Делимость чисел Делителем натурального числа а называют

1. Делимость чисел
Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
Количество делителей конечно.
Например: 1, 2, 3, 4, 6, 12 делители числа 12
Единица – делитель любого числа.
Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.
Числа 8,16, 24, 32,… являются кратными числу 8.
Любое число имеет бесконечно много кратных.
Признаки делимости на 10, на 5, на 2
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.
Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без
остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно (не
делится без остатка на 2).
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится на 5. Если же
запись оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Признаки делимости на 9, на 3
Если сумма цифр натурального числа делиться на 9, то это число делится без остатка на 9. Если
сумма цифр натурального числа делиться на 3, то это число делится без остатка на 3.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это
число.
Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.
Единица ни простое, ни составное.
Дополнительные сведения
Пифагор (VI в. до н.р.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число равное сумме всех
его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например: числа 6
(6=1+2+3), 28 (28=1+2+4+7+14) совершенные. Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33
550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое – 8128 – стало
известно в I в. н. э. пятое – 33 550 336 – было найдено в XV в. к 1983 г. было известно уже 27
совершенных чисел, но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли
самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо
может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа – это как бы
кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются
неравномерно – в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Но чем дальше мы
продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа, Возникает вопрос:
существует ли последние (самое большое) простое число? Древне греческий математик Евклид
(III в. до н. э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным
учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым
числом есть еще большее простое число.
Для отыскания простых чисел древний греческий математик того же времени Эратосфен
придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал
единицу, которая не является ни простым, ни составным, затем вычёркивал через одно все числа,
идущие после 2 (числа, кратные 2,т. е. 4,6,8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3.
Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6,9,12 и т. д.). В
конце концов, оставались только простые числа:
1
11
21
31
41
51
2
12
22
32
42
52
3
13
23
33
43
53
4
14
24
34
44
54
5
15
25
35
45
55
6
16
26
36
46
56
7
17
27
37
47
57
8
18
28
38
48
58
9
19
29
39
49
59
10
20
30
40
50
60
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа
не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминало решето.
Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые
числа от составных
Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59.
Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью
вычислительных машин.
Наибольший общий делитель (НОД)
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим
общим делителем этих чисел.
Правило нахождения НОД
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их
на простые множители; 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел,
вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся
множителей.
Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Например:
Найдём наибольший общий делитель 24 и 35.
Делителями 24 будут 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель – число 1.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и a и, b.
Правило нахождения НОК
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие
множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.