  4  1,
х  12  х  22
х  1  х  2  1.
Ответ: 1  х  2.
 1,

8)Метод оценки.
И наступят тяжелые времена
И будет неизвестная Величина
О, ее спаситель, за дело возьмись,
С этим уравнением разберись!
3х2  6 х  7  5х2  10 х  14  4  2 х  х2 .
Преобразуем данное уравнение.






3 х 2  2 х  7  5 х 2  2 х  14   х 2  2 х  4,
3 х  1  4  5 х  1  9  4   х  1  1,
2
2
2
3 х  1  4  5 х  1  9  5   х  1 .
2
2
2
Оценим левую и правую части этого уравнения:
2
3х  1  4  2 (1).
(2),
Сложим почленно равенства (1) и (2)
5( х  1) 2  9  3
3( х  1) 2  4  5( х  1) 2  9  5
5  ( х  1)2  5.
Таким образом, левая часть данного уравнения не меньше 5, а правая не более
5.Равенство достигается только в том случае, если каждая часть исходного уравнения равна 5. Это возможно в том случае, если х  1 .
Ответ: -1.
9) Метод использования свойств функций, входящих в уравнение.
Метод обращения к монотонности функции чаще всего применяется в двух случаях.
Во-первых, тогда, когда данное уравнение имеет в одной части функцию возрастающую, а в другой - постоянную. Такое уравнение не может иметь более одного действительного корня.
х  5  1 х  2
Например: (устно),
Найдем область допустимых значений (или область существования уравнения).
Итак, левая часть уравнения существует для любого х  1.
Давайте внимательно посмотрим на левую часть. Выражение х  5  1  х
Представляет сумму двух монотонно возрастающих функций – функцию монотонно возрастающую.
Для х  5, эта функция будет принимать наименьшее значение при х  5 , т.е.
f 5  5  5  5  1  6  2,45, а далее только возрастать, поэтому график функции f  х   х  5  1  х
никогда не пересечет прямую y  2 , следовательно,
уравнение не будет иметь решений.
0
Заметим, что при решении этого уравнения мы учитывали не только область допустимых значений переменной х , но и область значений функции
y
х  5  1  х.
Во-вторых, тогда, когда одна часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, а другая – убывающую. Графики таких функций не могут
иметь более одной общей точки. Следовательно, уравнение не может иметь более
одного корня.
Решить уравнение 2 х5  х3  5х  80  3 14  3х .
Решим уравнение, используя свойства монотонности функций.
Предположим, что х  2 корень уравнения. Подставив его, мы получим верное
равенство 2  25  23  5  2  80  3 14  3  2 .
Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.
Функция f x   2 х5  х3  5х  80 определена и дифференцируема на R. Исследуем
ее на монотонность: f х   10 х 4  3х 2  5 . Найдем критические точки функции,
решив уравнение 10 х 4  3х 2  5  0 . Пусть х 2  t  0, тогда 10t 2  3t  5  0 , D<0,
Значит, уравнение действительно корней не имеет; поэтому f x   0 при любых
значениях x и f x  строго возрастает на R.
Рассмотрим функцию qx. Она определена на R и дифференцируема на R, кроме
2
х  4 , q x  
3
1
3
2
2
, так как 14  3 х   0, то qx   0 при х  4 ,
3
14  3х 
2
qx  строго убывает на R.
Поскольку функция qx  убывает, а f x  - возрастает на R, то уравнение
f x   qx  имеет не больше одного корня, т.е. х  2.
Ответ: 2.
При наличии времени классу предлагается решить иррациональные уравнения,
содержащие корни степени выше второй, разные:
8
ответ: 0; 3 3 .
ответ: 1; 2; 10.
Данные уравнения, предложены учащимся для самостоятельной работы.
х  8 х5  124 х  0
3
2  х  1 х 1
В конце урока проведена самостоятельная работа, текст которой учитель может
подобрать, учитывая индивидуальные особенности детей класса.
Подведение итогов урока.
Учитель еще раз обращает внимание на методы решения, которые были использованы при решении иррациональных уравнений. После этого подводится общий
итог.
Задание на дом.
Подобрать из разных источников иррациональные уравнения, решаемые различными методами.