3.5. Альтернативный МНК комплекснозначной эконометрики В

3.5. Альтернативный МНК комплекснозначной эконометрики
В регрессионном анализе задача оценивания коэффициентов
регрессионных моделей рассматривается применительно к простым
линейным однофакторным моделям, после чего, усложняют задачу, переходя
к нелинейным функциям. Поэтому и в случае эконометрии комплексных
переменных начнѐм решение задачи для простой линейной модели
комплексных переменных. Эта модель, чьи параметры необходимо оценить с
помощью МНК, имеет вид:
yrt
iyit
(a0 ia1 ) (b0 ib1 )( xrt
ixit )
.
(3.5.1)
Комплексная дисперсия этой модели будет иметь такой вид:
f ( z)
2
yrt iyit (a0 ia1 ) (b0 ib1 )( xrt ixit )
t
Yt
2
A BX t
(Yt 2 A2
t
B 2 X t2 2 AYt
2BYt X t
2 ABX t ))
t
.
(3.5.2)
Рассмотрим каждое из слагаемых правой части последнего равенства
по отдельности с учѐтом свойств комплексных чисел.
Yt 2
iyit ) 2
( yrt
t
yrt2
t
t
A2
(a0 ia1 ) 2
t
yit2 i 2
a02
t
t
(b0 ib1 ) 2 ( xrt
t
ixit ) 2
2
rt
b
x
2
rt
b
2
0
x
xrt2 b0b1
AYt
t
2
1
(3.5.4)
(bo2 b12 i 2b0b1 )( xrt2
x
2
it
b
x
t
t
2
2
it
b
t
i 2 b0b1
,
xit2 i 2 xrt xit )
t
2
1
t
(3.5.3)
a0 a1
t
t
2
0
,
t
a12 i 2
t
B 2 X t2
yrt yit
t
xit2 b02
t
2
4b0b1
t
xrt xit b12
t
(a0 ia1 )( yrt
xrt xit
(3.5.5)
t
xrt xit ,
t
iyit )
t
2a0
yrt
t
2a1
yit
t
i
2a1
yrt
t
2a0
yit
t
,
(3.5.6)
2
BYt X t
2
t
2b0
xrt yrt
2b1
t
i
(b0 ib1 )( yrt iyit )( xrt ixit )
t
xrt yit
2b0
xrt yit
xit yit
ABX t
2
xit yrt
xrt yrt
t
2b0
t
t
2b1
t
2b1
t
2
2b0
t
xit yrt
2b1
xit yit
t
,
t
(a0 ia1 )(b0 ib1 )( xrt
(3.5.7)
ixit )
t
2a0b0
xrt
2a1b1
t
xrt
2a1b0
xit
t
i 2a1b0
xrt
2a0b1
t
2a0b1
t
xrt
xit
t
2a0b0
xit
t
2a1b1
t
xit
.
t
(3.5.8)
Подставляя в комплексную дисперсию (3.5.2) различные значения
коэффициентов комплекснозначной модели, будут получены разные
значения комплексных дисперсий. Поскольку комплексные числа сравнивать
друг с другом нельзя, то нельзя и предложить выбрать такую комбинацию
коэффициентов, при которой, например, комплексная дисперсия
минимальна. Понятия минимума комплекснозначной функции не
существует, а значит, не существует и понятия минимума комплексной
дисперсии.
Можно найти минимум действительной части комплексной дисперсии.
Можно найти минимум мнимой части комплексной дисперсии. А вот найти
минимум комплексной дисперсии нельзя. Таким образом, перед нами стоит
задача выбора одного из двух критериев, и задачу в целом на первый взгляд
решить невозможно. Но на самом деле ситуация значительно проще,
поскольку мы имеем дело с комплекснозначной функцией зависимости
комплексной дисперсии от значений комплексных коэффициентов.
Не забегая вперѐд, посмотрим вначале, к чему приведѐт применение
первого критерия – минимума действительной части комплексной
дисперсии. Для этого надо вычислить первую производную действительной
части комплексной дисперсии (3.5.2) и приравнять еѐ нулю.
Вычислим первые производные этой части по каждому из
коэффициентов a0, a1, b0, b1. Воспользовавшись формулами Римана-Коши,
легко вычислить частные производные по a0, затем по a1, b0 и b1:
Re( f ( z ))
a0
Re( f ( z ))
a1
Re( f ( z ))
b0
2(a0 n
yrt
b0
t
2( a1n
xrt2
t
b1
xit )
t
yit b1
t
2(b0
xrt
t
xrt b0
t
xit2 2b1
b0
t
xit )
t
xrt xit
t
xrt yrt
t
xit yit
t
a0
xrt
t
a1
xit )
t
Re( f ( z ))
b1
xrt2
2( b1
xit2 2b0
b1
t
xrt xit
t
xrt yit
t
xit yrt
t
a0
xit
t
a1
xrt )
t
t
Здесь n – количество наблюдений, t=1,2,3,…,n. Приравнивая нулю
каждую из частных производных, и группируя, получим систему уравнений:
yrt
na0 b0
xrt b1
t
xit
t
yit
t
na1 b1
t
xrt
b0
xit
t
xrt yrt
t
xit yit
t
a0
t
xrt yit
a1
t
xit yrt
t
xrt
xit
a1
t
( xrt2
b0
t
a0
t
xit
xit2 ) 2b1
t
xrt
( xrt2
b1
t
xrt xit
t
xit2 ) 2b0
t
xrt xit
.
t
(3.5.9)
Эту систему легко решить, поскольку перед нами четыре уравнения с
четырьмя неизвестными.
Теперь зададимся другим критерием – будем минимизировать мнимую
часть комплексной дисперсии, как комплекснозначной функции от
комплексных коэффициентов. Получим четыре уравнения, соответствующие
четырѐм частным производным:
Im( f ( z ))
a0
Im( f ( z ))
a1
Im( f ( z ))
b0
Im( f ( z ))
b1
2(a1n
yit
b1
xrt
t
2(a0 n
yrt
xrt b1
t
xrt2 b1
xit2
t
2b0
xrt xit
t
xit2 2b1
b0
t
xit )
t
t
xrt2
2(b0
xit )
t
b0
t
2(b1
b0
t
t
xrt yit
t
xrt xit
xit yrt
t
xrt
a0
t
xrt yrt
t
a1
t
xit yit
a0
t
xit )
t
xrt
t
a1
xit )
t
Приравнивая эти частные производные нулю и группируя, получим:
yit
na1 b1
t
yrt
b0
xrt b1
t
xrt yit
t
xit yrt
a0
xit
a1
t
xit yit
t
xit
t
t
xrt yrt
xit
t
na0 b0
t
t
xrt
t
a0
a1
xit2 ) 2b0
t
xit
t
( xrt2
b1
t
xrt
t
xrt
( xrt2
b0
t
xrt xit
t
xit2 ) 2b1
xrt xit
t
.
(3.5.10)
Легко убедиться в том, что перед нами та же самая система, что и
(3.5.9), только последовательность уравнений изменилась в соответствии с
порядком вычисления первых производных по мнимой части
комплекснозначной функции дисперсии (3.5.2).
Оказывается, что любой из критериев даѐт нам одинаковый результат.
Впрочем, как раз именно этот вывод и следует из правила Римана-Коши (в
некоторых работах по ТФКП они называются правилами Даламбера-Эйлера).
Напрямую из формы комплексной дисперсии этот вывод не следует.
Поскольку и в первом, и во втором случаях мы использовали критерий
минимизации суммы квадратов отклонений, то полученный результат можно
назвать комплексным методом наименьших квадратов.
По аналогии с (3.2.10) приведѐм полученную систему уравнений к
виду, удобному для практического применения в тех программных
продуктах, в которых возможны непосредственные действия с
комплексными переменными.
Легко увидеть, что система (3.2.9) равносильна такой системе двух
комплексных уравнений с двумя комплексными коэффициентами:
yrt
iyit
( yrt
(a0 ia1 )n (b0 ib1 )
iyit )(xrt
ixit )
(a0 ia1 )
( xrt
( xrt
ixit ),
ixit ) (b0 ib1 )
( xrt
ixit )( xrt
ixit ).
Если теперь сравнить полученную систему с аналогичного вида
системой, полученной в параграфе 3.2, то легко убедиться в их различии – во
втором уравнении полученной системы нет умножения на сопряжѐнную
переменную, как это получается в стандартном подходе:
yrt
iyit
( yrt
(a0 ia1 )n (b0 ib1 )
iyit )(xrt
ixit )
(a0 ia1 )
( xrt
ixit ),
( xrt ixit ) (b0 ib1 )
( xrt
ixit )( xrt ixit ).
Поскольку
использование
комплексных
переменных
даѐт
исследователю более многообразные варианты моделирования, чем модели
действительных переменных, только моделью (3.5.1) семейство линейных
комплекснозначных моделей не ограничивается. Возможны варианты, когда
вместо комплексного коэффициента используется только действительный
коэффициент или только мнимый коэффициент, а возможно, что вместо
комплексного аргумента используется действительный аргумент или
наоборот – модель комплексного аргумента описывает поведение
действительной переменной. Покажем, как с помощью данного подхода
реализовать комплексный МНК для модели комплексного аргумента:
yt
(a0 ia1 ) (b0 ib1 )( xrt
ixit )
.
(3.5.11)
Комплекснозначная функция, минимум которой соответствует оценкам
МНК коэффициентов линейной модели комплексного аргумента, запишется
так:
f ( z)
yt (a0 ia1 ) (b0 ib1 )( xrt ixit )
2
t
yt
2
A BX t
( yt2 A2
t
B 2 X t2 2 Ayt
2Byt X t
2 ABX t ))
t
.
Рассмотрим каждое из слагаемых правой части последнего равенства
2
по отдельности за исключением квадрата действительной переменной yt ,
поскольку это слагаемое уже приведено к виду, удобному для вычисления
производных:
A2
(a0 ia1 ) 2
t
a02
t
B 2 X t2
t
(b0 ib1 ) 2 ( xrt
t
a12 i 2
ixit ) 2
2
rt
b
x
2
rt
b
2
0
x
xrt2 b0b1
Ayt
2
2
it
b
x
xit2 b02
xit2 i 2 xrt xit )
xrt xit b12
xrt xit ,
t
2ia1
yt )
,
t
2
(3.5.13)
xrt xit
t
t
a0 yt
Byt X t
4b0b1
t
t
(b0 ib1 ) yt ( xrt
t
(3.5.14)
ixit )
t
2b0
xrt yt
2b1
t
2
x
t
t
2
2
1
t
t
2
2
it
b
t
i 2 b0b1
(3.5.12)
t
2
1
t
,
t
(bo2 b12 i 2b0b1 )( xrt2
t
2
0
a0 a1
t
xit yt i
2b1
t
ABX t
2
t
xrt yt
2b0
t
xit yt
,
t
(a0 ia1 )(b0 ib1 )( xrt
(3.5.15)
ixit )
t
2a0b0
xrt
2a1b1
t
xrt
2a1b0
t
i 2a1b0
xrt
2a0b1
t
xit
2a0b1
t
xrt
2a0b0
t
xit
t
xit
2a1b1
t
xit
.
t
(3.5.16)
Вычислим с помощью полученных составляющих первые частные
производные действительной части комплекснозначной функции (3.5.11) по
каждому из коэффициентов a0, a1, b0, b1. Получим четыре уравнения,
соответствующие четырѐм частным производным и четырѐм переменным
рассматриваемой задачи:
Re( f ( z ))
a0
2(a0 n
yt
t
b0
xrt b1
t
xit )
t
Re( f ( z ))
a1
Re( f ( z ))
b0
Re( f ( z ))
b1
2( a1n b1
xrt
b0
t
xrt2
2(b0
xit )
t
xit2 2b1
b0
t
xrt xit
t
xrt2
2( b1
t
xit2 2b0
b1
t
xrt yt
xit yt
t
xrt
a1
xit )
t
xrt xit
t
a0
t
t
a0
t
xit
t
a1
xrt )
t
Приравнивая нулю каждую из производных и группируя, получим:
yt
na0 b0
xrt b1
t
xit
t
0
na1 b1
t
xrt
b0
xit
t
xit yt
t
a0
t
xit
a1
xrt
t
xrt yt
t
a0
t
xrt
a1
t
( xrt2
b1
xit2 ) 2b0
t
xit
( xrt2
b0
t
xrt xit
t
xit2 ) 2b1
t
xrt xit
.
t
(3.5.17)
Аналогичные равенства можно получить, находя частные производные
мнимой части комплекснозначной функции (3.5.16), и приравнивая их нулю
и другими вариантами, которые вытекают из условия Даламбера-Эйлера.
Если теперь сравнить систему (3.5.17) с системой (3.5.9), то можно
убедиться в том, что система (3.5.17) легко получается из (3.5.9), если в
последнюю подставить:
yit
0
.
В целом ряде случаев вместо линейной модели (3.5.10) может
использоваться еѐ более простой аналог - линейная модель комплексного
аргумента без свободного члена:
yt
(b0 ib1 )( xrt
ixit )
.
(3.5.18)
Комплекснозначная функция МНК применительно к этому случаю
будет иметь вид:
f ( z)
yt (b0 ib1 )( xrt ixit )
2
t
( yt2 2Byt X t
B 2 X t2 )
t
.
(3.5.19)
Воспользовавшись (3.5.13) и (3.5.15), найдѐм частные производные
действительной части этой функции по каждому из коэффициентов:
Re( f ( z ))
b0
xrt2 b0
2(b0
t
xit2 2b1
t
xrt xit
t
xrt yt )
t
,
Re( f ( z ))
b1
xrt2
2( b1
xit2 2b0
b1
t
t
xrt xit
t
xit yt )
.
t
Откуда система МНК будет записана в таком виде:
( xrt2
xrt yt b0
t
xit2 ) 2b1
xrt xit
t
xit yt
t
( xrt2
b1
t
xit2 ) 2b0
t
xrt xit
.
t
(3.5.21)
Сравнивая эту систему нормальных уравнений с системой (3.5.9),
можно убедиться в том, что (3.5.21) можно получить и не прибегая к
вычислению производных, а просто приравнивая нулю отсутствующие в
(3.5.18) составляющие.
Покажем теперь на взаимосвязь между задачей МНК для
действительных переменных и комплексных переменных Как известно, для
простой линейной однофакторной модели действительных переменных:
y
a bx ,
система нормальных уравнений МНК имеет вид:
yt
an b
t
xt ,
t
yt xt
a
t
xt
xt2
b
t
.
t
(3.5.22)
Если теперь в эту систему нормальных уравнений подставить вместо
действительных переменных и коэффициентов комплексные переменные и
комплексные
коэффициенты,
то
для
линейной
однофакторной
комплекснозначной функции будет получена та же самая система
нормальных уравнений (3.5.9), что и ранее. Действительно, первое уравнение
системы (3.5.22) при подстановке в него комплексных переменных и
комплексных коэффициентов примет вид:
yrt
t
i
yit
na0 b0
t
xrt b1
t
xit
t
i (na1 b1
xrt
t
b0
xit )
t
.
Откуда, разделяя действительную и мнимую части равенства, получим
первую часть системы МНК (3.5.9):
yrt
na0 b0
xrt b1
t
yit
t
xit
t
na1 b1
t
xrt
t
b0
xit
t
.
(3.5.23)
Второе уравнение системы (3.5.22) при подстановке в него
комплексных переменных и комплексных коэффициентов будет
представлена в виде более сложного уравнения, поэтому разобьѐм еѐ по
отдельным составляющим. Левая часть равенства будет выглядеть после
подстановки так:
( yrt
iyit )( xrt
ixit )
yrt xrt
t
yit xit
t
i(
t
yit xrt
yrt xir )
t
.
t
Первое слагаемое правой части второго уравнения (3.5.22) будет иметь
такой вид:
a0
xrt
a1
xir
t
i (a1
t
xrt2
b0 (
t
xrt
a0
t
xit2 ) 2b1
t
xit )
t
xrt xit
xrt2
i (b1 (
t
, а второе –
xit2 ) 2b0
t
t
xrt xit )
.
t
Группируя в одно равенство действительные составляющие, а в другое
равенство мнимые составляющие, получим ещѐ два уравнения:
xrt yrt
t
xit yit
a0
t
xrt yit
t
xrt
a1
t
xit yrt
t
a0
xit
t
xit
a1
t
( xrt2
b0
xit2 ) 2b1
t
xrt
( xrt2
b1
t
xrt xit
t
xit2 ) 2b0
t
xrt xit
t
.
(3.5.24)
Сведя систему уравнений (3.5.23) и (3.5.24) в единую систему, легко
убедиться в том, что получена система нормальных уравнений МНК для
линейной функции комплексных переменных (3.5.9).
Прямые параллели между методом, предлагаемым в этом параграфе и
МНК, применимым к моделям действительных переменных, является одним
из аргументов, свидетельствующих в пользу рассматриваемого метода, а не
того, который следует из стандартной постановки задачи, принятой в
математической статистике.
Поскольку решение системы из четырѐх уравнений с четырьмя
переменными – не самая приятная задача, процедуру оценки коэффициентов
линейной комплекснозначной функции(3.5.1) с помощью МНК можно и
нужно упростить.
Для этого, осуществив предварительное центрирование исходных
переменных задачи относительно их средних арифметических:
yr'
yr
yr ; yi'
yi
yi ; xr'
xr
xi ; xi'
xi
xi ,
приведѐм модель (3.5.1) к более простому виду:
y 'rt iy 'it
(b0 ib1 )( x 'rt ix 'it ) ,
(3.5.25)
для нахождения коэффициентов которой достаточно решить такую систему
из двух уравнений с двумя неизвестными:
yrt xrt
yit xit
b0
( xrt2
xit2 ) 2b1
xrt xit
yit xrt
yrt xit
b1
( xrt2
xit2 ) 2b0
xrt xit
.
(3.5.26)
Или для непосредственно работы с комплексными переменными:
b0 ib1
( yrt
iyit )(xrt
ixit )
( xrt ixit )( xrt ixit )
.
(3.5.27)
Покажем применимость МНК на условном примере, исходные данные
которого приведены в табл. 3.1. Числитель вышеприведѐнной дроби для
нахождения комплексного коэффициента пропорциональности равен
163,905 i31,048 , а знаменатель равен
129, 681 i6,350 . Комплексный
коэффициент пропорциональности будет равен:
b0
ib1
1,249-i0,301 .
Уместно напомнить, что стандартный подход, который был
использован ранее в параграфе 3.2, давал применительно к этому примеру
другие значения комплексного коэффициента пропорциональности:
b0
ib1
1,257-i0,295
Различия, как видно, не столь значительные, как можно было ожидать,
но они есть. Прежде, чем приступить к выбору одного из двух методов
оценки коэффициентов комплекснозначных моделей – изложенного в
параграфе 3.2 или же изложенного в данном параграфе, обратимся к задаче
корреляционного анализа комплексных переменных.