ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ О.В. Жидков, С.В. Мациевский

ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ
УДК 621
О.В. Жидков, С.В. Мациевский
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРСЕПТРОНАМИ
92
Моделируются логические функции и нервные сети с помощью
двух разных видов персептронов.
Logical functions and nervous nets are modeling by two different
form of perceptrons.
Для описания искусственных нейронных сетей (ИНС) с пороговыми нейронами, т. е. персептронов, лучше всего подходит цифровая схемотехника (ЦС), в основе которой лежит алгебра логики. Переключательная функция нескольких переменных — это такая функция, которая, как и ее аргументы, принимает всего лишь два значения 0 и 1.
Логические элементы, построенные на основе ИНС, имеют ряд отличий от элементов, используемых в ЦС. В ЦС считается, что элементы
срабатывают практически мгновенно, тогда как в ИНС существует задержка срабатывания нейронов (синаптическая задержка). Вследствие
этого выходные нейроны в различные моменты времени могут иметь
различные значения вне зависимости от входных сигналов.
Опишем основные положения, которые будут использованы при моделировании логических функций и нейронных сетей персептронами.
1. Активность нейрона удовлетворяет принципу «все или ничего».
2. Возбуждению нейрона в какой-либо момент времени должен
предшествовать период накопления возбуждений определенного фиксированного числа синапсов, которые могут нейтрализоваться тормозящими синапсами. Это число не зависит от предыдущей активности и
от расположения синапсов на нейроне.
3. Единственным запаздыванием в нервной системе, имеющим
значение, является синаптическая задержка.
Будем обозначать нейроны данной сети N через C1, C2, … , Cn, а утверждение «нейрон Ci возбужден в момент времени t» эквивалентно
выражению Ni (t). Назовем Ni действием нейрона Ci.
Моделирование значений присутствием и отсутствием сигнала
Как и в работе [1], будем моделировать значение 0 булевой функции отсутствием сигнала на выходном нейроне, а 1 — наличием сигнала. Полагая, что порог персептрона равен 2, будем использовать один
тормозящий синапс, полностью подавляющий активность нейрона.
В таблице 1 показаны персептронные модели некоторых булевых
Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 92—96.
Моделирование логических функций персептронами
функций и уравнения, их описывающие, взятые из работы [1]. Нейроны обозначены треугольниками, возбуждающие синапсы — точками,
тормозящий — петлей. Как отмечено в работе [1], смоделировать отрицание в этих условиях невозможно.
Таблица 1
Моделирование значений присутствием и отсутствием сигнала
Булева функция
ИНС
Уравнение
1
93
Конъюнкция
3
N3(t) = N1(t −1) & N2(t −1)
3
N3(t) = N1(t −1) ∨ N2(t −1)
3
N3(t) = N1(t −1) & ¬N2(t −1)
2
1
Дизъюнкция
2
1
Конъюктивированное
отрицание
2
Моделирование значений нервных сетей
При моделировании приведенных в таблице 1 булевых функций задержка сигнала при прохождении через персептрон составляет 1, поэтому можно не контролировать, как ведет себя персептрон на протяжении
нескольких временны́х интервалов. Однако в более сложных случаях
необходимо строить персептрон так, чтобы не было побочных эффектов, хотя бы таких, когда выходной нейрон генерирует «лишний» сигнал, сигнал после окончания запланированной активности персептрона.
В качестве примера моделирования естественной нервной сети
рассмотрим ощущение тепла, вызываемого кратковременным охлаждением. Если на мгновение приложить к коже холодный предмет, а затем убрать его, то возникнет ощущение тепла. Если же его продержать
более долгое время, то будет только ощущение холода без предшествующего ощущения тепла. Такую нервную сеть можно записать следующими уравнениями (более простыми, чем в работе [1]):
N3(t) = N1(t−1) ∨ N2(t−2) & ¬N2(t−1),
N4(t) = N2(t−2) & N2(t−1),
где N1 — рецептор тепла; N2 — холода; N3 — нейрон, возбуждение которого влечет ощущение тепла; N4 — холода.
93
О.В. Жидков, С.В. Мациевский
Эти уравнения моделируются, например, следующим простейшим
персептроном (рис.).
1
3
5
4
2
94
Рис. Персептрон, моделирующий ощущение тепла
Но такая модель, как и в работе [1], имеет недостатки. Например,
если в течение нескольких последовательных моментов времени активен рецептор холода, а затем активных рецепторов нет, то после ощущения холода возникнет незапланированное ощущение тепла. Для исправления ситуации необходимо усложнение персептрона.
Моделирование значений только присутствием сигнала
Для моделирования отрицания зададим значение 0 булевой функции сигналом 1 на выходном нейроне, а 1 — сигналом 2. Будем считать
порогом персептрона 4. Синапсы обозначены точками с весом, положительным у возбуждающих и отрицательным у тормозящих. В таблице 2
показаны персептронные модели некоторых булевых функций и уравнения, их описывающие. Отметим, что конъюнкция и дизъюнкция моделируются с задержкой 1, а отрицание — с задержкой 2, причем дизъюнкция и отрицание несимметричны.
Таблица 2
Моделирование значений только присутствием сигнала, порог 4
Булева функция
ИНС
Уравнение
X
1
Конъюнкция
N1(t) = X(t −1) & Y(t −1)
1
1
Y
X
2
Дизъюнкция
N1(t) = X(t −1) ∨ Y(t −1)
1
1
Y
1
Отрицание
X
4
3
2
−2
3
2
N3(t) = ¬X(t −2)
94
Моделирование логических функций персептронами
Изменим немного параметры моделирования. Зададим значение 0
булевой функции сигналом 1 на выходном нейроне, а 1 — сигналом 3.
Порог персептрона — 5. Синапсы обозначены точками с весом, положительным у возбуждающих и отрицательным у тормозящих. В таблице 3
показаны персептронные модели некоторых булевых функций и уравнения, их описывающие. Отметим, что конъюнкция и дизъюнкция моделируются с задержкой 1, а отрицание — с задержкой 2, но в отличие от
предыдущего моделирования несимметрично только отрицание.
Таблица 3
95
Моделирование значений только присутствием сигнала, порог 5
Булева функция
ИНС
Уравнение
X
1
Конъюнкция
N1(t) = X(t −1) & Y(t −1)
1
1
Y
X
2
Дизъюнкция
N1(t) = X(t −1) ∨ Y(t −1)
1
2
Y
1
Отрицание
X
5
3
2
−2
3
N3(t) = ¬X(t −2)
2
Моделирование значений количеством сигналов
В книге [2] предложен другой, может быть, более прогрессивный
способ моделирования значений булевых функций не значениями выходного сигнала, а количеством выходных сигналов, идущих подряд
(аналог частоты возбуждения нейронов).
Зададим значение 0 булевой функции одним изолированным сигналом силы 1 на выходном нейроне, а 1 — двумя подряд идущими сигналами силы также 1, пологая, что порог персептрона равен 2.
Нейроны обозначены прямоугольниками, возбуждающие синапсы — большими жирными точками, тормозящий — маленькими окружностями.
В таблице 4 показаны персептронные модели некоторых булевых
функций и уравнения, их описывающие. Отметим, что конъюнкция и
дизъюнкция моделируются с задержкой 1, а отрицание — с задержкой 2.
95
О.В. Жидков, С.В. Мациевский
Таблица 4
Моделирование значений количеством сигналов
Булева функция
ИНС
Уравнение
X
Конъюнкция
Y
N(t) = X(t −1) & Y(t −1)
N
96
96
X
Y
Дизъюнкция
Отрицание
X
N(t) = X(t −1) ∨ Y(t −1)
N
N
N(t) = ¬X(t −2)
X
Импликация
Y
N
N(t) = X(t −2) → Y(t −2)
Список литературы
1. McCulloch W.S., Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous
activity. Bull. Math. Biophys. 1943. 5. 115−133. (См. также переводы в сб. Автоматы
/ Под ред. К.Э. Шеннона и Дж. Маккарти. М.: Изд-во ИЛ, 1956. С. 363—384, в
журнале Нейрокомпьютер. 1992. № 3/4. С. 40—53 и в книге Нейронные сети: история развития теории. М.: ИПРЖР, 2001. С. 5—22.)
2. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики / Предисл. М. Гарднера. М.: Едиториал УРСС, 2003.
Об авторах
О.И. Жидков — асп., РГУ им. И. Канта.
С.В. Мациевский — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта,
matsievsky@newmail.ru