НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С.А. ГУСЕЙНОВ УДК 539.3

ISSN 19950470. МЕХАНИКА МАШИН, МЕХАНИЗМОВ И МАТЕРИАЛОВ. 2014. № 4 (29)
УДК 539.3
С.А. ГУСЕЙНОВ
Азербайджанский архитектурностроительный университет, г. Баку
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК
В статье исследуется задача о нелинейных колебаниях двухслойных неоднородных прямоугольных пла
стинок. Предполагается, что слои изготовлены из различных неоднородных изотропных материалов и
упругие характеристики являются непрерывными функциями координаты толщины пластинки. При
нимая справедливость гипотезы КирхгоффаЛява для всего элемента, в общем виде получены все ос
новные соотношения и система уравнений движения пластинки с учетом геометрической нелинейнос
ти. Здесь рассмотрена также приближенная расстановка задачи. Подробно исследовано решение задачи
о нелинейном колебании двухслойной квадратной пластинки при шарнирном закреплении краев. Полу
чено аналитическое решение задачи с использованием метода БубноваГалеркина и определена зависи
мость амплитудночастотных характеристик рассматриваемой пластинки. Для конкретного вида
функций неоднородности материала слоев проведены численные расчеты и результаты представлены
в виде характерных графиков.
Ключевые слова: двухслойные пластинки, неоднородный, колебания, метод БубноваГалеркина,
амплитудночастотные характеристики
Введение. Различные задачи об устойчивости и
колебании пластин и оболочек, изготовленных из
однородно упругих материалов в современной на
учной литературе освещено достаточно [1–4].
В [5] исследованы вибрационные процессы
полярно неоднородных ортотропных круговых
пластинок. В [6] рассмотрена задача о колеба
нии двухслойных цилиндрических оболочек из
функционально неоднородного материапа. В
статье [7] исследованы собственные колебания
нанопластинок на основе трехмерной теории
упругости. В [8] исследованы собственные ко
лебания слоистых композитных пластинок с
помощью метода конечных элементов. В [9] ис
следована нелинейная устойчивость и закрити
ческое поведение круговых цилиндрических
оболочек из функционально неоднородного ма
териала под действием эксцентрично приложен
ных нагрузок.
Однако научные исследования, когда конст
рукции изготовлены из неоднородных материалов
и рассматриваются геометрически нелинейные за
дачи, в литературе встречаются редко.
Поэтому в данной статье рассмотрена зада
ча исследования нелинейных колебаний двух
слойных прямоугольных пластинок, слои кото
рого изготовлены из различных неоднородно
упругих материалов.
Постановка задачи. Рассмотрим двухслой
ную прямоугольную пластинку, изготовленную
из изотропного неоднородно упругого матери
ала. Координатная система выбрана следующим
образом: оси ОХ и ОY расположены в средин
ной плоскости, разделяющей слои пластинки,
ось OZ — направлена перпендикулярно им (ри
сунок 1).
64
В общем случае пластинка находится под дей
ствием равномерно распределенных в срединной
плоскости усилий.
Связь между компонентами напряжений и дефор
маций на основе обобщенного закона Гука имеет вид:
(1)
здесь предполагается, что упругие характеристики
материала слоев являются непрерывными функци
ями координаты толщины, т. е:
Используем гипотезу КирхгоффаЛява для всей
толщины элемента пластинки:
(2)
где ε11, ε22, ε12 и x11, x22, x12 — бесконечно малые из
менения деформации и кривизны срединной плос
кости пластинки.
Рисунок 1 — Расчетная схема двухслойной пластинки
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Компоненты усилий и моментов вычисляются
по формулам:
(3)
где h1 и h2 — толщины соответствующих слоев. С
учетом (1), (2) из (3) получим:
(4)
(10)
В общем виде решение системы уравнений
(9) связано с большими математическими труд
ностями. Поэтому, в практике часто использует
ся приближенная постановка задачи. В этом слу
чае предполагается, что в системе (6) можно
отбросить инерционные силы. Тогда эти уравне
ния будут удовлетворены тождественно, если вве
сти функцию напряжений F следующими соот
ношениями:
(5)
(11)
в этих формулах Aijk — обобщенные жесткостные
характеристики.
Как известно [1], уравнение движения прямо
угольных пластинок состоит из следующих:
(6)
Для преобразования уравнений (7), (10) к не
обходимому виду надо выразить eij через Tij и xij из
соотношений (4). Тогда, после некоторых преоб
разований, из (4) находим:
(12)
Подставляя (12) в выражениях (5), для момен
тов получим:
(7)
(13)
где γ1 , γ2 — удельные весы материала слоев; g —
ускорение силы тяжести; u, v, w — перемещения то
чек срединной плоскости по направлениям x, y, z
соответственно.
Используем связь между деформациями и кри
визнами с компонентами перемещений с учетом
геометрической нелинейности:
В этих формулах коэффициенты αij, bij, rij, Rij —
выражаются через обобщенные жесткостные ха
рактеристики.
Подставляя выражения (12), (13) в уравнения
(7) и (10) после некоторых преобразований полу
чим следующую систему уравнений о нелинейных
колебаниях рассматриваемой пластинки:
(8)
(14)
С учетом (4), (5), (8) из (6), (7) получается си
стема нелинейных уравнений движения относи
тельно перемещений рассматриваемой пластин
ки в общем виде:
(15)
(9)
где Li — полученные нелинейные дифференциаль
ные операторы.
Следует отметить, что деформации срединной
плоскости пластинки должны удовлетворять урав
нению совместности деформации:
где di и Di — выражаются через обобщенные жест
костные характеристики пластинки и через L1 —
обозначен следующий нелинейный оператор:
(16)
65
ISSN 19950470. МЕХАНИКА МАШИН, МЕХАНИЗМОВ И МАТЕРИАЛОВ. 2014. № 4 (29)
Таким образом, в приближенной постановке
задачи уравнение нелинейных колебаний пластин
ки получены в виде (14) и (15).
Метод решения задачи. Рассмотрим задачу о
нелинейных колебаниях пластинки при односто
роннем сжатии (Т1 = –Р). При шарнирном зак
реплении краев квадратной пластинки для про
гиба можно принять выражение [2]:
(17)
Подставляя (17) в уравнение (15), частный ин
теграл ее можно представить в виде:
(18)
где введены обозначения:
(23)
где Е10 — модуль упругости материала первого слоя,
σв — верхнее критическое напряжение при одно
стороннем сжатии пластинки [2].
Перейдем к исследованию амплитудночастот
ных зависимостей для рассматриваемой пластин
ки. Принимая приближенное решение уравнения
(22) в виде:
ξ = Acos τ
(24)
И, удовлетворяя условию ортогональности,
1/4 периода функции cos ωt, после некоторых пре
образований получим:
(19)
Решение однородного уравнения (15) будет
иметь вид [2]:
Тогда общее решение уравнения (15) будет
иметь вид:
(25)
где
Для проведения численных расчетов, функции
неоднородности материала слоев принимались в
следующем виде:
(20)
(26)
Уравнению (14) будем решать методом Бубно
ва–Галеркина:
Результаты численных расчетов представлены
на рисунке 2.
(21)
где через L обозначена левая часть уравнения
(14). Подставляя (17) и (20) в (21) после некото
рых преобразований, окончательное дифферен
циальное уравнение, описывающее нелинейные
колебания рассматриваемой пластинки получа
ется в следующем виде:
(22)
где обозначено
Рисунок 2 — График зависимости
амплитудно*частотной характеристики пластинки:
1 — k11 = k12 = k21 = k22 = 0; 2 — k11 = k12 = 0,5; k21 = k22 = 1
66
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
На рисунке 2 построен график зависимости ам
плитудночастотной характеристики пластинки на
основе формулы (25). Здесь пунктирной линией от
мечено решение аналогичной однородной задачи.
Анализ проведенных численных расчетов
показывает, что учет неоднородности свойства
материала слоев может существенно влиять на
поведение конструкции в геометрически нели
нейных задачах.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем /
А.С. Вольмир. — М.: Наука, 1967. — 984 с.
Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек /
А.С. Вольмир. — М.:Наука,1972. — 432 с.
Ломакин, В.А. Теория упругости неоднородных тел /
В.А. Ломакин. — М.: Издво МГУ ,1978. — 245 с.
Алфутов, Н.А. Расчеты многослойных пластин и оболочек
из композиционных материалов / Н.А. Алфутов, П.А. Зи
новьев, Б.Г. Попов. — М.: Машиностроение, 1984. — 264 с.
Старовойтов, Э.И. Деформирование трехслойных элемен
тов конструкций на упругом основании / Э.И. Старовой
тов, А.В. Яровая, Э.И. Леоненко. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2006. — 379 с.
6. Pentaras, D. Polar Orthotropic Inhomogeneous Circular plates.
Vibration Tailoring / D. Pentaras, I. Elishakoff // J. Appl.
Mechanics. — 2010. — Vol. 77, Nо 3. — Рp. 310–319.
7. Vibration analysis of bilayered FGM cylindrical shells /
S.H. Arshad [et all.] //J.Appl.Mechanics. — 2011. — Vol. 81,
Nо 8. — Рp. 319–343.
8. Alibeigloo, A. Free vibration analysis of nanoplate using three
dimensional theory of elasticity / A. Alibeigloo // J.Acta
Mechanica. — 2011. — Vol. 222, Nо 11. — Рр.149–159.
9. Avades K. Sharma Free vibration analysis of laminated
composite plates with elastically restained edges using FEM /
Avades K. Sharma, N.D. Mittal // Central EuropeanJournal of
Engineering. — 2013. — Vol. 3, Nо 2. — Рp. 306–315.
10. Dao Van Dung Nonlinear buckling and postbuckling analysis of
eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical shells
under external pressure / Dao Van Dung, Le Kha Hoa // J. Thin
Walled Structures. — 2013. — Vol. 63. — Рp. 117–124.
5.
Huseynov S.A.
Аbout non*linear vibration two*layer nonhomogeneous rectangular plates
In article reception of a problem about nonlinear vibration of twolayer nonhomogeneous rectangular plates is
investigated. It is considered,that layers are made of various nonhomogeneous isotropic materials and elastic characteristics
are continuous functions of coordinate of a thickness of a plate. Accepting justice of hypothesis KirсhhoffLove for all
element, in a general view all basic parities and system of the equations of movement of a plate taking into account
geometrically nonlinearity are received.In this the approached statement of a problem is considered also. The decision
of a problem on nonlinear vibration of a twolayer strip is in detail investigated at hinged edges. The analytical decision
of a problem is received and dependence of peakfrequency characteristics is defined. For a concrete kind of functions
of heterogeneity of a material of layers numerical results are received.
Keywords: twolayer plates, nonhomogeneous, vibration, peakfrequency characteristics
Поступила в редакцию 03.09.2014.
67