3 - RTU DF

3. Лабораторная работа №3
ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ В УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ
Цель работы – ознакомление с особеностями цепей с распределенными
параметрами и экспериментальными методами определения параметров линий.
3.1. Общие положения
3.1.1. Уравнение цепи с распределенными параметрами
Бегущие волны
Линии передачи сигнала от источника электрической энергии к
приемнику в
общем случае можно рассматривать как электрические цепи, в которых ток и
напряжение непрерывно меняются при переходе от одной точки (сечения) линии к
другой. Подобные цепи называют линиями с распределенными параметрами (ЛPП).
Описание процессов передачи сигналов по (ЛРП) базируется на эквивалентной
схеме, приведенной на рис 3.1. Сопротивлениямя Z1, Z 3, Z5,…называется п р о д о л ь н
ы м и сопротивлениями линии и образуются активными сопротивлениями проводов и
индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx (r о и
Lо);
сопротивления Z2, Z4, Z6,…- п о п е р е ч н ы е сопротивления, образованные
сопротивлениями утечки из-за несовершенства озоляции между проводами и
емкостями противостоящих друг другу участков линии длиной dx (gо и Cо).
i
i1
Equation 3
Eq
ua
tio
u1 n u
2
Z1
Z5
Z3
Z2
dx
Z4
dx
Z6
dx
y
x
Рис.3.1.Эквивалентная схема линии длиной l=x+y
1
u2
ZH
Eq
uat
ion
1
Параметры r0 , L0 , g0 , C0 или Z 0  r0  jL0 , Y0  g 0  jC0 , отнесенные к единице
длины линии, являются п е р в и ч н ы м и параметрами линии. Если эти величины
одинаковы для любого участка линии, то такая линия называется о д н о р о д н о й.
Процессы в линиях описываются дифференциальными уравнениями в частных
производных, т.к. значения токов и напряжений в любой точке линии x зависят не
только от времени, но и от координаты этой точки. Для однородной линии при
передаче синусоидальных сигналов с частотой ω решение дифференциальных
уравнений относительно комплексов тока и напряжения в точке x линии имеет вид:





U  A2 e γx  A1 e γx ; I 

A2
e-x 

Zc

где A1
 A1e
j0
A1

e γx ,
(3.1.)
Zc

A 2  A2 e j П
и
постоянные
-комплексные
интегрирования,
определяемые через напряжение и токи либо в начале, либо в конце линии; γ постоянная передачи и Z c волновое или характеристическое сопротивление линии,
называемые в т о р ч н ы м и параметрами линии:
  ( r0  jL0 )( g 0  jС0 )  Z 0 Y0    j , 1 км ,

Z c  ( r0  jL0 ) ( g 0  jC0 ) 
Z0
Y0
 Z c * e j c , 
км
,
(3.2.)
Преобразуем выражения (3.1.):


U  A2 e

I 
x  j (  n  x )

 A1 ex  j (  0  x )

;

A2 x j ( n c  x ) A1 x j (  П c  x )
e

e
,
Zc
Zc
(3.3.)
Перейдем от комплексов напряжения и тока к функциям времени, умножив правые
части формул (3.3.) на
2e jt и взяв мнимую часть:
2
u  A2 2ex sin( t  x  П )  A1 2ex sin( t  x  0 ) ,
i
A2
ZC
2c e x sin( t  x   П   c ) 
A1
ZC
2e x sin( t  x   0   c ) .
(3.4)
Слагаемые в правой части (3.4.) предстовляют собой бегущие волны, т. к.
аргументы тригонометрических функций зависят и от времени ( t ) и от координаты
( х ). Первые слагаемые соответствуют п а д а ю щ е й или прямой волне,
перемещающейся от источника к приемнику, а вторые слагаемые- о т р а ж е н н о й
или обратной волне, т. е. u  uП  u0 ;i  iП  i0 .
На рис.3.2. с целью пояснения эффекта “бегущей волны” приведены в виде графикоф
распределения напряжения прямой и обратной волн для двух различных моментов
времени t1 и t 2 , t 2 > t1 .
uП
u0
t1
t1
t2
t2
X
0
Y
V
0
V
б)
a)
Рис.3.2. Бегущие волны: а- прямая, б- обратная; вектор v указывает направление
перемещения волны.
Падающая электромагнитная волна состоит из падающей волны напряжения и
падающей волны тока- первые слагаемые формул (3.1.), имеющие одинаковые знаки,
что соответствует переносу энергии от источника к приемнику. Каждая из
3
составляющих
падающей
волны
(напряжение
и
ток)
представляет
собой
синусоидальное вдоль линии колебание с уменьшающейся амплитудой (множетель
e t ).
Отраженные
волны
напряжения
и
тока,
образующие
отраженную
электромагнитную волну, представлены вторыми слогаемыми формул (3.1.) их знаки
противоположны, а это свидетельствует о том, что поток энергии, которую несет с
собой отраженная волна, движется в обратном направлении,от приемника к источнику.
Каждая из составляющих отраженной волны затухает по мере ее продвижения от конца
к началу линии (множитель e x ).
Физический эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн по мере
их продвижения по линии объясняется наличием потерь в линии на активном
сопротивлении r0 и утечки g 0 .
Введение понятий прямой и обратной волн в линии при установившемся
синусоидальном режиме облегчает представление и анализ процессов. Однако, нужно
помнить, что физически в линии существуют только результирующие токи и
напряжения, а разложение их на прямые и обратные –лишь удобный для анализа
прием.
3.1.2. Характеристики бегущей волны


K u - коэффицент отражения по напряжению: K u  A 1 e  1 A 2 e  1 , т. е. отношение
напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению прямой волны в конце
линии.
K i - коэффицент отражения по току: K i  K u .
V -фазовая скорость-это скорость, с которой надо перемещаться вдоль линии, чтобы
наблюдать одну и ту же фазу колебаний, или скорость перемещения по линии
неизменного
фазового
состояния.
Тогда
для
прямой
волны
должно
( t  x   П )  const ; из равенства нулю производной имеем:   
быть
dx
 0 , откуда
dt
следует: V    .
 -длина волны- это расстояние, на которое распространяется волна за один период
T 1 f
или
расстояние
между
двумя
4
точками,
взятыми
в
направлении
распространения волны, фазы колебания в которых различаются на 2 ;   2  ;
тогда: V 
 2f


 f  .


T
3.1.3. Линии без потерь. Стоячие волны.


После отыскания постоянных интегрирования по известным, например, U 2 и I 2 напряжению и току в конце линии выражения (3.1.) примут вид:





U2
U  U 2 chy  I 2 Z C shy ; I 
shy  I 2 chy .
ZC


(3.6.)
Геометрическая интерпретация гиперболических функций комплексного аргумента
дается в Приложении 1. В выражении (3.6.) y -удаление точки, имеющей напряжение и


ток, равные U и I соответственно, от конца линии.
Если в линии r0 << L0 и g 0 << C0 и можно значениями r0 и g 0 пренебречь, то
такая линия называется линией без потерь. В этом случае:
  j L0 C0  j , т. е.   0 и   L0 C0 ;

Z C  L 0 C0  Z C , т.е. C  0 и ZC -чисто активное сопротивление;
V 
 1
L0 C0 ;
  2   2  L0 C0 ,
(3.7.)
и уравнения (3.6.) запишутся в виде:




U2
U  U 2 cos y  j I 2 Z C sin y ; I  j
sin y  I 2 cos y .
ZC


5
(3.8.)
В данной работе исследуется линия без потерь в трех режимах- в режиме холостого
хода (ХХ), короткого замыкания (КЗ) и согласованной нагрузки Z H  Z C . Преобразуем
уравнения (3.8.) для каждого из режимов:





U2
режим ХХ- I 2  0 : U  U 2 cos y ; I  j
sin y ;
ZC
u  U 2 м sin t cos y ; i 


(3.9.)
U 2м
cos t sin y ,
ZC


(3.10.)

режим КЗ- U 2  0 : U  j I 2 Z C sin y ; I  I 2 cos y ;
(3.11.)
u  I 2 м Z C cos t sin y ; i  I 2 м sin t cos y ,
(3.12.)
согласованный режим:






Z H  Z C и U 2  I 2 Z C : U  U 2 e j  y ; I  I 2 e j y ;
(3.13.)
u  U 2 м sin( t  y ) ; i  I 2 м sin( t  y ) .
(3.14.)
Выражение (3.9.), (3.11.) и (3.13.) записаны для комплексов напряжения и тока, а
выражения (3.10.), (3.12.) и (3.14.)- для мгновенных значений.
Как следует из выражения (3.14.), в режиме согласованной нагрузки присутствует
только прямая бегущая электромагнитная волна, в которой фазы тока и напряжения
совпадают. В этом режиме от источника к приемнику передается максимально
возможная энергия в следствии отсутствия отраженной волны.
В режеме ХХ и КЗ, а также при чисто реактивной нагрузке, образуются с т о я ч и е
волны- процесс наложения прямой и обратной волны с одинаковыми амплитудами.
Математически стоячая волна описывается произведением двух периодических
функций, в нашем случае- тригонометрических, одна из которых- функция координаты
текущей точки ( y ) , а другая- функция времени (t ) . Для иллюстрации на рис.3.3.
приведены графики распределения вдоль линии напряжения и тока при ХХ и КЗ для
нескольких моментов времени t1 < t 2 < t 3 < t 4 . Точки линии, где периодическая функция
координаты проходит через ноль, называются у з л а м и , а точки линии, в которых
6
периодическая функция координаты принимает максимальные значения- п у ч н о с т я
м и . В стоячей волне они неподвижны.
u xx
t3
u кз
t4
t2
t1
t3
t2
Y
Y
t4
t1
в)
а)
u xx
t3
I xx
t1
t2
t4
t2
t3
Y
Y
t1
t4
б)
г)
Рис.3.3. График стоячих волн напряжения и тока при ХХ (а) и КЗ(б):
t1  0 ,
t 2 

2
t3   ,
,
t 4 
3
.
2
Стоячая электромагнитная волна образована стоячими волнами напряжения и тока,
которые всегда сдвинуты друг по отношению к другу в пространстве и во времени на
угол  2 . В результате электромагнитная энергия от начала к концу линии не
передается, однако, на каждом отрезке линии, равном четверти длины волны (  4 ) ,
запасена некоторая электромагнитная энергия , которая периодически переходит из
одного вида в другой – энергия электрического поля переходит в энергию магнитного
поля и наоборот.
Действующие значения напряжения в линии без потерь распределены в
соответствии с выражением U ( y )  U 2 cos 2 y  m 2 sin 2 y , m 
7
ZC
RH
Тогда в режиме ХХ U 
U 2m
2
cos y  U 2 cos y
в режиме КЗ U  U 2 cos y
в режиме согласованной нагрузки U  U 2 =сonst
(3.15.)
3.1.4. Схема эксперимента и методика исследования
Схема эксперимента приведена на рис.3.4. Однородная линия длиной l
моделируется цепной схемой (см. Приложение 2), состоящей из 8 одинаковых Побразных четырехполюсников, каждый из которых соответствует отрезку линии
длиной l 8 .
U R0  I 1 R0
ГЗ-33
I1
U1
U( k )
U( 1 )
U2
кз
хх
S2
ЛАПОВЫЙ
ВОЛЬТМЕТР
х
Eq
uat
ion
4
a)
L
C
2
C
2
б)
y
Рис .3.4. Схема эксперимерта (а) и элемента цепной схемы (б).
На вход линии подается синусоидальный сигнал с частотой примерно 20000Гц от
генератора. Для увеличения индуктивности катушки изготовлены на ферритовых
сердечниках. Практически нельзя сделать четырехполюсник без активных потерь – они
возникают в активных сопротивлениях обмоток и в сердечниках. Поэтому результаты
будут отличаться от теоретических. В зависимости от положения переключателя S2
устанавливается режим работы линии – ХХ, КЗ или согласованный.
В процессе эксперимента могут быть измерены:
8
ток в начале линии I 1 ;
напряжения в различных точках линии, путем переключения переключателя S1;
сдвиг фаз между мгновенными значениями напряжений в начале линии и на
расстоянии k  l , k  1 , ...8 с помощью осциллографа по методике, описанной в
8
работе №2; если эллипс, получаемый на экране, окажется сильно искаженным, следует
уменьшить входное напряжение, т.к. искажение вызывается насыщением ферритового
сердечника и, соответственно, увеличением активных потерь в линии.
Задача
лабораторной
работы–
экспериментально
получить
зависимости
распределения действующих значений напряжений вдоль линии для трех режимов
работы:
ХХ, КЗ и согласованного, а также измерить сдвиг фаз между мгновенными
значениями напряжения в двух различных точках линии;
при условии, что длина линии l известна, рассчитать по экспериментальным
данным вторичные параметры линии  , , ZC , предполагая, что исследуемая линия
является линией без потерь;
на основе найденных значений вторичных параметров построить теоретическое
распределение действующих значений напряжений вдоль линий на одном графике с
экспериментальными.
3.2. Предварительная подготовка
В процессе подготовки следует внимательно изучить разделы 3.1. и Приложения 1,
2, а также оформить разделы отчета “схема эксперимента” и “методические пояснения”
и подготовить таблицы для занесения результатов измерения и обработки.
В разделе ”теоретические пояснения” следует:
привести кривые распределения действующих значений напряжения вдоль линии
без потерь для режимов ХХ, КЗ и согласованного ( RH  Z C );
вывести выражения для определения  ,  и
режиме хх на основе выражений (3.9.)
9
Z по данным эксперимента в
привести кривые мгновенных значений напряжения и функции времени в начале
линии и на расстоянии l 8 от начала ( l   ) для двух режимов – согласованной
нагрузки и кз;
записать
выражения,
определяющие
величину
сдвига

фаз
между
мгновенными значениями напряжений в начале линии и на расстоянии х от начала
линии для согласованной нагрузки;
привести формулы для расчета L0 и C0 моделируемой линии на основе
вторичных параметров линии (см. Приложение 2 );
привести
формулы
для
расчета
значений
L
и
C
симметричных
четырехполюсников, моделирующих 1 8 часть линии длиной l (см. Приложение 2).
3.3. Экспериментальная и расчетная часть
1) Собрать схему эксперимента и проверить настройку осциллографа для измерения
угла сдвига фаз.
2) Установить режим ХХ. Снять кривые распределения действующих значений
напряжений вдоль линии для U 1  1V . Результаты занести в таблицу по форме табл.3.1.
Таблица 3.1.
Результаты измерения и обработки данных в режиме хх
Условия эксперимента: l  ——— м; при U 1  1V ток I 1 =———А.
К
Действующие значения
напряжений вдоль
линии при U 1  1V
0
Обработка результатов
cos y 
U2
U( k )
,
  2  ,
y (8  k )l 8 ,
рад/м
м
м
U1 =
1
...
8
U2 =
 
 
10
ZC 


3) Установить режим КЗ. Снять кривую U k , к=0, ..., 8 при U 1  U ( 0 )  IB . Результаты
занести в таблицу по форме табл. 3.2. (вторая строка).
Таблица 3.2.
Результаты измерения в режимах КЗ и согласованном
к
1
2
3
4
5
6
7
8
режим КЗ и U k ,V
ZH=Zc: и U k ,V
4) Установить режим согласованной нагрузки, рассчитав предварительно значение ZC .
Произвести измерение сдвига фаз  Э между мгновенными значениями напряжений в
начале линии и на расстоянии l 8 от начала:
AB=———; CD=———; sin  Э =———;  Э =———
Снять кривую U ( К ) , к =0, ..., 8 при U 1  U ( 0 )  1V и результаты занести в третью строку
таблицы по форме таб. 3.2.
5) Представить результаты в виде графиков:
распределения U ( К ) (y) для трех режимов- ХХ, КЗ, RH  Z C при U 1  U ( 0 )  1V ;
нанести пунктиром для каждого из режимов теоретические распределения;
распределения U ( К ) (y) для режима ХХ при U 1  1V ;
распределения мгновенных значений напряжений u(t) в режиме согласованной
нагрузки для двух точек линии – в начале и на расстоянии l 8 от начала, используя
найденное значение  Э .
6) Рассчитать первичные параметры линии
L0
и
C0 , а также параметры
четырехполюсника L и C.
3.4. Анализ результатов
Сделать критический анализ экспериментальных и рассчетных данных, оценить
величину их относительной погрешности и в результате обьяснить соответствие
экспериментальных и теоретических данных.
11
Приложение1
Геометрическая интерпретация shx и chx ,(     j )
Аргументами гиперболических функций в уравнениях линий с распределенными
параметрами являются комплексные числа, поэтому и сами значения гиперболических
функций будут комплексные числа. По определению
shx  1 2 ( ex  e x )  1 2 ( ex e jx  e x e  jx ) ,
chx  1 2 ( ex  e x )  1 2 ( ex e jx  e x e  jx ) .
В соответствии с выражениями на рис. 3.3. представлена геометрическая
интерпритация гиперболического синуса и косинуса от комплексной переменной  ,
которая облегчает процедуру их вычисления, т.к. в таблицах приводятся значения
гиперболических функций действительных переменных. Определив по таблицам
значения e x и e x , затем отложив на комплексной плоскости векторы
( e x e  jx ) , можем найти выражения для shx и chx .
+j
shx
ex e jx
chx
Equa
tion 6Equat
ion 5
0
+1
e x e  jx
Рис. 3.3. Пояснения к вычислению shx и chx
12
( ex e jx ) и
Приложение 2
Моделирование однородной линии цепной схемой
Линия как четырехполюсник
Сравнивая уравнения линии в гиперболических функциях


U2
U 1  U 2 chl  I 2 Z C shl ; I 1 
shl  I 2 chl ,
ZC




(П2.1.)
с уравнениями чытырехполюсника






U 1  AU 2  B I 2 ; I 1  C U 2  D I 2 ,
можно
заключить,
что
линия
является
симметричным
(П2.2.)
чытырехполюсником,
коэффициенты которого есть:
A  chl ; B  ZC shl ; C 
1
shl ; D  chl ,
ZC
(П2.3.)
причем они удовлетворяют условиям: А=D и AD  BC  ch 2 l  sh 2 l  1 .
Эквивалентная схема замещения
Известно, что всякий симметричный четырехполюсник может быть представлен
симметричной схемой замещения, например, П- образной, приведенной на рис. П4.1.
Для этой схемы
Z  ZC shl  Z0lk 2 , Y 
где k1  2
2( chl  1 )
 Y0lk1 ,
Z C shl
(П2.4.)
chl  1
shl
, k2 
; Z 0 , Y0 -первичные параметры линии;  , ZC -вторичные
l  shl
l
параметры линии.
Для линии без потерь chl  cos l ; shl  j sin l ;   j .
Тогда формулы (П2.4) примут вид:
Z  jL  ZC j sin l  Z0lk 2 ; Y  2
где k1  2
cos l  1
j sin l
, k2 
.
jl  j sin l
jl
13
cos l  1
 jC
Z C j sin l
(П2.5)
Пример расчета параметров ZиY
Пусть иследуется линия длиной Lл , равной шестой части длины волны  , т.е.
Lл   6 . Т.к. эта линия моделируется цепной схемой состоящей из 8-ми
четырехполюсников, то каждый из них будет моделировать участок линии длиной l ,
 48 .
равной
l 
2


Тогда
l
произведение
будет
равно:
1
    24  0 ,131  7 ,50 .
48
Подставим найденное значение l в (П2.5): Z  jZC  0 ,13 ; Y  j  0 ,13 ZC .
Перемножая последние равенства, получим:
ZY   2 LC  2( 1  cos 7 ,5 0 )  0 ,017 .
Из последнего равенства имеем:
LC  0 ,017  2  4 ,3  10 4 f 2 .
Если принять f=27000Гц и  =11000м, то:
LC  0 ,45  10 9
l =230 
  2f  170000 рад с
k1  I
  2   5 ,7  10 4 рад/с
k2  I .
Зададимся значениями L=0.0045Гн и
C  0 ,1  10 9 Ф. Тогда
L0  2  10 5 Гн/м, C0  5 ,7  10 13 Ф/м.
L
C
C
2
2
Рис. П4.1. Эквивалентная схема замещения участка линии длиной l
14
ZC  5900  ,
3.5. Перечень контрольных вопросов
1) написать выражение для мгновенных значений напряжений в линии без потерь для
режимов: хх, кз, согласованной нагрузки.
2) Как изменяется вдоль линии эффектное значение напряжения в линии с потерями
при различных нагрузках?
3) Что понимают под режимом согласованной нагрузки в линии без потерь?
4) Получить выражения для расчета L и C одного П- образного четырехполюсника.
15