Определение элементов внешнего ориентирования одиночного

Определение элементов внешнего ориентирования одиночного аэроснимка
Методические указания
Федянин М.Р.
Томск 2010
1. Системы координат применяемые в фотограмметрии.
Для определения положения точки на аэроснимке применяют плоскую
прямоугольную систему координат снимка 𝑜 ′ 𝑥𝑦. Начало координат
находится в точке 𝑜 ′ - точке пересечения прямых, соединяющих
координатные метки 1-2 и 3-4. Ось 𝑥 совмещена с прямой 1-2 (рис. 1).
Рисунок 1. Система координат снимка
Рисунок 2. Пространственные фотограмметрические системы координат.
Взаимное положение точек местности определяют в пространственной
фотограмметрической системе координат. Эта система координат правая.
2
Начало координат и направления координатных осей выбирают произвольно.
Началом системы координат может быть центр проекции 𝑆 − 𝑆𝑋𝑌𝑍, а может
быть какая-либо точка местности 𝑀 − 𝑀𝑋𝑌𝑍. Плоскость 𝑋𝑌 устанавливают
параллельно плоскости снимка или горизонтально (рис. 2).
Положение точек местности определяют в левой геодезической системе
прямоугольных координат Гаусса - 𝑂Г 𝑋Г 𝑌 Г 𝑍Г . Начало геодезической
системы координат находится в точке пересечения осевого меридиана
данной зоны и экватора. Плоскость 𝑋Г 𝑌 Г горизонтальна, ось 𝑌 Г направлена
на восток, ось 𝑋Г - на север. Условная геодезическая система координат
может иметь началом любую точку местности, а еѐ оси сонаправлены
соответствующим осям геодезической системы координат Гаусса (рис. 3).
Рисунок 3. Условная геодезическая система координат.
2. Элементы ориентирования одиночного снимка.
Различают элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимка.
Элементы внутреннего ориентирования определяют положение центра
проекции 𝑆 относительно снимка. Ими являются координаты главной точки
(𝑥0 , 𝑦0 ) в системе координат снимка и фокусное расстояние 𝑓 объектива АФА
3
(рис. 4). Эти элементы почти всегда известны с высокой точностью и
записаны в паспорте АФА.
Рисунок 4. Элементы внутреннего ориентирования снимка
Рисунок 5. Элементы внешнего ориентирования снимка.
Элементы внутреннего ориентирования формируют связку проектирующих
лучей. Еѐ положение в пространстве определяют элементы внешнего
4
ориентирования снимка. Их шесть. Это три линейных элемента –
геодезические координаты центра проекции 𝑆(𝑋𝑆Г , 𝑌𝑆Г , 𝑍𝑆Г ) и три угловых
элемента (рис. 5):
𝛼- продольный угол наклона снимка (угол между осью 𝑍 и проекцией
главного луча на плоскость XZ);
𝜔- поперечный угол наклона снимка (угол между главным лучом и
проекцией главного луча на плоскость XZ);
𝑘- угол поворота снимка (угол на снимке между осью 𝑦 и следом сечения
плоскости снимка с плоскостью, построенной на главном луче и оси 𝑌).
Следует заметить, что для всех снимков, полученных данным АФА,
элементы внутреннего ориентирования можно считать постоянными
известными величинами. Однако элементы внешнего ориентирования у
каждого снимка свои и, как правило, неизвестны.
3. Аналитическое трансформирование снимков.
В фотограмметрии под трансформированием понимают преобразование
аэро- или космических снимков, полученных в большинстве случаев в
центральной проекции, в ортогональную или какую-либо иную
картографическую проекцию.
Суть аналитического трансформирования заключается в преобразовании
координат точек снимка в координаты соответствующих точек местности с
использованием строгих математических зависимостей.
Три пространственные геодезические координаты точки местности
𝐴 (𝑋𝐴Г , 𝑌𝐴Г , 𝑍𝐴Г ) связаны с плоскими координатами точки 𝑎 снимка (𝑥, 𝑦) с
помощью элементов ориентирования снимка.
𝑋𝐴Г −𝑋𝑆Г
𝑍𝐴Г −𝑍𝑆Г
𝑌𝐴Г −𝑌𝑆Г
𝑍𝐴Г −𝑍𝑆Г
=
=
𝑎 1 𝑥−𝑥 0 +𝑎 2 𝑦−𝑦 0 −𝑎 3 𝑓
𝑐1 𝑥−𝑥 0 +𝑐2 𝑦−𝑦 0 −𝑐3 𝑓
𝑏1 𝑥−𝑥 0 +𝑏2 𝑦−𝑦 0 −𝑏3 𝑓
;
(1)
𝑐1 𝑥−𝑥 0 +𝑐2 𝑦−𝑦0 −𝑐3 𝑓
Формулы (1) называют формулами связи координат точек снимка и
местности. В этих формулах угловые элементы внешнего ориентирования
снимка содержатся в коэффициентах 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … 𝑐2 , 𝑐3 . Эти коэффициенты
называют направляющими косинусами, и они являются сложными
тригонометрическими
функциями
угловых
элементов
внешнего
ориентирования снимка: 𝛼, 𝜔, 𝑘.
5
Так, например,
𝑎1 = cos 𝛼 cos 𝑘 − sin 𝛼 sin 𝜔 sin 𝑘 ;
𝑎2 = −cos 𝛼 sin 𝑘 − sin 𝛼 sin 𝜔 cos 𝑘 ;
………………………………………….
………………………………………….
𝑐3 = cos 𝛼 cos 𝜔
(2)
Формулы (2) получены при преобразовании наклонного снимка в
горизонтальный (трансформирование) в последовательности поворотов
наклонного снимка на угловые элементы внешнего ориентирования, такой:
𝛼, 𝜔, 𝑘. В зависимости от последовательности поворотов и формулы,
представляющие направляющие косинусы, принимают различный вид.
Для горизонтального снимка, у которого угловые элементы внешнего
ориентирования равны нулю (𝛼 = 𝜔 = 𝑘 = 0), 𝑎1 = 𝑏2 = 𝑐3 = 1. Остальные
направляющие косинусы равны нулю.
Если девять элементов ориентирования снимка (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓, 𝑋𝑆Г , 𝑌𝑆Г , 𝑍𝑆Г , 𝛼, 𝜔, 𝑘)
известны, то можно вычислить геодезические координаты (𝑋𝐴Г , 𝑌𝐴Г ) точки
местности, измерив плоские прямоугольные координаты (𝑥, 𝑦) еѐ
изображения на снимке.
𝑋𝐴Г = 𝑋𝑆Г + 𝑍𝐴Г − 𝑍𝑆Г
𝑌𝐴Г
=
𝑌𝑆Г
+
(𝑍𝐴Г
−
𝑎 1 𝑥−𝑥 0 +𝑎 2 𝑦−𝑦 0 −𝑎 3 𝑓
𝑐1 𝑥−𝑥 0 +𝑐2 𝑦−𝑦 0 −𝑐3 𝑓
𝑏 𝑥−𝑥 0 +𝑏2 𝑦−𝑦0 −𝑏3 𝑓
𝑍𝑆Г ) 1
𝑐1 𝑥−𝑥 0 +𝑐2 𝑦−𝑦 0 −𝑐3 𝑓
;
(3)
Задачу по определению геодезических координат точки местности по
измеренным координатам еѐ изображения на снимке называют прямой
фотограмметрической засечкой.
В правых частях уравнений (3) помимо элементов ориентирования снимка в
явном (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓, 𝑋𝑆Г , 𝑌𝑆Г , 𝑍𝑆Г ) и неявном (𝑎1 ; 𝑎2 ; … ; 𝑐2 ; 𝑐3 ) виде, а также
измеренных координат (𝑥, 𝑦) точки снимка содержится высотная координата
𝑍𝐴Г точки местности. Присвоив ей некоторое значение 𝑍Г , можно определить
плановые координаты 𝑋𝐴Г , 𝑌𝐴Г точки местности, но невозможно вычислить все
три геодезические координаты 𝑋𝐴Г , 𝑌𝐴Г , 𝑍𝐴Г точки местности, используя
одиночный снимок.
Для решения прямой фотограмметрической засечки существует несколько
способов задания высотной координаты точки местности:
- определением по имеющимся планам с горизонталями при
отождествлении на них интересующей точки местности;
6
- присвоением всем точкам одинаковой высоты, равной средней высоте
снимаемой местности;
- с использованием цифровой модели рельефа.
Точность определения плановых геодезических координат 𝑋𝐴Г , 𝑌𝐴Г точки
местности зависит от точности задания еѐ высотной координаты 𝑍𝐴Г .
4. Определение элементов ориентирования снимка.
Решение прямой фотограмметрической засечки возможно при условии, что
элементы ориентирования снимка известны. Элементы внутреннего
ориентирования, как правило, известны. Они определяются при калибровке
АФА и записываются в его паспорт.
Элементы внешнего ориентирования снимка можно определить различными
способами. Их делят на две группы.
В первую группу входят способы определения элементов внешнего
ориентирования снимков в полете с помощью специальных приборов.
Например, координаты центров проекций находят по показаниям GPS –
приѐмников, установленных на борту летательного аппарата. Угловые
элементы внешнего ориентирования (𝛼, 𝜔) определяют с помощью
инерциальных систем навигации.
Во вторую группу входят способы для определения элементов внешнего
ориентирования снимков по опорным точкам.
Опорными точками называют точки с известными геодезическими
координатами. Определение элементов внешнего ориентирования снимков с
использованием опорных точек называют обратной фотограмметрической
засечкой или задачей по ориентированию снимка, которую решают
аналитически с использованием уравнений связи координат точек снимка и
местности (3).
В правых частях уравнений (3) содержатся все шесть искомых элементов
внешнего ориентирования снимка. Для одной опорной точки с
геодезическими координатами (𝑋Г , 𝑌 Г , 𝑍Г ) и измеренными координатами
(𝑥, 𝑦) еѐ изображения на снимке можно составить два независимых
уравнения вида (3) с шестью неизвестными величинами - 𝑋𝑆Г , 𝑌𝑆Г , 𝑍𝑆Г , 𝛼, 𝜔, 𝑘.
Чтобы однозначно определить все шесть элементов внешнего
ориентирования, необходимо объединить в систему не менее шести
7
независимых уравнений, содержащих искомые элементы. Для этого
требуется не менее трѐх планово-высотных опорных точек.
Для решения обратной фотограмметрической засечки с контролем
используют четыре или более опорные точки, расположенные по углам
рабочей площади снимка. Увеличение числа опорных точек позволяет также
отбраковывать грубые измерения.
5. Определение элементов внешнего ориентирования снимка
При решении обратной фотограмметрической засечки важно, чтобы
координаты опорных точек (𝑥, 𝑦), входящие в уравнения связи координат,
были измерены в системе координат снимка (𝑜 ′ , 𝑥, 𝑦). В случае, например,
когда число изобразившихся на снимке или его фрагменте координатных
меток недостаточно для восстановления системы координат снимка для
определения элементов внешнего ориентирования можно использовать
способ, не зависящий от выбора системы координат на снимке. Это способ
раздельного определения линейных и угловых элементов, ориентирования
снимка. Сначала находят линейные элементы 𝑋𝑆Г , 𝑌𝑆Г , 𝑍𝑆Г .
Для этого используют условия равенства углов между проектирующими
лучами в треугольнике 𝑆𝑎𝑏 и в треугольнике 𝑆𝐴𝐵 (рис. 6). Очевидно, что
угол 𝐴𝑆𝐵 равен углу 𝑎𝑆𝑏. С использованием теоремы косинусов получают
следующее уравнение
𝑥 𝑎 −𝑥 0 𝑥 𝑏 −𝑥 0 + 𝑦 𝑎 −𝑦 0 𝑦 𝑏 −𝑦 0 +𝑓 2
𝑙𝑎 𝑙𝑏
=
𝑋𝐴Г −𝑋𝑆Г 𝑋𝐵Г −𝑋𝑆Г + 𝑌𝐴Г −𝑌𝑆Г 𝑌𝐵Г −𝑌𝑆Г + 𝑍𝐴Г −𝑍𝑆Г 𝑍𝐵Г −𝑍𝑆Г
𝐿𝐴 𝐿𝐵
,
(4)
где 𝑙𝑎 , 𝑙𝑏 – длины соответственно векторов 𝑆𝑎 и 𝑆𝑏; 𝐿𝐴 , 𝐿𝐵 – длины
соответственно векторов 𝑆𝐴 и 𝑆𝐵, которые вычисляют по формулам
𝑙𝑖 =
𝐿𝑖 =
(𝑥𝑖 − 𝑥0 )2 + (𝑦𝑖 − 𝑦0 )2 + 𝑓 2 ;
(𝑋𝑖Г − 𝑋𝑆Г )2 + (𝑌𝑖Г − 𝑌𝑆Г )2 + (𝑍𝑖Г − 𝑍𝑆Г )2 .
(5)
8
Рисунок 6. Принцип раздельного определения элементов внешнего
ориентирования аэроснимка.
Для двух опорных точек A и B можно составить одно уравнение вида (4), в
котором (𝑋𝐴Г , 𝑌𝐴Г , 𝑍𝐴Г ) и (𝑋𝐵Г , 𝑌𝐵Г , 𝑍𝐵Г ) – геодезические координаты точек А и B.
(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 ) и (𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 ) – координаты точек a и b на снимке. Причем для измерения
этих координат можно построить на снимке прямоугольную систему
координат с произвольным началом и произвольной ориентацией осей.
Неизвестными величинами в уравнении (4) являются геодезические
координаты центра проекции (𝑋𝑆Г , 𝑌𝑆Г , 𝑍𝑆Г ), входящие в правую часть
уравнения. Для их нахождения требуются как минимум три опорные точки; n
опорных точек позволяют составить 𝑛(𝑛 − 1)/2 уравнений вида (4), чтобы
решить задачу с контролем.
После того, как найдены координаты центра проекции, можно определить
угловые элементы внешнего ориентирования снимка. Их вычисляют также
используя опорные точки, по следующим формулам:
9
𝑋Г − 𝑋𝑆Г × 𝑘 = 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑎2 𝑦 − 𝑦0 − 𝑎3 𝑓;
𝑌 Г − 𝑌𝑆Г × 𝑘 = 𝑏1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑏2 𝑦 − 𝑦0 − 𝑏3 𝑓;
(6)
𝑍Г − 𝑍𝑆Г × 𝑘 = 𝑐1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑐2 𝑦 − 𝑦0 − 𝑐3 𝑓,
где
k- масштабный коэффициент, 𝑘 = 𝑙 𝐿 ; 𝑋Г , 𝑌 Г , 𝑍Г – геодезические
координаты опорных точек; 𝑥, 𝑦 - координаты опорных точек в системе
координат снимка.
В этих формулах угловые элементы внешнего ориентирования снимка
содержатся в направляющих косинусах 𝑎1 ; 𝑎2 ; … ; 𝑐3 .
По найденным направляющим косинусам вычисляют углы:
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −𝑎3 𝑐3 ;
𝜔 = arcsin −𝑏3 ;
𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑏1 𝑏2 ).
(7)
6. Математические методы, применяемые при решении
фотограмметрических задач.
Решение обратной фотограмметрической засечки предполагает составление и
решение систем нелинейных уравнений с числом неизвестных более двух. В
отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов
решения нелинейных систем общего вида.
Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются
итерационные методы. Большой эффективностью (с точки зрения скорости
сходимости итерационного процесса) обладает итерационный метод
Ньютона.
Пусть для вычисления неизвестных 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 требуется решить систему n
нелинейных уравнений
𝐹1 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 0,
𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 0,
…2… …
…………………
𝐹𝑛 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 0.
(8)
В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование
разложения функций 𝐹𝑖 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 0 в ряд Тейлора, причем члены,
содержащие вторые( и более высоких порядков) производные,
отбрасываются.
10
Пусть приближенные значения неизвестных системы (8)(например,
полученные в предыдущей итерации) равны соответственно 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 .
Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям
∆𝑥1 , ∆𝑥2 , … , ∆𝑥𝑛 , благодаря которым решение системы (8) запишется в виде
𝑥1 = 𝑎1 + ∆𝑥1 , 𝑥2 = 𝑎2 + ∆𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 + ∆𝑥𝑛
(9)
Проведем разложение левых частей уравнений (8) с учетом (9) в ряд Тейлора,
ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:
𝐹1 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ≈ 𝐹1 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 +
𝜕𝐹1
𝜕𝑥 1
𝜕𝐹2
∆𝑥1 + ⋯ +
𝜕𝐹1
𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝐹2
∆𝑥𝑛 ,
𝐹2 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ≈ 𝐹2 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 +
∆𝑥1 + ⋯ +
∆𝑥𝑛 ,
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 𝑛
……………………………………………………………………
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝐹𝑛 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ≈ 𝐹𝑛 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 + 𝑛 ∆𝑥1 + ⋯ + 𝑛 ∆𝑥𝑛 .
𝜕𝑥 1
(10)
𝜕𝑥 𝑛
Поскольку левые части этих выражений, в соответствии с (8), должны
обращаться в нуль, то приравняем нулю и правые части. Получим
следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно
приращений:
𝜕𝐹1
𝜕𝑥 1
𝜕𝐹2
∆𝑥1 +
𝜕𝐹1
𝜕𝑥 2
𝜕𝐹2
∆𝑥2 + ⋯ +
𝜕𝐹1
𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝐹2
∆𝑥𝑛 = −𝐹1
∆𝑥1 +
∆𝑥2 + ⋯ +
∆𝑥𝑛 = −𝐹2
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 𝑛
…………………………………………………
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝐹
𝜕𝐹
∆𝑥1 + 𝑛 ∆𝑥2 + ⋯ + 𝑛 ∆𝑥𝑛 = −𝐹𝑛
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
(11)
𝜕𝑥 𝑛
Значения 𝐹1 , 𝐹2 , … , 𝐹𝑛 и их производные вычисляются при 𝑥1 = 𝑎1 , 𝑥2 =
𝑎2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 .
Определителем системы (11) является якобиан
𝜕𝐹1
𝐽=
𝜕𝑥 1
𝜕𝐹2
𝜕𝑥 1
…
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑥 1
…
…
…
…
𝜕𝐹1
𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝐹2
𝜕𝑥 𝑛
…
(12)
𝜕𝐹𝑛
𝜕𝑥 𝑛
Для существования единственного решения системы (11) он должен быть
отличным от нуля на каждой итерации.
Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений (8)
методом Ньютона состоит в определении приращений ∆𝑥1 , ∆𝑥2 , … , ∆𝑥𝑛 к
11
значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все
приращения становятся малыми по абсолютной величине: max 𝑖 ∆𝑥𝑖 < 𝜀. В
методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для
обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением
числа уравнений системы.
При аналитическом решении многих фотограмметрических задач возникает
необходимость в исходные данные включать приближенные значения
искомых величин.
Для определения приближенных значений координат центра проекции
можно воспользоваться опорными точками. Плановые координаты 𝑋𝑆Г ; 𝑌𝑆Г
центра проекции совпадают с плановыми координатами 𝑋𝑁Г ; 𝑌𝑁Г проекции
точки надира N. На плановом снимке изображение проекции точки надира N
находится, как известно, вблизи начала координат снимка. Поэтому
приближенные координаты проекции точки надира 𝑋𝑁Г ; 𝑌𝑁Г можно заменить
на координаты точки 𝑂′ местности. Еѐ же приближенные плановые
геодезические координаты определяют как среднее арифметическое
соответствующих геодезических координат опорных точек. Таким образом,
будем иметь:
𝑋𝑆Г =
𝑋1Г +𝑋2Г +𝑋3Г +𝑋4Г
𝑌𝑆Г =
𝑌1Г +𝑌2Г +𝑌3Г +𝑌4Г
4
4
;
.
(13)
Высотную координату центра проекции 𝑍𝑆Г находят как сумму средней
отметки опорных точек и высоты фотографирования 𝐻Ф (рис. 6).
𝑍𝑆Г =
𝑍1Г +𝑍2Г +𝑍3Г +𝑍4Г
4
+ 𝐻Ф .
(14)
Высота фотографирования
𝐻Ф = 𝑚Ф 𝑓,
(15)
где 𝑚Ф - знаменатель масштаба аэроснимка, который также можно
вычислить с помощью опорных точек; 𝑚Ф = 𝐿 𝑙 (здесь L – расстояние
между опорными точками i и j на местности, а 𝑙 – расстояние между теми же
опорными точками на снимке):
𝐿=
(𝑋𝑖Г − 𝑋𝑗Г )2 + (𝑌𝑖Г − 𝑌𝑗 Г )2 .
(16)
12
Управления системы уравнений (6) являются линейными относительно
искомых неизвестных 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ; 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ; 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 . Системы таких линейных
уравнений будем решать методом наименьших квадратов.
7. Пример определения элементов внешнего ориентирования одиночного
аэроснимка (обратная фотограмметрическая засечка).
Исходные данные:
-аэроснимок формата 18×18 см2 (с координатными метками);
-топографическая карта масштаба 1:25000;
-𝑓 = 70мм (фокусное расстояние АФА было неизвестно; это значение взято
как наиболее вероятное);
-взяты 4 основные планово-высотныопорные точки и 2 дополнительные;
определены также приближенные пространственные координаты центра
проекции S.
Координаты основных и дополнительных опорных точек (включая
приближенные координаты S), измеренные на снимке (в мм) и снятые с
топокарты (в м)
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
𝑥3
𝑦3
𝑥4
𝑦4
+51,5
−28,0
+54,5
+68,6
−43,3
+68,4
−23,5
−13,7
𝑋Г1
𝑌Г1
𝑍Г1
𝑋Г2
𝑌Г2
𝑍Г2
𝑋Г3
𝑌Г3
𝑍Г3
𝑋Г4
𝑌Г4
𝑍Г4
7417,5
8645
146,8
7442,5
10317,5
127,5
5912,5
10240
177,8
6182,5
8942,5
186,1
𝑥1′
𝑦1′
𝑥2′
𝑦2 ′
+2,6
−38,9
+8,9
+71,1
𝑋1Г′
𝑌1Г′
𝑍1Г′
𝑋2Г′
𝑌2Г′
𝑍2Г′
𝑋Г𝑆
𝑌Г𝑆
𝑍Г𝑆
6625
8540
171,4
6760
10322
137,6
6616
9147,5
1317,8
Среднее значение знаменателя масштаба аэроснимка 𝑚 принято:
𝑚Ф = 16354.
13
Тогда (при 𝑓 = 70мм), по формуле (15): 𝐻Ф = 1144,8 м.
Определив по горизонталям, что 𝐻𝑆 = 173 м, будем иметь
𝑍𝑆Г = 𝐻𝑆 + 𝐻Ф = 1317,8 м;
это значение 𝑍𝑆Г указано в таблице.
Для отыскания геодезических координат 𝑋𝑆Г , 𝑌𝑆Г , 𝑍𝑆Г итерационным методом
Ньютона функцию F из (8) возьмѐм в виде [см. (4)]:
𝐹 = 𝑋𝐴 − 𝑋𝑆 𝑋𝐵 − 𝑋𝑆 + 𝑌𝐴 − 𝑌𝑆 𝑌𝐵 − 𝑌𝑆 + 𝑍𝐴 − 𝑍𝑆 𝑍𝐵 − 𝑍𝑆
𝐿𝐴 𝐿𝐵
− 𝑥𝑎 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎 𝑦𝑏 + 𝑓 2
;
𝑙𝑎 𝑙𝑏
здесь опущены верхние индексы “Г” и принято 𝑥0 = 𝑦0 = 0
Можно принять, что
𝐿𝐴 𝐿𝐵
𝑙𝑎 𝑙𝑏
≈
1
𝑚
2
≈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
В дальнейшем, на каждом этапе итерации, будем представлять искомые
неизвестные в виде:
𝑋𝑆,𝑖 = 𝑋𝑆(𝑖) + ∆𝑋𝑆,𝑖 ;
𝑌𝑆,𝑖 = 𝑌𝑆(𝑖) + ∆𝑌𝑆,𝑖 ;
𝑍𝑆,𝑖 = 𝑍𝑆(𝑖) + ∆𝑍𝑆,𝑖 .
(17)
Принимая во внимание (10),(11) и (17) одно уравнение системы (11), (при
использовании 2-х опорных точек), будет иметь вид:
2𝑋𝑆 − (𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 ) ∆𝑋𝑆 + 2𝑌𝑆 − (𝑌𝐴 + 𝑌𝐵 ) ∆𝑌𝑆 + 2𝑍𝑆 − (𝑍𝐴 + 𝑍𝐵 ) ∆𝑍𝑆 =
𝑥𝑎 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎 𝑦𝑏 + 𝑓 2
𝐿𝐴 𝐿𝐵
𝑙𝑎 𝑙𝑏
− 𝑋𝐴 − 𝑋𝑆 𝑋𝐵 − 𝑋𝑆 − 𝑌𝐴 − 𝑌𝑆 𝑌𝐵 − 𝑌𝑆 −
𝑍𝐴 − 𝑍𝑆 𝑍𝐵 − 𝑍𝑆 .
Образовав три комбинации из 4-х опорных точек получим систему 3-х
линейных уравнений с тремя неизвестными ∆𝑋𝑆 , ∆𝑌𝑆 , ∆𝑍𝑆 . Для упрощения
вычислений систему уравнений с избыточным числом уравнений( по
отношению к числу неизвестных) образовывать не будем.
Итерация 1
𝑋𝑆(0) = 6616 м
𝑌𝑆(0) = 9147,5 м
𝑍𝑆(0) = 1317,8 м
14
Точки 2,4: 𝑙2 = 112,021 мм; 𝐿2 = 1862,4758 м;
𝑙4 = 75,100;
𝐿4 = 1229,1021.
−393 × ∆𝑋𝑆 − 965 × ∆𝑌𝑆 + 2322 × ∆𝑍𝑆 = −19088,43
Точки 1,3: 𝑙1 = 91,303;
𝑙3 = 107,149;
𝐿1 = 1505,3735;
𝐿3 = 1728,603.
−98 × ∆𝑋𝑆 − 590 × ∆𝑌𝑆 + 2311 × ∆𝑍𝑆 = −22810,02
Точки 1,4: 𝑙1 = 91,303;
𝐿1 = 1505,3735;
𝑙4 = 75,100;
𝐿4 = 1229,1021.
−368 × ∆𝑋𝑆 + 707,5 × ∆𝑌𝑆 + 2302,7 × ∆𝑍𝑆 = 18372.
∆𝑋𝑆 = −42,02 м
∆𝑌𝑆 = 22,96
∆𝑍𝑆 = −5,79
Итерация 2
𝑋𝑆(1) = 6574
𝑌𝑆(1) = 9170,5
𝑍𝑆(1) = 1312
Точки 2,4: 𝑙2 = 112,021;
𝑙4 = 75,100;
𝐿2 = 1857,4448;
𝐿4 = 1215,5521.
−477 × ∆𝑋𝑆 − 899 × ∆𝑌𝑆 + 2310,4 × ∆𝑍𝑆 = −3164,1
Точки 1,3: 𝑙1 = 91,303;
𝑙3 = 107,149;
𝐿1 = 1534,9083;
𝐿3 = 1687,1668.
−182 × ∆𝑋𝑆 − 524 × ∆𝑌𝑆 + 2299,4 × ∆𝑍𝑆 = 2100,27
Точки 1,4: 𝑙1 = 91,303;
𝐿1 = 1534,9083;
𝑙4 = 75,100;
𝐿4 = 1215,5521.
−452 × ∆𝑋𝑆 + 773,5 × ∆𝑌𝑆 + 2291,1 × ∆𝑍𝑆 = −752,6.
15
∆𝑋𝑆 = 16,38 м
∆𝑌𝑆 = 1,23
∆𝑍𝑆 = 2,49
Итерация 3
𝑋𝑆(2) = 6590,4
𝑌𝑆(2) = 9181,7
𝑍𝑆(2) = 1314,5
Точки 2,4: 𝑙2 = 112,021;
𝑙4 = 75,100;
𝐿2 = 1850,6985;
𝐿4 = 1223,4727.
−444,2 × ∆𝑋𝑆 − 896,6 × ∆𝑌𝑆 + 2315,4 × ∆𝑍𝑆 = 1743,77
Точки 1,3: 𝑙1 = 91,303;
𝑙3 = 107,149;
𝐿1 = 1528,288;
𝐿3 = 1694,5896.
−149,2 × ∆𝑋𝑆 − 521,6 × ∆𝑌𝑆 + 2304,4 × ∆𝑍𝑆 = −297,87
Точки 1,4: 𝑙1 = 91,303;
𝑙4 = 75,100;
𝐿1 = 1528,288;
𝐿4 = 1223,4727.
−419,2 × ∆𝑋𝑆 + 775,9 × ∆𝑌𝑆 + 2296,1 × ∆𝑍𝑆 = 2138,1.
∆𝑋𝑆 = −7,37
∆𝑌𝑆 = 0,34
∆𝑍𝑆 = −0,53
Итерация 4
𝑋𝑆(3) = 6583
𝑌𝑆(3) = 9182
𝑍𝑆(3) = 1314
Точки 2,4: 𝑙2 = 112,021;
𝑙4 = 75,100;
𝐿2 = 1853,6134;
𝐿4 = 1220,6223.
−459 × ∆𝑋𝑆 − 896 × ∆𝑌𝑆 + 2314,4 × ∆𝑍𝑆 = −719,12
Точки 1,3: 𝑙1 = 91,303;
𝐿1 = 1532,0297;
16
𝑙3 = 107,149;
𝐿3 = 1691,1193.
−164 × ∆𝑋𝑆 − 521 × ∆𝑌𝑆 + 2303,4 × ∆𝑍𝑆 = −69,94
Точки 1,4: 𝑙1 = 91,303;
𝐿1 = 1532,0297;
𝑙4 = 75,100;
𝐿4 = 1220,6223.
−434 × ∆𝑋𝑆 + 776,5 × ∆𝑌𝑆 + 2295,1 × ∆𝑍𝑆 = 21,5.
∆𝑋𝑆 = 1,67
∆𝑌𝑆 = 0,42
∆𝑍𝑆 = 0,18
𝑋𝑆(4) = 6584,67 м
𝑌𝑆(4) = 9182,42
𝑍𝑆(4) = 1314,18
Из-за деформации листа карты точность снятия координат составляет 0,2-0,3
мм, чему на местности соответствует 5-7 м. Вследствие этого итерационный
процесс прекращаем, когда значения искомых поправок ∆𝑋𝑆 , ∆𝑌𝑆 , ∆𝑍𝑆 по
модулю станут меньше указанного предела
Сделать оценку точности искомых величин невозможно, по причине того,
что число исходных уравнений (уравнений поправок) равно числу
неизвестных. Такую оценку можно было бы сделать, взяв другую тройку
уравнений.
Перейдем теперь к вычислению направляющих косинусов 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , а затем и
к определению угловых элементов 𝛼, 𝜔, 𝑘.
Будем использовать все 6 опорных точек (4 основных и 2 дополнительных).
Системы линейных уравнений с тремя неизвестными, отдельно для 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 и 𝑐𝑖 ,
будем решать методом наименьших квадратов. При этом коэффициенты в
таблицах, как это принято, также будем обозначать буквами 𝑎, 𝑏, с (в отличие
от неизвестных, без цифровых индексов), а свободный член – буквой 𝑙. Вид
уравнений поправок см. в (6).
𝑙1 = 91,303 мм;
𝐿1 = 1531,4052 м;
𝑙2 = 112,021;
𝐿2 = 1852,6975;
𝑋𝑆 = 6584,7 м;
𝑙3 = 107,149;
𝐿3 = 1691,6404;
𝑌𝑆 = 9182,4;
17
𝑙1′ = 80,125;
𝐿1′ = 1311,5929;
𝑙2′ = 100,172;
𝐿2′ = 1647,3383;
𝑙4 = 75,100;
𝐿4 = 1221,4199.
𝑍𝑆 = 1314,2.
Система уравнений 1
𝑎
𝑏
𝑐
𝑙
при
𝑎1
при
𝑎2
при
𝑎3
−𝑘(𝑋 − 𝑋𝑆 )
51,5
54,5
-43,3
-23,5
2,6
8,9
-28
68,4
68,6
-13,7
-38,9
71,1
-70
-70
-70
-70
-70
-70
-49,652
-51,866
42,577
24,730
-2,462
-10,660
𝑎𝑎 𝑎1 + 𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑐 𝑎3 + 𝑎𝑙 = 0
𝑎𝑏 𝑎1 + 𝑏𝑏 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑎3 + 𝑏𝑙 = 0
𝑎𝑐 𝑎1 + 𝑏𝑐 𝑎2 + 𝑐𝑐 𝑎3 + 𝑐𝑙 = 0
(18)
8135,61𝑎1 + 169,02𝑎2 − 3549𝑎3 − 7909,7893 = 0
169,02𝑎1 + 16924,63𝑎2 − 8925𝑎3 − 237,5514 = 0
−3549𝑎1 − 8925𝑎2 + 29400𝑎3 + 3313,31 = 0
𝑎1 = 0,97537;
𝑎2 = 0,00828;
𝑎3 = 0,00756;
Система уравнений 2
𝑎
при
𝑏1
𝑏
𝑐
при
𝑏2
при
𝑏3
𝑙
−𝑘(𝑌 − 𝑌𝑆 )
18
51,5
54,5
-43,3
-23,5
2,6
8,9
-28
68,4
68,6
-13,7
-38,9
71,1
-70
-70
-70
-70
-70
-70
32,040
-68,632
-66,989
14,750
39,244
-69,297
8135,61𝑏1 + 169,02𝑏2 − 3549𝑏3 − 51,0942 = 0
169,02𝑏1 + 16924,63𝑏2 − 8925𝑏3 − 16842,678 = 0
−3549𝑏1 − 8925𝑏2 + 29400𝑏3 + 8321,88 = 0
𝑏1 = −0,00505;
𝑏2 = 1,00679;
𝑏3 = 0,02197;
Система уравнений 3
𝑎
𝑏
𝑐
𝑙
при
𝑐1
при
𝑐2
при
𝑐3
−𝑘(𝑍 − 𝑍𝑆 )
51,5
54,5
-43,3
-23,5
2,6
8,9
-28
68,4
68,6
-13,7
-38,9
71,1
-70
-70
-70
-70
-70
-70
69,601
71,752
71,980
69,362
69,813
71,547
8135,61𝑐1 + 169,02𝑐2 − 3549𝑐3 + 3566,4766 = 0
169,02𝑐1 + 16924,63𝑐2 − 8925𝑐3 + 9317,8434 = 0
−3549𝑐1 − 8925𝑐2 + 29400𝑐3 − 29683,85 = 0
𝑐1 = −0,00037;
𝑐2 = −0,02160;
𝑐3 = 1,00305;
Девять направляющих косиносув
независимыми уравнениями
связаны
между
собой
шестью
19
𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32 = 1;
𝑏12 + 𝑏22 + 𝑏32 = 1;
𝑐12 + 𝑐22 + 𝑐32 = 1;
𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 = 0;
𝑏1 𝑐1 + 𝑏2 𝑐2 + 𝑏3 𝑐3 = 0;
𝑐1 𝑎1 + 𝑐2 𝑎2 + 𝑐3 𝑎3 = 0.
(19)
В нашем случае, проверка показывает, что условия (19) приближенно
выполняются.
В соответствии с (7) вычислим угловые элементы внешнего ориентирования
аэроснимка
𝛼 = −0° 26′ ;
𝜔 = −1° 16′ ;
𝑘 = −0° 17′ .
(20)
Вычисление численных значений направляющих косинусов по методу
наименьших квадратов позволяет сделать и оценку точности найденных
величин. Используя системы нормальных уравнений и применяя
стандартную методику вычислений среднеквадратических ошибок
неизвестных, получим следующие результаты:
𝜇
𝑚𝑎 1 = ±
𝑝𝑎 1
;
𝑚𝑎 2 = ±
𝜇
𝑝𝑎 2
;
𝑚𝑎 3 = ±
𝜇
𝑝𝑎 3
;
𝜇=
𝜗2
;
𝑛−3
𝜇 – средняя квадратическая ошибка единицы веса.
𝜗 2 = 𝑙𝑙 + 𝑎𝑙 𝑎1 + 𝑏𝑙 𝑎2 + 𝑐𝑙 𝑎3 – здесь 𝑙𝑙 находится из системы
уравнений поправок; это равенство контролируется путѐм вычисления 𝜗𝑖 , а
затем и 𝜗 2 из уравнений поправок; 𝜗𝑖 - невязка уравнения поправок.
Веса определяемых величин находят по формулам
𝑝𝑎 1 =
∆
∆11
; 𝑝𝑎 2 =
∆
∆22
; 𝑝𝑎 3 =
∆
∆33
, - где ∆ - определитель системы нормальных
уравнений (18), составленный из коэффициентов при неизвестных;
∆11 =
𝑏𝑏
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑎𝑎
; ∆22 =
𝑐𝑐
𝑎𝑐
Тогда: 𝜇𝑎 = ±1.59104;
𝑎𝑐
𝑎𝑎
; ∆33 =
𝑐𝑐
𝑎𝑏
𝑎𝑏
.
𝑏𝑏
𝑚𝑎 1 = ±0,01819;
𝑚𝑎 2 = ±0,01340;
𝑚𝑎 3 = ±0,01044.
20
𝜇𝑏 = ±1.83983;
𝑚𝑏1 = ±0,02104;
𝑚𝑏2 = ±0,01549;
𝑚𝑏3 = ±0,01207.
𝜇𝑐 = ±0.45789;
𝑚𝑐1 = ±0,00524;
𝑚𝑐2 = ±0,00386;
𝑚𝑐3 = ±0,00300.
Теперь можно сделать оценку точности определения угловых элементов.
Считаем, что угловые элементы не коррелируют между собой. Если функция
зависит не более чем от 2-х аргументов (как в нашем случае, см. (7)), то
средняя квадратическая ошибка функции 𝑢 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) определится по
формуле:
𝑚𝑢 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥 1
2
𝑚𝑥21
+
𝜕𝑓
2
𝜕𝑥 2
𝑚𝑥22 ,
(21)
где 𝑚𝑥 1 и 𝑚𝑥 2 – средние квадратические ошибки аргументов.
В соответствии с (7) и (21) для угла α получим:
𝑚𝛼2
=
𝑐3−1
1+(𝑎 3 𝑐3 )2
2
𝑚𝑎23
+
𝑎 3 𝑐32
2
1+(𝑎 3 𝑐3 )2
𝑚𝑐23 ;
(22)
и 𝑚𝛼 = ±35′ . 8
Аналогично 𝑚𝛼 вычислим 𝑚𝜔 и 𝑚𝑘 : 𝑚𝜔 = ±41′ . 5;
𝑚𝑘 = ±1° 12′ .
Имея в виду (20) окончательно запишем:
𝛼 = −0° 26′ ± 36′ ;
𝜔 = −1° 16′ ± 42′ ;
𝑘 = −0° 17′ ± 1° 12′ .
(23)
В заключение сделаем сравнение вычисляемых по формулам (3) и снятых с
топографической карты координат всех 6-и опорных точек, помня о том, что
ошибка в 0,1 мм на карте соответствует 2,5 м на местности.
Разности вычисленных по (3) и снятых с карты координат опорных точек
21
№ точки
1
2
3
4
1′
2′
𝛿𝑋, 𝛿𝑌, м
𝑋выч. − 𝑋исх.
-3,4
+22,5
+3,3
+22,0
-12,5
-32,0
𝑌выч. − 𝑌исх.
+34,6
-25,5
+16,5
-5,6
-28,3
+8,3
34,8
34,0
16,8
22,7
30,9
33,1
𝑅=
(∆𝑋)2 + (∆𝑌)2
Примечания
1. Перед началом численных расчѐтов необходимо проверить по
комбинациям различных пар точек степень соблюдения равенства
[уравнение (4)]. Если при этом вместо 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝐿𝐴 𝐿𝐵 используем
необходимо вместо первой дроби подставить величину
2
1
𝑚Ф
1 2
𝑚Ф
, то
∙ 10−6
[при условии, что все координаты на а/снимке измеряются в мм, а на
местности (или при снятии с топокарты) – в м].
2. Линейные элементы 𝑋𝑆 , 𝑌𝑆 , 𝑍𝑆 лучше определять по способу
наименьших квадратов, составив 6 уравнений поправок (при 6-и
опорных точках) итерационного способа Ньютона. Далее, как обычно,
составляются и решаются 3 нормальных уравнения для 3-х искомых
поправок ∆𝑋𝑆 , ∆𝑌𝑆 , ∆𝑍𝑆 . В этом случае возможна корректная оценка
точности искомых элементов.
3. Были произведены аналогичные описанным выше расчѐты, при тех же
исходных данных, только при 𝑓 = 100 мм. Расхождения между
вычисленными и исходными положениями опорных точек
уменьшились в среднем на 3,5%. Таким образом, из двух значений 𝑓:
𝑓 = 70 мм и 𝑓 = 100 мм предпочтение надо отдать последнему
значению 𝑓 = 100 мм [для а/снимка № I (Федянин М.Р.)].
22
Содержание
Системы координат применяемые в фотограмметрии…………………..2
Элементы ориентирования одиночного снимка …………………...……3
Аналитическое трансформирование снимков …………………………...5
Определение элементов ориентирования снимка .………………………7
Определение элементов внешнего ориентирования снимка…………....8
Математические методы, применяемые при решении
фотограмметрических задач……………………………………………...10
7. Пример определения элементов внешнего ориентирования одиночного
аэроснимка (обратная фотограмметрическая засечка)…………………13
Примечания………………………………………………………………..23
1.
2.
3.
4.
5.
6.
23
Литература
1. Обиралов А.И., Лимонов А.Н., Гаврилова Л.А. Фотограмметрия.-М.:
Колосс, 2002.-240 с.
2. Бруевич П.Н. Фотограмметрия.-М.: Недра, 1990.-285 с.
3. Турчак Л.И. Основы численных методов.-М.: Наука, 1987.-318 с.
24