Решения для 6

Error! Reference source not found.
1
2
Электронная физико-техническая школа
Решебник для 6-7 класса
1 Перваячастьзадания
Задача №1
Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд
(по прямой). Какой длины оказался ряд?
А. 10 км
Б. 1 м
В. 100 м
Г. 1 км
Решение
Достаточно посчитать объем куба 100см*100см*100см=1000000см3.
Ответ: 10 км.
Задача №2
На окраску кубика 2x2x2 требуется 12 г краски. Сколько краски потребуется,
чтобы окрасить кубик 6х6х6?
Г. 108 г
А. 36 г
Б. 72 г
В. 324 г
Решение
Площадь одной грани кубика 2x2x2 равна 4, а грани кубика 6х6х6 равна 36, то
есть в 9 раз больше. Значит, площадь поверхности кубика 6х6х6 также в 9 раз
больше, то есть краски потребуется в 9 раз больше. 12*9=108.
Ответ: 108.
Задача №3
Экологи запускают в пруд карпов. Сначала – одного, через час – ещё двух, через
два часа – трёх и т.д. Браконьер Петя начинает лов рыбы спустя час после того, как в
пруд был запущен первый карп. В первый час своей рыбалки Петя ловит 1 карпа, во
второй час – двух, в третий час – трёх и т.д. Сколько карпов останется в пруду спустя
сутки после запуска в пруд первой рыбки?
Г. 25
А. 0
Б. 1
В. 24
Решение
Не трудно заметить, что в тот час, когда Петя ловит x карпов, экологи запускают
в пруд x+1 карпа. После того как экологи запустили первого карпа, за сутки они
запустят карпов в пруд еще 24 раза, значит спустя сутки карпов в пруду будет
1+24*1=25.
Ответ: 25 карпов.
Задача №4
Три поросенка хранят в жестяной банке красные, желтые и зеленые леденцы.
Какое наименьшее число леденцов надо взять наугад из банки так, чтобы каждому
поросенку можно было дать по 5 леденцов одного цвета?
А. 15
Решение
Б.19
В. 23
Г. 27
0BРешебник для 6-7 класса
3
Заметим, что среди 13=3*4+1 леденцов всегда найдется пять леденцов одного
цвета. Среди 23 леденцов также есть пять одного цвета, отдадим их первому
поросенку. Останется 18 леденцов, среди них также есть пять леденцов одного цвета,
которые можно отдать второму поросенку. Наконец, среди оставшихся 13 леденцов
также найдутся пять одного цвета, их отдадим третьему.
Покажем, что 22 леденцов может не хватить: если есть 14 красных леденцов, 4
зеленых и 4 желтых леденцов, то невозможно выдать каждому по пять леденцов
одного цвета.
Ответ: 23.
Задача №5
10 игроков играли в теннис. Проигравший игру обижался и уходил. Какое
наибольшее число теннисистов могло выиграть по две партии?
В. 4
А. 2
Б. 3
Г. 5
Решение
В теннисе нет ничьих, пусть за победу дается одно очко. Всего было разыграно 9
очков. Таким образом, одержавших две победы не более четырех. Пример: Пусть
участники пронумерованы от 1 до 10. Участник номер 2 выигрывает у 1 и 3 и
проигрывает 4, 4 выигрывает и 2 и 5, проигрывает 6, 6 выигрывает у 4 и 7,
проигрывает 8-му. Участник 8 выигрывает у 6 и 9.
Ответ: 4 теннисиста.
4
Электронная физико-техническая школа
2 Втораячастьзадания
Задача №1
В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит вдвое
дороже маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая — 5
маленьких и 3 больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше.
Сколько стоит каждая птица?
Решение
Составим уравнение. 5*2х+3*х-20=3*2х+5*х. х=10, значит маленькая птица стоит
10 рублей, а большая - 20 рублей.
Ответ: 10 и 20 рублей.
Задача №2
Тилли, Вилли и Дилли участвовали в легкоатлетическом забеге. В какой-то
момент времени оказалось, что они бегут рядом друг с другом, впереди них бежит
половина участников забега и позади них - треть участников забега. Сколько
спортсменов участвовало в забеге?
Решение
В момент времени, описанном в условии, Тилли, Вилли и Дилли составляют
шестую часть участников забега. Так как все остальные участники составляют 5/6 от
всех (1/2+1/3=5/6), следовательно, количество участников равно 3*6=18.
Ответ: 18 спортсменов.
Задача №3
Глеб написал на доске обыкновенную дробь, а Гриша посчитал сумму ее
числителя и знаменателя. Найдите наименьшее натуральное значение этой дроби,
если у Гриши получилось число 2013.
Решение
Наименьшее натуральное число – 1, но оно получится не могло, поскольку
числитель не может быть равен знаменателю (сумма числителя и знаменателя
нечетна). Число 2 могло получиться: 2=1342/671.
Ответ: 2.
Задача №4
В записи ***5:11 = ** замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное
равенство.
Решение
Последняя цифра частного – 5. Далее заметим, что если первая цифра частного
не больше 8, то делимое будет трехзначным (85*11=935), а так как по условию
делимое четырехзначное, то первая цифра частного может быть только 9.
95*11=1045.
Ответ: 1045:11=95.
Задача №5
0BРешебник для 6-7 класса
5
На шахматной доске стоят ладьи так, что каждая из них бьёт N ладей. При каких
N это возможно? (Ладья бьёт в каждом направлении только ближайшую ладью.)
Решение
Пример для N=1 - две ладьи в одной горизонтали, для N=2 – четыре ладьи в
вершинах прямоугольника. Предположим, что N>2. Выберем из всех ладей самую
нижнюю, если их несколько, то самую правую из них. Эта ладья не может бить вниз
и вправо, поэтому она бьет не более двух ладей.
Ответ: при N=1, 2.
6
Электронная физико-техническая школа
3 Третьячастьзадания
Задача №1
Всегда ли можно к заданному натуральному числу приписать по одной цифре в
начале и в конце так, чтобы получившееся число делилось на 15?
Решение
Припишем в конце 0, тогда число будет делиться на 5. Найдем сумму цифр
числа и допишем в начале 1, 2 либо 3 так, чтобы сумма дописанной цифры и суммы
цифр числа делилась на 3. Тогда число будет делиться на 3 и на 5, то есть на 15.
Ответ: Да, всегда.
Задача №2
На прямой отмечены точки A, B, C, D, причем AB=9, BC=3, CD=2. Чему может
быть равно расстояние между серединами отрезков AB и CD? Укажите все варианты
и объясните, почему нет других.
Решение
Рассмотрим луч AB и возможные расположения точек: DCB, ACDB, ABDC, ABCD,
соответственно, расстояние между серединами AB и CD равно 4.5±3±1, то есть
принимает значения 8,5; 6,5; 2,5; 0,5.
Ответ: 8,5; 6,5; 2,5; 0,5.
Задача №3
Имеется 101 пуговица одного из 11 цветов. Докажите, что либо среди этих
пуговиц найдутся 11 пуговиц одного цвета, либо 11 пуговиц разных цветов.
Решение
Предположим противное: различных цветов не более 10 и пуговиц каждого цвета
не более 10. Тогда всего пуговиц не более 100 – противоречие.
Задача №4
У пяти ребят вместе 60 леденцов. У Алёши леденцов не больше, чем у Бори, у
Бори — не больше, чем у Васи, у Васи — не больше, чем у Гриши, у Гриши не
больше, чем у Димы. Какое самое меньшее количество леденцов может быть у
Алёши и Димы вместе? Не забудьте обосновать ответ.
Решение
Предположим, что у Алеши и Димы не более 14 леденцов, тогда у Димы также не
более 14 леденцов. Значит, у каждого из остальных также не более 14 леденцов и
всего леденцов не более 14*4=56.
Пример:
УАлеши 0 леденцов, у остальных по 15 леденцов.
Ответ: 15.
Задача №5
Имеются 6 различных (однако внешне неразличимых) гирек, веса которых 1 г,
2 г, …, 6 г. На них сделаны наклейки «1 г», «2 г», …, «6 г». Как с помощью всего двух
взвешиваний на рычажных весах убедиться, что все наклейки – правильные?
0BРешебник для 6-7 класса
7
Решение
Проверяем, верно ли, что 1+2+3=6. Если да, то мы точно знаем, что 6 - это 6 и что
{1,2,3} содержит действительно 1, 2 и 3; соответственно, делаем вывод, что {4,5}
содержит действительно {4,5}. Вторым взвешиванием проверяем, что 3+5>1+6.
Поскольку сумма на левой чаше - максимальная из возможных сумм, это однозначно
фиксирует наклейки 3, 5 и 1. Далее определяются 2 и 4.
8
Электронная физико-техническая школа