Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 7 Алексей Львович Семенов 1 1 22.10.2014 План • • • • Пространства определимости Доказательства неопределимости Автоморфизмы Достаточность (полнота) автоморфизмов • Примеры 2 Пространства определимости В логическом языке есть равенство Отношение R(X) определимо в структуре S = < A, ∑ > – существует формула логики отношений сигнатуры ∑, задающая в структуре S отношение R. (R – n-местное отношение, все свободные переменные формулы имеют номера не больше n.) Можно начинать с множества отношений R на A (без имен), дать им имена, построить структуру... Множество всех определимых отношений мы называем замыканием R , или пространством отношений, порожденным R . Отношение включения, операции объединения и пересечения – были определены (аналогично линейным подпространствам) и т.д. Различные терминологии… 3 Пространства отношений • Как доказать определимость? – Предъявить формулу – Мы определяли экспоненту через сложение и умножение. • Как доказать неопределимость? – Невозможность вообще сложнее устанавливать. – Иррациональность корня из двух, несчетность континуума. • Задача: Можно ли определить порядок целых чисел через сложение? – Смена знака сохраняет сложение и не сохраняет порядок. – Что значит «сохраняет»? 4 Автоморфизмы • Неопределимость порядка через сложение: автоморфизм <Z,+ > – смена знака φ(x) = - x • Можно ли определить сложение через порядок ? – Автоморфизм < Z, < > –сдвиг (+1): φ(x) = x+1 • Как быть в случае натуральных чисел? – Есть ли автоморфизмы у < N,{<} >, например? 5 Конец XIX – начало XX столетия, Италия Основания арифметики и геометрии Марио Пьери 22.06.1860 – 01.03.1913 Джузеппе Пеано 27.08.1858 – 20.04.1932 1908 Точка и сфера Полная аксиоматизация Евклидовой геометрии на основе понятий точки и равноудаленности двух точек от6 третьей Конец XIX – начало XX столетия, Италия Основания арифметики и геометрии 1900 • Алессандро Падоа • 14.10.1868 – 25.11.1937 Международный философский конгресс Эссе алгебраической теории целых чисел, предваряемое логическим введением во всякую дедуктивную теорию Второй международный конгресс математиков Новая система определений для Евклидовой геометрии 7 Падоа • Параллель между – аксиоматическим методом, при котором теоремы выводятся из аксиом и – определением одних понятий из других Метод Падоа, 1900 Чтобы доказать, что система неопределенных символов не сводится к системе недоказанных предложений [аксиом], необходимо и достаточно найти для каждого из неопределенных символов интерпретацию системы неопределенных символов, которая удовлетворяет системе недоказанных предложений [аксиом] и которая удовлетворяет ей при изменении смысла только этого символа 8 1920-1930-е, Польша (Россия, Пруссия) Основания логики Польская школа логики: СтанИслав Лесневский, Ян Лукасевич, Вацлав Серпинский… Альфред Тарский 14.01.1901 – 26.10.1983 Адольф Линденбаум 9 12.06.1904 – 1941, Поняры Геометрия Примитивными понятиями Геометрии Тарского являются: • Точка • Два отношения между точками: – Трехместное отношение «лежать между» – Четырехместное отношение: «конгруэнтность пар точек» Использование метода Падоа • Линденбаум и Тарский: в геометрии не существует семейства бинарных отношений, через которые можно определить все остальные. • Выбор Пьери одного трехместного отношения является, в некотором смысле, оптимальным. 10 Напоминание. Элементарная подструктура и элементарное расширение • a – набор (вектор, цепочка) < a1, ..., ak >, и т. д. • M = ⟨D,Σ,Зн⟩, D1 ⊆ D. • Подструктура M1 = ⟨D1,Σ,Зн1⟩, отображение Зн1 является ограничением Зн на D1. • M1 – элементарная подструктура M : M Φ(a) ⇔ M1 Φ(a) для любых Φ и наборов a ∈ D1* . M – элементарное расширение M1. Очевидно, M эквивалентна M1. Обозначение M1 ≺ M 11 ТЕОРЕМА СВЕНОНИУСА Пусть M = < A, Σ { R } > – счетная структура .Следующие два условия эквивалентны: (i) R не определимо в <A, Σ >, (ii) существует счетное элементарное расширение M′ = < A′, Σ { R } > структуры M и автоморфизм < A′, Σ > , не сохраняющий R. Ларс Свенониус 1927 - 27.09.2010 Т. е., метод автоморфизмов универсален. 12 Доказательство В доказательстве мы построим цепочку элементарных расширений и автоморфизмов. Задача. Отношение ≺ транзитивно. Утверждение 1. Пусть M0 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . – цепочка структур. Тогда для любого j : Mj ≺ i Mi = M′. Доказательство (Задача) (Все, что есть в пределе, возникло когда-то до предела.) В формулах будут встречаться имена предметов не из сигнатуры, специально это не отмечаем. Th(M) – множество утверждений, истинных в M , возможно, содержащих имена элементов из D. Доказательство (ii) ⇒ (i). Задача. Если определимо, то сохраняется при автоморфизмах. (контрапозиция утверждения). Идея: если R(x) выражается в M формулой (в сигнатуре Σ), то в M′ оно выражается той же формулой… 13 • Доказательство (i) ⇒ (ii). Будем строить M ≺ M0 ≺ M1 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . и конечные биекции φ0 ⊂ φ1 ⊂ . . . ⊂ φn ⊂ . . . , где φi : Mi → Mi. В процессе построения нам потребуется нумерация элементов структур Mi, будем их нумеровать так, что {a< 0, 0 >, . . . , a< 0, n >, . . . } – все элементы M0, {a< i, 0 >, . . . , a< i, n >, . . . } – все элементы Mi \ Mi−1. (Нумерацию пар можно заготовить заранее.) • Отображения φi будут удовлетворять условию: φi – частичный изоморфизм, то есть для произвольной формулы Q в сигнатуре Σ и набора a элементов области определения φi выполнено (*) Mi Q(a) ≡ Q(φi(a)). Заметим, что из нашего условия следует взаимная однозначность φi, поскольку равенство имеется. 14 • Шаг 0. структура M0. n – число аргументов отношения R. Пусть Q1, . . . ,Qk , . . . – все nместные формулы в сигнатуре Σ. Добавим имена a, b (2n имен). Th(M) {Qi (a) ≡ Qi (b) | i } {¬ R(a) ≡ R(b)} непротиворечива, т. е. имеет модель - M0 . Иначе для некоторого k : (∗∗) M ∀ x, y ((∧ki = 1 (Qi (x) ≡ Qi (y)) → R(x) ≡ R(y)) Задача. Привести (∗∗) к противоречию (используйте Т комп.) Множество Mn разбивается на 2k подмножеств, где Q1,… ,Qk постоянны (для x, y из одного подмножества посылка истинна). (**) утверждает, что отношение R постоянно на каждом из этих подмножеств. Задача. Тогда R было бы определимо. Задача: M ≺ M0 . В модели M0 a, b – получают значения. Определим φ0 так, чтобы φ0(a) = b. Выполнено условие (*) – частичный изоморфизм, не сохр. R. 15 Шаг i. Строим Mi+1 и φi+1. Забываем про R. Поочередно следим за расширением области определения и области значений отображения. i – четно, Пусть область определения отображения φi состоит из m элементов, c – их набор, и a – первый элемент Mi не из c. Пусть Q = Q1, . . . ,Qk, . . . – все (m + 1)-местные формулы в Σ. Обозначения: αj= (Mi Qj (c ,a)), (0, A)= ¬A, (1, A) = A, для конечного набора Qj , (α, Q) - это свертка ∧kj = 1 (αj, Qj). Теория Th(Mi) {(αj, Qj (φi (c), b) | j } непротиворечива (здесь b – новое имя предмета). • Иначе Mi ¬(∃ ∃x (α, Q (φi (c), x))) для некоторого Q. • По индуктивному предположению (*) - φi частичн. изоморф. : ∃x (α, Q (φi (c), x))) , но Mi (α, Q (φi (c), a)) . Mi ¬(∃ Есть модель – Mi+1. Mi ≺ Mi+1 (Задача). Положим φi+1 = φi {< a, b >}. 16 Задача. Построение для нечетного i. Рассмотреть первый элемент не из образа φi… • В качестве структуры M′ возьмем объединение структур Mi, а в качестве отображения φ – объединение отображений φi. Задача. Утверждение (ii) выполнено. □ 17 Пространства определимости • Класс R отношений на D. Имена отношений – ∑, Зн. • Формулы логики отношений в сигнатуре ∑ • Все определимые отношения – замыкание R – пространство определимости – все, что можно «объяснить через R» • Примеры, которые были: – «между» определимо через «больше», – экспонента определима через сложение и умножение натуральных чисел. • Задача. Доказать, что всякое замыкание конечного множества отношений является замыканием одного отношения. • Бескванторная определимость. • Элиминация кванторов – способ описать все определимое. • Было: – Элиминация кванторов в порядке рациональных чисел. – Элиминация кванторов в поле действительных чисел. 18 Автоморфизмы Структура M = 〈 D, ∑, Зн 〉 Автоморфизм φ – биекция (взаимно-однозначное отображение) D на себя, при которой сохраняются все отношения: (Зн P )(a) = (Зн P )(φ(a)) для всякого P из ∑ и всякого a – набора элементов D. Группа Aut (M) Автоморфизмы упорядоченных множеств (порядков) Задача. Каковы группы автоморфизмов порядков N, Z, Q, R ? Задача. Aut ( 〈 Z, + 〉 ) = ? Задача. Aut ( 〈 N+Z, < 〉 ) = ? 19 Автоморфизмы и определимость • Задача. Все определимые отношения сохраняются при автоморфизмах. • Доказательство не-определимости. Указание автоморфизма, не сохраняющего... • Неопределимость порядка через сложение: автоморфизм Z – смена знака • Можно ли определить сложение через порядок ? • Автоморфизм Z – сдвиг (+1): φ(x) = x+1 • Как быть в случае натуральных чисел? 20 Подпространства и надгруппы • Фиксируем множество D. • Будем рассматривать различные пространства определимости на D. • Каждому пространству соответствует группа автоморфизмов, сохраняющих элементы этого пространства – подгруппа группы всех перестановок. • Каждой группе автоморфизмов соответствует пространство определимости, отношения из которого она сохраняет. • Больше отношений – меньше группа. Соответствие Галуа • Было: больше аксиом – меньше моделей. • Берем под-пространство, получаем над-группу. 21 Подпространства в порядке на рациональных числах • xB(y,z) ⇔ (y < x < z) ∨ (z < x < y) – между • C(x,y,z) ⇔ (x < y < z) ∨ (z< x < y) ∨ (y < z < x) – цикл • (x,y)S(zt) ⇔ (zB(x,y) ∧ ¬tB(x,y)) ∨ (¬zB(x,y) ∧ tB(x,y)) ⇔ ⇔(C(x,y,z) ∧¬C(x,y,t)) ∨ (¬C(x,y,z) ∧ C(x,y,t)) – зацепление Задача. Есть ли еще подпространства? Андрей Мучник (24.02.1958 - 18.03.2007) Доказательства: Камерон Фране 22 Различение подпространств Пример. Как устроены подпространства в 〈Q, < 〉? Изучим надгруппы группы ГQ, < – это все монотонно возрастающие биекции. Задача. Установить соответствие между подпространствами, порождёнными =, S, C, B и следующими группами: 1. Группа, порождённая биекциями ГQ, < и сменой знака. 2. Группа, порождённая ГQ, < и отображением, которое перекладывает (меняет местами) два (бесконечных) интервала ( – ∞, α ) и ( α, + ∞ ), то есть монотонно возрастающим образом отображает каждый из них на другой, причём α – иррациональное число, например, π. 3. Группа, порождённая элементами из 1 и 2. 4. Группа всех биекций Q. Задача. Есть ли ещё надгруппы? Задача. Доказать теорему. 23 Теорема Свенониуса • «Теорема полноты» для определимости • Теорема Геделя: все, что истинно во всех моделях, – выводимо. • Теорема Свенониуса: все, что выдерживает автоморфизмы элементарных расширений, – определимо. 24 Определимость в порядке на натуральных числах • Формула Ф(x) с одной свободной переменной. • Модель 〈 N+Z,< 〉 элементарно эквивалентна 〈 N,< 〉. • Сдвиг на 1 в компоненте Z – автоморфизм, значит на второй компоненте Ф постоянна. Значит, верна формула, что начиная с некоторого места Ф истинна, или верна формула, что начиная с некоторого места Ф ложна. • Значит, на N формула Ф(x) также постоянна, начиная с некоторого натурального числа, то есть задает конечное множество или дополнение к нему. • Мы воспользовались автоморфизмом элементарного расширения. • Задача. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для формул с несколькими свободными переменными. 25