Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей

Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Мосты и транспортные тоннели»
А. А. Лахтин
Расчет прямоугольной пластины
методом конечных разностей
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ
по теме «Теория упругости»
для студентов дневной формы обучения
направления подготовки 270800.62 — «Строительство»
и 271501.65 — «Строительство железных дорог,
мостов и тоннелей»
Екатеринбург
Издательство УрГУПС
2013
УДК 539.3/8
Л30
Л30
Лахтин, А. А.
Расчет прямоугольной пластины методом конечных разностей : Л30 конспект лекции / А. А. Лахтин. — Екатеринбург :
Изд-во УрГУПС, 2013. — 15, [1] с.
В соответствии с рабочей программой курса «Теория упругости» излагается теория применения метода конечных разностей для решения дифференциального уравнения изгиба
тонкой пластины. Дано применение операторов для определения величины прогибов и внутренних усилий в узлах сетки.
Рассмотрены встречающиеся в инженерной практике условия опирания по контуру пластины, выраженные через конечные разности. Приведен подробный пример расчета пластины изложенным методом. Пособие предназначено для студентов дневной формы обучения по направлению подготовки
270800.62 — «Строительство» и 271501.65 — «Строительство железных дорог, мостов и тоннелей».
УДК 539.3/8
Печатается по решению
редакционно-издательского совета университета
Автор: А. А. Лахтин, профессор кафедры «Мосты и транспортные тоннели», канд. техн. наук, УрГУПС
Рецензент: Н. Г. Горелов, доцент кафедры «Мосты и транспортные тоннели», канд. техн. наук, УрГУПС
© Уральский государственный университет
путей сообщения (УрГУПС), 2013
Оглавление
Применение метода конечных разностей
к расчету прямоугольных пластин ....................................................... 4
Пример расчета прямоугольной пластины.......................................... 10
Библиографический список .................................................................. 15
3
Применение метода конечных разностей
для расчета прямоугольных пластин
К
ак известно [1], расчет тонких упругих пластин сводится к решению краевой задачи для дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластины
∇2∇2w =
∂4 w
∂x
4
+2
∂4 w
2
∂x ∂y
2
+
∂4 w
∂y
4
=
q
,
D
(1)
где w — прогиб произвольной точки срединной поверхности пластины,
q — распределенная нагрузка, перпендикулярная к срединной
плоскости пластины,
D — цилиндрическая жесткость.
Точное решение в аналитической форме этого уравнения возможно лишь в некоторых частных случаях геометрического вида
пластины, нагрузки и условий ее закрепления на опорах. Поэтому
для инженерной практики имеют особое значение приближенные,
но достаточно точные методы решения рассматриваемой краевой
задачи. Одним из достаточно эффективных приближенных методов
является метод конечных разностей (МКР), или как его еще называют — метод сеток. Согласно этому методу вся площадь пластинки
покрывается сеткой линий, точки пересечения которых, называются узлами. За неизвестные принимаются значения прогибов в узлах
сетки. Заменой производных, входящих в уравнение (1), их приближенными выражениями через конечные разности задача решения
уравнения (1) сводится к решению линейных алгебраических уравнений относительно прогибов в узлах.
Вид дифференциального уравнения (1) отличатся от дифференциального уравнения плоской задачи теории упругости лишь заменой функции напряжений — ! на прогиб — w и наличием правой части [2]. Это позволяет воспользоваться полученными для плоской
задачи выражениями уравнений и соответствующих операторов
4
для любого узла сетки (2). При квадратной сетке Δх = Δу = Δ (рис.1)
получим конечно-разностный аналог уравнения (1):
(∇2∇2w )k =
qk
; k = 1,2… N ,
D
где N — число узлов сетки,
qk — средняя нагрузка на площадке ΔхΔу окружающей узел k.
y
y="
i
n
e
a
f
d
k
b
h
g
c
x
l
t
P
m
x="
Рис. 1
Если в узле приложена сосредоточенная сила Fk, то qk =
Fk
∆2k
.
В развернутом виде при равномерно распределенной нагрузке
q конечно-разностный аналог имеет вид:
20 wk − 8( wa + wb + wc + wd ) + 2( we + w f + w g + wh ) +
+ wi + wl + wm + wn = K1
qk ∆ 4
,
Д
(2)
где K1 — весовой коэффициент, зависящий от площади загружения k-го узла.
Формула (2) может быть изображена в виде оператора (рис. 2).
Накладывая последовательно оператор на все точки, расположенные внутри контура пластины, получим систему линейных алгебраических уравнений. Из решения этой системы определяются
величины прогибов во всех внутренних узловых точках.
5
1
(#2#2W)k = 1
2
–8
2
–8
20
–8
2
–8
2
1
= K1
qk "4
D
1
Рис. 2
В уравнениях (2) для точек, ближайших к краю пластины, войдут величины прогибов в узлах, лежащих на краю и за контуром
пластины.
Для их определения рассмотрим характерные случаи опирания пластины.
1. Край шарнирно-опертый (рис. 1, 3.)
y
x
t
p
Wl
Wp
l
Рис. 3
 ∂2 w
∂2 w 
В узле t имеем wt = 0 и M x = − D  2 + µ 2  = 0.
∂y 
 ∂x
6
Поскольку опора в узле t предполагается жесткой в направлении
оси y, то записать
∂2 w
∂y 2
∂2 w
∂x 2
дующий вид:
= 0. Поэтому вместо условия опирания Мх = 0 можно
= 0, что в конечно-разностной форме будет иметь сле-
wb − 2wt + wp
∆2
= 0, т. е. wp = –wl.
Следовательно, величина прогиба в узле за контуром равна величине прогиба в узле, ближайшего к контуру, с обратным знаком.
2. Край жестко защемлен (рис. 1, 4).
y
Wl
l
t
p
Wp
x
Рис. 4
 ∂2 w 
Аналогично предыдущему имеем wt = 0 и  2  = 0. Последнее
 ∂x  t
равенство в конечно-разностной форме
w p − wl
 ∂w 
 ∂x  = 2∆ = 0, откуда wp = wl,
t
т. е. величина прогиба в узле за контуром равна величине прогиба
в узле, ближайшем к контуру.
После вычисления величин прогибов во всех внутренних узлах
сетки с помощью системы уравнений (2) можно вычислить изгибающие и крутящие моменты в этих узлах [1].
7
M x = − D(
∂2 w
∂x
2
+µ
∂2 w
∂y 2
) = 0.
Конечно-разностный аналог для точки k:
 w − 2wk + wd
w − 2wk + wc 
M x ,k = − D  b
+µ a
 = 0.
2
( ∆x )
( ∆y )2


При Δx = Δy = Δ M x ,k = −
D
∆2
[ wb + wd + µ( wa + wc ) − 2(1 + µ )wk ].
Или в виде оператора (рис. 5):
–$
2(1 + $)
Mx, k = –1
–1
x D2
"
–$
Рис. 5
По аналогии M y ,k = −
D
∆2
[ wa + wc + µ( wb + wd ) − 2(1 + µ )wk ]. (4)
–1
My, k =
–$
2(1 + $)
–1
Рис. 6
8
–$
x D2
"
(3)
∂2 w
Крутящий момент M xy = − D(1 − µ )
, конечно-разностный
∂x ∂y
аналог:
M xy ,k = − D(1 − µ )
∂  ∂w 
∂  w −w 
= − D(1 − µ )  b d  .
∂y  ∂x  k
∂y  2∆ 
Окончательно получим
M xy ,k = − D(1 − µ )
− w f + w g + we − wh
4 ∆2
.
(5)
Оператор крутящего момента
1
–1
0
My, k = –
x
D(1 – $)
%"2
1
–1
Рис. 7
9
Пример расчета прямоугольной пластины
Д
ля заданной железобетонной прямоугольной пластины толщиной h = 6 см требуется построить эпюры прогибов w и изгибающих моментов Мх и Му для средних сечений пластины. На площадь
пластины наносим сетку с шагом Δх = Δу = 30 см. (рис. 8)
Пластина нагружена равномерно распределенной нагрузкой
q = 18 кН/м 2 на центральной площадке со сторонами 2Δх × 2Δу (заштрихована на рис. 8) и двумя сосредоточенными силами F = 4 кН
в узлах № 5. Учитывая симметрию пластины и нагрузки относительно указанных на рис. 8 осей, нумерация узлов выполнена также симметрично относительно этих осей.
"y = 30 см
VI
1&
2&
3&
III
II
I
II
III
IV
3
2
1
2
3
V
4&
6
5
4
5
6
VI
5&
3
2
1
2
3
II
III
V
4&
IV
I
"x = 30 см
F = 4 кН
q = 18 кН/м2
F = 4 кН
Рис. 8
Для железобетона Е = 3×104 МПа, µ = 0,15.
10
q = 18 кН/м2
y
x
F = 4 кН
Цилиндрическая жесткость пластины:
D=
Eh3
2
12(1 − µ )
=
3 ⋅103 ⋅ 63
12 ⋅ (1 − 0,152 )
= 55,243 ⋅103 кНм.
Исходя из условий опирания на краях пластины
wI = wII = wIII = wIV = wV = wVI = 0.
Для законтурных точек по шарнирно опертой стороне IV ÷ IV
w4& = –w3, w5& = –w6; по жестко защемленной стороне I ÷ IV w1& = w1,
w2& = w2, w3& = w3.
С помощью оператора рис. 2 записываем исходное дифференциальное уравнение изгиба пластины для каждого внутреннего узла
в конечных разностях.
Узел 1
20 w1 − 8( wI + w2 + w4 + w2 ) + 2( wII + wII + w5 + w5 ) +
+ w1 + w3 + w1 + w3 =
1 ∆ 4 1 18 ⋅10 −4 ⋅ 30 4
= ⋅
q
= 0, 0132.
55243
2 D 2
После преобразований получим:
22w1 – 16w2 + 2w3 – 8w4 + 4w5 = 0,0132.
Узел 2
20 w2 − 8( wII + w3 + w5 + w1 ) + 2( wI + wIII + w6 + w4 ) +
+ w2 + wV + w2 + w2 =
1 ∆ 4 1 18 ⋅10 −4 ⋅ 30 4
= ⋅
q
= 0, 0066;
4 D 4
55243
8w1 – 23w2 + 8w3 – 2w4 + 8w5 + 2w6 = 0,0066.
Узел 3
20 w3 − 8( wIII + w V + w6 + w2 ) + 2( wII + wIV + w VI + w5 ) +
+ w3 − w3 + w3 + w1 = 0;
w1 – 8w2 + 21w3 + 2w5 + 8w6 = 0.
11
Узел 4
20 w4 − 8( w1 + w5 + w1 + w5 ) + 2 ⋅ 4 w2 + w I + w6 + w I + w6 =
=
18 ⋅10 −4 ⋅ 30 4
= 0,0
0263;
55243
–16w1 + 8w2 + 20w4 – 16w5 + 2w6 = 0,0263.
Узел 5
20 w5 − 8( w2 + w6 + w2 + w4 ) + 2( w3 + w3 + w1 + w1 ) +
+ wII + w VI + wII + w5 =
1 18 ⋅10 −4 ⋅ 30 4 4 ⋅ 302
+
= 0, 0784;
⋅
2
55243
55243
4w1 – 16w2 + 4w3 – 8w4 + 21w5 – 8w6 = 0,0784.
Узел 6
20 w6 − 8( w3 + w VI + w3 + w5 ) + 2( w2 + w V + w V + w2 ) +
+ w3 − w6 + wIII + w4 = 0;
4w2 – 16w3 + w4 – 8w5 + 19w6 = 0.
Полученная система уравнений:
22w1 – 16w2 + 2w3 – 8w4 + 4w5 = 0,0132;
8w1 – 23w2 + 8w3 – 2w4 + 8w5 + 2w6 = 0,0066;
w1 – 8w2 + 21w3 + 2w5 + 8w6 = 0;
16w1 + 8w2 + 20w4 – 16w5 + 2w6 = 0,0263;
4w1 – 16w2 + 4w3 – 8w4 + 21w5 – 8w6 = 0,0784;
4w2 – 16w3 + w4 – 8w5 + 19w6 = 0.
Система уравнений в матричной форме: Rw = Rq ,
12
 22 −16 2

−23 8
 8
 1
−8 21
где R = 
0
 −16 8
 4
−16 4

4
−16
 0
 w1 
0
 0, 0132 
 



w
2
 2
 0, 0066 
 w3 
 0 
8
; w =  ; Rq = 
.
20 −16 2 
 w4 
 0, 0263 
w 
0, 0784 
−8 21 −8 
 5



1
−8 19 
 w6 
 0 
−8
4
−2
0
8
2
Решив систему уравнений на ЭВМ или с помощью обратной матрицы, получим значение вектора перемещений узлов пластины.
 0, 01283 


 0, 01123 
 0, 00545
w=
 см.
0, 02339 
 0, 02151


 0, 01005
Эпюра перемещений узлов в сантиметрах для средних сечений
пластины I–I и VI–VI изображена на рис. 9.
I
0,01283
2
3
0,02339
1
2
VI
6
5
0,01005
4
0,02151
0,02339
0,02151
VI
0,01005
1
3
0,01283
I
Рис. 9
С помощью операторов рис. 5 и 6 или по формулам (3) и (4) вычисляем изгибающие моменты Мх и Му в узлах средних сечений
пластины.
Изгибающие моменты Мх в сечении VI–VI.
13
M x,4 = [ − w5 + 2(1 + µ )w4 − w5 − µw1 − µw1 ] ×
D
=
∆2
= [ −2 ⋅ 0, 02151 + 2(1 + 0,15) ⋅ 0, 02339 − 2 ⋅ 0,15 ⋅ 0, 01283] ×
×
55243
302
= ( −0, 04302 + 2,3 ⋅ 0, 02339 − 0, 00385) ⋅ 61,38 = 0, 425
кНсм
;
см
M x,5 = [ − w4 + 2,3w5 − w6 − 2µw2 ] × 61,38 =
= ( −0, 02339 + 2,3 ⋅ 0, 02151 − 0, 01005 − 0,3 ⋅ 0, 01123) ⋅ 61,38 =
= 0,777
кНсм
;
см
M x ,6 = [ − w5 + 2,3w6 − wVI − 2µw3 ] × 61,38 =
= ( −0, 02151 + 2,3 ⋅ 0, 01005 − 0 − 0,3 ⋅ 0, 00545) ⋅ 61,38 =
кНсм
= −0, 00184
;
см
Mx, VI = 0.
Эпюра изгибающих моментов Мх в
кН × см
изображена на рис. 10.
см
0,00184
VI
0,00184
5
4
5
6
6
0,777
0,425
VI
0,777
Рис. 10
Изгибающие моменты Му в сечении I–I
M y,4 = [ −µw5 + 2,3w4 − µw5 − w1 − w1 ] × 61,38 =
= ( −2 ⋅ 0,15 ⋅ 0, 02151 + 2,3 ⋅ 0, 02339 − 2 ⋅ 0, 01283) ⋅ 61,38 =
= 1,331
14
кНсм
;
см
M y ,1 = [ −µ2w2 + 2,3w1 − w I − w4 ] × 61,38 =
= ( −0,3 ⋅ 0, 01123 + 2,3 ⋅ 0, 01283 − 0 − 0, 02339 ) ⋅ 61,38 =
= 0,169
кНсм
;
см
M y , I = [ −µ2w II + 2,3w I − 2w1 ] × 61,38 =
= ( 0 + 0 − 2 ⋅ 0, 01283) ⋅ 61,38 = −1, 575
Эпюра Му в кНсм
.
см
кН ⋅ см
изображена на рис. 11.
см
I
1,575
–
1 0,169
1,331
4
+
1
0,169
–
1,575
I
Рис. 11
Библиографический список
1. Александров. А.В,. Потанов В. Д. Основы теории упругости и пластичности. — М. : Высш. шк., 1990. — 400 с.
2. Лахтин А. А. Расчет балки-стенки методом конечных разностей. — Екатеринбург : УрГУПС, 2009. — 22 с.
15
Учебное издание
Лахтин Александр Алексеевич
Расчет прямоугольной пластины
методом конечных разностей
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ
по теме «Теория упругости»
для студентов дневной формы обучения
направления подготовки 270800.62 — «Строительство»
и 271501.65 — «Строительство железных дорог,
мостов и тоннелей»
Редактор С. В. Пилюгина
Верстка А. В. Трубин
Подписано в печать 26.06.13. Формат 60×84/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,9.
Тираж 80 экз. Заказ 92.
Издательство УрГУПС
620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66