ключи по астрономии
реклама
Общие рекомендации для жюри. Решение каждой задачи, выполненное участником олимпиады, оценивается по 8балльной системе. При оценивании решения необходимо уделять первостепенное внимание не на ответ и его соответствие правильному ответу, а на ход решения, степень понимания участником сути картины, описанной в условии задачи, правильности и обоснованности физических и логических рассуждений. При отсутствии понимания ситуации и логической связанности решения оценка не может превышать 2-3 баллов даже при формально правильном ответе. При этом члену жюри необходимо учитывать то, что некоторые из задач имеют несколько верных способов решения, обоснованно приводящих к правильному ответу, и использование иного способа необходимо отличать от неверного решения. С другой стороны, арифметические ошибки, приводящие к неверному ответу, не должны быть основанием для снижения оценки более чем на 1-2 балла, если только ответ не получается заведомо неверный, абсурдный с точки зрения здравого смысла. В последнем случае оценка может быть существенно снижена в зависимости от абсурдности ответа, не замеченной участником олимпиады. Решения заданий муниципального этапа и система оценивания каждого задания. 9 класс Задача 1. Что такое звездные сутки, звездный месяц, звездный год? Сколько звездных суток и звездных месяцев содержится в одном звездном годе? Решение. Звездные сутки T1 – период осевого вращения Земли относительно далеких звезд или, то же самое, промежуток времени между двумя последовательными верхними кульминациями одной и той же звезды в некотором пункте Земли. Вследствие орбитального движения Земли данный период несколько меньше солнечных суток – один год содержит на одни звездные сутки больше, чем солнечные. Продолжительность звездных суток составляет 23 часа 56 минут 04 секунды или 0.99727 обычных (солнечных) суток. Звездный месяц T2 – период обращения Луны вокруг Земли относительно далеких звезд или промежуток между двумя последовательными соединениями Луны с некоторой звездой. Аналогично, вследствие орбитального движения Земли звездный месяц меньше периода изменений лунных фаз и составляет 27.3217 солнечных суток. 1 Звездный год T3 – период обращения Земли вокруг Солнца относительно далеких звезд или промежуток между двумя последовательными соединениями Солнца с некоторой звездой (без собственного движения) вблизи эклиптики. Этот промежуток несколько отличается от обычного тропического года (периода между последовательными моментами весеннего равноденствия) вследствие прецессии земной оси с периодом около 26000 лет. Точка весеннего равноденствия смещается относительно звезд в ту же сторону, что и Солнце, и звездный год на (1/26000) часть длиннее тропического года. Его продолжительность составляет 365.256 дня. Исходя из этого, получаем число звездных суток (N1) и звездных месяцев (N2) в одном звездном годе: N1 T3 T 366.26; N 2 3 13.3687. T1 T2 Рекомендации для жюри. Важным составляющим решения данной задачи является правильное представление участниками олимпиады понятий звездных суток, месяца и года, их отличия от солнечных суток, лунного месяца (периода смены фаз) и тропического года. Правильное понимание и использование каждой из трех указанных величин оценивается по 2 балла. Если участник олимпиады использует другие величины (например, тропический год вместо звездного), то, несмотря на близость ответов, соответствующие 2 балла не выставляются. Итоговые вычисления и окончательный вывод оценивается еще в 2 балла. Задача 2. Наблюдатель в северном полушарии наблюдал звезду в верхней кульминации на высоте 80°. Сместившись на юг на 2000 км, он увидел ту же звезду в верхней кульминации на высоте 82°. На какой высоте увидит наблюдатель эту же звезду в верхней кульминации после того, как сместится на юг еще на 2000 км? Решение. По условию задачи, наблюдатель движется строго на юг по меридиану. Изначально он находится в северном полушарии, на расстоянии не менее R/2, то есть 10000 км по меридиану от Южного полюса (здесь R – радиус Земли). При перемещении на расстояние L (2000 км) и 2L (4000 км) на юг наблюдатель не достигнет южного полюса. Очевидно, что он не сможет пересечь и северный полюс, и останется на том же меридиане, что и в начальном положении (цифра 1 на рисунке). Поэтому верхняя кульминация звезды будет происходить одновременно во всех точках на пути наблюдателя. 2 S` S Север h1 h `2 h2 h1 L h3 1 2 R 3 Определим величину углового перемещения наблюдателя между положениями 1 и 2: =L/R Здесь R – радиус Земли. В градусной мере угол равен 18. Если бы верхняя кульминация звезды в пункте 1 происходила к северу от зенита (положение S`), то, как видно на рисунке, в пункте 2 она бы произошла также к северу от зенита на угол ниже: h2` = h1 – = 62. Это противоречит условию задачи. Следовательно, звезда находится в положении S и в пункте 1 кульминирует южнее зенита. Тогда высота ее верхней кульминации в пункте 2 составит h2 = 180 – h1 – = 82, что соответствует условию задачи. В отличие от пункта 1, в пункте 2 верхняя кульминация произойдет к северу от зенита. То же относится и к пункту 3. Высота звезды в верхней кульминации там будет равна h3 = h2 – = 64. Рекомендации для жюри. Приведенное выше решение является наиболее наглядным и полным. Возможно, участники олимпиады будут использовать иные подходы – например, сразу считать, что при изменении широты наблюдателя на угол к югу положение звезды на меридиане будет смещаться к северу на тот же угол. Вне зависимости от метода решения участники должны обосновать, что все время наблюдатель будет находиться на одном меридиане, не пересекая полюсов, и верхняя кульминация звезды будет происходить одновременно во всех точках, через которые двигался наблюдатель. Эти два вывода 3 оцениваются по 1 баллу. Данные 2 балла не выставляются при отсутствии необходимых обоснований. Участники олимпиады должны рассмотреть возможность верхней кульминации звезды в пункте 1 к северу от зенита и доказать, что это противоречит условию задачи. Этот вывод оценивается в 3 балла. Правильное вычисление угла оценивается в 1 балл, а последующее вычисление высоты h3 – в 2 балла. Среди решений могут встретиться ошибочные выводы о том, что смещение на 2000 км приводит к перемещению звезды в верхней кульминации по меридиану на 2 (вместо 18) и окончательный ответ – 84. Такие решения оцениваются не выше, чем в 2 балла. Задача 3. 8 декабря в 15ч по Всемирному времени на Земле наблюдалось полное солнечное затмение, а 23 декабря в 09ч по Всемирному времени – частное лунное затмение. В какой день декабря того же года (по Всемирному времени) Луна была в фазе первой четверти? Решение. Солнечное затмение происходит в новолуние, в момент соединения Солнца с Луной на небе Земли. Лунное затмение, напротив, может произойти в полнолуние, когда Луна располагается с противоположной стороны от Солнца. Фаза первой четверти наступает между новолунием и полнолунием, когда Луна располагается в 90 от Солнца. Если бы орбита Луны была круговой, момент первой четверти наступил бы в середине временного отрезка между новолунием и полнолунием, то есть 16 декабря в 00ч по Всемирному времени. В реальности орбита Луны эллиптическая, хоть и мало отличная от круговой. В соответствии со II законом Кеплера вблизи перигея (ближайшей точке орбиты к Земле) линейная и угловая скорость Луны немного больше, а вблизи апогея – немного меньше. По условию задачи, 8 декабря произошло полное солнечное затмение. В декабре угловой диаметр Солнца близок к максимальному (Земля оказывается ближе всего к Солнцу вблизи Нового Года), и полное затмение может произойти, только если Луна находится рядом с точкой перигея орбиты. Следовательно, угловая скорость движения Луны после 8 декабря выше, чем перед 23 декабря, в противоположной части орбиты, вблизи ее апогея. Луна пройдет отрезок между новолунием и первой четвертью немного быстрее, чем последующий – между первой четвертью и полнолунием. Фаза первой четверти наступит несколько раньше Всемирной полночи 16 декабря. Итак, дата фазы первой четверти – 15 декабря. Рекомендации для жюри. Первым простым этапом решения является указание, что солнечное затмение происходит в новолуние, а лунное – в полнолуние. Этот вывод оценивается в 1 балл. Далее в решение следует вычисление момента середины между солнечным и лунным затмением. Правильное выполнение этого этапа оценивается в 2 балла. Если школьник ограничится выводом, что первая четверть наступит 15 либо 16 декабря или укажет в ответе 16 4 декабря в 00ч по Всемирному времени, общая оценка за решение не может превышать 3 баллов. Указание, что солнечное затмение произошло, когда Луна находилась вблизи точки перигея орбиты, оценивается в 1 балл, а при наличии обоснования с учетом даты затмения – в 2 балла. Вывод о разнице угловой скорости движения Луны по орбите и по небу оценивается в 2 балла. Наконец, формулировка окончательного ответа оценивается еще в 1 балл. Задача 4. В один момент времени искусственный спутник Земли с круговой орбитой оказался над городом Бологое, расположенном посередине между Москвой и Санкт-Петербургом. Угловое расстояние между двумя столицами при наблюдении со спутника было равно 10. Определите орбитальный период спутника. Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом равно 630 км. Решение. Для решения задачи нам нужно определить высоту спутника над поверхностью Земли H. Это можно легко сделать, считая угол , под которым со спутника видно расстояние S (Москва – Санкт-Петербург), малым: H = S / = 3600 км. Санкт-Петербург Бологое H Спутник L R Москва Центр Земли Здесь угол берется в радианной мере. Орбитальный период спутника составит: T 2 (R H )3 . GM Здесь M – масса Земли. Орбитальный период получается равным 10000 секунд или около 2.75 часа. Рекомендации для жюри. Первой частью решения задания является вычисление высоты спутника над поверхностью Земли. Это можно сделать с учетом малости углов, как описано выше, можно применять более точный метод с вычислением длины L (см. рисунок). Возможно прямое вычисление радиуса орбиты (L+H) из геометрических соображений. Результаты должны получаться практически идентичными, эти методы считаются правильными. 5 Корректное вычисление высоты спутника или радиуса орбиты оценивается в 4 балла. Еще 4 балла выставляются за правильное использование III закона Кеплера либо закона всемирного тяготения и вычисление орбитального периода. Это можно сделать с применением общей формулы, как указано выше, а можно использовать простую формулировку III закона Кеплера и сравнивать спутник с Луной. Оба подхода считаются правильными. Задача 5. В один день Венера оказалась в наибольшей восточной элонгации при наблюдении с Земли и в наибольшей западной элонгации – при наблюдении с Марса. Найдите видимый угловой диаметр Марса при наблюдении с Земли в этот день. Орбиты всех планет считать круговыми. Решение. В случае круговых орбит наибольшая элонгация (угловое расстояние от Солнца) внутренней планеты наступает, когда направление на нее из точки наблюдения является касательной линией к ее орбиты. Наибольшая элонгация Венеры по условию задачи восточная для Земли и западная для Марса, следовательно, Венера находится на линии, соединяющей Землю и Марс. Солнце R3 Марс R1 R2 L Венера Земля Очевидно, что при наблюдении с Земли в этот день Марс оказался в соединении с Венерой. Расстояние от Земли до Марса равно L R32 R12 R22 R12 2.03 a.e. Угловой диаметр Марса в этот день составит d = 206265 D / L = 4.6. Здесь D – диаметр Марса. 6 Рекомендации для жюри. Основной частью решения является правильное представление взаимного расположения Венеры, Земли и Марса в указанный момент. Лучше всего это представление передается рисунком, однако, участники олимпиады могут объяснить его в тексте. Правильное понимание геометрической картины ситуации оценивается в 4 балла. Вычисление расстояния между Землей и Марсом оценивается еще в 2 балла. Наконец, последние 2 балла выставляются за правильное вычисление углового диаметра Марса. Задача 6. Планетарная туманность A имеет интегральный блеск 10m и угловой радиус 2.2. Планетарная туманность B имеет интегральный блеск 9m и угловой радиус 4.5. Для какой из туманностей при фотографировании потребуется меньшая экспозиция и почему? Считать, что обе туманности выглядят на фотографии как протяженные объекты круглой формы с равномерным распределением яркости. Решение. Очевидно, что для протяженных объектов необходимая экспозиция будет тем больше, чем меньше поверхностная яркость объекта, то есть его яркость, деленная на видимую площадь. Планетарная туманность B по общей яркости превосходит планетарную туманность A в 2.512 раза (так как ее блеск на 1m меньше). Но размеры планетарной туманности B больше. Определим соотношение видимых площадей туманностей: S B rB2 4.2. S A rA2 Здесь rA и rB – видимые радиусы туманностей. В итоге, несмотря на большую общую яркость, планетарная туманность B уступает туманности A по поверхностной яркости в 1.7 раза. Поэтому для фотографировании туманности B потребуется большая экспозиция. Рекомендации для жюри. Решение задачи должно сопровождаться указанием, что экспозиция определяется поверхностной яркостью туманности. Этот вывод оценивается в 3 балла. Дальнейшие вычисления можно проводить разными способами – вычислять звездную величину с 1 квадратной секунды или минуты внутри туманностей, сравнивать отношение яркостей и видимых площадей туманностей. При этом не обязательно вычислять отношение поверхностных яркостей двух туманностей, достаточно лишь сравнить их. Эта часть решения оценивается в 5 баллов. Учет фона ночного неба, который не изменит ответа на задание, не является ошибкой, но и не может быть основанием для увеличения оценки. 7 10 класс Задача 1. Что такое звездные сутки, звездный месяц, звездный год? Сколько звездных суток и звездных месяцев содержится в одном звездном годе? Решение и рекомендации для жюри. См. задачу 1 для 9 класса. Задача 2. Наблюдатель в северном полушарии наблюдал звезду в верхней кульминации на высоте 80°. Сместившись на юг на 2000 км, он увидел ту же звезду в верхней кульминации на высоте 82°. На какой высоте увидит наблюдатель эту же звезду в верхней кульминации после того, как сместится на юг еще на 2000 км? Решение и рекомендации для жюри. См. задачу 2 для 9 класса. Задача 3. Астроном наблюдает полную Луну в два телескопа с одинаковыми окулярами с фокусным расстоянием 2.5 см. Объектив первого телескопа имеет диаметр 5 см и фокусное расстояние 1 метр. Второй телескоп имеет объектив диаметром 50 см с фокусным расстоянием 5 метров. Центр диска Луны совпадает с центром поля зрения. Сравните освещенность центральной части глазного дна наблюдателя в обоих случаях. Решение. Построим оптическую схему системы «телескоп – глаз наблюдателя». Окуляр l Луна F d1 D f d2 Сетчатка Объектив Обозначим диаметр объектива через D. На него в единицу времени будет падать световая энергия от Луны в количестве J I0 D2 4 , где I0 – поток энергии от полной Луны на Земле. Захваченное объективом излучение будет передаваться на фокальную плоскость, в которой получится изображение диска Луны диаметром d1 = F, где – угловой диаметр Луны, а F – фокусное расстояние объектива. Освещенность в центре изображения будет равна 8 S1 4J D2 4 I . 0 d12 2F 2 Далее свет проходит систему из окуляра с фокусным расстоянием f и глаза с фокусным расстоянием l. Чтобы весь свет попал в глаз, диаметр выходного пучка не должен превышать диаметр зрачка глаза, равный 6 мм. Для диаметра выходного пучка справедливо выражение D f . F Для двух рассматриваемых телескопов диаметр выходного пучка получается равным соответственно 1.25 и 2.5 мм, что удовлетворяет указанному условию. В этом случае на сетчатке формируется еще одно изображение диска Луны с размером d2 d1 l F l f f и освещенностью в центре S2 4J D2 f 2 4 I . 0 d 22 2 F 2l 2 Так как речь идет о центре поля зрения, данная величина не зависит от величины поля зрения окуляра. Отношение величин освещенности сетчатки для первого и второго телескопов составит S 21 D12 F22 1 . S 22 D22 F12 4 Освещенность при использовании второго телескопа будет вчетверо больше, чем при использовании первого телескопа. Рекомендации для жюри. На первом этапе решения участники олимпиады должны установить, что освещенность в центре изображения Луны в фокальной плоскости объектива пропорционально квадрату отношения диаметра и фокусного расстояния объектива (D/F)2. При этом точная запись самого выражения для освещенности не является обязательной, достаточно лишь установить указанную пропорциональность. Данный вывод оценивается в 3 балла. Далее участники олимпиады должны убедиться, что при использовании указанного окуляра выходной пучок будет уже зрачка глаза, и потери света не произойдет. Этот вывод оценивается 9 в 1 балл. Вывод о том, что освещенность в центре изображения Луны на сетчатке будет также пропорциональна (D/F)2, оценивается в 2 балла. Наконец, получение отношения величин освещенности для двух телескопов оценивается еще в 2 балла. Задача 4. Звезда движется относительно Солнца под углом 45° к лучу зрения. При этом ее гелиоцентрическая лучевая скорость равна 20 км/с, а собственное движение – 0.10 в год. Чему равен тригонометрический параллакс звезды? Решение. Так как звезда движется под углом 45° к лучу зрения, ее лучевая и тангенциальная скорость по модулю равны друг другу, тангенциальная скорость также составляет 20 км/с. Этот вывод в равной степени справедлив как для приближающейся, так и для удаляющейся звезды. Так как 1 астрономическая единица равна 1.496108 км, а год – 3.156107 секунд, скорость 20 км/с соответствует 4.22 а.е. в год. Получается, что расстояние в 4.22 а.е. видно с Земли под углом 0.10. Следовательно, звезда удалена от нас на 42.2 парсека, а ее тригонометрический параллакс (угол, под которым видно расстояние в 1 а.е.) составляет (0.10/4.22) или 0.024. Рекомендации для жюри. В начале решения задачи школьники должны установить, что тангенциальная скорость звезды по модулю равна лучевой. Этот вывод оценивается в 2 балла. Правильный перевод величины тангенциальной скорости в а.е. в год (численно либо в виде формулы) оценивается в 3 балла. Окончательное вычисление величины геометрического параллакса оценивается еще в 3 балла. Следует обратить внимание, что участники могут использовать другие подходы к решению, например, выписывать уравнения с неизвестным значением расстояния до звезды либо ее тригонометрического параллакса. Задача 5. Угловой диаметр звезды Бетельгейзе составляет 0.047, а ее болометрическая звездная величина –2m. Найти эффективную температуру Бетельгейзе. Решение. Сравним светимости Бетельгейзе (L) и Солнца (L0), пользуясь законом СтефанаБольцмана: L R L0 R0 2 T T0 4 . Здесь R и T – радиус и температура поверхности Бетельгейзе, R0 и T0 – радиус и температура поверхности Солнца. Потоки энергии от Бетельгейзе и Солнца на Земле составят F L0 L ; F0 . 2 4 D 4 D02 10 Здесь D и D0 – расстояния до Бетельгейзе и Солнца. Болометрическая звездная величина есть характеристика суммарного потока энергии от звезды во всех диапазонах электромагнитного спектра. В соответствии с формулой Погсона разница звездных величин Бетельгейзе и Солнца равна R D r F L D0 T T m m0 2.5 lg 2.5 lg 10 lg 5 lg 0 10 lg 5 lg . F0 L0 D T0 T0 D R0 r0 2 Здесь r и r0 – видимые радиусы Бетельгейзе и Солнца. Отсюда 1/ 2 T r0 10 0.1( m0 m). T0 r Болометрическая звездная величина Солнца (–26.8m) практически не отличается от видимой, что характерно для зеленоватых и желтых звезд. Подставляя численные значения, получаем температуру Бетельгейзе: около 3900 K. Тот же самый результат можно получить и более простым способом. Для этого нужно вспомнить, что поверхностная яркость звезды (яркость, деленная на видимую площадь диска) не зависит от расстояния до нее и определяется только эффективной температурой звезды, точнее, пропорциональна четвертой степени температуры. Отношение поверхностных яркостей Бетельгейзе и Солнца составляет r2 j J J0 2 / 2 10 0.4( m0 m) 02 . j0 r r0 r Здесь J и J0 – значения болометрической яркости Бетельгейзе и Солнца при наблюдении с Земли. Беря корень 4-й степени из последнего выражения, получаем ту же формулу: 1/ 2 T r0 10 0.1( m0 m). T0 r Рекомендации для жюри. Основой решения задачи является применение закона СтефанаБольцмана. Его можно использовать в классическом виде, записывая выражение для светимости звезды, можно также напрямую связывать через него температуру с поверхностной яркостью. Вне зависимости от этого, использование закона Стефана-Больцмана оценивается в 3 11 балла. Еще 1 балл выставляется за правильное понимание смысла болометрической звездной величины (при этом введение болометрической поправки к звездной величине Солнца не является обязательным). Правильный вывод связи звездных величин, видимых радиусов и температур оценивается в 3 балла. Еще 1 балл выставляется за вычисление и формулировку окончательного ответа. Задача 6. На небе около 6000 звезд, видимых невооруженным глазом. Считая, что они распределены по небу равномерно, оцените, сколько из них могут покрываться Луной при наблюдении с Земли. Решение. Плоскость орбиты Луны образует сравнительно небольшой угол с плоскостью орбиты Земли (плоскостью эклиптики), поэтому при наблюдении с Земли Луна может закрывать собой звезды, находящиеся неподалеку от линии эклиптики на небесной сфере. Определим максимальное угловое расстояние между эклиптикой и звездой, покрываемой Луной. Плоскость эклиптики R i Луна L r Земля Пусть линия, связывающая центры Земли и Луны, образует угол i с плоскостью эклиптики, а расстояние между Землей и Луной равно L. На рисунке показаны условия покрытия звезды с максимальным удалением от эклиптики . Это покрытие будет видно из одной точки Земли. Из рисунка видно, что = i + , причем L = R + r. Здесь R и r – радиусы Земли и Луны. В итоге, = i + (R + r)/L. 12 Нас интересует максимальное значение угла . Поэтому в данную формулу нужно поставить максимальную величину угла i, равную наклонению лунной орбиты к плоскости эклиптики (5.15) и минимальное значение расстояния L, соответствующее перигею орбиты Луны (356 тыс. км). Значение угла составляет 6.45 или 0.113 радиан. Как известно, лунная орбита прецессирует вокруг полюса эклиптики с периодом 18.6 лет, вращается и ее линия апсид. Поэтому за определенный период времени может произойти покрытие Луной любой звезды, находящейся к эклиптике ближе, чем на угол . Иными словами, звезды, покрываемые Луной, занимают на небесной сфере пояс вокруг линии эклиптики толщиной в 2 (см. рисунок). Эклиптика По нашему предположению, звезды заполняют небесную сферу равномерно. Тогда нам нужно вычислить площадь указанного пояса. Так как угол невелик, пояс можно считать цилиндрическим, и его площадь составит S1 = 4. Радиус небесной сферы здесь принят за единицу. Из всех звезд небесной сферы, видимых невооруженным глазом (их число N) в данный пояс попадает часть, соответствующая доле площади небесной сферы S, попадающей в пояс. Число звезд, у которых мы можем наблюдать покрытия Луной, равно 13 N1 N S1 2 2 N N 680. S 4 Рекомендации для жюри. Для решения задачи необходимо представлять, как расположена орбита Луны относительно плоскости эклиптики и как данная картина меняется с течением времени. Школьники должны сделать вывод, что покрытия Луной могут наблюдаться у всех звезд небесной сферы, удаленных от эклиптики не более, чем на определенный угол (данный вывод может быть сделан как в начале, так и в середине решения). Этот вывод оценивается в 2 балла. Еще 4 балла выставляется за правильное вычисление угла . Если участник олимпиады не учитывает видимые размеры и параллакс Луны, то данный угол у него совпадет с наклоном лунной орбиты i. В этом случае из 4 баллов ему присуждается только 1. Учет угловых размеров и параллакса Луны (слагаемые r/L и R/L в формуле для угла ) дает вклад в оценку еще по 1 баллу. Наконец, 4-й балл ставится, если участник отметит, что при решении нужно брать не среднее, а наименьшее расстояние Луны от Земли L. Последние 2 балла выставляется за правильное вычисление числа звезд, попадающих в требуемую область небесной сферы. Как видно из решения, это можно сделать без интегрирования и использования формул сферической тригонометрии, однако их правильное применение не может считаться ошибкой. 11 класс Задача 1. Сколько звездных суток проходит между двумя последовательными геоцентрическими соединениями Луны с некоторой звездой вблизи эклиптики? Решение. По определению, звездный (сидерический) период обращения Луны T2 есть период времени между двумя последовательными геоцентрическими соединениями Луны с какой-либо звездой. Этот период равен 27.3217 солнечных суток. Звездные сутки T1 – период осевого вращения Земли относительно далеких звезд или, то же самое, промежуток времени между двумя последовательными верхними кульминациями одной и той же звезды в некотором пункте Земли. Вследствие орбитального движения Земли данный период несколько меньше солнечных суток – один год содержит на одни звездные сутки больше, чем солнечные. Продолжительность звездных суток составляет 23 часа 56 минут 04 секунды или 0.99727 обычных (солнечных) суток. Число звездных суток в звездном месяце равно 14 N T2 27.396. T1 Рекомендации для жюри. Для решения задания участники должны установить, какой период времени проходит между двумя соединениями Луны со звездой – звездный период обращения Луны. Данный вывод оценивается в 3 балла. Далее школьники должны указать длительность звездных суток. Это также оценивается 3 баллами (при указании периода в 24 часа данные 3 балла не выставляется). Наконец, получение ответа на задачу оценивается в 2 балла. Задача 2. При наблюдении с широты +55 звезда A со склонением –2 взошла одновременно со звездой B, а зашла одновременно со звездой C. Чему равна разность прямых восхождений звезд B и C, если они находятся на небесном экваторе? Рефракцией пренебречь. Решение. Изобразим конфигурацию звезд во время восхода и захода звезды A. Очевидно, что угловые расстояния между звездами невелики, и картину можно считать плоской. B C O B A Горизонт Восход A O C Заход Обозначим через O точку небесного экватора, имеющую то же прямое восхождение, что и звезда A. Тогда точка O и звезда A лежат на одном круге склонения. Соединяющий их отрезок OA перпендикулярен проекции небесного экватора на картинную плоскость, содержащей саму точку O и звезды B и С. Длина отрезка OA равна модулю склонения звезды A, ||. Из рисунка видно, что при восходе и заходе этот отрезок образует с горизонтом угол, равный широте места наблюдения . Получаем: = OB = OC = || tg ; BC = 2 = 2 || tg = 5.7. Переводя эту величину в часовую меру, в которой обычно выражается прямое восхождение, получаем 23 минуты. Звезда B восходит и заходит позже звезды C, и ее прямое восхождение на 23 минуты больше, чем у звезды C. Рекомендации для жюри. Для решения задачи необходимо представление о взаимном расположении звезд A, B и C на небе. Наиболее наглядно это представление отображается на 15 рисунке. Правильное выполнение этой части оценивается в 5 баллов. Вычислительная часть решения оценивается в 3 балла. При проверке решения необходимо иметь ввиду, что задача может быть решена другими способами (в частности, вычислением часового угла восхода и захода звезды A на данной широте методами сферической тригонометрии), что тоже допустимо и оценивается максимальным баллом при условии правильного выполнения. Задача 3. В период задымления от лесных пожаров в центральной России летом 2010 года наблюдатель заметил, что Солнце на высоте 20 над горизонтом имело ту же видимую яркость, какая бывает у полной Луны вблизи зенита на ясном небе при чистой атмосфере. Исходя из этого, оцените суммарную массу дымовых частиц, находившихся над одним квадратным метром земной поверхности в этих районах. Считать, что поглощение света в чистой атмосфере в зените равно 0.2m, а дым состоит из черных частиц радиусом 1 мкм и плотностью 0.6 г/см3. Также считать, что поглощение света соответствует законам геометрической оптики (дифракцией на частицах пренебречь). Решение. Звездная величина Солнца при отсутствии атмосферного поглощения составляет – 26.8m, а звездная величина полной Луны в тех же условиях составляет –12.7m. Вблизи зенита атмосферное поглощение делает Луну слабее на 0.2m, то есть ее блеск становится равным – 12.5m. Такой же блеск оказался у Солнца на высоте h (20) над горизонтом в задымленной атмосфере. Величина поглощения солнечного излучения составила mh = –12.5 – (–26.8) = 14.3m. Для высоты 20, учитывая оценочный характер задачи, вполне можно использовать плоскопараллельную модель атмосферы (см. рисунок). Атмосфера разделяется на горизонтальные слои, в каждом из которых поглощение пропорционально длине пути луча света сквозь слой. Тогда поглощение света в зените будет равно m = mh sin h = 4.9m. Зенит Солнце Слой дыма h Наблюдатель 16 При наличии в атмосфере нескольких поглощающих компонент соответствующие величины поглощения складываются. Из полученной величины 4.9m на долю чистого атмосферного воздуха приходится 0.2m. Остальные 4.7m (обозначим эту величину mS) связаны с дымом. Как известно, поглощение на 1m соответствует уменьшению яркости в 100.4 или 2.512 раза. Учитывая это, мы можем перевести величину mS в значение вертикальной оптической толщины дыма: S ln (10 0.4m ) ln( 10 0.4 ) mS 0.921 mS 4.3. S Смысл данной величины в данном случае заключается в том, что среднее число дымовых частиц, которые окажутся на пути вертикального луча света, составляет 4.3. Каждая частица дыма создает для излучения заслон площадью = r 2, где r – радиус частицы. Над площадью S на поверхности Земли будет находиться N частиц с выполнением условия: N = SS, то есть, дымовые частицы будут «накрывать» поверхность Земли 4.3 слоями. Отсюда мы получаем N S S S S . r2 Чтобы получить суммарную массу, нужно полученное число умножить на массу одной частицы: 4 4 M N r 3 S S r. 3 3 Здесь – плотность частиц. Подставляя численные данные, получаем 1.7 грамм на один квадратный метр поверхности Земли. Столь небольшая масса дыма создает сильный оптический (и не только) эффект благодаря тому, что эта масса распределена среди огромного количества мелких частиц. Рекомендации для жюри. Первая часть задачи состоит в определении поглощения света на высоте 20 в задымленной атмосфере. Это оценивается в 1 балл, причем учет поглощения света в чистой атмосфере не является обязательным. Переход к поглощению в зените оценивается еще в 2 балла. Переход к величине оптической толщины оценивается в 1 балл. Правильное 17 представление оптической толщины как среднего количества дымовых частиц на луче оценивается в 2 балла. Окончательное вычисление массы дыма оценивается в 2 балла. Задача 4. Двойная звезда состоит из одинаковых компонент солнечного типа, обращающихся по круговой орбите вокруг общего центра масс. Система является затменной переменной, а линия водорода H (6563 Å) каждые 5 лет сначала раздваивается на 1.0 Å, а потом вновь сливается воедино. Чему равно расстояние между звездами? Решение. Так как система является затменной переменной, звезды периодически оказываются на одном луче зрения одна за другой. При этом звезды не являются гигантами, а система – не тесная (на это указывает период спектральных изменений). Следовательно, плоскость орбит звезд образует малый угол с лучом зрения. Во время затмений звезды будут иметь равные лучевые скорости относительно Земли, и линии от обеих звезд в спектре системы сольются воедино. Однако, через четверть орбитального периода одна из звезд будет двигаться с орбитальной скоростью v в сторону Земли, а другая – с той же скоростью от Земли. Разница их лучевых скоростей составит 2v. Разница наблюдаемых длин волн линии H в спектрах звезд составит v v 2v (1 ) (1 ) . c c c Здесь – длина волны линии H, с – скорость света. Отсюда можно вычислить орбитальную скорость звезд: vc , 2 что составляет 23 км/c. Максимальное расхождение линий наблюдается дважды за орбитальный период T, который, таким образом, составляет 10 лет. Радиус орбиты каждой из звезд составляет R v T 7.7 a.e. 2 Расстояние между звездами есть удвоенная величина радиуса – около 15 а.е. Система действительно не является тесной, расстояние между звездами значительно больше их размеров. 18 Рекомендации для жюри. Для решения задачи нужно указать, что плоскость орбит системы образует малый угол с лучом зрения. Этот вывод оценивается в 1 балл. Далее необходимо сделать вывод, что в определенный момент времени скорость одной из звезд будет направлена к наблюдателю, а другой – от него. Этот вывод также оценивается в 1 балл. Вычисление орбитальной скорости оценивается в 2 балла. Еще 2 балла выставляется за правильное определение периода обращения, как удвоенного периода расхождения спектральных линий. Оставшиеся 2 балла выставляются за вычисление расстояния между звездами. Задача 5. Угловой диаметр звезды Бетельгейзе составляет 0.047, а ее болометрическая звездная величина –2m. Найти эффективную температуру Бетельгейзе. Решение и рекомендации для жюри. См. задачу 5 для 10 класса. Задача 6. Скопление галактик имеет видимый диаметр 1 и состоит из 1000 галактик, похожих на нашу Галактику. Красное смещение скопления равно 0.1. Оцените, с какой частотой в этом скоплении будут происходить столкновения галактик. Решение. Красное смещение скопления галактик z сравнительно невелико. Скорость удаления скопления от нас составляет v = cz = 30000 км/с. Здесь c – скорость света. По закону Хаббла мы можем определить расстояние до скопления L v cz . H H Здесь H – постоянная Хаббла. Расстояние получается равным 420 Мпк. Считая для простоты скопление шарообразным, мы можем также определить его радиус: R L c z . 2 2H Здесь – угловой диаметр скопления, выраженный в радианах. Радиус скопления галактик равен 3.5 Мпк или 1023 м. Скопления галактик гравитационно связаны. Этот факт позволяет нам оценить характерные скорости галактик в скоплении как примерно равные первой космической скорости на краю скопления: 19 v GM R GNm . R Здесь M – масса всего скопления, N – число галактик в нем, m – масса одной галактики. Так как по условию задачи галактики похожи на нашу Галактику, примем их массу за 1012 масс Солнца или 21042 кг. Величина скорости получается равной около 1000 км/с. Направления движения галактик самые разные, и характерную относительную скорость галактик друг мимо друга мы можем считать такой же. Для оценки частоты столкновений примем, что радиус каждой галактики r составляет 20 кпк или 61020 м. Это подходит и к спиральным галактикам наподобие нашей, так как они имеют сферическое гало подобного радиуса. Для того, чтобы произошло столкновение, центрам галактик достаточно оказаться на расстоянии 2r друг от друга. Поэтому для вычисления частоты столкновений одной конкретной галактики со всеми другими мы можем принять ее радиус равным 2r и скорость v, а остальные галактики считать точечными и неподвижными. Концентрация этих галактик составит n N 3N . V0 4 R 3 Здесь V0 – объем скопления галактик. За время T галактика, которую мы рассматриваем, в своем движении прочертит цилиндр с объемом V 4 r 2 vT. Характерное время столкновения для одной галактики – это такая величина T, при котором в объем V попадет ровно одна другая (точечная) галактика, то есть: n V 4 r 2 vT 3N 1. 4 R 3 Отсюда T R3 . 3N r 2 v 20 Численная подстановка дает нам значение 1018 секунд или 31010 лет. По порядку величины это сравнимо с возрастом Вселенной. Однако данный временной отрезок характеризует лишь столкновения одной конкретной галактики со всеми остальными. Если же просуммировать все возможные попарные столкновения галактик, то, очевидно, они будут происходить в (N/2) раз чаще. Характерный интервал между столкновениями составит 2T 2R 3 T0 N 3N 2 r 2 v или 6107 лет. Это уже значительно меньше характерного возраста Вселенной и самих галактик. Поэтому столкновения происходят в скоплении в достаточно большом количестве. Более того, само время столкновения (равное 4r/v) имеет тот же порядок величины. Следовательно, с большой вероятностью в настоящий момент в скоплении протекает хотя бы одно столкновение галактик. Рекомендации для жюри. Решение задания начинается с вычисления расстояния до скопления галактик (оценивается в 1 балл) и его радиуса (еще 1 балл). Все дальнейшие вычисления в задаче являются приближенными, участники могут использовать свои модельные предположения, которые оцениваются в зависимости от степени адекватности. Это относится, в частности, к оценке величины относительных скоростей, которые в других моделях могут отличаться в 2-3 раза от взятой выше первой космической скорости. За приемлемую оценку скорости выставляется 2 балла. Дальнейшее вычисление частоты столкновений оценивается в 4 балла, причем если вначале оценивается частота для одной галактики, то за это ставится 2 балла, а еще 2 балла выставляется за переход ко всем галактикам скопления. Необходимо обратить внимание, что участники олимпиады могут формально подойти к понятию «частота» в вопросе задачи и написать в ответе 210–8 лет–1, 510–16 Гц или близкую к тому величину, что также считается правильным. 21
