Математическое моделирование производственного и
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»
В.Н. Савиных
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОИЗВОДСТВЕННОГО И ФИНАНСОВОГО
МЕНЕДЖМЕНТА
Утверждено редакционно-издательским советом академии
в качестве учебного пособия
Новосибирск
СГГА
2007
УДК 330.4:519.8
С126
Рецензенты:
Доктор экономических наук, профессор,
Новосибирский государственный технический университет
В.А. Титова
Доктор физико-математических наук, профессор,
Институт вычислительной математики
и математической геофизики СО РАН
С.С. Артемьев
Савиных В.Н.
С126 Математическое моделирование производственного и финансового
менеджмента [Текст]: учеб. пособие / В.Н. Савиных. – Новосибирск: СГГА,
2007. – 219 с.
ISBN 978-5-876-93253-2
Учебное пособие составлено для студентов 3 и 4 курсов специальности
080507 «Менеджмент организации» и направления 0890500 «Менеджмент»,
содержит теоретические положения и методику выполнения индивидуальных
расчетно-графических и лабораторных работ по темам математического
моделирования производственного и финансового менеджмента. На примерах
решения типовых задач изучаются методы оптимизации управления
производством, коммерцией и финансами, а также показываются приемы
компьютерной реализации соответствующих моделей в среде Excel.
Главной целью учебного пособия является оказание методической
помощи в самостоятельном решении студентом предложенного ему
индивидуального набора задач по всем темам курса «Экономико-математические
методы».
Печатается по решению редакционно-издательского совета СГГА
УДК 330.4:519.8
ISBN 978-5-876-93253-2
ГОУ ВПО «Сибирская государственная
геодезическая академия», 2007
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................... 6
1. Моделирование оптимального управляющего решения задачей
линейного программирования ................................................................. 11
1.1. Составление математической модели расчета оптимальной
производственной программы ........................................................... 11
1.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
............................................................................................................... 13
1.3. Контрольные задания к разделу 1 ...................................................... 17
2. Использование теории двойственности при анализе предельной
эффективности используемых ресурсов ................................................. 19
2.1. Двойственная задача ЛП как модель расчета предельных
эффективностей используемых ресурсов ......................................... 19
2.2. Экономическая интерпретация основных положений теории
двойственности в линейном программировании ............................. 21
2.3. Расчет функции предельной эффективности ресурса,
поступающего на данное предприятие ............................................. 23
3. Создание и анализ компьютерного аналога математической модели
средствами Excel ....................................................................................... 30
3.1. Общие принципы решения оптимизационных моделей табличным
процессором Excel .............................................................................. 30
3.2. Методика создания компьютерного аналога математической
модели в среде Excel ........................................................................... 32
3.3. Анализ результатов расчетов по компьютерной модели, созданной
в Excel ................................................................................................... 38
4. Оптимальное распределение ресурса на основе функций его
предельной эффективности ...................................................................... 43
4.1. Моделирование согласования управляющего решения фирмы с
управляющими решениями филиалов .............................................. 43
4.2. Построение графиков предельной эффективности сырья для
каждого филиала в отдельности ........................................................ 44
4.3. Определение оптимальных управляющих решений фирмы и
филиалов на основе анализа сводного графика по сырью ............. 49
4.4. Контрольные задания к разделу 4 ...................................................... 52
5. Оптимальное размещение в коммерческих банках временно свободных
денежных средств фирмы......................................................................... 54
5.1. Моделирование размещения временно свободных денежных
средств при помощи ЛП ..................................................................... 54
5.2. Графический способ анализа задачи оптимального размещения
депозитов ............................................................................................. 56
5.3. Использование среды Excel для оптимизации депозитной политики
фирмы ................................................................................................... 60
5.4. Контрольные задания к разделу 5 ...................................................... 65
6. Оптимальное управление транспортировкой однородной продукции 67
Составление математической модели расчета оптимального плана
перевозок .............................................................................................. 67
6.2. Построение опорного плана Т-задачи по правилу северо-западного
угла........................................................................................................ 70
6.3. Нахождение оптимального плана перевозок методом потенциалов
............................................................................................................... 71
6.4. Контрольные задания к разделу 6 ...................................................... 78
7. Сетевое моделирование производственного и финансового
менеджмента .............................................................................................. 80
7.1. Составление сетевого графика технологической
последовательности заданного комплекса работ ............................. 80
7.2. Расчет временных характеристик сетевого графика и определение
критических путей .............................................................................. 85
7.3. Нахождение стратегии минимального удорожания для заданного
сокращения срока строительства ...................................................... 91
7.4. Контрольные задания к разделу 7 ...................................................... 95
8. Игровое моделирование оптовой закупки товаров при
неопределенности их розничной продажи ............................................. 98
8.1. Формирование модели матричной игры торговой фирмы, когда
вторым «игроком» считается природа .............................................. 98
8.2. Основные понятия теории матричных игр ..................................... 101
8.3. Оптимальные оптовые закупки товаров как результат решения
матричной игры ................................................................................. 109
8.4. Контрольные задания к разделу 8 .................................................... 111
9. Моделирование и расчет целочисленных параметров управляющих
решений .................................................................................................... 113
9.1. Примеры задач целочисленного и частично целочисленного
линейного программирования ......................................................... 113
9.2. Расчет целочисленной закупки станков методом ветвей и границ
............................................................................................................. 117
9.3. Контрольные задания к разделу 9 .................................................... 125
10. Комплексный анализ управляющих решений по абсолютным и
относительным критериям ..................................................................... 127
10.1. Анализ моделей расчета производственной программы по разным
экономическим критериям ............................................................... 127
10.2. Эквивалентная замена дробно-линейной модели на линейную
модель ................................................................................................. 130
10.3. Графическое решение линейного аналога дробно-линейной модели
............................................................................................................. 131
10.4. Решение задачи дробно-линейного программирования в среде
Excel .................................................................................................... 134
10.5. Контрольные задания к разделу 10 .................................................. 136
11. Анализ управляющих решений методами нелинейного
программирования .................................................................................. 138
11.1. Моделирование управляющих решений задачей нелинейного
6.1.
программирования ............................................................................ 138
11.2. Графический анализ задачи нелинейного программирования ..... 140
11.3. Расчет оптимального управляющего решения методом множителей
Лагранжа ............................................................................................ 144
11.4. Контрольные задания к разделу 11 .................................................. 147
12. Минимизация риска инвестиционного портфеля при заданном уровне
его доходности ......................................................................................... 149
12.1. Математическая постановка задачи оптимизации портфеля ценных
бумаг ................................................................................................... 149
12.2. Формирование модели оптимизации портфеля ценных бумаг для
данного индивидуального задания .................................................. 152
12.3. Решение полученной задачи квадратичного программирования
методом Франка – Вулфа .................................................................. 154
12.4. Оптимизация портфеля ценных бумаг в среде Excel..................... 159
12.5. Контрольные задания к разделу 12 .................................................. 163
Заключение....................................................................................................... 166
Библиографический список ........................................................................... 169
ВВЕДЕНИЕ
Математические и основанные на них компьютерные модели являются
передовыми технологиями анализа и разработки эффективных управляющих
решений для любой экономической системы. Если под системой на
общетеоретическом уровне понимается «множество элементов, находящихся в
отношениях или связях друг с другом, образующих целостность или
органическое единство» [12], то под экономической системой могут
пониматься:
потребители: отдельные лица или группы лиц с общим доходом,
расходуемым на потребление;
фирмы: предприятия, производящие товары или услуги для продажи
другим фирмам или конечным потребителям;
профессиональные союзы: группы людей, работающих по найму;
правительственные
организации:
политические
учреждения,
обладающие важными экономическими функциями;
банки, товарные и фондовые биржи.
Приведенный список не претендует на полноту, так как его всегда можно
расширить. Например, моделируемой экономической (организационнотехнической) системой может являться филиал производственной фирмы,
рассматриваемый отдельно как ее подсистема при взаимодействии с другими
филиалами-подсистемами.
Модель – материальный или идеальный объект-копия, создаваемый для
решения возникшей проблемы сведением ее к уже известной задаче либо с
целью получения новых знаний об объекте-оригинале, выделенном из
проблемной среды и отображающем существенные (с позиции разработчика)
свойства оригинала [7].
По форме отображения объектов проблемной среды модели принято
разделять на две группы: материальные (физические, химические,
биологические, аналоговые) и идеальные (знаковые и мысленные). Знаковые
модели, в свою очередь, подразделяются на графические (схематические),
логико-описательные, математические и компьютерные.
Материальные и знаковые модели можно разделить следующим образом:
изобразительные (в которых изменяется только геометрический
масштаб модели относительно объекта);
аналоговые (в которых, кроме изменения масштаба, происходит замена
одного свойства, например, глубины или высоты, на другое, например, синий
или коричневый цвет) [31].
Под математической моделью на общетеоретическом уровне нужно
понимать такую модель, которая использует для описания свойств и
характеристик объекта или события математические символы и методы [32].
«Экономико-математическая модель (ЭММ) – это описание,
отображающее экономический процесс или явление с помощью одного или
нескольких математических выражений (уравнений, функций, неравенств,
тождеств), имитирующих (отображающих) поведение моделируемого объекта в
заданных или возможных условиях его реального существования» [33].
Компьютерная модель – знаковая модель, записанная (без синтаксических
ошибок) ее составителем в форме, которую компьютер способен распознать и
преобразовать в электрические сигналы для того, чтобы произвести над ними
арифметические и логические действия, а затем (с помощью обратного
преобразования электрических сигналов в числовую и знаковую форму) выдать
результат на языке, понятном человеку [30].
При рассмотрении математических моделей экономического объекта, для
которых затем создается их компьютерный аналог, следует обратить внимание
на два вопроса, сопровождающих изучение моделируемого объекта или
процесса: управляем ли он исследователем, и возможно ли построить такую его
модель, которая имела бы аналитическое, а не численное итерационное
решение.
Ответ на первый вопрос позволяет определить принадлежность
экономического объекта и, следовательно, его модели к типу управляемых или
только наблюдаемых.
«Существуют два метода получения с помощью модели оптимального
решения (или некоторого приближения к нему): аналитический и численный.
Аналитические процедуры сводятся к использованию математического метода
дедукции. <...> Аналитические решения получаются в абстрактном, символьном
виде, т. е. подстановка чисел вместо символов обычно производится уже после
того, как будет получено решение.
Численные процедуры состоят в подборе различных значений для
управляемых переменных модели, сопоставлений полученных данных и
выборе того набора значений, который дает наиболее выгодное решение. Такие
процедуры могут варьироваться в широком диапазоне от простого метода проб
и ошибок до сложных итераций» [31].
Классификация моделей по ответу на второй вопрос помогает уточнить,
принадлежит ли модель к типу численных итерационных либо
аналитических.
Численные итерационные модели решаются методами, которые
многократно выполняют этапы вычислений по одной и той же схеме до тех пор,
пока не выполнится заранее заданное условие остановки вычислительного
процесса.
Аналитические модели характерны наличием готовой функции,
состоящей из одной или нескольких формул («ответов»), вычисление по
которым можно выполнить за один этап.
В свою очередь, управляемые модели подразделяются на два типа:
оптимизационные и неоптимизационные.
Цель разработки оптимизационных управляемых моделей при наличии
многих вариантов допустимых управляющих решений заключается в
получении такого решения, которое максимально увеличит либо уменьшит
уровни приоритетных показателей. Например, в математических моделях
рыночной экономики в подавляющем большинстве случаев решение
принимается на основе стоимостного показателя, как модельного критерия, и
поэтому сводится или к максимизации доходов, или к минимизации затрат.
Цель разработки неоптимизационных управляемых моделей состоит, в
частности, в стабилизации управляемых систем, т. е. в превращении (с
помощью этих моделей) изначально неустойчивых систем в устойчивые. Эти
модели предоставляют возможность выбора приемлемого варианта
функционирования системы, исходя из внемодельных соображений.
Неоптимизационные управляемые модели, если они являются численными,
называют обычно имитационными.
Если же изучаемая экономическая система настолько сложна, что не может
быть описана ни аналитической, ни численной оптимизационной моделью, то
исследователю не остается ничего другого, как составить ее имитационную
модель. Затем эта модель переводится с языка математики на язык информатики
для проведения на ней соответствующих компьютерных имитационных
экспериментов.
Часто как оптимизационные, так и неоптимизационные численные модели
в литературе называют имитационными, хотя желательно выделить какой-то
специальный термин для обозначения неоптимизационных имитационных
моделей. Такая терминологическая неустойчивость объясняется чрезвычайной
трудностью решения оптимизационных задач методами имитационного
моделирования.
Проблема соответствия (адекватности) математических моделей экономики
реальностям экономической жизни в большинстве случаев зависит не от
ошибочности решения математической задачи, в которую была преобразована
словесная формулировка, а от правильности самого этого преобразования.
«Математика, – отмечает во введении к своей монографии Р. Ален, –
является путеводителем от предпосылок к выводам, но сами эти предпосылки
могут быть любой совместной системой кем-то сформулированных аксиом.
Теории возникают лишь из особого содержания предмета независимо от того,
идет ли речь об экономике или электротехнике. <...> Не допуская логической
ошибки, можно сказать, что выводы будут верны, если предпосылки правильны.
Но это не является доказательством какой-либо теории, ни в экономике, ни в
какой-либо другой области знаний. Теории проверяются фактами: либо
проверяются предпосылки, либо, что бывает чаще, – выводы» [1].
Например, причиной ошибочных результатов могут оказаться какие-либо
из начальных экономических предположений словесной модели. Эта причина
относится не только к моделям математической экономики, но к
математическим моделям вообще. Основная трудность, преодолеваемая на
этапе математического моделирования, заключается не в ошибочных начальных
условиях (ограничениях), накладываемых на переменные, а выборе самих этих
переменных.
«На практике исходным пунктом часто является некоторая эмпирическая
ситуация, выдвигающая перед исследователем «задачу», на которую требуется
найти «ответ». Однако, употребление таких слов, как «задача» и «ответ» не
должно вводить в заблуждение. Прежде всего, необходимо установить, в чем
именно заключается «задача». Это замечание связано с тем, что реальные
ситуации редко бывают четко очерченными, а сложное взаимодействие с
окружающей средой делает точное описание ситуации затруднительным.
Процесс выделения «задачи», поддающийся математическому анализу, часто
бывает продолжительным и требует владения многими навыками, не
имеющими никакого отношения к математике (например, беседы с коллегаминематематиками, работающими в данной области, и чтение всевозможной
литературы, имеющей отношение к делу, являются важным элементом процесса
моделирования).
<...> Способность увидеть, что рассматриваемая ситуация принадлежит к
известному классу задач, для которого имеются стандартные теории, – это
искусство, имеющее для моделирования огромное значение. В этом как бы
фокусируется вся суть прикладной математики, а именно, что один и тот же
математический аппарат может описывать очень широкий круг реальных
ситуаций, которые сами по себе могут казаться совершенно не связанными друг
с другом» [17].
Одной и той же математической (аналитической или численной,
называемой также алгоритмической) модели могут соответствовать
разнообразные компьютерные модели, т. е. ее реализации в различных
программных средах. Однако, из-за своей общедоступности в программном и
методическом смысле, необязательности знания языков программирования, а
также из-за относительной математической прозрачности, более всего для
учебного процесса подходит программная среда Excel.
Такой математически закрытый инструмент для экономистовпрактиков, как универсальная или специальная компьютерная программа,
созданная для моделирования, как правило, устаревает либо вместе с
операционной системой, на базе которой она была написана, либо вместе с
поколением компьютера, на котором она программировалась. В отличие от него,
относительно прозрачный математический инструментарий среды Excel
значительно менее изменчив (инвариантен) во времени.
Общеизвестно, что выпускник экономического вуза или факультета,
получающий квалификацию «менеджер», должен уделять достаточное
внимание усвоению как математических, так и компьютерных средств
поддержки принятия управляющих решений. В данном пособии для
моделирования принятия оптимальных решений используются математические
средства, основой которых являются методы оптимизации или методы
математического программирования, а привлечение компьютерных средств
демонстрируется на примерах экономического моделирования в Excel.
Нужно особо подчеркнуть приоритет математического моделирования, как
этапа, предшествующего компьютерному моделированию. Студенты часто
пренебрегают выполнением этого важного этапа между словесной
формулировкой задачи и ее решением на персональном компьютере.
Многолетняя практика преподавания показала, что студенты, пытающиеся
миновать этап математического моделирования в переходе от словесной
формулировки задачи к записи данных в ячейки электронной таблицы, в
подавляющем большинстве случаев, не получают правильного решения.
Основным содержанием предлагаемого учебного пособия в свете
приведенной выше классификации являются управляемые оптимизационные
модели, которые относятся к типу численных итерационных моделей и
используются как инструментарий для анализа задач производственного и
финансового менеджмента.
Каждая тема пособия начинается с описания типовой ситуации, взятой из
производственной, финансовой или коммерческой сферы экономики. При этом
приводится словесная формулировка свойств оптимального управляющего
решения для данной ситуации. Затем осуществляется перевод словесной
формулировки на язык символов и, в конечном итоге, составляется
математическая модель расчета параметров оптимального управляющего
решения. Исходные данные, предложенные в индивидуальных заданиях и
упражнениях, сгенерированы таким образом, чтобы составленная на их основе
математическая модель могла быть решена соответствующим методом
оптимизации без помощи компьютера.
Автор стремился сделать так, чтобы при выполнении ручных расчетов
по изучаемому методу оптимизации студент избежал ненужной рутинности
вычислений, но полностью усвоил идею метода. Например, в тех случаях,
когда компьютер стал бы применять итерации симплекс-алгоритма для выхода
на оптимальное решение, при ручных расчетах предлагается использовать
графический способ определения оптимального решения задачи линейного
программирования с двумя переменными. По убеждению автора, обязательные
решения составленных моделей вручную нужны для более глубокого
осмысления использованных при моделировании теоретических положений.
С другой стороны, каждая экономико-математическая модель,
рассматриваемая в пособии, может быть легко переформулирована для
практически значимой размерности. Понятно, что решение такой модели можно
будет получить, только используя ее компьютерный аналог. Из-за ограниченных
рамок пособия только для четырех из десяти рассмотренных экономикоматематических моделей показано создание их компьютерных аналогов в среде
Excel и приведен анализ результатов расчетов по ним.
Последовательность тем пособия соответствует порядку их прохождения
по рабочей программе курса «Экономико-математические методы», причем,
первые три темы являются базовыми, на которые, так или иначе, опираются
все последующие темы. По нашему мнению, эффективное изучение
математических моделей менеджмента должно проходить в следующей
последовательности: 1) модели линейного программирования, 2) модель
сетевого планирования и управления, 3) модель матричной игры, 4) модель
частично целочисленного программирования, 5) модель дробно-линейного
программирования и 6) модели нелинейного программирования.
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЯЮЩЕГО РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧЕЙ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1.1. Составление математической модели расчета оптимальной
производственной программы
Чтобы процесс составления математической модели расчета оптимальной
производственной программы предприятия изложить проще и в более
доступной форме, рассмотрим его на конкретном примере
Для изготовления двух видов продукции А и Б предприятие расходует три
вида ресурсов: сырье, оборудование и труд. Информация о нормах затрат
ресурсов на единицу выпускаемой продукции, лимиты ресурсов, на которые
рассчитывает предприятие в плановом периоде, и рыночные цены реализации
каждой единицы продукции приведены ниже.
Наименование
Норма затрат на
Объем
ресурса
продукт A продукт B
ресурса
Сырье (кг)
1
2
40
Оборудование (ст.-ч)
2
1
50
Труд (чел.-ч)
1
1
35
Цена реализации (руб.)
50
70
Задача администрации предприятия заключается в разработке такой
программы выпуска продукции в плановом периоде, затраты ресурсов на
которую не превысят имеющихся лимитов, а ожидаемая выручка после продажи
выпущенной продукции будет максимальной.
Требуется:
1. Составить экономико-математическую модель расчета оптимальной
производственной программы предприятия на плановый период.
2. Применяя
графический
метод
решения
задачи
линейного
программирования, найти оптимальное решение для составленной модели и
дать его экономическую интерпретацию.
3. Используя положения теории двойственности, найти оптимальное
решение двойственной задачи к модели расчета оптимальной производственной
программы и привести его экономическую интерпретацию.
4. Определить функцию предельной эффективности сырья на этом
предприятии и функцию зависимости максимальной выручки от затраченного
сырья, построить графики этих функций.
Для
построения
экономико-математической
модели
заданной
производственной ситуации обозначим через x1 искомую программу выпуска
изделий A, а через x2 – искомую программу выпуска изделий B.
Тогда производственная программа полностью будет представлена
вектором x x1 , x 2 .
Эта программа должна выбираться с учетом объемов имеющихся ресурсов
в рассматриваемом периоде.
Суммарный
расход
сырья
на
производственную
программу,
рассчитываемый по формуле 1x1 2 x2 , не должен превысить 40 кг сырья.
Отсюда ограничение на расход сырья представится неравенством
1x1 2 x2 40 .
Общая загрузка оборудования на производственную программу
рассчитывается по формуле 2 x1 1x2 , и эта загрузка не должна превысить 50 ст.-ч
работы оборудования. Отсюда получаем ограничение на работу оборудования:
2 x1
1x 2
50.
Суммарные затраты труда на производственную программу
рассчитываются по формуле 1x1 1x2 , и эти затраты не должны превысить
35 чел.-ч. Отсюда получаем ограничение на затраты труда:
1x1
1x 2
35.
Кроме того, для искомых переменных x1 , x2 должны выполняться
граничные условия (или требования неотрицательности), а именно:
x1 0 ; x 2 0 .
Показателем качества выбранной производственной программы является
ожидаемая выручка от реализации всех выпущенных изделий. Эту выручку
необходимо рассчитывать по формуле
z
50 x1 70 x2 .
Искомая программа должна максимизировать сумму z , которая также
называется целевой функцией, или критерием оптимизационной модели.
Символически требование максимизации отражается записью
z
50 x1 70 x2
max .
Представим составленную модель в следующей компактной записи:
Найти x x1 , x 2 ;
x1 2 x2 40 ;
2 x1 x2 50 ;
x1 x2 35 ;
x1 0 ; x 2 0 ;
z
50 x1 70 x2
(1.1)
max .
Модель (1.1), представленная такой записью ограничений, граничных
условий и целевой функции, относится к типу задач линейного
программирования. Термин «линейное программирование» объясняется тем,
что при подсчете расходов ресурсов на программу выпуска и расчете
ожидаемой выручки после реализации всей выпущенной по этой программе
продукции используются только линейные функции.
В общем случае задача линейного программирования может быть
представлена в так называемой стандартной записи. Известно, что к стандартной
записи можно привести задачу линейного программирования (задачу ЛП),
данную в любой другой записи, используя для этого специальные правила
эквивалентных преобразований. Поэтому во всех дальнейших утверждениях,
без потери общности, под задачей ЛП будем понимать ее стандартную
постановку (1.2).
x1 , ..., x J , ..., x n ;
Найти x
a11 x1 ... а1 j x j ... a1n xn b1 ;
ai1 x1 ... аij x j ... ain xn bi ;
a1m x1 ... аmj x j ... amn xn bm ;
x j 0 , j 1, n ;
z c1 x1 ... c j x J
... cn xn
(1.2)
max .
1.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
Пользуясь тем, что в задаче ЛП (1.1) имеется две искомые переменные, ее
можно решить графическим способом, который состоит из следующих двух
этапов.
1. Изображение области допустимых решений предложенной задачи ЛП в
декартовой системе координат.
2. Визуальное нахождение оптимального решения на построенной
области допустимых решений и его аналитическое уточнение.
Выполним названные этапы для задачи (1.1).
1. Под допустимым решением задачи ЛП понимается такой числовой
набор значений искомых переменных, который при подстановке во все
ограничения и граничные условия задачи обращает их в истинные числовые
неравенства и равенства. Под областью допустимых решений (ОДР) задачи ЛП
понимается геометрическое место точек, координаты которых являются
допустимыми решениями.
Прежде всего, укажем в декартовой системе координат на рис. 1.1 область
допустимых решений для первого ограничения задачи (1.1). Для этого проведем
в системе координат прямую, соответствующую первому ограничению.
Уравнение этой прямой будет получено, если первое ограничение будет
записано как равенство
x1 2 x2 40 .
80
60
40
20
0
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Рис. 1.1. Построение области допустимых решений задачи ЛП
-20
-40
Задавая произвольно значение одной из координат точки, лежащей на этой
прямой, можно через полученное уравнение вычислить значение другой
координаты этой же точки. Если данная прямая имеет точки пересечения с
обеими осями в пределах создаваемого рисунка, то лучше присваивать нулевое
значение сначала первой переменной, затем второй переменной, находя
соответствующее значение другой переменной.
Результаты этих вычислений рекомендуется заносить в таблицу.
x1
0
40
x2
20
0
Отметим эти точки на осях рис. 1.1 и проведем через них прямую,
соответствующую первому ограничению. На рисунке она маркирована
треугольниками. Если взять координаты любой точки, лежащей на этой прямой,
то они обратят первое ограничение в равенство. Для выявления точек,
координаты которых строго удовлетворяют данному ограничению, нужно
указать на одну из образовавшихся полуплоскостей.
Для определения полуплоскости, координаты точек которой являются
строгими решениями данного неравенства, необходимо выбрать пробную точку,
явно принадлежащую какой-либо из двух полуплоскостей, полученных после
проведения прямой, соответствующей этому неравенству.
Если координаты пробной точки обращают неравенство в истинное
числовое неравенство, то полуплоскость, которой она принадлежит, является
искомой. На рис. 1.1 искомые полуплоскости выделены стрелками. Если
числовое неравенство получилось ложным, то стрелками нужно указать
полуплоскость, которой не принадлежит пробная точка.
Таким образом, с помощью одной пробы графически выявляется область
допустимых решений для любого из ограничений и граничных условий
анализируемой задачи ЛП.
В тех случаях, когда прямая не проходит через начало координат, в качестве
пробной точки проще всего брать значения: x1 0 , x 2 0. Подставим эти
значения в анализируемое неравенство и, получив утверждение 0 40 ,
находим его истинным. Поэтому стрелки от этой прямой откладываем в
направлении начала координат, показывая тем самым, где лежат все точки,
координаты которых являются допустимыми решениями для ограничения по
сырью.
Подобным образом следует поступить с каждым ограничением и
граничным условием задачи ЛП, выделив стрелками пять соответствующих им
полуплоскостей на одном и том же рисунке. При этом прямая, маркированная
ромбами, соответствует второму ограничению и имеет следующие координаты
точек пересечения с осями:
x1
0
25
x2
50
0
Прямая, помеченная квадратами, соответствует третьему ограничению
задачи и пересекается с осями в точках с координатами:
x1
0
35
x2
35
0
Следующим шагом нужно выделить общую часть обозначенных этими
стрелками полуплоскостей или, другими словами, найти их пересечение. На
рис. 1.1 заштрихованный четырехугольник с выделенными жирной линией
сторонами представляет собой все множество точек, координаты которых
обращают в истинные утверждения все ограничения и граничные условия
модели. Это означает, что первый этап завершен, и область допустимых решений
задачи ЛП построена. Полезно обратить внимание на то, что, если третье
ограничение исключить из модели, то ОДР останется неизменной. Такое нельзя
сказать о других ограничениях модели.
2. Под оптимальным решением задачи ЛП понимается такое
допустимое решение, при котором целевая функция задачи принимает
экстремальное значение (максимальное или минимальное). Доказано, что
среди множества оптимальных решений задачи ЛП, если они есть у этой
задачи, обязательно существуют координаты вершины или угловой точки
многоугольной области допустимых решений задачи ЛП (ограниченной
или неограниченной). Набор числовых значений координат угловой точки
ОДР называется опорным решением задачи ЛП. Другими словами, среди
множества оптимальных решений задачи ЛП всегда существует
подмножество опорных решений.
Выделенному на рис. 1.1 четырехугольнику допустимых решений
соответствуют четыре опорных решения – четыре варианта координат угловых
точек: x1 ( 0 , 0 ) , x2 ( 25, 0 ) , x3 ( 20, 10 ) , x4 ( 0 , 20 ) . Координаты
угловой точки x3 ( 20, 10 ) можно найти, вычислив координаты точки
пересечения прямых, маркированных треугольниками и ромбами, для чего
нужно решить систему уравнений
х1 2 х2 40 ;
2 х1 х2 50 .
Для визуального выявления оптимального решения среди этих опорных
решений используем следующие теоретические понятия.
Под линией уровня целевой функции понимается геометрическое место
точек, для координат которых зависимая переменная z имеет постоянное
числовое значение.
Например, уравнение линии нулевого уровня будет иметь вид:
0 50 x1 70 x2;
или уравнение линии уровня 100 будет иметь вид:
100 50 x1 70 x2 ;
или уравнение линии уровня 1000 будет иметь вид:
1000 50 x1 70 x2 .
Очевидно, что для всех возможных числовых значений линии уровня
целевой функции являются прямыми, которые будут параллельными между
собой и покрывать всю плоскость.
Под градиентом целевой функции понимается вектор с началом в текущей
точке плоскости x x1 , x 2 , координаты которого рассчитываются, как
значение частных производных целевой функции z в этой точке:
gradZ( x )
z
z
,
.
x1 x 2
(1.3)
Градиент целевой функции обладает двумя характерными свойствами:
1. Он перпендикулярен линиям уровня целевой функции.
2. Он указывает сторону наискорейшего роста целевой функции.
Используем изложенные выше теоретические положения для нахождения
точки оптимального решения на построенной области допустимых решений.
Вычислим градиент целевой функции z 50 x1 70 x2 в текущей точке x по
формуле (1.3) и получим
gradZ( x ) 50, 70 .
Очевидно, что в случае линейной целевой функции, направление
градиента не зависит от текущей точки, от которой он откладывается.
Для того чтобы уложиться в заданный масштаб, отложим от начала
координат на рис. 1.2 вектор c такого же направления, как и вычисленный
градиент, но вдвое меньший по длине, то есть c ( 25, 35 ) . Затем, согласно
названному выше свойству градиента, проведем через начало координат
перпендикулярно градиенту линию нулевого уровня. На рис. 1.2 она
изображена пунктирной линией, которая используется как начало отсчета для
роста уровня целевой функции.
80
60
40
grad Z
20
0
-20
-10
0
10
Z=0
-20
20
30
40
50
Z=1700
Рис. 1.2. Визуальное определение оптимального решения на построенной
области допустимых решений
-40
Определим наиболее удаленную в направлении градиента линию уровня,
имеющую общую точку с областью допустимых решений. Такой линии уровня
соответствует пунктирная прямая, проходящая через точку ОДР с координатами
(20, 10). Значит, в этой точке достигается максимальное значение уровня целевой
функции над построенной областью допустимых решений, которое легко
вычисляется подстановкой координат точки в целевую функцию
zmax
50 20 70 10 1 700.
Отсюда оптимальным решением задачи является x1 20 , x2 10 .
Правильному визуальному определению оптимальной точки ОДР может
помешать погрешность сделанных графических построений. Например, при
повороте градиента чуть вправо по часовой стрелке, линия уровня при
движении в новом направлении покинет последней уже точку ОДР с
координатами (25, 0). В целях аналитической подстраховки графически
найденного оптимального решения вычислим значение целевой функции в
этой точке
z
50 25 70 0 1 250.
Так как 1 250 < 1 700, то это подтверждает правильность найденного
визуально оптимального решения задачи (1.1).
В качестве экономической интерпретации найденного оптимального
решения предлагается сделать вывод, что оптимальной производственной
программой предприятия в плановом периоде будет выпуск первого продукта
в объеме 20 единиц и второго продукта в объеме 10 единиц. При этом
предприятие получит ожидаемую максимальную выручку в размере 1 700
руб.
1.3. Контрольные задания к разделу 1
Условия задачи расчета оптимальной производственной программы
(линейная модель)
Наименование ресурса
Норма затрат
на продукт A
на продукт B
a11
a12
a21
a22
a31
a23
c1
c2
Сырье (кг)
Оборудование (ст.-ч)
Трудоресурсы (чел.-ч)
Цена реализации (руб.)
Объем ресурса
b1
b2
b3
–
Варианты исходных данных задачи
Номер
варианта
1
2
3
4
5
a11
a12
b1
a21
a22
b2
a31
a32
b3
c1
c2
1
2
3
4
1
2
4
2
5
1
40
238
160
601
89
2
2
3
4
6
1
3
5
2
1
50
211
291
418
213
1
5
4
3
1
1
4
3
2
4
35
476
225
335
293
50
194
276
312
100
70
343
201
194
181
Ответы по вариантам
Номер
x
x2 Zmax
варианта 1
1 20 10 1 700
u1
Эффективность сырья
u2
u3
30 10
0
50
30
97
78,25
20
Правые границы
25
55
70
2
65
27
21 871
52 45
0
52,007 190,38 225,73
281,4
3
30
35
15 315
24
0
51
100,5 86,333 23,995 116,39 157,64
168,8
4
83
43
34 238
0
21
76
78
12,667
0
418,04 546,89 1Е+30
5
21
68
14 408
73
0
27
181
73
0
73,252 91,478 1Е+30
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИ АНАЛИЗЕ
ПРЕДЕЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РЕСУРСОВ
2.1. Двойственная задача ЛП как модель расчета предельных
эффективностей используемых ресурсов
Как правило, наряду с проблемой расчета оптимальной производственной
программы при заданных на плановый период ограниченных ресурсах
рассматривается проблема оптимального расширения существующего
производства за счет дополнительного привлечения ресурсов к уже имеющимся
объемам. Для выбора оптимальной стратегии расширения производства нужно
знать, какой прирост достигнутого максимума выручки следует ожидать от
дополнительного привлечения единицы того или иного ресурса при сохранении
других ресурсов в прежнем объеме. Эту проблему рассмотрим на примере
составленной и решенной графически в разделе 1 модели расчета оптимальной
производственной программы.
Предположим, что u1* – величина ожидаемого прироста максимума выручки (1
700 руб.) от дополнительного привлечения в производство 1 кг сырья к прежним
40 кг. Эту величину назовем предельной эффективностью (полезностью) 41-го
кг сырья;
u*2 – величина ожидаемого прироста максимума выручки (1 700 руб.) от
дополнительного привлечения в производство 1 ст.-ч оборудования к
имеющимся 50 ст.-ч. Эту величину назовем предельной эффективностью 51-го
ст.-ч оборудования;
u*3 – величина ожидаемого прироста максимума выручки (1 700 руб.) от
дополнительного привлечения в производство 1 чел.-ч труда к имеющимся 35
чел.-ч. Эту величину назовем предельной эффективностью 36-го чел.-ч труда.
Доказано, что величины предельной эффективности u1* , u*2 , u*3 могут быть
вычислены
как
решение
нижеследующей
задачи
линейного
программирования, называемой двойственной задачей. Она составлена на
основе тех же исходных данных, как и предыдущая задача (1.1), называемая
прямой задачей.
Найти u u1 , u 2 , u 3 ;
u1 2u2 u3 50 ;
2u1 u 2 u3 70 ;
(2.1)
u1 0 , u 2 0 , u 3 0 ;
w 40u1 50u2 35u3
min .
В общем случае двойственная задача имеет следующий вид.
Найти u
u1 , ..., ui , ..., u m ;
a11u1 ... ai1ui ... am1um c1 ;
a1 j u1 ... aij ui ... amj um c j ;
(2.2)
a1nu1 ... ain ui ... amn um cn ;
ui 0 , i 1,m ;
w b1u1 ... bi ui ... bmum min .
Сформулируем правила построения двойственной задачи к стандартной
форме записи прямой задачи ЛП (1.2).
1. Каждому ограничению исходной задачи (1.2) ставится в соответствие
переменная двойственной задачи
u1
a11x1 ... а1 j x j ... a1n xn b1 ;
ui
ai1 x1 ... аij x j ... ain xn bi ;
um
a1m x1 ... аmj x j ... amn xn bm ;
(2.3)
x j 0 , j 1, n ;
z c1 x1 ... c j x J ... cn xn
max .
Каждой переменной исходной задачи ставится в соответствие
ограничение двойственной задачи
x1
a11u1 ... ai1ui ... am1um c1 ;
xj
a1 j u1 ... aij ui ... amj um c j ;
xn
ui
a1nu1
... ain ui
... amn um
cn ;
(2.4)
0 , i 1,m ;
w b1u1 ... bi ui ... bmum
min .
2. Левая
часть
ограничения
двойственной
задачи
(2.4),
соответствующего переменной x j , представляет собой сумму
произведений коэффициентов столбца при переменной x j ограничений
прямой задачи (2.3) на соответствующие им двойственные переменные. В
качестве правой части этого же ограничения берется коэффициент целевой
функции при переменной x j прямой задачи. Между левой и правой
частями ограничения двойственной задачи ставится знак .
3. Граничные условия на переменные двойственной задачи
заключаются в требовании их неотрицательности ui 0 , i 1,m .
4. Целевая функция двойственной задачи представляет собой сумму
произведений правых частей ограничений прямой задачи на
соответствующие им двойственные переменные и ориентируется на
минимум.
Эти правила можно применить при построении задачи, двойственной к
задаче (2.2), после ее приведения к нижеприведенной стандартной форме
записи задачи линейного программирования.
Найти u
u1 , ..., ui , ..., u m ;
a11u1 ... ai1ui ... am1um
c1 ;
a1 j u1 ... aij ui ... amj um
cj;
(2.5)
a1nu1 ... ain ui ... amn um
cn ;
ui 0 , i 1, m ;
w
b1u1 ... bi ui ... bmum
max .
Применив предложенные ранее правила построения двойственной задачи к
задаче (2.5), нетрудно убедиться, что в итоге получится задача, эквивалентная
по смыслу прямой задаче (1.2).
Это доказывает свойство сопряженности прямой и двойственной задачи,
которое заключается в том утверждении, что двойственная задача к
двойственной задаче является прямой задачей. В соответствии с этим свойством
двойственную задачу можно считать прямой, а прямую задачу – двойственной к
ней, т. е. названия «прямая задача» и «двойственная задача» не являются навсегда
закрепленными названиями за той или иной задачей линейного
программирования. Это оправдывает применяемый в дальнейшем термин: пара
взаимодвойственных задач.
2.2. Экономическая интерпретация основных положений теории
двойственности в линейном программировании
Пусть дана пара взаимодвойственных задач ЛП (2.3) и (2.4). Относительно
этих задач имеет место следующая основная (первая) теорема двойственности.
Основная теорема двойственности
Если одна из этой пары взаимодвойственных задач имеет оптимальное
решение, то и другая задача тоже обязательно имеет оптимальное решение. При
этом выполняется соотношение
zmax
wmin .
Следствие основной теоремы двойственности
Допустимое решение задачи (2.3) х0
х10 , ..., х0j , ..., хn0 и допустимое
0
решение задачи (2.4) u 0 u10 , ..., u 0j , ..., um
будут оптимальными для своих
задач, если выполняется равенство
c1 x10 ... c j x0j ... cn xn0 b1u10 ... bi ui0 ... bmum0 .
Под условиями «дополняющей нежесткости» для задач (2.3) и (2.4)
понимаются следующие две группы математических соотношений:
u1 b1 a11 x1 ... a1 j x j ... a1n xn
0;
ui bi ai1 x1 ... aij x j ... ain xn
0;
um bm am1 x1 ... amj x j ... amn xn
0.
(2.6)
x1 a11u1 ... ai1ui ... am1um c1
x j a1 j u1 ... aij ui ... amj um c j
xn a1nu1 ... ain ui ... amn um cn
0;
0;
0.
(2.7)
Вторая теорема двойственности
Допустимое решение задачи (2.3) х0
х10 , ..., х0j , ..., хn0 и допустимое
0
решение задачи (2.4) u 0 u10 , ..., u 0j , ..., um
будут оптимальными для своих
задач тогда и только тогда, когда для них выполняются «условия дополняющей
нежесткости» (2.6) и (2.7).
Первая
группа
условий
«дополняющей
нежесткости»
(2.6)
интерпретируется следующим образом.
1а. Если предельная эффективность ресурса под номером i больше нуля, т.
е., ui > 0, то этот ресурс является лимитирующим или, иначе, полностью
расходуется по данной оптимальной производственной программе
х
х1 , ..., х j , ..., хn , так как должно выполняться равенство
a11 x1
... aij x j
... ain xn
bi .
1б. Если ресурс под номером i не является лимитирующим для данной
оптимальной производственной программы х
a11
a11x1x1 ...... aaijijxxjj
х1 , ..., х j , ..., хn или, иначе,
...
... ain xnn < bbii , то предельная эффективность этого ресурса
должна равняться нулю, т. е. ui = 0.
Вторая группа условий дополняющей нежесткости (2.7) интерпретируется
следующим образом.
2а. Если продукт под номером j выпускается по оптимальной
производственной программе х
х1 , ..., х j , ..., хn , т. е. x j > 0, то
суммарная эффективность всех затраченных ресурсов на выпуск единицы
этого продукта должна равняться эффективности его реализации (цене
продукта)
a1 j u1* ... aij u*i ... amj u*m c j .
2б. Если суммарная эффективность всех затраченных ресурсов на выпуск
единицы продукта под номером j превышает эффективность его реализации, т.
е. a11u1 ... aij u j ... ain un > cj, то продукт по оптимальной программе
х
х1 , ..., х j , ..., хn не должен производиться, т. е. x j = 0.
Относительно рассматриваемого варианта задач (1.1) и (2.1)
соответствующие условия «дополняющей нежесткости» первой и второй
группы выглядят следующим образом.
u1 40 x1 2 x2 0 ;
u2 50 2 x1 x2 0 ;
(2.8)
u3 35 x1 x2 0.
x1 u1 2u 2 u3 50
x2 2u1 u2 u3 70
0;
0.
(2.9)
Из группы условий (2.8), так как 35 x1* x*2 35 20 10 5 , на основе
интерпретации 1б следует, что труд не лимитирует оптимальную программу, т.
е. u*3 0 , а из рис. 1.2 видно, что прямая, связанная с трудоресурсами,
проходит выше точки, которая соответствует оптимальной производственной
программе, что показывает избыточность трудоресурсов для этой программы.
Из группы условий (2.9), на основе интерпретации 2а, следует, что если
оба продукта выпускаются по оптимальной производственной программе, т. е.
x1* 20 и x*2 10 , то должны выполняться равенства
u1 2u2 u3 50 ;
2u1
u2
u3
70.
Из двух последних уравнений, с учетом u*3
следующей системы:
u1*
2u1*
2u*2
u*2
0 , перейдем к решению
50 ;
70.
Откуда получаем u1*
wmin
30 , u*2 10 , при этом для проверки вычислим
40 30 50 10 35 0 1 700 .
В соответствии с вышесказанным найденное оптимальное решение
двойственной задачи интерпретируется следующим образом:
• u1* = 30 руб. – величина ожидаемого прироста максимума выручки (1 700
руб.) от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья к имеющимся
40 кг;
• u*2 = 10 руб. – величина ожидаемого прироста максимума выручки (1 700
руб.) от дополнительного вовлечения в производство 1 ст.-ч оборудования к
имеющимся 50 ст.-ч;
• u*3 = 0 руб. – величина ожидаемого прироста максимума выручки (1 700
руб.) от дополнительного вовлечения в производство 1 чел.-ч труда к
имеющимся 35 чел.-ч.
2.3. Расчет функции предельной эффективности ресурса, поступающего
на данное предприятие
При сохранении лимитов по другим ресурсам исследуем зависимость
максимума выручки от изменения лимита сырья в диапазоне от нуля до
бесконечности. Это значит, что при графическом анализе изменения области
допустимых решений на рис. 2.1, прямая CB, связанная с оборудованием, и
прямая DC, связанная с трудом, останутся на тех же местах, что и на рис. 1.1 и
1.2, рассмотренных в разделе 1, в то время как прямая по сырью будет менять
свое положение.
80
60
(4)
(3)
40
D
(2)
C
20
(1)
0
-20
-10
A0
10
20
B
30
40
50
-20
Рис. 2.1. Графический анализ изменения предельной эффективности
дополнительно привлекаемой единицы сырья
Пунктирные прямые на рис. 2.1, рассмотренные в порядке (1), (2), (3), (4),
отражают динамику роста лимитов потребления сырья для данного
предприятия. Пунктирная прямая (2) соответствует первоначально заданному
лимиту по сырью, равному 40 кг. Пунктирная прямая (4) соответствует
избыточному объему сырья по отношению ко всем программам, допустимым по
лимитам для оборудования и труда.
При лимите сырья, представленном пунктирной прямой (1), область
допустимых решений задачи будет представлена треугольником, образованным
этой прямой и осями координат. Для определения оптимального решения на
таком треугольнике можно либо использовать градиент целевой функции,
либо сравнить значения целевой функции в угловых точках треугольника.
Такими точками можно взять, например, точки (10, 0) и (0, 5), расход сырья для
которых одинаков и равен 10 кг. Выручку, соответствующую этим точкам,
вычислим, как z 10, 0 50 10 70 0 500 и z 0, 5 50 0 70 5 350 .
Отсюда видно, что оптимальным решением в данной ситуации будет точка
x1* 10 , x*2 0 .
Решение двойственной задачи для данной ситуации найдем по
составленным выше условиям «дополняющей нежесткости».
Из группы условий (2.8), так как 50 2 x1* x*2 50 2 10 0 30 и
-40
35 x1*
x*2
35 10 0
25 , следует, что оборудование и труд не
лимитируют оптимальную программу, а значит u*2
0 , u*3
0.
Из группы условий (2.9) следует, что, если первый продукт выпускается по
оптимальной производственной программе, то есть x1* 10 , то должно
выполняться равенство
u1* 2u*2 u*3 50 .
Из последнего уравнения, с учетом u*2 0 , u*3 0 , получим u1* 50 .
При повышении лимита потребления сырья пунктирная прямая будет
двигаться по направлению от начала координат, а треугольник, отражающий
ОДР, будет увеличиваться. При этом соответствующие оптимальные программы
будут находиться на оси абсцисс, а вышеприведенные расчеты предельной
эффективности сырья будут приводить к результату u1* 50 . Такая ситуация
будет качественно сохраняться до тех пор, пока оптимальная программа не
совпадет с точкой B. Программу B, наряду с ограничением по сырью, начнет
лимитировать ограничение по оборудованию. Поэтому расход сырья на
программу B (25, 0) покажет правую границу диапазона устойчивости
предельной эффективности u1* 50 . Каждый следующий за этой границей
килограмм сырья будет расходоваться с меньшей предельной эффективностью.
Для расчета расхода сырья на программу B подставим ее координаты в
левую часть ограничения по сырью r( x1 , x2 ) x1 2 x2 , а именно:
r( 25, 0 ) 25 2 0 25 .
Результаты последних расчетов показали, что каждый дополнительный
килограмм сырья в диапазоне от 1 до 25 будет давать прирост максимума
выручки 50 руб.
Для ответа на вопрос, будет ли прирастать максимум выручки при r 25 ,
нужно сравнить значения выручки для программы B и программы С.
Прежде всего, найдем координаты точки C, решив систему уравнений
прямых, соответствующих оборудованию и сырью,
2 х1 х2 50 ;
х1 х2 35 .
Решением системы будет x1 15 , x 2 20 .
Значение выручки в точке C будет равно
z( C ) z( 15, 20 ) 50 15 70 20 2 150 .
Значение выручки в точке B будет равно
z( B ) z( 25, 0 ) 50 25 70 0 1 250 .
Очевидно, что z( C ) z( B ) . Это означает дальнейший рост максимума
выручки от 1 250 до 2 150 руб. при движении ограничения по сырью от точки
B через промежуточное положение, показанное пунктирной прямой (2), к
точке C. Области допустимых решений при этом будут представляться
четырехугольниками, образованными пунктирной прямой меняющегося
лимита сырья, прямой по оборудованию и осями координат.
Оптимальные программы будут находиться на отрезке BC. Характеризует
эти программы тот очевидный факт, что по ним выпускается два продукта
x1*
0 , x*2
0 . Ограничение по труду проходит выше оптимальных программ,
т. е. труд не является лимитирующим ресурсом для этих программ.
Отсюда из первой группы условий (2.8) следует, что u*3 0 .
Из группы условий (2.9) следует, что, если оба продукта выпускаются,
должны выполняться равенства
u1 2u2 u3 50 ;
2u1 u 2 u 3 70 .
Из этих двух уравнений, с учетом u*3
системы:
u 1 2 u 2 50 ;
2 u1
u2
0 , перейдем к решению следующей
70 .
Эта система раньше уже решалась, поэтому известно, что u1* 30 . Для
того, чтобы получить правую границу диапазона устойчивости вычисленной
предельной эффективности u1* 30 , необходимо рассчитать расход сырья для
программы C
r( C ) r( 15, 20 ) 15 2 20 55 .
Результаты текущих расчетов показали, что каждый дополнительный
килограмм сырья в диапазоне от 26 до 55 будет давать прирост выручки на 30
руб.
Примечание 1. При решении других вариантов исходной задачи может
возникнуть ситуация, при которой получится, что z( C ) z( B ) . Это означает,
что дальнейший рост максимума выручки свыше 1 250 руб. невозможен. Сырье
становится избыточным относительно оптимальной программы B, а его
предельная эффективность становится нулевой, u1* 0 в диапазоне 25, . В
этом случае исследование функции предельной эффективности сырья
завершается и выписывается ответ.
В данном же варианте исследование надо продолжить. Для ответа на
вопрос, будет ли расти максимум выручки при r 55 , нужно сравнить
значения выручки для программы C и программы D.
Значение выручки в точке C известно:
z( C ) 2 150 .
Значение выручки в точке D будет:
z( D ) z( 0 , 35 ) 50 0 70 35 2 450 .
Очевидно, что z( D ) z( C ) . Это означает дальнейший рост максимума
выручки от 2 150 до 2 450 руб. при движении ограничения по сырью от точки
С через промежуточное положение, показанное пунктирной прямой (3), к
точке D. Области допустимых решений при этом будут представляться
пятиугольниками, образованными пунктирной прямой меняющегося лимита
сырья, прямой по труду, прямой по оборудованию и осями координат.
Оптимальные программы будут находиться на отрезке CD. Характеризует
эти программы тот очевидный факт, что по ним выпускается два продукта
x1* 0 , x*2 0 . Теперь прямая, соответствующая оборудованию, проходит
выше оптимальных программ, т. е. оборудование не является лимитирующим
ресурсом для этих программ.
Из группы условий (2.8) следует, что u*2 0 .
Из группы условий (2.9) следует, что, если оба продукта выпускаются,
должны выполняться равенства
u1 2u2 u3 50 ;
2u1 u2 u3 70 .
Из двух последних уравнений, с учетом u*2
следующей системы:
u1 u3 50 ;
2u1 u3 70 .
0 , перейдем к решению
Откуда получаем u1* 20 , u*3 30 . Для того, чтобы получить правую
границу диапазона устойчивости вычисленной предельной эффективности
u1* 20 , необходимо рассчитать расход сырья для программы D
r( D ) r( 0 , 35 ) 0 2 35 70 .
Результаты проведенных на этом этапе расчетов показали, что каждый
дополнительный килограмм сырья в диапазоне от 56 до 70 будет давать рост
максимума выручки 20 руб.
Примечание 2. При решении других вариантов исходной задачи может
возникнуть ситуация, при которой получится, что z( D ) z( C ) . Это означает,
что дальнейший рост максимума выручки свыше 2 150 руб. невозможен. Сырье
становится избыточным относительно оптимальной программы С, и его
предельная эффективность становится нулевой, u1* 0 в диапазоне (55, ∞). В
этом случае исследование функции предельной эффективности сырья
завершается и выписывается ответ.
Пусть, наконец, r 70 . Тогда оптимальная программа D окажется ниже
уровня лимита по сырью. Эту ситуацию отражает положение пунктирной
прямой (4). Сырье становится избыточным относительно оптимальной
программы D, и его предельная эффективность становится нулевой, u1* 0 в
диапазоне (70, ∞). На этом исследование функции предельной
эффективности сырья для данного предприятия завершается.
Примечание 3. При решении других вариантов обсуждаемой задачи обход
оптимальных программ при увеличении сырья может происходить не против
часовой стрелки, как это случилось в данном варианте, а по часовой стрелке,
если пунктирная прямая будет занимать положения (1), (2), (3), (4), как это
изображено на рис. 2.2. При этом целевая функция должна быть такова, чтобы
максимум выручки на первоначальном треугольнике достигался в точке
80
пересечения пунктирной прямой (1) с осью ординат. Дальнейшее исследование
по часовой стрелке проводится по методике, аналогичной изложенной выше.
60
40
D
C
20
0
-20
-10
A0
10
(1)
20
(2)
-20
B
30
(3)
40
50
(4)
Рис. 2.2. Анализ изменения предельной эффективности дополнительно
привлекаемой единицы
сырья (вариант обхода по часовой стрелке)
-40
На основе результатов выполненного анализа получим табличную запись
функции предельной эффективности поступающего сырья для данного
предприятия (табл. 2.1) и табличное предоставление функции зависимости
максимума выручки от увеличения производственного потребления сырья
(табл. 2.2). Используя информацию из этих таблиц, построим графики этих
функций (рис. 2.3 и рис. 2.4).
Таблица 2.1. Функция предельной эффективности сырья
Предельная эффективность, и1 (руб./кг)
Сырье, r (кг)
50
30
20
0
(0, 25]
(25, 55]
(55, 70]
(70, ∞)
Таблица 2.2. Зависимость максимума выручки от сырья
Максимум выручки, z (руб.)
Сырье, r (кг)
50r
1250 + 30r
2150 + 20r
2450
(0, 25]
(25, 55]
(55, 70]
(70, ∞)
u1
50
30
20
25
55
70
r
Рис. 2.3. График изменения предельной эффективности сырья на предприятии
z*
2450
2150
1250
25
55
70
r
Рис. 2.4. График максимума выручки в зависимости от поступления сырья
Вид графика на рис. 2.3 еще раз демонстрирует известный закон убывания
эффективности ресурса с ростом объемов его производственного потребления.
Ступенчатость графика и наличие точек разрыва функции эффективности
объясняется тем, что исследование проводилось на основе линейного
моделирования, в общем-то, нелинейных экономических связей.
Для упражнений по разделу 2 рекомендуется использовать контрольные
задания к разделу 1.
3. СОЗДАНИЕ И АНАЛИЗ КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛОГА
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СРЕДСТВАМИ EXCEL
3.1. Общие принципы решения оптимизационных моделей табличным
процессором Excel
Методы оптимизации пока не получили должного практического
распространения при разработке управляющих решений в производственной и
финансовой сферах, так как их применение требует определенной
математической подготовки, а также использования высокопроизводительных
ЭВМ, оснащенных соответствующими пакетами прикладных программ.
Вместе с тем, возрастающие возможности персональных компьютеров и
новые достижения в области программного обеспечения открывают широкие
перспективы для применения методов математической оптимизации в
финансово-экономической сфере, делая их доступными широкому кругу
специалистов.
В широком смысле процесс оптимизации (выработки оптимального
управляющего решения) можно трактовать как поиск и выбор наилучшего с
некоторой точки зрения варианта среди множества возможных или
допустимых. Математическая оптимизация представляет собой процесс
нахождения экстремума (максимума или минимума) функции при заданных
ограничениях (условная оптимизация) или без ограничений (безусловная
оптимизация). Исследование проблем разработки теоретических и
практических методов решения подобных задач осуществляется в рамках
специального научного направления – математического программирования.
В настоящее время практически все популярные версии табличных
процессоров включают встроенные средства решения задач математического
программирования. Не является исключением и пакет прикладных программ
(ППП) Excel, предоставляющий пользователю специальную надстройку
«Поиск решения», которую в дальнейшем, для краткости, будем называть
«решателем». Решатель ППП Excel – это мощный инструмент оптимизации и
решения уравнений, обладающий «дружелюбным» пользовательским
интерфейсом и позволяющий специалисту сформулировать задачу из своей
предметной области в режиме диалога. В частности, с его помощью можно
быстро и эффективно определить наиболее оптимальный вариант
использования ограниченных ресурсов, обеспечивающий максимизацию одних
величин (например, выручки) или же минимизацию других (например,
расходов).
Решатель позволяет анализировать задачи трех типов:
линейные (все зависимости между переменными задачи линейны);
нелинейные (между переменными задачи существует хотя бы одна
непропорциональная зависимость);
целочисленные (результаты решения должны быть целыми
числами).
Говоря языком электронных таблиц, решатель удобно использовать в тех
случаях, когда необходимо найти оптимальное или заданное значение для
отдельной ячейки путем подбора значений других ячеек с учетом возможных
или требуемых ограничений. Таким образом, чтобы применить решатель,
необходимо сформулировать задачу в терминах ППП Excel, т. е. определить в
специальном окне диалога целевую ячейку, изменяемые ячейки и ограничения,
если последние существуют.
Целевая ячейка (называемая также целевой функцией) – это ячейка
рабочего листа, для которой нужно найти максимальное, минимальное или
заданное значение. Она должна содержать формулу, прямо либо косвенно
зависящую от изменяемых ячеек.
Изменяемые ячейки (значения искомых переменных) – это ячейки, значения
которых будут изменяться до тех пор, пока не будет найдено решение.
Ограничение – это указание целевых критериев или определенных пределов,
которым должно удовлетворять значение данной ячейки. Ограничения могут
налагаться как на целевую ячейку, так и на изменяемые ячейки. Как правило,
ограничения накладываются путем использования операторов сравнения: <=, >=,
=. Ограничения целочисленности целесообразно применять в случаях, когда
используемая в задаче величина или искомый результат должны принимать одно
из двух значений – «да» или «нет», 0 или 1, либо когда дробные значения
результатов недопустимы (например, при расчете числа объектов инвестиций,
служащих, машин, станков и т. д.).
Процедура
решения
оптимизационной
задачи
предусматривает
последовательное выполнение ряда итераций. После каждой итерации
происходят перерасчет значений изменяемых ячеек и проверка заданных
ограничений и критериев оптимальности. Выполнение процедуры завершается,
если найдено решение с приемлемой точностью либо дальнейший поиск
решения невозможен. Последнее возникает в случаях, когда модель
сформулирована некорректно, выполнено максимально допустимое количество
итераций или исчерпано предельное время решения. При необходимости можно
увеличить количество выполняемых итераций, точность вычислений и время,
отведенное на поиск решения, путем корректировки значений, установленных
по умолчанию. Корректировка значений выполняется нажатием кнопки
«Параметры» диалогового окна «Поиск решения» и указанием требуемых
величин в появившемся окне «Параметры поиска решения».
После завершения поиска решения ППП Excel предлагает три варианта
продолжения работы:
a. сохранить полученное решение или восстановить исходные значения на
рабочем листе;
b. сохранить полученное решение в виде именованного сценария;
c. просмотреть один из встроенных отчетов о ходе решения.
Подробное изложение методов решения оптимизационных задач в среде
ППП Excel можно найти, например, в [16, 8]. Нужно отметить, что с помощью
средств Excel можно решить все задачи производственного и финансового
менеджмента, представленные в данном пособии.
3.2. Методика создания компьютерного аналога математической модели
в среде Excel
Знакомство
с
методикой
создания
компьютерного
аналога
математической модели в среде Excel начнем с задачи расчета оптимальной
производственной программы, изложенной в разделе 1. Напомним, что в
результате моделирования расчета оптимальной производственной программы
была получена следующая задача линейного программирования.
Найти x x1 , x 2 ;
x1 2 x2 40 ;
2 x1 x2 50 ;
(3.1)
x1 x2 35 ;
x1 0 , x2 0 ;
z 50 x1 70 x2
max .
Создадим новую книгу Excel и запомним ее под определенным именем на
жестком диске компьютера. Расположим исходные и искомые данные модели
(3.1) на отдельном рабочем листе созданной книги.
Прежде всего, в ячейку A1 введем заголовок рабочего листа «Модель
расчета оптимальной производственной программы фирмы» (рис. 3.1). В
ячейки В2:С2 запишем названия переменных модели (3.1). В ячейки В3:С3
введем выпуски продукции, равные единицам, чтобы легко было проверить
правильность работы формул, которые будут вводиться в ячейки
компьютерного аналога модели (3.1). В ячейках В4:С4 запишем нули, как
нижние границы возможных значений переменных.
Рис. 3.1. Расположение искомых и исходных данных математической модели на
рабочем листе Excel
Ввиду особенности представления нижних индексов в Excel на рисунках
они будут представлены не в подстрочной форме.
В строке 5 запишем заголовки «Ограничения модели», «Левая часть»,
«Знак», «Правая часть». В ячейках А6:А8 дадим наименования ресурсов, с
которыми связаны ограничения модели. В ячейки В6:С8 вводим матрицу
коэффициентов ограничений модели (3.1), которые выражают нормы затрат
соответствующих ресурсов на первый продукт, связанный с переменной x1, и на
второй продукт, связанный с переменной x2.
В строке 9 зададим заголовки «Целевая функция», «Целевая ячейка». В
ячейке A10 укажем, что целевая функция связана с выручкой от реализации
продукции. В ячейках В10:С10 введем цены, соответствующие переменной x1 и
переменной x2, т. е. первому и второму продуктам. Наконец, в ячейке E10
будет подсчитываться выручка, соответствующая текущей программе выпуска
продукции, меняющейся в ячейках В3:С3.
В ячейки Е6:Е8 введем формулы подсчета расходов ресурсов на текущую
программу выпусков продукции, которые будут меняться в ячейках B3:C3. Эти
формулы будут представлять левые части ограничений модели (3.1).
Для того чтобы ввести такую формулу, например, для левой части первого
ограничения, устанавливаем курсор на ячейку Е6 и вызываем диалоговое окно
«Мастер функций», активизировав значок f x , находящийся рядом с окном ввода
формул (рис. 3.2). Выбрав функцию «СУММПРОИЗВ» и нажав «ОК», вызовем
окно «Аргументы функции» (рис. 3.3).
Для получения абсолютной адресации с целью дальнейшего
копирования в окне «Массив 1» (рис. 3.3) после ввода c помощью мыши
диапазона В3:С3 была нажата функциональная клавиша F4. В окне «Массив
2» сохранена относительная адресация диапазона B6:C6. Нажав кнопку
«OK», в ячейке Е6 (рис. 3.1) увидим контрольное значение, равное 3, которое
явилось
результатом
вычисления
по
формуле
Excel
=СУММПРОИЗВ($B$3:$C$3;B6:C6) при заданных нами значениях x1 = 1 и
x2 = 1.
Теперь для ввода аналогичных формул в ячейки E7, E8 и E10 достаточно
скопировать в них формулу ячейки E6. Тогда получим следующие формулы:
в ячейке Е7 – =СУММПРОИЗВ($B$3:$C$3;B7:C7), результат 3;
в ячейке Е8 – =СУММПРОИЗВ($B$3:$C$3;B8:C8), результат 2;
в ячейке Е10 – =СУММПРОИЗВ($B$3:$C$3;B10:C10), результат 120.
Рис. 3.2. Вид окна «Мастер функций»
Рис. 3.3. Задание аргументов функции Excel «Сумма произведений»
Только что введенные в ячейки электронной таблицы формулы позволяют
теперь для любой программы выпуска продукции, помещенной в ячейки B3:C3,
оперативно с компьютерной скоростью отвечать:
в ячейке E6 – на вопрос, сколько нужно для этой программы сырья;
в ячейке E7 – на вопрос, сколько нужно для этой программы
оборудования;
в ячейке E8 – на вопрос, сколько нужно для этой программы живого
труда;
в ячейке E10 – на вопрос, какую выручку ожидать после реализации
продукции, выпущенной по этой программе.
В ячейках F6:F8 (см. рис. 3.1) напечатаны знаки < = , показывающие, что
расходы ресурсов, вычисляемые в ячейках Е6:Е8, не должны превысить
заданных моделью (3.1) лимитов на эти расходы, которые введены в ячейки
G6:G8.
Активизировав курсором целевую ячейку Е10, войдем в пункт меню
«Сервис» и вызовем диалоговое окно «Поиск решения», которое заполним так,
чтобы Excel создал адекватный компьютерный аналог математической модели
(3.1), который окончательно будет представлен на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Вид окна «Поиск решений» с окончательной записью компьютерного
аналога математической модели (3.1)
Рассмотрим подробнее процесс создания компьютерного аналога. При
заполнении окна «Поиск решения» абсолютную адресацию ссылок на ячейки
компьютер устанавливает автоматически.
В окне «Установить целевую ячейку» должен находиться адрес целевой
ячейки E10. Если это не произошло автоматически, необходимо, находясь с
курсором в этом окне, щелкнуть мышью на целевой ячейке. Так как
содержимое целевой ячейки максимизируется, то ключ должен соответствовать
надписи «Равной: максимальному значению».
Активизировав окно «Изменяя ячейки», с помощью мыши вводим в
него интервал ячеек B3:C3 с рабочего листа, изображенного на рис. 3.1.
После этого активизируем окно «Ограничения» и нажимаем кнопку
«Добавить», после чего на экране появляется диалоговое окно «Добавление
ограничения» (рис. 3.5). Войдя курсором в окно «Ссылка на ячейку:», щелкнем
мышью на ячейке E6 рабочего листа (см. рис. 3.1), которая представляет левую
часть ограничения по сырью. В окне «Ограничение:» щелкнем мышью по
ячейке G6, которая представляет правую часть ограничения по сырью. Так как
знак между левой и правой частью отражает требование модели 3.1, то
нажимаем кнопку «Добавить» и аналогичным образом формируем ограничения
по оборудованию, затем по труду.
Рис. 3.5. Составление первого ограничения компьютерной модели
Кроме сформированных компьютерных ограничений по ресурсам,
необходимо создать компьютерный аналог граничных условий, в данном случае
они представляют требование неотрицательности искомых переменных.
Решатель позволяет записать эти требования в виде векторного неравенства, т.
е. содержимое ячеек B3:C3 должно быть больше или равняться содержимому
соответствующих ячеек B4:C4, в которых мы предусмотрительно записали
нули. Поэтому после формирования ограничения по труду нужно нажать
кнопку «Добавить» и в появившемся окне ввести левую и правую части этого
векторного неравенства (рис. 3.6). Для смены знака неравенства <= на
противоположный знак >= нужно воспользоваться опцией висячего меню.
Так как формирование ограничений компьютерной модели на этом
завершается, то на панели окна «Добавление ограничения» (рис. 3.6) следует
нажать кнопку «ОК». В результате пред нами предстанет окончательно
заполненное записью компьютерной модели диалоговое окно «Поиск решения»
(см. рис. 3.4). Прежде чем запустить вычислительный процесс для
составленной компьютерной модели кнопкой «Выполнить» на панели окна
«Поиск решения» (см. рис. 3.4), необходимо нажать кнопку «Параметры»,
чтобы вызвать диалоговое окно «Параметры поиска решения» (рис. 3.7).
Рис. 3.6. Составление последнего ограничения компьютерной модели
Рис. 3.7. Настройка параметров вычислительного процесса
В этом окне можно задать или изменить значение любых параметров,
влияющих на характер прохождения вычислительного процесса. Однако в
нашем случае мы только сообщим решателю, что модель линейная, т. е.
поставим флажок против надписи «Линейная модель», если его там не было.
Тогда решатель будет применять алгоритмы, эффективные для решения именно
задачи линейного программирования, и предоставит адекватную форму отчета
о полученных результатах.
Нажав кнопку «ОК» на панели окна «Параметры поиска решения», снова
вернемся в окно «Поиск решения» (рис. 3.6), откуда, наконец, запустим
вычислительный процесс поиска оптимальной производственной программы
кнопкой «Выполнить». После удачного завершения вычислительного процесса на
экране появится окно «Результаты поиска решения» с текстом сообщения,
который можно прочитать на рис. 3.8.
Рис. 3.8. Вид окна «Результаты поиска решения»
Текст сообщения может быть другим только по двум причинам: либо для
текущих исходных данных задача не имеет оптимального решения, либо
компьютерный аналог математической модели составлен с ошибками.
3.3. Анализ результатов расчетов по компьютерной модели, созданной в
Excel
Если при активном ключе «Сохранить найденное решение» нажать кнопку
«ОК» на панели окна «Результаты поиска решения», то найденное решателем
оптимальное решение будет сохранено на том же самом рабочем листе (рис.
3.9). В этом случае по состоянию ячеек рабочего листа можно установить
результаты решения прямой задачи. В ячейках B3:C3 найдена оптимальная
программа выпуска продукции x1* 20 , x*2 10 , при этом содержимое ячейки
E10 показывает, что z max 1 700. Кроме того, из ячеек E6:E8, следует, что на
оптимальную программу сырье расходуется полностью в размере 40 кг,
оборудование расходуется полностью в размере 50 ст.-ч, труд расходуется
частично в объеме 30 чел.-ч, т. е. на 5 чел.-ч меньше, чем имеется у фирмы.
Для получения более подробных отчетов по оптимальным решениям
прямой и двойственной задачи нужно в окне «Тип отчета» на панели окна
«Результаты поиска решения» (см. рис. 3.8) выделить опцию «Устойчивость» и
нажать кнопку «ОК». В результате внизу экрана (рис. 3.9) появится корешок
нового рабочего листа под именем «Отчет по устойчивости 1». Если перейти
на лист под этим именем, то на экране появится соответствующий отчет по
устойчивости оптимальных решений прямой и двойственной задачи (рис.
3.10).
Рис. 3.9. Найденное оптимальное решение прямой задачи, сохраненное на
рабочем листе
Отчет по устойчивости состоит из таблицы «Изменяемые ячейки»,
связанной с устойчивостью оптимального решения прямой задачи, и таблицы
«Ограничения», связанной с устойчивостью оптимального решения
двойственной задачи.
Прежде всего, рассмотрим информацию, представленную в таблице
«Ограничения» (см. рис. 3.10). При анализе числовых данных нужно учесть, что
встречающаяся запись числа в виде 1E + 30 указывает на бесконечно большое
число или машинную бесконечность. Содержание первых трех столбцов
таблицы дает информацию о состоянии ячеек рабочего листа E6:E8 (см. рис.
3.9). В столбце «Теневая цена» приведены оптимальные двойственные оценки
соответствующих ресурсов u1* 30 , u*2 10 , u*3 0 . В столбцах «Допустимое
увеличение (уменьшение)» указаны максимально возможные увеличения
(уменьшения) лимитов соответствующих ресурсов при сохраненных лимитах
остальных ресурсов, которые не приведут к изменению текущих оптимальных
двойственных оценок.
Рис. 3.10. Вид отчета по устойчивости 1 для оптимальных решений прямой и
двойственной задачи
Например, из последней строки таблицы «Ограничения» (см. рис. 3.10)
следует, что, при сохранении оптимальности двойственных оценок u1* 30 ,
u*2
10 , u*3 0 , текущий лимит сырья 40 кг может быть увеличен максимум на
15 кг (до 55 кг) или уменьшен максимум на 15 кг (до 25 кг). Другими словами,
диапазон изменения лимита сырья (25, 55] является диапазоном устойчивости
текущего набора оптимальных двойственных оценок. Аналогично по другим
строкам таблицы «Ограничения» (см. рис. 3.10) устанавливается, что этот же
набор оптимальных двойственных оценок будет устойчив относительно
диапазона изменения лимита оборудования (20, 65] или относительно диапазона
изменения лимита труда (30, ∞).
Рассмотрим теперь результаты расчетов, представленные в таблице
«Изменяемые ячейки» (см. рис. 3.10). Содержание первых трех столбцов
таблицы дает информацию о состоянии ячеек рабочего листа B3:C3 (см. рис.
3.9). В столбце «Нормир. стоимость» при текущих двойственных оценках
ресурсов u1* 30 , u*2 10 , u*3 0 рассчитаны ожидаемые потери по
эффективности при выпуске соответствующей единицы j-й продукции по формуле
v j c j a1 j u1* ... aij u*i ... amj u*m .
В таблице «Изменяемые ячейки» (см. рис. 3.10), в столбце «Нормир.
стоимость» v1 50 1 30 2 10 1 0 0 , v2 70 2 30 1 10 1 0 0 , т.
е. по обоим выпускаемым по оптимальной программе продуктам потери по
эффективности нулевые, как и полагается по условиям «дополняющей
нежесткости».
В столбцах «Допустимое увеличение (уменьшение)» этой таблицы указаны
максимально возможные увеличения (уменьшения) цен соответствующих
продуктов при сохраненных уровнях цен на другие продукты, которые не
приведут к изменению вычисленной оптимальной производственной
программы. Например, из первой строки таблицы «Изменяемые ячейки» (см.
рис. 3.10) следует, что, при сохранении оптимальности программы выпусков
продукции x1* 20, x*2 10, текущая цена первого продукта 50 руб. может быть
увеличена максимум на 90 руб. (до 140 руб.) или уменьшена максимум на 15
руб. (до 35 руб.).
Другими словами, диапазон изменения цены первого продукта (35, 140]
является диапазоном устойчивости найденных оптимальных выпусков
продукции. Аналогично по другой строке таблицы «Изменяемые ячейки» (см.
рис. 3.10) устанавливается, что этот же набор оптимальных выпусков
продукции будет устойчив относительно изменения цены второго продукта (70
руб.) в диапазоне (25, 100].
Покажем теперь, как использовать таблицу «Ограничения» из серии отчетов
по устойчивости для определения функции предельной эффективности сырья в
диапазоне (0, ∞), которая устанавливалась вручную в разделе 2. После того, как
нами установлена предельная эффективность u1* 30 для каждого килограмма
сырья, поступающего на фирму в диапазоне (25, 55], установим предельную
эффективность 24-го килограмма. Для этого нужно вернуться на рабочий лист 1
(см. рис. 3.9), заменить в ячейке G6 значение 40 на 24 и затем рассчитать задачу
решателем при измененных таким образом данных.
После вызова из окна «Результаты поиска решения» очередного отчета по
устойчивости и его активизации получим вид отчета по устойчивости 2 (рис. 3.11).
Из последней строки таблицы «Ограничения» следует, что диапазоном
постоянства предельной эффективности u1* 50 будет диапазон изменения лимита
сырья (0, 25], который содержит 24-й килограмм. Этим самым диапазон
изменения лимита сырья (0, 55] исследован полностью.
Рис. 3.11. Вид отчета по устойчивости 2 для оптимальных решений прямой и
двойственной задачи при лимите сырья 24 кг
Для установления предельной эффективности 56-го килограмма нужно
вернуться на рабочий лист 1 (см. рис. 3.9), ввести в ячейку G6 значение 56 и
снова рассчитать задачу решателем при измененных таким образом данных.
После вызова из окна «Результаты поиска решения» очередного отчета по
устойчивости и его активизации получим вид отчета по устойчивости 3 (рис.
3.12). Из последней строки таблицы «Ограничения» можно установить, что
каждый килограмм прироста лимита сырья в диапазоне (55, 70], который
содержит 56-й килограмм, будет использоваться с предельной эффективностью
u1* 20. Этим самым диапазон изменения лимита сырья (0, 70] исследован
полностью.
Для установления предельной эффективности 71-го килограмма нужно
вернуться на рабочий лист 1 (см. рис. 3.9), ввести в ячейку G6 значение 71 и
снова рассчитать задачу решателем. После вызова из окна «Результаты поиска
решения» очередного отчета по устойчивости и его активизации получим вид
отчета по устойчивости 4 (рис. 3.13). Из последней строки таблицы
«Ограничения» можно установить, что каждый килограмм прироста лимита
сырья в диапазоне (70, ∞), который содержит 71-й килограмм, будет
использоваться с предельной эффективностью u1* 0. Этим самым диапазон
изменения лимита сырья (0, ∞) исследован полностью.
Рис. 3.12. Вид отчета по устойчивости 3 для оптимальных решений прямой и
двойственной задачи при лимите сырья 56 кг
Рис. 3.13. Вид отчета по устойчивости 4 для оптимальных решений прямой и
двойственной задачи при лимите сырья 71 кг
На основании проведенного компьютерного анализа можно составить
полное табличное описание функции предельной эффективности сырья для
данной фирмы, которое полностью совпадает с таблицей, полученной в разделе
2 ручными расчетами.
В качестве упражнений по изложенной теме предлагается с помощью
Excel решить задания, относящиеся к разделу 1.
4. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСА НА ОСНОВЕ
ФУНКЦИЙ ЕГО ПРЕДЕЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
4.1. Моделирование согласования управляющего решения фирмы с
управляющими решениями филиалов
Перед администрацией производственной фирмы стоит проблема
распределения дефицитного сырья в объеме 760 кг между находящимися в
разных регионах филиалами. Так как продукция фирмы пользуется
гарантированным спросом, фирма заинтересована в расширении товарного
производства за счет эффективного использования этого сырья в планируемом
временном периоде. Если сырьѐ будет распределено эффективно, то суммарная
выручка двух филиалов после реализации изготовленной из этого сырья
продукции будет максимальной.
Производственные возможности филиалов и цены на выпускаемую ими
продукцию представлены в следующих таблицах.
Филиал 1
Наименование ресурса
Норма затрат
Объем
ресурса
продукт 1
продукт 2
Сырье (кг)
1
1
?
Оборудование (ст.-ч)
1
2
600
Цена реализации (руб.)
150
200
Филиал 2
Наименование ресурса
Норма затрат
Объем
ресурса
продукт 1
продукт 2
Сырье (кг)
2
1
?
Оборудование (ст.-ч)
1
1
200
Цена реализации (руб.)
270
90
Требуется:
1. Составить экономико-математическую модель распределения сырья
между филиалами по принципу наибольшей эффективности его использования.
2. Определить функции предельной эффективности сырья для 1-го и 2го филиалов. Нарисовать графики предельной эффективности сырья для
каждого филиала в отдельности и в целом по фирме.
3. Найти оптимальное распределение сырья между филиалами и
ожидаемую максимальную выручку от этого распределения.
4. Рассчитать оптимальные программы выпуска продукции по филиалам
и максимальный размер получаемой ими выручки.
Составим экономико-математическую модель двухуровневой системы
управления «фирма – филиалы».
Введѐм все необходимые переменные модели:
х11 – программа выпуска продукции номер 1 в 1-м филиале;
х12 – программа выпуска продукции номер 2 в 1-м филиале;
х21 – программа выпуска продукции номер 1 во 2-м филиале;
х22 – программа выпуска продукции номер 2 во 2-м филиале;
r1 – объѐм сырья, выделенного фирмой 1-му филиалу;
r2 – объѐм сырья, выделенного фирмой 2-му филиалу;
z1(r1) – ожидаемый максимум выручки от 1-го филиала при условии
выделения ему r1 кг сырья;
z2(r2) – ожидаемый максимум выручки от 2-го филиала при условии
выделения ему r2 кг сырья.
ЭММ предложенной ситуации состоит из трѐх взаимосвязанных задач.
1. Задача управляющего органа фирмы.
2. Задача управляющего органа 1-го филиала.
3. Задача управляющего органа 2-го филиала.
Задача управляющего органа фирмы
Найти r1 , r2 ;
r1 r2 760 ;
(4.1)
r1 0 , r2 0 ;
Z z1 r1 z2 r2
max .
Задача управляющего органа 1-го филиала
Найти x11 , x12 ;
x11 x12 r1 ;
x11 2 x12 600 ;
(4.2)
x11 0 , x12 0 ;
z1 150x11 200x12
max .
Задача управляющего органа 2-го филиала
Найти x21 , x22 ;
2 x21 x22 r2 ;
х21 х22 200 ;
(4.3)
x21 0 , x22 0 ;
z2 270x21 90 x22
max .
4.2. Построение графиков предельной эффективности сырья для
каждого филиала в отдельности
Для нахождения функции предельной эффективности сырья для 1-го
филиала применим подробно описанный в разделе 1 метод, основанный на
геометрической интерпретации задачи ЛП (рис. 4.1).
x12
D
300
100
A
B
C
100
E
600
x11
Рис. 4.1. Графический анализ предельной эффективности сырья для первого
филиала
При лимите сырья r1 100, представленном прямой BC (см. рис. 4.1),
область допустимых решений задачи будет ограничена треугольником,
образованным этой прямой и осями координат. Определить оптимальное
решение на таком треугольнике можно либо с помощью изображенного жирной
стрелкой градиента целевой функции, либо, сравнив значения целевой функции
в угловых точках треугольника. Такими точками нужно взять точки B(0, 100) и
C(100,0), расход сырья для которых одинаков и равен 100 кг.
Величины выручки, соответствующие этим точкам, вычислим, как z1(0,
100) = 150 · 0 + 200 · 100 = 20 000 и z1(100, 0) = 150 · 100 + 200 · 0= = 15 000.
*
Отсюда видно, что оптимальным решением в данной ситуации будет точка x11
*
0, x12
100.
Рассмотрим двойственную задачу (4.4) к прямой задаче (4.2), при всех
значениях r1 , меняющихся от точки A(0, 0) до точки D(0, 300), т. е. от r1 A
0 до r1 D 300.
Найти u 1 u11 , u12 ;
x11
u11 u12 150 ;
x12
u11 2u12 200 ;
(4.4)
u11 0 , u12 0 ;
w1 r1u11 600u12
min .
Оптимальное решение двойственной задачи для значений r1 в диапазоне от
0 до 300 найдем, основываясь на условиях «дополняющей нежесткости».
Поскольку для всех r1 (0, 300] оптимальные программы B будут находиться на
отрезке AD, т. е. ниже прямой DE, связанной с оборудованием, то это
показывает, что оборудование для указанных оптимальных программ является
избыточным ресурсом и соответствующая ему оптимальная двойственная
*
оценка должна равняться нулю ( u12
0).
С другой стороны, так как для оптимальных программ, расположенных на
*
отрезке AD, выполняется свойство x12
0, то соответствующее этой переменной
ограничение двойственной задачи должно выполняться как равенство, т. е.
*
*
u11
2u12
200.
*
Из последнего уравнения, с учетом u12
0, получим
*
u11
200 .
Результаты
проведенных
расчетов
показали,
что
каждый
дополнительный килограмм сырья, поступающий в 1-й филиал в диапазоне
от 1 до 300 включительно, будет давать прирост максимума выручки этого
филиала 200 руб.
Исследуем вопрос, будет ли продолжать расти максимум выручки при r1
300. Для этого нужно сравнить значения выручки для программы D и
программы E.
Значение выручки в точке D будет
z1 D z1 0 , 300 150 0 200 300 60 000 .
Значение выручки в точке E будет
z1 E z1 600, 0 150 600 200 0 90 000 .
Очевидно, что z( E ) z( D ) . Это показывает дальнейший рост
максимума выручки от 60 000 до 90 000 руб. при движении прямой BC от
точки D к точке E. Области допустимых решений при этом будут
представляться
четырехугольниками, образованными
перемещаемой
параллельно самой себе прямой по сырью, фиксированной прямой по
оборудованию и осями координат.
Оптимальные программы будут двигаться по отрезку DE от точки D к
*
*
точке E, причем для этих программ выпускается два продукта x11
0, x12
0.
По теории двойственности, если оба продукта выпускаются по
оптимальной производственной программе, то оптимальные двойственные
оценки должны быть решением системы
u11
u12 150 ;
u11 2u12
200 .
*
*
Откуда получаем u11
100, u12
50. Для того, чтобы получить правую
границу диапазона устойчивости вычисленной предельной эффективности
*
100, необходимо рассчитать расход сырья для программы E
u11
r1 ( E ) r1 ( 600, 0 ) 600 0 600 .
Результаты проведенных на этом этапе расчетов показали, что для 1-го
филиала каждый дополнительный килограмм сырья в диапазоне от 301 до 600
включительно будет давать прирост максимума его выручки 100 руб.
Если r1 600, то прямая по сырью пройдет выше программы E. Это
означает, что дальнейшее поступление сырья в 1-й филиал не приведет к
*
росту максимума выручки филиала, и u11
0.
Все полученные результаты отразим в табличном представлении функции
предельной эффективности сырья для первого филиала. График этой функции
представлен на рис. 4.2.
и11
r1
200
100
0
(0, 300] (300, 600] (600, +∞)
и11
200
100
300
600
r1
Рис. 4.2. График функции предельной эффективности сырья для 1-го филиала
Определим теперь функцию предельной эффективности сырья для 2-го
филиала (рис. 4.3).
При лимите сырья r2 100, представленном прямой BC на рис. 4.3, область
допустимых решений задачи будет ограничена треугольником, образованным
этой прямой и осями координат. Определим оптимальную программу на таком
треугольнике, сравнив значения целевой функции в точках B(0, 100) и C(50,
z2 ( 0 , 100 ) 270 0 90 100 9 000
0).
Так
как
,
а
z2 ( 50, 0 ) 270 50 90 0 13 500 , то оптимальной программой будет точка
x*21 50, x*22 0.
x 22
D
200
100
B
A
50
E
C
200
x 21
Рис. 4.3. Графический анализ предельной эффективности сырья для 2-го
филиала
Рассмотрим двойственную задачу (4.5) к прямой задаче (4.3) при всех
значениях r2 , меняющихся от точки A(0, 0) до точки E(200, 0), т. е. от r2 A
0 до r2 E 400.
u21 , u22 ;
Найти u2
x21
2u21 u22 270 ;
x22
u21 u22 90 ;
(4.5)
u21 0 , u22 0 ;
w2 r2u21 200u22
min .
Оптимальные программы С при r2 (0, 400] будут находиться на отрезке
AE, т. е. ниже прямой DE, связанной с оборудованием. Это показывает, что
оборудование для указанных оптимальных программ является избыточным
ресурсом и соответствующая ему оптимальная двойственная оценка должна
равняться нулю ( u*22 0).
С другой стороны, так как для оптимальных программ, расположенных на
отрезке AE выполняется свойство x*21 0, то соответствующее этой переменной
ограничение двойственной задачи должно выполняться как равенство, т. е.
2u*21 u*22 270 .
Из последнего уравнения, с учетом u*22 0 получим u*21 135.
Результаты проведенных расчетов показали, что каждый дополнительный
килограмм сырья, поступающий во 2-й филиал в диапазоне от 1 до 400
включительно, будет давать прирост максимума выручки этого филиала 135
руб.
Для ответа на вопрос, будет ли продолжать расти максимум выручки при
r2 400, сравним значения выручки для программы E и программы D.
Значение выручки в точке E будет
z2 ( E ) z2 ( 200, 0 ) 270 200 90 0 54 000 .
Значение выручки в точке D будет
z2 ( D ) z2 ( 0 ,200 ) 270 0 90 200 18 000 .
Очевидно, что z 2 ( E ) z 2 ( D ) . Это показывает, что рост максимума
выручки выше 54 000 руб. при r2 400 невозможен, и u*21 0.
Все полученные результаты отразим в табличном представлении функции
предельной эффективности сырья для 2-го филиала. На рис. 4.4 приведен график
этой функции.
u21
135
r2
400
и 21
135
0
r2
(0; 400]
(400; +∞)
Рис. 4.4. График функции предельной эффективности сырья для 2-го филиала
4.3. Определение оптимальных управляющих решений фирмы и
филиалов на основе анализа сводного графика по сырью
Сводный график составляется на основе графиков предельной
эффективности для 1-го и 2-го филиалов. Для этого по оси ординат
откладываются оптимальные двойственные оценки сырья в порядке убывания,
а по оси абсцисс указываются диапазоны килограммов сырья, используемых
фирмой с той или иной эффективностью.
Из рис. 4.5 видно, что первые 300 кг, с максимальной эффективностью 200
руб. за кг, целесообразно использовать в 1-м филиале, следующие 400 кг,
дающие прирост максимума выручки 135 руб. в диапазоне от 301 до 700
включительно, нужно отправлять во 2-й филиал. Наконец, последние 300 кг,
дающие прирост максимума выручки 100 руб. в диапазоне от 701 до 1 000
включительно, нужно опять отдать 1-му филиалу. Очевидно, что 1001-й
килограмм фирма может использовать только с нулевой эффективностью.
Другими словами, объем сырья в 1 000 кг является порогом дефицитности
этого ресурса для данной фирмы. Если фирма будет располагать сырьем в объеме
большем, чем 1 000 кг, то задача его оптимального распределения становится
для нее тривиальной.
u1
r = 760
200
1 филиал
2 филиал
135
1 филиал
100
300
700
1000
r
Рис. 4.5. График функции предельной эффективности сырья для фирмы в целом
По условию рассматриваемой задачи фирма располагает дефицитным
количеством сырья в объеме 760 кг. На рис. 4.5 это количество сырья отмечено
пунктирной линией. Поэтому из графика сразу становится ясным, что 1-му
филиалу нужно выделить 300 кг сырья с эффективностью 200 руб./кг, а также
760 – 700 = 60 кг сырья с эффективностью 100 руб./кг. Это значит, что в итоге
оптимальный объем сырья, выделенный 1-му филиалу, составит r1* 360 кг.
Отсюда ожидаемый максимум выручки 1-го филиала достигнет величины
z1 max
200 300 100 60 66 000 руб.
Второму филиалу нужно выделить r2* 400 кг с эффективностью 135
руб./кг. Ожидаемый максимум выручки 2-го филиала составит
z2 max
135 400 54 000 руб.
В результате данного варианта распределения сырья между филиалами
будет достигнут максимум выручки по фирме в целом в размере
Z max
z1 max
z2 max
66 000 54 000 120 000 руб.
Для того чтобы определить оптимальные программы выпуска продукции в
1-м и 2-м филиалах, соответствующие найденному оптимальному
распределению сырья, необходимо решить следующие задачи линейного
программирования.
Задача управляющего органа 1-го филиала
Найти x11 , x12 ;
x11 x12 360 ;
x11 2 x12 600 ;
(4.6)
x11 0 ; x12 0 ;
z1 150x11 200x12
max .
Задача управляющего органа 2-го филиала
Найти x 21 , x 22 ;
2 x 21 x22 400 ;
х21 х22 200 ;
(4.7)
х21 0 ; х22 0 ;
z2 270x21 90 x22
max .
После применения графического способа решения задачи линейного
программирования получим следующие оптимальные производственные
программы филиалов.
По 1-му филиалу:
*
*
x11
120; x12
240 ;
z1 max 150 120 200 240 66 000 .
По 2-му филиалу:
x*21 200 ; x*22 0 ;
z2 max 270 200 90 0 54 000 .
Еще раз, для проверки, убеждаемся, что
Z max
z1 max
z2 max
66 000 54 000 120 000 руб.
Для сравнения рассмотрим альтернативную модель распределения сырья
между филиалами, которая исключает управленческую инициативу филиалов, а
оптимальное решение по объемам выпуска продукции филиалов разрабатывает
управляющий орган фирмы.
Математическую основу такой модели составляет следующая блочнодиагональная задача линейного программирования.
Найти x11 , x12 , x21 , x22 ;
x11
x12 2 x21 x22 760 ;
x11 2 x12 600 ;
(4.8)
x21 x22 200 ;
x11 0 ; x12 0 ; x21 0 ; x22 0 ;
z1 150x11 200x12 270x21 90 x22
max .
Используя теоретические положения, изложенные в разделе 2, можно
показать, что оптимальным решением задачи (4.8) будет вектор
x 120, 240, 200, 0 .
Этот вектор является композицией ранее найденных оптимальных
*
*
программ филиалов x11
120 , x12
240 , x*21 200 , x*22 0 .
Для доказательства его оптимальности надо построить задачу,
двойственную к задаче (4.8), и через условия «дополняющей нежесткости»
найти согласованные двойственные оценки, которые при подстановке в
двойственную задачу окажутся для нее допустимыми. Тогда из второй теоремы
двойственности будет следовать, что найденные оценки и рассматриваемый
вектор оптимальны.
В качестве другого способа нахождения этого оптимального вектора можно
предложить решение задачи (4.8) на компьютере, пользуясь инструкциями,
данными в разделе 3.
4.4. Контрольные задания к разделу 4
Условия задачи оптимального распределения сырья между филиалами
Филиал 1
Норма затрат
на продукт 1
на продукт 2
Объем
ресурса
Сырье (кг)
a11
a12
?
Оборудование (ст.-ч)
a21
a22
b2
Цена реализации (руб.)
c1
c2
Наименования ресурсов
Всего
сырья
R
Филиал 2
Норма затрат
на продукт 1
на продукт 2
Объем
ресурса
Сырье (кг)
a11
a12
?
Оборудование (ст.-ч)
a21
a22
b2
Цена реализации (руб.)
c1
c2
Наименования ресурсов
Варианты исходных данных задачи
Вариант
№1
№2
№3
Филиал
a11
a12
a21
a22
b2
c1
c2
R
Первый
1
1
1
2
600
150
200
760
Второй
2
1
1
1
200
270
90
Первый
3
2
9
5
8 150
753
437
Второй
5
2
3
4
2 840
398
328
Первый
4
5
4
7
3 680
392
573
Второй
7
6
1
2
800
215
230
4 380
6 480
№4
Первый
5
3
8
2
1 120
872
354
Второй
2
3
5
7
6 090
288
416
4 240
Ответы по вариантам
Вариант № 1
Вариант № 2
Вариант № 3
Вариант № 4
Филиал 1
0
Филиал 1
0
Филиал 1
0
Филиал 1
0
200
300
251
2 717
115
2 629
174
700
100
600
56
3 259,9
26,5
3 680
77,714
1 679,5
Филиал 2
0
Филиал 2
0
Филиал 2
0
Филиал 2
0
135
400
164
1 420
38,333
2 400,2
144
2 436
0
1Е+30
43,429
4 733
25,001
5 600,3
64
2 610
R1
360
R1
2 960
R1
3 680
R1
1 680
R2
400
R2
1 420
R2
2 800
R2
2 560
Zmax
120 000
Zmax
928 390
Zmax
462 640
Zmax
556 960
х11
120
х11
500
х11
920
х11
0
х12
240
х12
730
х12
0
х12
710
х21
200
х21
0
х21
100
х21
350
х22
0
х22
710
х22
350
х22
620
5. ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗМЕЩЕНИЕ В КОММЕРЧЕСКИХ БАНКАХ
ВРЕМЕННО СВОБОДНЫХ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ ФИРМЫ
5.1. Моделирование размещения временно свободных денежных
средств при помощи ЛП
Рассмотрим проблему оптимального управления временно свободными
денежными средствами, имеющимися на текущем счете фирмы, путем
размещения их в качестве депозитов в коммерческие банки под разные
проценты на возможные сроки. Допустим, что размещение таких депозитов
должно учитывать прогнозируемый на три предстоящих месяца график
ежемесячных расходов и приходов фирмы и требование иметь на счете
необходимый резерв средств.
Депозиты можно размещать с возвратом не позднее начала 4-го месяца
на сроки: один, два, три месяца, соответственно, под 1, 2.5, 4 %. Размещение
двухмесячного вклада, начиная со второго месяца, пока не предполагается.
В табл. 5.1 приведен пример одной из возможных стратегий размещения
депозитов для данной фирмы в течение рассматриваемого трехмесячного
промежутка времени.
Таблица 5.1. Допустимая стратегия управления оборотным капиталом фирмы
(млн. руб.)
Номер месяца
1-й
2-й
3-й
4-й
Начальная сумма
280
80
80
80
Возврат депозитов
0
180
121,2
40,41
Доход по процентам
0
1,8
1,212
0,404
1-месячный депозит
180
121,2
40,412
2-месячный депозит
0
0
0
3-месячный депозит
0
0
0
Расходы (или –приходы)
20
60,6
82
Необходимый резерв
80
80
80
Сумма дохода по
процентам
3,416
Фирма заинтересована в нахождении такой допустимой стратегии
размещения депозитов, при которой суммарный доход от процентов на
сделанные вклады составит максимальную величину.
Проведем исследование описанной ситуации по следующему плану:
1. Составим экономико-математическую модель расчета оптимальной
стратегии размещения депозитов.
2. Установим, будет ли оптимальной приведенная в табл. 5.1 стратегия
управления свободным оборотным капиталом фирмы.
3. Изучим методы нахождения оптимальной стратегии размещения и
оптимальных двойственных оценок ограничений модели.
4. Исследуем влияние изменения ЭММ при планировании 2-месячного
депозита, начиная со второго месяца, на оптимальность ранее найденной
стратегии размещения депозитов.
Для составления экономико-математической модели расчета оптимальной
стратегии размещения депозитов при данной динамике оборотного капитала
сделаем следующие обозначения:
X11 – объем 1-месячного депозита, сделанного в 1-м месяце;
X12 – объем 1-месячного депозита, сделанного во 2-м месяце;
X13 – объем 1-месячного депозита, сделанного в 3-м месяце;
X21 – объем 2-месячного депозита, сделанного в 1-м месяце;
X31 – объем 3-месячного депозита, сделанного в 1-м месяце.
Баланс расходов и приходов фирмы по 1-му месяцу
X11 + X21 + X31 + 20,00 + 80,00 = 280,00.
Баланс расходов и приходов фирмы по 2-му месяцу
X12 + 60,60 + 80,00 = 80,00 + 1,01X11.
Баланс расходов и приходов фирмы по 3-му месяцу
X13 + 82,00 + 80,00 = 80,00 + 1,01X12 + 1,025X21.
Отсюда необходимо найти стратегию размещения депозитов (X11, X12,, X13,
X21, X31) при выполнении ограничений:
U1
X11
+ X21 + X31 = 180,00;
U2
– 1,01X11
+ X12
= –60,60;
U3
– 1,01X12 + X13 – 1,025X21
= –82,00;
X11 0; X12 0; X13 0; X21 0; X31 0.
Целевая функция модели выражает ожидаемый доход от процентов на все
сделанные вклады в рассматриваемом временном периоде, который и стремится
максимизировать фирма
Z = 0,01X11 + 0,01X12 + 0,01X13 + 0,025X21 + 0,04X31 max.
Полученная
ЭММ
представляет
собой
задачу
линейного
программирования с ограничениями в виде уравнений.
Поставив в соответствие ограничениям составленной модели
двойственные переменные, рассмотрим двойственную задачу.
Найти (U1, U2, U3) при:
X11
U1 – 1,01U2
0,01;
X12
U2 – 1,01U3 0,01;
X13
U3 0,01;
X21
U1
– 1,025U3 0,025;
X31
U1
0,04;
W = 180U1 – 60,6U2
– 82U3 min.
Из второй группы условий «дополняющей нежесткости» при X11 = 180; X12 =
121,2 и X13 = 40,412 следует, что согласованные данным значениям переменных
прямой задачи двойственные оценки должны удовлетворять следующей
системе ограничений:
U1 – 1,01U2
= 0,01;
U2 – 1,01U3 = 0,01;
U3 = 0,01.
Откуда U1 = 0,03; U2 = 0,02; U3 = 0,01, и при этих оценках, например,
последнее ограничение двойственной задачи становится ложным, а именно: U1 =
0,03 0,04.
Ложность последнего утверждения доказывает, что приведенная в табл.
5.1 стратегия размещения депозитов не является оптимальной.
Для нахождения наилучшей стратегии размещения полезно рассмотреть
два способа решения составленной модели:
1. Графоаналитический способ, наглядно поясняющий теоретические
аспекты проводимой оптимизации депозитной политики фирмы.
2. Компьютерный способ, дающий возможность рассчитать оптимальную
депозитную политику фирмы на практике.
5.2. Графический способ анализа задачи оптимального размещения
депозитов
Сведем составленную модель к эквивалентной задаче линейного
программирования с меньшим числом переменных. Для этого выразим из
ограничений-равенств переменные X11, X12, X13 через переменные X21, X31
X11 = 180,00 – X21 – X31;
X12 = –60,60 + 1,01X11;
X13 = –82,00 + 1,01X12 + 1,025X21.
Подставим первое выражение во второе, а затем – второе выражение в
третье
X11 = 180,00 – X21 – X31;
X12 = –60,60 + 1,01 · (180,00 – X21 – X31);
X13 = –82,00 + 1,01 · (–60,60 + 1,01 · (180,00 – X21 – X31)) + 1,025X21.
После упрощения получим выражение переменных X11, X12, X13 через
переменные X21, X31
X11 =
– X21
– X31 + 180,00;
X12 = –1,01X21 – 1,01X31 + 121,20;
X13 = 0,0049X21 – 1,0201X31 + 40,412.
Подставим эти выражения в целевую функцию Z
Z = 0,01 · (–X21 – X31 + 180,00) + 0,01 · (–1,01X21 – 1,01X31 + 121,20) +
+
0,01 · (0,0049X21 – 1,0201X31 + 40,4120) + 0,025X21 + 0,040X31.
После упрощения получим выражение Z через X21, X31
Z = 0,0049X21 + 0,0097X31 + 3,4161.
В итоге все свелось к решению следующей задачи ЛП.
Найти (X21, X31);
–X21 – X31 + 180,00 0;
–1,01X21 – 1,01X31 + 121,20 0;
0,0049X21 – 1,0201X31 + 40,4120 0;
X21 0; X31 0;
Z = 0,0049X21 + 0,0097X31 + 3,4161 → max.
Дадим стандартную форму записи этой задачи ЛП.
Найти (X21, X31);
X21 + X31 ≤ 180;
1,01X21 + 1,01X31 ≤ 121,2;
–0,0049X21 + 1,0201X31 ≤ 40,412;
X21 0; X31 0;
Z = 0,0049X21 + 0,0097X31 + 3,4161 → max.
Найдем графическое решение этой задачи.
Построим прямые, связанные с ограничениями задачи, определив из
уравнения каждой прямой координаты двух еѐ точек.
1. X21 + X31 = 180.
X21
0
180
X31
180
0
X21
0
120
X31
120
0
2. 1,01X21 + 1,01X31 = 121,2.
3. –0,0049 X21 + 1,0201X31 = 40,412.
X21
0
50
X31
39,6
39,9
Полуплоскости допустимых решений для каждого неравенства
устанавливаем, используя пробную точку с координатпми X21 = 0, X31 = 0. На
рис. 5.1 они выделены стрелками, отложенными от соответствующих прямых
линий.
200
X31
1-е ограничение
2-е ограничение
3-е ограничение
150
100
50
X21
0
-50
0
50
100
150
200
-50
Рис. 5.1. Графическое решение задачи оптимального размещения депозитов
Первая прямая маркирована треугольниками, вторая прямая имеет
маркировку квадратами,
а третья прямая помечена кружками.
-100
Пересечение установленных полуплоскостей, в том числе и координатных,
выделено заливкой серого цвета и представляет собой геометрическое место
точек, координаты которых являются допустимыми решениями анализируемой
задачи ЛП.
Этим завершается этап построения на графике области допустимых
решений.
Для нахождения оптимального решения задачи привлекаем векторградиент целевой функции grad Z(x) = (0,0049; 0,0097).
Увеличим этот вектор-градиент в 10 000 раз для согласования с имеющимся
масштабом системы координат.
Получим вектор того же направления (49; 97).
Отложим этот вектор от начала координат и проведем через начало
координат перпендикулярно к вектору прямую пунктирную линию уровня Z =
3,4161.
Двигая линию уровня в направлении градиента (это означает повышение
уровня на точках ОДР) устанавливаем, что максимум уровня Z среди точек ОДР
достигается в точке пересечения второй и третьей прямой. На рис. 5.1 такая
точка помечена белым кружком. Для нахождения координат этой точки следует
решить следующую систему уравнений выявленных прямых:
1,01X21 + 1,01X31 = 121,2;
–0,0049X21 + 1,0201X31 = 40,412.
Решив эту систему уравнений, получим X21 = 80, X31 = 40. Подставив в
целевую функцию эти значения, получим Zmax = 4,2.
Для нахождения значений других неизвестных исходной задачи
воспользуемся полученными ранее выражениями переменных X11, X12, X13
через переменные X21, X31, а именно:
X11 = – 80 – 40 + 180,00 = 60;
X12 = – 1,01·80 – 1,01·40 + 121,20 = 0;
X13 = 0,0049·80 – 1,0201·40 + 40,4120 = 0.
Отсюда получаем полное решение исходной задачи
X11* = 60; X12* = 0; X13* = 0; X21* = 80; X31* = 40.
Чтобы найти оптимальное решение двойственной задачи, достаточно
применить вторую группу условий «дополняющей нежесткости». Эти условия
заключаются в том, что, если оптимальное значение переменной исходной
задачи строго больше нуля, то поставленное ей в соответствие ограничение
двойственной задачи на еѐ оптимальном решении должно выполняться как
равенство.
Тогда получится следующая система уравнений для нахождения
оптимального решения двойственной задачи
U1 – 1,01U2 = 0,01;
U1 – 1,025U3 = 0,025;
U1 = 0,040.
Решив эту систему, получим оптимальные значения двойственных
переменных
U1* = 0,04; U2* = 0,0297; U3* = 0,0147.
Максимальный суммарный доход от процентов Zmax = 4,20 будет при
депозитах X11* = 60, X21* = 80, X31* = 40. Последнее, как руководство к действию,
будет означать, что оптимальной стратегией размещения в качестве депозитов
оборотного капитала фирмы будет:
одномесячный депозит в первом месяце в размере 60 млн. руб.;
двухмесячный депозит в первом месяце в размере 80 млн. руб.;
трехмесячный депозит в первом месяце в размере 40 млн. руб.
При указанных депозитных операциях максимальный доход по процентам
за три предстоящих месяца составит 4,2 млн. руб.
В свою очередь, полученное оптимальное решение двойственной задачи
интерпретируется следующим образом.
На величину U1 = 0,04 млн. руб. ожидается рост максимальной суммы
процентов Z = 4,202 млн. руб. при увеличении начальной суммы 180 млн. руб. в
первом месяце на 1 млн руб.
На величину U2 = 0,0297 млн. руб. ожидается рост максимальной суммы
процентов Z = 4,202 млн. руб. при снижении задолженности фирмы,
составляющей 60,6 млн. руб., во втором месяце на 1 млн. руб.
На величину U3 = 0,0147 млн. руб. ожидается рост максимальной суммы
процентов Z = 4,202 млн. руб. при снижении задолженности фирмы,
составляющей 82 млн. руб., в третьем месяце на 1 млн. руб.
Рассмотрим пример оперативного анализа возможных изменений модели с
использованием полученных оптимальных двойственных оценок.
Пусть X22 – объем 2-месячного депозита, сделанного во 2-м месяце,
который по каким-либо причинам только сейчас оказался возможным.
Рассмотрим, какие изменения произойдут в ЭММ расчета оптимальной
стратегии размещения депозитов при учете в модели объема 2-месячного
депозита, сделанного во 2-м месяце.
Теперь надо найти стратегию (X11, X12, X13, X21, X22, X31).
X11
+ X21 + X31 = 180,00;
–1,01X11 + X12
+ X22
= –60,60;
–1,01X12 + X13 – 1,025X21
= –82,00;
X11 0; X12 0; X13 0; X21 0; X22 0; X31 0.
Z = 0,01X11 + 0,01X12 + 0,01X13 + 0,025X21 + 0,025X22 + 0,04 X31 max.
Очевидно, что по отношению к первой модели появился столбец
коэффициентов при дополнительной переменной X22, которой при составлении
двойственной задачи будет соответствовать дополнительное ограничение
U2 0,025.
Если подставить в него найденное оптимальное значение U2*, то получим
0,0297 0,025.
Так как неравенство истинно, то найденная оптимальная стратегия
размещения депозитов сохранит свою оптимальность, в противном случае,
оптимальность стратегии не сохранится, и новая оптимальная стратегия должна
будет использовать 2-месячный депозит во 2-м месяце. Новую стратегию можно
будет определить только расчетами на компьютере.
5.3. Использование среды Excel для оптимизации депозитной политики
фирмы
Для составления Excel-аналога математической модели оптимального
размещения депозитов можно полностью руководствоваться методикой,
изложенной в разделе 3, при компьютеризации математической модели расчета
оптимальной производственной программы.
Так как проблема размещения депозитов моделируется задачей ЛП, то
перед запуском расчетов кнопкой «Выполнить» в окне «Параметры поиска
решения», вызванного кнопкой «Параметры», нужно поставить флажок
напротив надписи «Линейная модель», если его там нет.
На рис. 5.2 показана сохраненная на рабочем листе стратегия оптимального
размещения временно свободных средств, полученная в результате расчетов по
компьютерной модели, записанной в окне «Поиск решения» на рис. 5.3. Из
ячеек рабочего листа B2:F3 (рис. 5.2) можно определить, что X11 = 60, X12 = 0,
X13 = 0, X21 = 80, X31= 40, при этом из целевой ячейки G10 устанавливается, что
Zmax = 4,2. Это подтверждает результаты, полученные ручными расчетами.
Рис. 5.2. Сохраненный на рабочем листе 1 результат расчета оптимального
размещения депозитов
Рис. 5.3. Запись в окне «Поиск решения» компьютерной модели оптимального
размещения депозитов
Однако более полную информацию можно получить из «Отчета по
устойчивости 1» (рис. 5.4). Например, в таблице «Изменяемые ячейки» в
столбцах «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» рассчитаны
границы изменений процентов по всем видам депозитов, в рамках которых
найденная стратегия размещения будет оставаться оптимальной.
Рис. 5.4. Содержание отчета по устойчивости 1
В таблице «Ограничения» в столбце «Теневая цена» показаны
оптимальные значения двойственных оценок U1 = 0,04; U2 = 0,0297; U3 =
0,0146, которые будут устойчиво сохраняться, согласно данным,
представленным в столбцах «Допустимое увеличение» и «Допустимое
уменьшение», при следующих изменениях:
начальная сумма 180 млн. руб. для 1-го месяца в диапазоне (140, ∞);
задолженность –60,6 млн. руб. для 2-го месяца в диапазоне (–101, 0);
задолженность –82 млн. руб. для 3-го месяца в диапазоне (–123, 0).
Для сравнения рассмотрим другой способ составления компьютерной
модели оптимального размещения депозитов.
Например, в ячейке Е3, где стоит число 40,412 (рис. 5.5), записана формула
суммы возврата возможных депозитов в конце 3-го и начала 4-го месяца, а именно:
=B7 + D5. В ячейке E4 действует формула начисления процентов на сумму,
указанную в ячейке Е3, а именно: =0,04·B7 + 0,01·D5. В ячейке F4, которая
будет считаться целевой, записана сумма доходов по процентам за все три месяца
в размере 3,416 по формуле: =СУММ(C4:E4).
В ячейках B11:D12 строк под названиями «Приходы» и «Расходы»
начисляются суммы, которые показывают ожидаемые приходы и расходы
фирмы по каждому месяцу.
Рис. 5.5. Расположение табл. 5.1 на рабочем листе 2
Заданная приведенными на рис. 5.6. формулами автоматизация начислений
возвращаемых сумм и процентов на них, казалось бы, позволяет составить
компьютерную модель (рис. 5.7), минуя этап составления математической
модели с последующей ее классификацией. Однако вопросы, будет ли при этом
составленная
компьютерная
модель
аналогом
задачи
линейного
программирования и можно ли поэтому ставить флажок «Линейная модель»,
все равно потребуют определения класса соответствующей математической
модели.
Рис. 5.6. Вид формул, записанных в ячейках рабочего листа 2
Рис. 5.7. Запись альтернативной компьютерной модели оптимального
размещения депозитов
В нашем случае, воспользовавшись тем, что такое исследование уже было
проведено, поставим флажок «Линейная модель». После выполнения расчетов
по альтернативной модели сохраним результат на рабочем листе 2 (рис. 5.8).
Доказательством того, что обе компьютерные модели являются аналогами
одной и той же математической модели, является практическое совпадение
информации Отчетов по устойчивости 1 и 2 (рис. 5.4 и рис. 5.9).
Рис. 5.8. Сохраненный на рабочем листе 2 результат расчета по альтернативной
компьютерной модели
Рис. 5.9. Содержание отчета по устойчивости 2 для альтернативной
компьютерной модели
5.4. Контрольные задания к разделу 5
Варианты исходных данных задачи оптимального размещения депозитов
Приведена допустимая стратегия размещения 1-месячных депозитов
(млн. руб.).
Расх.
(или –
прих.)
Резер
в
0
20
80
0
0
60,6
80
40,41
0
0
82
80
0,404
доход
доход
доход
3,416
0,01
0,025
0,04
Вариант
Номер
месяца
Начальн.
сумма
Возврат
депозита
№1
1 мес.
280
0
0
180
0
2 мес.
80
180
1,8
121,2
3 мес.
80
121,2
1,212
4 мес.
80
40,412
Процент
№2
1 мес.
165
0
0
80
0
0
35
50
2 мес.
50
80
0,8
70,7
0
0
10,1
50
3 мес.
50
70,7
0,707
101,4
0
0
-30
50
4 мес.
50
101,407
1,014
доход
доход
доход
2,521
0,01
0,025
0,04
Процент
№3
1 мес.
235
0
0
130
0
0
15
90
2 мес.
90
130
1,3
121,2
0
0
10,1
90
3 мес.
90
121,2
1,212
30,16
0
0
92,25
90
4 мес.
90
30,162
0,302
доход
доход
доход
2,814
0,01
0,025
0,04
Процент
№4
1-мес. 2-мес. 3-мес.
Доход
депоз. депоз. депоз.
1 мес.
105
0
0
30
0
0
45
30
2 мес.
30
30
0,3
120,3
0
0
-90
30
3 мес.
30
120,3
1,203
69,85
0
0
51,65
30
4 мес.
30
69,853
0,699
доход
доход
доход
2,202
0,01
0,025
0,035
Процент
Ответы по вариантам
Вариант
X11
X12
X13
X21
X31
Zmax
U1
№1
60
0
0
80
40
4,2
0,04
0,0297 0,015
сохранится
№2
10
0
30
0
70
3,2
0,04
0,0297
0,01
сохранится
№3
10
0
0
90
30
3,55
0,04
0,0297 0,015
сохранится
№4
0
90
70
30
0
2,35 0,0353 0,0201
U2
U3
0,01
оптимальность
не сохранится
6. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТРАНСПОРТИРОВКОЙ
ОДНОРОДНОЙ ПРОДУКЦИИ
6.1. Составление математической модели расчета оптимального плана
перевозок
Пусть даны четыре географически произвольно расположенных пункта
производства некоторой однородной продукции с известными мощностями
производства продукции в рассматриваемом временном периоде
a1 30 ; a2 50 ; a3 40 ; a4 33.
С другой стороны, имеется четыре произвольно расположенных пункта
потребления с известным спросом на эту продукцию в этом же временном
периоде
b1 58 ; b2 22 ; b3 18 ; b4 22 .
Рассчитаны предположительные затраты в рублях на доставку единицы
продукции от каждого возможного поставщика к каждому возможному
потребителю (т. е. известна матрица фактических тарифов, строки которой
соответствуют поставщикам, а столбцы – потребителям)
C
С11
С21
С31
С41
С12
С22
С32
С42
С13 С14
С23 С24
С33 С34
С43 С44
5
2
1
6
8
7
4
5
6
5
3
5
2
3 .
5
2
Требуется ответить на вопросы, от какого поставщика, к какому
потребителю и в каком объеме следует доставить продукцию, чтобы
выполнились следующие целевые установки:
1) от каждого поставщика все должно быть по возможности вывезено;
2) каждый потребитель должен быть по возможности удовлетворен в
своем спросе;
3) должны отсутствовать возвратные поставки от потребителей к
поставщикам;
4) суммарные транспортные расходы на реализацию плана перевозок
должны быть минимальными.
План перевозок, удовлетворяющий этим установкам, называется
оптимальным планом по критерию стоимости перевозок.
Для этого требуется:
1. Составить ЭММ расчета оптимального плана перевозок.
2. Определить исходный опорный план методом северо-западного угла.
3. Найти оптимальный план перевозок методом потенциалов и указать
соответствующие ему минимальные транспортные затраты.
Прежде чем приступить к составлению ЭММ транспортной задачи (Tзадачи), необходимо ее закрыть, если она открыта.
Суммарный объем продукции у поставщиков равен
4
A
ai
i 1
30 50 40 33 153,
а суммарная потребность составляет величину
4
B
bi
58 22 18 22 120.
i 1
Так как А > В, то задача открытая и, чтобы ее закрыть, вводим 5-го
(фиктивного) потребителя с потребностью в продукции, равной разности А – В.
Будем иметь b5 153 120 33 . Коэффициенты транспортных расходов на
доставку продукции от поставщиков к фиктивному потребителю полагаются
равными нулю: ci 5 0 , i 1,4. Планируемая поставка от какого-либо
поставщика фиктивному потребителю будет интерпретироваться как
планируемый невывоз у данного поставщика продукции в объеме,
соответствующем этой поставке.
Если А < В, то в Т-задачу вводится фиктивный поставщик с запасом
продукции a5 B A.
В табл. 6.1 представлена Т-задача, закрытая с привлечением фиктивного
потребителя. Строки этой таблицы соответствуют поставщикам, а столбцы –
потребителям.
Таблица 6.1. Исходные и искомые данные транспортной задачи
bj
58
ai
22
5
18
8
30
x11
2
6
x21
1
5
4
40
x31
6
5
33
x41
3
3
x32
x15
0
x 24
5
x33
5
x42
0
x14
x 23
x22
33
2
x13
x12
7
50
22
x 25
0
x34
2
x43
x35
0
x44
x45
Экономико-математическая модель расчета оптимального плана перевозок
заключается в нахождении такой матрицы перевозок, строки которой
соответствуют поставщикам, а столбцы – потребителям
X
x11
x21
x31
x41
x12
x22
x32
x42
x13
x23
x33
x43
x14
x24
x34
x44
x15
x25
,
x35
x45
для которой выполняются ограничения по поставщикам:
х11 х12 х13 х14 х15 30 ;
х21 х22 х23 х24 х25 50 ;
х31 х32 х33 х34 х35 40 ;
х41 х42 х43 х44 х45 33 ;
ограничения по потребителям:
х11 х21 х31 х41 58 ;
х12 х22 х32 х42 22 ;
х13 х23 х33 х43 18 ;
х14 х24 х34 х44 22 ;
х15 х25 х35 х45 33 ;
граничные условия:
xij 0 ; i 1,4 ; j 1,5 ;
минимизируются суммарные транспортные расходы:
S
5 x11 8 x12 6 x13
2 x14
0 x15
2 x21 7 x22
5 x23
3 x24
0 x25
1x31 4 x32
3 x33
5 x34
0 x35
6 x41 5 x42
5 x43
2 x44
0 x45
min .
На основе задачи, двойственной к представленной выше экономикоматематической модели, и условий «дополняющей нежесткости» может быть
сформулирован следующий критерий оптимальности допустимого плана
перевозок или поставок.
Допустимый или сбалансированный план поставок xij0 оптимален тогда и
только тогда, когда существуют такие числа u i0 , которые соответствуют
поставщикам, и такие числа v 0j , которые соответствуют потребителям,
удовлетворяющие условиям:
(6.1)
v 0j ui0 cij , если планируется поставка, т. е. xij0 0 ;
v 0j
ui0
cij , если поставка не планируется, т. е. xij0
0.
(6.2)
Числа u i0 , v 0j называются потенциалами поставщиков и потребителей, а
метод поиска оптимального плана поставок, в котором используется
сформулированный
критерий
оптимальности,
называется
методом
потенциалов.
По методу потенциалов, исходя из некоторого начального опорного плана
поставок, необходимо построить конечную последовательность планов,
сходящуюся к оптимальному плану.
Таким образом, прежде чем приступить к нахождению оптимального
плана поставок, необходимо иметь какой-нибудь опорный план.
Существуют различные способы построения начальных опорных планов в
Т-задаче, но по условию задачи требуется найти его методом северозападного угла.
6.2. Построение опорного плана Т-задачи по правилу северо-западного
угла
Все исходные данные Т-задачи представляются в табличной форме
(табл. 6.2).
Таблица 6.2. Составление начального опорного плана перевозок по правилу
северо-западного угла
bj
58
ai
30
50
40
33
22
5
18
22
33
8
6
2
0
7
5
3
0
3
5
0
30
2
28
1
22
4
0
6
5
18
5
22
2
0
0
33
Берется северо-западный угол таблицы, клетка (1,1), и планируется
поставка от первого поставщика к первому потребителю в объеме
x11
min a1 , b1
min 30, 58
30.
Эта поставка записывается в правый нижний угол клетки. Величина
запланированной поставки вычитается из запаса продукции a1 и потребности
b1 . Неудовлетворенная потребность первого потребителя становится 58 – 30 =
28, а запас продукции у первого поставщика – полностью исчерпанным. Первая
строка закрывается, т. е. она больше не участвует при построении начального
опорного плана.
В оставшейся части таблицы снова берем северо-западный угол – клетку
(2,1). Полагая, что x21 min 58, 28 28 , корректируем запас продукции у
второго поставщика и потребность первого потребителя. Величина
оставшегося запаса: 50 – 28 =22. Первый потребитель удовлетворен полностью,
следовательно, первый столбец закрывается.
Берем клетку (2,2), полагаем x22 min 22, 22 22 и вычитаем величину
этой поставки из оставшегося объема продукции у второго поставщика и
потребности второго потребителя.
В результате такой корректировки вся продукция второго поставщика
распределена (запас исчерпан), и полностью удовлетворена потребность в
продукции второго потребителя. Если на каком-либо шаге применения
метода северо-западного угла одновременно исчерпывается запас продукции
у поставщика и удовлетворяется полностью потребитель, то закрыть
следует что-нибудь одно – либо строку, либо столбец.
Соблюдение данного правила гарантирует занятость клеток опорным
планом поставок в количестве m + n – 1 (где m и n – число поставщиков и
потребителей, соответственно), что необходимо для дальнейшего нахождения
потенциалов.
Так как в случившейся ситуации можно закрыть либо вторую строку, либо
второй столбец, то закроем вторую строку. Затем берем клетку (3,2), находим
x32 min 40, 0 0 и закрываем второй столбец. Клетку (3,2) будем считать
клеткой, условно заполненной нулем.
В оставшейся части таблицы северо-западной клеткой будет клетка (3,3).
Полагая x33 min 40, 18 18 , для клетки (3,4) находим величину поставки
x34 min 22, 22 22 . После осуществления этой поставки одновременно
удовлетворена потребность четвертого потребителя и полностью распределена
продукция третьего поставщика. Закроем третью строку и перейдем к клетке
0. После записи нулевой поставки в
(4,4). Находим, что x44 min 33, 0
клетку (4.4) таблицы ее четвертый столбец автоматически закрывается.
Последней рассматривается клетка (4,5), куда заносится объем поставки
x45
min 33, 33
33.
Таким образом, за (m + n – 1) шагов находится начальный опорный план
перевозок. Представленный в табл. 6.2 опорный план содержит 4 + 5 – 1 = 8
поставок, причем две из них – нулевые поставки (план вырожденный).
Из самого способа построения опорного плана вытекает его
сбалансированность по поставщикам и потребителям. Однако, во избежание
ошибок при вычислениях, рекомендуется проверить все балансы путем
суммирования поставок по строкам и столбцам.
6.3. Нахождение оптимального плана перевозок методом потенциалов
При построении опорного плана методом северо-западного угла никак не
учитывалась экономическая целесообразность намеченных поставок, поэтому
такой план с точки зрения транспортных расходов на его реализацию может
быть весьма далек от оптимального. Как правило, его можно значительно
улучшить.
Оптимизацию начального опорного плана следует осуществлять методом
потенциалов. При каждой итерации этого метода выполняются следующие
процедуры:
1) вычисление потенциалов, согласованных с найденным опорным
планом;
2) проверка плана на оптимальность с помощью потенциалов;
3) улучшение плана в случае его неоптимальности.
Вычисление потенциалов, согласованных с опорным планом поставок
1-я итерация. Потенциалы ui , v j поставщиков и потребителей находятся
из уравнений вида
u i v j cij .
Такие уравнения составляются для всех занятых поставками клеток таблицы,
т. е. общее число уравнений в системе равно m + n – 1, количество же неизвестных
в системе равно m + n, что на единицу больше числа уравнений. Такая система
имеет множество решений, отличающихся друг от друга на некоторую константу.
Для оптимизации годится любое из таких решений.
Для того чтобы найти какую-нибудь систему потенциалов, согласованную
с планом, достаточно произвольным образом зафиксировать значение одного из
потенциалов. Все остальные потенциалы после этого определяются однозначно
из системы уравнений (в скобках даны адреса занятых клеток)
v1 u1 5 (1,1);
v1 u 2 2 (2,1);
v2 u 2 7 (2,2);
v2 u 3 4 (3,2);
v3 u 3 3 (3,3);
v4 u3 5 (3,4);
v4 u4 2 (4,4);
v5 u4 0 (4,5).
Полагая, например, u1 10 , найдем последовательно все остальные
неизвестные: v1 15 , u 2 13 , v2 20 , u3 16 , v3 19 , v4 21 , u4 19 ,
v5 19 .
Добавим к табл. 6.2 столбец справа для потенциалов ui поставщиков и
строку снизу для потенциалов v j потребителей и получим табл. 6.3.
В последней клетке расширенной табл. 6.3 будем записывать сумму
транспортных расходов. Обозначим для начального плана поставок суммарные
затраты на перевозки через S 0 . Тогда
S0 5 0 2 28 7 22 3 18 5 22 524 .
При практическом определении потенциалов необязательно выписывать на
каждой итерации соответствующую систему уравнений, можно находить
потенциалы непосредственно по таблице.
Предположим, что известен какой-нибудь потенциал. Тогда возможны два
случая.
Случай 1. Известный потенциал относится к строке (поставщику). Тогда, по
данному потенциалу и по занятым клеткам этой строки (а в каждой строке и
столбце обязательно есть хотя бы одна занятая клетка), можно определить
потенциалы столбцов (потребителей), которым принадлежат рассматриваемые
занятые клетки. Потенциалы потребителей определяются по формуле
v j ui cij , где ui – известный потенциал поставщика, а cij – тариф, стоящий в
занятой клетке.
Таблица 6.3. Разметка цикла корректировки начального варианта плана
перевозок
bj
58
ai
30
50
40
33
vj
5
2
22
–
30
+
28
1
v1
8
7
4
6
18
–
22
+
0
5
15
v2
22
6
2
0
5
3
0
3
5
18
5
20
v3
2
19
v4
ui
33
–
22
+
0
21
+
u1
10
u2
13
u3
16
–
33
u4
19
19
S0
524
0
0
v5
Случай 2. Известен потенциал какого-либо столбца. Тогда по занятым
клеткам этого столбца определяются потенциалы строк, соответствующих этим
клеткам, по формуле ui v j cij .
Процесс вычисления в обоих случаях можно организовать следующим
образом.
Выбираем какую-нибудь одну строку (столбец) таблицы. Потенциал
выбранной строки полагается равным произвольному числу, и, как в случае 1,
находим потенциалы всех столбцов, соответствующих занятым клеткам
выбранной строки. Затем просматриваем столбцы с найденными потенциалами
и по занятым в них клеткам (случай 2) определяем потенциалы новых строк.
Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все занятые
клетки и найдены все потенциалы.
Применяя описанный способ к решению рассмотренной выше системы
уравнений, процесс вычислений можно представить так.
Выбираем 1-ю строку и полагаем u1 10 . В этой строке одна занятая клетка,
расположенная в первом столбце. Следовательно, можно найти потенциал v1 по
формуле v1 u1 c11 10 5 15 . Просматривая 1-й столбец, находим в нем
занятую клетку (2,1), неиспользованную еще для нахождения потенциалов. С ее
помощью находим потенциал u 2 15 2 13 . С помощью u 2 13 и клетки
(2,2) находим v2 13 7 20 , и т. д.
Проверка плана на оптимальность
Пусть определены потенциалы, согласованные с некоторым опорным
планом. Они удовлетворяют условию (6.1) критерия оптимальности плана
поставок в Т-задаче. Следовательно, для того чтобы узнать, оптимален ли
анализируемый план или нет, нужно проверить, удовлетворяют ли эти
потенциалы условию (6.2). Это равносильно проверке условий v j ui cij для
свободных клеток.
Обозначим δij v j cij ui . Тогда критерий оптимальности опорного
плана поставок может быть сформулирован следующим образом.
Опорный план поставок оптимален тогда и только тогда, когда потенциалы,
согласованные с ним, удовлетворяют условию δij 0 , где i , j – свободные
клетки таблицы.
Отсюда вытекает, что если для некоторой свободной клетки i0 , j0
величина δi0 j0 0 , то план перевозок неоптимальный и его можно улучшить.
По своему экономическому смыслу величина ij характеризует то изменение в
суммарных транспортных расходах, которое произойдет из-за осуществления
единичной поставки i-м поставщиком j-му потребителю. Если δij 0 , то
единичная поставка приведет к экономии транспортных расходов, если же
δij 0 – к увеличению их. Следовательно, если в свободных клетках нет
возможности для дальнейшей экономии транспортных расходов, то полученный
план является оптимальным.
Возвратимся к табл. 6.3 и с ее помощью вычислим величины δij для
свободных клеток. Тогда будем иметь следующие результаты:
δ12 v2 c12 u1 20 8 10 2 ;
δ13 v3 c13 u1 19 6 10 3 ;
δ14 v4 c14 u1 21 2 10 9 ;
δ15 v5 c15 u1 19 0 10 9 ;
δ23 v3 c23 u 2 19 5 13 1 ;
δ24 v4 c24 u 2 21 3 13 5 ;
δ25 v5 c25 u 2 19 0 13 6 ;
δ31 v1 c31 u3 15 1 16
2;
δ35 v5 c35 u 3 19 0 16 3 ;
δ41 v1 c41 u 4 15 6 19
10 ;
δ42 v2 c42 u4 20 5 19
4;
δ43 v3 c43 u 4 19 5 19
5.
Таким образом, условие δij 0 нарушается для многих клеток, поэтому
найденный план не оптимален.
Улучшение плана поставок
Циклом называется такой набор клеток таблицы, в котором каждая клетка
таблицы имеет среди других клеток этого набора ровно одну общую с ней по
строке и ровно одну общую – по столбцу. Например, набор из восьми клеток
табл. 6.2, помеченных серой заливкой, соответствует определению цикла, так
как для любой помеченной клетки может быть указана другая единственная
помеченная клетка в одной с ней строке и другая единственная помеченная
клетка в одном с ней столбце. Количество клеток цикла должно быть не меньше
4 и выражаться четным числом. Цикл используется для сбалансированного
перераспределения груза с клеток, заполненных по прежнему плану перевозок,
во вновь заполняемую клетку, транспортировка единицы груза по которой
приведет к максимальному снижению транспортных расходов δij 0 .
В нашем примере вновь заполняемыми клетками должны быть выбраны
такие, которым соответствуют максимальные величины, δ14 9 и δ15 9 .
Остановимся на какой-нибудь из них, например, на клетке (1,5), которая
отмечается знаком «+» в правом верхнем углу. Эта клетка в следующей таблице
будет занята поставкой. Одновременно с занятием новой клетки происходит
освобождение одной из занятых прежним планом клеток. Удаляемая из плана
поставка находится с помощью цикла, который, как доказано, является
единственным.
Построение соответствующего цикла можно производить, делая его
разметку чередованием знаков «+» и «–», начиная со знака «+» в пустой клетке
(1,5) (см. табл. 6.3), а дальше продолжая размечать только заполненные клетки.
Знак «+» означает добавление некоторой величины груза в соответствующую
клетку, а знак «–» означает снятие такой же величины груза с помеченной этим
знаком клетки. Разметку единственного цикла перераспределения в данную
пустую клетку можно сделать либо в направлении часовой стрелки, либо в
направлении против часовой стрелки.
Выберем направление по часовой стрелке. Тогда «+», поставленный в
клетке (1,5), может быть сбалансирован только знаком «–», поставленным в
заполненную клетку (4,5). В свою очередь, знак «–», поставленный в клетке
(4,5), может быть сбалансирован только знаком «+», поставленным в
заполненную клетку (4,4). Теперь, чтобы восстановить баланс в четвертом
столбце, нужно поставить знак «–» в заполненную клетку (3,4).
Для восстановления баланса в третьей строке появляется альтернатива:
ставить знак «+» в заполненную клетку (3,3) или в заполненную клетку (3,2).
Если знак «+» поставить в заполненную клетку (3,3), то в третьем столбце не
найдется заполненной клетки для постановки знака «–», и продолжить
построение цикла станет невозможно. Отсюда правильным продолжением
цикла будет пометка знаком «+» заполненной клетки (3,2), так как он будет
сбалансирован знаком «–» в заполненной клетке (2,2).
Далее, знак в клетке (2,2) нужно компенсировать знаком «+»,
поставленным в клетку (2,1). Наконец, для восстановления баланса в первом
столбце и нарушенного в самом начале баланса в первой строке таблицы нужно
клетку (1,1) пометить знаком «–». Этим действием завершается окончательное
построение цикла перераспределения.
В минусовых клетках цикла находим минимальную поставку, которую
обозначим через θ . В нашем примере четыре минусовых клетки в цикле –
клетки (4,5), (3,4), (2,2), (1,1). Минимальная поставка находится в двух клетках
– (2,2) и (3,4), т. е. θ x22 x34 22 .
Переходим к новому плану поставок xijнов путем корректировки старого
плана, с использованием следующих рекомендаций.
Корректировку плана лучше начинать с перераспределения поставок в
клетках цикла, добавляя к поставкам в плюсовых клетках цикла величину θ и
вычитая ее из поставок в минусовых клетках.
При этом рекомендуется обходить клетки цикла последовательно и в
одном направлении, начиная с новой занимаемой клетки (1,5).
Следует отметить, что если минимальная поставка находится
одновременно в нескольких минусовых клетках цикла, то при переходе к
новому опорному плану освобождаются только одна из таких клеток
(предпочтительно с большим тарифом), а остальные остаются занятыми
нулевыми поставками. Так, при переходе от табл. 6.3 к табл. 6.4 освободилась
клетка (2.2), а другая клетка с минимальной поставкой – (3,4) – остается
занятой нулевой поставкой. В табл. 6.4 по-прежнему 8 занятых клеток.
Таблица 6.4. Разметка цикла корректировки второго варианта плана перевозок
bj
58
ai
5
30
22
–
8
2
50
1
40
50
+
18
6
2
0
7
5
3
0
4
3
5
6
5
–
0
+
22
18
5
2
ui
33
8
22
33
22
+
22
0
0
–
11
u1
10
u2
13
u3
7
u4
10
vj
v3 10
v4 12
v5 10
S1 326
v1 15
v2 11
Суммарные транспортные расходы на новый план поставок могут быть
получены путем корректировки суммы транспортных расходов на прежний
план по формуле
S1
S0
δ15 θ
524 9 22 326.
На этом полностью заканчивается одна итерация метода потенциалов.
Далее процесс продолжается аналогичным способом.
2-я итерация. Проверяем новый план на оптимальность. Находим
потенциалы, согласованные с планом табл. 6.4.
Пусть u1 10 , тогда по занятым клеткам находим:
v1 10 5 15 ; v5 10 0 10 ;
u2 15 2 13 ; u 4 10 0 10 ;
v4 10 2 12 ; u 3 12 5 7 ;
v2 7 4 11; v3 7 3 10 .
Считаем величины δij для свободных клеток:
δ12
δ14
δ23
11 8 10
7 ; δ13 10 6 10
12 2 10 0 ; δ22 11 7 13
10 5 13
8 ; δ24 12 3 13
6;
9;
4;
δ25
δ35
δ42
10 0 13
3 ; δ31 15 1 7 7 ;
10 0 7 3 ; δ41 15 6 10
1;
11 5 10
4 ; δ43 10 5 10
5.
Таким образом, план табл. 6.4 не оптимален, так как среди величин δij
имеются положительные числа. Находим max δij δ31 7 .
Клетку (3,1) отмечаем знаком «+» и находим цикл. Минимальная
поставка в минусовых клетках цикла равна θ min 8 , 0 , 11 0 . Клетка
(3,1) при переходе к новой таблице (табл. 6.5), занимается в данном случае
нулевой поставкой, а клетка (3,4), соответствующая минимальной поставке,
освобождается. Так как θ 0 , то новый план поставок совпадает со старым.
Транспортные расходы по новому плану также останутся прежними, т. е.
S 2 326 . Однако потенциалы изменятся.
Таблица 6.5. Разметка цикла корректировки третьего варианта плана перевозок
bj
58
ai
5
30
22
–
18
8
22
6
2
0
8
2
50
ui
+
u1
15
u2
18
u3
19
11
u4
15
10
S2
326
22
7
5
3
0
50
1
40
+
4
0
6
–
3
22
5
+
5
0
18
5
2
33
vj
33
0
22
v1
20
v2
23
v3
22
v4
17
v5
–
3-я итерация. Вычислим потенциалы для табл. 6.5, полагая v1
Находим величины δij для свободных клеток табл. 6.5.
20 .
Поскольку max δij δ42 3 0 , план не оптимален. Отмечаем клетку
(4,2) плюсом и строим цикл, который в данном случае образуют клетки (4,2),
(3,2), (3,1), (1,1), (1,5), (4,5). Находим величину θ min 8 , 22, 11 8 , новые
поставки в табл. 6.6 и соответствующую им сумму затрат
S3
δ42 θ
S2
326 3 8
302.
4-я итерация. Найдем новую систему потенциалов, полагая u3 10. При
проверке плана табл. 6.6 на оптимальность выясняем, что все δij 0 , т. е. для
текущего плана достигнут минимум транспортных расходов. На основании
табл. 6.6 выписываем ответ.
Таблица 6.6. План перевозок, соответствующий критерию оптимальности
bj
58
ai
22
5
18
8
22
6
2
0
30
u1
9
u2
9
u3
10
3
u4
9
9
S3
30
2
50
7
5
3
0
50
1
40
4
3
8
6
14
5
5
2
8
v1
11
v2
14
0
18
5
33
vj
ui
33
0
22
v3
13
v4
11
v5
302
Минимальные транспортные затраты в размере 302 соответствуют
следующей оптимальной матрице перевозок
X*
0 0 0 0
50 0 0 0 ,
8 14 18 0
0 8 0 22
при этом у первого поставщика будет не вывезена вся продукция в объеме
30 ед., а у четвертого поставщика будет не вывезено 3 ед. продукции.
6.4. Контрольные задания к разделу 6
Исходные данные к транспортной задаче
Матрица тарифов:
5
2
1
6
8
7
4
5
Вариант № 1
6
2
мощности:
5
3
спрос:
3
5
5
2
30
58
50
22
40
18
33
22
Матрица тарифов:
Матрица тарифов:
Матрица тарифов:
Матрица тарифов:
8
8
5
9
9
3
8
9
6
9
10
4
8
10
7
9
11
5
8
11
8
9
12
6
Вариант № 2
7
4
мощности:
6
4
спрос:
26
2
2
Вариант № 3
7
4
мощности:
7
5
спрос:
32
3
3
Вариант № 4
7
4
мощности:
8
6
спрос:
38
4
4
Вариант № 5
7
4
мощности:
9
7
спрос:
44
5
5
47
62
41
64
69
4
91
45
12
60
92
2
92
50
10
82
67
12
93
55
20
56
104
4
94
60
12
92
Ответы по вариантам
Вариант
Smin
X14
X24
X32
X33
X41
X42
№1
302
0
0
14
18
0
8
№2
643
9
3
47
44
26
0
№3
866
10
0
44
48
32
18
№4
871
11
9
41
52
38
0
№5
1 144
12
0
38
56
44
26
7. СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО И
ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
7.1. Составление сетевого графика технологической
последовательности заданного комплекса работ
Рассмотрим следующую ситуацию.
Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость
строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их
нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость
строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме их
выполнения приведены в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Исходные данные для составления и анализа сетевого графика
Наименован
ие работы
Опирается на
работу
Нормальный
срок (дни)
Ускоренный
срок (дни)
A
В
С
D
E
F
G
H
Q
V
E, H
G
–
C, F, A
–
E, H
V
G
V
–
8
24
34
10
27
8
8
8
37
8
6
18
24
6
18
6
6
6
24
6
Нормальная
стоимость
работ (млн.
руб.)
13,8
46,8
69,6
61,2
189
64,8
12,6
14,4
280,8
72
Плата за
ускорение
(млн. руб.)
4,6
15,6
19
46
81
5,6
4,2
4,8
152,1
10
На основании данных таблицы требуется следующее.
1. С учетом технологической последовательности работ построить
сетевой график выполнения этих работ.
2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном
режиме выполнения работ. Найти критический срок, указать все возможные
критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.
3. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при
сокращении сроков строительства на 4 дня. В какую итоговую сумму обойдется
фирме ускоренная стройка павильона?
Основными понятиями в сетевом планировании и управлении являются
понятия «событие» и «работа».
Событие – это момент достижения некоторого промежуточного или
конечного результата. Событие не имеет протяженности во времени.
Термин «работа» в сетевом планировании и управлении используется в
широком смысле и может означать:
некоторый трудовой процесс, требующий затрат времени и ресурсов;
ожидание, не требующее затрат труда и ресурсов, но занимающее
время (например, процесс затвердевания бетона);
фиктивную работу, которая вводится для отображения логической связи
между событиями и не требует затрат каких-либо ресурсов, а также не имеет
продолжительности во времени.
Для каждой из работ должны быть определены те предшествующие
работы, на результаты которых она непосредственно опирается, и которые
должны быть закончены к моменту начала рассматриваемой работы. Начало и
конец работы являются событиями, называемыми, соответственно, начальным и
конечным. Причем конечное событие одной работы должно быть начальным
событием последующей за ней работы.
Если i – номер начального, a j – номер конечного события для некоторой
работы, то эту работу можно обозначить упорядоченной парой i , j .
Первые две строки исходных данных представляют список всех работ по
строительству павильона с указанием последовательности их выполнения. Эту
технологическую последовательность и должен адекватно отразить сетевой
график, на котором стрелками изображаются работы, а кружками – события.
Построение сетевого графика осуществим в три этапа.
Этап 1. Составление чернового варианта или эскиза сетевого графика (1-я
редакция).
На рис. 7.1 построение начато с графического изображения работ C, E, V,
так как анализ первых двух столбцов таблицы данных показал, что ни на какую
предшествующую работу они не опираются. Соответствующие этим работам
стрелки должны выходить из кружка с номером 1, являющегося начальным
событием составляемого сетевого графика. Конечные события этих работ
нумеруем разными числами, например: 2, 3, 4.
2
C
F
10
D
E
1
9
A
3
7
H
11
V
5
G
4
B
8
Q
6
Рис. 7.1. Эскиз сетевого графика
После этого, снова анализируем первые два столбца таблицы исходных
данных и выявляем работы, которые могут непосредственно продолжить уже
изображенные стрелками работы C, E, V. Очевидно, что таковыми являются
работы G и Q, следующие за работой V. Отсюда начальное событие этих
работ будет иметь номер 4, а их конечные события получат номера 5, 6,
соответственно, при этом сами работы будут изображены стрелками (4,5),
(4,6).
Снова возвращаемся к анализу первых двух столбцов таблицы исходных
данных и выявляем работы, которые могут непосредственно продолжить уже
изображенные стрелками работы C, E, V, G и Q. Очевидно, что таковыми
являются работы H и B, следующие за работой G. Тогда начальное событие
этих работ будет иметь номер 5, а их конечные события получат номера 7, 8,
соответственно, при этом сами работы будут изображены стрелками: (5, 7),
(5, 8).
Дальнейший просмотр первых двух столбцов таблицы данных задачи
показывает, что не отраженными на графике остались работы, перед которыми
необходимо завершить две или более предшествующие работы. Так как
работам A и F предшествуют сразу две работы E и H, то начальным событием
работ A и F естественно считать событие, объединяющее конечные события
работ E и H под номерами 3 и 7. На рис. 7.1 показана автофигура, символически
объединяющая кружки с номерами 3 и 7. Эта автофигура в следующей
редакции (склейки событий сетевого графика) будет заменена кружком с
номером, являющимся минимальным из этих номеров, т. е. номером 3. Тогда
работы A и F будут изображаться на данном этапе, соответственно, стрелками
(3,9) и (3,10).
Теперь осталась не изображенной на сетевом графике только работа D,
которой должны предшествовать работы C, F и A. Поэтому, аналогично
вышесказанному, символически объединим автофигурой конечные события под
номерами 2, 9, 10. В дальнейшем это объединение будет являться событием под
номером 2, которое будет начальным событием для работы D. После
присвоения конечному событию номера 11, работа D будет представлена
стрелкой (2,11).
После того, как все работы оказались отраженными в сетевом графике в
порядке их технологической последовательности, выяснилось, что работы D, B
и Q являются работами, завершающими комплекс работ. Это означает, что их
конечные события с номерами 6, 8, 11 должны быть объединены в одном
событии под номером 6, которое отражает окончание всех работ по
строительству павильона. На этом завершается этап 1.
Этап 2. Склейка событий или вершин сетевого графика (2-я редакция).
На этом этапе объединения событий на рис. 7.1 заменяются событиями,
которым присваивается минимальный из объединяемых номеров.
Обратим внимание на то, что при объединении номеров 2, 9 и 10 в общее
событие под номером 2, а номеров 3 и 7 – в общее событие под номером 3
возникает ситуация, показанная на рис. 7.2. Это противоречит тому правилу
сетевого моделирования, что любые два события сетевого графика (два кружка)
должны соединяться только одной работой (одной стрелкой).
Неправильный фрагмент сетевого графика, изображенный на рис. 7.2,
нужно заменить эквивалентным по смыслу правильным фрагментом,
приведенным на рис. 7.3. Пунктирный кружок изображает фиктивное событие,
которому присвоим незанятый номер 12, а пунктирная стрелка изображает
фиктивную работу, которая имеет продолжительность 0 дней.
A
3
2
F
Рис. 7.2. Неправильный фрагмент сетевого графика
A
3
2
F
12
Рис. 7.3. Ввод в сетевой график фиктивного события и работы
В результате запланированной на этапе 1 склейки событий и привлечения
фиктивного события и фиктивной работы получим состояние сетевого графика
после 2-й редакции (рис. 7.4). На следующем этапе перечеркнутые номера
событий будут пересмотрены.
2
C
D
A
3
E
1
F
12
H
V
7
B
5
4
G
Q
Рис. 7.4. Состояние сетевого графика после 2-й редакции
Этап 3. Ранжирование событий или вершин сетевого графика (3-я
редакция).
Для ранжирования событий или вершин сетевого графика разобьем
плоскость листа на семь вертикальных полос по количеству имеющихся
событий, включая фиктивное событие (рис. 7.5, б). В эти полосы нужно
поместить события в соответствии с их рангом. Рассмотрим, как из рис. 7.4 на
основе рис. 7.5, а получить рис. 7.5, б.
6
а)
2
C
D
A
4
E
1
7
F
3
5
12
H
V
7
B
5
G
4
3
Q
2
б)
Ранг 1
Ранг 2
Ранг 3
Ранг 4
Ранг 5
С
1
V
G
2
3
Ранг 6
Ранг 7
B
H
F
4
5
6
D
7
A
E
Q
F
(8) работы алгоритма
Рис. 7.5. Ранжирование событий: а) иллюстрация
ранжирования событий; б) 3-я редакция сетевого графика
В полосу ранга 1 будет всегда попадать Aначальное событие любого
сетевого графика. Для выявления событий ранга 2(8)
необходимо из графика (рис.
7.5, а) удалить все работы, выходящие из события 1 (на рис. 7.5, а они
перечеркнуты один раз), и посмотреть, какие события оказались без
H
входящих работ. В данном случае таким оказалось единственное событие 4,
номер которого заменим номером 2 и поместим в(8)
полосу ранга 2 на рис. 7.5,
G
(8)
б. При решении других задач может оказаться несколько событий одного ранга,
тогда их надо поместить столбиком в одну и ту же полосу этого ранга,
пронумеровав их по порядку.
Теперь из событий ранга 2 необходимо удалить все выходящие из них
работы (на рис. 7.5, а они перечеркнуты два раза). С учетом удаленных после
этих двух шагов работ находим события, остающиеся без входящих работ. Таким
событием оказалось событие 5, рядом с которым пишем новый номер 3 и с этим
номером помещаем его в полосу ранга 3. Перечеркнем три раза выходящие из
него работы или дуги и получим, что без входящих дуг осталось событие 3,
которое занесем в полосу ранга 4 под номером 4.
Удалив выходящие из события 3 дуги, получим, что без входящих дуг
оказалось фиктивное событие 12, которому соответствует на рис. 7.5, б событие
5, находящееся в ранге 5. После удаления фиктивной работы в ранге 6 окажется
событие 2, которому на рис. 7.5, б будет присвоен номер 6. Наконец, устранив
работу D, установим, что событие 7 находится в ранге 7 и на рис. 7.5, б сохранит
свой номер.
Теперь, когда ранжирование закончено, нужно соединения событий в
старой нумерации на рис. 7.5, а заменить соединениями событий в новой
нумерации на рис. 7.5, б. Для проверки правильности построенного сетевого
графика необходимо сравнить запись о технологической последовательности в
двух первых столбцах таблицы данных с графическими изображениями работ.
7.2. Расчет временных характеристик сетевого графика и определение
критических путей
Под временными характеристиками сетевого графика понимаются, прежде
всего, ранний срок наступления события и поздний срок наступления события.
Под ранним сроком наступления события под номером i понимается такой
срок ti1 , раньше которого это событие наступить не может из-за выполнения
предшествующих ему работ. Другими словами, каждое событие наступает
только тогда, когда будут выполнены все предшествующие его наступлению
работы.
Под поздним сроком наступления события под номером i понимается
такой срок ti2 , позже которого событие не может наступить, не удлиняя при
этом общий срок выполнения всех работ, что приводит к так называемому
срыву графика.
Для расчета временных характеристик нужно подготовить для этого
построенный выше сетевой график, увеличив кружки, изображающие события, и
разбив их на 3 сектора (рис. 7.6, 7.7).
i
ti1
t i2
Рис. 7.6. Использование секторов для записи временных характеристик: i –
номер события; ti1 – ранний срок наступления события i; ti2 – поздний срок
наступления события i
С (34)
B (24)
E (27)
1
V (8)
4
3
2
1
A (8)
H (8)
G (8)
7
6
5
D (10)
(0)
F (8)
Q (37)
Рис. 7.7. Сетевой график, подготовленный к расчетам временных характеристик
При расчете ранних сроков нужно от событий нижнего ранга постепенно
переходить к событиям последующего ранга. Рассчитаем ti1 для каждого
события (рис. 7.8). Прежде всего, положим ранний срок наступления
начального события графика равным нулю ( t11 0 ).
С (34)
B (24)
E (27)
1
0
16
8
V (8)
4
3
2
1
G (8)
27
35
A (8)
H (8)
7
6
5
35
(0)
45
D (10)
F (8)
Q (37)
Рис. 7.8. Расчет ранних сроков наступления событий сетевого графика
Так как второе событие наступает после работы V, продолжительность
которой
t21
t12
t11 t12
дням,
8
t11
то
можно
определить
t 21
по
формуле
8. Событию под номером 3 непосредственно
предшествует работа G, имеющая продолжительность t23 8 дней, с только что
8 0 8
определенным ранним сроком начала t21
t31
t21
t23
t21
8
8 8
8. Отсюда
16.
В отличие от событий 2 и 3, событию под номером 4 предшествуют две
работы: E и Н, которые имеют продолжительности, соответственно, t14 27
дней и t34 8 дней. В этом случае ранний срок наступления четвертого
события должен определяться по формуле
t41
max t11
t14 , t31
t34
max t11
27 , t31
8
max 27 , 24
27.
Событию под номером 5 непосредственно предшествует работа A, поэтому
t51 t41 8 27 8 35. Событию под номером 6 непосредственно
предшествуют три работы: C, F и фиктивная работа. Отсюда ранний срок
шестого события рассчитывается по формуле
t61 max t11 32, t41 8 , t51 0 max 32, 35, 35 35 .
Аналогично, продолжительности работ Q, B и D используются для расчета
раннего срока седьмого события по формуле
t71 max t 21 37 , t31 24, t61 10 max 45, 40, 45 45 .
Итак, ранний срок конечного события сетевого графика на рис. 7.8 равен
45 дням ( t71 45 ). Это означает, что раньше, чем за 45 дней торговый павильон
не может быть построен. Ранний срок конечного события называется
критическим сроком выполнения всех работ. Он указывает минимальный срок,
за который может завершиться комплекс работ при заявленных темпах их
выполнения в нормальном режиме. Иными словами, критический срок
строительства павильона равен 45 дням.
Расчет поздних сроков наступления событий производится в направлении от
события высшего ранга к событиям нижнего ранга, начиная с конечного события
под номером 7. Рассчитаем ti2 для каждого события (рис. 7.9). Прежде всего,
положим поздний срок наступления конечного события графика равным только
что рассчитанному для него раннему сроку ( t72 t71 45 ). Это означает, что
если завершение строительства раньше 45 дней невозможно, то и позже этого
срока оно нежелательно.
С (34)
B (24)
E (27)
1
0
0
3
2
1
8
V (8)
16
8
19
G (8)
4
5
6
27 27
35 35
35 35
A (8)
H (8)
(0)
7
45
45
D (10)
F (8)
Q (37)
Рис. 7.9. Расчет поздних сроков наступления событий сетевого графика
Так как шестое событие является началом только одной работы D, которая
заканчивается событием 7 и выполняется 10 дней, то можно определить t62 по
формуле
t62
t72
10 45 10 35.
Аналогично, событие под номером 5 является началом фиктивной работы,
которая заканчивается событием 6, отсюда
t52
t62
0 35 0 35.
В отличие от событий 6 и 5, событие под номером 4 является началом двух
работ: A и F, которые имеют продолжительности, соответственно, t 45 8 дней
и t 46 8 дней. В этом случае поздний срок наступления четвертого события
должен определяться по формуле
t42 min t52 t45 , t62 t46 min 35 8 , 35 8 min 27 , 27 27 .
Событие под номером 3 является началом двух работ: B и H, которые имеют
продолжительности, соответственно, t 37 24 дня и t 34 8 дней. Тогда поздний
срок наступления третьего события должен определяться по формуле
t32 min t72 t37 , t42 t34 min 45 24, 27 8 min 21, 19 19 .
Второе событие является началом двух работ: G и Q, которые имеют
продолжительности, соответственно, t 23 8 дней и t 27 37 дней. Тогда
поздний срок наступления события номер 2 должен определяться по формуле
t 22 min t32 t 23 , t72 t 27 min 19 8 , 45 37 min 11, 8 8 .
Наконец, начальное событие является началом трех работ: C, E и V,
которые имеют продолжительности, соответственно, t16 32 дня, t14 27
дней и t12 8 дней. Отсюда поздний срок наступления начального события
определим по формуле
t12 min t62 t16 , t42 t14 , t 22 t12 min 35 32, 27 27 , 8 8 0 .
Найденные ранние и поздние сроки наступления событий позволяют
вычислить другие важные временные характеристики сетевого графика,
какими, например, являются резервы времени по работам.
Под резервом времени по конкретной работе понимается разность между
поздним сроком окончания и ранним сроком начала этой работы за вычетом
продолжительности ее выполнения. Например, резерв времени по работе B,
обозначенный RB , рассчитывается по формуле:
RB
t72
t 31
t 37
45 16 24
5,
т. е. резерв времени по работе B равен 5 дням.
Если резерв времени по работе равен нулю, то работа называется
критической. Именно критические работы являются «узкими местами»
сетевого графика и должны находиться под постоянным контролем
руководителя работ. Например, работа Q является критической, так как
RQ t72 t 21 t 27 45 8 37 0 .
Центральным понятием сетевого планирования и управления является
понятие критического пути сетевого графика.
Под путем в сетевом графике понимается последовательность работ,
соединяющая два события, в которой конечное событие предыдущей работы
является начальным событием последующей. Например, последовательность
работ P ={(2, 3), (3, 4), (4, 6)} образует путь, соединяющий второе событие с
шестым. Пути можно представить и через последовательности событий, через
которые они проходят, и перечнем имен работ, лежащих на пути. Так, уже
указанный путь можно обозначить таким образом:
P = {2 → 3 → 4 → 6} или P = {G, H, F}.
Полным путем называется путь, ведущий из начального в конечное событие
сетевого графика. Так, путь P = {(1, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)} является одним из
полных путей для сетевого графика, изображенного на рис. 7.9.
Под продолжительностью пути понимается сумма продолжительностей
составляющих его работ. Например, продолжительность названного выше
полного пути будет равняться 27 + 8 + 0 + 10 = 45 дней.
Под критическим путем сетевого графика понимается полный путь,
имеющий максимальную продолжительность. Продолжительность критического
пути совпадает с критическим сроком выполнения всего комплекса работ.
Например, для
данного сетевого графика любой полный путь
продолжительностью 45 дней будет являться критическим. Это означает, что
критических путей может быть несколько. Работы, составляющие критический
путь, являются критическими, т. е. имеющими нулевой резерв времени.
Критические пути считаются разными, если они отличаются хотя бы одной
работой.
Рассмотрим один из способов выявления всех критических работ и
составленных из них критических путей (рис. 7.10).
С (34)
B (24)
E (27)
1
0
0
3
2
1
8
16
8
G (8)
V (8)
19
7
4
5
6
27 27
35 35
35 35
H (8)
A (8)
(0)
45
45
D (10)
F (8)
Q (37)
Рис. 7.10. Выявление критических путей сетевого графика
Начнем с анализа резервов времени работ, которые заканчиваются
конечным событием. В нашем случае это работы: B, D, Q. Ранее было
установлено, что R B 5 , а RQ 0 , найдем
RD
t72
t61
t67
45 35 10 0 .
Отсюда устанавливаем, что работы D и Q являются критическими, а
через них проходят, по крайней мере, два критических пути.
Рассмотрим сначала критическую работу Q. На рис. 7.10 видно, что
начальным событием работы Q является событие 2. Вычислим резервы времени
работ, для которых это событие является конечным. Такой работой оказалась
работа V. Легко вычислить, что
RV t 22 t11 t12 8 0 8 0 ,
следовательно, работа V является критической. Таким образом, выявлен
полный путь, состоящий из последовательности критических работ V и Q,
который в дальнейшем будем называть первым критическим путем {V, Q}. На
рис. 7.10 он выделен жирными стрелками.
В нашем случае возможны другие критические пути, которые проходят
через работу D. Так как начальным событием работы D является событие 6, то
сравним резервы времени работ, для которых это событие является конечным.
Вычислим:
RC t 62 t 11 t 16 35 0 34 1 ;
R( 0 ) t62
RF
t62
t 51 t 56
35 35 0 0 ;
t 41
35 27 8
t 46
0.
Отсюда заключаем, что критическими работами являются: фиктивная
работа и работа F. Такой результат говорит о том, что в данном сетевом графике,
кроме первого критического пути, имеются, по крайней мере, еще два
критических пути. Сначала выявим критический путь, проходящий через работу
F. Для этого вычислим резервы времени для работ E и H, на которые
непосредственно опирается работа F. Получим:
RE
t 42 t 11 t 14
27 0 27 0 ,
RH
t 42 t 31 t 34
27 16 8 3 .
Отсюда устанавливаем, что критическая работа E начинает второй
критический путь {E, F, D}.
Выявим теперь критические пути, проходящие через критическую
фиктивную работу. Фиктивная работа начинается событием 5, поэтому
оценим резерв времени единственной предшествующей ей работы A,
R A t 52 t 41 t 45 35 27 8 0 . Последнее показывает, что работа A является
критической. Так как событие A начинается событием 4, которым завершается
единственная выявленная ранее критическая работа E, то тем самым проявился
третий критический путь {E, A, Ф, D}, где Ф – имя фиктивной работы, которое
без ущерба для описания третьего критического пути можно опустить.
Итак, критический срок строительства павильона обусловлен наличием
трех критических путей: {V, Q}, {E, F, D}, {E, A, D}, которые выделены
жирными стрелками на рис. 7.10. При этом стоимость строительства павильона
в нормальном режиме выполнения работ составит
13,8 + 46,8 + 69,6 + 61,2 + 189 + 64,8 + 12,6 + 14,4 + 280,8 + 72 = 825 млн. руб.
7.3. Нахождение стратегии минимального удорожания для заданного
сокращения срока строительства
Согласно условиям задачи фирме желательно, чтобы строительство
завершилось не за 45 дней, а за 41 день. Предположим, что фирма хочет успеть
к открытию предстоящей региональной ярмарки, и готова доплатить за
ускоренный режим строительства павильона. Тогда возникает задача
сокращения срока строительства на 4 дня за минимальную доплату к ранее
найденной стоимости строительства в нормальном режиме выполнения работ.
Для решения этой задачи необходимо воспользоваться сведениями,
приведенными в таблице данных (табл. 7.1). При этом каждый следующий день
сокращения срока строительства нужно анализировать отдельно.
Прежде всего, установим, за какую минимальную доплату можно
завершить комплекс работ за 44 дня вместо 45 дней. Сокращение срока
строительства на день возможно только за счет уменьшения на один день
продолжительности всех трех критических путей. Это, в свою очередь, можно
достичь, ускоряя на день какие-либо критические работы, лежащие на этих
путях. Для того, чтобы установить какие критические работы в совокупности
ускорять дешевле, нужно вычислить средние стоимости 1 дня ускорения всех
выявленных критических работ.
Рассмотрим критическую работу V, ее можно ускорить с 8 до 6 дней,
доплатив за это 10 млн. рублей. Отсюда среднюю стоимость дня ускорения
работы V, обозначенную SV , найдем по формуле SV
Аналогично по работе Q: S Q
152,1
37 24
10
8 6
11,7 млн. руб.;
5 млн. руб.
по работе E: S E
по работе F: S F
81
9 млн. руб.;
27 18
5 ,6
2 , 8 млн. руб.;
8 6
по работе D: S D
46
10 6
11,5 млн. руб.;
по работе A: S A
4 ,6
8 6
2 ,3 млн. руб.
После
проведенных
расчетов,
очевидно,
что
уменьшение
продолжительности первого критического пути {V, Q} на один день за счет
ускорения работы V на 1 день стоит 5 млн. руб., а за счет ускорения работы Q
на 1 день стоит 11,7 млн. руб. Отсюда следует вывод, что ускорять на один день
следует работу V с доплатой 5 млн. руб.
Рассмотрим стоимость уменьшения на один день продолжительности
критических путей {E, F, D} и {E, A, D}. Сократить на один день их
продолжительности можно либо ускорением на один день общей для них
работы E с дополнительной затратой 9 млн. руб., либо совместным ускорением
на один день параллельных работ F и A с дополнительной затратой 2,8 + 2,3 =
5,1 млн. руб. Кроме этого, можно ускорить на один день общую для этих путей
работу D с дополнительной затратой 11,5 млн. руб. Нетрудно установить, что
самым дешевым вариантом сокращения второго и третьего пути из всех
возможных является ускорение на один день работ F и A.
В итоге самым дешевым вариантом для сокращения срока строительства
на 1 день является ускорение на один день работ V, F, A, что приведет к
новому критическому сроку 44 дня с минимальной доплатой 5 + 5,1 = 10,1
млн. руб. Выполним запланированные ускорения работ V, A, F и сделаем
перерасчет временных характеристик сетевого графика (рис. 7.11).
После нового определения ранних и поздних сроков событий необходимо
вычислить, как изменились резервы времени бывших некритических работ. В
нашем случае находим
RC t 62 t 11 t 16 34 0 34 0 ,
т. е. дополнительно появилась новая критическая работа C, которая
составит с выявленной ранее критической работой D четвертый критический
путь {C, D}.
С (34)
B (24)
E (27)
1
0
0
3
2
1
7
V (7)
15
7
G (8)
19
H (8)
7
4
5
6
27 27
34 34
34 34
A (7)
(0)
44
44
D (10)
F (7)
Q (37)
Рис. 7.11. Появление новой критической работы C и критического пути {C, D}
Последнее означает, что для сокращения сроков строительства на второй
день необходимо уменьшить на день продолжительности уже четырех
критических путей. Чтобы оценить все возможные комбинации ускорений для
второго дня сокращения, найдем среднюю стоимость одного дня ускорения
работы C, т. е.
SC
19
1, 9 млн. руб.
34 24
Понятно, что уменьшение продолжительности первого критического пути {V,
Q} еще на 1 день дешевле всего сделать за счет ускорения на 1 день работы V с
доплатой 5 млн. руб. В случае уменьшения на день второго, третьего и четвертого
критических путей нужно рассмотреть либо вариант ускорения на 1 день работ A,
F, C с доплатой 2,3 + 2,8 + 1,9 = 7 млн. руб., либо вариант ускорения на 1 день
общей для этих путей работы D с доплатой 11,5 млн. руб.
В итоге самым дешевым вариантом для второго дня сокращения является
ускорение на один день работ V, F, A, С, что приведет к новому критическому
сроку 43 дня с минимальной доплатой 5 + 2,3 + 2,8 + 1,9 = 12 млн. руб. Выполним
запланированные ускорения работ V, A, F, C, и сделаем перерасчет временных
характеристик сетевого графика (рис. 7.12).
Последующий перерасчет резервов времени по некритическим работам
показывает отсутствие новых критических работ. Однако, повторить
сокращения срока строительства на третий день такую же экономную
комбинацию ускорений работ, как для второго дня сокращения, невозможно, так
как работы V, A, F дошли до нижнего предела их ускорения. Поэтому теперь для
уменьшения продолжительности пути {V, Q} на 1 день можно только ускорить на
1 день работу Q с доплатой 11,7 млн. руб. Для уменьшения продолжительности на
1 день второго, третьего и четвертого путей можно ускорить на 1 день либо работы
E и C с доплатой 9 + 1,9 = 10,9 млн. руб., либо общую для этих путей работу D с
доплатой 11,5 млн. руб.
С (33)
B (24)
E (27)
1
0
0
6
14
6
19
5
6
27 27
33 33
33 33
H (8)
G (8)
V (6)
7
4
3
2
1
A (6)
43
43
D (10)
(0)
F (6)
Q (37)
Рис. 7.12. Сетевой график после сокращения срока строительства на 2 дня
В итоге самым дешевым вариантом для третьего дня сокращения является
ускорение на один день работ: Q, E, С, что приведет к новому критическому
сроку 42 дня с минимальной доплатой 11,7 + 9 + 1,9 = 22,6 млн. руб. Выполним
запланированные ускорения работ Q, E, С и сделаем перерасчет временных
характеристик полученного сетевого графика (рис. 7.13).
С (32)
B (24)
E (26)
1
0
0
6
V (6)
3
2
1
14
6
G (8)
18
H (8)
7
4
5
6
26 26
32 32
32 32
A (6)
(0)
42
42
D (10)
F (6)
Q (36)
Рис. 7.13. Сетевой график после сокращения срока строительства на 3 дня
Расчет резервов времени для некритических работ сетевого графика на
рис. 7.13 не выявил новых критических работ, а значит и новых критических
путей. При этом допустимы дальнейшие ускорения работ Q, E, С. Из этого
следует, что для четвертого дня сокращения срока работ можно применить ту
же комбинацию ускорений работ на один день, как и для третьего дня
сокращения.
В итоге повторное ускорение на один день работ Q, E, С приведет к новому
критическому сроку (41 день) с минимальной доплатой 22,6 млн. руб. Выполнив
запланированные ускорения работ Q, E, С, получим сетевой график после
сокращения срока строительства на 4 дня (рис. 7.14) с минимальной итоговой
доплатой 10,1 + 12 + 22,6 + 22,6 = 67,3 млн. руб.
С (31)
B (24)
E (25)
1
0
0
6
V (6)
14
6
G (8)
18
7
4
5
6
25 25
31 31
31 31
3
2
1
H (8)
A (6)
41
41
D (10)
(0)
F (6)
Q (35)
Рис. 7.14. Сетевой график после сокращения срока строительства на 4 дня
Поэтому одна из возможных стратегий минимального удорожания
стоимости в размере 67,3 млн. руб. при сокращении критического срока
строительства (45 дней) на 4 дня заключается в ускорении на 2 дня работ V, A,
F, E, Q и в ускорении на 3 дня работы C.
Отсюда итоговая стоимость ускоренного на 4 дня строительства торгового
павильона составит 825 + 67,3 = 892,3 млн. руб.
7.4. Контрольные задания к разделу 7
Варианты условий задач сетевого планирования и управления
Наименован
ие работы
Опирается
на работу
Нормальный
срок (дни)
Ускоренный
срок (дни)
Нормальная
стоимость
работ (млн.
руб.)
Плата за
ускорение
(млн. руб.)
Вариант № 1
A
E, H
5
4
9,2
2,3
В
G, Q
15
12
67,2
16,8
С
–
20
16
46,4
11,6
D
C, F, A
5
4
24,8
6,2
E
–
15
12
30
7,5
F
E, H
5
4
27,2
6,8
G
–
13
8
56,8
35,5
H
G, Q
5
4
29,6
7,4
Q
V
10
4
30,8
46,2
V
–
5
4
32
8
Вариант № 2
A
E
12
9
2,7
0,9
B
G, Q
36
27
178,2
59,4
C
–
48
36
32,4
10,8
D
C, F, H, A
12
9
64,8
21,6
E
V
24
18
9
3
F
E
12
9
7,2
2,4
G
–
27
18
145,8
72,9
H
G, Q
24
18
151,2
50,4
Q
V
16
9
78,3
60,9
V
–
12
9
81
27
Вариант № 3
A
E
6
5
16,5
3,3
B
G, Q
18
15
54
10,8
C
–
24
20
78
15,6
D
C, F, A
6
5
16
3,2
E
V
12
10
35
7
F
E
6
5
19
3,8
G
–
15
10
91
45,5
H
G, Q
18
15
141
28,2
Q
V
12
5
48,5
67,9
V
–
6
5
50
10
Вариант № 4
A
E, H, B
8
6
13,8
4,6
B
G
4
3
7,8
2,6
C
–
16
12
34,8
11,6
D
C, Q
4
6
24,6
8,2
E
E, H, B
15
9
76,5
51
F
V
8
6
52,8
17,6
G
G
4
3
6,3
2,1
H
V
4
3
7,2
2,4
Q
–
16
9
87,3
67,9
4
3
30
10
V
Вариант № 5
A
E, H
4
2
2,6
2,6
B
G
8
4
6,4
6,4
C
–
16
8
15,2
15,2
D
C, F, B, A
4
2
12,4
12,4
E
–
15
6
39
58,5
F
E, H
4
2
13,6
13,6
G
V
4
2
2,2
2,2
H
G
4
2
2,8
2,8
Q
V
21
8
61,6
100,1
V
–
4
2
16
16
Ответы к задачам сетевого планирования и управления
Вариант Срок
Критический
A
путь
V, Q, H, F, D 1
B
C
D
E
F
G
H
Q
V
Доплата
Итого
3
0
1
0
1
0
1
1
0
47,2
401,2
№1
30
№2
64
V, Q, H, D
0
3
0
3
0
0
0
0
1
0
50,1
800,7
№3
36
V, Q, H
0
1
0
0
0
0
0
1
3
0
42,1
591,1
№4
24
V, Q, D
0
0
0
1
3
0
0
0
3
0
62,8
403,9
№5
25
V, Q
0
0
0
2
0
0
0
0
4
0
43,2
215
8. ИГРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТОВОЙ ЗАКУПКИ ТОВАРОВ ПРИ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИХ РОЗНИЧНОЙ ПРОДАЖИ
8.1. Формирование модели матричной игры торговой фирмы, когда
вторым «игроком» считается природа
Торговая фирма решает вопрос об объемах оптовой закупки
скоропортящихся продовольственных товаров двух наименований на каждый
предстоящий день. И во многом торговая политика фирмы зависит от
природных условий. Дождь и солнце, снег и ветер – все влияет на объемы
продаж и на ассортимент продаваемых фирмой товаров. Но влияние природы на
деятельность фирмы можно учесть и даже с достаточной степенью точности
прогнозировать, создав модель матричной игры фирмы, где вторым «игроком»
условно считается природа.
По статистике сделанных в предыдущем месяце ежедневных продаж при
холодной дождливой погоде на каждые 4 единицы товара A в среднем
реализуется 11 единиц товара B, а при солнечной жаркой погоде товары
реализуются в усредненной пропорции 7 единиц товара A к 3 единицам товара
B. Минимальная сумма оптовой закупки товаров, при которой полностью
удовлетворяется спрос на них в холодную или солнечную погоду с учетом
приведенной статистики, составляет 43 456 руб.
Оптовая цена товара A – 10 руб., товара B – 14 руб., соответственно,
розничная цена на товар A – 13 руб., а на товар B – 17 руб. Ежедневные
издержки на розничную реализацию продукции составляют 2 000 руб.
Остающийся в конце дня нереализованный товар фирма сдает в пищевую
переработку по ценам на 60 % меньше оптовой.
Администрации фирмы нужно установить, в каких объемах следует
сделать оптовые закупки этих товаров, чтобы максимизировать прибыль фирмы
в условиях полной неопределенности предстоящей погоды.
Для этого необходимо выполнить следующие действия.
1. Составить игровую математическую модель предложенной ситуации,
рассчитав соответствующую платежную матрицу.
2. Вычислить оптимальную смешанную стратегию фирмы, наиболее
неблагоприятную для фирмы стратегию природы и цену составленной игры,
решив соответствующую пару задач линейного программирования.
3. Определить оптимальные объемы оптовых закупок в условиях
неопределенности, указать ожидаемую прибыль фирмы при дожде и солнце для
таких объемов закупок, оценить ожидаемую дневную норму прибыли.
Представим исходные данные задачи вместе с введенными обозначениями
в компактной табличной записи.
Показатели
Товар А
Товар В
Пропорция реализации товаров при дожде
d1
4
Пропорция реализации товаров при солнце
h1
7
Оптовые цены (руб.)
f1
10
d 2 11
h2 3
f 2 14
Розничные цены (руб.)
Сниженные на 60 % оптовые цены
r1 13
t1 4
r2
17
t 2 5, 6
Сумма, привлеченная на оптовую закупку, S = 43 456 руб.
Ежедневные издержки L = 2 000 руб.
Пусть n1 – количество единиц товара A, приобретенных оптом в расчете на
дождь;
n2 – количество единиц товара B, приобретенных оптом в расчете
на дождь.
Эти количества товаров n1 и n2 должны удовлетворять следующей системе
соотношений
f 1n1
n1 d 1
;
n2 d 2
f 2 n2 S .
Для предложенных данных нужно решить систему
n1
n2
4
;
11
10n1 14n2 43 456 .
Отсюда находим n1 = 896 ед., а n2 = 2 464 ед.
Пусть k 1 – количество единиц товара A, приобретенных оптом в расчете на
солнце,
k 2 – количество единиц товара B, приобретенных оптом в расчете
на солнце.
Эти количества товаров k 1 и k 2 должны удовлетворять следующей
системе соотношений
k1
k2
f 1 k1
f 2 k2
h1
h2
S.
Для предложенных данных нужно решить систему:
k1
k2
10k1 14k 2
7
3
43 456.
Решением системы будут k1 = 2 716 ед. и k 2 = 1 164 ед.
Введем следующие обозначения:
a11 – прибыль фирмы при оптовых закупках в ожидании дождя,
случится дождь;
a12 – прибыль фирмы при оптовых закупках в ожидании дождя,
случится солнце;
a21 – прибыль фирмы при оптовых закупках в ожидании солнца,
случится дождь;
a22 – прибыль фирмы при оптовых закупках в ожидании солнца,
случится солнце.
Прибыли фирмы, если погода угадана, легко подсчитать по формулам
a11
r1 n1 r2 n2 S L
13 896 17 2 464 43 456 2 000 8 080;
a22
r1 k1 r2 k 2 S L
если
если
если
если
13 2716 17 1164 43 456 2 000 9 640.
k1 и n2 k2 , как в нашем случае, расчеты a12 и a21 логично
Если n1
проводить по формулам
a12
r1 n1
r2 k 2 t 2 ( n2 k 2 ) S L
13 896 17 1164 5,6 1300 43 456 2 000
6 740;
a21
r1 n1 r2 k 2 t1 ( k1 n1 ) S L
13 896 17 1164 4 1 820 43 456 2 000
6 740.
Если n1 k1 и n2 k 2 , то вышеприведенные формулы следует изменить в
соответствии с этой ситуацией.
Рассчитанные прибыли рассмотрим, как элементы некоторой матрицы,
которую в дальнейшем будем называть платежной
A
a11 a12
a21 a22
8 080
6 740
6 740
.
9 640
(8.1)
На основе полученной платежной матрицы анализируемую экономическую
ситуацию можно представить в виде игры, где первым игроком является
торговая фирма, а вторым «игроком» – природа. Первым ходом фирмы-игрока,
соответствующим первой строке матрицы (8.1), будет оптовая закупка товаров в
расчете на предстоящий дождь; вторым ходом фирмы-игрока, соответствующим
второй строке матрицы (8.1), будет оптовая закупка товаров в расчете на
солнечный день. Первым «ходом» природы, соответствующим первому столбцу
матрицы (8.1), будет дождливый день; вторым «ходом» природы,
соответствующим второму столбцу матрицы (8.1), будет солнечный день.
При этом, если торговая фирма, выбирая ход, сознательно стремится
максимизировать «выигрыш» у природы, то природа не стремится
противодействовать и минимизировать свой «проигрыш» фирме, проявляя к
выбору своего «хода» полное безразличие. Однако для определения осторожной
стратегии выбора ходов фирме необходимо знать самую неблагоприятную
«стратегию», которая может сложиться у природы неожиданно для фирмы. В
этом случае полезно предполагать, что природные факторы как бы «действуют
назло» торговому бизнесу фирмы, и фирма должна предпринять
соответствующие контрмеры.
8.2. Основные понятия теории матричных игр
В общем случае под матричной игрой понимается следующие правила
взаимоотношений двух игроков на основе платежной матрицы
a11 ... a1 j ... a1n
A
ai 1
a m1
...
...
aij
amj
...
...
ain .
a mn
1. Каждому ходу 1-го игрока ставится в соответствие строка платежной
матрицы. В данном случае у 1-го игрока m ходов.
2. Каждому ходу 2-го игрока ставится в соответствие столбец платежной
матрицы. В данном случае у 2-го игрока n ходов.
3. Каждый игрок выбирает свой ход, не зная, какой ход выберет его
противник. После того, как выбор ходов игроками сделан и зафиксирован,
завершается текущая партия игры.
4. Если первым игроком был выбран i-й ход, а вторым игроком – j-й ход,
то после завершения партии игры по элементу матрицы aij, стоящему в i-й
строке и j-м столбце, устанавливается размер выигрыша 1-го игрока
(проигрыша 2-го) или платеж, идущий от 2-го игрока 1-му игроку.
5. Если элемент матрицы aij отрицателен, то это интерпретируется как
платеж 1-го игрока 2-му.
Предположим, что для данной матричной игры проводится достаточно
большое количество партий. Если игрок не меняет выбор хода от партии к
партии, то он использует чистую стратегию поведения в игре. Если игроки
меняют свои ходы от партии к партии, используя известный только им
случайный механизм выбора ходов, то они применяют смешанную стратегию
поведения в игре. Дадим математическое описание смешанных и чистых
стратегий.
Под смешанной стратегией поведения 1-го игрока понимается набор
вероятностей или частостей применения им своих ходов
P p1 , ..., pi , ..., pm ) ;
0
pi
1 ; i 1,m ;
m
i 1
pi
1.
Под чистой стратегией поведения игрока понимается частный случай
смешанной стратегии, когда ходу, который постоянно выбирается игроком,
ставится в соответствие вероятность 1, а другим ходам – вероятность 0.
Количество чистых стратегий совпадает с количеством ходов этого игрока.
В случае платежной матрицы (8.1) смешанная стратегия 1-го игрока
(фирмы) может быть представлена, например, вектором P
(
1 3
; ) . Первая
4 4
компонента вектора показывает, что в среднем для одного из любых четырех
дней игры, фирма будет выбирать первый ход, рассчитывая на дождь. Вторая
компонента показывает, что для остальных трех дней фирма будет выбирать
второй ход, рассчитывая на солнце. Для того чтобы последовательно выдержать
такую стратегию поведения в игре, фирме нужно сконструировать механизм
рандомизированного выбора очередного хода, основанный на принципе урны с
шарами и представленный на рис. 8.1. Номер наугад извлеченного из урны шара
укажет на номер хода, который нужно сделать фирме в предстоящей партии.
Затем шар возвращается в урну, все шары тщательно перемешиваются перед
последующей партией и очередным извлечением шара и т. д. Понятно, что при
таком поведении фирмы первый ход будет выбираться с вероятностью 0,25, а
второй ход с вероятностью 0,75, как и предписывает вектор P .
2
1
2
P
2
Рис. 8.1. Механизм выбора своего хода фирмой при ее стратегии
( 0.25; 0 ,75 )
Под смешанной стратегией поведения 2-го игрока понимается набор
вероятностей или частостей применения им своих ходов
Q q1 , ... q J , ... q n ;
0 q J 1 ; j 1, n ;
n
qj
1.
j 1
Для платежной матрицы (8.1) решаемой задачи смешанную
стратегию 2-го игрока (природы) может характеризовать, например,
3 2
вектор Q ( ; ) , который показывает, что в данной местности для
5 5
трех дней из пяти имеет место дождливая погода, а для остальных двух
дней из пяти – солнечная погода, другими словами, на каждые три
дождливых дня приходится два солнечных дня. Такую стратегию
поведения может отразить предполагаемый механизм рандомизированного
выбора очередного хода природой, основанный на принципе урны с
шарами и представленный на рис. 8.2. Номер наугад извлеченного из урны
шара укажет на номер хода, который предположительно сделает природа в
предстоящей партии. Затем шар возвращается в урну, все шары тщательно
перемешиваются перед последующей партией и очередным извлечением
шара и т. д. Понятно, что при таком поведении природы первый ход будет
выбираться с вероятностью 0,6, а второй ход – с вероятностью 0,4, как и
предписывают компоненты вектора Q .
1
2
1
1
2
Рис. 8.2. Механизм выбора своего хода природой при ее стратегии
Q ( 0 ,6 ; 0 ,4 )
Если игроки применяют смешанные стратегии P и Q с заданными
вероятностями, то платеж от 2-го игрока 1-му или выигрыш 1-го является
случайной дискретной величиной, для которой можно получить закон
распределения, представленный следующей таблицей.
Выигрыш 1-го игрока
a11
...
aij
...
amn
Вероятность
p1q1
...
piqj
...
pmqn
Легко показать, что сумма вероятностей всех возможных выигрышей равна
единице, т. е.
p1q1 + ... + piqi + ... + pmqn = (p1 + ... + pm)·(q1 + ... + qn) = 1.
На основе закона распределения вычислим математическое ожидание
выигрыша 1-го игрока (проигрыша 2-го игрока) при стратегиях P и Q по
формуле
m n
M P ,Q
i 1j 1
aij pi q j .
(8.2)
Выигрыш 1-го игрока, приходящийся в среднем на одну партию, может
быть рассчитан как сумма всех выигрышей и проигрышей 1-го игрока за все
сыгранные по стратегиям P и Q партии, поделенная на количество
проведенных партий. При достаточно большом количестве партий выигрыш
первого игрока в среднем на партию будет приближаться к величине
математического ожидания, определяемого по формуле (8.2).
Если в случае платежной матрицы (8.1) фирма будет применять
смешанную стратегию P (0,25; 0,75), а природа будет следовать смешанной
стратегии Q (0,6; 0,4), то закон распределения выигрышей фирмы будет
иметь следующий вид.
Выигрыш 1-го игрока
Вероятность
8 080
0,15
–6 740
0,1
–6 740
0,45
9 640
0,3
Тогда математическое ожидание выигрыша 1-го игрока, вычисленное по
формуле (8.2), будет равно
M ( P,Q ) 8 080 0 ,15 ( 6 740 ) 0 ,1 ( 6 740 ) 0 ,45 9 640 0 ,3 397.
Вместо формулы (8.2) для расчета математического ожидания удобней
применять формулу, основанную на матричном произведении,
M P , Q P AQ .
(8.3)
Матричное произведение P AQ при матрице A размерности m n
выполнимо только тогда, когда стратегия P будет представлена матрицей
размерности 1 m , а стратегия Q представлена матрицей размерности n 1 .
Рассчитаем математическое ожидание выигрыша по формуле (8.3) для той
же ситуации
M P, Q
0 ,25; 0 ,75
8 080
6 740
6 740 0 ,6
9 640 0 ,4
0 ,25 8 080 0 ,75 6 740; 0 ,25 6 740 0 ,75 9 640
3 035; 5 545
0 ,6
0 ,4
3 035 0 ,6
5 545 0 ,4
0 ,6
0 ,4
397 .
Решить матричную игру с платежной матрицей А – это значит
рекомендовать игрокам такую смешанную стратегию P для первого игрока
и такую смешанную стратегию P для второго игрока, при которых
выполняется следующее двустороннее неравенство для математических
ожиданий
P A Q*
P* A Q*
P* A Q .
(8.4)
Левая часть неравенства (8.4) говорит о том, что математическое ожидание
выигрыша 1-го игрока, рассчитанное при рекомендуемых стратегиях P и Q ,
только уменьшится, если 1-й игрок изберет стратегию P , отличную от P .
Правая часть неравенства (8.4) говорит о том, что второй игрок только
увеличит математическое ожидание выигрыша 1-го игрока, а, значит, увеличит
свой средний проигрыш, если он изберет стратегию Q , отличную от Q .
Рекомендуемые стратегии P и Q
оптимальными смешанными стратегиями.
будем в дальнейшем называть
Величина V P* A Q* называется ценой матричной игры. Она выражает
гарантированный в среднем максимум выигрыша 1-го игрока и, одновременно,
гарантированный в среднем минимум проигрыша 2-го игрока.
При вычислении цены матричной игры возможны следующие случаи:
а) V > 0. В этом случае говорят, что игра смещена в пользу 1-го игрока, т.
е., играя по стратегии P достаточно большое количество партий, он будет
получать от 2-го игрока в среднем за партию V единиц выигрыша (2-й игрок
будет разоряться);
б) V < 0. В этом случае говорят, что игра смещена в пользу 2-го игрока, т.
е., играя по стратегии Q достаточно большое количество партий, он будет
получать от 1-го игрока в среднем за партию V единиц выигрыша (1-й игрок
будет разоряться);
в) V = 0. В этом случае игра не является смещенной в чью-либо пользу и
называется справедливой игрой.
Для того чтобы решить матричную игру в смешанных стратегиях, нужно
рассчитать P , Q и V по данной платежной матрице A. Частным случаем
решения матричной игры является случай, когда вычисленные оптимальные
смешанные стратегии игроков оказываются по существу чистыми стратегиями
этих игроков. Существует простой критерий определения разрешимости
матричной игры в чистых стратегиях. Для этого используются понятия нижней
цены матричной игры Vd и верхней цены матричной игры Vu .
Нижняя цена матричной игры определяется максимальным элементом,
выбранным из минимумов, найденных в строках платежной матрицы, по
формуле
Vd
max min aij .
i
j
Верхняя цена матричной игры определяется минимальным элементом,
выбранным из максимумов, найденных в столбцах платежной матрицы, по
формуле
Vu
min max aij .
j
i
Известно, что всегда выполняется следующее двойное неравенство:
Vd
V
Vu .
Отсюда для разрешимости матричной игры в чистых стратегиях
необходимо и достаточно выполнения следующего соотношения:
Vd
V
Vu
ai0 j0 .
Тогда оптимальной чистой стратегией первого игрока будет постоянный
выбор хода, соответствующего строке под номером i0 , а оптимальной чистой
стратегией второго игрока будет постоянный выбор хода, соответствующего
столбцу под номером j0 .
Для примера исследуем разрешимость в чистых стратегиях игры с
матрицей (8.1), полученной в ходе решения нашей задачи. Очевидно, что в
этом случае
Vd max min aij
6 740 ;
i
Vu
j
min max aij
j
8 080.
i
Так как нижняя и верхняя цены матричной игры не совпадают, то в чистых
стратегиях она неразрешима, поэтому следует искать решение в смешанных
стратегиях.
Пусть имеется матричная игра с произвольной платежной матрицей A .
Эту игру можно искусственно сместить в пользу 1-го игрока, добавив к
каждому платежу достаточно большое число М таким образом, чтобы
получилась матрица A , состоящая из строго положительных элементов.
Полученная таким образом игра с матрицей A считается стратегически
эквивалентной игре с матрицей A . Доказано, что как для той, так и для другой
игры оптимальными стратегиями игроков будут одни и те же P и Q , а цена
матричной игры А, обозначенная V, будет рассчитываться по формуле
V V M.
Доказательство последнего утверждения называется леммой о
стратегической эквивалентности матричных игр. Зная решение игры A , можно
всегда найти решение игры A , при этом V V M .
Теорема фон Неймана. Всякая матричная игра обязательно имеет решение
в смешанных стратегиях, т. е. всегда можно найти P , Q и V.
Пусть имеется игра со строго положительной матрицей выигрышей:
a11 ... a1 j
ai1 ... aij
am1 ... amj
A
... a1n
... ain ; aij
... amn
0; i
1, m ; j
1, n.
Очевидно, что для матрицы со строго положительными элементами цена
игры V > 0.
Составим, прежде всего, оптимизационную модель, отражающую
интересы второго игрока в матричной игре. Второй игрок стремится подобрать
такую стратегию выбора ходов
Q q1 , ..., q J , ..., q n ;
0
qJ
1; j
qj
1,
1, n ;
n
j 1
при которой минимизируется средний выигрыш 1-го игрока при любом его
ходе, т. е. при V → min должны выполняться следующие требования:
a11q1 ... a1 j q j ... a1n qn V ;
ai1q1 ... aij q j ... ain qn V ;
am1q1 ... amj q j ... amn qn V .
При делении всех приведенных неравенств на величину V > 0
направление неравенств не изменится, поэтому получим следующие
выражения:
qJ
0
; j 1, n ;
V
qj
q
q1
1 ;
n
V
V
V
V
q
q
a11 q1
a1 j j
a1n n
1;
V
V
V
q
q
ai 1 q1
aij j
ain n
1;
V
V
V
am1 q1
amj
V
qj
V
amn
Сделав замену переменных
1
V
величина
qJ
qn
V
V
1.
x j и учитывая, что при V → min
max , получим нижеследующую задачу линейного
z
программирования, отражающую интересы второго игрока.
x1 , ..., x J , ..., x n ;
Найти x
a11 x1 ... a1 j x j ... a1n xn 1 ;
ai1 x1 ... aij x j ... ain xn 1 ;
am1 x1 ... amj x j ... amn xn 1;
0; j
xj
z
(8.5)
1, n ;
x1 ... xJ
... xn
1
V
max .
Составим теперь оптимизационную модель, отражающую интересы
первого игрока в матричной игре. Первый игрок стремится подобрать такую
стратегию выбора ходов
P p1 , ..., pi , ..., pm ) ;
0
pi
1; i
1,m ;
m
i 1
pi
1,
при которой максимизируется средний выигрыш первого игрока при
любом ходе второго игрока, т. е. при стремлении V → max должны выполняться
следующие требования:
a11 p1 ... ai1 pi ... am1 pm V ;
a1 j p1 ... aij pi ... amj qm V ;
a1n p1
...
ain qi
...
amn pm
V.
При делении всех приведенных неравенств на величину V > 0 направление
неравенств не изменится, поэтому получим следующие выражения:
pi
0
; i 1, m ;
V
p
p
p1
1 ;
i
m
V
V
V
V
p
p
a11 p1
ai1 i
a m1 m
1;
V
V
V
p
p
a1 j p1
aij i
amj m
1;
V
V
V
p
p
a1n p1
ain i
amn m
1.
V
V
V
Сделав замену переменных
→ max величина 1
V
w
pi
V
ui при i
1, m и, учитывая, что при V
min , получим нижеследующую задачу линейного
программирования, отражающую интересы первого игрока.
Найти u u1 , ..., ui , ..., u m ;
a11u ai1ui am1um 1 ;
a1 j u1 aij ui amj um 1 ;
(8.6)
a1nu1 ain ui amn um 1 ;
ui 0 ; i 1, m ;
w u1 ... ui ... um 1
min .
V
Нетрудно видеть, что задачи (8.5) и (8.6) являются изучаемой в разделе 2
парой взаимодвойственных задач линейного программирования. Причем, для
задачи (8.6), при строго положительных коэффициентах ограничений,
очевидно, всегда найдутся достаточно большие числовые значения
переменных u1 , ..., ui , ..., u m , при которых все неравенства задачи
выполнятся. Кроме того, целевая функция этой задачи ограничена снизу
нулем. Это означает, что у задачи (8.6) всегда существует оптимальное
решение. Отсюда, из основной теоремы двойственности следует, что и задача
(8.5) всегда имеет оптимальное решение. Для окончательного доказательства
теоремы фон Неймана покажем, как из решений задач (8.5) и (8.6) получить
значения P , Q и V.
*
Пусть решением задачи (8.5) будет x
задачи (8.6)
соотношение
zmax
wmin
будет
u
*
u1* , ..., ui* , ..., u m*
x1* , ..., x J * , ..., x n* , а решением
,
при
этом
выполняется
1 .
V
Из последнего выражения следует, что цена игры с матрицей A может
быть вычислена по формуле
V
1
z max
1
wmin
.
(8.7)
Теперь из используемых для перехода к задачам ЛП формул замены
переменных следует
Q
q1* , ..., q J * , ..., q n*
P
p1* , ..., pi* , ..., p m*
x1*V , ..., xJ *V , ..., x n* V ;
(8.8)
u1*V , ..., ui*V , ..., u m* V .
Если матрица A была получена из матрицы A добавлением к ее элементам
достаточно большого числа M, то цену игры первоначальной матрицы A
найдем по формуле
V V M.
8.3. Оптимальные оптовые закупки товаров как результат решения
матричной игры
Решим «игру с природой», представленную матрицей (8.1), сведя ее к
паре соответствующих взаимодвойственных задач. Нетрудно показать, что для
получения матрицы A с ценой игры V" > 0, достаточно к элементам матрицы
(8.1) добавить величину M = 6 740
A
14 820
0
.
0
16 380
Составим пару взаимно двойственных задач ЛП, решение которых
приведет к решению игры с матрицей A .
x1 , x 2 ;
1. Найти x
14 820 x1 0 x2 1 ;
0 x1 16 380 x2 1 ;
x1 0 ; x2 0 ;
z
x1
x2
max .
2. Найти u u1 , u 2 ;
14 820 u1 0 u2 1 ;
0 u1 16 380 u2 1 ;
u1 0 ; u2 0 ;
w u1 u2
min .
Графически легко установить оптимальные решения этих задач:
x*
1
u*
1
zmax
wmin
14 820
14 820
; 1
16 380 ;
; 1
;
1
16 380
14 820
1
31 200
14 820 16 380
16 380
1 .
V
Отсюда по формуле (8.7) получим
V
14 820 16 380
7 780,5.
31 200
Затем по формулам (8.8) вычислим
Q
q1* , q 2*
x1*V , x 2* V
P
p1* , p 2*
u1*V , u 2* V
16 380 14 820
,
31 200 31 200
16380 14820
,
31200 31200
0 ,525; 0 ,475 ) ;
0 ,525; 0 ,475 ) .
Видно, что для нашей задачи оптимальная смешанная стратегия фирмы Р
и оптимальная смешанная стратегия природы Q совпадают.
Найдем цену игры с матрицей (8.1), которая будет выражать
гарантированную в среднем прибыль фирмы, если она будет делать оптовую
закупку товаров, следуя стратегии P . Эту цену игры определим по формуле
для стратегически эквивалентных игр
V V M 7 780,5 6 740 1 040,5 .
Это означает, что максимальная гарантированная, в среднем, прибыль
фирмы при использовании стратегии P составит 1 040,5 руб. Однако применить
стратегию P на практике, используя специально созданный механизм
случайного выбора, как об этом говорилось выше, будет технически
затруднительно.
Альтернативным способом достижения тех же результатов без создания
такого механизма будет расчет средневзвешенного вектора S * ( s1* , s*2 ) между
вектором оптовых закупок на дождь (т. е. при дождливой погоде) и вектором
оптовых закупок на солнце (т. е. при солнечной погоде), где в качестве весов
используются вероятности оптимальной стратегии Р . Предлагается
следующая формула расчета оптимального в условиях неопределенности
средневзвешенного вектора оптовых закупок
s*1
s*2
p*1
n1
n2
p*2
k1
k2
0 ,525 896
2 464
0 ,475
2 716
1 164
1760,5
1 846 ,5
1760
.
1 846
Отсюда следует, что товар A рекомендуется приобретать в объеме 1 760
единиц, а товар B – в объеме 1 846 единиц. Легко показать, что стоимость
приобретенных по оптовым ценам в таких количествах товаров A и B не
превышает суммы S = 43 456
10 1760 14 1 846
43 444 43 456.
Рассмотрим, какие прибыли будет получать совершившая рекомендуемую
оптовую закупку фирма при разных состояниях природы последующего
торгового дня. Пусть b1 – ожидаемая прибыль фирмы при дожде, а b2 –
ожидаемая прибыль фирмы при солнце. Как обсуждалось раньше, адекватным
дождю решением фирмы является закупка товара A в количестве 896 единиц
вместо рекомендуемых 1 760 единиц, т. е. нереализованными ожидаются 1 760 –
896 = 864 единицы товара A. Расчеты прибыли пройдут следующим образом:
b1
r1n1 r2 s*2 t1 ( s1* n1 ) S L
13 896 17 1846 4 864 43 456 2 000 1030.
С другой стороны, в ожидании солнечного дня товара B следовало бы
закупить 1 164 единицы вместо 1 846 единиц, т. е. нереализованными
ожидаются 1 846 – 1 164 = 682 единицы товара B. Расчеты прибыли пойдут
следующим образом:
b2
r1 s1* r2 k 2 t 2 ( s*2 k 2 ) S L
13 1760 17 1164 5,6 682 43 456 2 000 1031,2 .
Очевидно, что размеры прибылей b1 и b2 близки к цене матричной игры V
= 1 040,5 и не совпадают с ней только потому, что было проведено округление
по недостатку оптимального в условиях неопределенности вектора оптовых
закупок S *
формуле
R
( s1* , s*2 ) . Оценим значение ожидаемого процента прибыли R по
min( b1 ,b2 )
100 %
L
1 030
100 %
2 000
51,5 %.
Полученный процент прибыли вполне может устроить торговую фирму,
и она может продолжать свой рискованный бизнес в регионе, хорошо
изученном с помощью указанной выше статистики. Однако при решении
других вариантов этой задачи могут возникнуть ситуации, когда процент
прибыли R очень мал для предпринимателя или даже является отрицательной
величиной. Это является аналитическим обоснованием для прекращения
торговли этими товарами в данном регионе.
Итогами решения этой задачи являются: платежная матрица игры,
оптимальные смешанные стратегии фирмы и природы, цена матричной игры,
оптимальный вектор оптовых закупок, ожидаемые прибыли при дожде и при
солнце, ожидаемое значение процента прибыли.
8.4. Контрольные задания к разделу 8
Торговая фирма решает вопрос об объемах оптовой закупки
скоропортящихся продовольственных товаров двух наименований на каждый
предстоящий день.
По статистике сделанных в предыдущем месяце ежедневных продаж при
холодной дождливой погоде на каждые a1 единиц товара A в среднем
реализуется b1 единиц товара B, а при солнечной жаркой погоде товары
реализуются в усредненной пропорции a2 единиц товара A к b2 единицам товара
B. Минимальная сумма оптовой закупки товаров, при которой полностью
удовлетворяется спрос на них в холодную или солнечную погоду с учетом
приведенной статистики, составляет S руб.
Оптовая цена товара A – c1 руб., оптовая цена товара B – d1 руб.,
соответственно, розничная цена на товар A – a2 руб., а на товар B – d2 руб.
Ежедневные издержки на розничную реализацию продукции составляют E руб.
Остающийся в конце дня нереализованный товар фирма сдает в пищевую
переработку по ценам на f % меньше оптовой.
Администрации фирмы нужно установить, в каких объемах следует
сделать оптовые закупки этих товаров, чтобы максимизировать прибыль фирмы
в условиях полной неопределенности предстоящей погоды.
Варианты исходных данных задачи:
Номер варианта
Заданная величина
S
а1
b1
a2
b2
c1
d1
c2
d2
E
f
№1
№2
№3
№4
43 456
4
11
7
3
10
14
13
17
2 000
0,6
11 520
4
10
8
4
8
4
10
6
1 000
0,9
3 770
5
2
3
8
3
7
4
8
1 000
0,7
456
8
11
2
1
2
2
4
4
396,8
0,6
Ответы по вариантам
Номер варианта
Заданная величина
a11
а12
a21
a22
p1
p2
R1
R2
Цена
Норма
№1
№2
№3
№4
8 080
–6 740
–6 740
9 640
0,525
0,475
1 760
1 846
1 040,5
0,515
3 480
–2 254,4
–2 254,4
2 456
0,45
0,55
921
1 038
331,702
0,331 702
–90
–1 565,5
–1 565,5
–362
0,45
0,55
388
372
–902,7
–0,902 704
59,2
–120
–120
59,2
0,5
0,5
124
104
–30,4
–0,076 613
9. МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ
УПРАВЛЯЮЩИХ РЕШЕНИЙ
9.1. Примеры задач целочисленного и частично целочисленного
линейного программирования
В большинстве экономико-математических моделей, сформулированных
как задачи линейного программирования, часть или все компоненты векторарешения должны выражаться в целых числах, т. е. быть целочисленными. К ним
относятся, например, задачи, в которых переменные означают количество
единиц неделимой продукции, число станков при закупке оборудования,
количество домов при очередности строительства и т. д.
С другой стороны, это могут быть задачи, в которых при моделировании
используются логические (булевы) переменные со значениями 1 и 0, что
означает, например, взимать или не взимать арендную плату, создавать или не
создавать дополнительный пункт производства и т. д. Покажем особенности
фактора целочисленности на ряде последующих примеров, которые в учебных
целях генерируются на компьютере в виде индивидуальных заданий.
Оптимальные решения по этим примерам, в принципе, не могут быть получены
каким-либо округлением решений соответствующих задач линейного
программирования.
Пример 1. Задача определения оптимальной стратегии закупки станков
Предположим, что администрация фирмы желает увеличить производство
своих изделий за счет привлечения
дополнительной производственной
2
площади в размере 24 м , а также покупки современных станков-автоматов по
производству аналогичной продукции на сумму 85 млн. руб. После изучения
соответствующих рекламных проспектов подходящими для покупки признаны:
автомат фирмы А, занимающий площадь 1 м2, имеющий цену 3 млн.
руб. и обладающий производительностью 7 изделий в час;
автомат фирмы В, занимающий площадь 2 м 2, имеющий цену 8 млн.
руб. и дающий производительность 18 изделий в час.
В каких количествах нужно приобрести автоматы названных фирм, чтобы
созданная дополнительно мощность имела наибольшую производительность?
Для ответа на этот вопрос нужно составить экономико-математическую
модель расчета оптимальной стратегии закупки станков.
Пусть x1 – количество станков фирмы А, x2 – количество станков
фирмы В.
Тогда под стратегией закупки будем понимать вектор x = (x1, x2),
удовлетворяющий следующим ограничениям:
по площади –
x1 + 2x2 24;
(9.1)
по финансам –
3x1 + 8x2 85;
(9.2)
по неотрицательности –
x1 0, x2 0;
(9.3)
по целочисленности –
x1, x2 (целые числа).
(9.4)
Целевая функция модели выражает суммарную производительность всех
закупленных станков
Z = 7 x 1 + 1 8 x2 max.
(9.5)
Пример 2. Задача расчета оптимальной годовой стратегии строительства
Строительная компания, учитывая спрос населения на однокомнатные
квартиры на уровне 880 квартир в год и на двухкомнатные квартиры на уровне
130 квартир в год, стремится минимизировать капитальные вложения на
возведение зданий по двум возможным проектам: А и Б.
Сметная стоимость жилого дома, построенного по проекту А, составляет
15 млн. руб., а построенного по проекту Б – 22 млн. руб. Проект А
предусматривает в одном здании 50 однокомнатных квартир и 10
двухкомнатных квартир, а по проекту Б одно здание должно содержать 80
однокомнатных квартир и 10 двухкомнатных квартир.
Требуется ответить на вопросы: сколько домов нужно строить по проектам
A и Б, и какой понадобится минимум капитальных вложений на предстоящий
год?
Для получения ответов составим экономико-математическую модель
расчета стратегии строительства, минимизирующей суммарные капитальные
вложения при удовлетворении сложившейся структуры ежегодного спроса
населения на квартиры.
Пусть x1 – количество домов, построенных по проекту А, x2 – количество
домов, построенных по проекту Б.
Под стратегией строительства понимается вектор x = (x1, x2), который
удовлетворяет следующим ограничениям:
по спросу на однокомнатные квартиры –
50x1 + 80x2 880;
(9.6)
по спросу на двухкомнатные квартиры –
10x1 + 10x2 130;
(9.7)
по неотрицательности переменных –
x1 0, x2 0;
(9.8)
по целочисленности переменных –
x1, x2 (целые числа).
(9.9)
Целевая функция модели выражает суммарные капитальные вложения на
строительство жилых домов (млн. руб.)
Z = 15x1 + 22x2 min.
(9.10)
Составленные экономико-математические модели (9.1)–(9.5) и (9.6)–(9.10)
объединяет та особенность, что они включают в себя требования
целочисленности ко всем искомым переменным (9.4) и, соответственно, (9.9).
Иными словами, они относятся к классу задач полностью целочисленного
линейного программирования (задача ЦЛП). В свою очередь, эти задачи
являются частным случаем задачи частично целочисленного линейного
программирования (задача ЧЦЛП).
Для знакомства с задачей ЧЦЛП рассмотрим проблему поиска
оптимальной стратегии перевозок при учете платы за аренду транспортных
средств.
Пример 3. Задача определения оптимальной стратегии перевозок
Допустим, что имеются множество географически произвольно
расположенных филиалов некоторой производственной фирмы с одной
стороны, и сеть потребителей продукции этой фирмы – с другой. Известны
мощности производств филиалов и интенсивности спроса на продукцию
потребителей в планируемом временном периоде. Для доставки продукции от
филиалов потребителям фирма арендует грузовой транспорт. Требуется
ответить на вопросы: от какого филиала, какому потребителю и в каком
объеме нужно доставлять продукцию, чтобы обеспечить спрос потребителей с
минимумом суммарных затрат фирмы на доставку продукции и на аренду
транспортных средств?
Для этого составим экономико-математическую модель, используя
следующие обозначения:
i – текущий номер филиала;
Ai – имя филиала под номером i;
m – количество филиалов, i 1, m ;
j – текущий номер потребителя;
Bj – имя потребителя под номером j;
n – количество потребителей, j 1, n ;
ai – мощность производства поставщика под именем Ai;
bj – спрос потребителя под именем Bj;
cij – необходимые затраты на доставку единицы продукции из Ai в Bj;
dij – плата за аренду (лизинг) транспортных средств при доставке
продукции из Ai в Bj;
xij – планируемое количество единиц продукции для доставки из Ai в Bj;
cij (xij) – итоговые затраты на доставку продукции из Ai в Bj, которые
рассчитываются по формуле
0, при xij
cij xij
cij
0;
d ij , при xij
0.
Под искомым планом перевозок понимается матрица
X
х11 ... х1n
.
.
. .
.
.
.
xm1 ... xmn
Эта матрица должна удовлетворять следующим ограничениям модели:
1) x11 + ... +x1j + ... + x1n = a1;
...............................
xi1 + ... + xij + ... + xin = ai;
(9.11)
...............................
xm1 + ... + xmj + ... + xmn = am;
2) x11 + ... + xi1 + ... + xm1 = b1
...............................
x1j + ... + xij + ... + xmj = bj
(9.12)
...............................
x1n + ... + xin + ... + xmn = bn;
3) xij 0; i 1, m ; j 1, n .
(9.13)
Целевая функция модели выражает стремление
транспортные затраты, включающие плату за аренду,
Z = c11(x11) + … + cij(xij) + … + cmn(xmn)
m
n
минимизировать
cij ( xij ) → min.
(9.14)
i 1 j 1
Очевидно, что если все dij = 0, то данная задача превращается в обычную
транспортную задачу. В противном случае, эта задача вообще выпадает из рамок
линейного программирования, так как функция (9.14), в отличие от классической
транспортной задачи, не является линейной. Однако путем введения
дополнительных целочисленных переменных эту задачу можно свести к задаче
частично целочисленного линейного программирования.
Для этого введем булевы переменные yij, которые могут принимать два
значения 0 или 1, иначе yij 0 ,1 . Пусть значение yij = 0 означает, что данная
коммуникация в текущем плане не используется, и затраты на доставку
продукции по этой коммуникации, включая плату за аренду, равны нулю.
Значение yij = 1 показывает, что затраты на доставку груза от i-го филиала j-му
потребителю включают арендную плату dij, так как коммуникация используется
для транспортировки. Иными словами, составляемая модель должна отразить
следующую зависимость:
yij
0, при xij
0;
1, при xij
0.
Для этого введем следующие обозначения:
M
max ai , b j ; i
1, m ; j
1, n .
Тогда эквивалентной постановкой
нижеприведенная задача ЧЦЛП.
Найти
xij ; i
1, m;
j
1, n
1, m;
j
1, n ,
к
задаче
(9.11)–(9.14)
и
yij ; i
при выполнении ограничений (9.11)–(9.13), и, кроме того,
xij Myij 0; i 1, m; j 1, n .
(9.15)
При этом должны выполняться условия целочисленности для yij,
yiy 0 ,1 ; i 1, m; j 1, n .
(9.16)
будет
Целевая функция должна выражать суммарные затраты
транспортировку с учетом платы за аренду транспортных средств
на
m n
Z
i 1j 1
cij xij
dij yij
min .
(9.17)
Все три рассмотренные постановки задач являются частными случаями
следующей общей постановки задачи частично целочисленного линейного
программирования.
Найти x x1 , ..., x j , ..., xn ;
n
j 1
aij x j
bi
i
1, ...,m ;
xj – целые числа; (j = 1, …, k); k
xj ≥ 0;
(j = 1, …, n);
n;
n
Z
j 1
cjxj
extr .
9.2. Расчет целочисленной закупки станков методом ветвей и границ
Для
решения
рассмотренного
класса
задач
математического
программирования, как правило, используется универсальный метод решения
под названием «метод ветвей и границ». Продемонстрируем основные идеи
этого метода на примере решения задачи ЦЛП (9.1)–(9.5).
При решении задач ЧЦЛП методом ветвей и границ на определенных
этапах решаются вспомогательные задачи ЛП, для которых применяется
симплекс-метод. Пользуясь тем, что количество искомых переменных равняется
двум, для упрощения решения вспомогательных задач ЛП вместо симплексметода применим геометрическую интерпретацию.
Содержательное описание шагов алгоритма
1. Решение вспомогательной задачи ЛП № 1 для задачи (9.1)–(9.5).
Вспомогательная задача № 1 получается из данной задачи ЦЛП путѐм
игнорирования требования целочисленности.
Последующие вспомогательные задачи нижнего уровня получаются
нижеописанным разбиением вспомогательных задач верхнего уровня и тоже не
включают требования целочисленности. Предположим, что решение текущей
вспомогательной задачи, тем не менее, оказывается целочисленным со
значением максимума целевой функции, превышающим максимумы ранее
найденных целочисленных решений прежних вспомогательных задач. Будем
считать такое решение текущим целочисленным рекордом для задачи (9.1)–
(9.5) на данном этапе расчетов, а соответствующее значение целевой
функции – рекордным значением. Если целочисленность искомых
переменных получится уже при решении вспомогательной задачи № 1, то
такой рекорд объявляется решением исходной задачи (9.1)–(9.5), и алгоритм
метода «ветвей и границ» заканчивает свою работу.
Если в оптимальном решении вспомогательной задачи оказались дробные
значения переменных, то полученное при этом максимальное значение целевой
функции рассматривается как верхняя граница для значения целевой функции
искомого оптимального целочисленного решения исходной задачи (9.1)–(9.5).
Решим графически вспомогательную задачу № 1 для задачи (9.1)–(9.5).
На рис. 9.1 область допустимых решений (ОДР) задачи № 1 изображена
заштрихованным четырехугольником. При заданном направлении градиента
целевой функции максимум достигается в точке A.
Х2
А
6.5
11
24
28.3
(1)
Х1
(2)
Рис. 9.1. Решение задачи № 1
Определим координаты точки A, решив соответствующую систему
x1 2 x2 24
3 x1 8 x2 85
x1 11 .
x2 6 ,5
При этом
Zmax = 7 · 11 + 18 · 6,5 = 194.
2. Очередное ветвление вспомогательной
вспомогательные подзадачи нижнего уровня.
задачи
на
две
Так как вышеполученное решение нецелочисленное, то оно дает верхнюю
границу Z = 194 для максимума целевой функции искомого оптимального
решения исходной задачи.
В этом случае одна из переменных, имеющих дробное значение, в данном
случае x2, берется за основу для разбиения (ветвления) данной
вспомогательной задачи № 1 на вспомогательные подзадачи под номерами
1.1 и 1.2 по нижеприведенной методике.
Так как 6 < x2 = 6,5 < 7, то:
задача № 1.1
задача № 1.2
x1 + 2x2
24;
x1 + 2x2
24;
3x1 + 8x2
85;
3x1 + 8x2
85;
x2 6;
x2 7
x1 0, x2 0;
x1 0, x2 0
Z = 7x1+18x2 → max.
Z = 7x1+18x2 → max.
На рис. 9.2 ОДР задачи № 1.1 получена пересечением ОДР задачи № 1 с
полуплоскостью x2 6 и изображена заштрихованной трапецией. При том же
самом направлении градиента целевой функции максимум достигается в точке
B. Определим координаты этой точки решением соответствующей системы
уравнений
х2 6
х1 2 х2
24
х1
х2
12 .
6
Очевидно, что при решении этой вспомогательной задачи получен первый
целочисленный рекорд: x1 = 12; x2 = 6; Zmax = 192.
Х2
В
6
х2=6
12
Х1
(1)
(2)
Рис. 9.2. Решение задачи № 1.1
Перейдем к решению другой подзадачи для задачи № 1.
На рис. 9.3 ОДР задачи № 1.2 получена пересечением ОДР задачи № 1 с
полуплоскостью x2 7 и изображена заштрихованным треугольником. При том
же самом направлении градиента целевой функции максимум достигается в
точке C. Определим координаты этой точки решением соответствующей
системы уравнений
х1
7
3 х1 8 х2
85
х1
9
х2
7
2
3 ,
при этом Z max
193
2
– уточненная верхняя граница.
3
Х2
С
2
9
3
х2 = 7
(1)
(2)
Х1
Рис. 9.3. Решение задачи № 1.2
Важной особенностью организованного так ветвления задачи № 1 на
подзадачи № 1.1 и № 1.2 является то, что объединение ОДР задачи № 1.1 и ОДР
задачи № 1.2 содержит все допустимые целочисленные решения, которые
принадлежат ОДР задачи № 1. Выдержанное в таком ключе ветвление
вспомогательных задач и в дальнейшем не приведет к потере искомого
оптимального целочисленного решения исходной задачи вплоть до его
окончательного обнаружения.
Из рис. 9.4 видно, что результатом первого ветвления является получение
первого текущего целочисленного решения (рекорда) при решении задачи.
Кроме результата ветвления, представленного на рис. 9.4, возможен случай,
когда решение обеих вспомогательных подзадач не даст целочисленного
решения. Если после очередного ветвления текущий целочисленный рекорд не
получен, то следующее ветвление необходимо делать по подзадаче, дающей
самую верхнюю из верхних оценок значения целевой функции для решения
задачи (9.1)–(9.5), которые имеются на концах ветвей. Так следует поступать,
пока не будет получен первый целочисленный рекорд. В данном случае текущий
целочисленный рекорд получен, и для него уже можно проверять выполнение
критерия оптимальности.
1
Zmax = 194;
x1 = 11;
1.1
х2 ≤ 6
Zmax = 192;
х2 ≥ 7
1.2
х2 = 6,5
2
3
Zmax = 193 ;
x1 = 12;
2
3
x1 = 9 ; х2 = 7
х2 = 6
Рис. 9.4. Дерево решений после первого ветвления
3. Проверка оптимальности текущего целочисленного рекорда после
очередного ветвления.
Проверка осуществляется на основании формулировки критерия
оптимальности текущего целочисленного рекорда по методу ветвей и границ.
Текущий целочисленный рекорд объявляется оптимальным решением
исходной задачи в том и только том случае, если при данном состоянии дерева
решений на концах других ветвей не существует верхних границ,
превосходящих значение рекорда.
В данном случае критерий не выполняется, поскольку на конце другой
ветви существует верхняя граница Z max
2
193 , которая превышает значение
3
рекорда Zmax = 192. Отсюда ветвление следует продолжить по подзадаче № 1.2,
которая дает наибольшую на данный момент верхнюю границу из подзадач,
находящихся на концах ветвей. В качестве основы для ветвления выберем
дробное значение переменной x1
При 9
x1
9
2
3
2
9 .
3
10 получим следующие вспомогательные подзадачи.
Задача № 1.2.1
Задача № 1.2.2
x1 + 2x2 24;
x1 + 2x2
24;
3x1 +8x2 85;
3x1 + 8x2
85;
x2 7;
x2
7;
x1 9;
x1 10;
x1 0, x2 0;
x1 0, x2 0;
Z = 7x1 + 18x2 → max.
Z = 7x1 + 18x2 → max.
Рассмотрим решение составленных задач.
На рис. 9.5 ОДР задачи № 1.2.1 получена пересечением ОДР задачи № 1.2 с
полуплоскостью x1
9 и изображена заштрихованной трапецией. При том же
самом направлении градиента целевой функции максимум достигается в точке
D. Координаты этой точки определяются решением соответствующей системы
уравнений
х1
9
3х1 8 х2
85
х1
9
х2
7.25
,
при этом Z max = 193,5 – уточненная верхняя граница.
Х2
х1 = 9
D
х2 = 7
7
9
Х1
(2)
Рис. 9.5. Решение задачи № 1.2.1
На рис. 9.6 показана попытка получить ОДР задачи № 1.2.2 пересечением
ОДР задачи № 1.2 с полуплоскостью x1 10. Очевидно, что область допустимых
решений задачи № 1.2.2 является пустым множеством. После очередного
ветвления получим состояние дерева решений, изображенное на рис. 9.7. В
табличке, соответствующей вспомогательной подзадаче № 1.2.2, поставлен
значок пустого множества решений. Понятно, что задачи № 1.1 и № 1.2.2
дальнейшему ветвлению ни при каких обстоятельствах не подлежат.
х2
7
х1 = 10
(2)
Рис. 9.6. Решение задачи № 1.2.2
х1
После очередного ветвления снова проверим критерий оптимальности для
текущего целочисленного рекорда при состоянии дерева решений,
изображенного на рис. 9.7.
1
1.2
Z = 194
1.1
x2
6
x1 = 11; x2 = 6.5
Z = 192
x1 = 12; x2 = 6
x2
1.2.1
x1
9
Z = 193,5
7
Z = 193
2
3
2
x1 = 9 ; x2 = 7
3
x1
10
1.2.2
Ø
x1 = 9; x2 = 7,25
Рис. 9.7. Состояние дерева решений после второго ветвления
Видно, что критерий снова не выполняется, поскольку на конце новой
ветви существует уточненная верхняя граница Z max = 193,5, которая превышает
значение рекорда Zmax = 192. Как и прежде, ветвление следует продолжить по
подзадаче, которая имеет на данный момент максимальную верхнюю границу
на концах имеющихся ветвей, т. е. по задаче № 1.2.1. В качестве основы для
ветвления выберем значение переменной x2=7,25.
При 7 < x2 = 7,25 < 8, вводя дополнительные ограничения x2 7 и x2 8,
получим следующие вспомогательные подзадачи.
Задача № 1.2.1.1
Задача № 1.2.1.2
x1 + 2x2 24;
x1 + 2x2
24;
3x1 + 8x2 85;
3x1 + 8x2
85;
x2 7;
x2 7;
x1 9;
x1 9;
x2 7;
x2
8;
x1 0; x2 0;
x1 0; x2 0;
Z = 7x1+18x2 → max.
Z = 7x1+18x2 → max.
Дадим графические решения составленных задач № 1.2.1.1 и 1.2.1.2.
На рис. 9.8 ОДР задачи № 1.2.1.1 получена пересечением ОДР задачи №
1.2.1 с полуплоскостью x2 7 и изображена точками отрезка FE.
X2
x1=9
E
F
x2=7
9
X1
(2)
Рис. 9.8. Решение задачи № 1.2.1.1
При том же самом направлении градиента целевой функции максимум
достигается в точке E. Очевидно, что координатами этой точки будут целые
значения x1 = 9 и x2 = 7. При этом полученное значение Zmax = 189 не изменило
значения текущего целочисленного рекорда Zmax = 192.
На рис. 9.9 ОДР задачи № 1.2.1.2 получена пересечением ОДР задачи №
1.2.1 с полуплоскостью x2 8 и изображена заштрихованным треугольником.
При том же самом направлении градиента целевой функции максимум
достигается в точке H. Определим координаты этой точки решением
соответствующей системы уравнений
х2
3 х1
х1
8
8 х2
х2
85
7,
8
при этом Zmax = 193 показывает, что полученное целочисленное решение
является новым текущим рекордом, отменяющим прежний рекорд Zmax = 192.
Х2
Н
Х2=8
А
(2)
Рис. 9.9. Решение задачи № 1.2.1.2
Х1
Изобразим результаты очередного ветвления на дереве решений,
изображенном на рис. 9.10. Снова применяя критерий оптимальности к
текущему состоянию дерева решений, видим, что на концах всех ветвей дерева
решений не существует ни одной верхней границы, которая превысила бы
значение текущего целочисленного рекорда Z max = 193. Это означает, что
критерий оптимальности выполняется, и текущий рекорд может быть объявлен
оптимальным решением задачи (9.1)–(9.5).
1
1.2
Zmax = 194
1.1
x2
6
x1 = 11; x2 = 6.5
Z = 192
x1 = 12; x2 = 6
x2
1.2.1
x1
7
Z = 193
2
3
2
x1 = 3 ; x2 = 7
3
9
x1
Zmax = 193.5
10
1.2.2
Ø
x1 = 9; x2 = 7.25
1.2.1.1
Z = 189
x2
7
1.2.1.2
x2
x1 = 9; x2 = 7
8
Zmax = 193
x1 = 7; x2 = 8
Рис. 9.10. Состояние дерева решений после третьего ветвления
Ответом для этой задачи будет: Zmax = 193 при x1 =7, x2 = 8.
Интерпретацией полученного ответа в терминах рассмотренной
экономической ситуации будет следующее утверждение.
Максимальная суммарная производительность всех закупленных станков
(193 изделия в час) будет достигнута, если у фирмы А приобрести 7 станков, а у
фирмы В – 8 станков.
Следует еще раз обратить внимание на то, что никаким округлением
решения вспомогательной задачи № 1 (x1= 11, x2 = 6,5) в принципе невозможно
получить найденное оптимальное решение x1 = 7, x2 = 8.
9.3. Контрольные задания к разделу 9
Условие задачи (линейная целочисленная модель)
Администрация фирмы желает увеличить производство своих изделий
за счет привлечения дополнительной производственной площади в объеме S
кв. м, а также покупки у машиностроительных фирм современных станковавтоматов по производству аналогичной продукции на сумму C млн. руб.
После изучения соответствующих рекламных проспектов подходящими
для покупки признаны:
автомат фирмы A, занимающий площадь s1 кв. м, имеющий цену c1
млн. руб. и обладающий производительностью p1 изделий в час;
автомат фирмы B, занимающий площадь s2 кв. м, имеющий цену c2
млн. руб. и дающий производительность p2 изделий в час.
Администрацию интересует вопрос, в каких количествах нужно
приобрести автоматы названных фирм, чтобы созданная дополнительно
мощность имела наибольшую производительность?
Варианты исходных данных задачи
Вариант
№1
№2
№3
№4
№5
S
24
15
24
9
25
С
85
94
83
29
45
s1
1
1
1
2
2
c1
3
5
3
5
3
p1
7
14
25
27
16
s2
2
1
2
1
2
c2
8
8
8
4
4
p2
18
22
65
21
20
Ответы к вариантам исходных данных
Вариант
№1
№2
№3
№4
№5
Zmax (непр.)
194
260,7
682,5
154
230
x1 (непр.)
11
8,7
13
2,3
5
x2 (непр.)
6,5
6,3
5,5
4,3
7,5
Zmax (цел.)
193
260
680
153
228
x1 (цел.)
7
6
9
1
3
x2 (цел.)
8
8
7
6
9
10. КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ УПРАВЛЯЮЩИХ РЕШЕНИЙ ПО
АБСОЛЮТНЫМ И ОТНОСИТЕЛЬНЫМ КРИТЕРИЯМ
10.1. Анализ моделей расчета производственной программы по разным
экономическим критериям
Предположим, что администрации сталелитейной компании необходимо
установить еженедельную программу производства фасонных отливок A и B,
которая дает максимум чистого дохода на рубль всех сделанных затрат. Отливка
А гарантированно реализуется по цене 134,25 руб., а отливка B – по цене 463
руб.
Расход электроэнергии на отливку A составляет 5 кВт·ч, а на отливку B – 3
кВт·ч. Расход угля на отливку A составляет 3 кг, а на отливку B – 6 кг.
Минимальные затраты электроэнергии и угля, при которых не произойдет
остановки литейного производства составляют, соответственно, 1 150 кВт·ч и
900 кг в неделю. Недельный запас компании: 2 300 кВт·ч электроэнергии и 1
800 кг угля. Себестоимости отливок A и B (без учета заработной платы)
составляют, соответственно, 78,25 руб., 400 руб. Сумма оплаты рабочих и
служащих компании вместе с другими накладными расходами составляет 28,7
тыс. руб. в неделю.
Администрация
сталелитейной
компании
желает
исследовать
еженедельную программу выпуска своих изделий А и В по трем критериям:
максимум объема продаж, минимум совокупных затрат, максимум чистого
дохода на рубль всех сделанных затрат.
Для выполнения этого исследования необходимо предпринять
нижеприведенные шаги.
1. Составить модели расчета оптимальной программы производства
отливок по критерию максимума выручки и по критерию минимума затрат и
провести их сравнительный графический анализ.
2. Составить модель расчета оптимальной программы производства
отливок по критерию максимума отношения чистого дохода компании на 1 руб.
всех сделанных ею затрат.
3. Привести полученную задачу дробно-линейного программирования к
эквивалентной задаче линейного программирования и дать ее графический
анализ.
4. Сравнить полученные по разным критериям варианты оптимальных
производственных программ.
Известно, что для всестороннего анализа производственной программы,
улучшающей финансовое состояние фирмы, должны применяться методы
многокритериальной оптимизации. Самым простым из таких методов является
одновременное получение оптимальных уровней двух, как правило,
взаимопротиворечащих абсолютных критериев деятельности фирмы через
естественное объединение их в экстремуме соответствующего относительного
критерия. Например, абсолютными критериями (показателями) деятельности
фирмы можно назвать объем продаж (выручку) за определенный период
времени, а также себестоимость произведенной продукции за тот же временной
период.
В качестве примера связанного с ними относительного критерия
(показателя) можно указать на результат деления чистого дохода фирмы на
совокупные затраты фирмы в том же периоде времени. Этот относительный
критерий
является
естественной
мерой
эффективности
текущего
инвестирования в реальный сектор экономики.
Пусть X1 – программа выпуска изделий А, а Х2 – программа выпуска
изделий В.
Под производственной программой будем понимать вектор искомых
неизвестных X = (X1, Х2).
Эта программа должна удовлетворять следующей системе ограничений.
Ограничение на расход сырья
1 150 ≤ 5X1 + 3Х2 ≤ 2 300;
ограничение на расход оборудования
900 ≤ 3X1 + 6Х2 ≤ 1 800;
условия неотрицательности переменных
X1 ≥ 0; Х2 ≥ 0.
Приведем составленную систему ограничений к стандартному виду
записи:
5X1 + 3X2 ≤ 1 150;
(10.1)
–5X1 – 3X2 ≤ –2 300;
(10.2)
3X1 + 6X2 ≤ 1 800;
(10.3)
–3X1 – 6X2 ≤ –900;
(10.4)
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0.
(10.5)
На рис. 10.1 штриховкой выделена внутренность пятиугольника ABCDE,
представляющего область допустимых решений для системы ограничений
(10.1)–(10.5).
Целевая функция первой модели выражает ожидаемый объем продаж
(недельную выручку) компании и ориентируется на максимум
Z0 = 0,13425X1 + 0,463Х2 → max.
(10.6)
Нулевой уровень целевой функции (10.6) представлен на рис. 10.1
пунктирной линией, а на основе перпендикулярного к ней градиента решается
задача максимизации. Очевидно, что максимум объема продаж достигается в
точке В, координаты которой найдем из решения системы уравнений второй и
третьей прямых
–5X1 – 3X2 = –2 300
3X1 + 6X2 = 1 800.
Отсюда получим X1* = 71,4; X2* = 264;
Z0* = 0,13425 · 71,4 + 0,463 · 264 = 131,954 (тыс. руб.).
Целевая функция второй модели выражает все понесенные компанией
затраты за неделю (себестоимость выпущенной продукции плюс оплата труда
рабочих и служащих), которые минимизируются
Z2 = 0,07825X1 + 0,4Х2 + 28,7 → min.
(10.7)
Уровень целевой функции (10.7), равный 28,7, представлен на рис. 10.1
точечной линией, а на основе перпендикулярного к ней градиента решается
задача минимизации. Очевидно, что минимум совокупных затрат достигается в
точке E, координаты которой найдем из решения системы уравнений четвертой
прямой и оси абсцисс
–3 X1 – 6X2 = –900;
X2 = 0.
Отсюда получим X1* = 300; X2* = 0;
Z2* = 0,07825 · 300 + 0,4 · 0 + 28,7 = 52,175 (тыс. руб.).
Выразим предполагаемые чистые доходы компании за неделю как разность
ожидаемой выручки и ожидаемых совокупных затрат, т. е.
Z1 = Z0 – Z2 = (0,13425X1 + 0,463Х2) – (0,07825X1 + 0,4Х2 + 28,7)= 0,056X1 +
0,063Х2 – 28,7.
Х2
699
599
499
399
MIN
299
MAX
B
199
С
99
A
–200
0
E
400
D
600
Х1
Рис. 10.1. Графический анализ задач на максимум объема продаж и
минимум совокупных затрат компании:
– 1-е ограничение;
– 2-е ограничение;
– 3-е ограничение;
ограничение
– 4-е
10.2. Эквивалентная замена дробно-линейной модели на линейную
модель
Целевая функция третьей модели является нелинейной и рассчитывает
отношение чистого недельного дохода ко всем затратам компании,
приходящимся на эту неделю
Z 1 0.056 X 1 0.063 X 2 28.7
(10.8)
Z
max .
Z 2 0.07825X 1 0.4 X 2 28.7
Экономико-математическая модель с набором ограничений (10.1)–(10.5)
и с критерием выбора оптимальной производственной программы (10.8)
представляет собой задачу дробно-линейного программирования (задачу ДЛП).
Имеется возможность сведения такой задачи к эквивалентной задаче
линейного программирования (задаче ЛП) на основе следующей замены
переменных:
0 ,07825X 1
1
0.4 X 2
28.7
t0
0;
(10.9)
X1 · t0 = t1;
(10.10)
Х2 · t0 = t2.
(10.11)
Умножим все ограничения (10.1)–(10.5) на положительное t0, что сохраняет
направление всех неравенств, и сделаем заявленную замену переменных, при
этом из (10.9) получим дополнительное ограничение
0,07825t1 + 0,4t2 + 28,7t0 = 1.
Эти эквивалентные преобразования проведены для того, чтобы целевая
функция (10.8) в новых переменных приняла вид линейной функции
Z = 0,056t1 + 0,063t2 – 28,7t0 → max.
Полученную эквивалентную задачу ЛП уже с тремя переменными и
дополнительным ограничением представим в стандартной форме записи.
Найти t = (t1, t2, t0 );
5t1 + 3t2 – 1 150t0 ≤ 0;
(10.12)
–5t1 – 3t2 + 2 300 t0 ≤ 0;
(10.13)
3t1 + 6t2 – 1 800t0 ≤ 0;
(10.14)
–3t1 – 6t2 + 900 t0 ≤ 0;
(10.15)
0,07825t1 + 0,4t2 + 28,7t0 = 1;
(10.16)
t1 ≥ 0; t2 ≥ 0; t0 > 0;
(10.17)
Z = 0,056t1 + 0,063t2 – 28,7t0 → max.
(10.18)
Пользуясь дополнительным ограничением-равенством, выразим из него
переменную t0
t0 = –0,0027t1 – 0,0139t2 + 0,0348.
Исключим эту переменную из других ограничений и целевой функции
данной задачи ЛП. После преобразований получим задачу ЛП с двумя
переменными, доступную для графического решения,
–0,0027t1 – 0,0139t2 + 0,0348 ≥ 0;
11,2709t1 + 35,0557t2 – 80,1394 ≤ 0;
–8,1355t1 – 19,0279t2 + 40,0697 ≤ 0;
7,9077t1 + 31,0871t2 – 62,7178 ≤ 0;
–5,4538t1 – 18,5436t2 + 31,3589 ≤ 0;
t1 ≥ 0; t2 ≥ 0;
Z = 0,1343t1 + 0,4630t2 – 1 → max.
В стандартной форме записи эта задача будет иметь следующий вид.
Найти t = (t1, t2);
0,0027t1 + 0,0139t2 ≤ 0,0348;
11,2709t1 + 35,0557t2 ≤ 80,1394;
–8,1355t1 – 19,0279t2 ≤ –40,0697;
7,9077t1 + 31,0871t2 ≤ 62,7178;
–5,4538t1 – 18,5436t2 ≤ –31,3589;
t1 ≥ 0;
t2 ≥ 0;
Z = 0,1343t1 +0,4630t2 –1 → max.
Теперь стало возможным найти графическое решение этой задачи.
10.3. Графическое решение линейного аналога дробно-линейной модели
Построим область допустимых решений для системы ограничений, для
этого найдем точки пересечения с осями координат соответствующих им
прямых.
1. 0,0027t1 + 0,0139t2 = 0,0348.
t1
0
12,89
t2
2,503
0
2. 11,2709t1 + 35,0557t2 = 80,1394.
t1
0
7,11
t2
2,286
0
3. –8,1355t1 – 19,0279t2 = –40,0697.
t1
0
4,925
t2
2,106
0
4. 7,9077t1 + 31,0871t2 = 62,7178.
t1
0
7,931
t2
2,017
0
5. –5,4538t1 – 18,5436t2 = –31,3589.
t1
0
5,75
t2
1,691
0
Проведем через найденные точки прямые, пометив маркерами каждую
прямую линию, связанную с ограничениями (рис. 10.2). Полуплоскости
допустимых решений для неравенств устанавливаем методом пробной точки,
проверяя значения t1 = 0, t2 = 0 на допустимость для каждого неравенства.
t2
3
2
А
1
0
5
10
t1
Рис. 10.2. Графическое решение задачи ЛП, эквивалентной
исходной задаче дробно-линейного программирования:
– 1-е ограничение;
– 3-е ограничение;
– 2-е ограничение;
– 4-е ограничение;
– 5-е ограничение
Пересечение всех выявленных полуплоскостей или ОДР системы
ограничений задачи выделим зигзагообразной штриховкой.
Для нахождения оптимального решения среди точек ОДР выпишем
вектор-градиент функции Z, обозначив его grad Z(t) = (0,1343; 0,463).
Отложим вектор-градиент от начала координат и проведем через начало
координат перпендикулярно к нему пунктиром линию уровня Z = –1.
Двигая эту линию уровня в направлении градиента, устанавливаем, что
максимум уровня Z достигается в точке А, которая является точкой пересечения
второй и четвертой прямых линий.
Для нахождения координат точки пересечения следует решить следующую
систему уравнений:
11,2709t1 + 35,0557t2 = 80,1394
7,9077t1 + 31,0871t2 = 62,7178.
Решив эту систему уравнений, получим t1 = 4, t2 = 1.
Подставив в целевую функцию эти значения c учетом свободного члена,
получим
Zmax = 0,1343 · 4 + 0,463 · 1 – 1 = 0.
Для перехода к исходным переменным X1 и X2 найдем значение
переменной t0,
t0 = –0,0027 · 4 – 0,0139 · 1 + 0,0348 = 0,01.
Используя другую запись ранее введенных формул замены переменных
(10.10) и (10.11), получим
X1
X2
t1
t0
t2
t0
4
400 ;
0.01
1
100 .
0.01
Максимизация по дробно-линейному критерию показывает, что максимум
отношения дохода на рубль затрат, Zmax = 0.00, возможен при программе X* =
(400, 100). Понятно, что компанию не удовлетворит такой ожидаемый результат
ее производственной деятельности по оптимальному плану X1* = 400, X2* = 100,
и она будет срочно предпринимать антикризисные меры.
Надо отметить, что программа, дающая максимум выручки 131 954 руб., и
программа, дающая минимум совокупных затрат 52 175руб., вполне могли
быть оптимистично встречены руководством компании, если бы не
информация, полученная при максимизации отношения дохода к затратам.
Сведем для сравнительного анализа результаты решений по трем разным
критериям в табл. 10.1. В этой таблице утолщенными линиями отмечены
клетки, в которых помещены экстремальные значения соответствующих
критериев (показателей). В соседних с помеченными таким способом клетками
указаны уровни, которые достигают эти показатели на других вариантах
производственной программы.
Таблица 10.1. Показатели недельных производственных программ компании,
рассчитанных по трем разным критериям
Показатели недельной
производственной
программы компании
Объем выпуска продукта
А (ед.)
Объем выпуска продукта
B (ед.)
Уровень объема продаж
(руб.)
Уровень совокупных
затрат (руб.)
Уровень чистого дохода
на 1 руб. затрат (руб.)
71,4
при минимуме
совокупных
затрат
300
при максимуме
чистого дохода на
рубль затрат
400
264
0
100
131 954
40 275
100 000
140 004
52 175
100 000
–0,057
-0,228
0
при максимуме
объема продаж
Из последней строки табл. 10.1 видно, что производственная программа,
дающая максимум объема продаж, приносит вместо дохода убыток около 6 коп.
на 1 руб. совокупных затрат, а производственная программа, гарантирующая
минимум совокупных затрат, приносит убыток примерно 23 коп. на 1 руб. этих
затрат.
Полученные результаты анализа оправдывают сомнение в реальной
полезности для компании производственной программы, оптимальность
которой основана на экстремуме только одного абсолютного показателя.
Поэтому проведенный многокритериальный анализ производственной
программы убедительно показывает практическую значимость знания
экстремума относительного экономического показателя для выработки
адекватного оптимального управляющего решения.
10.4. Решение задачи дробно-линейного программирования в среде
Excel
Для решения задачи дробно-линейного программирования в среде Excel
создадим компьютерный аналог эквивалентной ей задачи ЛП (10.12)–(10.18) в
соответствии с инструкциями, изложенными в разделе 3.
Расположим исходные данные этой задачи на рабочем листе Excel (рис.
10.3). В ячейки B2:D2 введем имена переменных (в нашем случае – это t1, t2, t0),
а в ячейки B3:D3 – их стартовые значения, равные 1.
Номер столбца
Номер строки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
D
E
F
Переменные модели
Имя
t1
t2
t0
Значение
1
1
1
Ограничения модели
Номер
Левая Знак
ограничения
часть
1)
5
3
-2300
-2292
<=
2)
-5
-3
1150
1142
<=
3)
3
6
-1800
-1791
<=
4)
-3
-6
900
891
<=
5)
0,07825 0,4
28,7
29,178
=
Целевая функция модели
Целевая
ячейка
Чистый доход на 0,056 0,063 -28,7 -28,581
единицу затрат
G
Правая
часть
0
0
0
0
1
Рис. 10.3. Расположение исходных данных и расчетных формул эквивалентной
задачи ЛП на рабочем листе Excel
Для ввода ограничений модели запишем в ячейках B6:D6 коэффициенты
левой части ограничения 1) при переменных t1, t2 и t0. Таким же образом введем
в ячейки B7:D7, B8:D8, B9:D9, B10:D10 коэффициенты других ограничений
(см. рис. 10.3).
Получив в ячейке E6 суммарное значение левой части первого
ограничения при заданных t 1 = 1, t2 = 1 и t0 = 1, скопируем его в ячейки
E7:E10, в которых будут рассчитываться левые части других ограничений
модели.
В столбце «Знак» для первых четырех ограничений проставим знак <=, для
пятого – знак =. В графу «Правая часть» (массив G6:G10) внесем правые части
ограничений эквивалентной задачи ЛП.
Перейдем к отражению на рабочем листе целевой функции (10.18).
Запишем экономический смысл целевой функции в ячейке A12. Введем
коэффициенты при t1, t2 и t0 целевой функции в ячейки B12:D12.
Создадим формулу расчета чистого дохода на 1 руб. затрат при заданных t1
= 1, t2 = 1 и t0 = 1, скопировав, например, ячейку E10 в ячейку E12 (см. рис.
10.3). На этом заканчивается этап размещения исходных и расчетных данных
эквивалентной задачи ЛП на рабочем листе Excel.
Запись компьютерного аналога задачи ЛП приведена на рис. 10.4.
Рис. 10.4. Запись компьютерного аналога модели (10.12)–(10.18) в окне «Поиск
решения»
Основные результаты расчетов можно определить по измененному
состоянию рабочего листа (рис. 10.5), если нажать кнопку «ОК» в окне
«Результаты поиска решения» при фиксации состояния ключа в позиции
«Сохранить найденное решение».
Номер столбца
Номер строки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
D
E
Переменные модели
t2
t0
1
0,01
Ограничения модели
Номер
Левая
ограничения
часть
1)
5
3
-2300
0
2)
-5
-3
1150
-11,5
3)
3
6
-1800
0
4)
-3
-6
900
-9
5)
0,07825
0,4
28,7
1
Целевая функция модели
Целевая
ячейка
Чистый доход
0,056
0,063 -28,7
0
на единицу
затрат
Имя
Значение
F
G
Знак
Правая
часть
0
0
0
0
1
t1
4
<=
<=
<=
<=
=
Рис. 10.5. Состояние рабочего листа при сохранении найденного решения
Из ячеек B3:D3 находим оптимальные значения переменных t1 = 4, t2 = 1 и
t0 = 0,01, а из ячейки E12 видно, что максимум чистого дохода на 1 руб. затрат
равняется нулю, что совпадает с найденным ранее графическим решением этой
задачи. Отсюда, как и прежде,
X1
X2
t1
t0
t2
t0
4
400 ;
0.01
1
100 .
0.01
10.5. Контрольные задания к разделу 10
Условие задачи (дробно-линейная модель)
Администрации сталелитейной компании необходимо установить
еженедельную программу производства фасонных отливок A и B, которая дает
максимум чистого дохода на 1 рубль всех сделанных затрат. Отливка А
гарантированно реализуется по цене c1 руб., а отливка B – по цене c2 руб.
Расход электроэнергии на отливку A составляет a11 кВт·ч, а на отливку B –
a12 кВт·ч. Расход угля на отливку A составляет a 21 кг, а на отливку B – a22 кг.
Минимальные затраты электроэнергии и угля, при которых не произойдет
остановки литейного производства составляют, соответственно: d1 кВт·ч и d2 кг
в неделю. Недельный запас компании: b1 кВт·ч электроэнергии и b2 кг угля.
Себестоимости отливки A и отливки B (без учета заработной платы)
составляют, соответственно, s 1 руб., s2 руб. Сумма оплаты рабочих и
служащих компании вместе с другими накладными расходами составляет S
тыс. руб. в неделю.
Варианты исходных данных задачи
Номер варианта
Заданная величина
с1
с2
а11
а12
a21
a22
d1
d1
b1
b2
s1
s2
S
1
2
3
4
5
134,25
463
5
3
3
6
1 150
900
2 300
1 800
78,25
400
28,7
519,43
194,86
3
2
2
4
500
600
1 000
1 200
334,2
100
13,16
512,31
64,23
2
4
4
3
900
800
1 800
1 600
614
25
28,6
237,5
358,33
4
5
5
5
2 600
1500
3 900
3 000
126,9
200
9,24
108,1
277,78
1
1
1
2
200
400
400
1 200
100
242
3,24
Ответы к вариантам исходных данных
N – номер варианта; Z0 – объем недельных продаж (выручка); Z2 – все
недельные затраты кампании; Z – чистый доход на 1 руб. затрат.
Номер варианта
1
2
3
4
5
0
600
214 998
129 240
0.66
0
400
111 112
100 000
0.11
400
200
166 666
100 000
0.67
400
0
43 240
43 240
0
400
200
166 666
100 000
0.67
0
400
111 112
100 000
0.11
Заданная величина
X1
X2
Z0
Z2
Z
X1
X2
Z0
Z2
Z
X1
X2
Z0
Z2
Z
Максимум объема продаж
71.4
333
370
264
0
40
131 954
173 143
192 124
140 004
124 560
256 780
-0.057
0.39
-0.3
Минимум объема продаж
300
0
0
0
250
267
40 275
48 715
17 128
2 175
38 160
35 266.67
-0.228
0.28
-0.5
Максимум удельного дохода
400
200
100
100
200
400
100 000
142 858
76 923
100 000
100 000
100 000
0
0.43
-0.2
11. АНАЛИЗ УПРАВЛЯЮЩИХ РЕШЕНИЙ МЕТОДАМИ НЕЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
11.1. Моделирование управляющих решений задачей нелинейного
программирования
Моделирование управляющих решений с помощью задачи линейного
программирования лучше рассмотреть на конкретных примерах.
Пример 1. Производственная фирма может выпускать изделия двух видов:
A и B. Статистические исследования показали, что из-за брака в процессе
производства или вследствие других причин, средний расход сырья и средняя
себестоимость в расчете на тысячу изделий A или B не остается постоянной,
как считалось в рамках линейной модели раздела 1, а зависит от достигнутого
уровня производства.
Пусть регрессионным анализом установлено, что средний расход сырья и
средняя себестоимость в расчете на тысячу выпущенных изделий A линейно
зависит от достигнутого объема производства x1 изделий А по формулам
тонна
· x1 тыс. шт.;
тыс. шт.
тыс. руб.
(s1 – 1) тыс. руб. + 1
· x1 тыс. шт.,
тыс. шт.
(a1 – 1) тонн + 1
где a1 = 33 тонны – расход сырья на первую тысячу шт. изделий А;
s1 = 151 тыс. руб. – себестоимость первой тысячи шт. изделий А.
Аналогично, средний расход сырья и среднюю себестоимость в расчете на
тысячу изделий выпущенного объема x2 изделий B нужно считать по формулам
тонна
· x2 тыс. шт. ;
тыс. шт.
тыс. руб.
(s2 - 1) тыс. руб. + 1
· x2 тыс. шт. ,
тыс. шт.
(a2 - 1) тонн + 1
где a2 = 97 тонн – расход сырья на первую тысячу шт. изделий B;
s2 = 21 тыс. руб. – себестоимость первой тысячу шт. изделий B.
Пусть сбыт изделий фирмы гарантирован по ценам c1 = 166 тыс. руб. и c2 =
68 тыс. руб. на каждую тысячу шт. изделий А и B, соответственно. Фирма
располагает сырьем в объеме b = 680 тонн. Продукция может выпускаться в
любых пропорциях, но изделий А должно быть изготовлено не менее 1 тыс.
штук.
Нужно ответить на вопрос, в каком количестве следует производить
названные изделия в этих условиях, чтобы прибыль фирмы достигла
максимума?
В большинстве случаев моделируемые зависимости между экономическими
факторами лишь в первом приближении можно считать линейными, а более
точный анализ выявляет их принципиальную нелинейность. Как правило, такие
показатели, как прибыль, себестоимость, капитальные затраты на производство и
другие в действительности изменяются при росте объема производства и
непропорциональном расходе ресурсов, поэтому для более адекватного
моделирования реальных экономических процессов приходится привлекать
математический аппарат нелинейного программирования.
Составим экономико-математическую модель расчета производственной
программы,
максимизирующей
прибыль
предприятия
в
условиях
непропорционального роста затрат ресурса и себестоимости выпускаемых
продуктов. Для простоты записи последующих математических выкладок
опустим единицы измерения в приведенных выше формулах.
Формула расхода сырья на изготовление планируемых к выпуску объемов
x1 и x2 тысяч единиц изделий A и B будет иметь следующий вид:
(33 – 1 + x1) x1 + (97 – 1 + x2) x2 (тонн сырья).
Эта величина не может превысить объема имеющегося у фирмы сырья, т. е.
должно выполняться неравенство
(32 + x1) x1 + (96 + x2) x2 680
или
32x1 + x12 + 96x2 + x22 680.
(11.1)
Так как изделий вида А должно быть выпущено не менее 1 тыс. штук, то
соответствующим ограничением будет
x1 ≥ 1 (тыс. шт.).
(11.2)
В результате реализации x1 единиц изделия A предприятие получит
среднюю прибыль (166 – (151 – 1 + x1)) тыс. руб., а в результате реализации x2
единиц изделия B – среднюю прибыль (68 – (21 – 1 + x2)) тыс. руб. Тогда
суммарную прибыль предприятия можно подсчитать по формуле
Z = (166 – (150 + x1)) x1 + (68 – (20 + x2)) x2
или
Z = 16x1 + 48x2 – x12 – x22.
(11.3)
Итак, задача свелась к нахождению неотрицательных x1 и x2,
удовлетворяющих нелинейному ограничению (11.1), линейному ограничению
(11.2) и доставляющих максимум нелинейной функции (11.3).
В целевой функции и ограничении (11.1) переменные содержатся в
степенях выше первой. Это характерный признак задачи нелинейного
программирования.
Общая задача нелинейного программирования формулируется следующим
образом: требуется найти значения n переменных x1, x2, ..., xn, которые
удовлетворяют уравнениям и неравенствам. В каждом из нижеприведенных
ограничений сохраняется только один из знаков: , = или , т. е.
gi (x1, x2, ..., xn) { , =, } bi (i = 1,…, m);
(11.4)
Z = f (x1, x2, ..., xn) → max (min).
(11.5)
Предполагается, что вид произвольных функций gi (x1, x2, ..., xn), f (x1, x2,
..., xn) известен, a bi – заданные постоянные числа. Величины m и n между
собой не связаны, так что m может быть больше, меньше или равно n. Обычно
некоторые или все переменные удовлетворяют условию неотрицательности.
В отличие от линейных задач математического программирования, в
нелинейных задачах область допустимых решений может быть представлена
геометрическим местом точек, не являющимся выпуклым множеством. ОДР
может иметь бесконечное число крайних точек. Целевая функция может достигать
экстремума не только на границе, но и внутри ОДР и, более того, иметь несколько
локальных экстремумов (максимумов или минимумов).
Например, на рис. 11.1 функция f(x) принимает максимальные значения,
представленные ординатами точек B и D. Ордината точки B больше ординаты
точки D, в таком случае говорят, что ордината точки B является глобальным
максимумом, а ордината точки D – локальным. Аналогично функция f(x)
принимает минимальные значения, представленные ординатами точек A, C, E. В
этом случае значение ординаты точки C будет глобальным минимумом, а
ординаты точек A и E – локальными минимумами.
f(x)
B
D
E
A
C
x
Рис. 11.1. Локальные максимумы и минимумы нелинейной функции одной
переменной
Эти причины обуславливают отсутствие эффективных методов,
позволяющих решать любые задачи нелинейного программирования. Вместе с
тем, отдельные специальные типы нелинейных задач достаточно хорошо
изучены и некоторые методы их решения будут рассмотрены ниже.
11.2. Графический анализ задачи нелинейного программирования
Дадим геометрическую интерпретацию модели, описанной формулами
(11.1) – (11.3). Рассмотрим случай, когда неравенство (11.1) выполняется как
равенство, т. е.
32x1 + x12 + 96x2 + x22 = 680.
Для построения геометрического места точек, координаты которых
удовлетворяют данному уравнению, преобразуем его к каноническому виду
x12 + 2·16x1 + 162 + x2 2 + 2·48x2 + 482 = 680 + 162 + 482,
а после свертки полных квадратов получим
(x1 + 16)2 + (x2 + 48)2 56,9212.
Последняя запись показывает, что это уравнение окружности с центром в
точке с координатами: x1 = –16, x2= –48 и радиусом R 56,921. Это значит, что
областью допустимых решений неравенства (11.1) будет круг, границей
которого является данная окружность.
На рис. 11.2 серой заливкой выделена область ABC допустимых решений
анализируемой задачи нелинейного программирования, которая является
пересечением этого круга с полуплоскостями, соответствующими ограничению
A и условиям неотрицательности.
20
(11.2)
x2
15
10
B
5
C
0
-1 0
-5
0
A
5
10
15
x1
20
-5 анализ задачи нелинейного программирования (точка
Рис. 11.2. Графический
безусловного экстремума целевой функции находится вне ОДР)
Преобразуем целевую функцию к каноническому виду
Z = 16x1 + 48x2 – x12 – x22 = 82 + 242 – (x1 – 8) 2 – (x2 – 24) 2 =
= 640 – (x1 – 8) 2 – (x2 – 24) 2.
При такой записи очевидно, что точка максимума этой функции без учета
других условий задачи, т. е. точка безусловного максимума, будет иметь
координаты x1 = 8, x2 = 24, при этом Zmax = 640. Линии постоянного уровня этой
функции будут представлять собой концентрические окружности с центром в
точке безусловного максимума.
На рис. 11.2 линия уровня 460 помечена маркерами в виде кружков, она
представлена фрагментом окружности с центром в точке (8, 24) и радиусом R
13,416. Линия уровня, помеченная маркерами в виде треугольников,
представлена фрагментом окружности с центром в точке (8, 24) и радиусом R,
который необходимо вычислить. Оптимальное решение модели (11.1)–(11.3)
представляется точкой касания этой линии с областью допустимых решений
ABC.
Для аналитического уточнения координат точки касания следует решить
систему, состоящую из уравнения кривой BC и равенства угловых
коэффициентов касательных прямых к кривой BC и линии уровня целевой
функции, помеченной треугольниками в точке их касания.
Чтобы выразить угловые коэффициенты, продифференцируем по x1
уравнение кривой BC
(32x1 + x12 + 96x2 + x22)' = (680) ;
32 + 2x1 + 96x2 + 2x2x2 = 0;
x2 = –(32 + 2x1) / (96 + 2x2).
Теперь продифференцируем по x1 уравнение линии уровня целевой
функции
(16x1 + 48x2 – x12 – x22) = (const) ;
16 + 48x2 – 2x1 – 2x2x2 = 0;
x2' = (2x1 – 16) / ( 48 – 2x2).
Рассмотрим равенство для угловых коэффициентов касательных прямых
–(32 + 2x1) / (96 + 2x2) = (2x1 – 16) / (48 – 2x2).
Отсюда следует
–(32 + 2x1)(48 – 2x2) = (2x1 – 16)(96 + 2x2);
–1 536 – 96x1 + 64x2 + 4x1x2 = 192x1 – 1 536 + 4x1x2 – 32x2;
96x2 = 288x1;
x2 = 3x1.
Теперь необходимо решить систему, составленную из выражений
32x1 + x12 + 96x2 + x22 = 680
x2 = 3x1.
Подставив последнее выражение в первое, получим
32x1 + x12 + 96(3x1) + (3x1)2 = 680.
Отсюда
10x12 + 320x1 – 680 = 0
или
x12 + 32x1 – 68 = 0.
Решив это уравнение, получим: x1 = 2, x1 = –34. Двум разным значениям x1
соответствует две точки касания линий уровня целевой функции с
окружностью радиуса R ≈ 56,921. Точке касания, которая видна на рис. 11.2,
соответствует x1 = 2.
Значение ординаты этой точки равно x2 = 3 · 2 =6. Подставив найденные
значения координат точки касания в формулу целевой функции (11.3), получим
значение максимума
Zmax = 16·2 + 48·6 – 22 – 62 = 280.
Если вернуться к экономическому содержанию исходной задачи, то
оптимальной производственной программой будет выпуск изделий A в
количестве 2 тыс. шт., а изделий B – в количестве 6 тыс. шт., при этом будет
достигнут максимум прибыли в размере 280 тыс. руб.
Для сравнения определим при тех же ограничениях самую минимальную
по прибыли производственную программу. Как видно из рис. 11.2, она
находится в районе линии уровня, помеченной маркерами в виде ромбиков.
Очевидно, что в точках A и C имеют место локальные минимумы целевой
функции. Для аналитического выбора глобального минимума из этих двух
локальных минимумов найдем координаты точек A и C.
Очевидно, что координаты точки A x1 = 1, x2 = 0.
Для определения координат точки С необходимо решить следующую
систему из двух уравнений:
32x1 + x12 + 96x2 + x22 = 680
x2 = 0.
Подставив второе уравнение в первое, получим
x12 + 32x1 – 680 = 0.
Из двух корней этого уравнения для точки C подходит x1 ≈ 14,6.
Значение целевой функции в точке А составит
Z = 16·1 + 48·0 – 12 – 02 = 15.
Значение целевой функции в точке C составит
Z = 16·14,6 + 48·0 - 14,62 – 02 ≈ 20,44.
Аналитическое уточнение наглядного графического решения показало, что
глобальный минимум находится в точке A, иначе Zmin = 15 при x = (1, 0).
Некоторые особенности моделирования управляющих решений и методов
решения задачи нелинейного программирования рассмотрим при решении
примера 2.
Пример 2. Пусть при сохранении условий примера 1 даны другие
числовые значения используемых данных
a1 = 17 т; s1 = 121 тыс. руб.;
a2 = 49 т; s2 =121 тыс. руб.;
c1 = 128 тыс. руб.; c2 = 144 тыс. руб.;
b = 1 050 т.
При составлении аналогичной модели по этим данным получим
следующую задачу нелинейного программирования:
16x1 + x12 + 48x2 + x22 1050;
(11.6)
x1 1;
(11.7)
x1 0; x2 0;
(11.8)
2
2
Z = 160 – (x1 – 4) – (x2 – 12) → max.
(11.9)
Геометрическая интерпретация этой задачи представлена на рис. 11.3.
Особенность этой задачи в том, что точка безусловного максимума x1 = 4,
x2 = 12 находится внутри области допустимых решений. В этом можно убедиться
подстановкой этих координат в систему ограничений задачи.
A
20
x2
B
15
10
5
C
0
-10
-5
0
A
5
10
15
20
25
x1
30
-5
-10
-15
Рис. 11.3. Графический анализ задачи нелинейного программирования
(безусловный экстремум целевой функции достигается внутри ОДР)
Полученное представление целевой функции дает возможность для
быстрого получения ответа
Zmax = 160, при x* = (4, 12).
Точка глобального минимума этой же целевой функции определяется
окружностью с центром в точке (4, 12), которая маркирована кружками.
Очевидно, что это точка C. Найдем ее координаты и рассчитаем для них
минимальное значение целевой функции
Zmin = –440,96, при x* = (25,4; 0).
11.3. Расчет оптимального управляющего решения методом множителей
Лагранжа
Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования
(11.4), (11.5), предполагая, что система ограничений (11.4) содержит только
уравнения, что отсутствуют условия неотрицательности переменных, при этом
gi (x1, x2, ..., xn) и f (x1, x2, ..., xn) – функции, непрерывные вместе со своими
частными производными. Это приведет к следующей математической
постановке.
Найти x = (x1, x2, ..., xn);
gi (x1, x2, ..., xn) = bi (i = 1, …, m);
(11.10)
Z = f (x1, x2, ..., xn) → max(min).
(11.11)
В курсе математического анализа задачу (11.10), (11.11) называют задачей
на условный экстремум или классической задачей оптимизации.
Чтобы найти решение этой задачи, вводят набор переменных (u1, u2, ..., um),
называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа
m
F(x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., um) = f (x1, x2, ..., xn) +
ui (bi - gi (x1, x2, ..., xn))
i 1
и находят частные производные
F
(j
xj
1, ...,n ) ;
F
( i 1,...,m ) .
ui
Далее рассматриваются n + m уравнений вида
F
f
xj
xj
F
ui
m
ui
i 1
gi
xj
0
( j= 1, …, n);
= bi – gi (x1, x2, ..., xn) = 0 (i = 1, …, m)
(11.12)
(11.13)
с n + m неизвестными (x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., um). Всякое решение системы
уравнений (11.12), (11.13) определяет точку x = (x01, x02, ..., x0n), в которой может
иметь место экстремум функции f (x1, x2,..., xn.). Следовательно, решив систему
уравнений (11.12), (11.13), получают все точки, в которых функция (11.11)
может иметь экстремальные значения. Эти точки называются стационарными.
Для дальнейшего исследования обнаруженных стационарных точек на вид
экстремума применяются разные подходы. Одним из таких методов является
вычисление значений целевой функции в найденных стационарных точках и
выбор среди них двух точек, в которых эта функция имеет наибольшее и
наименьшее значение.
Таким образом, определение экстремальных точек задачи (11.10), (11.11)
методом множителей Лагранжа включает перечисленные ниже этапы.
1. Составляют функцию Лагранжа.
2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным xj
и ui и приравнивают их нулю.
3. Решая систему уравнений (11.12), (11.13), находят точки, в которых
целевая функция задачи может иметь экстремум.
4. В точках, подозрительных на экстремум, вычисляются значения
функции (11.11) и сравнением этих значений определяют точки, в которых
достигается максимум и минимум этой функции.
Рассмотрим расчет оптимального управляющего решения методом
множителей Лагранжа на конкретном примере.
Пример 3. Пусть вместо выражений (11.6), (11.7), (11.8), (11.9)
математическая постановка задачи состоит в определении максимального
значения функции
Z = 160 – (x1 – 4) 2 – (x2 – 12) 2 → max
(11.14)
при
16x1 + x12 + 48x2 + x22 = 1 050.
(11.15)
Найдем решение задачи (11.14), (11.15), используя рис. 11.3 для ее
геометрической интерпретации. Областью допустимых решений исходной
задачи являются точки окружности BC, представленной уравнением (11.15), а
линиями уровня – окружности с центром в точке A (4, 12).
Проводя из точки A окружности разных радиусов (большему радиусу
соответствует линия меньшего уровня), видим, что максимальное значение
целевая функция принимает в точке касания одной из таких окружностей с
окружностью BC. Чтобы найти координаты этой точки касания, воспользуемся
тем, что угловой коэффициент касательной к окружности 16x1 + x12 + 48x2 + x22
= 1 050 в этой точке совпадает с угловым коэффициентом касательной к
окружности 160 – (x1 – 4)2 – (x2 – 12)2 = сonst
(16x1 + x12 + 48x2 + x22) = (1050) ;
16 + 2x1 + 48x2 + 2x2x2 = 0;
x2 = –(16 + 2x1) / (48 + 2x2).
Теперь продифференцируем по x1 обе части уравнения линии уровня
целевой функции
(160 – (x1 – 4) 2 – (x2 – 12) 2)' = (сonst)';
–2 (x1 – 4 ) – 2 (x2 – 12) x2' = 0;
x2 = –(x1 – 4) / (x2 – 12).
Приравняем найденные угловые коэффициенты касательных прямых:
–(16 + 2x1) / (48 + 2x2) = –(x1 – 4) / (x2 – 12).
Отсюда следует
(16 + 2x1)(x2 – 12) = (x1 – 4)(48 + 2x2);
16x2 + 2x1x2 – 192 – 24x1 = 48x1 – 192 + 2x1x2 – 8x2;
24x2 = 72x1;
x2 = 3x1.
Теперь необходимо решить систему:
x2 = 3x1
(11.16)
16x1 + x12 + 48x2 + x22 = 1 050.
Подставим x2, выраженное из первого уравнения, во второе уравнение
системы
16x1 + x12 + 48 · (3x1) + (3x1)2 = 1 050.
Отсюда
10x12 + 160x1 – 1 050 = 0
или
x12 + 16x1 –105 = 0.
Решив это уравнение, получим два значения x1: 5 и –21. Точке касания,
которая видна на рис. 11.3, соответствует x1 = 5, при этом x2 = 15.
Zmax = 160 - (5 - 4) 2- (15 - 12) 2= 150.
Т. е., если фирма изготовит 5 тыс. шт. изделий A и 15 тыс. шт. изделий B, то
ее прибыль будет максимальной и составит 150 тыс. руб.
Решим эту же задачу, используя метод множителей Лагранжа. Найдем
максимальное и минимальное значение функции (11.14) при условии (11.15), т.
е. без учета требования неотрицательности переменных. Для этого составим
функцию Лагранжа
F(x1, x2, u) = 160 – (x1 – 4)2 – (x2 – 12)2 + u(1 050 – 16x1 – x12 – 48x2 – x22).
Найдем ее частные производные по x1, x2, u и приравняем их нулю. В
результате получим систему уравнений
F
= –2(x1 – 4) + u(–16 – 2x1) = 0
x1
F
= –2(x2 – 12) + u(–48x2 – 2x2) = 0
x2
F
= 1 050 – 16x1 – x12 – 48x2 – x22 = 0.
u
(11.17)
Из первого и второго уравнений этой системы имеем
u = 2(x1 – 4)/(–16 – 2x1) = 2(x2 – 12)/(–48x2 – 2x2);
(16 + 2x1)( x2 – 12) = (x1 – 4)(48 + 2x2),
(11.18)
после дальнейшего упрощения получим
x2 = 3x1.
Полученное уравнение совместно с третьим уравнением из (11.17)
образуют уже решенную прежде систему уравнений (11.16). Отсюда имеем два
решения: x1 = 5, x2 = 15, или x1 = –21, x2 = –63. Очевидно, что в точке (5, 15)
целевая функция будет иметь условный максимум Zmax = 150, а в точке (–21, –63)
условный минимум Zmin = –6 090. Теперь можно найти оптимальное значение
множителя Лагранжа, используя соотношения (11.18),
u* = 2(5 – 4)/(–16 – 2·5) –0,077.
Необходимо отметить, что множители Лагранжа являются естественным
обобщением понятия оптимальных двойственных оценок в линейном
программировании, обсуждаемых в разделе 2, для задач нелинейного
программирования. В экономической интерпретации оптимальное значение
множителя Лагранжа по-прежнему выражает предельную эффективность
единицы ресурса, ограничением по которому этот множитель и является.
11.4. Контрольные задания к разделу 11
Условие задачи (нелинейная модель)
Производственная фирма может выпускать изделия двух видов: A и B.
Средний расход сырья и средняя себестоимость в расчете на 1 тысячу
выпущенных изделий A линейно зависит от достигнутого объема производства
x1 изделий А и может быть вычислен по формулам
(a1 – 1) т + 1
т
x1 тыс. шт.
тыс. шт.
и
(s1 – 1) тыс. руб. + 1
тыс. руб.
x1 тыс. шт.
тыс. шт.
Средний расход сырья и среднюю себестоимость в расчете на 1 тысячу
изделий выпущенного объема x2 изделий B нужно считать по формулам
(a2 – 1) т + 1
т
x2 тыс. шт.
тыс. шт.
и
(s2 – 1) тыс. руб. + 1
тыс. руб.
x2 тыс. шт..
тыс. шт.
Пусть сбыт изделий гарантирован по ценам c1 тыс. руб. и c2 тыс. руб. на
каждую тысячу штук изделий А и B, соответственно. Фирма располагает
сырьем в объеме b тонн. Продукция может выпускаться в любых пропорциях,
но изделий А должно быть изготовлено не менее 1 тысячи штук.
Нужно ответить на вопрос, в каком количестве следует производить
названные изделия в этих условиях, чтобы прибыль фирмы достигла
максимума?
Варианты исходных данных задачи
Вариант
№1
№2
№3
№4
a1
33
17
33
49
a2
97
33
33
145
b
680
960
840
7 200
s1
151
121
61
151
s2
21
61
101
21
c1
166
128
76
174
c2
68
76
116
92
Ответы к вариантам исходных данных
Вариант
№1
№2
№3
№4
Задача
максимизации
x1
x2
Zmax
2
6
280
4
8
80
8
8
128
12
36
1 440
Задача минимизации
x1
1
24
17,1
64,2
x2
0
0
0
0
Zmin
15
–384
–18,917
–2 578,9
Метод Лагранжа
x1
2
8
10
12
x2
6
16
10
36
u
0
–0,25
–0,08
0
Zmax
280
0
120
1440
12. МИНИМИЗАЦИЯ РИСКА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ПРИ
ЗАДАННОМ УРОВНЕ ЕГО ДОХОДНОСТИ
12.1. Математическая постановка задачи оптимизации портфеля ценных
бумаг
Математическую постановку задачи оптимизации портфеля целесообразно
рассмотреть на конкретном примере. Предположим, что инвестор располагает
информацией, отражающей динамику курсов и выплаченных дивидендов по
акциям двух ведущих эмитентов A и B за десять прошедших месяцев. Курс
акций на начало каждого месяца и размер выплаченных в каждом месяце
дивидендов приводятся в табл. 12.1.
Таблица 12.1. Ретроспектива динамики курсов и дивидендов акций (руб.)
Месяц, t
Курс акций А
Дивиденды от А
Курс акций B
Дивиденды от B
1
26,0
0
3,17
2
24,8
1
0,22
3
19,0
4
5,37
4
17,0
2
7,85
5
18,9
9
5,14
44,0
0
0,16
42,9
6
0,55
28,6
6
0,92
18,5
7
5,65
19,9
8
4,64
6
26,6
9
0,66
7
12,0
5
1,70
8
12,4
7
2,64
9
12,0
3
0,01
10
10,5
3
0,18
26,9 29,5 22,4 21,2 20,8
4
3
9
4
1
10,3
0,54
7,56
0,00
0,03
4
Курсы акций A и B на начало предстоящего
одиннадцатого месяца
составляют, соответственно, 8,00 руб. и 20,36 руб.
В распоряжении инвестора имеется капитал в размере 10 тыс. руб.,
который он может использовать для покупки этих акций. Его интересует
вопрос, акции какого эмитента и в каком количестве следует приобрести по их
курсу на начало предстоящего месяца, чтобы с минимальным риском получить
в этом месяце доход от покупки не менее 3,92 процента.
Для ответа на интересующий инвестора вопрос необходимы следующие
действия.
1. Построение экономико-математической модели расчета такой
структуры инвестиций, которая при минимуме риска обеспечит желательный
уровень доходности портфеля вложений.
2. Решение полученной задачи квадратичного программирования с
использованием алгоритма Франка и Вулфа с допуском по точности
0,01.
Постановку задачи оптимизации портфеля ценных бумаг будем
рассматривать в классической формулировке Г. Марковица, лауреата
Нобелевской премии 1951 года за достижения в развитии портфельной теории.
Пусть X j – доля свободного капитала инвестора, предполагаемая для
вложения в ценные бумаги под номером j, j 1, ..., n, где n – количество
разных видов ценных бумаг. Согласно этому определению
n
X
j 1
X j 1.
j
1;
(12.1)
(12.2)
Отсюда структура портфеля инвестиций будет представлена вектором
( X 1 , ..., X j , ..., X n ) . Если случайную эффективность j-й ценной бумаги
обозначить за Rj, то случайная эффективность выбранной структуры портфеля
ценных бумаг Rp определится по формуле
n
R
p
j
1
R X .
j j
Если использовать свойства математического ожидания E случайных
величин, то можно получить следующую зависимость между ожидаемым
эффектом Mp от выбранной структуры портфеля и ожидаемыми эффектами от
каждой ценной бумаги Mj, а именно:
n
M
p
E( R )
p
j
n
1
E( R ) X
j
j
j
1
M X .
j j
Рассмотрим отклонение случайной эффективности портфеля от ее
ожидаемого значения
n
R
M
p
(R
p
j
1
j
M )X .
j
j
Если измерять ожидаемый риск от выбранной структуры инвестиций
дисперсией Vp (вариацией случайного эффекта портфеля Rp относительно Mp),
то необходимо рассчитывать математическое ожидание квадрата этого
отклонения
n
V
E [( R
p
n
i
M
p
n
2
p
) ]
i
1j
1
E [( R
i
M )( R
i
j
M )] X X
j
i j
n
1j
V X X ,
ij i j
1
где Vij = E((Ri – Mi)(Rj – Mj )) – ковариации случайных величин Ri и Rj.
Основываясь на введенных обозначениях, проблема оптимизации
портфеля ценных бумаг сводится к следующей математической модели.
Найти вектор ( X 1 ,..., X j ,..., X n ) , при выполнении условий (12.1), (12.2),
обеспечивающих желаемое значение Мр ожидаемой эффективности портфеля
инвестиций, т. е.
n
j
1
M X
j j
М р,
(12.3)
и минимизирущих вариацию эффективности портфеля, измеряющую риск
получить доход меньше уровня Mp
n
V
p
i
n
V X X
ij i j
1
1j
min .
(12.4)
Пусть решением задачи (12.1)–(12.4) будут значения Xj*, где j = 1, …, n. Если
Xj* 0, это означает рекомендацию модели вложить долю Xj* от имеющегося
капитала в ценные бумаги j-го вида.
Если условие (12.2) может быть нарушено так, что Xj* < 0, то это может
быть интерпретировано как рекомендация приобрести в долг ценные бумаги jго вида на сумму Xj*, составляющую долю от наличного капитала. При
отсутствии условий неотрицательности переменных (12.2) задача оптимизации
портфеля ценных бумаг, т. е. задача (12.1), (12.3) (12.4), может быть записана в
следующей матричной форме:
IT X
1; М Т Х
М р ; Vp
X T VX
min ,
(12.5)
где V = (Vij) – матрица ковариаций, размерность которой (n × n);
M = (Mj) – матрица-столбец ожидаемых эффективностей, размерность
которой (n × 1);
I – матрица-столбец, состоящая из единиц, размерность которой (n × 1);
X =(Xj) – матрица-столбец искомых долей капитала, размерность которой
(n × 1).
Значком «T» обозначена операция транспонирования матриц. Задача (12.5)
имеет аналитически выражаемое оптимальное решение x*, полученное на
основе метода множителей Лагранжа по формуле
R( IK12 MK1 ) MK12 IK 2
,
(12.6)
x* V 1
K2
12
где
K
I T V 1I ; K
1
2
K K
1 2
M T V 1M ; K
12
I T V 1M .
Если заем дополнительного капитала невозможен для инвестора, то
необходимо решить задачу (12.1)–(12.4), что значительно сложней задачи (12.5),
так как является задачей квадратичного программирования, которая требует
более трудоемких методов еѐ решения.
Поскольку замена ограничения (12.1) на неравенство
n
X
j
1
j
1,
(12.7)
а замена ограничения (12.2) на неравенство
n
j
1
M X
j j
R
(12.8)
не выводит полученную задачу (12.7), (12.8), (12.2), (12.4) из класса задач
квадратичного программирования, то задачу инвестора будем исследовать в
таком максимально общем виде, который дает возможность выбора варианта
менее рискованного вложения капитала.
Проведенный анализ условий Куна – Таккера для возможных оптимальных
решений задачи ((12.7), (12.8), (12.2), (12.4) показал практическую
невозможность строгого выполнения неравенства (12.8), т. е. минимизация риска
всегда выводит на порог желаемой эффективности портфеля.
С другой стороны, строгое выполнение неравенства (12.7) вполне
допустимо, что надо расценивать как рекомендацию со стороны модели
только частичного вложения имеющегося капитала в анализируемый спектр
ценных бумаг.
12.2. Формирование модели оптимизации портфеля ценных бумаг для
данного индивидуального задания
Реальные эффективности (Rjt) j-й ценной бумаги в каждом месяце t из
прошедших T месяцев рассчитываются по формулам
Rjt = (Cj,t+1 + Djt – Cjt) / Cjt; t = 1, …, T; j = 1, …, n;
(12.9)
где Cjt – усредненная цена (курс) j-й бумаги в месяце t;
Djt – дивиденды, полученные по j-й бумаге в месяце t.
Назовем акцию A и акцию B, соответственно, 1-й и 2-й ценными бумагами.
Осуществим расчет последовательностей реальных эффективностей 1-й и 2-й
ценных бумаг по формулам (12.9) на основе числовых данных табл. 12.1.
Например, для 1-й ценной бумаги по формулам (12.1) получим
R11
R15
R1,10
24,81 3,17 26
0 ,076 ;
26
26 ,69 5 ,14 18,99
0 ,676 ;
18,99
8 0 ,18 10,53
0 ,224.
8
Аналогично последовательность эффективностей рассчитывается и по 2-й
бумаге. Все расчеты сведем в табл. 12.2.
Таблица 12.2. Рассчитанные реальные эффективности бумаг A и B
Месяц, t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R1t
0,076
–0,224
0,176
0,576
0,676
–0,524
0,176
0,176
–0,124
–0,224
R2t
–0,020
–0,320
–0,320
0,380
0,580
0,480
–0,220
0,280
–0,020
–0,020
Будем считать, что полученные временные ряды эффективностей
достаточно хорошо представляют поведение исследуемых ценных бумаг.
В соответствии с правилами статистики, вычислим оценку математического
ожидания (Mj) эффективности j-й ценной бумаги и оценку ковариаций (Vij) между
i-й и j-й ценными бумагами по следующим формулам [2]:
T
R jt
Mj
t 1
T
;
(12.10)
T
( Rit
Vij
t 1
M i )( R jt
T
Mj)
.
1
(12.11)
Найдем оценки математического ожидания эффективности ценных бумаг,
используя табл. 12.2.
Оценка математического ожидания эффективности 1-й ценной бумаги
рассчитывается по формуле
10
R1t
M1
t 1
10
0 ,076 0 ,224 0 ,176 0 ,576 ... 0 ,224
10
0 ,076.
Оценка математического ожидания эффективности 2-й ценной бумаги
рассчитывается по формуле
10
R2t
M2
t 1
0 ,080.
10
Для расчета оценок ковариаций по формуле (12.11) необходимо вычислить
отклонения реальных эффективностей 1-й и 2-й бумаг от своих средних
эффективностей в каждом месяце. Полученные отклонения представим в табл.
12.3.
Таблица 12.3. Отклонения реальных эффективностей от средней
эффективности
Месяц, t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R1t – M1
0
–0,3
0,1
0,5
0,6
–0,6
0,1
0,1
–0,2
–0,3
R2t – M2
–0,1
–0,4
–0,4
0,3
0,5
0,4
–0,3
0,2
–0,1
–0,1
Оценка ковариации между 1-й и 1-й ценными бумагами (оценка дисперсии)
находится по формуле
10
( R1t
V11
t 1
0 ,076 )( R1t
0 ,076 )
9
0 0 ( 0 ,3 ) ( 0 ,3 ) 0 ,1 0 ,1 ... ( 0 ,3 ) ( 0 ,3 )
9
0 ,136.
Оценка ковариации между 1-й и 2-й ценными бумагами находится по
формуле
10
( R1t
V12
t 1
0 ,076 )( R2t
0 ,080 )
9
0 ( 0 ,1 ) ( 0 ,3 ) ( 0 ,4 ) 0 ,1 ( 0 ,4 ) ... ( 0 ,3 ) ( 0 ,1 )
9
0 ,0365.
Оценка ковариации между 2-й и 2-й ценными бумагами (оценка дисперсии)
находится по формуле
10
( R2 t
V22
t 1
0 ,080 )( R2t
9
0 ,080 )
0 ,109.
Из раздела 12.1 известно, что Xj – доля капитала инвестора, вложенная в
ценные бумаги под номером j. В случае двух бумаг: X1 – доля капитала
инвестора, предназначенная для вложения в бумаги А; X2 – доля капитала
инвестора, предназначенная для вложения в бумаги В.
Структура портфеля инвестиций представляется вектором X = (X1; X2 ).
Так как для текущей задачи желаемый уровень эффективности вложений
составляет 3,92 %, т. е. Mp = 0, 0392, то с учетом вышеприведенных расчетов M1
и M2 ограничение модели на эффективность портфеля примет следующий вид:
0,076X1 + 0,080X2 ≥ 0,0392.
(12.12)
То обстоятельство, что сумма долей капитала, инвестируемого в ценные
бумаги A и B, не должна превысить имеющийся капитал, а дополнительный заем
капитала невозможен, представляют следующие неравенства:
X1 + X2
1;
(12.13)
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0.
(12.14)
При этом дисперсия отклонения случайной эффективности портфеля от
эффективности, желательной для инвестора, Vp является мерой риска для
выбранной структуры инвестиций. Согласно формуле (12.4)
Vp = Z = V11X12 + 2V12X1X2 + V22X22 =
= 0,136X12 + 0,073X1X2 + 0,109X22 → min.
(12.15)
Полученная модель расчета оптимальной структуры портфеля
инвестиций (12.12)–(12.15) представляет собой задачу выпуклого
нелинейного программирования, а точнее, задачу квадратичного
программирования. В дальнейшем, для краткости, эту задачу будем называть
задачей инвестора.
12.3. Решение полученной задачи квадратичного программирования
методом Франка – Вулфа
Решение многих задач нелинейного программирования можно найти,
используя так называемые градиентные методы. Градиентные методы основаны
на том, что, начиная с некоторой точки X0, с помощью градиента целевой
функции осуществляется итерационный процесс последовательного перехода к
некоторым другим точкам Xk до тех пор, пока не выявится точка Xk,
удовлетворяющая заданной точности решения задачи. При этом градиентные
методы могут быть подразделены на две группы.
К первой группе относятся методы, при использовании которых
исследуемые точки не выходят за пределы области допустимых решений
задачи. Одним из таких методов является рассматриваемый здесь метод
Франка – Вулфа.
Ко второй группе относятся методы, при использовании которых
исследуемые точки могут как принадлежать, так и не принадлежать области
допустимых решений. Однако в результате реализации итерационного процесса
находится точка области допустимых решений, удовлетворяющая заданному
допуску по точности.
При нахождении решения задач градиентными методами итерационный
процесс осуществляется до того момента, пока градиент целевой функции Z
(X) в очередной точке Xk+1 не станет равным нулю или же пока не выполнится
соотношение:
|Z(Xk+1) – Z(Xk)| < ,
(12.16)
где
– достаточно малое положительное число, характеризующее
заданную точность приближения к искомому оптимальному решению.
Применим метод Франка – Вулфа для решения задачи инвестора,
используя допуск по точности
0,01. В данном случае решение
промежуточных вспомогательных задач линейного программирования,
необходимых для реализации этого метода, будем находить не при помощи
компьютера, а графическим способом.
Прежде всего, построим область допустимых решений для линейных
ограничений (12.12)–(12.14). На рис. 12.1 ОДР изображается четырехугольником
ABCD, заполненным серой заливкой. Как правило, в качестве исходного
допустимого портфеля инвестиций X0 выбирается любая точка, принадлежащая
ОДР. Подобным же образом работает любой из реализованных компьютерных
алгоритмов первой группы методов.
Однако, при выполнении ручных расчетов для решения этой задачи, во
избежание лишних рутинных вычислений, рекомендуется определять
координаты всех угловых точек ОДР простым перебором точек пересечения тех
пар прямых, которые формируют угловые точки. В нашем случае это будут
точки A(0; 0,49), B(0; 1), C(1; 0), D(0,516; 0).
X2
B
A
D
C
X1
Рис. 12.1. Графический выбор начального допустимого портфеля
В качестве исходного допустимого решения задачи предлагается брать
такую точку из перечисленных угловых точек, в которой функция Z(X) имеет
минимальное значение. Это делается для того, чтобы взять начальную точку
поближе к точке искомого оптимума. В нашем случае такой начальный
допустимый портфель будет представлять точка A или точка X0 = (0; 0,49),
которой соответствует размер риска
Z(X0) = 0,109·0,492 = 0,02618.
Для дальнейшей минимизации целевой функции (минимизации риска)
выразим градиент целевой функции (12.7) как вектор частных производных в
текущей точке X по ее координатам X1 и X2
grad Z (X) = ( Z/ X1; Z/ X2) = (0,271X1 + 0,073X2; 0,073X1 + 0,218X2).
Отсюда координаты градиента в начальной точке X0
grad Z (X0) = (0,271·0 + 0,073·0,49; 0,073·0 + 0,218·0,49) =
= (0,03577; 0,10683).
Градиент в текущей точке – это вектор, отложенный от нее и указывающий
в сторону наискорейшего роста значений целевой функции. Следовательно, для
наискорейшего снижения значений целевой функции необходимо двигаться в
направлении, противоположном градиенту.
Построим линейную функцию, коэффициентами которой являются
компоненты вычисленного градиента
F = 0,03577X1 + 0,10683X2.
Для организации движения в сторону, противоположную градиенту, не
выходя за пределы ОДР, решим вспомогательную задачу линейного
программирования с минимизацией построенной целевой функции на
предложенных в исходной задаче ограничениях (12.12)–(12.14).
Решение вспомогательной задачи линейного программирования проведем
графическим способом. Для этого на рис. 12.2 из начала координат отложим в
десять раз увеличенный grad Z (X0) = (0,03577; 0,10683) и построим
перпендикулярно ему пунктирную линию нулевого уровня целевой функции.
Очевидно, что минимум достигается в точке D, которую будем считать точкой
X0* = (0,516; 0).
X2
B
A
D
C
X1
Рис. 12.2. Графическое решение вспомогательной задачи ЛП
Для снижения риска необходимо двигаться от точки X0 в направлении
точки X0*. Менее рискованная структура инвестиций представляется некоторой
точкой X1, лежащей на отрезке, соединяющем точки X0 и X0* (на отрезке AD).
Векторная форма записи формулы перехода к любому варианту портфеля
X1, находящемуся на отрезке AD, имеет вид
X1 = X0 + (X0* – X0),
где λ – величина, задающая длину шага в направлении от точки X0 к точке
*
X0 , причем
0 λ 1.
Развернув векторную формулу перехода, получаем
X 11
X 12
X 11
X 12
X 11
X 01
X 02
0
0 ,49
0
λ
λ
*
X 01
*
X 02
0 ,516
0
X 01
X 02
0
0 ,49
;
;
λ( 0 ,516 0 ) 0 ,516 λ ;
X 12 0 ,49 λ( 0 0 ,49 ) 0 ,49( 1 λ ).
Для нахождения зависимости размера риска Z от длины шага, сделанного в
направлении отрезка AD, подставим полученные выражения для X11, X12 в
целевую функцию Z вместо X1 и X2, соответственно
Z(X1) = 0,136X112 + 0,073X11X12 + 0,109X122 = 0,136(0,516λ)2 +
+0,073·0,516λ·0,49(1 – λ) + 0,109(0,49(1 – λ))2 = 0,0362λ2 + 0,0185λ – 0,0185λ2 +
0,0262(1 – 2λ+ λ2) = (0,0362 – 0,0185 + 0,0262) λ2 + (0,0185 – 2·0,0262)λ + 0,0262
= 0,0439λ2 – 0,0339λ + 0,0262.
В итоге получим размер риска инвестора как функцию от длины шага λ, а
именно:
Z(X1) = Z(λ)= 0,0439 λ2 – 0,0339 λ + 0,0262.
Полученная функция представляет собой квадратный трехчлен, графиком
которого является парабола ветвями вверх. Для нахождения длины шага *,
соответствующей минимальному риску, приравняем производную функции Z(
по к нулю
Z'λ = 0,0878λ – 0,0339 = 0;
λ = 0,3860.
На этом этапе решения возможны два случая:
a.
1, как получилось в данном решении;
б) > 1, как может произойти при решении другой задачи.
Случай a) изображен на рис. 12.3, где = 0,3860 лежит левее от точки =
1. В этом случае оптимальное значение * = 0,3860.
Случай б) изображен на рис. 12.4, где = 1,5 лежит правее точки = 1, т. е.
эта точка находится вне ОДР. Тогда оптимальным значением длины шага нужно
выбрать * = 1. Такому значению * будет соответствовать точка X0*, лежащая на
границе ОДР задачи инвестора.
Автоматически правильный выбор оптимальной длины шага можно делать
по формуле * = min {1, }.
Z(
0,04
0,0196
0,386
1,000
Рис. 12.3. Минимум риска достигается внутри отрезка AD, соединяющего точки
X0 и X0*
Z(
0,04
1,000
1,5
Рис. 12.4. Минимум риска находится на границе отрезка AD в точке X0*
Подставляя значение оптимальной длины шага * в формулы для
нахождения координат X1, получим
X11 = 0,516·0,3860 = 0,1991;
X12 = 0,49·(1 – 0,3860) = 0,3009.
Как видно по расчетам, около 50 % капитала остаются неиспользованными
при найденной оптимальной структуре портфеля ценных бумаг.
Вычислим размер риска при новом варианте инвестирования в ценные
бумаги
Z(X1) = 0,0439λ2 – 0,0339λ + 0,0262 =
= 0,0439·0,38602 – 0,0339·0,3860 + 0,0262 = 0,01963.
Для расчета точности приближения к оптимуму определим модуль разности
Z(X1) и Z(X0)
|Z(X1) – Z(X0)| = |0,01963 – 0,02618| = 0,0065.
Сравнивая его с предложенным допуском точности δ = 0,01, определяем,
что
|Z(X1) – Z(X0)| < δ.
Риск снизился на величину ниже допуска δ, следовательно, можно
констатировать, что за одну итерацию получено оптимальное, в согласии с
принятым допуском по точности, решение X1.
В случае, если значение величины снижения риска превышает допустимое
значение δ, необходимо провести очередную итерацию расчетов, используя
точку X1 в роли точки X0, и снова выполнить предыдущие пункты алгоритма.
Такого рода итерации нужно повторять до тех пор, пока после очередной
итерации значение величины снижения риска не станет, наконец, меньше δ.
В нашем случае размер минимального риска по индивидуальной шкале
инвестора составит Zmin = Z(X1) = 0,01963 при долях капитала инвестора,
которые нужно вложить в акции A и B, соответственно,
X11* = 0,1991;
X12* = 0,3009.
Умножая капитал инвестора, равный 10 тыс. руб., на рассчитанные доли,
получаем оптимальную структуру портфеля в стоимостном разрезе.
Следовательно, для достижения доходности в предстоящем месяце не менее
3,92 % на вложенный капитал с минимальным риском инвестору необходимо
вложить:
в покупку акций А – 1 991 руб.;
в покупку акций В – 3 009 руб.
В итоге получены следующие ответы.
1. Модель инвестора представляется следующей постановкой:
Найти X = (X1; X2 );
0,076X1 + 0,080X2 0,0392;
X1 + X2 1;
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0;
Z= 0,136X12 + 0,073X1X2 + 0,109X22 → min.
2. Zmin = 0,01963, при X1* = 0,1991, X2* = 0,3009.
3. С учетом сложившихся в текущем месяце цен на продажу акций
содержимое оптимального портфеля инвестора должно быть следующее:
акций А должно быть 249 шт.;
акций В должно быть 148 шт.
12.4. Оптимизация портфеля ценных бумаг в среде Excel
Рассмотрим решение задачи инвестора на компьютере, увеличив
количество акций до трех наименований. Исходные данные по трем акциям
представлены в табл. 12.4.
Известно, что цена продажи акций А, В, С на начало предстоящего месяца
составляет, соответственно, 34,30; 74,87; 107,00 руб.
В распоряжении инвестора имеется капитал в размере 73 тыс. руб.,
который он может использовать для вложений в эти ценные бумаги. Его
интересует вопрос, акции какого эмитента и в каком количестве следует
приобрести по сегодняшнему курсу продажи, чтобы с минимальным риском
получить в предстоящем месяце доход от портфеля не менее 55,41 % на
вложенный капитал.
Таблица 12.4. Ретроспектива динамики курсов и дивидендов акций (в руб.)
Месяц
1
2
Курс А
130
85
Дивиденды от A 1,2
Курс В
3
4
5
6
7
8
9
10
53,5 35,42 31,44 34,74 33,4 40,96 35,01 35,89
2,86 48,2 23,94 4,96 0,04 11,3 20,82 1,33 0,26
66 64,19 64,19 61,37 51,88 65,85 88,9 77,57 56,68 65,14
Дивиденды от B 0,05 4,71 7,53 56,95 20,96 34,5 0,03 73,12 12,7 14,59
Курс С
48 60,95 60,95 58,23 50,38 51,87 72,1 105,95 73,14 89,94
Дивиденды от C 19,42 16,71 7,24 47,11 2,24 30,32 50,8 114,84 25,2 25,59
Решение этой задачи в среде Excel проведем по нижеследующему плану.
1. Экономико-статистический анализ данных задачи:
a. ввод курсов ценных бумаг и дивидендов на рабочий лист Excel;
б) расчет рядов эффективности данных ценных бумаг;
в) расчет оценок средней эффективности по каждой бумаге;
г) расчет отклонений эффективности каждой ценной бумаги от своей
средней;
д) расчет ковариации с использованием функции Excel «Сумма
произведений».
2. Составление математической модели оптимизации портфеля
ценных бумаг.
3. Оформление исходных данных модели на рабочем листе Excel.
4. Составление компьютерного аналога математической модели с
помощью настройки «Поиск решения» и выполнение расчетов по ней.
5. Экономическая интерпретация полученных результатов.
Прежде всего, расположим данные по курсам ценных бумаг и дивидендам
на рабочем листе Excel, как показано на рис. 12.5.
Для расчета помесячной реальной эффективности бумаг A, B, C
используем формулы (12.9). В ячейку B11 на рис. 12.6 запишем формулу
расчета эффективности бумаги А в 1-м месяце =(С3 + В4 – В3) / В3 и скопируем
ее на ячейки С11:К11. Аналогично рассчитываем значение ячеек B12:К13 для
других бумаг.
A
B
1
2
Месяц
1
3
Курс А
130
4 Дивиденды 1,2
5
Курс В
66
6 Дивиденды 0,05
7
Курс С
48
8 Дивиденды 19,42
C
D
E
F
G
H
I
Динамика курсов и дивидендов ценных бумаг
2
3
4
5
6
7
8
85
53,5 35,42 31,44 34,74 33,4 40,96
2,86 48,2 23,94 4,96 0,04 11,3 20,82
64,19 64,19 61,37 51,88 65,85 88,9 77,57
4,71 7,53 56,95 20,96 34,5 0,03 73,12
60,95 60,95 58,23 50,38 51,87 72,1 106
16,71 7,24 47,11 2,24 30,32 50,8 114,8
J
9
35,01
1,33
56,68
12,7
73,14
25,2
K
L
10
11
35,89 34,3
0,26
65,14 74,87
14,59
89,94 107
25,59
Рис. 12.5. Исходные данные к задаче инвестора для трех акций
A
B
C
D
E
F
G
H
I
10
Рассчитанные ряды эффективностей ценных бумаг
11 Бумага A -0,3369 -0,3369 0,563 0,5635 0,2627 -0,0374 0,5647 0,363
12 Бумага B -0,0267 0,0734 0,0734 0,7733 0,6733 0,874 -0,1271 0,6733
13 Бумага C 0,6744 0,2742 0,0742 0,6742 0,074 0,9746 1,1741 0,7742
14 Рассчитанные оценки математических ожиданий эффективностей ценных бумаг
15
M1
M2
M3
16
0,1632 0,3734 0,5742
17 Расчет отклонений эффективности ценной бумаги от ее средней эффективности
18 Бумага A -0,5001 -0,5001 0,3998 0,4004 0,0995 -0,2006 0,4015 0,1999
19 Бумага B
-0,4
-0,3
-0,3
0,4 0,2999 0,5006 -0,5005
0,3
20 Бумага C 0,1002 -0,3001 -0,5001
0,1 -0,5002 0,4003 0,5998
0,2
21
Расчет ковариаций между ценными бумагами
22
V11
V12
V13
V22
V23
V33
23
0,1246 0,0199 0,0123 0,1312 0,0056 0,1312
J
K
0,0631 -0,0371
0,3733 0,3733
0,5742 0,4742
-0,1 -0,2002
-3E-05 -6E-06
2E-05
-0,1
Рис. 12.6. Рассчитанные данные к задаче инвестора для трех акций
Для вычисления оценки средней эффективности ценной бумаги A в
ячейку E16 на основе (12.10), введем формулу =СУММ(В11:К11)/10. Подобные
формулы зададим для бумаг B, C, соответственно, в ячейках F16 и G16.
Для того чтобы рассчитать оценки ковариаций между ценными бумагами
следует найти помесячные отклонения реальной эффективности каждой ценной
бумаги от ее средней эффективности. Например, для бумаги A в ячейку В18
введем формулу =В11 – $E$16 с последующим ее тиражированием на массив
B18:K18. Аналогично заполним ячейки в диапазоне B19: К20 для бумаг B и C.
После этого для расчета ковариации V11, с использованием (12.11), запишем
в ячейку С23 формулу =СУММПРОИЗВ(В18:К18;В18:К18)/9, соответственно, в
ячейку D23 введем =СУММПРОИЗВ(В18:К18;В19:К19)/9. Таким же образом
заполним ячейки E23, F23, G23, H23.
Следует отметить, что для расчета ковариаций между массивами данных в
Excel есть специальная функция «КОВАР», в которой автоматизируется часть
проделанных здесь расчетов. Эта функция может быть полезна при массовом
расчете ковариаций.
Используя формулы (12.7), (12.8), (12.2), (12.4) составим модель инвестора
для трех видов акций:
Найти: Х = (Х1, Х2, Х3);
ограничения модели:
0,1631 Х1 + 0,3733 Х2 + 0,5742 Х3 => 0,5541;
Х1 + Х2 + Х3 <= 1;
Х1 >= 0; Х2 >= 0; Х3 >= 0;
Z = 0,1244Х1Х1 + 2·0,02Х1Х2 + 2·0,0123Х1Х3 +
+0,1311Х2Х2+2·0,0056Х2Х3+0,1312Х3Х3 → min.
(12.17)
Занесем исходные и расчетные данные составленной оптимизационной
модели на рабочий лист Excel, как показано на рис. 12.7.
A
B
C
D
E
F
G
H
25
Модель расчета оптимальной структуры портфеля ценных бумаг
26 Имя переменной
X1
X2
X3
27
Значение
1
1
1
28 Нижняя граница
0
0
0
29
Матрица ограничений модели
Л. часть Знак П. часть
30
0,1632 0,3734 0,5742
1,1106 >=
0,5541
31
1
1
1
3 <=
1
32
33
Уровень риска (Z)=
0,4624 ------>
min
Рис. 12.7. Расположение исходных и расчетные данных модели инвестора на
листе Excel
Значение ячеек В30:D30 было получено путем копирования значений ячеек
E16:G16. В ячейку F30 введена формула =СУММПРОИЗВ ($B$27:$D$27;
B30:D30), которая затем была скопирована в ячейку F31.
Значение целевой ячейки Е33 задается формулой (12.17) и в формате Excel
запишется следующим образом
=C23·B27^2 + 2·D23·B27·C27 + 2·E23·B27·D27 + F23·C27^2 +
2·G23·C27·D27 + H23·D27^2.
Составим компьютерный аналог модели инвестора для трех акций с
помощью надстройки «Поиск решения». Для этого войдем в меню «Сервис» и
вызовем диалоговое окно «Поиск решений». В этом окне установим
ориентацию целевой ячейки $Е$33 на минимальное значение. Далее
активизируем окно «Изменить ячейки», вводим $B$27:$D$27 и добавляем
ограничения:
$B$27:$D$27 >= 0;
$F$30 >= $H$30;
$F$31 <= $H$31.
Для организации предстоящего вычислительного процесса нажмем
кнопку «Параметры» и зададим необходимые установки (уберем флажок
«Линейная модель», если он присутствует, вместо отсутствующего метода
Франка – Вулфа сделаем выбор между методом сопряженных градиентов и
методом Ньютона). Вернувшись в окно «Поиск решений», нажмем кнопку
«Выполнить». В результате рабочий лист приобретет вид, представленный на
рис. 12.8.
A
B
C
D
E
F
G
H
25
Модель расчета оптимальной структуры портфеля ценных бумаг
26 Имя переменной
X1
X2
X3
27
Значение
0
0,1002 0,8998
28 Нижняя граница
0
0
0
29
Матрица ограничений модели
Л. часть Знак П. часть
30
0,1632 0,3734 0,5742
0,5541 >=
0,5541
31
1
1
1
1 <=
1
32
33
Уровень риска (Z)=
0,1085 ------>
min
Рис. 12.8. Основные результаты расчета задачи инвестора для трех акций
Из диапазона B26:D27 (см. рис. 12.8) следует, что Х1 = 0, Х2 = 0,1002, Х3 =
0,8998, а Zmin = 0,1085. Это означает, что инвестору следует вложить 10 %
имеющегося капитала в акции эмитента В, 90 % имеющегося капитала – в
акции эмитента С, а акции эмитента А приобретать не нужно.
Дадим экономическую интерпретацию полученных результатов.
Для того чтобы рассчитать сумму вложений в акции каждого эмитента,
необходимо умножить капитал, имеющийся у инвестора, на долю вклада в
каждый вид ценной бумаги. В итоге получим, что:
0,1002·73 000 = 7 311,84 руб. надо вложить в акции В;
0,8998·73 000 = 65 688,16 руб. надо вложить в акции С.
Найдем количество акций, которое следует приобрести инвестору по
сегодняшнему курсу продажи, чтобы с минимальным риском получить в
предстоящем месяце доход от портфеля не менее 55,41 % на вложенный
капитал. В портфеле должно быть:
7 311,84 / 74,87 = 98 акций В;
65 688,16 / 107 = 614 акций С.
12.5. Контрольные задания к разделу 12
Варианты исходных данных задачи оптимизации портфеля ценных бумаг
Показатель
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Вариант № 1; капитал – 10 000 руб.; эффект – 3,92 %
Курс А 26,000
24,81
19,04
17,02
18,99
26,69 12,05 12,47 12,03 10,53
Див. А
3,17
0,22
5,37
7,85
5,14
0,66
Курс В 44,00
42,96
28,66
18,57
19,98
26,94 29,53 22,49 21,24 20,81 20,36
Див. В
0,55
0,92
5,65
4,64
10,34
0,16
1,70
0,54
2,64
7,56
0,01
0,00
8,00
0,18
0,03
Вариант № 2; капитал – 16 000 руб.; эффект – 15,20 %
Курс А
130
130
99,44
90,08
62,31
62,31 62,31 62,31 66,57 51,19 37,69
Див. А
9,19
0,75
56,16
97,19
29,33
10,63 16,87
6,38
0,11
1,76
Курс В
22
16,7
10,99
10,63
7,37
7,37
7,37
5,64
6,69
6,69
Див. В
0,17
0,14
2,2
11,41
2,7
2,7
0,01
1,58
1,11
1,11
6,69
Вариант № 3; капитал – 7 000 руб.; эффект – 14,84 %
Курс А
65
54,28
49,41
27,61
28,85
Див. А
64,31
17,06
3,25
4,96
0,76
0,3
Курс В
55
49,09
34,61
32,06
32,94
Див. В
35,46
50,67
0,38
3,52
1,79
23,02 14,07
12,6
7,88
7,37
6,54
8,86
12,59
3,07
3,75
19,2
13,98
13,6
10,85 10,55 10,47
0,18
2,3
7,34
1,79
0,47
Вариант № 4; капитал – 19 000 руб.; эффект – 37,91 %
Курс А
130
Див. А
3,88
9,38
67,18 126,74 134,68 78,1
Курс В
88
77,08
85,73
74,46
57,46 48,72 31,56 30,93 27,34 24,28 21,55
Див. В
0,39
12,97
1,02
45,32
30,61 60,05
128,89 135,15 151,94 104,41 65,93 60,55 38,24 33,49 29,18
28,51 15,06
0,01
26,6
9,04
21,55 10,74
9,53
Вариант № 5; капитал – 19 000 руб.; эффект – 37,91 %
Курс А
65
45,78
37,6
29,62
29,62
19,61 17,43 14,37 16,64 11,72
Див. А
51,26
49,05
0,19
2,75
0,91
0,08
8,17
9,11
13,13
9,24
Курс В
11
7,18
6,78
3,85
3,75
2,84
2,7
1,44
1,55
1,38
Див. В
10,18
2,4
0,07
0,01
0,08
0,36
3,37
0,44
0,44
0,39
8,26
1,24
Ответы к вариантам исходных данных
Вариант
M1
M2
V11
V12
V22
X1
X2
Zmin
N1
N2
№1
0,076
0,08
0,136
0,0365
0,109
0,2
0,3
0,0196
249
148
№2
0,1707
0,1667
0,1156
0,0689
0,1222
0,5
0,4
0,076
212
956
№3
0,2244
0,1373
0,1711
0,0956
0,1133
0,6
0,1
0,0742
623
66
№4
0,4213
0,2804
0,1267
–0,0278
0,0978
0,7
0,3
0,0592
500
264
№5
0,2929
0,1782
0,1711
0,0956
0,1267
0,8
0,1
0,1261
387
323
Варианты исходных данных лабораторных работ по оптимизации портфеля
ценных бумаг
Месяц
Показатель
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Вариант № 1; наличный капитал 73 000 руб.; желаемый эффект 51,41 %
Курс А
130
85
Дивиденды A
1,2
2,86
Курс В
66
64,19 64,19 61,37 51,88 65,85 88,9
77,57 56,68 65,14 74,87
Дивиденды B
0,05
4,71
73,12
Курс С
48
Дивиденды C
53,5 35,42 31,44 34,74 33,4
40,96 35,01 35,89 34,3
48,2 23,94 4,96
20,82
0,04
7,53 56,95 20,96 34,5
11,3
0,03
1,33
0,26
12,7 14,59
60,95 60,95 58,23 50,38 51,87 72,1 105,95 73,14 89,94
19,42 16,71 7,24 47,11 2,24 30,32 50,8 114,84 25,2 25,59
107
Вариант № 2; наличный капитал 18 000 руб.; желаемый эффект 15,91 %
Курс А
Дивиденды A
13
8,13
10,2
10,2
5,79
3,35
3,35
3,35
4,4
4,79
12,99 1,38
0,25
0,57
0,27
0,08
2,76
0,7
0,59
1,24
70
70
69,7
55,8
33,6
33,6
42,2
44,2
1,56
1,87
1,55
1,05
10,8
5,68
3,09
4,32
Курс В
Дивиденды B
55
51
10,76 12,7
Курс С
96
92,7
113
41
20,7
17,6
4,08
3,95
4,11
3,53
Дивиденды C
0,24
13,7
12
2,65
10,7
0,64
0
0,11
0,04
0
5,11
45,3
2,71
Вариант № 3; наличный капитал 56 000 руб.; желаемый эффект 33,81 %
Курс А
78
83,1
66,5
77,2
86,7
70,7
67,7
62,2
49,5
52,6
Дивиденды A
3,38
0,72
43
14,3
42,8
17,7
33,2
44,3
12,2
16,2
Курс В
88
108
81,7
82,9
102
42,5
39,4
34,1
23,6
25,8 25,81
13,03 1,11
4,59
28,4
158
18,9
0,17
36,8
8,88
12,1
165
118
123
154
133
124
104
86,1
88,2 88,23
29,99 2,04
21,2
46,1
55,3
51,8
123
61,7
8,6
Дивиденды B
Курс С
Дивиденды C
120
52,6
11
Вариант № 4; наличный капитал 2 000 руб.; желаемый эффект 6,88 %
Курс А
13
10,4
9,49
6,69
4,57
3,19
2,58
2,46
2,46
1,71
Дивиденды A
0,2
0,1
0,13
0,24
0,1
0,03
0,43
0,05
0,06
0,11
Курс В
11
11,5
10,7
6,38
5,05
4,59
4,17
3,81
3,81
3,81
Дивиденды B
0,76
2,11
0,21
0,15
0,03
0,02
1,25
2,34
1,58
1,9
Курс С
24
27,2
22,3
6,78
3,25
3,71
2,68
2,64
2,64
1,6
Дивиденды C
4,86
0,53
0,74
0,39
0,31
0,05
0,14
0,1
0,08
0,1
0,94
3,5
0,92
Ответы к вариантам выполнения лабораторных работ
Вариант
Заданная величина
M1
M2
M3
V11
V22
V33
V12
V13
V23
X1
X2
X3
Zmin
№1
№2
№3
№4
0,163
0,373
0,574
0,1246
0,01999
0,0123
0,1312
0,0056
0,1312
0
0,1
0,9
0,1085
0,224
0,122
–0,13
0,162
0,082
0,131
0,074
0,037
0,061
0,6
0,2
0
0,0796
0,308
0,37
0,325
0,067
0,142
0,1
0,02
0,029
0,016
0,3
0,4
0,3
0,0515
–0,18
0,115
–0,16
0,024
0,096
0,102
0,016
0,022
0,031
0
0,6
0
0,0344
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложенное вниманию читателей учебное пособие адресовано в первую
очередь тем, кто обучается по специальности «Менеджмент организации».
Подбор материала, раскрытие тем, характер изложения – все делалось с учетом
потребностей и особенности этой специальности.
Основное внимание уделено содержательной стороне задач оптимизации,
возникающих в менеджменте и маркетинге, и тем математическим моделям и
методам, с помощью которых производится формализованное описание этих
задач.
Формализация
необходима
для
последующего
составления
компьютерных аналогов оптимизационных математических моделей в среде
Excel.
Насколько это актуально при ведении современного бизнеса, когда
зачастую проблемы оптимального планирования и внутрифирменного
управления отступают на второй план по сравнению с юридическими и
административными?
С одной стороны, можно было бы упомянуть известное утверждение о том,
что вся история человечества неразрывно связана с явным или неявным
решением задач оптимизации. С другой стороны, часто отмечают и бытовой
контекст принятия оптимальных решений. Действительно, кто из читателей
хотя бы раз не задавал себе вопроса о том, как с максимальной для себя пользой
потратить некую сумму, имеющуюся в его распоряжении? Или как побывать в
нескольких точках города, затратив на это минимальное время?
При составлении плана оптимального использования семейного бюджета
на текущий месяц большинство из нас поступает на основе здравого смысла
или в лучшем случае ограничивается листом бумаги и ручкой. В несколько
более сложных ситуациях может потребоваться калькулятор. Однако уже при
планировании работы предприятия мелкого или среднего бизнеса калькулятора
оказывается недостаточно. Требуется что-то еще, о чем современные
менеджеры стараются не задумываться, поскольку для многих из них
оперативность принятия решения оказывается важнее точности и
оптимальности решения.
Таким образом, суть проблемы смещается в иную плоскость – если
имеются средства выполнения быстрых расчетов для получения оптимальных
решений, то почему бы ими не воспользоваться? Ведь опыт развития современной
экономики неизменно свидетельствует, что умение эффективно расходовать
имеющиеся ресурсы является одним из решающих факторов конкурентных
преимуществ в любой сфере бизнеса. И в этом кроется один из важнейших
потенциалов выживания современных фирм и компаний.
В целом, данный курс является первой нужной и полезной ступенькой при
профессиональной подготовке менеджера к применению математических
методов в сочетании с электронными таблицами MS Excel. Это обусловлено,
прежде всего, тем, что офисный пакет MS System Office стал общепризнанным
стандартом для подготовки деловой документации. Этот пакет устанавливается
на компьютер пользователя сразу после установки операционной системы от
Microsoft. Тем самым программа электронных таблиц MS Excel всегда
оказывается под рукой, так же, как и электронный калькулятор, функции
которого эта программа часто с успехом выполняет в работе обычных
пользователей.
Рабочие листы MS Excel легко встраиваются в другие офисные документы,
что позволяет разрабатывать сложные комплекты электронной документации.
Пользователю нет необходимости не только приобретать специализированную
математическую программу, но и затрачивать время на ее изучение. Что же
касается знания MS Excel, то это представляется само собой разумеющимся для
всех, кто пишет в своем резюме: «Опытный пользователь ПК».
С целью более глубокого понимания теоретических вопросов и
возможности выполнения расчетов вручную математические методы решения
задач излагаются на числовых данных, доступных для графической
иллюстрации. Благодаря такому подходу, в пособии не используется сложный
математический аппарат, и для освоения предложенного в нем материала
достаточно знания стандартного курса математики общеобразовательной
средней школы. Для освоения изложенного в пособии материала не требуется
предварительного знакомства с какой-либо другой литературой, и на основе
материала, изложенного в нем, возможно более эффективное последующее
изучение специальной литературы. Материал пособия тесно связан как с
узкоспециальными предметами, так и с дисциплинами широкого профиля.
Данный курс несколько отличается от существующих курсов по
менеджменту. По форме изложения материал представляет конспект лекций,
являющихся теоретическим и практическим обеспечением активного решения
типовых индивидуальных заданий, с предоставлением возможности
самоконтроля успешного освоения курса. Тематика и направленность
материала приближают пособие к хрестоматии по тому кругу проблем, с
которыми менеджеру приходится сталкиваться в своей практической работе.
Построение курса и содержание, разноплановое и многообразное, позволяют
рассматривать вопросы формирования и принятия управленческого решения на
достаточно высоком уровне, поскольку по ходу изучения курса будущий
менеджер
знакомится
с
инструментами,
необходимыми
для
квалифицированного выполнения этой работы.
Как уже было сказано, пособие адресовано студентам, обучающимся по
специальности «Менеджмент организации», но есть основание считать, что оно
будет полезным и для студентов экономических вузов в качестве вводного курса
в их будущую специальность. Кроме студентов, изложенный материал могут
использовать учащиеся лицеев и колледжей соответствующих профилей,
поскольку никакой специальной математической подготовки сверх школьной
программы для его освоения не требуется.
Наконец, пособие может служить своеобразным справочником не только для
студентов, но и для специалистов, желающих сориентироваться в море сложных
проблем и задач, возникающих в их деятельности. И будет прекрасно, если книга
найдет своего читателя, будет способствовать профессиональному росту будущих
менеджеров, поможет им плодотворно работать в тесном контакте с узкими
специалистами-аналитиками.
В заключение я хочу поблагодарить тех авторов, чьими материалами
воспользовался при написании пособия. Мне необычайно повезло и в работе с
коллегами, поэтому я самым сердечным образом хочу поблагодарить их за
прямую и косвенную помощь и поддержку, оказанную мне. Кроме того, я хочу
поблагодарить всех, кто помог мне справиться с объемной и трудной работой,
связанной с корректировкой и подготовкой текста к изданию. Наконец, я хочу
заранее поблагодарить тех, кто поделится со мной своим мнением о книге,
выскажет критические замечания, поможет исправить недостатки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ален, Р. Математическая экономия [Текст] / P. Аллен. – М.:
Издательство иностранной литературы, 1963. – 667 с.
2. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах
[Текст] / И.Л. Акулич. – М.: Высш. шк., 1986. – 320 с.
3. Бахтин, А.Е. Математическое программирование [Текст]: Программа,
метод. разработка / А.Е. Бахтин, В.Н. Савиных. – Новосибирск: НИНХ, 1990. –
57 с.
4. Бахтин, А.Е. Сетевые модели в планировании и управлении: метод.
разработка [Текст] / А.Е. Бахтин, Л.Л. Высоцкий, В.Н. Савиных. – Новосибирск:
НИНХ, 1992. – 61 с.
5. Бахтин, А.Е. Сборник задач по математическому программированию
[Текст] / А.Е. Бахтин, Л.Л. Высоцкий, В.Н. Савиных. – Новосибирск: НГАЭиУ,
1994. – 134 с.
6. Бахтин, А.Е. Математическое моделирование в экономике [Текст] / А.Е.
Бахтин. – Новосибирск: НГАЭиУ, 1995. – 208 с.
7. Варфоломеев, В.И. Алгоритмическое моделирование элементов
экономических систем: практикум [Текст] / В.И. Варфоломеев. – М.:
Финансы и статистика, 2000. – 384 с.
8. Гарнаев, А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и
финансах [Текст] / А.Ю. Гарнаев. – СПб.: БХВ – Санкт-Петербург, 1999. –
332 с.
9. Зуховицкий, С.И. Линейное и выпуклое программирование [Текст] / С.И.
Зуховицкий, Л.И. Авдеева. – М.: Наука, 1967. – 460 с.
10. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и
экономическая теория [Текст] / М. Интрилигатор. – М.: Прогресс, 1975. – 606 с.
11. Калихман, И.Л. Сборник задач по математическому программированию
[Текст] / И.Л. Калихман. – М.: Высш. шк., 1985. – 155 с.
12. Клир, Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач
[Текст] / Дж. Клир. – М.: Радио и связь, 1990. – 271 с.
13. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике [Текст] / Н.Ш.
Кремер. – М.: Банки и биржи, 1997. – 408 с.
14. Кузнецов, Ю.Н. Математическое программирование [Текст] / Ю.Н.
Кузнецов, В.И. Кузубов, А.Б. Волощенко. – М.: Высш. шк., 1980. – 400 с.
15. Кузнецов, А.В. Руководство к решению задач по математическому
программированию [Текст] / А.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич. –
Минск: Высш. шк., 2001. – 207 с.
16. Курицкий, Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами ЕХСЕL 7.0
[Текст] / Б.Я. Курицкий. – СПб.: БХВ – Санкт-Петербург, 1997. – 384 с.
17. Математическое моделирование [Текст] / под ред. Дж. Эндрюса и Р.
Мак-Лоуна. – М.: Мир, 1979. – 544 с.
18. Панова, Г.С. Кредитная политика коммерческого банка [Текст] / Г.С.
Панова. – М.: ИКЦ «ДИС», 1997. – 464 с.
19. Первозванский, А.А. Финансовый рынок: расчет и риск [Текст] / А.А.
Первозванский, Т.Н. Первозванская. – М.: Инфра-М, 1994. – 192 с.
20. Савиных, В.Н. Математические методы и модели рыночной экономики:
метод. разработка [Текст] / В.Н. Савиных, А.Г. Ивасенко, В.В. Цевелев. –
Новосибирск: СГАПС, 1996. – 67 с.
21. Савиных, В.Н. Обучение формированию оптимальной структуры
портфеля ценных бумаг [Текст] / В.Н. Савиных, А.Г. Ивасенко // Содержание
образования в экономическом вузе. Материалы науч.-метод. конф. –
Новосибирск: НГАЭиУ, 1997. – С. 115–127.
22. Савиных, В.Н. Изучение проблем финансового менеджмента на основе
математического моделирования [Текст] / В.Н. Савиных, А.Г. Ивасенко,
В.В. Цевелев // Сб. научных трудов. Материалы межкафедрального науч.-метод.
семинара «Современные проблемы экономики и менеджмента». – Новосибирск:
СГГА, 2000. – С. 113–120.
23. Савиных, В.Н. Оптимальное управление кредитным размещением при
прогнозируемой динамике портфеля депозитов [Текст] / В.Н. Савиных, А.В.
Гришанова // Сб. научных трудов. Материалы межкафедрального науч.-метод.
семинара «Современные проблемы экономики и менеджмента». Вып. 2. –
Новосибирск: СГГА, 2000. – С. 32–39.
24. Савиных, В.Н. О методах анализа депозитной политики фирмы и
кредитно-депозитной политики банка [Текст] / В.Н. Савиных, А.В. Гришанова // Сб.
научных трудов. Применение математических методов в исследовании
динамических процессов. – Новосибирск: НГАЭиУ, 2002. – С. 44–54.
25. Савиных, В.Н. Комплексный анализ абсолютных и относительных
критериев производственной деятельности фирмы [Текст] / В.Н. Савиных // Сб.
научных трудов. Применение математических методов в исследовании
динамических процессов. – Новосибирск: НГАЭиУ, 2002. – С. 94–101.
26. Савиных, В.Н. Обучение методам оптимальной комплектации портфеля
ценных бумаг [Текст] / В.Н. Савиных, А.В. Гришанова // Математические
методы в прикладных исследованиях. Сб. научных трудов. – Новосибирск:
НГАЭиУ, 2003. – С. 10–27.
27. Савиных, В.Н. Об изучении требования целочисленности в курсе
«ЭММ» [Текст] / В.Н. Савиных // Математические методы в прикладных
исследованиях. Сб. научных трудов. – Новосибирск: НГАЭиУ, 2003. – С. 68–83.
28. Савиных, В.Н. Об учете фактора нелинейности при расчете оптимальной
производственной программы [Текст] / В.Н. Савиных // Математические
методы в прикладных исследованиях. Сб. научных трудов. – С. 83–90.
29. Савиных, В.Н. Методы оптимизации: метод. указания к выполнению
контрольных работ [Текст] / В.Н. Савиных. – Новосибирск, НГУЭиУ, 2005. – 53 с.
30. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций [Текст] / Хэмди А.
Таха. – 6-е изд. Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 911 с.
31. Цисарь, И.Ф. Компьютерное моделирование экономики [Текст] / И.Ф.
Цисарь, В.Г. Нейман. – М.: Диалог-МИФИ, 2002. – 294 с.
32. Черчмен, У. Введение в исследование операций [Текст] / У. Черчмен, Р.
Акоф, Л. Арноф. – М.: Мир, 1991. – 487 с.
33. Шикин, Е.В. Математические методы и модели в управлении
[Текст]: учеб. пособие / Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. – М.: Дело, 2000. –
310 с.
34. Экономика предприятия [Текст]: учебник / Под ред. проф. О.И. Волкова. –
2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 258 с.
