А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 539.2:534.833
А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов
ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
С ГЕТЕРОГЕННЫМИ ПОКРЫТИЯМИ
Аннотация. Сферическая оболочка с покрытиями рассматривается как многослойная вязкоупругая система. Эффективность демпфирования определяется
по результатам динамического расчета свободных колебаний гетерогенной
системы. Исследовано влияние параметров и места расположения покрытий
на характеристику демпфирования оболочки. Результаты исследований могут
быть использованы при практическом проектировании вибродемпфирующих
покрытий.
Ключевые слова: динамический расчет, сферические оболочки, гетерогенные
покрытия.
Abstract. The spherical shell with coatings is considered as multilayered viscoelastic
system. Demping efficiency is defined by results of dynamic design of free fluctuations of heterogeneous system. Influence of parametres and the location of shells on
the shell damping characteristic is investigated. Results of researches can be used at
practical vibration damping coatings designing.
Keywords: dynamic design, sperical shells, heterogeneous coating.
Введение
Одним из эффективных способов снижения уровня вибрации и шума
несущих конструкций в виде оболочек являются многослойные вибродемпфирующие покрытия, состоящие из чередующихся слоев различной жесткости. Чаще всего применяются покрытия, мягкие слои которых выполняются
из вязкоупругих материалов с развитыми диссипативными свойствами при
сдвиговых деформациях. В этом случае несущая конструкция с покрытиями
может рассматриваться как многослойная вязкоупругая гетерогенная система
[1]. Наиболее общей характеристикой эффективности демпфирования при
динамических воздействиях следует считать относительное рассеяние энергии в системе, которое определяется из решения задач о вынужденных или
свободных колебаниях соответствующей вязкоупругой гетерогенной системы. Способы определения этих характеристик при вынужденных и свободных колебаниях подробно рассмотрены в [2]. Так как относительное рассеяние энергии при свободных колебаниях можно оценить, не определяя точно
поле деформаций в гетерогенной системе, что существенно упрощает динамический расчет, то в качестве характеристики эффективности вибродемпфирования будем рассматривать относительное рассеяние энергии при свободных колебаниях сферической оболочки с многослойными покрытиями.
1 Основные уравнения
Рассмотрим свободные колебания замкнутой сферической оболочки,
имеющей радиус срединной поверхности R0 и толщину Н0. На внешней и
внутренней поверхностях оболочки нанесены вибродемпфирующие покрытия общей толщиной Нj, где j = +1, –1 относится к внешнему и внутреннему
покрытию соответственно. Каждое покрытие состоит из чередующихся nj
мягких и жестких слоев. Мягкие слои являются вязкоупругими, работают
142
№ 3 (11), 2009
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
преимущественно на сдвиг и обеспечивают демпфирование колебаний несущей оболочки (рис. 1).
Рис. 1 Элемент оболочки с покрытием
Задача решается в сферической системе координат х1 = α; х2 = β (α –
угол широты, β – угол долготы), х3 – координата, нормальная к срединной
поверхности оболочки.
В самом общем случае уравнения колебаний сферической оболочки
с вибродемпфирующими покрытиями в перемещениях, полученные из общих
уравнений для многослойной гетерогенной системы, приведенных в [1],
имеют очень громоздкий вид. Будем считать, что все слои системы являются
изотропными, для несущей оболочки и жестких слоев покрытий применимы
гипотезы Кирхгофа – Лява. Считаем также, что выполняются гипотезы пологих оболочек. В этом случае уравнения свободных колебаний оболочки с покрытиями принимают следующий вид:

Ак 
   1   k  k  dk2   1   k
2 
Rk
G 
 kn  k 1  k  k 1 
sk 1 


    2 u3   Gk sk1  k 1  k  Rckk u3  


ck 1
2
u3  k   n    k hk


Rk 1
t 2





 k  2u3  k  k 1  k  4u3  kn  k  k  4u3 k   n    0, (1)
 

k  0, j; 2 j; ...; jn j ; j  1;
n


Ak  2
d  1   k   k  d k2    1   k     2   u3 
2  k

k   n  Rk


n 1
Gk ck
s R
k   n  k k



ck
 2u3





u

m
 0.
 k 1 k
3
Rk
t 2


(2)
143
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Здесь введены следующие обозначения: k – номер жесткого слоя покрытия (положительные значения соответствуют слоям внешнего покрытия,
отрицательные – внутреннего покрытия; k = 0 – соответствует несущей оболочке), Rk – радиус средней поверхности жесткого слоя; νk, Ek – коэффициент
Пуассона и модуль упругости материала жесткого слоя; hk, sk – толщины жесткого и мягкого слоев соответственно; Gk – комплексный модуль сдвига для
материалов мягкого слоя; Аk  Еk hk /(1   2k ) – жесткость на растяжение жесткого слоя; d k  hk2 /12 R02 ; ck  sk  0,5(hk 1  hk ) ; k  0, 25 k   sk / k hk –
относительная плотность; k ,  k  – плотность материалов жесткого и мягкого слоев соответственно; m 
n

k  n
k hk 
n 1

k 1n
 k  sk – распределенная мас-
са всего покрытия; k  jn j   1  k  jn j  , где k  jn j  – символ Кронекера;
2 
  
 
1 
  sin 1    sin 
  sin  2  – оператор Лапласа на сфере в гео 
 
  
графических координатах ,  ; t – время; u3 – нормальный прогиб сферической оболочки. Так как покрытия являются достаточно тонкими, то трансверсальной податливостью мягких слоев пренебрегаем и считаем, что нормальный прогиб для всех слоев одинаков.
При выводе системы уравнений (1), (2) рассматривались преимущественно нормальные формы колебаний. Колебания оболочки без изменения ее
объема описываются отдельной системой уравнений и здесь не рассматриваются.
Система уравнений (1), (2) содержит функции k , пропорциональные
относительному изменению объема и связанные с тангенциальными u1( k ) ,
u2( k ) и нормальными u3 перемещениями жестких слоев соотношениями
k 
u ( k ) 
1   (k )

u1 sin   2   2u3( k ) .
sin   
 




(3)
Решение системы уравнений (1), (2) представляем в виде
k  , , t   k  ,   exp(it );
u3 (, , t )  w(, ) exp(it ),
(4)
где ω – комплексная частота свободных колебаний.
Так как формы колебаний k (, ) и w(, ) оболочки должны удовлетворять условиям непрерывности и однозначности на сфере, то представляем
их в виде
k (, )  k  Yl(  m) (, );
w(, )  W  Yl(  m) (, ).
144
(5)
№ 3 (11), 2009
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
cos m
Здесь Yl(  m) (, )  Plm (cos ) 
при l = 0, 1, 2,…, а Plm (cos ) –
sin
m


присоединенные функции Лежандра.
Учитывая, что Yl(  m)  l (l  1)Yl(  m) , после подстановки выражений
(4) с учетом (5) в уравнения (1), получим систему конечно-разностных уравнений относительно k :
1   k W   k  k rk2  k 1  k  ck W  kn 


  k  k 1  ck 1W  k   n    0 k  0, j; 2 j; ...; jn j ; j  1 ,
 
(6)
где   l  l  1 – параметр, характеризующий форму колебаний несущей оболочки;
k 

Gk 1   2k
Ek hk sk
 R2
0
–
безразмерный
 k  0, j, 2 j, ..., jn j ; j  1 ;
rk  R0 R j – безразмерный радиус

комплексный

параметр;
R j  R0 
 0,5 H 0  jH j – средний радиус внешнего (j = 1) и внутреннего (j = –1)
покрытий; r0 = 1.
2 Расчет частот свободных колебаний оболочки с покрытием
Для многослойных регулярных покрытий система уравнений (6) допускает точное аналитическое решение. Пусть внешнее и внутреннее покрытия
являются регулярными, т.е. выполняются соотношения:
sk  s , Gk  G при k  0 ; sk  s , Gk  G при k  0 ;
hk  h j , rk  r j , ck  c j , Ek  E j ,  k   j , при k  j , 2 j , ..., jn j для j  1 .
В этом случае система уравнений (6) принимает вид
1   j W   k   j r j2  k 1  k  c j W  kn



 k  k 1  c j W k   n    0.
 

(7)
Здесь безразмерный комплексный параметр  j , характеризующий относительную жесткость мягких диссипативных слоев на сдвиг, определяется
выражением
j 

r
где G j  G j   1   j


G j 1   2j
E jhjs j
 R2 ,
0
– комплексный модуль сдвига для вязкоупругого ма-
r
териала мягких слоев покрытий; G j   – действительная часть модуля сдвига;
145
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ηj – тангенс потерь, характеризующий диссипативные свойства материала
мягких слоев покрытий.
Решение системы уравнений (7) представим в виде
k  0k  * ,
(8)
где 0k – решение однородной системы уравнений (7) при W = 0; * – частное решение этой системы. Решение однородной системы уравнений ищем
в виде 0k  C exp  k  . Подставляя это решение в (7) и требуя нетривиальности решения однородной системы, получим характеристическое уравнение
для определения комплексного характеристического показателя μj:
ch  j  1 
r j2
2 j
.
(9)


Частное решение принимаем в виде *  1   j W .
Таким образом, общее решение системы конечно-разностных уравнений (6) принимает вид




k  C1 j ch  j k  C2 j ch  j k  1   k W .
(10)
Постоянные С1j и С2j определяются из уравнений (7) при k = j и k = jnj
для j = ±1, которые выполняют роль граничных условий:
С1 j  
r jW  j ch  j n j  ch  j (n j  1)  C2 j
;
sh  j n j  sh  j (n j  1)

C2 j    0 


H  H j  j   

j  1   j  0,5 0  1 
   W .
R0  H 0 n j   




(11)
Здесь  j  h j /(h j  s j ) – коэффициент армирования для внешнего
(j = 1) и внутреннего (j = –1) покрытий.
Θ0 определяется из уравнения (7) при k = 0 с учетом выражений (10)
для Θk при k = ±1.
Подставляя решение (10) в уравнение (2) и требуя, чтобы W ≠ 0, получим уравнение для определения комплексной частоты ω свободных колебаний сферической оболочки с вибродемпфирующими покрытиями в виде
2  М 1F ( j ,  j , n j , ) .
(12)
Здесь M  1  M п M о , где Мп – масса всего покрытия; Мо – масса несущей оболочки;   r  ii , где r , i – действительная и мнимая части
частоты свободных колебаний для соответствующей формы колебаний, которая определяется параметром ξ.
Для случая, когда внешнее и внутреннее покрытия являются регулярными, функция F принимает вид
146
№ 3 (11), 2009
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
F  0 1   0   d02  


j 1,1


jn j


 j r j2  1   j
k  n j d 2j  2  


j 1,1
k j




0j c0j  c0j   j  j  0  



j 1,1

0j c0j c j (n j  1)  j ( jn j   j )  . (13)


Здесь дополнительно введены следующие обозначения:
j 
E j (1   02 )h j
E0 (1   2j ) H 0
; 0j   j  j ; c0j  H 0  s j ; d0  H 02 /12 R02 ; r j  R0 / R j .
За характеристику эффективности вибродемпфирующего покрытия
принимаем безразмерную величину, равную отношению мнимой части комплексной частоты свободных колебаний к ее действительной части для соответствующей формы колебаний
 
i
,
r
(14)
которая при малых колебаниях с точностью до множителя 4π совпадает с величиной относительного рассеяния энергии в рассматриваемой гетерогенной
системе [2]:
св  4 .
(15)
3 Исследование эффективности применения
многослойных вибродемпфирующих покрытий
Для численного исследования рассмотрим оболочку, у которой все характеристики слоев покрытий не зависят от индекса j: s j  s , h j  h ,  j   ,
E j  E . Комплексный модуль сдвига материала мягких слоев G j  G 1  i ,
где G – действительная часть, характеризующая упругие свойства, а η – тангенс потерь, характеризующий диссипативные свойства вязкоупругого материала. Эффективность вибродемпфирования оцениваем безразмерной характеристикой (14). При проведении исследований дополнительно был введен

безразмерный параметр сдвига [1] g  G 1   2

E , характеризующий отно-
сительную жесткость мягких слоев. Коэффициенты Пуассона приняты равными    0  0,3 ; коэффициент армирования в покрытии α = 0,5; отношение
плотностей принималось равным  k  k  0,3 при k = 0, 1, 2, …, n; толщина
покрытия H = 0,2H0. Результаты численных исследований представлены на
рис. 2–7. Значения параметров гетерогенной системы, которые варьировались, указаны на соответствующих рисунках. Если не оговорено особо, то
считается, что покрытие расположено только на внешней поверхности несущей оболочки.
На рис. 2 представлены зависимости характеристики ηω от параметра l,
величина которого характеризует форму изгибных колебаний несущей обо-
147
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
лочки, при различных значениях параметра сдвига g и числе жестких слоев
в покрытии n = 1 и n = 2. Радиус срединной поверхности оболочки принят
равным R0  100 H 0 . Результаты исследований показывают, что эффективность покрытия существенно зависит от параметра сдвига g и номера формы
собственных колебаний l. При малой относительной жесткости мягких слоев
покрытия на сдвиг (g = 10–6…10–4) для l  24 повышение номера формы собственных колебаний при заданном значении тангенса потерь η не приводит
к существенному увеличению характеристики демпфирования. Это связано с
тем, что повышение номера формы колебаний сопровождается одновременным увеличением энергии рассеяния и потенциальной энергии самой системы. Все дальнейшие вычисления проводились для форм колебаний, характеризующихся значением l = 11.
––– n = 1, – – – n = 2
Рис. 2 Зависимость характеристики демпфирования
от формы колебаний при e = 1, η = 0,3
148
№ 3 (11), 2009
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
На рис. 3 представлены зависимости характеристики демпфирования
при различных относительных радиусах срединной поверхности R0 H 0 несущей оболочки. Эффективность покрытия существенно зависит от отношения R0 H 0 и увеличивается при увеличении кривизны несущей оболочки.
При этом максимум характеристики демпфирования смещается в область
больших значений параметра сдвига g.
Рис. 3 Влияние кривизны оболочки на эффективность
демпфирования при e = 1, η = 0,3, n = 1
Влияние относительной жесткости армирующих слоев покрытия

e  E 1   02
 E0 1  2  на величину η
ω
при различных значениях параметра
сдвига g и числе слоев n показано на рис. 4. Увеличение жесткости стесняющих слоев приводит к резкому возрастанию рассеяния энергии. Зависимость
  e  является немонотонной и имеет экстремальный характер, а величина e,
при которой обеспечивается максимальное демпфирование, существенно зависит от параметра сдвига g и числа слоев в покрытии. Увеличение числа жестких слоев в покрытии при его постоянной толщине является эффективным
при малых значениях параметра сдвига g. На рис. 5 для того же покрытия при
относительной жесткости армирующих слоев е = 1 представлены зависимости
характеристики демпфирования от параметра g при различных значениях тангенса потерь η для материала мягких слоев покрытия и числа жестких слоев
в покрытии. Максимальное значение характеристики демпфирования уменьшается при увеличении числа жестких слоев n в покрытии. С увеличением танген-
149
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
са потерь η рассеяние энергии в конструкции увеличивается, а значение параметра сдвига g, при котором обеспечивается максимум характеристики ηω,
практически не меняется. Изменение величины тангенса потерь с η = 0,2 до
η = 0,6 приводит к увеличению максимального значения ηω в 2,5 раза, а при
η = 1 эффективность покрытия увеличивается в 3,5 раза. При возрастании параметра сдвига эффект увеличения демпфирования за счет использования мягких прослоек с бóльшими характеристиками рассеяния уменьшается.
––– n = 1, – – – n = 2, –– · –– n = 3
Рис. 4 Влияние жесткости покрытия на эффективность
демпфирования при e = 1, η = 0,3
––– η = 0,2, – – – η = 0,6, –– · –– η = 1
Рис. 5 Зависимость характеристики демпфирования
от параметра сдвига при различном числе слоев в покрытии
150
№ 3 (11), 2009
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
Влияние числа слоев вибродемпфирующего покрытия на его эффективность показано на рис. 6, 7. Вычисления проводились для несущей оболочки с радиусом срединной поверхности R0 H 0  100 . Суммарная толщина
мягкого и жесткого слоев покрытия принималась постоянной и равной
h  s  0,05H 0 . Сплошными линиями на рис. 6 показаны результаты вычисления характеристики ηω для случая послойного нанесения слоев покрытия на
внешнюю поверхность оболочки. Значение n соответствует числу жестких
слоев в покрытии. Штриховая линия соответствует варианту, когда покрытие
расположено на внешней и внутренней поверхностях оболочки. Анализ результатов показывает, что применение двухстороннего покрытия позволяет
повысить величину характеристики демпфирования (14) в 2,1 раза по сравнению с величиной ηω, которая обеспечивается односторонним покрытием, содержащим один жесткий слой и расположенным на внешней поверхности
оболочки. Применение двухстороннего покрытия для демпфирования прямоугольной в плане пластины приводило к повышению эффективности демпфирования в 2 раза [3]. То что в сферической оболочке этот эффект несколько
больше, объясняется тем, что расположение покрытия на внутренней поверхности является более рациональным, чем его расположение на внешней поверхности. Очевидно, выигрыш в применении двухстороннего покрытия будет тем больше, чем больше его относительная толщина H H 0 .
Рис. 6 Влияние числа слоев и места расположения
покрытия на эффективность демпфирования
151
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Применение двухстороннего покрытия по сравнению с покрытием,
расположенным на внешней поверхности несущей оболочки и состоящим из
двух слоев, является целесообразным при малой относительной жесткости на
сдвиг мягких слоев (g < 10–5). На рис. 7 для того же покрытия представлена

зависимость 21  2 , равная отношению величины характеристики демп1
фирования 2 для оболочки с покрытием, содержащим два жестких слоя,
к величине 1 , вычисленной для оболочки с покрытием, содержащим один
жесткий слой. Покрытия расположены на внешней поверхности оболочки.
Рис. 7 Оценка эффективности применения
покрытия при увеличении числа его слоев
Увеличение числа жестких слоев в покрытии с n = 1 до n = 2 позволяет
в зависимости от величины параметра g и тангенса потерь η повысить характеристику демпфирования в 1,3–3,5 раза. Дальнейшее увеличение числа при
h  s  const также приводит к положительному эффекту, но в меньшей степени. Например, при g = 10–3 и η = 0,3 увеличение числа жестких слоев с n = 1
до n = 2 повышает эффективность демпфирования в 3 раза, увеличение числа
слоев с n = 2 до n = 3 – в 2,5 раза, а увеличение числа слоев с n = 3 до n = 4 –
в 2 раза (рис. 6). При малой относительной жесткости увеличение числа слоев
покрытия приводит к незначительному повышению характеристики демпфирования и является нецелесообразным.
Выводы
Предложенный метод динамического расчета позволяет исследовать
эффективность применения вибродемпфирующих покрытий, содержащих
произвольное число слоев и расположенных на внешней и внутренней поверхностях несущей сферической оболочки. Проведенные исследования и
представленные результаты могут быть непосредственно использованы при
проектировании несущих конструкций в виде сферических оболочек и панелей с покрытиями для снижения шума и обеспечения виброизоляции аппаратуры, расположенной на поверхностях этих конструкций, а также для обеспечения их динамической прочности.
152
№ 3 (11), 2009
Технические науки. Машиностроение и машиноведение
Список литературы
1. Л и т в и н о в , А . Н . Эффективность демпфирования оболочек при помощи многослойных покрытий / А. Н. Литвинов // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. – 2005. – № 5 (20). – С. 178–191. – (Технические науки).
2. Л и т в и н о в , А . Н . Характеристики эффективности вибродемпфирующих покрытий / А. Н. Литвинов // Надежность и качество : труды Международного симпозиума. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2008. – Т. 2. – С. 127–129.
3. Л и т в и н о в , А . Н . Оценка эффективности демпфирования колебаний пластин
слоистыми покрытиями / А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов // АПНО-2003 : труды
Международного симпозиума. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2003. – Т. 1. – С. 91–94.
Литвинов Александр Николаевич
кандидат технических наук, профессор,
кафедра надежности машин и приборов,
заместитель декана факультета
заочного отделения, Пензенский
государственный университет
Litvinov Alexander Nikolaevich
Candidate of engineering sciences,
professor, sub-department of machinery
and devices reliability, vice-dean
of department of correspondence
education, Penza State University
E-mail: pyp@pnzgu.ru
Литвинов Максим Александрович
руководитель группы ФГУП ФНПЦ
«Старт» им. М. В. Проценко
Litvinov Maxim Alexandrovich
Team leader at the Federal State Unitary
Facility Federal Scientific Production
Center “Start” named after M. V. Protsenko
E-mail: pyp@pnzgu.ru
УДК 539.2:534.833
Литвинов, А. Н.
Динамический расчет сферических оболочек с гетерогенными покрытиями / А. Н. Литвинов, М. А. Литвинов // Известия высших учебных
заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2009. – № 3 (11). –
С. 142–153.
153