МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ, ЛОГИСТИКИ И

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
МОДЕЛИ
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ПРОЦЕССОВ, ЛОГИСТИКИ
И РИСКА
Методическое пособие для вузов
2-е издание, переработанное и дополненное
Составители:
Т.В. Азарнова,
Н.Б. Баева
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2008
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики, 11 февраля 2008 г., протокол № 5
Рецензент канд. экон. наук, доцент кафедры информационных технологий
и математических методов в экономике экономического ф-та ВГУ
И.Н. Щепина
В пособии рассматриваются основные приемы моделирования экономических и производственных процессов, логистики и риска. Проводится содержательный анализ данных приемов, рассматриваются примеры использования изложенных моделей в процессе разработки управленческих решений.
Учебное пособие подготовлено на кафедре математических методов исследования операций факультета прикладной математики, информатики и
механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 4 курса дневного отделения и 5 курса вечернего отделения факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Для специальности: 010501 – Прикладная математика и информатика
2
ВВЕДЕНИЕ
Знакомство студентов с широким спектром упражнений и задач,
представляющих собой описание фрагментов типовых ситуаций, возникающих при решении задач математического моделирования экономических и производственных процессов, является важным направлением совершенствования практически полезных навыков прикладного математика.
Основной задачей данного пособия является создание учебной среды, позволяющей научить студентов использовать разнообразные приемы моделирования при решении реальных задач экономической практики.
Учебное пособие содержит три главы, в которых приведен справочный материал, содержащий описание приемов моделирования, и перечень
заданий, выполнение которых в указанном порядке обеспечивает устойчивое овладение данными приемами. Типы заданий охватывают весь круг
прикладных макроэкономических и микроэкономических моделей, читаемых в курсе «Моделирование экономических и производственных процессов» для студентов 4 курса дневного и 5 курса вечернего отделения факультета ПММ. Приложение содержит ряд заданий и упражнений для самостоятельной работы студентов и может быть использовано студентами
для самоконтроля глубины усвоения основ прикладного моделирования
экономических и производственных процессов.
При выполнении заданий, приведенных в данных методических указаниях, следует иметь в виду, что в первую очередь необходимо овладеть
приемами, используемыми в § 1 и § 2. Все остальные задания можно выполнять в произвольном порядке. Внутри параграфов задания приведены в
порядке возрастания сложности разработки их математических моделей.
3
ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. Основные понятия и факты
Экономико-математическое моделирование понимается как направление экономической теории, изучающее закономерности построения анализа, интерпретации и применения для решения практически важных задач
особых объектов, являющихся образами экономических процессов или явлений. Экономические объекты, процессы или явления будем впредь называть оригиналами. Моделирующее отображение оригиналов представимо в виде композиции двух отображений – огрубляющего и гомоморфного. Сначала огрубляющее отображение выделяет в исходном объекте её
составную часть с меньшим числом элементов и связей между ними, а затем гомоморфное отображение переводит подсистему в модель, при этом
может произойти дальнейшее огрубление, т. е. число элементов и связей в
модели может стать меньше, но при этом не происходит искажения структуры или иных характеристик, сохраняющих сущность оригинала. Итак,
иногда модель – это упрощенный образ оригинала, который в процессе
изучения замещает оригинал, сохраняя при этом важные для данного изучения, типичные его черты. Обратный переход от модели к оригиналу называется интерпретацией модели. Одно из достоинств метода моделирования состоит в возможности построения моделей с «удобной» структурой,
что делает исследование модели более легким, чем исследование оригинала. Существует много иных дефиниций понятия – «модель», «моделирование». Наиболее известным и используемым многими исследователями является следующее определение, введенное в [1].
Моделью называется объект искусственно созданный или реально существующий, который с заданной степенью схожести воспроизводит оригинал так, что позволяет получить новую информацию об оригинале.
Моделирование – исследование оригинала с помощью модели.
Разработка модели, таким образом, составляет этап сложного процесса, который содержит и иные этапы – анализ модели, проверка её адекватности оригиналу, выбор исходной информации и проверка её достоверности. Приведем следующую классификацию моделей.
По типу реализации различаются материальные и знаковые модели.
Под материальным моделированием понимают моделирование, при котором исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные
функциональные, динамические и геометрические характеристики изучаемого объекта. При этом выделяют физическое и аналоговое моделирование. Физическим называется моделирование, при котором реальному объекту противопоставляется его уменьшенная или увеличенная копия, до4
пускающая исследование в лабораторных условиях, с последующим переносом свойств изучаемых процессов или явлений с модели на объект на
основе теории подобия. Аналоговое моделирование основано на аналогии
процессов и явлений, имеющих разную физическую природу, но одинаково описываемых формально (схемами, уравнениями и т. п.).
Модели
Материальные
(физические, аналоговые)
Идеальные
(знаковые, интуитивные)
Концептуальные
(вербальные, графические)
Математические
Аналитические
(оператор известен
в аналитической форме)
Численные
(имитационные)
Дискретные – непрерывные
Детерминированные –
стохастические
Точечные – пространственные
Статические – динамические
Дискретные – непрерывные
Детерминированные –
стохастические
Точечные – пространственные
Статические – динамические
Рис. 1. Классификация моделей
Идеальное моделирование основано не на материальной аналогии модели и объекта, а на идеальной и носит теоретический характер. Это, как
правило, искусственно созданный объект. Интуитивное моделирование
основано на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации или не нуждающемся в ней. Знаковое моделирование использует в качестве модели условное описание системы оригинала
с помощью данного алфавита символов и операций над символами. Наиболее важными в данном классе являются концептуальные и математические модели.
Концептуальная модель представляет собой агрегированный вариант
традиционного описания основных закономерностей функционирования
изучаемой системы, состоящий из научного текста, сопровождаемого
блок-схемой системы, таблицами, графиками и т. п. К достоинствам концептуальных моделей относятся универсальность, гибкость, разнообразие
5
средств выражения и др. Среди недостатков выделяют высокую неоднозначность интерпретации и статичность.
Математической моделью оригинала называется его представление в
виде
S = (V , X , σ , F ) .
(*)
Здесь V ∈ E m – внешние переменные и параметры; X ∈ E n – внутренние переменные и параметры; σ = σ 1 ,… ,σ m1 – функции связи внешних и
(
)
внутренних переменных и параметров; F = (F1 ,… , Fn ) – передаточная
функция. Выражение (*) может быть переписано в виде:
σ (V , X ) = 0 ,
(
(**)
)
X = F V,X 0 .
Если переменные V и X – функции времени, то задача (**) определяется на t ∈ [ t 0 ,T ] и становится динамической:
σ (V (t ) ,
X (t )) = 0,
∀ t ∈ [t0T ],
X (t ) = Ft (V (t ), X 0 ), t ∈ [t0 ,T ],
x(t0 ) = x0 .
Описанные выше модели называются балансовыми. Весьма распространены модели скалярной оптимизации, векторной оптимизации и теоретико-игровые. Их вид приведен ниже.
В зависимости от свойств разрешающего оператора F математические
модели динамичных систем классифицируются по разным признакам. Модель называется аналитической, если для оператора F найдено точное аналитическое выражение, позволяющее для любых входных функций и начальных условий непосредственно определять значение переменных состояния x0 в любой нужный момент t.
В подавляющем большинстве случаев нахождение аналитического
выражения для разрешающего оператора F оказывается затруднительным
или в принципе невозможным. Если совокупность уравнений и неравенств
непротиворечива (среди них нет взаимоисключающих) и полна (т. е. она
содержит всю необходимую информацию для нахождения решений), и с
помощью ЭВМ, удается найти их численное решение, в результате чего
получается реализация оператора F в виде машинной программы, с помощью которой по входным и начальным данным рассчитываются значения
6
переменных состояний х1(t),…, хn(t) на интервале t ∈ [t 0 ,T ], то в данном
случае мы имеем имитационную модель.
В детерминированной модели значения переменных выражения (*) не
меняются во времени. Стохастическая модель каждой переменной x ставится в соответствие с распределением возможных значений, характеризуемое такими вероятностными показателями, как математическое ожидание, M{хi}, среднее квадратическое отклонение σ(x i ) и т. п.
Дискретная модель описывает поведение системы на фиксированной
последовательности моментов времени. В непрерывной модели значения
переменных состояния могут быть рассчитаны для любой точки t рассматриваемого интервала [t 0 ,T0 ].
По характеру описания пространственного строения систем модели
делятся на точечные, в которых пространственное строение системы не
рассматривается, т. е. в качестве переменных фигурируют зависящие только от времени переменные хi(t), i= 1…,n, и пространственные, в которых
переменные хi зависят не только от времени, но и от пространственных координат.
Важное место среди методов моделирования занимает структурное
представление процессов и явлений. Его мы будем называть структурным
моделированием. В следующем параграфе мы рассмотрим сущность
структурного моделирования и приведем пример структурно-логической
модели.
§ 2. Структурное моделирование
Под структурным моделированием мы понимаем процесс синтеза типовых модельных конструкций в новые модели сложных объектов. Синтез
фактически реализуется на основе представления типовых модельных конструкций в виде специальных матриц: технологической, обменной, критериальной, правых частей и т. д. – с их последующим сопряжением в комплексы, цепочки или системы моделей. Простейшей версией структурного
моделирования, позволяющей наиболее эффективно реализовать на ЭВМ
процесс выработки у пользователей навыков создания новых моделей на
основе анализа текстового описания фрагментов экономических ситуаций,
является моделирование на основе КОНТУРОВ. КОНТУР формулируется
как семантическая сеть, представляющая собой информационную модель
избранного оригинала (объекта, процесса, явления), и имеет вид совокупности деревьев, вершины которых соответствуют таким свойствам функционирования оригинала, учет которых может оказаться полезным и необходимым для обусловленного круга задач при его исследовании. Свойства
объединяются в группы, создавая тем самым основу для иерархической
структуры деревьев. Дуги дерева соответствуют соотношениям, в которых
находятся свойства различных уровней агрегирования. Просматривая вет7
ви дерева, разработчик модели фиксирует интересующие его узлы, расставляя 0 и 1. Одновременно идет запрос о возможностях дополнения. Если таковые имеются, то добавляется новый узел. После того как построен
контур, начинается построение самой модели. Это может быть либо единая
модель, либо цепочка моделей. Построение модели по готовому контуру
происходит на основе использования логических операций и специальных
методов построения шаблонов узлов.
Построенная структурно-логическая модель, таким образом, отображает структуру предметной области, а также адекватно представляет логику углубления знаний и условия выработки устойчивых навыков в создании математических моделей и их использования для решения практических задач и в научных исследованиях. Использование построенной модели невозможно без разработки соответствующего ей информационного,
алгоритмического и программного аналога.
Информационный аналог содержит полный набор фактов и правил по
моделированию; перечень типовых моделей; набор вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитать и проанализировать типовые модели.
Алгоритмический аналог содержит совокупность методов, обеспечивающих реализацию причинно-следственных зависимостей и сквозной расчет всех возможных выходных переменных на основе обусловленного круга
входных. В качестве входных переменных здесь принят набор фрагментов
экономических ситуаций, оформленных как текстовые задачи; в качестве выходных переменных – соответствующие им математические модели. Методами, обеспечивающими реализацию причинно-следственных связей, здесь
считаются способы разработки рабочего варианта модели; алгоритмы получения на ее основе решения; методы анализа полученного результата и способы принятия решения о степени приемлемости построенной модели.
Структурно-логическая модель, сопряженная со своим информационным и алгоритмическим аналогом, помещается в обучающую оболочку, управляющую процессом обучения.
Создание и внедрение технологии структурного моделирования
включает в себя следующие этапы:
1) выделение поля структурного моделирования в рассматриваемой
предметной области;
2) выделение правил и принципов создания базовых версий компановки (сборки) опорных единиц поля в сложные комплексы, с допустимой
степенью сходства воспроизводящих объект моделирования (оригинал);
3) формирование на основе этих правил и принципов из опорных единиц поля возможных вариантов моделей рассматриваемого оригинала
M = {M l, … , MK}, где MK – k-й вариант модели; M – множество вариантов – реализуется на основе использования сценариев компоновки и процедур проверки сформированных комплексов на допустимость;
8
4) выделение из множества M – наилучшей в обусловленном заранее
смысле модели. Другими словами, реализация задачи принятия решений,
рассматриваемой как кортеж G = < M , Q > , где Q – принцип оптимальности, дающий представление о качестве вариантов (например, правило
предпочтения вариантов).
§ 3. Этапы разработки моделей
Разработка экономико-математических моделей – многоэтапный процесс. Основными этапами процесса разработки моделей являются: постановка задачи, концептуализация, спецификация, идентификация, реализация модели, проверка адекватности модели, исследование (анализ) модели,
оптимизация, заключительный синтез.
Рассмотрим содержание каждого из этих этапов.
1. Постановка задачи. Формулирование цели и выделение в изучаемом оригинале конечного числа свойств и процессов, наиболее существенных для решения поставленной задачи и необходимых, по мнению исследователя (разработчика модели), для достижения цели. Задание степени
сходства модели и оригинала. Суть данного этапа состоит в том, чтобы ограничить и конкретизировать число возможных направлений и аспектов
изучения оригинала.
2. Концептуализация. На этом этапе необходимо построить концептуальную модель изучаемого оригинала. Устанавливаются его внешние
«входы» и «выходы», определяется состав, структура и некоторые особенности функционирования. Состав оригинала представляется множеством
его внутренних неделимых частей и непосредственно взаимодействующих
с ними элементов окружающей среды. Структурой называется совокупность всех связей между этими элементами. Под функционированием оригинала понимается процесс изменения свойств его элементов во времени
под воздействием внешних факторов и в результате взаимодействий между
внутренними элементами.
3. Спецификация. Здесь определяются составы множества входных
переменных V = {v1,…,vk} и переменных состояния X = {x1, …xn} будущей
математической модели и по возможности более строго и однозначно (насколько это возможно средствами вербального описания) задается моделирующее отображение системы-оригинала на модель.
4. Идентификация. Задача этого этапа заключается в установлении
математических соотношений σ s (v1 ,…, vk , x1 ,..., xn ) s = 1,..., r между переменными хi = (i = 1 …, n) и vj (j = 1,…, k), образующих структуру модели
σ = {σ1 , … , σ y }.
9
5. Реализация модели. Построение ее разрешающего оператора
F={F1,… Fn}
xi(t) = Fi (v1,…, vk, x10 ,… xn0 , t).
Это дает возможность рассчитывать с помощью модели динамику переменных состояния xi(t) на рассматриваемом промежутке времени
t 0 ≤ t ≤ t N , соответствующую данным входам vj(t), j=1…, k и начальному
состоянию xi(t0)= x10 i=1,…, n. Если аналитическое нахождение оператора
F затруднено, то строится реализация оператора F в виде программы для
ЭВМ.
6. Проверка адекватности модели. На данном этапе устанавливают, в
какой степени модель способна воспроизводить интересующие исследователя черты оригинала. Окончательная оценка пригодности модели может
быть дана только на основе ее всестороннего анализа, сравнения с данными наблюдений и экспериментов и, самое главное, на основе опыта практического использования модели как инструмента проверки гипотез, прогнозирования, оптимизации и управления моделируемой системой.
7. Исследование модели. Процесс исследования модели включает как характеристику общих черт построения траектории xi(t), i=1,…, n. t 0 ≤ t ≤ t N ,
таких как существование и единственность, ограниченность, периодичность,
устойчивость и др., так и более конкретное изучение зависимости решения от
начального состояния ( x10 … xn0 ), структуры модели и от входов vj(t),… vk(t).
«Анализ чувствительности» модели включает совокупность приемов исследования динамических моделей, реализованных на ЭВМ. Результаты анализа
чувствительности показывают, какие из начальных условий, какие связи между переменными и параметрами, а также какие из внешних факторов оказывают наиболее сильное (или незначительное) влияние на поведение модели. Это необходимо для того, чтобы исследователь мог решить, какие параметры должны определяться с высокой точностью при наблюдениях, экспериментах и на этапе идентификации, а какие могут задаваться относительно
приближенно.
8. Оптимизация. На этом этапе рассматривается возможность регулирования параметров модели с целью оптимизации тех или иных характеристик оригинала, которые могут быть получены в результате реализации
модели.
9. Заключительный синтез. Оцениваются полученные результаты –
прежде всего, построенная имитационная модель – и намечаются перспективы для будущих исследований.
Математические модели достаточно широко используются при анализе
экономических проблем. Поскольку экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения, то при моделировании необходимо учитывать оба данных аспекта. Моделирование
10
производственных процессов исследовано достаточно хорошо [1, 2, 3 и др.].
В моделировании производственных отношений необходимо учитывать поведение людей и их интересы, что является достаточно сложным [4].
В экономических системах выделяют два основных уровня экономических процессов.
Первый уровень – производственно-технологический. Здесь происходит описание производственных возможностей изучаемых экономических систем. При математическом моделировании производственных
возможностей экономической системы необходимо: 1) разбить ее на «элементарные» производственные единицы; 2) описать производственные
возможности каждой из единиц; 3) описать возможности обмена ресурсами производства и продукцией между «элементарными» производственными единицами. Производственные возможности описываются агрегированием при помощи производственных функций различных типов, а при
описании возможностей обмена используют балансовые соотношения [5].
На уровне социально-экономических процессов определяется, каким
образом реализуются производственные возможности, описанные при моделировании производственно-технологического уровня экономической
системы. В математических моделях выделяют специальные переменные –
управления, значения которых определяют единственный вариант развития
экономического процесса. На уровне социально-экономических процессов
определяется механизм выбора управляющих воздействий [6].
Таким образом, для описания функционирования экономической системы необходимо смоделировать оба уровня: производственнотехнологический и социально-экономический.
Выделяют нормативные проблемы (к ним относятся задачи планирования), в которых описание социально-экономического уровня не является
необходимым. В них нужно указать, как надо задать управления, чтобы
достичь наилучших в каком-то смысле результатов. При этом необходимо
сформулировать критерий, по которому можно оценивать и сравнивать
различные управления. Критерий (целевая функция) является функцией
переменных модели изучаемой системы. Критерием может быть объем
выпуска продукции, прибыль, затраты и др. Обычно предполагается, что
имеется единственный критерий выбора управления системой. Ищется такое управление, чтобы критерий достигал максимального (в случае, когда
критерий – выпуск продукции, прибыль и т. д.), или минимального (в случае затрат) значения. Такое значение управления находится методами оптимизации и называется оптимальным.
Изучаемая экономическая система моделируется в виде совокупности
некоторого числа «элементарных» экономических единиц, каждая из которых характеризуется производственной функцией, устанавливающей связь
между затратами тех или иных ресурсов в процессе производства и выпуском продукции.
11
Ниже приводятся основные типы моделей, которые обеспечивают
отработку основных принципов моделирования и способствуют созданию
устойчивых навыков у тех, кто обучается этому процессу.
ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. Модели формирования оптимального ассортимента
1.1. Общая формулировка модели
Рассматривается некоторый производственный объект. Для выпуска
продукции объект использует материальные, трудовые и сырьевые ресурсы, а также имеющееся в его распоряжении производственное оборудование. Предполагается, что управляющий орган экономического объекта
владеет информацией о возможном объёме поступающих со стороны ресурсов, о величине экономических показателей, о нормах расхода ресурсов
и ожидаемой прибыли от реализации каждого вида выпускаемой продукции. Задача состоит в разработке модели формирования оптимального ассортимента выпуска для данного экономического объекта. Под оптимальным ассортиментом можно понимать либо выпуск, дающий максимальную прибыль, либо выпуск, требующий минимальных затрат, либо
выпуск продукции, максимизирующий объём продаж.
Модель содержит три типа ограничений:
I
–
на учёт производственных возможностей;
II
–
на учёт технико-экономических показателей;
III –
на спрос.
Ограничения группы I формализовано записываются в виде:
n
∑ a ij x j ≤ b i , i = 1 ...m .
j=1
Здесь j – номер продукта, j = 1...n; n – число выпускаемых продуктов;
i – номер ресурса, i = 1...m; m – число используемых ресурсов; aij – нормы
расхода i-го ресурса на выпуск единицы j-го продукта; bi – общее количество i-го ресурса; xj – объём выпуска j-го продукта.
Ограничения II группы формализовано записываются в виде:
n
∑ d lj x j ≤ (≥ ) D l , l = 1 ... L ,
j =1
где l – порядковый номер экономического показателя, l = 1...L; L – число
учитываемых экономических показателей; dlj – величина l-го показателя,
12
оценивающего j-й продукт; Dl – расчётная величина l-го показателя, принимаемого экономическим объектом для оценки его деятельности.
Ограничения III группы формализовано записываются в виде:
Aj ≤ xj ≤ Aj , j =1...n .
(A , A ) – интервал возможного изменения выпуска продукции j-го вида.
j
j
В качестве функции цели чаще всего используется максимизация
прибыли:
n
∑ cx
j j
→ m ax ,
j =1
где cj – прибыль от реализации продукции j-го вида.
В качестве функции цели можно рассматривать также минимизацию
затрат, максимизацию выпуска комплектной продукции (критерии Канторовича).
Рассмотрим модель выбора набора технологий, позволяющих при
ограниченных ресурсах получить максимальное число комплектов. Предполагается, что мерой использования технологий принята интенсивность
(в единицах измерения времени). Время рассматривается как один из видов ресурсов.
j – порядковый номер вида технологии;
n – число видов технологий;
xj – интенсивность использования j-й технологии;
i – порядковый номер вида (комплектующего изделия);
l – число видов выпускаемых изделий;
li – число деталей i-го вида, необходимых для комплектования единицы выпускаемой продукции;
s – вид ресурса (сырья, энергии и т. д.);
k – число видов выделяемых ресурсов;
bs – объём выделяемого ресурса s-го вида;
aij – норма выпуска деталей i-го вида при использовании j-й технологии с единичной интенсивностью;
bsj – норма использования (расхода) s-го вида ресурсов при применении j-й технологии с единичной интенсивностью;
z – число единиц выпускаемой комплектной продукции.
Математическая модель технологий, максимизирующих число комплектов, имеет вид:
z → m ax,
1 n
∑ aijxj ≥ z, i = 1...l,
li j =1
13
n
∑b x ≤ b ,
sj j
s
s = 1...k ,
j =1
x j ≥ 0, j = 1...n .
1.2. Задачи на закрепление приемов моделирования
оптимального ассортимента
Задача 1. Компания по производству игрушек изготавливает две
различные игрушки А и В. При изготовлении каждая игрушка должна обрабатываться тремя разными машинами. Эти машины могут обрабатывать
только одну игрушку в каждый момент времени. Изготовление одной единицы А требует 40 мин работы 1-й машины, 20 мин – 2-й и 10 мин – 3-й.
Для изготовления одной единицы В необходимо 20 мин – 1-й, 30 мин – 2-й
и 30 мин – 3-й. Каждая машина может работать 40 часов в неделю. Игрушка А приносит 4 р. прибыли на единицу, а В – 3 р. Полагают, что спрос на
эти игрушки превышает предложение компании.
Построить математическую модель для определения того, сколько
каждого вида игрушек должна делать компания каждую неделю, чтобы
максимизировать прибыль.
Решение. Обозначим через xa объем выпуска игрушки А, а через xb –
объем выпуска игрушки В. Тогда 40xa мин – общее время работы 1-й машины по обработке всех игрушек А, 20xb мин – общее время работы 1-й
машины по обработке всех игрушек В. Аналогично для 2-й машины:
20xa мин – на игрушки А, 30xb мин – на игрушки В; для 3-й машины:
10xa мин – на игрушки А, 30xb мин – на игрушки В. Отсюда получим ограничения группы I – на временные ресурсы каждой машины:
40 xa + 20 xb ≤ 40 ,
(1)
20 xa + 30 xb ≤ 40 ,
10 xa + 30 xb ≤ 40 .
Ограничения II и III групп для данной задачи не определены.
Построим целевую функцию. Задача состоит в максимизации прибыли компании, поэтому в качестве целевой функции возьмем выражение,
описывающее прибыль:
4 xa + 3 xb → max .
(2)
Здесь 4xa – общая прибыль, получаемая от реализации игрушки вида
A в количестве xa, соответственно 3xb – общая прибыль, получаемая от
реализации игрушки вида B в количестве xb.
Таким образом, целевая функция (2) и ограничения (1) представляют
собой искомую математическую модель.
14
Задача 2. Механический цех может изготовить за смену 600 деталей
№ 1 или 1200 деталей № 2. Производственная мощность термического цеха, куда эти детали поступают на обработку в тот же день, позволяет обработать за смену 1200 деталей № 1 или 800 деталей № 2. Цены на детали
одинаковы. Определить ежедневную производственную программу выпуска деталей, максимизирующую товарную продукцию предприятия, для
каждого из следующих дополнительных условий:
a) оба цеха работают одну смену;
b) механический цех работает три смены, а термический – две
смены;
c) предприятие работает в две смены, при этом деталей № 1 должно
быть изготовлено не более 800 шт., а деталей № 2 – не более 1000 шт.
Решение. Обозначим через x1 объем выпуска деталей № 1, x2 – деталей № 2. Для всех трех модификаций задачи целевая функция остается неизменной – максимум выпуска продукции, то есть:
x1 + x2 → max.
(1’)
При одинаковой целевой функции модификации задачи будут иметь разные ограничения.
a) Примем всю продолжительность одной смены за 1. Тогда
1
x1 – доля смены, в течение которой в механическом цехе будут произ600
1
x2 – доля смены, в течение которой в том
водиться x1 деталей № 1, а
1200
же цехе будут производиться x2 деталей № 2. Тогда ограничение на общий
объем рабочего времени механического цеха будет выглядеть следующим
образом:
1
1
x1 +
x2 ≤ 1 .
(2а)
600
1200
Аналогичное ограничение построим и для термического цеха:
1
1
x1 +
x2 ≤ 1 .
(3а)
1200
800
Ограничения (2а–3а) и целевая функция (1) составляют искомую математическую модель для варианта задачи (а).
b) Как и для варианта (а) примем всю продолжительность одной
смены за 1. Тогда получим следующие ограничения на рабочее время
обоих цехов:
1
1
механический –
x1 +
x2 ≤ 3 ,
(2b)
600
1200
1
1
x1 +
x2 ≤ 2 .
(3b)
термический –
1200
800
15
Ограничения (2b–3b) и целевая функция (1) составляют искомую математическую модель для варианта задачи (b).
c) Как и для вариантов (а) и (b) примем всю продолжительность одной смены за 1. Тогда получим следующие ограничения на рабочее время
обоих цехов:
1
1
механический –
x1 +
x2 ≤ 2 ,
(2с)
600
1200
1
1
x1 +
x2 ≤ 1 .
(3с)
термический –
1200
800
Кроме того, в данном варианте в задаче присутствуют ограничения III вида
на спрос, которые выражаются следующим образом:
x1 ≤ 800 , x2 ≤ 1000 .
(4c)
Ограничения (2с–4с) и целевая функция (1) составляют искомую математическую модель для варианта задачи (с).
Задача 3. Механический завод при изготовлении трёх различных типов деталей использует токарные, фрезерные и строгальные станки. При
этом обработку каждой детали можно вести тремя различными технологическими способами.
В таблице указаны ресурсы (в станко-часах) каждой группы станков,
нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем станке
по данному технологическому способу, а также прибыль от выпуска единицы детали каждого вида.
Детали
Станки
Технологические
способы
Токарный
Фрезерный
Строгальный
Прибыль
I
II
III
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Ресурсы
времени
0,4
0,5
1,3
0,9
0,5
0,5
0,6
0,4
0,4
1,0
-
0,3
0,2
1,5
0,5
0,3
0,7
0,3
-
1,4
1,0
0,9
0,5
250
450
600
12
18
30
Составить оптимальный план загрузки производственных мощностей,
обеспечивающий максимальную прибыль.
Считая, что между количеством выпускаемых деталей должно выполняться соотношение 1: 2 :4, определить производственную программу,
обеспечивающую изготовление максимального числа комплектов.
Решение. Обозначим через xij объем выпуска i-й детали j-м технологическим способом, а через z – количество выпускаемых комплектов. Тогда ограничения на количество комплектов будут выглядеть следующим
образом:
16
x11 + x12 + x13 ≥ z ,
x21 + x22 + x23 ≥ 2 z ,
(3)
x31 + x32 + x33 ≥ 4 z.
Блок ограничений на ресурсы представлен ограничениями на количество рабочего времени каждого станка:
токарный –
(0,4 x11 + 0,9 x12 + 0,5 x13 ) + (0,4 x21 + 0,3x22 ) + (0,7 x31 + 0,9 x33 ) ≤ 250,
фрезерный –
(0,5 x11 + 0,6 x13 ) + (1,0 x21 + 0,2 x22 + 0,5 x23 ) + (0,3x31 + 1,4 x32 ) ≤ 450 , (4)
строгальный –
(1,3x11 + 0,5 x12 + 0, 4 x13 ) + (1,5 x22 + 0,3x23 ) + (1,0 x32 + 0,5 x33 ) ≤ 600.
Построим целевую функцию. Задача состоит в максимизации прибыли компании. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее
выражение:
12( x11 + x12 + x13 ) + 18( x21 + x22 + x23 ) + 30( x31 + x32 + x33 ) → max. (5)
Таким образом, целевая функция (5) и ограничения (3–4) представляют собой искомую математическую модель.
1.3. Дополнительные упражнения
Задача 1. На звероферме могут выращиваться песцы, чёрнобурые
лисы, нутрии и норки. Для их питания используются три вида кормов.
В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчёте на день,
а также прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя.
Вид корма
1.3.
II
III
Прибыль р./шкурка
Нормы расхода кормов (кг/день)
Песец
Лиса
Нутрия
Норка
1
2
1
2
2
4
2
0
1
1
3
2
6
12
8
Ресурс кормов
(кг)
300
400
600
10
Построить математическую модель для определения того, сколько и
каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была максимальной.
Задача 2. Автомобильный завод выпускает машины марок А и В.
Производственные мощности отдельных цехов или отделов приведены в
следующей таблице.
17
№
Наименование цехов или участков
1
2
3
4
5
6
Подготовительное производство
Кузовной цех
Производство шасси
Производство двигателей
Сборочный цех
Участок испытаний
Количество машин за год
типа А
типа В
125
110
80
320
110
110
240
120
160
80
280
70
Определить наиболее рентабельную производственную программу
при следующих дополнительных условиях:
а) прибыли от выпуска одной машины типа А и В соответственно равны
2000 и 2400 рублей;
б) производственная мощность 1-го и 5-го цехов увеличена в 1,5 раза за
счёт использования сверхурочных работ, что приводит к уменьшению
прибыли от выпуска одной машины типа А до 1500 рублей и типа В –
до 2100 рублей (для «сверхплановых» автомобилей).
Задача 3. Механический завод при изготовлении двух типов деталей
использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими
способами. Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования
(в станко-часах), нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем оборудовании по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы деталей каждого вида даны в таблице.
Детали
II
1
2
1
2
Ресурсы
времени
Токарное
Фрезерное
Сварочное
2
3
-
2
1
1
3
1
1
2
4
20
37
30
Прибыль
11
6
9
6
Технологические
способы
Оборудование
I
Составить оптимальный план «загрузки оборудования», обеспечивающий заводу максимальную прибыль.
Задача 4. Предприятие может выпускать продукцию по трём технологическим способам. При этом за 1 час по 1-му способу оно выпускает 20
единиц продукции, по 2-му – 25 единиц и по 3-му – 30 единиц продукции.
Количество производственных ресурсов, расходуемых за час при
различных способах производства, и наличный объем ресурсов приведены
в таблице.
18
Факторы
Способ
производства
I
II
III
Располагаемые ресурсы факторов
Сырьё
Парк
станков
Рабочая
сила
Энергия
Транспорт
Прочие
расходы
2
1
3
3
4
2
7
3
4
2
1
3
1
0
1
4
2
1
60
80
70
50
40
50
Спланировать работу предприятия из условия получения максимума
выпуска продукции, если известно, что общее время работы предприятия
составляет 30 часов.
Задача 5. Предприятие располагает тремя видами ресурсов: А, Б, В –
в количествах, равных соответственно 34, 16, 22 тыс. единиц. Существует
четыре способа производства продукции. Расход каждого вида ресурсов в
течение месяца по каждому способу производства известен и приведён в
таблице.
Способ производства
Ресурсы
А
Б
В
Количество выпускаемой в течение месяца продукции, тыс. ед.
I
II
III
IV
2
4
2
4
1
3
1
4
1
5
1
2
7
3
4
2
Определить оптимальную производственную программу таким образом, чтобы выпуск единиц продукции был бы максимальным.
Задача 6. В хозяйстве производится зерно, кукуруза на силос и содержится крупный рогатый скот. Для выращивания сельскохозяйственных
культур выделяется 10 тыс. га пашни, для содержания скота – 1 тыс. га естественных пастбищ, для производства всех работ – 200 тыс. человекодней трудовых ресурсов. На содержание одной коровы затрачивается 25
человеко-дней труда и 40 кормовых единиц, при этом прибыль получается
460 рублей в год. Для корма используются естественные пастбища, а также
может отводиться весь урожай кукурузы на силос и до 20 % валового сбора зерна. Остальные показатели производства приведены в таблице.
Наименование
культуры
Зерновые
Кукуруза на силос
Естественные пастбища
Урожайность с 1 га,
ц
Затраты труда на 1 га,
чел.-дней
Коэффициент
перевода на
1 кормовую
ед.
Прибыль
с 1 ц, р.
20
400
5
2
20
-
1,1
0,2
0,5
4
1
-
19
Требуется найти оптимальное сочетание производства продукции,
дающее хозяйству максимальную прибыль.
Задача 7. Фирма производит три продукта: ротационные покрышки,
корпуса подшипников и листовое железо. Управляющий столкнулся с проблемой составления наилучшего производственного плана на следующий
месяц. Совместно со своими сотрудниками управляющий пришёл к следующей таблице данных на планируемый месяц.
Продукт
Время на ед.
продукции
(ч)
Количество
металла на ед.
продукции (кг)
Цена ед.
продукции
Максимальный
прогнозируемый
спрос (шт.)
Ротационные
покрышки
2,5
3,25
30
300
1,0
1,50
32
550
2,0
2,00
25
320
Корпуса
подшипников
Листовое железо
Было определено, что в планируемом месяце компания имеет не более 900 часов производственного времени и нет ограничений на поставки
металла. Каждый час производственного времени будет стоить 7 тыс. р.
(оплата труда), а каждая единица металла – 2 тыс. р. Расчет за поставляемую продукцию производится в конце планируемого месяца. Объем свободных денежных средств (для закупок сырья и оплаты рабочего времени)
на начало месяца составляет 14 960 тыс. р. Распределение продукции может быть осуществлено в течение этого же месяца.
Каким должен быть производственный план следующего месяца,
максимизирующий прибыль?
§ 2. Моделирование процессов смешивания
2.1. Типовые модели процессов смешивания
Рассматривается проблема составления смесей из различных компонентов, обладающих заданным набором свойств. Среди всевозможных
смесей необходимо найти смесь, обладающую заданными свойствами, согласующимися со свойствами компонентов, и имеющую минимальную
стоимость.
Вид формализованной модели задачи составления оптимальных смесей зависит от типов переменных. Если в качестве переменных xj взять долю j-й компоненты в смеси, то модель запишется в виде
n
∑ x j =1 ,
j =1
20
(1)
n
∑a x
ij
j
≥ Ri , i = 1...m,
(2)
j=1
a j ≤ x j ≤ b j , j = 1...n ,
n
∑c x
j
j
→ min.
(3)
(4)
j =1
Здесь i – порядковый номер свойств, которыми обладают компоненты и
смесь, i = 1...m ; aij – величина i-го свойства для j-й компоненты; Ri – требование на величину i-го свойства для ед. смеси; (a j , b j ) – интервал возможного включения j-й компоненты в смесь; cj – стоимость единицы j-й компоненты.
Если неизвестные сформулированы в виде: xj – объём вложений j-й
компоненты в натуральном выражении, то ограничение (1) приведённой
выше модели записывается в виде
n
∑ x = b,
j
j =1
где b – общее количество смеси, которое должно быть получено.
В такие модели, как правило, также включаются ограничения (2–3).
Однако bj несёт иную смысловую нагрузку. Здесь bj – количество j-й компоненты, которое есть в наличии.
Если известны условия изготовления компонентов с учётом имеющихся для этой цели ресурсов, то возникает более сложная объединённая
задача составления оптимальной смеси, для которой будут с наибольшим
эффектом использованы ресурсы в производстве компонентов. Усложнение задачи может происходить и за счёт внесения в модель ограничений,
связанных с условиями использования смесей. В качестве примера рассмотрим модель составления оптимальных схем внесения удобрений. Введём обозначения:
j – вид культуры, J – число всех видов культур;
i – вид смеси удобрений, I – число всех видов смесей;
q – способ внесения удобрений, Q – число всех способов внесения удобрений;
r – номер формы, в которой находится действующее вещество в удобрении
(легко- или труднорастворимые);
Nr, Pr, Kr – количество азота, фосфора и калия r-й формы, имеющегося на
предприятии;
Niqjr, Pijqr, Кijqr – количество действующего вещества азота, фосфора и калия
r-й формы, необходимого для внесения по q-му способу в i-ю смесь под
j-ю культуру на 1 га земли;
m – вид органического удобрения, M – число всех видов органических
удобрений;
Hm – количество m-го вида органических удобрений, имеющихся на предприятии;
21
Hijqm – количество органического удобрения m-го вида, вносимое по q-му
способу в i-ю смесь под j-ю культуру на 1 га земли;
Sjq – площадь посева под j-ю культуру, в которую можно внести удобрения по q-му способу;
aijq – логический коэффициент, равный 1, если можно внести i-ю смесь q-м
способом под j-ю культуру, и равный 0 в противном случае;
Cijq – эффективность (прибыль), полученная при внесении i-й смеси q-м
способом под j-ю культуру на 1 га земли;
xijq – число гектаров земли, отводимое под j-ю культуру с внесением i-й
смеси удобрения q-м способом.
Получим следующую математическую модель:
I
Q
J
∑∑∑c
i =1
I
Q
l
∑∑∑N
Азотные удобрения:
i =1
ijqr
J
Q
∑∑∑P
Фосфорные удобрения:
i =1
j =1 q =1
I
J
ijqr
xijq ≤ Pr .
ijqr
xijq ≤ K r .
Q
∑∑∑K
Калийные удобрения:
i =1
I
Органические удобрения:
j =1 q =1
J
Q
∑∑∑H
i =1
xijq ≤ N r .
j =1 q =1
I
ijqm
xijq ≤ H m , m = 1...M .
j =1 q =1
I
Площади:
x → max.
ijq ijq
j =1 q =1
∑a
ijq
x ijq ≤ S jq , j = 1... J , q = 1...Q ,
i =1
x ijq ≥ 0, i = 1... I , j = 1... J , q = 1...Q .
2.2. Задачи на закрепление приемов моделирования
процесса смешивания
Задача 1. Из четырёх видов основных материалов (медь, цинк, свинец, никель) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный
и для художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и
никеля составляют 0,8 р., 0,6 р., 0,4 р. и 1,0 р., а единицы веса сплава, соответственно, 2 р., 3 р., 4 р.
Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6 %
никеля, не менее 50 % меди и не более 30 % свинца; специальный – не менее 4 % никеля, не менее 70 % меди, не менее 10 % цинка и не более 20 %
свинца. В обычный сплав компоненты могут входить без ограничения.
22
Производственная мощность предприятия позволяет выпускать (за
определённый срок) не более 400 ед. веса обычного сплава, не более 700
ед. веса специального сплава и не более 100 ед. веса сплава для художественных изделий.
Найти производственный план, обеспечивающий максимальную
прибыль.
Решение. Обозначим через xij долю i-й компоненты в j-й смеси. Тогда получим следующие ограничения модели:
x11 + x21 + x31 + x41 = 1,
x12 + x22 + x32 + x42 = 1,
(1)
x13 + x23 + x33 + x43 = 1.
Ограничения на количество компонентов в смесях:
x12 ≥ 0,7; x22 ≥ 0,1; x32 ≤ 0,2; x42 ≥ 0,04,
x13 ≥ 0,5; x33 ≤ 0,3; x43 ≥ 0,06.
(2)
Требование неотрицательности переменных:
xij ≥ 0, ∀i = 1...4, j = 1...3.
(3)
Целевая функция представляет собой сумму величин прибыли, получаемой с единицы веса каждого сплава:
(2 − 0,8 x11 − 0,6 x21 − 0,4 x31 −1,0 x31 ) +
+ (3 − 0,8 x12 − 0,6 x22 − 0,4 x32 −1,0 x42 ) +
(4)
+ (4 − 0,8 x13 − 0,6 x23 − 0,4 x33 −1,0 x43 ) → max.
Ограничения (1–3) и целевая функция (4) представляют собой модель для получения искомой информации.
Задача 2. Госпиталь стремится минимизировать стоимость мясного
питания (говядина, свинина и баранина). Больничный рацион должен содержать, по крайней мере, 1,5 фунта жирного мяса на человека в неделю.
Говядина, которая стоит 1,25 доллара за фунт, содержит 20 % жирной и
80 % постной части. Свинина – 1,5 доллара за фунт и содержит 60 % жирной и 40 % постной части, баранина стоит 1,4 доллара за фунт и состоит из
30 % жирной и 70 % постной части. Госпиталь имеет холодильную площадь не более чем на 900 фунтов мяса. В госпитале на мясной диете
200 пациентов. Сколько фунтов каждого вида мяса необходимо покупать
еженедельно для того, чтобы обеспечить необходимую калорийность рациона при минимальной стоимости?
Решение. Пусть xi – количество мяса i-го вида, закупаемого госпиталем. Тогда получим следующие ограничения модели. Ограничение на объем холодильной камеры:
23
x1 + x2 + x3 ≤ 900.
(1)
Ограничение на калорийность рациона:
1
(0,2 x1 + 0,6 x2 + 0,3x3 ) ≥ 1,5.
200
(2)
Требование неотрицательности переменных: xi ≥ 0, ∀i = 1...3. .
Целевая функция – минимизация расходов на закупки:
1,25 x1 + 1,5 x2 + 1,4 x3 → min.
(3)
(4)
Целевая функция (4) и ограничения (1–3) образуют искомую модель.
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Потребность в азотных удобрениях составляет 10 млн т.
Их можно удовлетворить за счёт производства двух продуктов: аммиачной
селитры и аммиачной воды. Для их производства необходим аммиак, общий расход которого для удовлетворения соответствующих нужд в плановом году не может превышать 8 млн т. Технологические нормы материальных затрат, удельные текущие расходы и капитальные вложения в производство каждого из продуктов даны в таблице.
Химический продукт
Технологические
нормы затрат
аммиака, т/т
Удельные капитальные вложения, р./т
Себестоимость
единицы продукта, р./т
Аммиачная селитра
Аммиачная вода
0,6
1,0
3,0
6,0
7,0
6,5
Определить план производства селитры и аммиачной воды в плановом
году, необходимых для удовлетворения потребности народного хозяйства
в азотных удобрениях, с наименьшими суммарными затратами.
Решить задачу при знании нормативной эффективности капиталовложений 0,1.
Проследить, как отражаются на оптимальном плане изменения значений нормативной эффективности капиталовложений от 0,1 до 0,3.
Задача 2. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекингбензина, 350 тыс. л бензина
прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих
четырёх компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:
сорт А
сорт В
сорт С
2 : 3 : 5 : 2,
3 : 1 : 2 : 1,
2 : – : 1 : 3.
24
Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина составляет соответственно 120 р., 100 р. и 150 р.
Определить план смешивания компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.
Определить оптимальный план смешивания из условия максимального использования компонентов.
Задача 3. Компания по производству удобрений может произвести в
текущем месяце 1400 т нитратов, 1600 т фосфатов и 1200 т поташа. Это
количество имеется в распоряжении или уже заказано и не может быть получено в большем количестве, пока не пройдут следующие 30 дней. Необходимо определить способы смешивания активных ингредиентов с определёнными инертными ингредиентами, предложение которых не ограничено, в два основных удобрения, которые позволят максимизировать прибыли в текущем месяце.
Двумя основными удобрениями являются тип 1 (5 : 10 : 10) и тип 2
(10 : 10 : 5). Числа в скобках представляют процентное отношение (по весу) нитратов, фосфатов и поташа соответственно (оставшуюся долю составляют инертные ингредиенты).
Цены ингредиентов показаны в таблице.
Ингредиенты удобрения
Нитраты
Фосфаты
Поташ
Инертные удобрения
Цена за тонну
160
140
100
8
Затраты смешения, упаковки и продажи одинаковы для обоих смесей и составляют 15 долларов за тонну. Цены на удобрения, по которым компания
может их реализовать, в настоящее время составляют 50 долларов за тонну
типа 1 и 55 долларов для типа 2.
Необходимо определить, сколько производить каждого типа смеси в
этом месяце, чтобы максимизировать общую прибыль.
Задача 4. «Южная алкогольная корпорация» импортирует три сорта
виски – ирландское, шотландское и канадское. Виски смешиваются согласно рецептам, устанавливающим максимум или минимум процентного
содержания ирландского и канадского в каждой смеси.
Смесь
Спецификация
Цена на 1/5 галлона
Old Oierhoul
Не меньше 60 % ирландского
Не больше 20 % канадского
6,80
Highband Spec
Не больше 60 % канадского
Не меньше 15 % ирландского
5,70
Young Frezy
Не больше 50 % канадского
4,50
25
Стоимость и запасы трёх основных видов виски приведены в таблице.
Виски
Ирландское
Шотландское
Канадское
Наличие виски,
1/5 галлона в день
2000
2500
1200
Стоимость 1/5
галлона
7
5
4
Составить модель, позволяющую определить, сколько производить
каждого типа смеси, чтобы получить максимальную прибыль.
Задача 5. Животноводческая ферма имеет возможность закупать
корма 4-х видов по различным ценам. В кормах содержатся питательные
вещества 3-х видов, необходимые для кормления коров. Требуется составить еженедельный рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами нормы содержания питательных веществ.
Данные, необходимые для составления рациона, приведены в таблице.
Содержание веществ в кормах указано в килограммах на тонну.
Корма
Вещества
А
В
С
Цена 1 т корма
в р.
Корм 1
Корм 2
Корм 3
Корм 4
20
30
50
180
40
10
90
200
60
0
40
250
10
20
60
100
Нормы содержания
веществ (в кг) в еженедельном рационе
коровы
Не менее 5
Не менее 3, не более 4
Не менее 8, не более 10
Вопросы
1. Какое количество корма 1 следует закупить (в кг) для составления
еженедельного рациона кормления коровы?
2. Какое количество корма 4 следует закупить (в кг) для составления
еженедельного рациона кормления коровы?
3. Какой общий вес еженедельного рациона коровы (в кг)?
4. Каковы минимальные затраты на покупку кормов для еженедельного рациона одной коровы (в р.)?
5. На сколько возрастут затраты, если еженедельный рацион должен
содержать не менее 6 кг вещества А?
6. До какой величины должна возрасти цена на корм 4, чтобы использование этого корма оказалось невыгодным?
Задача 6. В аптеке продаются поливитамины пяти наименований.
Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные
для Павла Кутикова, перенесшего простудное заболевание. Необходимо
определить, какие поливитамины и в каком количестве следует принимать
Павлу для восстановления нормальной работоспособности. В следующей
26
таблице указаны (в мг) количества витаминов и веществ, которые должен
получить Павел за весь курс лечения. Таблица также содержит данные о
содержании (в мг на 1 г) витаминов и веществ в поливитаминах и цены в
рублях за 1 г поливитаминов.
Витамины
А
В
С
Железо
Кальций
Цена
Поливит.
1
1,1
0,9
50
24
210
3,4
Поливит.
2
1,2
1,1
60
45
340
4,3
Поливит.
3
1,8
0,7
40
18
150
2,4
Поливит.
4
1,1
1
30
12
260
2,2
Поливит.
5
1,3
1,1
60
37
300
3,7
Необходимо
250
128
7000
3700
32000
Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с минимальными затратами пройти курс лечения.
Вопросы
1. Какое количество (в г) поливитамина 4 следует принять?
2. Какое общее количество поливитаминов (в г) следует принять?
3. Какова минимальная стоимость курса лечения?
4. До какого значения должна снизится цена на поливитамин 2, чтобы его следовало включить в курс лечения?
Задача 7. Мощности завода позволяют произвести в текущем месяце
ингредиенты для производства удобрений в количествах: 10 т нитратов,
15 т фосфатов и 12 т поташа. В результате смешения активных ингредиентов с инертными, запасы которых не ограничены, на заводе могут быть получены четыре типа удобрений.
Удобрение 1 содержит 5 % нитратов, 10 % фосфатов и 5 % поташа.
Удобрение 2 содержит 5 % нитратов, 10 % фосфатов и 10 % поташа.
Удобрение 3 содержит 10 % нитратов, 10 % фосфатов и 10 % поташа.
Удобрение 4 содержит 10 % нитратов, 5 % фосфатов и 5 % поташа.
Цены на удобрения соответственно 400, 500, 400 и 450 р. за 1 т. Причем объем спроса на удобрения практически не ограничен.
Стоимость производства 1 т нитратов 360 р., фосфатов 240 р. и поташа
200 р. Инертные ингредиенты закупаются заводом по цене 100 р. за 1 т.
На текущий месяц завод уже заключил контракт на поставку 10 т
удобрения 3.
Определите, какие удобрения и в каких количествах следует производить, чтобы в текущем месяце завод получил максимальную прибыль.
Вопросы
1. Сколько удобрения 2 следует производить (в т)?
2. Сколько всего следует производить удобрений (в т)?
3. Какова максимальная прибыль (в р.)?
27
4. На сколько изменилась бы прибыль, если бы заказчик отказался
от закупки удобрений?
Задача 8. На кондитерской фабрике изготовляют 3 вида продуктов –
восточные сладости, для которых используют орехи: миндаль, фундук и
арахис. Миндаль покупается фабрикой по цене 75 р. за 1 кг, фундук – 60 р.,
арахис – 45 р. Продукт 1 должен содержать не менее 12 % миндаля и не
более 18 % фундука, продукт 2 – не менее 25 % миндаля.
Цены готовых продуктов соответственно 70 и 65 р. за 1 кг. Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов: миндаля – 33 кг, фундука – 80 кг, арахиса – 60 кг.
Вопросы
1. Какое количество (в кг) фундука следует использовать при производстве продукта 1?
2. Какое количество (в кг) продукта 2 следует производить ежедневно, чтобы фабрика получила максимальную прибыль?
3. Каков общий объем (в кг) ежедневно производимой продукции?
4. Какова максимальная прибыль (в р.)?
5. На сколько увеличится прибыль, если увеличить закупки миндаля
5 кг?
Задача 9. Сочинский винзавод производит три марки сухого вина:
«Черный лекарь», «Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые цены, по которым
реализуется готовая продукция, соответственно 68, 57 и 60 р. за 1 л. Ингредиентами для приготовления этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно
70, 50 и 40 р. за 1 л. В среднем на сочинский винзавод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и 1200 л красного вина.
В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее 60 % белого
вина и не более 20 % красного. Вино «Букет роз» должно содержать не более 60 % красного и не менее 15 % белого. Суммарное содержание красного и розового вина в вине «Белые ночи» не должно превышать 90 %.
Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин
«Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие заводу максимальную
прибыль.
Вопросы
1. Какую максимальную прибыль (в р.) можно получить за 1 день?
2. Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно?
3. Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный лекарь»?
4. Сколько литров вина «Букет роз» следует производить ежедневно?
5. Сколько литров вина «Белые ночи» следует производить ежедневно?
28
6. Сколько процентов розового вина должны содержать «Белые ночи»?
7. На сколько рублей возрастет прибыль винзавода, если поставки
розового вина удастся увеличить до 1300 л в день?
8. На сколько рублей уменьшится прибыль винзавода, если поставки
белого вина сократятся до 1800 л?
§ 3. Моделирование оптимального раскроя материала
3.1. Простейшая модель оптимального раскроя материала
На многих промышленных предприятиях при массовом производстве продукции необходимо получить наиболее рациональный раскрой материалов (доски, листы металла, трубы, прокат, рулоны ткани и т. д.). План
раскроя считается оптимальным, если он обеспечивает наибольший выход
заготовок или наименьший объём отходов.
Простейшая модель оптимального раскроя материалов для получения заданного количества заготовок выглядит следующим образом.
На предприятие поступают однотипные рулоны материалов. Надо
найти такой план раскроя рулонов материала по ширине, при котором будут наименьшие отходы.
Введём обозначения:
i – вид заготовки, m – число всех видов заготовок;
j – вариант раскроя рулона по ширине, n – число всех вариантов раскроя;
di – необходимое число заготовок i-го вида;
dij – число заготовок i-го вида, которое можно получить из одного рулона
материала согласно j-му варианту раскроя;
Сj – отходы материала, полученные из рулона материала согласно j-му варианту раскроя;
A – общее количество рулонов, имеющихся в наличии;
xj – искомое число рулонов, раскраиваемых согласно j-му варианту.
Математическая запись модели:
n
∑c x
j
j
→ min,
j=1
n
∑d
ij
x j = di, i = 1...m,
j
≤ A,
j =1
n
∑x
j=1
x j ≥ 0.
29
Это задача линейного программирования, для решения которой
можно применить симплекс-метод.
Теперь рассмотрим модель оптимального раскроя партий материалов для изготовления комплектов.
На предприятие, изготавливающее комплекты, поступает сырьё в
виде партий материалов, имеющих свои размеры. Надо получить раскрой
материалов, обеспечивающий выпуск максимального числа комплектов.
Для формирования модели введём обозначения:
s – номер партии материала, S – число всех партий материалов;
i – вид заготовки;
li – число заготовок i-го вида, необходимых для одного комплекта;
n – число всех комплектов;
ds – количество материалов одного размера в одной партии s-го вида;
j – номер варианта раскроя;
ns – число вариантов раскроя для каждой единицы s-й партии;
dsij – число заготовок i-го вида, получаемых из единицы материала s-й партии согласно j-му варианту раскроя;
xsj – искомое количество единиц материала s-й партии, раскраиваемых согласно j-му варианту.
При раскрое всех партий будет получено
S
ns
∑ ∑ d sji x sj
заготовок i-го
s =1 j =1
ns
S
1
∑ ∑ d sji x sj комплектов.
l i s =1 j =1
Поскольку число комплектов минимизируется теми заготовками, которые позволяют составить наименьшее число комплектов, то число полных комплектов равно:
1 S ns
n = min ∑ ∑ d sji x sj .
i
l i s =1 j =1
Задача состоит в максимизации числа комплектов
1 S ns
min ∑ ∑ d sji x sj → max
i
l i s =1 j =1
при условии выполнения плана раскроя заготовок
вида. Их достаточно для
ns
∑x
sj
= ds , s =1...S ,
j=1
а также неотрицательности компонент
xsj ≥ 0, s = 1...S , j = 1...ns .
30
Если через z обозначить число комплектов, то сформированная модель сводится к следующей задаче линейного программирования:
z → max,
при ограничениях
1 S
∑
l i s =1
ns
∑d
sji
x sj ≥ z , i = 1...n ,
j =1
ns
∑x
sj
= ds , s =1...S ,
j=1
z ≥ 0, xsj ≥ 0, s = 1...S , j = 1...ns .
3.2. Задачи на закрепление материала
Задача 1. Листы материала размером 6 × 13 надо раскроить так, чтобы получились заготовки двух типов: 800 заготовок размером 4 × 5 м и 400
штук заготовок размером 2 × 3 м. При этом расход материала должен быть
минимальным. Способы раскроя материала и количество заготовок каждого типа, полученных при раскрое одного листа, даны в таблице.
Размер заготовок, м2
4×5
2×3
I
3
1
Способы раскроя
II
III
2
1
6
9
IV
0
13
Решение. Пусть xi – количество заготовок, раскроенных i-м способом. Тогда ограничение на количество заготовок:
3 x1 + 2 x2 + x3 = 800,
(1)
x1 + 6 x2 + 9 x3 + 13 x4 = 400.
Требование неотрицательности переменных:
xi ≥ 0, ∀i = 1...3.
(2)
Целевая функция – минимизация количества расходуемых листов:
x1 + x2 + x3 + x4 → min.
(3)
Ограничения (1–2) и целевая функция (3) образуют искомую модель.
31
Задача 2. Требуется определить все рациональные способы раскроя
прямоугольника кожи размером 100 × 60 см на квадратные заготовки со
сторонами 50, 40 и 20 см и указать величину отходов для каждого способа.
Способы
раскроя
1
2
3
4
5
6
Заготовка
со стороной
50 см
2
1
1
0
0
0
Заготовка
со стороной
40 см
0
1
0
2
1
0
Заготовка
со стороной
20 см
0
2
6
7
11
15
Величина
отходов, см2
1000
1100
1100
0
0
0
Для данного материала и указанных заготовок существует шесть
различных рациональных способов раскроя.
Задача 3. При изготовлении парников используется материал в виде
металлических стержней длиной 200 см. Этот материал разрезается на
стержни длиной 120, 100 и 70 см.
32
Вопросы
1. Сколько существует рациональных способов раскроя?
2. Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?
3. Сколько способов раскроя следует использовать при выполнении
заказа?
Решение. Определяем все рациональные способы раскроя материала
на заготовки. Таких способов оказывается пять.
Способы
раскроя
1
2
3
4
5
Заготовка
длиной
120 см
1
1
0
0
0
Заготовка
длиной
100 см
1
0
2
1
0
Заготовка
длиной
70 см
0
1
0
1
3
Величина
отходов, см
0
30
20
50
10
Используем модель A для одного вида материала, тогда xj – количество единиц материала, раскраиваемых по i-му способу.
Для ответа на первый вопрос задачи получаем следующую модель
линейного программирования с критерием – минимум общего количества
используемого материала.
Вид заготовок
Minimize
Заготовка 120 см
Заготовка 100 см
Заготовка 80 см
X1
1
1
1
0
X2
1
1
0
1
X3
1
0
2
0
X4
1
0
1
1
X5
1
0
0
3
Тип ограничения
RHS
>=
>=
>=
80
120
102
Решая задачу, получаем следующий результат.
Вид заготовок
X1
X2
X3
X4
X5
Minimize
Заготовка 120 см
Заготовка 100 см
Заготовка 80 см
Solution– >
1
1
1
0
80
1
1
0
1
0
1
0
2
0
20
1
0
1
1
0
1
0
0
3
34
Тип
ограничения
RHS
Величина
отклонений
>=
>=
>=
80
120
102
134
0,5
-0,5
-0,33
Ответы на вопросы
1. Существует пять рациональных способов раскроя.
2. Следует разрезать 134 единицы материала.
3. При выполнении заказа следует использовать три из пяти рациональных способа раскроя.
33
3.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. На складе предприятия имеются заготовки (стальные бруски) длиной 8,1 м. Из этих заготовок необходимо изготовить 100 комплектов более коротких заготовок. При этом в один комплект входят два бруска длиной 3 м и по одному бруску длиной 2 м и 1,5 м. Необходимо раскроить исходный материал так, чтобы получить требуемое количество
комплектов коротких заготовок с минимальными отходами. Количество
коротких заготовок, которое получается из одного исходного бруска при
различных способах раскроя, и величины отходов по каждому способу
раскроя заданы в таблице.
Размер заготовки, м
3
2
1,5
1
2
1
0
2
2
0
1
3
1
2
0
4
1
1
2
Отходы, м
0,1
0,6
1,1
0,1
Способ
5
0
4
0
0,1
6
0
3
1
7
0
2
2
8
0
1
4
9
0
0
5
0,6
1,1
0,1
0,6
Задача 2. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов
фанеры. Всего имеется две партии материалов, причём первая партия содержит 400 листов, а вторая 250 листов фанеры. Из поступающих листов
фанеры изготавливаются комплекты, включающие 4 детали 1-го типа,
3 детали 2-го типа и 2 детали 3-го типа. Один лист фанеры каждой партии
может раскраиваться различными способами.
Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое
одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице.
Первая партия
Вторая партия
Способ раскроя
Способ раскроя
Детали
1
2
3
1
2
3
0
4
10
6
3
16
9
4
0
Детали
1
2
3
1
2
6
5
8
5
4
0
Требуется раскроить материал так, чтобы получить максимальное
число комплектов.
Задача 3. Из прямоугольника железа размером 100 × 60 см необходимо
изготовить квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см. Эти заготовки
нужны в качестве перегородок при изготовлении пластмассовых коробок для
хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь 4 заго34
товки со стороной 50 см, 6 заготовок со стороной 40 см и 12 заготовок со
стороной 20 см. На складе находятся 100 листов материала.
Вопросы
1. Сколько существует рациональных способов раскроя?
2. Какое максимальное количество коробок можно изготовить при
условии, что оставшиеся заготовки можно использовать при изготовлении
следующей партии коробок?
3. Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?
4. Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку?
Задача 4. Существует три рациональных способа раскроя единицы
материала A на заготовки трех типов. Эти же заготовки могут быть получены двумя рациональными способами при раскрое единицы материала
В. Количество заготовок, получаемых каждым способом, показано в следующей таблице.
Заготовки
1
2
3
Способ 1
0
4
10
Материал А
Способ 2
2
3
6
Способ 3
9
2
0
Материал В
Способ 1
Способ 2
1
5
5
4
8
0
Изготовленные заготовки используются для производства бытовой
техники. В комплект поставки входит 4 заготовки первого типа, 3 заготовки второго типа и 7 заготовок третьего типа. На складе имеется 100 единиц
материала первого типа и 300 единиц материала второго типа.
Вопросы
1. Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?
2. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала при предположении, что оставшиеся заготовки можно использовать при выполнении следующего заказа?
3. Сколько единиц материала 1 раскраивается по третьему способу?
4. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте увеличится до семи?
Задача 5. При раскрое деталей для производства единственного изделия на швейной фабрике используются два артикула ткани. Ширина
ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из этих деталей может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, выход деталей каждого вида из одного
погонного метра ткани указан в следующей таблице.
Деталь
1
2
Способ 1
8
0
Ткань 1
Способ 2
0
3
Способ 3
4
1
35
Способ 4
12
0
Ткань 2
Способ 5
0
5
Способ 6
6
2
На фабрику ткани 1 поступает в два раза больше (по длине), чем ткани 2. Выход готовых изделий должен быть максимальным.
Вопросы
1. Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?
2. Какая часть (в %) ткани 1 должна раскраиваться по способу 1?
3. На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по сравнению
с первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество
двух артикулов тканей?
Задача 6. На производство поступила партия стержней длиной 250 и
190 см. Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальными.
Вопросы
1. Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?
2. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?
3. Какова величина отходов (в см)? Оказалось, что количество
стержней длиной 250 см ограничено и равно 200 шт.
4. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом
случае?
5. На сколько увеличится количество отходов (в см)?
Задача 7. Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков
стержней длиной по 18, 23 и 32 см. Причем количества отрезков разной
длины в комплекте должны быть в соотношении 1 : 5 : 3. На сегодняшний
день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?
Вопросы
1. Сколько существует рациональных способов раскроя?
2. Сколько комплектов стержней будет выпущено?
3. Какова при этом величина отходов (в см)?
ГЛАВА 3. МОДЕЛИ ЛОГИСТИКИ И РИСКА
§ 1. Моделирование процессов перевозок и назначения
1.1. Простейшие модели
Одним из распространённых процессов, при математическом моделировании которых с успехом используется транспортная задача и её модификации, является процесс перевозки и распределения продукции, сырья,
трудовых и материальных ресурсов. Другими словами, речь идёт о моделировании процессов перевозки продукции с m пунктов производства в n пунктов потребления так, чтобы при этом был выполнен баланс производства и
потребления и затрачены минимальные средства на транспортировку.
36
Математически этот процесс может быть описан следующим образом:
n
m
∑∑c x
ij i
→ min,
(1)
j =1 i =1
n
∑x
ij
= a i , i = 1...m ,
(2)
j =1
m
∑x
= b j , j = 1...n ,
(3)
xij ≥ 0, i = 1..m , j = 1...n.
(4)
ij
i =1
Здесь ai – объём запасов i-го продукта на складах (или в пунктах производства), ai>0;
bj – объём потребления j-го объекта, bj>0;
xij – количество продукции, перевозимое с i-го склада j-му потребителю;
cij – стоимость перевозки единицы груза с i-го склада j-му потребителю.
Отметим, что задача (1) – (4) является сбалансированной, если
m
∑a
i =1
n
i
= ∑ b j.
j =1
Если последнее условие не выполняется, причём объём потребления
превосходит объём запасов, то ограничение (2) записывается в виде:
m
∑x
ij
≤ b j , j = 1...n.
i=1
Если же предложение превосходит потребление, то ограничение (1)
записывается в виде:
n
∑x
ij
≤ ai , i = 1...m.
j =1
Нередко появляются дополнительные требования на пропускную
возможность коммуникации, в этом случае появляется дополнительное ограничение:
xij ≤ dij , i = 1...m, j = 1...n,
(5)
где dij – пропускная способность пути от i-го поставщика к j-му потребителю.
Простой модификацией данной модели является модель процесса назначения. Речь идёт о назначении m различных специалистов на n
мест работы при условии, что каждую работу должен выполнять лишь
один специалист и каждый специалист должен выполнять лишь одну работу. Приоритетная возможность i-го специалиста на получение j-й работы
37
оценивается коэффициентами cij матрицы С. При моделировании таких
процессов xij вводится как булевская переменная i-й
⎧⎪⎪1, если i-й работник будет назначен на выполнение j-й работы,
xij = ⎨
⎪⎪⎩0, если i-й работник не будет назначен на выполнение j-й работы.
Ограничения в этом случае записываются в виде:
m
∑x
ij
= 1, j = 1...n
ij
≤ 1, i = 1...m ,
i =1
или
n
∑x
j =1
в случае если m > n, т. е. специалистов больше, чем мест работы.
Функция цели имеет вид:
n
m
∑∑c x
ij ij
→ min.
j =1 i =1
К этому же типу моделей примыкают модели задач развития и
размещения, заключающихся в одновременном отыскании объёма выпуска изделий на пунктах производства и вопроса прикрепления пунктов производства к пунктам потребления. Данные модели называются моделями
развития и размещения и имеют следующий вид:
n
n
m
∑cx +∑∑c x
j i
ij ij
j =1
→ min,
j =1 i =1
m
∑x
ij
i =1
n
∑x
ij
= xj , j = 1...n ,
= ai , i = 1...m,
j=1
D j ≤ x j ≤ D j , j = 1...n,
xij ≥ 0, i = 1..m , j = 1...n,
где cj – затраты производства единицы продукции у j-го производителя;
xj – объём производства j-го производителя;
D j , D j – верхняя и нижняя границы для выпуска продукции;
cij – затраты на транспортировку ед. продукции от j-го производителя
к i-му потребителю;
xij – количество продукции, перевозимой от j-го производителя к i-му
потребителю;
ai – потребности i-го заказчика.
38
В заключение приведём модель развития и размещения в общем виде, в случае когда перевозится R видов продукции.
Найти оптимальный вариант развития транспортной сети, удовлетворяющий перевозке грузов к потребителям.
Введём обозначения:
q – номер варианта развития сети, Q – число всех вариантов развития сети;
g – вид груза, G – число всех видов груза;
i, j – пункты, между которыми осуществляется перевозка;
s – вид лимитированного ресурса; S – число всех видов лимитированных ресурсов;
Rsij – количество выделенных ресурсов s-го вида для развития
транспортного участка между пунктами i и j;
q
R sijg
– потребность в s-м виде ресурсов для перевозки g-го вида
грузов по участку i, j согласно q-му варианту развития сети;
q
c gij
– текущие затраты на перевозку g-го вида груза из пункта i в
пункт j согласно q-му варианту развития сети;
Kij – выделенные капитальные вложения для развития участка сети
от пункта i к пункту j;
q
K gij
– капитальные вложения, выделенные согласно q-му варианту
развития сети для перевозки g-го груза от пункта i к пункту j;
E – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений в транспорт;
aij – пропускная способность участка I, j;
q
a gij
– план перевозок g-го вида продукции, перевозимого от пункта
I к пункту j согласно q-му варианту;
q
x gij
– искомая величина, равная 1, если на участке от пункта I к
пункту j выбирается q-й вариант развития сети по перевозкам g-го вида
груза, и равная 0 в противном случае.
Математическая модель:
(
)
n
m
G
Q
F x qg ij = ∑ ∑ ∑ ∑ ( c qgij + EK
i =1 j=1 g =1q =1
q
gij
) x qgij → min
– минимизация приведённых затрат;
Q
∑x
q
gij
≤ 1, i = 1...n , j = 1...m , g = 1...G
q =1
– выбирается лишь один вариант развития;
G
Q
∑∑R
q
sijg
q
x gij
≤ R sij , s = 1...S , i = 1...n , j = 1...m
g =1 q =1
– ограничение на объёмы выделенных ресурсов;
39
Q
G
∑∑K
q
gij
q
x gij
≤ K ij , i = 1...n , j = 1...m
g =1 q =1
– ограничение на объёмы капитальных вложений;
G
Q
∑∑a
q
gij
q
x gij
≤ a ij , i = 1...n , j = 1...m
g =1 q =1
– ограничение на план перевозок
(
)
x qgij x qgij − 1 = 0
Данная
мирования.
задача
решается
∀ g , i , j , q.
методами
целочисленного
програм-
1.2. Закрепление приемов построения моделей
Задача 1. Известен выпуск продукции на трёх заводах: 460, 340 и
300 тонн соответственно. Требования четырёх потребителей на эту продукцию составляют: 350, 200, 450 и 100 тонн. Известны также затраты на
производство 1 единицы продукции на каждом заводе: 9, 8 и 2 р. соответственно, а также матрица транспортных расходов на доставку 1 единицы
продукции от i-го завода k-му потребителю:
⎛ 3 4 6 1⎞
⎜
⎟
C = (cik ) = ⎜ 5 1 2 3 ⎟ .
⎜ 4 5 8 1⎟
⎝
⎠
Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заводам из условия минимизации суммарных затрат на производство и транспортировку.
Сравнить с оптимальным планом, построенным из условия минимизации только транспортных расходов.
Решение. Обозначим через xik объем поставки продукции от i-го завода k-му потребителю. Данная транспортная задача является сбалансированной (460 + 340 + 300 = 350 + 200 + 450 + 100). Тогда ограничения на
выпуск продукции будут выглядеть следующим образом:
x11 + x12 + x13 + x14 = 460,
x21 + x22 + x23 + x24 = 340,
(1)
x31 + x32 + x33 + x34 = 300.
Ограничения на потребление продукции:
x11 + x21 + x31 = 350,
x12 + x22 + x32 = 200,
(2)
40
x13 + x23 + x33 = 450,
x14 + x24 + x34 = 100.
Неотрицательность объемов поставок:
xik ≥ 0, i = 1...3, k = 1...4 .
(3)
Задача состоит в минимизации суммарных расходов на производство и перевозку. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение:
9( x11 + x12 + x13 + x14 ) +8( x21 + x22 + x23 + x24 ) + 2( x31 + x32 + x33 + x34 ) +
(4)
+3x11 + 4x12 + 6x13 + x14 + 5x21 + x22 + 2x23 + 3x24 + 4x31 + 5x32 +8x33 + x34 → max.
Таким образом, целевая функция (4) и ограничения (1–3) представляют собой математическую модель для решения поставленной задачи.
В случае, когда необходимо минимизировать только транспортные
расходы, из целевой функции исключается выражение, описывающее производственные затраты. Целевая функция в этом случае примет вид:
3 x11 + 4 x12 + 6 x13 + x14 + 5 x21 + x22 + 2 x23 + 3 x24 +
+4 x31 + 5 x32 + 8 x33 + x34 → max.
(4`)
При этом все ограничения останутся прежними.
Задача 2. Строительный песок добывается в трёх карьерах и доставляется на четыре строительные площадки. Данные о производительности
за день (ai в тоннах), потребностях в песке строительных площадок (bk в
тоннах), затратах на добычу песка (di в р./т) и транспортных расходах (cik)
приведены в следующей таблице.
bk
ai
46
34
40
40
35
30
45
di
4
1
3
3
1
5
2
6
9
5
4
4
2
3
1
Недостающее количество песка – 30 т в день – можно обеспечить
следующими тремя путями:
I – увеличение производительности первого карьера, что повлечёт за
собой дополнительные затраты в 3 р. на добычу 1 т сверх плана;
II – увеличение производительности второго карьера с дополнительными затратами в 2 р./т сверх плана;
III – эксплуатация нового карьера с общими запасами 30 тонн, затратами на добычу 5 р./т и на транспортировку к указанным строительным
площадкам: c41 = 2, c42 = 3, c43 = 1, c44 = 2 (р./т).
Построить модель определения плана закрепления строительных площадок за карьерами и оптимального варианта расширения поставок песка.
41
Решение. Обозначим через xik объем поставки продукции от i-го
карьера на k-ю строительную площадку. Данная транспортная задача не
является сбалансированной ( 46 + 34 + 40 ≤ 40 + 35 + 30 + 45 ). Поэтому в задаче без дополнительных условий (I–III) ограничения на выпуск продукции будут выглядеть следующим образом:
x11 + x12 + x13 + x14 = 46,
x21 + x22 + x23 + x24 = 34,
x31 + x32 + x33 + x34 = 40.
Ограничения на потребление продукции:
x11 + x 21 + x31 ≤ 40 ,
x12 + x22 + x32 ≤ 35 ,
x13 + x 23 + x33 ≤ 30 ,
x14 + x24 + x34 ≤ 45.
Неотрицательность объемов поставок:
(1)
(2)
xik ≥ 0, i = 1...3, k = 1...4.
(3)
Задача состоит в минимизации суммарных расходов на производство
и перевозку. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение:
2( x11 + x12 + x13 + x14 ) + 3( x21 + x22 + x23 + x24 ) + ( x31 + x32 + x33 + x34 ) +
+ 4 x11 + 3 x12 + 2 x13 + 5 x14 + x21 + x22 + 6 x23 + 4 x24 +
(4)
+ 3 x31 + 5 x32 + 9 x33 + 4 x34 → min.
Варианты расширения поставок фактически необходимы для того,
чтобы сбалансировать задачу и обеспечить потребности строительных
площадок. Поэтому для того чтобы учесть данные варианты, введем новые
переменные и изменим ограничения (1–2) и целевую функцию (4).
Пусть x4k – объем поставки песка из нового четвертого карьера на
k-ю строительную площадку; z1 – объем дополнительного производства на
первом карьере, z2 – объем дополнительного производства на втором карьере. Тогда ограничения (1) будут заменены на следующие:
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 46 + z1 ,
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 34 + z 2 ,
(1`)
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 ,
x41 + x42 + x43 + x44 ≤ 30.
Ограничения (2) на следующие:
x11 + x21 + x31 = 40,
x12 + x22 + x32 = 35,
42
(2`)
x13 + x23 + x33 = 30,
x14 + x24 + x34 = 45.
Неотрицательность объемов поставок:
xik ≥ 0, i = 1...4, k = 1...4; z1 , z2 ≥ 0.
(3`)
Целевая функция примет вид:
02( x11 + x12 + x13 + x14 ) + 5 z1 + 3( x21 + x22 + x23 + x24 ) + 5 z2 +
+ ( x31 + x32 + x33 + x34 ) + 4 x11 + 3 x12 + 2 x13 + 5 x14 +
+ x21 + x22 + 6 x23 + 4 x24 + 3 x31 + 5 x32 + 9 x33 + 4 x34 +
+ 2 x41 + 3 x42 + x43 + 2 x44 → min.
(4`)
Задача 3. Первый склад (S1) имеет сталь двух марок: 3000 т марки
«А» и 4000 т марки «Б». Второй склад (S2) также имеет сталь двух марок:
5000 т марки «А» и 2000 т марки «Б». Сталь должна быть вывезена в два
пункта потребления: в пункт P1 необходимо поставить 2000 т стали марки
«А», 3000 т марки «Б» и остальные 2000 т стали любой марки. Аналогично
второй пункт потребления P2 должен получить 6250 т стали, из них 1000 т
стали марки «А» и 1500 т стали марки «Б». Известно, что 2000 т стали
марки «А» могут быть заменены на 1600 т стали марки «Б» (но не наоборот). Стоимость перевозок в рублях за тонну составляет: из пункта S1 в
пункты P1 и P2 1 р. и 1,5 р., из пункта S2 в P1 и P2 соответственно 2 р. и 1 р.
Составить модель оптимального плана перевозок.
Решение. Обозначим через xikg объем поставки стали g-й марки из
i-го склада на k-й пункт потребления. Подобные задачи (со взаимозаменяемыми ресурсами) решаются путем выражения объемов одного ресурса
в единицах другого. Например, в данной задаче выпишем все ограничения
в единицах стали марки «Б». В таблице приведены основные параметры
задачи, выраженные в единицах стали марки «Б».
В исходных едини- В единицах стали
цах
марки «Б»
марка «А»
3000
2400
Запасы на складе S1
марка «Б»
4000
4000
марка «А»
5000
4000
Запасы на складе S2
марка «Б»
2000
2000
марка «А»
2000
1600
Потребность 1-го
марка «Б»
3000
3000
пункта потребления
любой марки
2000
1600*
марка «А»
1000
800
Потребность 2-го
марка «Б»
1500
1500
пункта потребления
любой марки
3750
3000*
• В качестве стали «любой марки» логично выбрать сталь марки «А», которую затем можно заменить на меньшее количество стали марки «Б».
Тип ограничения
Марка стали
43
Как видим, общая потребность в стали обоих пунктов потребления
составляет 11 500 тонн (в единицах стали марки «Б»), в то время как общий запас (обоих складов) составляет 12 400 тонн. Задача не является сбалансированной. Тогда ограничения на наличие ресурсов будут выглядеть
следующим образом:
x11A + x12A ≤ 3000 ,
x11B + x12B ≤ 4000 ,
(1)
A
A
x 21
+ x 22
≤ 5000 ,
B
B
x21 + x22 ≤ 2000.
Ограничения на потребление стали марки «Б» (т. к. она не заменима
маркой «А»):
B
x11B + x21
≥ 3000,
(2)
B
x12B + x22
≥ 1500.
Cталь марки «А», как и остаток «любой марки», может быть заменена сталью марки «Б», поэтому к ограничениям (2) для каждого склада необходимо добавить ограничения на общее количество поставляемой стали
всех марок, выраженное в единицах стали марки «Б»:
B
0,8( x11A + x21A ) + ( x11B + x21
) = 6200,
(3)
B
0,8( x12A + x22A ) + ( x12B + x22
) = 5300.
Здесь 6200 и 5300 – общая потребность соответственно 1-го и 2-го пунктов
потребления стали обеих марок, выраженная в единицах стали марки «Б»
1600
– коэффициент перевода
(подробнее – см. табл. к задаче 3), а 0,8 =
2000
стали марки «А» в сталь марки «Б».
Неотрицательность объемов поставок:
xikg ≥ 0, i = 1..2, k = 1..2, g ∈ {" А" , " Б"}.
(4)
Задача состоит в минимизации суммарных расходов на производство
и перевозку. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее
выражение:
( x11A + x11B ) + 1,5( x12A + x12B ) + 2( x21A + x21B ) + ( x22A + x22B ) → min.
(5)
Целевая функция (5) и ограничения (1–4) представляют собой математическую модель для решения поставленной задачи.
Задача 4. Компания «Рекорд» имеет 4 различных сборочных линии
на своём главном заводе. Управляющий производством имеет 5 служащих
44
и желает назначить по одному служащему к каждой из сборочных линий.
Каждый из этих служащих может работать на любой сборочной линии, но
с различными затратами, связанными с индивидуальным опытом и мастерством. Эти затраты приведены в таблице.
Сборочная линия
1
2
3
4
Сужащий
Служащий 1
Служащий 2
Служащий 3
Служащий 4
Служащий 5
23
18
25
20
16
19
22
20
24
18
22
20
22
24
20
27
18
30
28
25
Каким образом следует управляющему производством прикрепить
служащих к сборочным линиям с тем, чтобы минимизировать общие затраты?
Решение. Введем переменные xik ∈ {0,1} следующим образом: xik = 1,
если i-й служащий назначается на k-ю производственную линию, в противном случае xik = 0. Данная задача не является сбалансированной – количество служащих больше количества производственных линий. Тогда ограничения задачи будут выглядеть следующим образом:
4
∑x
ik
≤ 1, i = 1...5
(1)
k =1
– сотрудник не может быть назначен на две линии одновременно, кроме
того, один из сотрудников останется неназначенным;
5
∑x
ik
= 1, k = 1...4
(2)
i=1
– на каждую линию обязательно будет назначен один сотрудник;
xik ∈ {0,1}
(3)
– ограничение на переменные по условию.
Задача состоит в минимизации общих затрат на производство. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение:
23x11 + 19 x12 + 22 x13 + 27 x14 +
+18 x21 + 22 x22 + 20 x23 + 18 x24 +
+25 x31 + 20 x32 + 22 x33 + 30 x34 +
+20 x41 + 24 x42 + 24 x43 + 28 x44
+16 x51 + 18 x52 + 20 x53 + 25 x54 → min.
45
(4)
1.3. Упражнения для самостоятельной работы
Задача 1. Построить модель формирования плана перевозок из условия доставки груза в кратчайший срок. Известны объёмы ресурсов у трёх
поставщиков (30, 35, 40) и потребности в них у пяти потребителей (20, 34,
16, 10, 25), а также матрица
⎛2 6 3 4 8 ⎞
⎜
⎟
T = (t ik ) = ⎜ 1 5 6 9 7 ⎟ ,
⎜ 3 4 1 6 10 ⎟
⎝
⎠
где tik – время, затрачиваемое на перевозку груза от i-го поставщика в k-й
пункт назначения.
Задача 2. На 3 сахарных завода доставляется сахарная свекла из 4-х
совхозов. Максимальные мощности ее производства по первому, второму
и четвертому совхозам равны соответственно 250, 300, и 600 тыс. тонн.
Минимальное производство сахарной свеклы во втором совхозе составляет 100 тыс. тонн. Себестоимость производства свеклы по совхозам составляет соответственно 15, 20, 35 и 10 р. за центнер. Стоимость перевозки 1
тонны свеклы на каждый завод задана матрицей:
⎛ 7 9 15 ⎞
⎟
⎜
⎜ 2 10 4 ⎟
C =⎜
.
3 5 8⎟
⎟⎟
⎜⎜
15
17
20
⎝
⎠
Составить математическую модель оптимального производства сахарной свеклы и ее перевозки на заводы.
Задача 3. На заводах, расположенных в точках h1 и h2, из сырья, добываемого в месторождениях i1 и i2, изготавливаются два сорта продукции
А и В для пунктов потребления j1 и j2. Потребности пункта j1 могут быть
удовлетворены при помощи 1500 единиц продукции сорта А, из которых
1000 единиц «заменимы» В, то есть вместо каждой единицы сорта А можно
использовать две единицы сорта В. Для пункта j2 требуется 1200 единиц
продукта сорта А, из которых заменимыми В являются 900 единиц.
Из единицы сырья может быть получено или две единицы продукта
А, или четыре единицы продукта В.
Себестоимость добычи сырья в обоих месторождениях одинакова –
60 р., а провоз единицы сырья обходится из пункта i1 в пункт k1 – 60 р.,
в пункт k2 – 120 р.; из i2 в k1 – 180 р., в k2 – 60 р.
Расходы по изготовлению единицы продукции сорта А на заводах k1
и k2 составляют (без расходов по добыче и доставке сырья) соответственно
46
90 р. и 60 р. Расходы по изготовлению единицы продукции сорта В и на заводе k1, и на заводе k2 составляют 15 р.
Перевозка готовой продукции обходится в расчёте на единицу продукции (любого сорта): при снабжении заводом k1 потребителей в j1 в 30 р.;
при снабжении тех же потребителей заводом k2 – 60 р.; при доставке в
пункт i2 продукции из k1 расходы составляют 50 р., при доставке в тот же
пункт продукции из k2 соответствующая величина составляет 70 р.
Максимально возможный объём добычи сырья в месторождении i1 –
500 ед., i2 – 1000 ед.
Верхние границы возможных масштабов производства готовой продукции составляют для завода k1 – 800 единиц продукции сорта А и 2000
единиц сорта В, для завода k2 – 700 единиц по сорту А и 1600 единиц по
сорту В. При этом производственная программа для завода k1 должна предусматривать производство не менее 600 единиц продукции сорта А.
Требуется составить комплексный план добычи сырья в пунктах i1 и
i2, переработки его на заводах k1 и k2 и доставки готовой продукции потребителям в j1 и j2, который обеспечил бы полное удовлетворение потребностей при наименьших производственных и транспортных расходах.
Задача 4. Нефтяная компания в ходе аукциона получила в свое распоряжение четыре месторождения. Геологоразведочные работы показали,
что в районе месторождения М1 можно было бы пробурить не более 30
скважин, месторождения М2 – не более 80, М3 – не более 10, М4 – не более
20. К сожалению, не существует гарантии, что все пробуренные скважины
будут производительны. Вероятности успешного завершения буровых работ на всех месторождениях приведены в таблице.
Месторождения
М1
М2
М3
М4
Вероятность успешного завершения бурения
50 %
90 %
60 %
80 %
Стоимость бурения
одной скважины,
млн р.
12
5
10
8
Количество обсадных труб на одну
скважину
20
50
35
40
В данной таблице также приведена полная стоимость бурения одной
скважины, а также количество обсадных труб, необходимых для одной
скважины. Обсадные трубы требуются для подготовки скважины к эксплуатации, поэтому они используются только в случае успешного бурения.
Компания имеет собственные запасы обсадных труб, которые находятся на трех складах компании S1, S2 и S3 в количествах 1500, 850 и 2000
штук соответственно. Кроме того, в случае необходимости трубы могут
быть закуплены у производителя, имеющего собственный склад S4 по цене
1 тыс. р. за штуку в количестве не более 2500.
В следующей таблице приведены затраты на транспортировку труб
от каждого склада до каждого из месторождений (тыс. р. за 1 трубу).
47
Месторождения
М1
М2
М3
М4
0,5
0,01
0,8
0,5
0,3
0,4
0,6
0,7
0,6
0,1
0,6
0,6
0,02
0,4
1,1
0,1
Склады
S1
S2
S3
S4
Компания имеет возможность оплатить расходы, связанные с разработкой всех месторождений.
На основании данной информации построить модель для определения оптимального плана бурения скважин нефтяной компании, минимизирующего все расходы.
Задача 5. Инспектор компании «Отеда» имеет 3 различных проекта
строительства дорог, каждый из которых был рассчитан на всё лето. Инспектор хочет, чтобы проекты были завершены к концу лета и средства на
эти проекты изыскивались на месте. В результате были найдены три подрядчика, каждый из которых предлагал цену (в тыс. долл.) на каждые из
трёх проектов, которая показана в следующей таблице.
Проект
Подрядчик
С1
С2
С3
Р1
Р2
Р3
14
18
19
16
14
17
18
16
20
Необходимо распределить контракты таким образом, чтобы минимизировать общие затраты по всем проектам, предполагая, что каждый подрядчик может выполнить ровно один проект.
Задача 6. Компания имеет 5 новых районов продаж и 6 коммивояжёров, пригодных, чтобы назначить их в эти районы. Эти районы продаж
достаточно малы, так что для каждого района требуется только один человек. Данные относительно этих районов продаж и коммивояжёров даны
ниже.
Район продаж
Годовой объём потенциальных
продаж (в 10000 долл.)
Коммивояжёры
1
Оценка степени захвата риска (%)
75
А1
А2
А3
А4
А5
5,2
7,0
6,4
4,8
5,0
2
3
4
5
6
60
55
80
50
45
Проценты представляют оценку доли потенциальных продаж каждым коммивояжёром, если бы они работали в одинаковых условиях. Про48
центы отражают различия в способностях коммивояжеров осуществлять
продажи.
Каким образом следует сделать назначения для того, чтобы максимизировать общий потенциальный объём продаж?
Задача 7. Семь классов школы бизнеса собираются посетить 14 местных компаний. Каждый класс будет разделён на 2 группы и каждая
группа посетит одну компанию. Задача заключается в том, чтобы распределить компании между группами таким образом, чтобы наилучшим образом отразить желание входящих в них студентов.
В каждой группе было проведено голосование и опрос для того, чтобы разработать перечень предпочтений для 14 компаний: «1» означает
«наиболее предпочтительна», «14» – «наименее предпочтительна». Предпочтения каждого из семи классов приведены в таблице ниже.
Компания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
М
М
М
М
М
М
М
Классы
1
2
3
4
5
6
7
11
5
2
14
1
9
6
10
13
12
4
3
7
8
10
4
2
13
1
12
7
14
11
8
6
3
9
5
11
3
4
12
1
7
9
8
13
14
2
6
5
10
14
4
3
10
2
6
7
9
12
13
1
5
8
11
13
6
3
14
1
11
2
8
12
10
7
4
5
9
6
4
7
12
1
9
5
11
13
14
3
2
8
10
9
6
2
14
1
11
8
7
12
13
4
3
5
10
Необходимо распределить по две компании на класс так, чтобы минимизировать суммарное значение «точек ранжирования».
Используя тот же самый метод, переделать распределение так, чтобы
каждому классу досталось по одной промышленной компании (обозначенной «М» в приведённой таблице) и одной компании, занятой в сфере услуг.
§ 2. Распределительные модели
2.1. Модели распределительных процессов
Задачи оптимального распределения взаимозаменяемых ресурсов
получили название распределительных задач. Для их формулировки введём обозначения:
i – порядковый номер одного из взаимозаменяемых ресурсов, p – общее число взаимозаменяемых ресурсов;
49
ai – общее количество i-го ресурса;
k – номер потребителя, q – общее число всех потребителей;
bk – количество «единиц потребности» k-го потребителя;
cik – оценка использования единицы i-го ресурса на удовлетворение
k-го потребителя;
λik – количество «единиц потребности» k-го потребителя, которые
удовлетворяются единицей i-го ресурса;
xik – количество единиц i-го ресурса, используемых для удовлетворения k-го потребителя.
C учётом обозначений математическая модель распределительных
процессов имеет следующий вид:
p
q
∑∑ c
x → min (max),
ik ik
i=1 k =1
q
∑x
ik
≤ ai , i = 1... p,
k =1
q
∑λ x
ik ik
≥ bk , k =1...q,
(1)
(2)
k=1
xik ≥ 0, i = 1... p , k = 1...q.
(3)
В зависимости от конкретного характера задачи может варьироваться конкретное содержание, а также размерность исходных величин ai, bk,
cik, λik, что в свою очередь приведёт к некоторой модификации модели.
Так, например, λik может выражать число единиц i-го ресурса, затрачиваемых на единицу k-й потребности. Тогда ограничения (1), (2) заменяются на
q
∑x
k =1
p
≤ ai
ik
xik
∑λ
i =1
≥ bk .
ik
Если при этом cik означает оценки единицы k-го изделия в р./шт., то
изменится и выражение для целевой функции:
p
q
c x
∑∑ ik ik → min (max).
i=1 k =1
λik
Целевая функция может максимизироваться, например, если cik означает прибыль, стоимость и т. д., или минимизироваться, если эти оценки
измеряют затраты, себестоимость и т. д. Форма модели также будет зависеть от выбора переменных xik. Вне зависимости от этих полученных модификаций модели она имеет некоторое сходство с транспортной. Однако
наличие в одной из групп ограничений множителей λik приводит к известным осложнениям при анализе этих моделей.
50
Распределительные задачи решаются с помощью специальных вычислительных методов, представляющих собой модификацию методов
решения транспортных задач. Частными видами таких задач являются:
1) простые распределительные задачи (все λik = const);
2) задачи с однородными ресурсами (все строки матрицы (λik ) одинаковы, то есть λik = λ1k при различных k);
3) задачи с пропорциональными ресурсами (λik = αiλ1k при различных i).
2.2. Задачи для закрепления приемов моделирования
распределительных процессов
Задача 1. Имеется три сорта бумаги в количествах 10, 8 и 5 т, которые можно использовать на издание четырёх книг тиражом в 8000, 6000,
15 000 и 10 000 экземпляров. Расход бумаги на одну книгу составляет 0,6,
0,8, 0,4 и 0,5 кг, а себестоимость (в к.) печатания книги при использовании
i-го сорта бумаги задаётся матрицей:
⎛ 24 16 32 25 ⎞
⎜
⎟
C = (cik ) = ⎜ 18 24 24 20 ⎟ .
⎜ 30 24 16 20 ⎟
⎝
⎠
Определить оптимальное распределение бумажных ресурсов.
Вариант решения 1. Обозначим через xik количество бумаги i-го сорта, расходуемой на печать k-й книги. Тогда получим следующие ограничения на запасы бумаги (по каждому сорту):
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 10000,
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 8000,
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 5000.
(1)
Ограничения на производственную программу:
1
( x11 + x21 + x31 ) ≥ 8000,
0,6
1
( x12 + x22 + x32 ) ≥ 6000,
0,8
1
( x13 + x23 + x33 ) ≥ 15 000,
0, 4
1
( x14 + x24 + x34 ) ≥ 10 000.
0,5
Требование неотрицательности переменных:
51
(2)
xik ≥ 0, ∀i = 1...3, k = 1...4.
(3)
Функция цели в данной задаче представляет собой выражение, описывающее производственные расходы на печать книг, которые должны
быть минимизированы:
1
1
(24 x11 + 18 x21 + 30 x31 ) +
(16 x12 + 24 x22 + 24 x32 ) +
0, 6
0,8
1
1
+
(32 x13 + 24 x23 + 16 x33 ) +
(25 x14 + 20 x24 + 20 x34 ) → min .
0, 4
0,5
(4)
Ограничения (1–3) и целевая функция (4) составляют искомую математическую модель.
Вариант решения 2. Обозначим через xik количество экземпляров k-й
книги, отпечатанной на бумаге i-го сорта. Тогда получим следующие ограничения на запасы бумаги (по каждому сорту):
0,6 x11 + 0,8 x12 + 0,4 x13 + 0,5 x14 ≤ 10 000,
0,6 x21 + 0,8 x22 + 0,4 x23 + 0,5 x24 ≤ 8000,
0,6 x31 + 0,8 x32 + 0,4 x33 + 0,5 x34 ≤ 5000.
Ограничения на производственную программу:
x11 + x21 + x31 ≥ 8000,
x12 + x22 + x32 ≥ 6000,
x13 + x23 + x33 ≥ 15 000,
x14 + x24 + x34 ≥ 10 000.
(1)
Требование неотрицательности переменных:
xik ≥ 0, ∀i = 1...3, k = 1...4.
Функция цели:
24 x11 + 16 x12 + 32 x13 + 25 x14 +
+18 x21 + 24 x22 + 24 x23 + 20 x24 +
+30 x31 + 24 x32 + 16 x33 + 20 x34 → min.
Задача 2. Авиакомпания для организации пассажирских перевозок
между центром и четырьмя городами располагает тремя группами самолётов: 1-я группа – из 10 четырёхмоторных самолётов, 2-я – из 25 двухмоторных самолётов и 3-я – из 40 двухмоторных старого образца.
Минимальное (гарантированное) количество пассажиров, перевозимых одним самолётом данного типа по каждому маршруту за один месяц
(в тыс. человек), и связанные с этим эксплуатационные расходы на 1 самолёт (в тыс. р.) указаны соответственно в правых верхних и левых нижних
углах каждой клетки таблицы. Там же в двух последних строках приведе52
ны количество пассажиров, которое нужно перевезти по данному маршруту в месяц, и стоимость одного билета.
Маршрут
Город
Самолет
1
1
2
3
Количество пассажиров,
тыс. чел.
Стоимость билета, р.
2
1,6
16
3
2,2
20
1,3
3,0
25
0,8
2,4
20
–
15
–
15
2,8
30
4
2,0
25
1,0
12
1,5
16
20
50
40
30
25
15
20
15
Распределить самолёты по маршрутам из условия достижения максимальной прибыли авиакомпании.
Решение. Обозначим через xij количество самолетов i-го вида, выполняющих рейсы по j-му маршруту. Тогда получим ограничения на количество самолетов каждого вида:
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 10,
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 25,
(1)
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40.
В данной задаче потребностью является необходимость перевезти
определенное количество пассажиров по определенному маршруту. Тогда
ограничения на удовлетворение потребностей будут выглядеть следующим
образом:
1,6 x11 + 2,8 x21 + 0,8 x31 ≥ 20,
2,2 x21 + 3,0 x22 ≥ 50,
(2)
1,3 x31 + 2,4 x32 + 1,0 x33 ≥ 40,
2,0 x42 + 1,5 x43 ≥ 30.
Требование неотрицательности переменных:
xij ≥ 0, ∀i = 1...3, j = 1...4.
(3)
Целевая функция должна представлять собой выражение, описывающее доход авиакомпании, который формируется за счет продаж билетов за вычетом эксплуатационных расходов. Она будет иметь вид:
25 (1,6 x11 + 2,8 x21 + 0,8 x31 ) + 15 (2, 2 x12 + 3 x22 ) +
+ 20 (1,3 x13 + 2, 4 x 23 + 1x33 ) + 15 (2 x24 + 1,5 x34 ) −
(4)
− (16 x11 + 20 x12 + 15 x13 ) − (30 x 21 + 25 x 22 + 20 x 23 + 25 x 24 ) −
− (15 x31 + 12 x33 + 16 x34 ) → max .
53
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. На четырёх ткацких станках с объёмом рабочего времени
200, 300, 250 и 400 станко-часов может изготавливаться ткань трёх артикулов в количествах 260, 200, 340 и 500 метров за 1 час. Составить модель
формирования плана загрузки станков, если прибыль (в р.) от реализации
1 м ткани i-го артикула при её изготовлении на k-м станке характеризуется
элементами матрицы:
⎛ 2,5 2,2 2,0 2,8 ⎞
⎜
⎟
C = (cik ) = ⎜ 2,2 1,0 1,9 1,2 ⎟ ,
⎜ 1,6 1,0 0,6 0,9 ⎟
⎝
⎠
а суммарная потребность в ткани каждого из артикулов равна соответственно 200, 100 и 150 тыс. м.
Задача 2. Четыре ремонтные мастерские могут за год отремонтировать соответственно 700, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта
одной машины в 50, 70, 65 и 60 р. Планируется годовая потребность в ремонте пяти автобаз: 350, 350, 300 и 200 машин. Избыточные мощности 1-й
и 2-й мастерских могут быть использованы для обслуживания других видов работ, в 3-й и 4-й мастерских – только на указанный вид работ.
Матрица
⎛ 40
⎜
⎜ 20
C = (c ik ) = ⎜ 60
⎜
⎜ 10
⎜ 20
⎝
10
80
70
30
30
30
40
50
30
10
50 ⎞
⎟
10 ⎟
40 ⎟
⎟
50 ⎟
40 ⎟⎠
характеризует транспортные расходы на доставку машины с i-й автобазы
на k-ю ремонтную мастерскую.
Определить минимальную годовую потребность в кредитах на выполнение указанного объёма ремонтных работ по всем автобазам.
Задача 3. Четыре различных предприятия могут выпускать любой из
четырёх видов продукции. Производственные мощности предприятий позволяют обеспечить выпуск продукции каждого вида в количествах (по заводам): 50, 70, 100 и 30 тыс. штук, а плановое задание составляет соответственно (по видам продукции) 30, 80, 20 и 100 тыс. шт. Матрица
⎛9 5 4 8⎞
⎜
⎟
⎜5 7 9 4⎟
C = (c ik ) = ⎜
6 4 8 6⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝8 6 7 5⎠
характеризует себестоимость единицы k-го вида продукции при производстве его на i-м предприятии.
54
Найти оптимальное распределение планового задания между предприятиями.
Задача 4. Имеется три предприятия (1, 2, 3), которые могут выпускать три вида продукции: А, Б, В. Каждое из них располагает двумя видами ресурсов (I, II), объёмы которых составляют для 1-го предприятия 250 и
150 единиц, для 2-го 100 и 200 единиц и для 3-го соответственно 240 и 300
единиц. Известны: нормы затрат каждого ресурса на i-м предприятии для
производства единицы k-й продукции (k = 1, 2, 3); себестоимость производства единицы k-й продукции на i-м предприятии; объём производства
k-й продукции, предусмотренный производственной программой.
Все указанные числовые данные приведены в следующей таблице.
Продукция А
Предприятия
1
2
3
Программа выпуска
Нормы затрат
I реII ресурс
сурс
2
4
1,5
5
2,2
3
Себестоимость
2
3
2,5
Продукция Б
Нормы затрат
I реII ресурс
сурс
1,1
2
1,6
3
1,2
2,4
300
170
Продукция В
Себестоимость
8
7
9
Нормы затрат
I реII ресурс
сурс
2,5
3
2,2
2,5
2,4
4,2
Себестоимость
5
6
7
250
Составить математическую модель для определения оптимальной
специализации производства из условия минимизации суммарной себестоимости.
Решить ту же задачу из предположения, что I вид ресурсов жёстко
закреплён за предприятием, а II вид можно передавать от одного предприятия другому.
§ 3. Моделирование рисковых ситуаций в экономике
Риск – вероятность возникновения убытков или снижения доходов
по сравнению с прогнозируемым вариантом. Усиление риска – это оборотная сторона свободы предпринимательства, своеобразная за нее плата.
Чтобы выжить в условиях конкуренции, нужно решаться на внедрение инноваций и на смелые нестандартные действия, а это усиливает риск. Приходится смириться с неизбежностью риска, научиться его оценивать и прогнозировать.
Под неопределенностью понимается неполнота или неточность информации об условиях реализации проекта (решения). Выделяют два класса источников информационной неопределенности: ее избыток и дефицит.
Дефицит информации может порождаться ее недостоверностью, противоречивостью, искажением, невозможностью четкой интерпретации. Избыток информации порождается ее большими объемами и наличием «шума».
55
Считается, что частичное (либо полное) отсутствие или избыток информации в задачах принятия решений могут порождать следующие типы
неопределенности:
– неопределенность состояний внешней среды;
– неопределенность целей;
– неопределенность действий.
При проведении финансовых операций важнейшим следствием информационной неопределенности является также и временная неопределенность (т. е. неопределенность, касающаяся продолжительности операции;
времени поступления информационного сигнала – например, времени покупки/продажи актива; изменения характеристик потоков платежей и т. д.).
В условиях неопределенности субъект может приступить к действию,
отсрочить действие либо вообще отказаться от его реализации.
В отличие от неопределенности риск возникает только в тех ситуациях, когда субъект принимает решение действовать. Будучи неразрывно
связан с действием, риск, по сути, является некоторой прогностической
оценкой возможности или последствий его осуществления. Очевидно, что
подобная оценка должна предварять действие.
Исследования взаимосвязи риска и неопределенности в экономике
имеют давнюю историю и представляют немалый интерес. Классическая
концепция взаимосвязи риска и неопределенности была сформулирована
Ф. Найтом (1921) в его работе «Риск, неопределенность и прибыль». Согласно концепции Найта, риск – это измеримая неопределенность: предприниматель может «предвидеть» или «угадать» некоторые основные параметры (результаты, условия) своего дела в будущем. С точки зрения современного количественного анализа это означает, что распределение ассоциируемой с риском случайной величины известно или может быть каким-то образом определено (задано). Способ выявления вероятностей может быть относительно простым (например, по прецеденту, путем использования известного закона распределения и т. д.) или достаточно сложным,
когда ситуацию приходится описывать в плохо определенных терминах,
например с помощью лингвистических переменных. Соответственно, неопределенность связана с отсутствием какого-либо способа формирования
соответствующего распределения вероятностей и не поддается объективному или субъективному измерению. Несмотря на условность подобных
формулировок, подход Ф. Найта определяет математическую базу для количественного измерения и моделирования рисков, которой является аппарат теории вероятностей. Развитие подходов Ф. Найта в области численной
оценки рисков нашло свое продолжение в теории рационального выбора
(Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн) и теории оценки предпочтения состояний (state-preference theory), предложенной К. Эрроу, которые играют
важнейшую роль при моделировании финансовых рисков. Неопределен56
ность описывается как конечное множество взаимоисключающих состояний S = {S1 ,..., S n } . При этом делаются следующие допущения:
– предполагается, что каждому из возможных состояний S i может
быть приписана его вероятностная оценка p( S i ) ;
– реализация конкретного состояния полностью определяет значения
всех экзогенных переменных;
– субъект способен ранжировать свои предпочтения в зависимости от
вероятностных оценок.
В простейшем случае исход любого состояния считается равновероятным. Таким образом, риск является оценкой конкретной реализации неопределенности (состояния).
Существует ряд подходов к классификации рисков. Одним из первых
классификацией рисков занялся Дж. М. Кейнс. Обобщая классификацию
Кейнса, подавляющее большинство авторов в настоящий момент выделяет следующие риски:
1) организационные риски: в этот пункт можно включить риски, связанные с ошибками менеджмента компании, ее сотрудников; проблемами
системы внутреннего контроля, плохо разработанными правилами работ и
пр., т. е. риски, связанные с внутренней организацией работы компании;
2) рыночные риски – это риски, связанные с нестабильностью экономической конъюнктуры: риск финансовых потерь из-за изменения цены
товара, риск снижения спроса на продукцию, трансляционный валютный
риск, риск потери ликвидности и пр.;
3) кредитные риски – риск того, что контрагент не выполнит свои
обязательства в срок. Эти риски существуют как у банков (классический
риск невозврата кредита), так и у предприятий, имеющих дебиторскую задолженность, и организаций, работающих на рынке ценных бумаг;
4) юридические риски – это риски потерь, связанных с тем, что законодательство или не было учтено вообще, или изменилось в период сделки; риск несоответствия законодательств разных стран; риск некорректно
составленной документации, в результате чего контрагент в состоянии не
выполнять условия договора и пр.;
5) технико-производственные риски – риск нанесения ущерба окружающей среде (экологический риск); риск возникновения аварий, пожаров,
поломок; риск нарушения функционирования объекта вследствие ошибок
при проектировании и монтаже, ряд строительных рисков и пр.
Помимо вышеприведенной классификации, риски можно классифицировать по другим признакам. По последствиям принято разделять риски
на три категории:
– допустимый риск – это риск решения, в результате неосуществления которого предприятию грозит потеря прибыли; в пределах этой зоны
предпринимательская деятельность сохраняет свою экономическую целе57
сообразность, т. е. потери имеют место, но они не превышают размер ожидаемой прибыли;
– критический риск – это риск, при котором предприятию грозит
потеря выручки; иначе говоря, зона критического риска характеризуется
опасностью потерь, которые заведомо превышают ожидаемую прибыль и,
в крайнем случае, могут привести к потере всех средств, вложенных предприятием в проект;
– катастрофический риск – риск, при котором возникает неплатежеспособность предприятия; потери могут достигнуть величины, равной
имущественному состоянию предприятия. Также к этой группе относят
любой риск, связанный с прямой опасностью для жизни людей или возникновением экологических катастроф.
В процессе риск-менеджмента важнейшим этапом является анализ и
оценка риска. Необходимость этого этапа определяется потребностью выявить степень возможности возникновения риска и величину потерь в случае возникновения. Цель учета риска – защита от катастрофических убытков и минимизация затрат на прирост стоимости капитала.
Расчет и анализ рисков может включать:
– моделирование последствий каждого фактора риска;
– определение реальной (прогнозируемой) возможности появления
каждого фактора риска и потерь;
– временное распределение рисков;
– построение структурно-элементной модели факторов риска с идентификацией каждого фактора и его количественной оценкой;
– ранжирование факторов риска по значимости и выбор наиболее
опасных рисков;
– создание базы данных (базы знаний) по аналогичным проектам о
приемлемости того или иного уровня риска;
– выбор альтернативных критериев для выработки стратегии
управления риском;
– максимизацию ликвидности;
– максимизацию прибыльности при фиксированных уровнях ликвидности и риска;
– минимизацию риска для фиксированных уровней ликвидности и
прибыли.
3.1. Математические приемы моделирования процессов,
протекающих в условиях риска и неопределенности
Выбор аппарата моделирования процессов, протекающих в условиях
риска и неопределенности, определяется спецификой постановки задачи и
конкретной информацией о случайных величинах, являющихся форма58
лизованным описанием неопределенности ситуации. Выделим несколько
подходов.
1. В условиях полного отсутствия информации о распределении случайной величины S , значения которой описывают конечное множество
взаимоисключающих событий в будущем S = {S1 ,..., S n } , используются критерии максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, базирующиеся на так называемой матрице выигрышей [8]. Пример 1 демонстрирует использование
данных критериев с кратким изложением теории. В случае непрерывного
характера случайной величины S и отсутствия информации о ее распределении, при формировании математических моделей, являющихся аналогами моделей, приведенных в предыдущих разделах пособия, делаются следующие практические рекомендации. Во-первых, рекомендуют добавлять
в модели интервальные ограничения S min ≤ S ≤ S max , соответствующие экспертной оценке для данной случайной величины, во-вторых, строить дерево решений, отражающее параметрический анализ оптимального решения
модели [8].
2. Если известен закон распределения случайных величин, являющихся
формализованным описанием неопределенности ситуации, то все зависит от
глубины исследования и доступного математического аппарата. В простейшем случае вместо детерминированного показателя эффективности коммерческого решения (наиболее часто используемым показателем эффективности
коммерческого решения служит прибыль) и (или) детерминированных параметров модели используется математическое ожидание (среднее ожидаемое
значение) этих величин, а мерой риска коммерческого решения считается
среднеквадратическое отклонение значения показателя эффективности этого
решения.
Действительно,
поскольку
риск
обусловлен
недетерминированностью исхода решения, то чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем, тем меньше риск. Такой подход
к моделированию ситуации в условиях риска и неопределенности используется в хорошо известной задаче формирования портфеля ценных бумаг в финансовом анализе. В нашем пособии данный подход демонстрируется в примерах 2, 3, 4, 5. В [8, 9] делается подробный анализ такого подхода.
3. Отдельно рассмотрим подход стохастического программирования
[10], хотя он является частным случаем предыдущего. Этот подход можно
использовать только в ситуациях, когда известен закон распределения случайных величин, являющихся формализованным описанием неопределенности ситуации. Опишем данный подход на примере задач линейного программирования. Если коэффициенты вектора c целевой функции являются
случайными величинами, то задача стохастического программирования
может быть сформулирована в двух M - и P -постановках. При M постановке целевая функция означает максимизацию (минимизацию) ма-
59
тематического ожидания показателя эффективности решения и записывается в виде:
⎡ n
⎤
M ⎢ ∑ c j x j ⎥ → max (min).
⎢
⎥
⎣ j−1
⎦
При использовании P -постановки должно быть экспертно задано
предельно допустимое наихудшее значение целевой функции, например,
при максимизации задается минимально допустимое значение Fmin . Суть
P -постановки заключается в том, чтобы найти значения x j , при которых
максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже
предельного значения:
⎡ n
⎤
⎢
P ∑ c j x j ≥ Fmin ⎥ → max.
⎢
⎥
⎣ j=1
⎦
При записи ограничений фактор неопределенности можно также учитывать двумя способами. В первом варианте случайные величины, определяющие параметры линейных ограничений, определяются их математическими ожиданиями, и ограничения записываются в виде:
n
∑a
j =1
ij
x j ≤ bi ,
где aij , bi – математические ожидания случайных величин aij , bi . Во втором
варианте каждое i -е ограничение должно быть записано следующим образом:
⎡ n
⎤
P ⎢ ∑ aij x j ≤ bi ⎥ ≥ gi .
⎢ j=1
⎥
⎣
⎦
Эта запись означает, что вероятность того, что будет выполнено ограничение
n
∑a
j =1
ij
x j ≤ bi , должна быть не менее заданной величины g i .
В общем случае задачи стохастического программирования как M - ,
так и в P -постановках непосредственно не решаются. Возможным методом решения этих задач является переход к их детерминированным эквивалентам, в основе которого лежит использование закона распределения
случайных величин [10].
Пример 1. Рассматривается проблема выбора из n альтернативных
решений в условиях неопределенности, когда известны только m предполагаемых состояний окружающей среды и нет информации о вероятности
наступления каждого из этих состояний. Считается известной матрица выигрышей. В строках данной матрицы стоят возможные альтернативные
решения A1 , A2 ,..., An , а в столбцах – возможные состояния окружающей
60
среды B1 , B 2 ,..., B m . На пересечении i -й ( i = 1,..., n ) строки и j -го
( j = 1,..., m ) столбца стоит выигрыш ЛПР в случае, если при принятии i -го
решения наступит j -е состояние окружающей среды.
B1
Bj
Bm
A1
Ai
aij
An
Такая постановка задачи может соответствовать, например, следующей
ситуации. Некоторая компания «Российский сыр» – небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт – собирается производить новый продукт: сырную пасту. Генеральный директор должен решить, сколько
ящиков: 6, 7, 8 или 9 – сырной пасты следует производить в течение месяца.
Предполагается, что спрос может быть также 6, 7, 8 или 9 ящиков. Вероятности того или иного спроса считаются неизвестными. Затраты на производство
одного ящика равны 45 долл. Компания собирается продавать каждый ящик
по цене 95 долл. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца,
то она портится и компания не получает дохода.
Альтернативными решениями в данной задаче являются различные
показатели числа ящиков с сырной пастой, которые следует производить
компании. Состояния природы характеризуются величиной спроса на аналогичное число ящиков.
Спрос
6
7
8
9
6
300
300
300
300
7
255
350
350
350
8
210
305
400
400
9
165
260
355
450
Предложение
Для построения матрицы выигрышей используется тот факт, что затраты
на производство одного ящика 45 долл., и при этом ящик продается по цене 95 долл. Например, если компания продала 7, а произвела 8 ящиков, то
61
выигрыш (прибыль) компании составит 305, а если компания произвела 8
ящиков, а могла бы продать 9, то прибыль составит 400.
Для определения наилучшего решения в подобных ситуациях можно
использовать следующие критерии.
Критерий максимакса. Это критерий крайнего оптимизма. При использовании данного критерия лицо, принимающее решение, определяет
стратегию, максимизирующую максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш. Для нахождения решения используется следующая схема:
1) в каждой строке матрицы находится максимальный элемент
a i = max aij ;
j =1,n
2) из полученных в каждой отдельной строке максимумов ищется
максимальный a = max a i и принимается решение, на котором достигается
i =1, n
данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на
нескольких решениях, то принимается любое из них).
Так, для компании «Российский сыр» максимумы, полученные в каждой отдельной строке, соответственно равны 300, 350, 400, 450, и по критерию максимакса следует выпускать 9 ящиков.
Максиминный критерий Вальда. ЛПР, использующее данный критерий, выступает как пессимист, который считает, что какое бы решение не
было принято, произойдет самая худшая для этого решения ситуация и при
этом нужно выбрать решение, для которого эта худшая ситуации самая хорошая. Поиск такого решения осуществляется по следующей схеме:
1) в каждой строке матрицы находится минимальный элемент
a i = min aij ;
j =1,n
2) из полученных в каждой отдельной строке минимумов ищется
максимальный a = max a i и принимается решение, на котором доi =1, n
стигается данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).
Для компании «Российский сыр» минимумы, полученные в каждой
отдельной строке, соответственно равны 300, 255, 210, 165 и, таким образом, по критерию Вальда принимается решение выпускать 6 ящиков.
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Прежде чем воспользоваться данным критерием, лицо, принимающее решение, определяет некоторый параметр 0 ≤ p ≤ 1 , характеризующий его отношение к риску.
Крайние значения p = 0 и p = 1 соответствуют пессимисту и оптимисту,
0 < p < 1 характеризуют промежуточное отношение к риску. Согласно данному критерию для поиска решения используется следующая схема:
62
1) в каждой строке матрицы находится максимальный a i = max aij ,
j =1,n
минимальный
элементы
a i = min aij ,
j =1,n
и
вычисляется
значение
a i ( p ) = p ai + ( 1 − p )a i ;
2) из полученных в каждой отдельной строке значений ai ( p ) вычисляется максимальное a = max a i , и принимается решение, на котором досi =1, n
тигается данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).
1
Продемонстрируем метод Гурвица на нашем примере при p = .
2
Значения выражения ai ( p ) = p ai + ( 1 − p )a i по строкам соответственно равны: 300; 302,5; 305; 307,5. Таким образом, в соответствии с данным критерием принимается решение выпускать 9 ящиков.
Критерий минимальных сожалений Сэвиджа. В основе данного критерия лежит предположение о том, что человек после принятия того или иного
решения не любит жалеть о чем-то утраченном. Наряду с матрицей выигрышей, Сэвидж предложил использовать матрицу сожалений. Данная матрица
строится по матрице выигрышей в соответствии со следующим алгоритмом:
1) в каждом столбце матрицы выигрышей находится максимальный
элемент a j = max aij – это наибольший выигрыш при условии, что в будуi =1,m
щем реализуется состояние окружающей среды, соответствующее данному
столбцу, т. е. это то, о чем можно сожалеть при данном состоянии окружающей среды;
2) элементы матрицы сожалений вычисляются по формуле
сij = a j − aij и показывают сожаление о том, что при состоянии окружающей среды B j было принято решение Ai .
Матрица сожалений для рассматриваемого демонстрационного примера имеет следующий вид.
Спрос
6
7
8
9
Предложение
6
7
8
9
0
45
90
135
50
0
45
90
100
50
0
45
150
100
50
0
Дальнейший поиск решения осуществляется по следующей схеме:
1) в каждой строке матрицы сожалений находится максимальный
элемент ci = max cij ;
j =1,n
63
2) из полученных в каждой отдельной строке максимумов ищется
минимальный c = min ci и принимается решение, на котором достигается
i =1,n
данный минимум (если данный минимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).
Для нашего примера максимумы, полученные в каждой отдельной
строке, соответственно равны 150, 100, 90, 135, и, таким образом, по критерию Сэвиджа принимается решение выпускать 8 ящиков.
Анализируя исследуемый пример, можно сделать вывод, что различные критерии дают различные рекомендации по выбору решения:
критерий максимакса – производить 9 ящиков;
максиминный критерий Вальда – производить 6 ящиков;
критерий пессимизма-оптимизма Гурвица – производить 9 ящиков;
критерий минимальных сожалений Сэвиджа – производить 8 ящиков.
Таким образом, в условиях неопределенности, при отсутствии информации о вероятностях состояний среды, принимаемые решения в значительной мере носят субъективный характер. Это объясняется не слабостью предлагаемых методов решения, а неопределенностью, отсутствием
информации в рамках самой ситуации. Единственный разумный выход в
подобных случаях – попытаться получить дополнительную информацию
путем проведения исследований и экспериментов.
Пример 2. Вернемся к рассмотренной в предыдущем примере ситуации с компанией «Российский сыр», предположив, что после проведения определенных исследований потенциала рынка, компании стало известно, что
спрос на 6, 7, 8 или 9 ящиков ожидается соответственно с вероятностями 0,1;
0,3; 0,5; 0,1. В данных условиях в качестве показателя эффективности принимаемого решения о производстве того или иного количества ящиков продукции (6, 7, 8 или 9 ящиков) можно рассматривать среднее ожидаемое значение
прибыли (математическое ожидание прибыли), а в качестве меры риска решения – среднеквадратическое отклонение для прибыли. Данные характеристики для каждого решения соответственно равны:
1) для 6 ящиков:
x6 = 0,1⋅ 300 + 0,3 ⋅ 300 + 0,5 ⋅ 300 + 0,1⋅ 300 = 300;
2
2
2
2
s6 = 0,1⋅ (300 − 300) + 0,3⋅(300 − 300) + 0,5⋅ (300 − 300) + 0,1⋅ (300 − 300) = 0;
2) для 7 ящиков:
x7 = 340,5; s7 = 28,5;
3) для 8 ящиков:
x8 = 352,5; s8 = 63,73;
4) для 9 ящиков:
x9 = 317; s9 = 76.
Анализ полученных параметров эффективности и риска решения показывает, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесооб64
разно, поскольку средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше чем для 8
ящиков (352,5), мера риска – среднеквадратическое отклонение 76 для 9
ящиков больше аналогичного показателя (63,73) для 8 ящиков. А вот целесообразно ли производить 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 – неочевидно, так
как риск при производстве 8 ящиков больше, но одновременно и средняя
ожидаемая прибыль тоже больше. В некоторых работах в такой ситуации
предлагается в качестве критерия выбора использовать коэффициент вариабельности прибыли, т. е. отношение риска к среднему ожидаемому значению.
Окончательное решение должен принимать генеральный директор компании
«Российский сыр», исходя из своего опыта, склонности к риску и степени
достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.
Пример 3. Рассмотрим еще один пример более сложной ситуации
принятия решений в условиях риска, анализ которой также базируется на
среднем ожидаемом значении прибыли. Процесс принятия решения в данном примере осуществляется в несколько этапов, когда последующие решения основываются на результатах предыдущих, поэтому для его анализа используется дерево решений.
Дерево решений – это графическое изображение последовательности
решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и
выигрышей для любых комбинаций альтернативных решений и состояний
среды.
Большая химическая компания успешно завершила исследования по
усовершенствованию строительной краски. Руководство компании должно
решить, производить эту краску самим (и если да, то какой мощности
строить завод) либо продать патент или лицензию, а также технологии независимой фирме, которая имеет дело исключительно с производством и
сбытом строительной краски. Основные источники неопределенности:
– рынок сбыта, который фирма может обеспечить при продаже новой краски по данной цене;
– расходы на рекламу, если компания будет производить и продавать краску;
– время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на
рынок подобный товар.
Размер выигрышей, который компания может получить, зависит от
благоприятного или неблагоприятного рынка.
Номер
стратегии
1
2
3
Действия
компании
Строительство крупного
предприятия
Строительство малого
предприятия
Продажа патента
65
Выигрыш при состоянии среды
благоприятном
неблагоприятном
200000
-180000
100000
-20000
10000
10000
Без проведения дополнительного исследования для руководства
компании вероятность и благоприятного, и неблагоприятного рынков одинакова и равна 0,5. Прежде чем принимать решение о строительстве, руководство должно предварительно решить, заказывать ли дополнительное
исследование состояния рынка или нет, если известно, что исследование
обойдется компании в 10 000 долл. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации,
но оно может уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив
тем самым значения вероятностей. Относительно фирмы, которой можно
заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Прогнозы этой фирмы
сбываются не всегда: так, если фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается, а с вероятностью
0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия. Если же фирма утверждает, что прогноз неблагоприятный, то это сбывается с вероятностью
0,73. Для решения данной задачи построим дерево решений.
Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой
вершины дерева средних ожидаемых значений прибыли, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение средних ожидаемых значений прибыли.
Предположим, что дополнительное обследование конъюнктуры
рынка не проводилось, тогда средние ожидаемые денежные оценки:
– для крупного предприятия: 0,5×200 000 – 0,5×180 000 = 10 000;
– для малого предприятия: 0,5×100 000 – 0,5×20 000 = 40 000;
– для патента 0,5×10 000 + 0,5×10 000 = 10 000.
Таким образом, если дополнительное обследование конъюнктуры рынка
не проводилось, то максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.
Предположим, что решили провести дополнительное обследование
конъюнктуры рынка и прогноз фирмы, проводившей обследование, оказался
благоприятным, тогда средние ожидаемые денежные оценки (см. рис. 1):
– для крупного предприятия: 0,78×200 000 – 0,22×180 000 = 116 400;
– для малого предприятия: 0,78×100 000 – 0,22× 20 000 = 73 600;
– для патента: 0,5×100 000 + 0,5×10 000 = 10 000.
Данные значения показывают, что при благоприятном прогнозе
конъюнктуры рынка максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве крупного предприятия.
В случае если после дополнительного обследования конъюнктуры
прогноз оказался неблагоприятным, ожидаемые средние денежные оценки:
– для крупного предприятия:
0,27×200 000 – 0,73×180 000 = –7400;
– для малого предприятия:
0,27×100 000 – 0,73×20 000 = 12 400;
66
– для патента:
0,5×10 000 + 0,5×10 000 = 10 000.
Следовательно, при неблагоприятном прогнозе конъюнктуры рынка
максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся
в строительстве малого предприятия.
Расчеты проводились на основе дерева целей.
Проведенные по дереву целей расчеты позволяют выяснить, является
ли дополнительное обследование выгодным для фирмы. Выгодность исследования зависит от соотношения между ожидаемой ценностью (результативностью) точной информации и величиной запрошенной платы за дополнительную (истинную) информацию, благодаря которой может быть
откорректировано принимаемое решение.
Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии
рынка равна разности между ожидаемой денежной оценкой при наличии
точной информации и максимальной денежной оценкой при отсутствии
точной информации.
В данном примере ожидаемая денежная оценка при наличии точной
информации равна 0,45×116 400 + 0,55×12 400 = 59 200, а максимальная денежная оценка при отсутствии точной информации равна 40 000. Таким образом, ожидаемая ценность точной информации равна: 59 200 – 40 000 =
= 19 200, поэтому исследование, которое стоит 10 000 р., выгодно для фирмы.
Пример 4. Финансовые решения в условиях риска. Опишем модель оптимального многопериодного планирования инвестиций в различные проекты. Индекс риска, связанного с реализацией каждого из проектов, оценивается экспертно по десятибалльной шкале. Каждому допустимому проекту отвечает свой заданный индекс риска.
Акционерное общество (АО) заключило контракт на покупку нового оборудования для производства железобетонных блоков стоимостью 750 000 дол. В соответствии с условиями контракта 150 000 долл. в
качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму – через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы расплатиться полностью и в указанные сроки, руководство АО планирует
создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнительную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудование, отложить следует не всю
сумму в 750 000 долл., а меньшую. Сколько именно – зависит от имеющихся возможностей и правильности организации процесса инвестирования. Акционерное общество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возможностях) использования средств целевого фонда. Данные
для задачи финансового планирования приведены в следующей таблице.
67
Направления использования
инвестиций
А
В
С
Д
Возможные начала реализации
инвестиционных
проектов
1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 3, 5
1,4
1
Длительность инвестиционного
проекта, мес.
Процент за
кредит
Индекс
риска
1
2
3
6
1,5
3,5
6
11
1
4
9
7
Руководство АО ставит перед собой три основные цели:
1) при данных возможностях инвестирования и утвержденного графика выплат должна быть разработана стратегия, минимизирующая наличную
сумму, которую АО направляет на оплату оборудования по контракту;
2) при разработке оптимальной стратегии средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого месяца не должен превышать 6.
Этот показатель риска, как предполагается, отвечает возможностям менеджера фирмы по управлению проектами;
3) в начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестиционных фондов не
должна превышать 2,5 месяца.
Таким образом, среди потенциально реализуемых проектов выбирают наиболее экономически эффективные, при этом проекты повышенной
рискованности должны компенсироваться менее рискованными, а долгосрочные проекты должны выполняться одновременно с более краткосрочными. Для решения данной задачи необходимо, во-первых, подготовить и
систематизировать имеющуюся исходную информацию и, во-вторых, построить адекватную сформулированным целям экономико-математическую модель. Динамика возможных вложений и условия возврата денежных
средств отражены в следующей таблице.
Инвестиции
А в месяце 1
А в месяце 2
А в месяце 3
А в месяце 4
А в месяце 5
А в месяце 6
В в месяце 1
В в месяце 3
В в месяце 5
С в месяце 1
С в месяце 4
Д в месяце 1
Возможные вложения и возврат денежных средств на начало месяца,
долл.
1
2
3
4
5
6
7
1
1,015
1
1,015
1
1,015
1
1,015
1
1,015
1
1,015
1
1,035
1
1,035
1
1,035
1
1,06
1
1,06
1
1,11
68
Большое предприятие
Благоприятное
состояние (0,5)
10 000
40 000
Не проводить
обследование
Малое
предприятие
200 000
Неблагоприятное
состояние (0,5)
-180 000
100 000
40 000
Неблагоприятное
состояние (0,5)
Проводить
обследование
-10 000
10 000
Большое
предприятие
200 000
Неблагоприятное
состояние (0,22)
Малое
предприятие
Благоприятный
прогноз (0,45)
10 000
Благоприятное
состояние (0,78)
116 400
116 400
-180 000
Благоприятное
состояние (0,78)
100 000
73 600
59 200
Неблагоприятный
прогноз (0,55)
-20 000
патент
49 200
Неблагоприятное
состояние (0,22)
патент
Большое
предприятие
Благоприятное
состояние (0,27)
-20 000
10 000
200 000
-77400
Неблагоприятное
состояние (0,73)
12 400
Малое
предприятие
-180 000
Благоприятное
состояние (0,27)
100 000
12 400
Неблагоприятное
состояние (0,73)
патент
-20 000
10 000
Рис. 2. Дерево целей
69
Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятельность АО, а также необходимые ограничения формализуются следующими
соотношениями.
1. Начальная сумма инвестиций K должна быть минимальной:
K → min.
2. Балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого
месяца имеют вид:
K − A1 − B1 − C1 − D1 = 0;
1,015 A1 − A2 = 0;
1,015 A2 + 1,035B1 − A3 − B3 = 150 000;
1,015 A3 + 1,06C1 − A4 − C4 = 0;
1,015 A5 − A6 = 0;
1,015 A6 + 1,035B5 + 1,06C4 + 1,11D1 = 600 000.
3. Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого
месяца):
A1 + 4 B1 + 9C1 + 7 D1
≤ 6 ⇒ −5 A1 − 2 B1 + 3C1 + D1 ≤ 0;
A1 + B1 + C1 + D1
A1 + 4 B1 + 9C1 + 7 D1
≤ 6 ⇒ −5 A2 − 2 B1 + 3C1 + D1 ≤ 0;
A2 + B1 + C1 + D1
A3 + 4 B3 + 9C1 + 7 D1
≤ 6 ⇒ −5 A3 − 2 B3 + 3C1 + D1 ≤ 0;
A3 + B3 + C1 + D1
A4 + 4 B3 + 9C 4 + 7 D1
≤ 6 ⇒ −5 A4 − 2 B3 + 3C 4 + D1 ≤ 0;
A4 + B3 + C 4 + D1
A5 + 4 B5 + 9C 4 + 7 D1
≤ 6 ⇒ −5 A5 − 2 B5 + 3C 4 + D1 ≤ 0;
A5 + B5 + C 4 + D1
A6 + 4 B5 + 9C 4 + 7 D1
≤ 6 ⇒ −5 A6 − 2 B5 + 3C 4 + D1 ≤ 0.
A6 + B5 + C 4 + D1
4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционного фонда
(для каждого месяца):
A1 + 2 B1 + 3C1 + 6 D1
≤ 2,5 ⇒ −1,5 A1 − 0,5 B1 + 0,5C1 + 3,5 D1 ≤ 0;
A1 + B1 + C1 + D1
A2 + B1 + 2C1 + 5 D1
≤ 2,5 ⇒ −1,5 A2 − 1,5 B1 − 0,5C1 + 2,5 D1 ≤ 0;
A2 + B1 + C1 + D1
70
A3 + 2 B3 + C1 + 4 D1
≤ 2,5 ⇒ −1,5 A3 − 0,5 B3 − 1,5C1 + 1,5 D1 ≤ 0;
A3 + B3 + C1 + D1
A4 + 2 B3 + 3C 4 + 3D1
≤ 2,5 ⇒ −1,5 A4 − 0,5 B3 + 0,5C1 + 0,5 D1 ≤ 0;
A4 + B3 + C 4 + D1
A5 + 2 B5 + 2C 4 + 2 D1
≤ 2,5 ⇒ −1,5 A5 − 0,5 B5 − 0,5C 4 − 0,5 D1 ≤ 0;
A5 + B5 + C 4 + D1
A6 + B5 + C 4 + D1
≤ 2,5 ⇒ −1,5 A6 − 1,5 B5 − 1,5C 4 − 1,5 D1 ≤ 0.
A6 + B5 + C 4 + D1
Оптимальное решение имеет вид:
K = 683176, 44; A1 = 0; A2 = 0; A3 = 2672,49;
A4 = 7667,67; A5 = 0; A6 = 0; B1 = 461836,6; B3 = 325328,4; B5 = 344497,6; C1 = 221339,8;
C 4 = 229665; D1 = 0. Благодаря полученному оптимальному решению, уда-
лось обеспечить уплату в срок обусловленных контрактом 150 000 долл. и
вместо необходимых для конечных результатов 600 000 долл. (750 000–
–150 000 = 600 000) заработать K = 683176,44 , часть из которых способствовала уменьшению долговых обязательств по контракту (на 13,86 %).
Пример 5. Оптимизация размещения финансовых средств банка.
Оптимизационный анализ деятельности банка заключается в перераспределении финансовых средств на балансовых счетах с учетом риска и
прибыльности. Оптимизация баланса даже для опытных и квалифицированных менеджеров представляет чрезвычайно сложную процедуру и
является одним из основных элементов управления банковскими средствами.
Анализ начинается с выбора показателя и критерия его оптимизации,
введения ограничений, т. е. допустимых значений контрольных параметров. Далее определяются счета, которые планируется учитывать в разрабатываемой модели, и диапазон изменения начисляемых на них средств, после чего выполняется поэтапный расчет оптимизируемого показателя. При
построении модели среднесрочного размещения средств банком под размещением будем понимать следующие направления финансовых вложений:
– кредитование предприятий и организаций;
– вложение в ценные бумаги;
– кредитование других банков;
– покупка валюты для игры как на курсе «иностранная валюта–
рубль», так и на курсе «иностранная валюта–иностранная валюта»;
– факторинговые и лизинговые операции;
– фьючерсные сделки.
71
Допустим, что в момент времени t общий объем средств, которыми
распоряжается банк, равен S t . Вложения осуществляются по N направлениям и равны соответственно M 1t ,..., M Nt . Для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что все вложения имеют одну и ту же оборачиваемость, т. е. период возврата средств T – одинаковый. Например, T = 3 –
это срок наиболее характерный для современного состояния дел в кредитовании предприятий и организаций банками. Будем считать, что за единицу измерения времени принимается период оборачиваемости T .
По каждому виду актива, вкладываемого в какое-либо направление,
предусмотрены процентные ставки (действующие на один период), которые считаются заданными к началу каждого периода t . Уменьшив процентные ставки на величину налогов, уплачиваемых банком с полученной
прибыли по соответствующему виду размещения средств, нетрудно получить матрицу процентных ставок с учетом налогообложения по каждому
виду вложения Pit , где i = 1,..., N ; t = 1, 2, 3,... . Заметим, что плата по одному из основных видов налогов – на прибыль – происходит раз в квартал
авансовым платежом, что делает поставленную задачу более универсальной, так как в ходе решения получается расчетная сумма доходов, исходя
из которой можно спрогнозировать объем авансового платежа по налогу на
прибыль. Практика многих средних банков России показывает, что авансовый платеж по налогу на прибыль не рассчитывается, а берется примерно
на три месяца вперед, поэтому часто вносится большая сумма, чем надо.
Тем самым средства, заплаченные сверх нужной суммы, автоматически
исключаются из оборота и не приносят доход.
Средства, размещенные банком в любой момент времени t , по истечении одного периода T изменяются в соответствии с соотношениями:
N
∑ M it +1 = S t +1 , M it +1 = M it Pit , i = 1,..., N .
i =1
Разместить активы в виде вложения с максимальной процентной
ставкой мешают ограничения, накладываемые Центральным банком РФ и
налоговым законодательством. На этот процесс оказывает влияние и конкретное отношение руководства банка к риску.
В следующей таблице показано, что степень риска зависит от статей
активов, которые разбиваются на шесть групп, от соответствующих коэффициентов риска ri и ставки налога.
Статьи активов
Коэффициент
риска ri
Группа 1
Средства на корреспондентском счете в ЦБРФ
Средства на резервном счете ЦБРФ
Касса и приравненные к ней средства
Группа 2
72
0,00
0,00
0,05
Ставка налога, %
Ценные бумаги Правительства РФ
Ссуды, гарантированные Правительством РФ
Ценные бумаги местных органов власти
Группа 3
Кредиты другим банкам
Краткосрочные ссуды (кредиты сроком до 1 года
минус ссуды, гарантированные Правительством
РФ)
Факторинговые операции
Корреспондентские счета
Кредиты фирмам-нерезидентам и физическим лицам на потребительские цели
Группа 4
Долгосрочные ссуды (кредиты сроком до 1 года
минус ссуды, гарантированные Правительством
РФ)
Лизинговые операции
Группа 5
Ценные бумаги АО и предприятий, приобретенные банком
Другие права участия, приобретенные банком
Группа 6
Просроченная задолженность по ссудам
Опротестованные вексели
Другие виды активов (фьючерские операции, гарантии, поручительства, траст, посреднические
операции)
0,10
0,15
0,20
0,1
38
38
0,25
0,30
38
38
0,5
0,25
0,5
21,5
38
38
0,5
38
0,6
21,5
0,7
8,3
0,8
38
1,00
1,00
1,00
21,5
Банк не может совсем игнорировать определенный вид вложения и в
то же время не должен акцентировать все свое внимание только на самой
доходной операции. Это связано не только со стремлением банка иметь в
своем арсенале максимальный спектр услуг, но и с необходимостью диверсифицировать банковские операции.
Таким образом, можно сформулировать задачу максимизации дохода, получаемого в момент времени t + 1 от средств, размещенных банком в
период t , при заданных ограничениях:
N
∑P M
kt
kt
→ max,
k =1
N
∑ M it = S t ,
i =1
0,01St ≤ M it ≤ 0,8St , i = 1,..., N ,
N
∑r M
i =1
i
73
it
≤ 0,25S t .
Решение данной задачи линейного программирования определяет оптимальный план M t* = ( M 1*t , M 2*t , M 3*t ,..., M *Nt ) , соответствующий наиболее рациональной структуре размещения средств, которая обеспечивает банку получение максимальной прибыли при определенных ограничениях на риск.
3.2. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Рассматривается проблема закупки угля для обогрева дома
зимой. Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома.
Зима
Мягкая
Обычная
Холодная
Количество угля, т
4
5
6
Средняя цена за 1 т, ф.ст.
7
7,5
8
Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 ф.ст.
за 1 т. Известно, что имеется место для хранения запаса угля до 6 т.
1. Используя критерий максимакса, максиминный критерий Вальда,
критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, критерий минимальных сожалений Сэвиджа, определить, сколько угля требуется закупить летом. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет.
2. Решить эту задачу при условии, что вероятности зим: мягкой –
0,35; обычной – 0,5; холодной – 0,15.
Задача 2. Компания, производящая стиральный порошок, работает в
условиях свободной конкуренции. Порошок выпускается блоками, причем
цена одного блока в будущем месяце является неопределенной и может
составлять 10; 15; 20 р. за блок. Полные затраты на производство Q блоков
стирального порошка определяются по формуле: 1000 + 5Q + 0,0025Q 2 .
1. Используя критерий максимакса, максиминный критерий Вальда,
критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, критерий минимальных сожалений Сэвиджа, определить суточный выпуск продукции компании в блоках.
2. Решить эту задачу при условии, что цена 1 блока будет равна 10 р. с
вероятностью 0,3; 15 р. с вероятностью 0,5; 20 р. с вероятностью 0,2.
Задача 3. Продавец сувениров обнаружил, что объемы продаж в июле очень сильно зависят от погоды. Однако сувениры он должен заказывать еще в январе. Оптовый продавец сувениров поставляет продукцию
малыми, средними и большими партиями, причем оптовая цена сувениров
в этих партиях различна. Таблица денежных платежей для этой ситуации
показана.
74
Решение
Малая партия
Средняя партия
Большая партия
Холодно
0
-1000
-3000
Состояния природы
Прохладно
Тепло
1000
2000
0
3000
-1000
4000
Жарко
3000
6000
8000
1. Используя критерий максимакса, максиминный критерий Вальда,
критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, критерий минимальных сожалений Сэвиджа, определить, какую партию сувениров требуется заказать в
январе продавцу.
2. Решить эту задачу при условии, что все состояния погоды равновероятны.
Задача 4. Шоу дрессированных собак Вальтера в соответствии с расписанием турне должно выступать в городе N 10 июля. Доход от выступления напрямую зависит от погоды. Если будет идти дождь, то шоу может
потерять 15 000 долл., а если будет солнечная погода, то прибыль может
составить 10 000 долл. (будем предполагать, что в этом городе N погода
может быть только двух видов: или идет дождь, или светит солнце). Вальтер может отменить свое шоу, но в этом случае он потеряет залог на выступление в размере 1 000 долл. Из исторических хроник за последние 100
лет известно, что 10 июля в городе N дождь идет с вероятностью ¼.
а) Какое решение должен принять Вальтер для максимизации ожидаемого дохода?
б) Вальтер может купить прогноз погоды на 10 июля у предсказателя
погоды Виктора. Конечно, Виктор дает прогнозы не со 100 % точностью.
Известно, что если он предсказывает дождь, то дождь действительно идет
в 90 % случаев. Прогноз солнечной погоды не такой точный – он сбывается только в 80 % случаев. Какой стратегии должен придерживаться Вальтер для максимизации ожидаемого дохода при наличии прогноза от Виктора и какую сумму может заплатить Вальтер за прогноз погоды?
Задача 5. Компания Johnson’s Composite Materials (JCM), производящая корпуса из композитных материалов для мобильных телефонов,
принимает решение о том, участвовать ли в тендере на производство корпусов для мобильных телефонов компании Sonorola. Чтобы заключить
контракт с Sonorola, компании JCM надо предварительно разработать (или
модернизировать существующий) технологический процесс производства
корпусов и создать 10 моделей корпусов, которые необходимо передать
Sonorola для оценки. Стоимость этого предварительного этапа составляет
$50 000, и эти деньги будут потеряны, если не будет заключен контракт с
Sonorola (специалисты оценивают вероятность выиграть тендер как 0,4),
если же контракт будет заключен, то появится возможность продать Sonorola 10 000 корпусов по цене $50 за штуку. JCM может использовать для
нового заказа существующие производственные мощности, при этом их
75
переналадка обойдется в $40 000, себестоимость корпусов составит $20.
Однако существует риск, что в зависимости от ситуации с другими выполняемыми JCM заказами может понадобиться вводить сверхурочные работы. Стоимость сверхурочных работ в зависимости от ситуации с выполнением других заказов показана в следующей таблице.
Ситуация с другими
заказами
Тяжелая
Обычная
Легкая
Вероятность
0,2
0,7
0,1
Стоимость сверхурочных
работ
$200 000
$100 000
0
JCM может закупить новую технологическую линию стоимостью
$260 000, в этом случае отпадает необходимость в сверхурочных работах, а
себестоимость корпусов для мобильных телефонов составит $10. С помощью дерева решений найдите оптимальную стратегию для компании JCM.
Задача 6. Руководитель компании Kelly Construction хочет уменьшить неопределенность относительно спроса на студенческое жилье. Он
обратился в строительное управление муниципалитета, где ему могут сделать прогноз спроса, однако результат прогноза можно охарактеризовать
только как «низкий спрос» (обозначим такой прогноз как M1), «средний
спрос» (обозначим как M2) и «высокий спрос» (M3). Реально спрос может
оказаться: низким – D1, средним – D2, высоким – D3. Надежность прогноза
показана в следующей таблице.
Прогноз
M1
M2
M3
Решение
Строить 100 модулей
Строить 200 модулей
Строить 300 модулей
Вероятность
P(Mj / Di )
Средний (D2)
0,3
0,4
0,3
Низкий (D1)
0,7
0,2
0,1
Низкий (D1)
500 000
0
-700 000
0,3
Спрос, долл.
Средний (D2)
500 000
1 000 000
400 000
0,5
Высокий (D3)
0,1
0,3
0,6
Высокий (D3)
500 000
1 000 000
1 500 000
0,2
Задача 7. Фирма «Напитки для дома» разрабатывает, производит и
продает смеси для безалкогольных коктейлей и напитки для домашнего
потребления.
Миссис Ли, руководитель отдела развития фирмы, сообщила президенту, мистеру Робину Свану, что эксперименты в отделе развития указывают на возможность создания напитка «Pina–cola» на основе нового метода переработки кокосов. Миссис Ли порекомендовала начать программу по
производству «Pina–cola». Она считает, что стоимость исследовательских
76
работ по созданию нового напитка составит 100 000 долл. и что на эти работы потребуется один год. В беседе с мистером Сваном миссис Ли оценила вероятность успешного завершения работы – 90 %, а вероятность разработки в течение 12 месяцев аналогичного напитка конкурирующей фирмой – 80 %.
Менеджер по продажам, занимающийся внедрением новых продуктов на рынок, сообщил, что объем продаж нового напитка зависит от того,
как его примут бакалейные и винные магазины. Судя по отчетам о продажах, другие фирмы также работают над созданием тропических напитков.
Если другая фирма создаст конкурирующий напиток, рынок, разумеется,
будет поделен между несколькими фирмами. Менеджер по продажам
предоставил следующие данные по оценке будущих продаж и ожидаемой
приведенной прибыли при различных вариантах рыночной конъюнктуры.
Потенциал рынка
Высокий
Средний
Низкий
Вероятность
0,1
0,6
0,3
Приведенная прибыль
800 000
600 000
500 000
В этих данных не учтены:
1) издержки на разработку;
2) издержки на новое оборудование;
3) издержки на внедрение «Pina–cola» на рынок.
Ожидается, что издержки на оборудование составят 100 000 долл.,
так как кокосы требуют специальной обработки. Издержки, связанные с
выходом на рынок, составят 150 000 долл., так как потребуется телевизионная реклама.
Миссис Ли отметила, что, кроме альтернатив, ничего не предпринимать и проводить полномасштабную программу исследований, она
может предложить еще два варианта действий.
1. Неспешно проводить исследования в течение 8 месяцев, чтобы
посмотреть, выйдет ли какая-нибудь другая фирма на рынок с аналогичным продуктом, а если нет – развивать высокую скорость работ. Замедленная программа исследований на следующие 8 месяцев обойдется в
10 000 долл. в месяц, т. е. в 80 000 долл. Вероятность успешного завершения этой программы та же, что при полномасштабных исследованиях. Вероятность того, что конкуренты в течение 8 месяцев создадут аналогичный
продукт – 0,6. Интенсивные исследования могут быть проведены в течение
четырех месяцев (с 9 по 12) и обойдутся еще в 60 000 долл. Они будут проводиться только в том случае, если результаты исследований первых 8 месяцев окажутся успешными. Вероятность успеха в целом равна 0,9. Эта
программа получила название восьмимесячной.
2. Шесть месяцев проводить исследования, требующие затрат 10 000
долл. в месяц, и предпринять разведку действий конкурентов, чтобы опре77
делить, ведутся ли разработки аналогичного продукта. Если кто-то разработает продукт через 6 месяцев, потребуется лишь 30 000 долл. для того,
чтобы провести его анализ и скопировать продукт. Если конкурирующий
продукт не будет создан, то при общих затратах в 120 000 долл. он будет
разработан фирмой «Напитки для дома» с вероятностью 0,9. Вероятность
того, что за 6 месяцев будет разработан конкурирующий продукт, равна
0,5. Эта программа получила название шестимесячной.
Менеджеру по продажам, разумеется, не хотелось бы выйти на рынок вслед за конкурентами. Ему известно, что первый продукт обычно завоевывает большую часть рынка, а потерянных покупателей вернуть трудно. Если на рынок выйдет конкурирующая фирма, то можно получить
только 50 % прибыли, указанной в таблице.
Какой вариант действий из четырех возможных:
1) полномасштабные исследования;
2) восьмимесячная программа замедленных исследований с последующим ускорением;
3) шестимесячная программа замедленных исследований и изучение
поведения конкурентов;
4) ничего не делать –
нужно выбрать с точки зрения максимизации ожидаемой стоимостной
оценки альтернатив?
Обоснуйте вывод, нарисовав дерево решений и проведя соответствующие расчеты.
Задача 8. Компания Cail создала новое кожаное изделие и сейчас
занимается разработкой пятилетнего плана производства и продажи этого
изделия. Госпожа Хедрич, президент компании, поручила разработку этого
проекта своему ассистенту, Каролине Гарсия.
Компания Cail – небольшая фирма, которая уже более 30 лет занимается производством изделий из кожи. Она приобретает выделанные
шкуры tanner и производит такие изделия, как кошельки, ремни и сумочки.
Новый продукт представляет собой комбинацию кошелька, портмоне для
ключей и бумажника для кредитных карточек.
Производственники разработали набор материалов для изготовления
универсального портмоне. Они подсчитали, что в течение пятилетнего периода стоимость материалов и накладные расходы составят 1,5 долл. на
одно изделие при пятидневной рабочей неделе без сверхурочных.
Удельные затраты на труд и оборудование будут зависеть от того,
какая машина будет использована для производства.
Аналитики свели проблему выбора к двум типам специализированного оборудования. Первый тип – полуавтоматическая машина,
которая не обеспечивает раскрой материалов, но может сшивать его, вшивая молнии и заклепки и обеспечивать два типа дизайна продукта. Стоимость машины – 450 000 долл. Средние переменные издержки на труд и
78
прочие издержки, связанные с использованием оборудования, составляют
2,5 долл. Этот тип оборудования имеет производительность 640 штук в
день. При этом затраты времени на настройку и ремонт оборудования составляют 12,5 % (1/8 общего времени).
Вторая машина, которая может использоваться при изготовлении
продукта, является автоматом. Она позволяет кроить и сшивать материал,
вшивая молнии и заклепки, и позволяет делать портмоне с дизайном трех
типов. Эта машина стоит 850 000 долл. Средние переменные издержки при
ее использовании составляют 1,75 долл. Этот тип оборудования имеет более высокую производительность – 800 штук в день. Затраты времени на
настройку и ремонт машины, ввиду ее сложности, более высоки – 25 %
(1/4 времени).
Оценка объема продаж в течение пяти лет приведена ниже.
Объем продаж
12 000
13 000
14 000
15 000
16 000
Вероятность
0,15
0,25
0,4
0,15
0,05
Анализ продаж не позволил получить точные результаты. Объем
продаж на ближайшие пять лет в значительной степени зависит от оценок
производственных издержек и производительности. Однако госпожа Гарсия, при поддержке госпожи Хедрич, определила наиболее вероятную цену
нового портмоне в 6 долл. Такая цена позволит новому изделию конкурировать с другими подобными продуктами на рынке. Постепенно новое изделие может вытеснить конкурентов с рынка, так как оно имеет лучшие
потребительские свойства. Оценка среднего объема продаж нового портмоне – около 140 000 штук в год. Анализ объема продаж этого изделия –
сложная задача, так как новый продукт значительно отличается от других,
предлагаемых на рынке в настоящее время. Оценки годового объема продаж продукта по цене 6 долл. с указанием соответствующих вероятностей
приведены в таблице. Эти оценки и значения вероятностей верны для каждого года пятилетнего периода планирования.
Используя эти оценки продаж и данные о мощностях оборудования,
компания должна решить, как поступить в случае, если спрос превысит
производительность оборудования. В этом случае можно модифицировать
оборудование и увеличить его производительность. Другой путь – использовать сверхурочное время. Оплата сверхурочного времени приведет к
увеличению средних издержек на 1,2 долл. для полуавтоматической машины и на 0,9 долл. для автоматической машины. Модификацию оборудования можно провести в конце нового года. В этом случае использование
сверхурочного времени может потребоваться только в первом году.
79
Затраты на модификацию полуавтоматической машины до производительности, обеспечивающей максимальный объем продаж, составляют 60 000
долл. Затраты на модификацию автомата составляют 70 000 долл. Госпожа
Хедрич дала указание использовать в расчетах величину процента на капитал
15 % и 50-недельную продолжительность производственного года.
Используя дерево решений, определите, какую машину следует выбрать компании. Следует ли проводить модификацию оборудования или
использовать сверхурочное время?
Задача 9. Компания St. Thomas Salvage занимается спасением затонувших судов в Карибском море. Останки старинного кораблекрушения
были обнаружены в неглубоком месте вблизи г. Шарлотт Амали. Местоположение крушения указывает на то, что это «Йорк-Таун» – британский
торговый корабль, затонувший в начале прошлого столетия. Если бы это
был действительно «Йорк-Таун», то операция по его подъему сулила бы
большие выгоды. На его борту было огромное количество вооружения и
некоторое количество золота. То, что он лежал на дне моря, официально не
было известно никому. Руководство компании должно решить – поднимать его останки или нет.
Основываясь на данных звуковой локации и местоположении кораблекрушения, руководство считает, что имеется 1 шанс из 4, что останки
корабля являются «Йорк-Тауном». Если это действительно так, руководство предполагает, что с вероятностью 50 % кто-то другой уже мог обнаружить останки и забрать золото без официального уведомления об этом.
Операция по подъему стоит 60 000 долл. Руководство уверено, что
операция по подъему будет успешной (что бы ни было найдено, оно будет
поднято на поверхность). Однако рентабельность операции зависит одновременно от правильной идентификации останков корабля и от того, успел
ли кто-либо еще забрать золото.
Если корабль будет поднят, окажется «Йорк-Тауном» и золото будет на
его борту, то руководство собирается продать все поднятое (включая золото)
за 460 000 долл., что даст прибыль в 400 000 долл. Если это окажется «ЙоркТаун», но без золота, руководство сможет продать вооружение и все прочее
за 60 000 долл. (только лишь затем, чтобы компенсировать затраты на операцию). В случае, если это окажется не «Йорк-Таун», руководство договорилось с местным коллекционером о продаже ему останков за 20 000 долл.
Так как операция по подъему может привести к убыткам, руководство ищет пути повышения вероятности получения прибыли.
Выяснилось, что глубоководное оборудование, которое использовалось для идентификации затопленных останков «Титаника», можно арендовать за 3000 долл. Используя столь мощное оборудование до начала
подъема, руководство может сэкономить много денег.
Технология использования зонда предусматривает его одноразовое
погружение. Зонд делает телевизионные снимки судна с различных углов
80
и передает снимки для компьютерного анализа. В 3000 долл. арендной
платы включается также оплата специалистов по компьютерному программированию, которое автоматизирует процесс обработки снимков, передаваемых зондом.
Руководство компании не знает, насколько надежным является работа зонда и прилагающегося к нему компьютерного обеспечения. Идентификация при помощи зонда обязательно увеличит надежность операции.
Анализ при помощи зонда ни в коей мере не может дать информацию о
том, находится ли на судне золото. Аналогично, если бы это оказался не
«Йорк-Таун», то руководство не знает, как оценить вероятность того, что
зондирование дает достаточно надежную идентификацию.
С другой стороны, руководству известно, что надежности обеих
идентификаций численно равны, т. е. вероятность того, что идентификация
при помощи зонда оказывается верной при условии, что судно является
«Йорк-Тауном», численно равняется вероятности того, что идентификация
является верной при условии, что судно не является «Йорк-Тауном».
Составьте дерево решений. На дереве решений подсчитайте средние
ожидаемые значения для каждой ветви. Так как вы еще не получили до сих
пор численных значений надежности идентификации с помощью зонда, вы
не можете подсчитать условные вероятности в каждом узле выбора на вашем дереве. Однако это нельзя сделать в тех узлах событий, где используется зонд. Какова максимальная цена, которую руководство заплатит за
точную идентификацию судна (точность – 100 %)?
По информации людей, которые арендовали ранее зонд и прилагаемое
компьютерное обеспечение, вероятность того, что анализ при помощи зонда
покажет, что судно есть «Йорк-Таун», составляет 43 %. Эта цифра есть безусловная вероятность, вычисление которой было основано на равенстве численных значений надежности идентификации и предварительном предположении
руководства, что останки принадлежат «Йорк-Тауну» с вероятностью 1/4.
Руководство St. Thomas Salvage выразило некоторую неуверенность
в надежности идентификации при помощи зонда. Оно выяснило у людей,
арендовавших зонд ранее, не существует ли какого-либо способа улучшить
ситуацию. Ответ был положительным. За определенную плату обе надежности могут быть повышены до 90 %. Это можно достичь многократным
погружением и взятием проб с останков судна с последующим химическим анализом и анализом на содержание радиоактивного углерода – 12.
Плата за повышение надежности составит: 100 долл. за первый процент,
200 – за следующий, 300 – за следующий и т. д. до 90 %. Повышение надежности измеряется только целыми цифрами, без дробей. Обе надежности
(да и нет) увеличиваются в одинаковой степени. Таким образом, чтобы увеличить надежность, например, на 5 %, нужно затратить 100 долл. +
+ 200 долл. + 300 долл. + 400 долл. + 500 долл. = 1500 долл.
81
Проведите теперь полный анализ дерева решений и выберите оптимальную стратегию поведения руководства компании.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Разные задачи
Задача 1. Управление «Аэрофлота» хочет нанять новых стюардесс
на работу в течение 4-х последующих месяцев. Найм осуществляется в начале месяца и продолжается до конца месяца, чтобы обучить стюардесс
прежде, чем они приступят к регулярным полётам.
Требуется 110 часов непрерывной работы стюардессы в течение месяца, чтобы обучить каждую из них, и поэтому непрерывные обслуживающие полёты сокращаются на 110 часов для каждой практикантки.
В среднем стюардесса работает по 160 часов в месяц на авиалиниях
«Аэрофлота». Ниже приведено количество лётных часов стюардесс, необходимое для постоянного обслуживания в следующие 4 месяца: сентябрь –
9000, октябрь – 8000, ноябрь – 10000, декабрь – 12000.
1 сентября на авиалиниях работало 67 стюардесс. Из прошлого опыта известно, что 10 % стюардесс покидают свою работу каждый месяц.
Каждая стюардесса получает 20 000 р. в виде заработной платы. Стоимость
подготовки стюардессы 12 000 р.
Составить модель формирования плана найма стюардесс, чтобы
обеспечить линии и минимизировать затраты на их обучение и работу.
Задача 2. Инвестиционная компания «Омега» имеет 800 тыс. долл., которые она хочет вложить в некоторые или все из следующих активов: корпоративные облигации, правительственные облигации, высокорисковые корпоративные облигации, обыкновенные акции, привилегированные акции и недвижимость. Эксперт компании по инвестициям оценивает ожидаемую годовую доходность, фактор риска, показывающий вероятность, с которой оцениваемый продукт будет дефицитен. Кроме того, известны сроки, на которые
средства могут быть размещены в те или иные активы.
Инвестиционные
мероприятия
Корпоративные облигации
Ожидаемый
годовой продукт
(%)
6,2
0,17
Средний
инвестиционный
срок (в годах)
12
Правительственные
гации
7,5
0,03
15
Высокорисковые облигации
14,5
0,63
4
Обыкновенные акции
13,8
0,55
2
Привилегированные акции
7,7
0,12
6
Недвижимость
10,6
0,30
5
Фактор
риска
обли-
82
Компания стремится увеличить средний инвестиционный срок, по
крайней мере, до 7 лет. Правительственное регулирование препятствует
вложению более чем 30 % инвестиций компании в высокорисковые облигации и обыкновенные акции. Также компания хочет, чтобы средний фактор риска составлял не более 0,25.
Как инвестиционная компания «Омега» должна разместить 800 тыс.
долларов, чтобы максимизировать ожидаемый доход?
Задача 3. Правительственное агентство имеет в распоряжении
100 000 долл. для распределения их между пятью фабриками, расположенными вдоль определённой реки с тем, чтобы помочь им сократить уровень
загрязнения в реке в течение следующего года. Все фабрики стремятся
полностью использовать фонды, полученные для того, чтобы сократить
уровень загрязнений.
Текущее исследование показало следующий уровень загрязнения и
стоимость сокращения уровня загрязнения.
Завод
F1
F2
F3
F4
F5
Текущий годовой уровень загрязнения
(в млн галлонов)
Стоимость сокращения уровня загрязнения
на 1 млн галлонов (тыс. долл.)
3,7
5,3
3,1
4,4
4,8
4,1
6,95
4,5
3,8
5,72
Из-за определённых условий окружающей среды абсолютно необходимо, чтобы уровень загрязнений F2 и F5 был сокращён, по крайней мере,
на 2,9 и 2,4 млн галлонов соответственно.
Как должны быть распределены деньги по заводам для того, чтобы
максимизировать общее сокращение уровня загрязнений в реке в течение
следующего года?
Задача 4. Для строительства домов на 100 строительных площадках
выбраны 5 типов проектов. По каждому из проектов известны: длительность закладки фундамента и строительства остальной части здания в
днях, а также жилая площадь дома и стоимость 1 кв. м жилой площади.
Тип дома
I
II
III
IV
V
Длительность закладки фундамента
Продолжительность остальных работ
Жилая площадь
Стоимость 1 кв. м
20
40
3000
200
30
20
2000
150
35
60
5000
220
30
35
4000
180
40
25
6000
200
Параллельно можно вести закладку 10 фундаментов и строительство
15 зданий.
1) Определить план строительства, обеспечивающий ввод максимальной жилой площади в течение года (300 рабочих дней).
83
2) Решить ту же задачу при дополнительном ограничении, число домов должно оказаться не менее 10.
3) Определить годовой план строительства, максимизирующий суммарную площадь при дополнительном условии, что средняя себестоимость
1 кв. м не превышает 180 р.
Задача 5. Предприятие выпускает два продукта (k = 1,2) для удовлетворения спроса bjk, меняющегося по полугодиям (j = 1,2). Изготовление
продуктов может производиться на трёх машинах (i = 1,2,3), для которых
известно время tik, затрачиваемое i-й машиной на производство k-го продукта, и суммарный резерв времени aij, которым располагает i-я машина в
j-м полугодии. Известны также затраты ck на хранение единицы k-го продукта в течение полугодия. Все указанные величины приведены в следующей таблице.
1
2
3
tik
I
2
2
4
II
1
3
2
1
2
3
aij
I
70
100
120
II
10
60
100
1
2
bkj
I
II
20
30
30
40
ck
3
5
Определить оптимальную производственную программу из условия
минимизации затрат на хранение.
Задача 6. В некотором регионе необходимо построить электростанцию большой мощности. Возможны следующие варианты решения
данной проблемы: I – построение большого водохранилища и гидроэлектростанции; II – построение тепловой электростанции на основном топливе и резервном; III – сооружение атомной электростанции.
Экономическая эффективность каждого варианта рассчитана проектным институтом, который учитывал затраты на строительство и эксплуатационные расходы. На эксплуатационные расходы гидроэлектростанции влияют климатические условия, например такие, как погодные условия, определяющие уровень воды в водохранилищах. Большое число
случайных факторов воздействует на экономическую эффективность тепловой станции: цены на мазут и газ, срывы поставок мазута из-за неритмичности работы транспорта в зимнее время, особенно во время снегопадов и продолжительных морозов. Экономическая эффективность атомной
электростанции будет зависеть от больших затрат на строительство и от
устойчивости агрегатов и системы управления во время эксплуатации.
Случайные факторы, от которых зависит эффективность рассмотренных вариантов, объединим в четыре возможных состояния природы:
B1 – цены на газ и мазут низкие; климатические условия благоприятные;
B2 – цены на газ и мазут высокие; климатические условия благоприятные;
B3 – цены на газ и мазут низкие; климатические условия неблагоприятные;
84
B4 – цены на газ и мазут высокие; климатические условия неблагоприятные.
Полученные проектным институтом расчеты эффективности приведены в следующей таблице.
Электростанция
Гидроэлектростанция
Тепловая электростанция
Атомная электростанция
B1
50
40
30
B2
50
25
30
B3
25
25
30
B4
25
20
30
Какой вариант решения нужно выбрать в условиях неопределенности, используя различные критерии: пессимиста, оптимиста, Гурвица, Сэвиджа?
По данным многолетней статистики цен и состояний климатических
условий были получены следующие вероятности состояний: B1 – 0,15;
B2 – 0,3; B3 – 0,2; B4 – 0,35. Определить оптимальный вариант строительства с учетом данных вероятностей.
Задача 7. Фирма, производящая вычислительную технику, провела
анализ рынка нового высокопроизводительного персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250 тыс. долл., а при неблагоприятных условиях фирма понесет убытки в 185 тыс. долл. Небольшая партия техники
в случае ее успешной реализации принесет фирме 50 тыс. долл. прибыли,
10 тыс. долл. убытков – при неблагоприятных внешних условиях. Возможность благоприятного и неблагоприятного исходов фирма оценивает одинаково. Исследование рынка, которое провела экспертная группа, обошлось фирме в 15 тыс. долл. Экспертная группа считает, что с вероятностью
0,6 рынок окажется благоприятным. Статистика предсказаний данной экспертной группы показывает, что их положительные прогнозы сбываются в
80 случаях из 100, а отрицательные – в 85 случаях из 100.
Используя дерево решений, проанализируйте: следовало ли заказывать дополнительное исследование экспертной группе; какую максимальную цену может заплатить фирма экспертной группе за проделанное исследование, какой вариант решения нужно (крупную или небольшую партию) выбрать фирме.
85
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1. Замков А.А. Математические методы в экономике / А.А. Замков,
А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М. : ДИС, 1998. – 364 с.
2. Гранберг А.Г. Математические методы в социалистической экономике / А.Г. Гранберг. – М. : Экономика, 1978. – 350 с.
3. Жак С.В. Математическая модель менеджмента и маркетинга /
С.В. Жак. – Ростов н/Д : ЛаПо, 1997. – 307 с.
4. Коссов В.В. Межотраслевой баланс / В.В. Коссов – М. : Экономика, 1979. – 270 с.
5. Петухов А.А. Опыт математического моделирования экономики /
А.А. Петухов, И.Г. Поспелов, А.А. Шананин. – М. : Энергоатомиздат,
1996. – 544 с.
6. Экономико-математические методы и прикладные модели : учеб.
пособие для вузов / Федосеев В.В. [и др.]. – М. : ЮНИТИ, 1999. – 391 с.
7. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : учеб.
пособие / А.М. Дубров [и др.]. – М. : Финансы и статистика, 2001. – 224 с.
8. Лагоша Б.А. Методы и задачи моделирования рисковых ситуаций
в экономике и бизнесе / Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев. – М. : МЭСИ,
1998. – 220 с.
9. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике,
финансах и бизнесе / С.И. Шелобаев. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 367 с.
Дополнительная литература
1. Экономико-математическое моделирование : учебник / под ред.
И.Н. Дрогобницкого. – 2-е изд., стереотип. – М. : Экзамен, 2006. – 798 с.
2. Математическое моделирование: Методы, описание и исследование сложных систем / под ред. А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова. – М. : Наука, 1989. – 266 с.
3. Моделирование экономических и производственных процессов :
метод. указания для решения задач / сост. Н.Б. Баева, И.В. Замятин,
Т.В. Азарнова, А.Я. Аснина. – Воронеж, 2002. – 47 с. – № 809.
4. Баева Н.Б. Моделирование экономических процессов : пособие для
студентов 3–4 курсов дневного и вечернего отделений / Н.Б. Баева. – Воронеж, 2003. – 26 с. – № 588.
5. Хозяйственный риск и методы его измерения / Т. Бочкаи [и др.]. –
М. : Экономика, 1979.
6. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: учеб. пособие / М.Ю. Афанасьев. – ТЕИС, 2002. – 312 с.
7. Математические методы в планировании отраслей и предприятий /
под. ред. И.Г. Попова. – М. : Экономика, 1973. – 374 с.
86
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................... 3
ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ ................. 4
§ 1. Основные понятия и факты ...................................................................... 4
§ 2. Структурное моделирование..................................................................... 7
§ 3. Этапы разработки моделей ....................................................................... 9
ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ .................. 12
§ 1. Модели формирования оптимального ассортимента ............................ 12
§ 2. Моделирование процессов смешивания ................................................. 20
§ 3. Моделирование оптимального раскроя материала ................................ 29
ГЛАВА 3. МОДЕЛИ ЛОГИСТИКИ И РИСКА ............................................ 36
§ 1. Моделирование процессов перевозок и назначения ............................. 36
§ 2. Распределительные модели ...................................................................... 49
§ 3. Моделирование рисковых ситуаций в экономике ................................. 55
ПРИЛОЖЕНИЕ ................................................................................................ 82
Разные задачи .................................................................................................... 82
Список литературы .......................................................................................... 86
87
Учебное издание
МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ,
ЛОГИСТИКИ И РИСКА
Методическое пособие
Составители:
Азарнова Татьяна Васильевна,
Баева Нина Борисовна
Редактор О.А. Исаева
Подписано в печать 05.03.08. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 5.
Тираж 150 экз. Заказ 407.
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс)
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133.
88