Множества. Числа. Теоретико-множественный подход в современной математике История развития теории множеств Множества, операции над ними. Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к числу первичных. Под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Слова «совокупность», «набор», «система», «объединение» и другие являются синонимами слова «множество». Например, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве учебников по химии в библиотеке, множестве целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать как конечное, так и бесконечное число объектов некоторой природы. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Принадлежность элемента а множеству А обозначают следующим образом: a ∈ A . Если b не является элементом множества А, то пишут: b ∉ A . Если a1 , a2 , a3 ,…, an – некоторые элементы, то запись A = {a1 , a2 , a3 ,… , an } означает, что А состоит из элементов a1 , a2 , a3 ,… , an . Определение. Два множества А и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, и пишут: А=В. Определение. Множество А называется подмножеством множества B, если все элементы множества А являются одновременно и элементами, множества В (обозначение: A ⊂ B или B ⊃ A ; читается: «множество А содержится в множестве В» или «множество В содержат множество А»). Например, так как всякое натуральное число п является целым, то ⊂ , где – множество натуральных чисел, – множество целых чисел. Множество, не содержащее ни одного элемента, будем называть пустым множеством и обозначать ∅ . Это множество является подмножеством любого множества. Дадим следующие определения. Пересечением множеств А и В называется множество С = A ∩ B состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как A, так и В, ⎧⎪ ⎧ x ∈ A, ⎫⎪ т. е. С = A ∩ B = ⎨ x ⎨ ⎬. x B ∈ ⎩⎪ ⎩ ⎭⎪ Объединением множеств A и В называется множество С = A ∪ B , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух ⎧⎪ ⎡ x ∈ A, ⎫⎪ данных множеств, т. е. С = A ∪ B = ⎨ x ⎢ ⎬. ∈ x B ⎩⎪ ⎣ ⎭⎪ Разностью множеств А и В называется множество А \ В, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т. е. А\В= {x x ∈ A, x ∉ B} . Дополнением множества A ⊂ E называется множество A , состоящее из всех элементов b ∈ E , не принадлежащих А. Таким образом, все, элементы, которые не принадлежат множеству А, образуют множество A в E, A ∩ A = ∅ . Отношение порядка. Пусть имеется некоторое множество X . На нем может быть задано отношение порядка, которое обычно обозначается символом ≤ . Отношение порядка – это отношение, которое рефлексивно, т.е. x ≤ x для любого x ∈ X , и транзитивно, т.е. из x ≤ y и y ≤ z следует, что x ≤ z . Отношение порядка – это абстракция для таких понятий, как «больше», «лучше», «предпочтительнее». Порядок называется линейным, если это отношение определено для любых пар элементов, и частичным в противном случае. Если для элементов x , y отношение порядка определено, то они называются сравнимыми, и несравнимыми в противном случае. Отношение линейного порядка называется также упорядочением или ранжировкой. Если есть некоторое отношение ≤1 , то можно ввести двойственное к нему отношение ≤ 2 по правилу: x ≤ 2 y ⇔ y ≤1 x . Числовые множества Системы счисления. Цифры Числа Числовые множества История развития теории множеств – множество натуральных чисел; – множество целых чисел; – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; – множество действительных (вещественных) чисел; – множество комплексных чисел. ⊂ = ⊂ ⊂ ⊂ J⊂ ⊂ ∪J, J Пусть Х – множество, а р(х) – какое-либо свойство элементов этого {x x ∈ X , p ( x)} означает совокупность тех множества. Тогда запись элементов множества X, которые обладают свойством р(х). Например, если а и b – два числа и а< b, то встречавшиеся в элементарной математике отрезок (или сегмент), интервал можно записать в следующем виде: [a, b] = {x x ∈ , a ≤ x ≤ b} – отрезок; (a, b) = {x x ∈ , a < x < b} – интервал. Здесь – множество действительных (вещественных) чисел. Пример. Множество (−∞, +∞) = {x x ∈ , −∞ < x < +∞} называется также числовой прямой или числовой осью, а любое число – точкой этой прямой. Пример. Существует две физические величины, выражающиеся действительными числами: одна характеризует массу определенного нуклида, другая — природную смесь изотопов. Значение массы атома и атомной массы нуклида важно для физиков, которые имеют дело с индивидуальными частицами. Для химиков, которым, как правило, приходится иметь дело не с определенными нуклидами, а с природной смесью изотопов того или иного химического элемента, более важной величиной является атомная масса (относительная атомная масса) элемента. Значения последних величин и приводятся в периодической таблице элементов Д. И. Менделеева (где номера элементов – натуральные числа) и используются в обычных химических расчетах. В настоящее время под относительной атомной массой элемента (Аr) понимают физическую величину, которая равна отношению средней массы, приходящейся на атом в природной смеси изотопов, к 1/12 массы атома нуклида углерода-12: ma ( El ) . Ar ( El ) = 1 12 ma ( C ) 12 1 ma (12 C ) называют постоянной атомной массы Величину 12 ( mu =1,6605402*10-27 кг). Приняв эту величину за единицу (ее так и называют — атомной единицей массы), получили новую шкалу измерения масс атомов. Если в шкале СИ единицей массы является 1 кг, то в шкале единиц атомных масс — 1 атомная единица массы (1 а.е.м., или в английском варианте — u, от англ. unite — «единица»). Построенные по различным шкалам множества элементов не равны друг другу в математическом смысле, хотя равносильны в химическом.