http://www.zachet.ru/ Задача 1. Куб, все грани которого окрашены

http://www.zachet.ru/
Задача 1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера,
которые затем перемешали. Найти вероятность того, что случайно извлечѐнный кубик имеет
две окрашенные грани.
Решение.
Общее число кубиков N  64 . Из них M  24 кубика будут иметь две окрашенные грани.
Таким образом, вероятность того, что случайно извлечѐнный кубик имеет две окрашенные
M 24
грани, равна P 

 0.375 .
N 64
Задача 2. На полке в случайном порядке стоит 10 книг, причѐм 4 из них по математике.
Случайно взяли три книги. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна по
математике.
Решение.
Событию «среди них окажется хотя бы одна по математике» противоположно событие
«среди них не окажется ни одной по математике». Найдем вероятность этого события:
6!
С63 3!3! 1
P 3 
 . Тогда вероятность того, что среди случайно взятых трѐх книг окажется
С10 10! 6
3!7!
1 5
хотя бы одна по математике, равна P  1  P  1   .
6 6
Задача 3. В коробке 20 лампочек, причѐм 4 из них на 220 В, а 16 – на 127 В. Половина тех и
других матовые. Случайно взято 2 лампы. Найти вероятность того, что они разного
напряжения и обе матовые.
Решение.
Число вариантов выбрать матовую лампу на 220 В равно n1  2 , число вариантов выбрать
матовую лампу на 127 В равно n2  8 . Число вариантов выбора двух лампочек из 20 –
20!
2
N  C20

 190 .
2!18!
Таким образом, вероятность того, что случайно взятые две лампочки будут разного
n n
2 8
 0.084 .
напряжения и обе матовые, равна P  1 2 
N
190
http://www.zachet.ru/
Задача 4. В спартакиаде участвуют 20 спортсменов: 12 лыжников и 8 конькобежцев.
Вероятность выполнить норму лыжником равна p1  0.8 , а конькобежцем – p2  0.4 .
Случайно вызвано два спортсмена. Найти вероятность того, что они оба выполнят норму.
Ответ ввести в виде десятичной дроби, округлив до 0.001 .
Решение.
Рассмотрим гипотезы:
12!
C122
66
;
H1 – вызвано два лыжника, pH1   2  2!10! 
20!
C20
190
2!18!
8!
C82
14
H 2 – вызвано два конькобежца, pH 2   2  2!6!  ;
20!
C20
95
2!18!
12! 8!

1
C12
 C81 1!11! 1!7! 48
.


H 3 – вызван один лыжник и один конькобежец, pH 3  
2
20!
C20
95
2!18!
Событие A – оба спортсмена выполнили норму.
Тогда p A / H1   p1  p1  0.82  0.64 , p A / H 2   p2  p2  0.42  0.16 ,
p A / H 3   p1  p2  0.8  0.4  0.32 – условные вероятности события A при соответствующих
гипотезах.
Таким образом, по формуле полной вероятности, вероятность того, что оба случайно
ZACHET.RU
3
выбранных спортсмена выполнят норму, равна p A   pH i   p A / H i  
i 1

66
14
48
 0.64   0.16   0.32  0.408 .
190
95
95
http://www.zachet.ru/
Задача 5. Два стрелка A и B независимо друг от друга стреляют поочередно по некоторой
цели, имея по 2 патрона, каждый – до первого попадания одним из стрелков или до полного
израсходования патронов. Вероятность попадания при одном выстреле стрелком A равна
p1  0.2 , а стрелком B – p2  0.4 . Стрельбу начинает A . X – общее число промахов. Найти
(все ответы вводить в виде десятичной дроби): а) ряд распределения X ; б) функцию
распределения F x  , в ответ ввести F 3.5 ; в) mx ; г) Dx (округлить до 0.001 ); д)
P1.5  X  3.5 .
Решение.
а) Найдем вероятности следующих событий.
P X  0  p1  0.2 ,
P X  1  1  p1  p2  1  0.2 0.4  0.32 ,
P X  2  1  p1  1  p2  p1  1  0.2 1  0.4 0.2  0.096 ,
P X  3  1  p1   1  p2  p2  1  0.2  1  0.4 0.4  0.1536 ,
2
2
P X  4  1  p1   1  p2   1  0.2  1  0.4  0.2304 .
Получим ряд распределения:
0
1
2
3
4
X
0.2
0.32
0.096
0.1536
0.2304
P
б) Функция распределения:
 P X  x   0, если x  0,
 P X  x   0.2, если 0  x  1,

 P X  x   0.2  0.32  0.52, если 1  x  2,
F x   
 P X  x   0.52  0.096  0.616, если 2  x  3,
 P X  x   0.616  0.1536  0.7696, если 3  x  4,

 P X  x   0.7696  0.2304  1, если x  4.
2
2
2
2
F 3.5  0.7696 .
5
в) mx   X i Pi  0  0.2  1 0.32    4  0.2304  1.8944 .
i 1
5
г) Dx    X i  mx  Pi  0  1.8944  0.2    4  1.8944  0.2304  2.184 .
i 1
2
2
2
д) P1.5  X  3.5  F 3.5  F 1.5  0.7696  0.52  0.2496 .
http://www.zachet.ru/
2  x 
  1
при 0  x  2,
Задача 6. Задана плотность распределения вероятностей  x    a  a 

вне 0; 2.
0
Найти: а) константу a ; б) функцию распределения F x  , в ответ ввести значения F 1 , F 2 ;
в) mx ; г) Dx ; д) P1  X  2 .
Решение.

2
2  x
2 
x2 
а) Так как   x dx  1 , то получим   1  dx  1 ,   x    1 ,
a  a
a 
2a  0
0

2
2 
22  2 
02 
a  22  0 , a  2 .
a 2  4a  4
  2      0    1 ,
 0,
a 
2a  a 
2a 
2a
2a
x
 t2 
x2
 t
б) F x     t dt   1  dt   t    x  .
2
4 0
4


0
x
F 1  1 
x
22
1 3
1.
 , F 2  2 
4
4 4

2
2

 x 2 x3 
x2 
2 2 23 2
 x
в) mx   x   x dx   x  1  dx    x  dx     
  .
2
 2
 2 6 0 2 6 3

0
0
2

г) Dx 
2
 x 3 5 x 2 14 x 4 
 x
 1  dx     

 dx 
3  2
2
3
9
9
0
2

2
 x  mx    x dx    x  
2

0

2
2
 x 4 5x3 7 x 2 4 x 
2 4 5  23 7  2 2 4  2 2
   

    


 .
9
9
9 0
8
9
9
9
9
 8
3 1
д) P1  X  2  F 2  F 1  1   .
4 4
Задача 7. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, ошибка X которых
распределена нормально, причем mx  0 ,  x  0.2 г. Норма веса заряда 2.3 г. Определить
вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2.7
г. Ответ округлить до 0.001 .
Решение.
Ружье будет повреждено, если ошибка весов будет более 0.4 г.
 A  mx  
1   B  mx 
  

Для нормального закона P A  X  B    
  2  .
2    x 2 
 x

ZACHET.RU
Тогда получим, P0.4  X  

1
 1  0.954  0.023 .
2

 
1   0 
 0.4  0  1
 
  
       2 
2   0.2 2 
 0.2 2  2