Snopov

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к курсу
МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Раздел 5. ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В ТРУБАХ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
для студентов дневного отделения
механико-математического факультета
г. Ростов – на – Дону
2005
1
Методические указания разработаны доктором технических наук,
заведующим
кафедрой
теоретической
гидроаэромеханики,
профессором
А.И. Сноповым.
Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической гидроаэромеханики механико-математического факультета РГУ, протокол № _____
от _____________ 2005 г.
2
Для практически важных случаев решение полной системы уравнений,
описывающих течение жидкости, часто представляет собой весьма сложную
проблему, несмотря на наличие современной вычислительной техники. Обычно
используют различные допущения, следующие из характера изучаемых
потоков и упрощающие постановку задач. Упрощения достигаются, прежде
всего, за счет сокращения пространственной размерности потоков. В ряде
случаев удается пренебречь трехмерностью потоков и рассматривать их как
двумерные (например, плоскопараллельные и осесимметричные потоки) и даже
как одномерные.
Если в потоке возможно выделить направление, вдоль которого скорости
потока значительно больше, чем в поперечном направлении, то такой поток
можно рассматривать как близкий к одномерному и использовать для его
описания так называемую одномерную модель квазиодномерного потока
(потоки в трубах переменного сечения, в руслах рек и т.п. часто
рассматриваются как одномерные потоки).
5.1 Уравнения течения жидкости в трубах переменного
сечения
Ограничимся
рассмотрением
квазиодномерных
потоков
идеальной
жидкости в трубах переменного сечения в условиях, когда влиянием силового
поля на поток можно пренебрегать. Направим вдоль оси потока (в общем
случае криволинейной) ось Ox, рассматривая ее как декартову ось (рисунок 5.1)
(для этого нужно, чтобы радиус кривизны оси Ox был настолько больше
поперечных размеров потока, что кривизной можно пренебречь).
S(x)
O
S(x+x)
x
x
Рисунок 5.1
Принимаем также, что длина трубы гораздо больше, чем ее поперечные
размеры, и считаем, что
vx=vx(x,t), vy<<vx, vz<<vx
3
d vy
dt

d vz
dv
d vx
 x
,
dt
dt
dt
В этом случае уравнения Эйлера и неразрывности, описывающие течение
идеальной баротропной жидкости, в пренебрежении малыми величинами
принимают вид
   ( p)



 div (  v)  0
t

d vx
1 p 


dt
 x 

1 p
0

 y

1 p

0

 z

(5.1)
Как видим, функции p и  являются функциями только x и t.
В уравнении неразрывности необходимо сохранять все слагаемые, так как
это уравнение выражает основной закон природы – закон сохранения массы, и
все слагаемые в нем в общем случае имеют одинаковый порядок. Для
определения пяти неизвестных (p, , vx, vy, vz) имеются фактически только
первые три уравнения. Чтобы сделать задачу корректной (уравнять число
уравнений и число неизвестных), надо исключить из рассмотрения «лишние»
неизвестные vy и vz. Это легко сделать, если использовать интегральную форму
уравнения неразрывности (2.1 [7])



 d  0

div
(

v
)

 t

 
(5.2)
В качестве контрольного объема  примем объем, ограниченный двумя
ортогональными к оси Ox сечениями S ( x ) и S ( x +  x ) , отстоящими друг от
друга на расстоянии  x , и боковой поверхностью трубы  (рисунок 5.1).
Учитываем, что в соответствии с формулой Остроградского-Гаусса
 div  v d     v  dS     v
x
S x  x
S x
4
x
dS    v n d 

Так как v n = 0 на поверхности , то уравнение (5.2) можно записать в виде

  t d    v x dS    v x dS  0

S  x  x 
S x 
Вычислим входящие в это равенство интегралы по теореме о среднем.
Имеем
S x x

  v x S x  x   v x S x  0
t
Разделив все члены уравнения на  x , и перейдя к пределу при
 x  0 , получим
S
 
 v x S   0

t  x
(5.3)
Получили уравнение неразрывности для квазиодномерного потока.
Теперь полная система уравнений для одномерной модели потока идеальной
баротропной жидкости может быть записана в виде (без учета массовых сил)
 vx
 vx
1  
 vx

t
x
 x



 v x S   0 
S

t
x

    p


S  S x 

(5.4)
Так как другие компоненты скорости в одномерной модели течения
жидкости не учитываются, то обычно принимают v x = v .
5.2
Установившиеся
течения
несжимаемой
жидкости
в
трубах переменного сечения
Принимаем  = const,    t  0 , тогда из уравнений (5.4) следует, что
d vx
1 d p


dx
 d x

d
 v x S   0 

dx

vx
Интегрируя эти уравнения, находим
5
(5.5)

v 2x
p
  C1  const

2


 v x S  C2

(5.6)
Первое уравнение есть интеграл Бернулли для одномерного потока. В
отличие от общего случая интеграла Бернулли, содержащего в себе полный
квадрат скорости (v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 ), в одномерном случае в интеграл
Бернулли входит только одна компонента скорости vx. Здесь нет ошибки. Так
как
по
сделанному
нами
допущению
в
квазиодномерном
потоке
vy,vzvx, то в интеграле Бернулли оказались отброшенными величины
второго порядка малости по сравнению с vx2.
Постоянные интегрирования C1 и C2 можно легко определить, если задать
значения vx и p в какой-либо точке потока. Отметим, что
vx 
C2
 S x 
Отсюда следует, что с ростом площади поперечного сечения потока S ( x )
скорость потока vx убывает, а с уменьшением – скорость потока возрастает. В
силу же интеграла Бернулли при этом получаем, что с ростом площади
поперечного сечения потока давление в потоке растет, а с уменьшением –
давление падает.
5.3 Установившиеся течения баротропного газа в трубах
переменного сечения
Принимаем  =  ( p ) ,    t  0 , S = S ( x ) – заданная функция. Здесь надо
решать три уравнения с тремя неизвестными
d vx
1 d p

dx
 d x

d
 v x S   0 
dx

    p

vx
(5.7)
Система уравнений нелинейная. Общее решение этой системы получить
не удается.
6
Исключая из уравнений p и , составим уравнение для vx. Представим
систему уравнений (5.7) в следующем виде
    p
d vx
1 dp

dx
 dx
1 d
1 d vx 1 d S


 d x vx d x S d x
vx





 0

(5.8)
Последнее уравнение получается путем деления обеих частей уравнения
неразрывности на  v x S и раскрытия производной от произведения.
В силу баротропности и уравнения Эйлера (5.8) можем записать, что
d vx
1 d 1 d d p
1 1 d p
1

 2
  2 vx
 dx  dp dx a  dx
dx
a
где a 2 = d p / d  – местная скорость звука (по определению).
При этом последнее уравнение в системе (5.8) принимает вид
v 2x 
1 d v x 
1 dS
1 2  
v x d x 
S dx
a 
(5.9)
Введем в рассмотрение число Маха M = v x / a . Уравнение (5.9) принимает
вид


1 d vx
1 dS
1 M 2  
vx d x
S dx
(5.10)
Это уравнение носит имя Гюгонио. Оно связывает изменение скорости потока
газа вдоль трубы с законом изменения площади поперечного сечения потока.
Уравнение нелинейное относительно неизвестной скорости vx, что затрудняет
его решение. Ограничимся поэтому качественным анализом потока при v x > 0 .
Рассмотрим три случая.
1. M < 1 (поток дозвуковой). Из уравнения Гюгонио следует
при
d S / d x > 0 имеем d v x / d x < 0
при
d S / d x < 0 имеем d v x / d x > 0
7
Таким образом, дозвуковой поток с ростом сечения замедляется, а с
уменьшением сечения ускоряется, то есть ведет себя аналогично потоку
несжимаемой жидкости.
2. M > 1 (поток сверхзвуковой). В силу уравнения Гюгонио
при
d S / d x > 0 имеем d v x / d x > 0
при
d S / d x < 0 имеем d v x / d x < 0
Таким образом, сверхзвуковой поток с ростом сечения ускоряется, а с
убыванием сечения замедляется, чем существенно отличается от дозвукового.
3. M = 1 (местная скорость потока равна скорости звука). Это возможно,
как следует из уравнения Гюгонио, лишь в сечении потока, где d S  d x = 0 , т.е.
там, где S = Sextr.
Из анализа рассмотренных случаев следует, что переход от дозвукового
потока к сверхзвуковому возможен лишь в трубе переменного сечения сперва
сужающейся, а потом – расширяющейся (сопло Лаваля), причем в минимальном сечении потоком должна достигаться скорость звука.
Заметим, что в случаях, когда в некотором сечении потока скорость потока становится равной скорости звука (v = a ), то и само сечение и все параметры потока в нем называются критическими.
Для создания сверхзвуковых потоков с помощью сопла Лаваля надо
выполнить ряд важных условий, налагаемых на давление газа и форму трубы.
5.4 Cопло Лаваля
Качественное исследование работы сопла Лаваля
Ограничимся качественным исследованием течения газа в окрестности
минимального сечения трубы x = x 0 при переходе потока от дозвукового к
сверхзвуковому (количественные исследования требуют учета неодномерности
потока в трубе).
Пусть в минимальном сечении x = x 0 S = S m i n . v x = a к р , a = a к р , .
Разложим S ( x ) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x 0 и ограничимся
учетом первых трех его членов
8
d 2S
 x  x0   2
dx
x  x0
dS
S  x   S  x0  
dx
x  x0 2  
x  x0
Так как d S / d x = 0 при x = x 0 , то можно записать
S x   S min  b x  x0 
2
1 d 2S
, где b 
2 d x2
0
(5.11)
x  x0
Примем также, что в окрестности точки x = x 0
v x = a к р + v  x , a = a к р + a  , где  v  x  ,  a   <<a к р
(5.12)
Между a  и vx существует связь, вытекающая из интеграла Бернулли.
Учитывая, что для совершенного газа  p   = a2 = d p  d  , запишем интеграл
Бернулли (4.15 [9]) в таком виде
2
2
a кр
a кр
v 2x
a2



2
 1
2
 1
(5.13)
Подставляя сюда выражение (5.12) и пренебрегая при вычислениях
малыми высших порядков, получаем
2
a кр
 2 a кр v x
2

2
a кр
 2 a кр a 
 1

2
a кр
2

2
a кр
 1
Откуда следует, что
a  
 1
2
v x
(5.14)
Найдем теперь приближенное значение величины M 2 в окрестности
точки x = x 0 . С точностью до малых высших порядков имеем
M
2
2
aкр
 2 aкр vx
1  2 vx aкр

 
1  2 v x 1  2 a 

2

1  2a  aкр
aкр 
aкр
a2
aкр
 2 aкр a 

v  a 
2 
 1 
 1
1 2 x
1
v x   1 
v x
 v x 
a кр
a кр 
2
a кр


v 2x


При этом
1 M 2  
9
 1
aкр
v x




Можем также записать, что в окрестности критического сечения с
точностью до малых высших порядков
1 d vx
1 d v x

,
vx d x
a кр d x
1 dS
2b
x  x0 

S d x S min
Подставляя полученные выражения в уравнение Гюгонио (5.10),
получаем
 1
2
a кр
d v x
2b
x  x0 .

dx
S min
v x
Интегрируя это уравнение при условии, что v  x ( x 0 ) = 0 , находим
 1
2
2 a кр
v x2 
b
S min
 x  x 0 2
Отсюда следует
v x   a кр
2b
x  x0 
  1 S min
и

v x  a кр 1 


2b
x  x0 
  1 S min

Как видим, через точку ( x 0 , aкр) проходят две интегральные кривые
уравнения Гюгонио (I и II), а сама эта точка является узлом. Как известно,
остальные интегральные кривые располагаются в четырех углах, образованных
пересечениями
линий
I
и
II
(рисунок
5.2).
Интегральным
кривым,
расположенным в нижнем углу, отвечают случаи дозвукового течения газа в
сопле Лаваля. Если поток в сечении x = 0 имеет скорость равную нулю, то эти
кривые должны проходить через начало координат и располагаться тем выше,
чем меньше противодавления (p 1 > p 2 > p 3 > p I I ) на выходе из трубы.
Предельным случаем этих кривых являются нижние ветви интегральных
кривых I и II, лежащие в области v x < a к р . Переход на верхнюю ветвь кривой I
отвечает случаю сверхзвуковых течений (v x > a к р ) и может совершаться лишь
при определенном давлении p I < p I I на выходе из трубы. Если же давление pвых
10
удовлетворяет условию p 1 < p в ы х < p I I , то этому случаю, как видно из рис. 5.2,
должны соответствовать интегральные кривые, заполняющие правый угол.
Непрерывного перехода на эти кривые для сверхзукового потока нет. Поэтому
следует допустить, что такой переход совершается скачком. Положение
сечения x = x , в котором скачок реализуется, теоретически в рамках
исследуемой модели определить нельзя. Заметим лишь, что при сверхзвуковом
течении в трубе давление в струе на выходе из сопла Лаваля (pвых) не совпадает
с давлением окружающей среды (pа) и зависит от характера течения газа в
трубе. Поэтому возможны случаи, когда при одних и тех же значениях ps и pa на
выходе из одной и той же трубы реализуются как сверхзвуковые, так и
дозвуковые потоки. Объяснить эти явления в рамках одномерной модели
невозможно.
vx
pI
aкр
p II
O
x0
x*
ps, s
Ts, as,
vs=0
ресивер
Рисунок 5.2
11
x
Расход газа через сопло Лаваля
Принимаем поток газа через сопло Лаваля квазиодномерным, квазиустановившимся, невязким и адиабатическим и используем для его описания
соответствующие уравнения одномерного течения идеального газа:
vS=const
(5.16)
уравнение неразрывности (5.7) (S – площадь поперечного сечения потока),
v2
 p v 2s
 ps



2
 1 
2
 1 s
(5.17)
интеграл Бернулли для совершенного газа (4.15 9),
p=ps(/s)
(5.18)
уравнение адиабаты Пуассона (4.8 [9]).
Принимаем также, что газ подается из ресивера большого объема под
давлением p s > p a (pa – давление окружающей среды), тогда можно положить
v s = 0 , а интеграл Бернулли (5.17) записать так
v2
 p
 ps


.
2  1   1  s
(5.19)
Учтем, что  p /  = а 2 и представим интеграл Бернулли (5.19) в такой
форме
a s2
v2
a2


2  1  1
(5.20)
Найдем критическую скорость для потока в сопле Лаваля. Положив в
этом уравнении
v = a = vкр = aкр
легко определяем
vкр  aкр  as 2 (  1)
(5.21)
В общем случае скорость потока может быть найдена из уравнения (5.19).
Имеем
v
2 pS
  1 S
12

p S 
1 

p

S


Учитывая, что  ps   s= a s2 и что согласно (5.18)
1
 S  pS 
  ,
  p 

предыдущую формулу можно записать в таком виде
v  aS

2
1  ( p pS )  1 
 1

(5.22)
Если Smin – площадь минимального сечения потока, а p = p d ,  =  d и
v = v d соответствуют этому сечению, то расход газа, протекающего в единицу
времени через сопло, можно определить по формуле
Q =  d v d Smin
(5.23)
Используя формулу (5.18), запишем
 d   S  pd p S 1  
 pS
a
2
S
 pd
pS 
1
,
скорость vd определяем по формуле (5.22), положив в ней p = pd. Для расхода Q
устанавливаем формулу
Q
pS S min
as
2
( pd / pS ) 2 /   ( pd / pS ) ( 1) / 
 1
(5.24)
Эта формула и формула (5.22) справедливы не для всех значений p d  ps.
Действительно, рассматривая Q как функцию аргумента pd, легко убеждаемся в
том, что при pd = ps и p d = 0 расход газа через сопло Лаваля Q обращается в
нуль. Если в первом случае это справедливо, так как при p d = ps нет условий для
создания потока в сопле Лаваля, то при p d = 0
создаются наиболее
благоприятные условия для истечения газа из ресивера и обращение при этом Q
в нуль свидетельствует лишь о том, то формула (5.24) в этом случае перестает
быть справедливой.
Если исследовать функцию Q на экстремум, то легко установить, что Q
2
d
( y  y
достигает максимума при условии
dy
13
 1
 )
 0 , где y  pd / pS .
Выполняя дифференцирование, получаем уравнение для определения значения
y, при котором Q достигает максимума
2

2
y

1
  1 11

y
0

Находим


 1
 2
y  pd p S  

   1
(5.25)
При этом значении y достигается максимальный расход газа через сопло
Лаваля, равный
Qmax
p  S min
 s
aS
 1
 2  2( 1)
  1
(5.26)
а поток в минимальном сечении достигает скорости звука, что следует из
формулы (5.22) при условии (5.25)
v d  aS
2 
2 
2
 aкр
1 
  aS
  1    1
 1
Если противодавление на выходе из трубы pa удовлетворяет условию
p I  p a  p II , то в минимальном сечении скорость потока остается равной
критической и должны сохраняться критическими все параметры потока, а
расход газа должен оставаться равным максимальному Qmax . При этом поток в
трубе не реагирует на изменения противодавления pa , труба «запирается». Как
было пояснено выше, течение газа в трубе в этом случае не является непрерывным, а сопровождается скачками давлений внутри трубы.
Если pa  pI , то газ в трубе разгоняется до сверхзвуковых скоростей в
соответствии с кривой I, а течение газа вне трубы может сопровождаться
скачками давлений.
При pS  pa  pII истечение газа из ресивера совершается в соответствии с законом, устанавливаемым формулой (5.24), и имеют место неравенства
0  Q  Q max
14
Тяга реактивного двигателя
В реактивном двигателе камера сгорания играет роль ресивера, а сопло
Лаваля используется для разгона потока газа до сверхзвуковых скоростей.
Поэтому все формулы, полученные выше, можно применить и для расчета тяги
реактивного двигателя.
Как известно, реактивная сила, действующая на точку переменной массы,
определяется по формуле
Rреакт   u dm dt ,
где u – относительная скорость отделения массы, d m  d t – скорость убывания
массы тела. В рассматриваемом случае
–dm/dt=Q
Если истечение газа происходит в расчетном дозвуковом режиме, то
можно принять u = v и определять v и Q соответственно по формулам (5.22) и
(5.24). Если же истечение газа происходит в сверхзвуковом режиме, то надо
принять Q = Q max, однако определять значение скорости истечения газа по
формуле (5.22) в общем случае нельзя, так как обычно в сопле Лаваля
реализуется нерасчетный режим истечения, проходящий не плавно в
соответствии с кривой I (риунок 5.2), а с наличием скачков в потоке. Поэтому
можем лишь оценить максимальную силу тяги реактивного двигателя
max
Fреакт  Fреакт
 Qmax v max ,
(5.27)
где Qmax вычисляется по формуле (5.26), а vmax определяется из интеграла
Бернулли (5.19) при p = 0 (истечение в вакуум). Точное значение тяги
реактивного двигателя может быть установлено, если поток в сопле Лаваля
рассматривать как двумерный осесимметричный.
При v s =0 максимальная скорость потока равна
v max 
2 κ pS
2
 aS
  1 S
 1
Учитывая при этом формулу (5.26), можем записать
15
(5.28)
max
Fреакт
 pS S min κ
2  2 


 1  1
 1
2 ( 1)
При  = 1 .4 имеем
max
Fреакт
 1,8116 pS Smin ,
при  = 1 .33 имеем
max
Fреакт
 1,9097 pS S min .
,
(5.29)
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. – 840 с.
2. Кочин Н.Е. Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.:
Физматгиз. т. 1,2. 1963.
3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. т. 1,2. 1983.
4. Валландер С.В. Лекции по гидромеханике. Л.: ЛГУ, 1978. – 295 с.
5. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. – 424 с.
6. Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика
жидкости и газа». Раздел 1: «Кинематика жидкости». Ростов-на-Дону:
УПЛ РГУ, 1997. – 35 с.
7. Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика
жидкости и газа». Раздел 2: «Основные математические модели жидких
сред». Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1997. – 35 с.
8. Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика
жидкости и газа». Раздел 3: «Элементы гидростатики». Ростов-на-Дону:
УПЛ РГУ, 1999. – 28 с.
9. Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика
жидкости и газа». Раздел 4: «Общие вопросы гидромеханики идеальной
жидкости». Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1999. – 29 с.
16