Взаимодействие сонаправленных фемтосекундных
реклама
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики На правах рукописи Бахтин Михаил Александрович ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОНАПРАВЛЕННЫХ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СУПЕРКОНТИНУУМОВ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ С НОРМАЛЬНОЙ ГРУППОВОЙ ДИСПЕРСИЕЙ И НЕРЕЗОНАНСНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Специальность 01.04.05 – оптика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург 2008 Работа выполнена на кафедре фотоники и оптоинформатики СанктПетербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Козлов Сергей Аркадьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Сазонов Сергей Владимирович (РНЦ «Курчатовский институт», Москва) кандидат физико-математических наук, доцент Королев Андрей Евгеньевич (Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет) Ведущая организация: ФГУП «Научно-производственная корпорация «Государственный оптический институт им. С.И.Вавилова» Защита диссертации состоится << 21 >> февраля 2008 года в 15.50 часов в ауд. 285 на заседании диссертационного совета Д 212.227.02 в СПбГУ ИТМО по адресу: 197101, Санкт-Петербург, пр. Кронверкский, д. 49. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ ИТМО. Автореферат разослан << 21 >> января 2008 г. Ученый секретарь Специализированного Совета Д 212.227.02 доктор физико-математических наук, профессор 2 Денисюк И.Ю. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы В настоящее время фемтосекундные лазеры становятся все более доступными и уже есть во многих научных и учебных заведениях. Подобные лазерные системы позволяют исследовать оптические явления, которые можно назвать необычными даже для пикосекундной оптики. Одно из таких явлений – сверхуширение временного спектра излучения, когда ширина спектра становится соизмеримой с его центральной частотой. Это явление в поле фемтосекундных импульсов наблюдается практически во всех прозрачных средах. Явление сверхуширения временного спектра называют также генерацией спектрального суперконтинуума. Открытое еще в 1970-х годах при использовании импульсов пикосекундной длительности, оно, тем не менее, переживает в данный момент период активного исследования, связанный, в первую очередь, с прогрессом в области создания новых источников фемтосекундного лазерного излучения, а также появлением новых волноводных структур. Явление генерации спектрального суперконтинуума в нелинейной фемтосекундной оптике становится фундаментальным и сопровождает практически все остальные ее эффекты: временное уширение или сжатие импульсов, их самофокусировку и т.п. Эти эффекты для одиночных фемтосекундных импульсов изучались во многих статьях. Публикаций, в которых бы анализировалось взаимодействие импульсов со сверхширокими спектрами в нелинейной среде, на момент начала работ нам известно не было. В настоящее время количество работ, посвященных исследованию взаимодействия импульсов в нелинейных средах, а также их интерференции на выходе нелинейных сред, активно растет. В ряде научных работ, появившихся в последние годы, отмечается, что использование эффекта интерференции спектральных суперконтинуумов может привести к созданию лазерных систем с принципиально новыми свойствами. В частности, экспериментально показано, что при наложении спектральных суперконтинуумов, независимо порожденных двумя фемтосекундными импульсами, которые исходно получают из одного, наблюдается квазидискретная (“гребенчатая”) структура спектра. Такую структуру можно рассматривать различными как множество центральными отдельных частотами. источников Так излучения называемые с “частотные гребенки”, вне зависимости от способа их получения, привлекательны для многих областей науки и техники. В 2005-ом году, американец Джон Холл и немец Теодор Хэнш стали лауреатами Нобелевской премии за работы в области прецизионной лазерной спектроскопии, "включая технику измерения, основанную на использовании частотных гребенок". Источники излучения с квазидискретным спектром на сегодняшний день также востребованы в системах передачи данных, построенных на принципе мультиплексирования по длинам волн (Wavelength Division Multiplexing), использование которых позволяет достигать скоростей передачи данных в несколько десятков терабит в секунду. Цель работы состояла в исследовании сценариев взаимодействия сонаправленных диэлектрических фемтосекундных средах с спектральных нормальной суперконтинуумов групповой дисперсией в и нерезонансной нелинейностью, а также анализе механизмов генерации последовательности импульсов при таком взаимодействии. Для достижения цели были поставлены следующие задачи: 1. Численное решение уравнений, описывающих нелинейную динамику взаимодействия импульсов со сверхширокими спектрами в оптических волноводах. 4 2. Численное решение уравнений, описывающих нелинейную динамику взаимодействия импульсов со сверхширокими спектрами в объемных диэлектрических средах. 3. Описание сценариев взаимодействия импульсов из малого числа колебаний с различными центральными длинами волн в нелинейных оптических средах с дисперсией и безынерционной кубической нелинейностью. 4. Выявление оптимальных сочетаний параметров входных импульсов для достижения эффекта генерации последовательности импульсов на выходе нелинейной среды. 5. Анализ возможностей управления параметрами получаемой последовательности импульсов. Основные положения, выносимые на защиту: 1. Существует два основных сценария взаимодействия сонаправленных фемтосекундных спектральных суперконтинуумов в волноведущих и объемных диэлектрических средах с нормальной групповой дисперсией и безынерционной кубической нелинейностью. Первый сценарий – столкновения и последующего расхождения импульсов – реализуется, когда их спектры не перекрываются на всем протяжении взаимодействия импульсов, второй – столкновения и формирования единой полевой структуры, когда спектры импульсов при взаимодействии перекрываются из-за их сверхуширения в нелинейной среде. 2. Если самоуширяющиеся спектры взаимодействующих в объемной нелинейной диэлектрической среде фемтосекундных импульсов не перекрываются в то время, пока один импульс проходит через другой, то импульсы приобретают дополнительную фокусировку. Пиковая интенсивность при прохождении фемтосекундных импульсов друг через друга, например в кварцевом стекле, может увеличиваться в разы. В 5 волноводе из кварцевого стекла при взаимодействии импульсов может наблюдаться генерация комбинационных частот с интенсивностью до 10-4 от исходной. 3. Если спектры фемтосекундных импульсов в процессе взаимодействия начинают перекрываться и образуется единая полевая структура, то ее центральная сверхкоротких часть может импульсов последовательность представлять с имеет частотой собой последовательность повторения квазидискретный 30-100 спектр, ТГц. причем Эта каждой выделенной компоненте квазидискретного спектра соответствует свой импульс в последовательности. 4. Частотой повторения и общей длительностью последовательности сверхкоротких импульсов, формирующейся при столкновении фемтосекундных импульсов в нелинейной среде, можно управлять, меняя временную задержку между взаимодействующими импульсами на входе в среду. При увеличении этой задержки увеличивается частота повторения импульсов, однако уменьшается общая длительность последовательности. Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые: 1. Сценарии взаимодействия двух фемтосекундных спектральных суперконтинуумов, распространяющихся сонаправленно в диэлектрических средах с нормальной групповой дисперсией и нерезонансной кубической нелинейностью, продемонстрированы на основе метода, не ограниченного приближением медленно меняющейся огибающей. 2. Показана связь уравнения, анализируемого в работе и при выводе которого использовано приближение медленно меняющегося профиля, с широко известной системой уравнений, описывающих взаимодействие двух квазимонохроматических импульсов. При применимости такой системы. 6 этом определены пределы 3. Численные расчеты иллюстрированы для практически важного случая взаимодействия первой и второй гармоник фемтосекундного излучения Ti:S лазера в оптическом волокне из кварцевого стекла, а также в объемном кварцевом стекле. 4. Продемонстрирована последовательности возможность сверхкоротких генерации импульсов при терагерцовой взаимодействии фемтосекундных импульсов, имеющих на входе в среду различные центральные длины волн, в среде с нормальной групповой дисперсией и нерезонансной кубической нелинейностью. Достоверность полученных результатов обоснована тем, что методы решения рассмотренных в диссертации задач базируются на современных теоретических представлениях и подходах к описанию динамики распространения импульсов со сверхшироким спектром в нелинейных средах. Используемые численные методы хорошо описывают известные аналитические решения, а также согласуются с известными экспериментальными данными. Практическую ценность представляет продемонстрированный в работе метод генерации последовательности фемтосекундных импульсов. Подобный метод может использоваться в системах сверхбыстрой передачи данных на скоростях более 10 Тб/с. Апробация основных результатов Результаты диссертационной работы докладывались на следующих 18 международных и российских конференциях: международных конференциях молодых ученых и специалистов "Оптика" (Санкт-Петербург, 1999, 2001, 2005, 2007), международных конференциях LOYS (Санкт-Петербург, 2000, 2003), международной конференции ICONO (Минск, Беларусь, 2001, 2007), международных конференциях IQEC/LAT (Москва, 2002; Санкт-Петербург, 7 2005), международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2006), конференции “Современные проблемы лазерной физики” (Санкт-Петербург, 2004), международной конференции «Photonic devices and algorithms for computing VII» (San Diego, California, USA, 2005), высшей лазерной школе (Москва, 2004), всероссийской школе-семинаре “Физика и применение микроволн” (Москва, 2007), международном тематическом семинаре “Topical Meeting on Optoinformatics'05” (СанктПетербург, 2005), научных и учебно-методических конференциях СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2005, 2006). Публикации Основные результаты диссертации изложены в 15 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 5 печатных работ опубликовано в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Личный вклад Диссертант принимал участие в постановке и решении задач, обработке и обсуждении полученных результатов. Представленные результаты расчетов выполнены диссертантом. Структура и объем работы Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 102 страницах машинописного текста, 32 рисунках и в 4 таблицах. Список литературы включает в себя 95 наименований. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность работы, сформулированы ее цель, задачи и основные научные результаты, выносимые на защиту. Первая глава посвящена обзору основных теоретических методов описания динамики фемтосекундных импульсов 8 со сверхширокими спектрами, в том числе содержащими лишь несколько колебаний светового поля, в нелинейных средах. В параграфе 1.1 приводится описание традиционного в нелинейной оптике метода, основанного на анализе эволюции медленно меняющейся огибающей электрического поля импульса. Отмечаются основные недостатки такого подхода, уравнения, записываемые в рамках которого, предполагают квахимонохроматичность излучения, что не дает возможности использовать их для описания взаимодействия спектральных суперконтинуумов в нелинейной среде. В параграфе 1.2 дается описание уравнения, выведенного в 1997 году С.А. Козловым и С.В. Сазоновым с использованием приближения медленно меняющегося профиля волны, в котором анализируется динамика непосредственно поля излучения: t t ¶E N 0 ¶E ¶3E ¶E c + - a 3 + b ò Ed t ¢ + gE 2 = D ^ ò E dt ¢ , 2 ¶z c ¶t ¶t ¶ t N 0 -¥ -¥ (1) где E – напряженность электрического поля излучения; z – направление, вдоль которого оно распространяется; t – время; N0, a, b – параметры среды, описывающие дисперсию ее линейного показателя преломления: n(w) = N 0 + acw 2 - bc ; w2 (2) g – характеристика среды, связанная с ее коэффициентом нелинейного показателя преломления n2 выражением g = 2n2 ; с – скорость света в c вакууме, D ^ - поперечный лапласиан. Уравнение (1) не основывается на приближении квазимонохроматичности излучения, что делает его пригодным для исследования динамики распространения импульсов со сверхширокими спектрами. Именно оно и использовалось в настоящей работе при получении основных результатов численного моделирования взаимодействия сонаправленных фемтосекундных спектральных суперконтинуумов. В параграфе 1.3 приводится доказательство того, что 9 уравнения, выведенные на основании приближения медленно меняющегося профиля при рассмотрении взаимодействия двух импульсов с различными центральными частотами излучения, содержат в себе, как частный случай, известную систему уравнений, описывающую взаимодействие двух квазимонохроматических импульсов. При анализе распространения импульсов с широким спектром крайне важным является правильное описание дисперсии оптических характеристик среды в очень широком спектральном диапазоне. В параграфе 1.4 дается сравнение аппроксимации дисперсии линейного показателя преломления среды в методах медленно меняющейся огибающей и медленно меняющегося профиля. Показано, что при описании дисперсии линейного показателя преломления одинаковым количеством слагаемых в уравнении точность у полевого подхода выше, чем при использовании классического подхода, основанного на анализе огибающей. Там же, на примере кварцевого стекла, рассчитываются дисперсионные константы уравнений, наиболее точно описывающие дисперсию линейного показателя преломления в заданном диапазоне частот. В параграфе 1.5 рассматривается нелинейная часть отклика среды. Дается пояснение, почему в данной работе мы ограничиваемся рассмотрением только одного механизма нелинейности (нерезонансной электронной нелинейности) и пренебрегаем остальными. В параграфе существования 1.6 двух приводится сценариев аналитическое взаимодействия обоснование спектральных суперконтинуумов в нелинейных средах и делается вывод о возможности генерации последовательности импульсов при таком взаимодействии. Там же приводятся оценки основных параметров получаемой последовательности. Во второй главе приводится описание методики численного решения уравнений, приведенных в первой главе, а также представлены основные результаты, полученные на основе численного 10 решения уравнения, описывающего динамику поля излучения взаимодействующих импульсов в оптоволоконных световодах (уравнения (1) с правой частью равной 0). Параграф 2.1 описывает методику численных расчетов, применяемых для моделирования процесса взаимодействия сонаправленных спектральных суперконтинуумов. В работе используется метод расщепления по физическим факторам, в котором независимо анализируется линейная и нелинейная части уравнения. На линейном шаге используется алгоритм быстрого преобразования Фурье, а на нелинейном шаге – неявная схема Кранка-Николсона. Рассматриваемый метод применим для анализа взаимодействия импульсов как в оптоволокне, так и в объемных средах. В параграфе 2.2 приводятся результаты численного моделирования взаимодействия сонаправленных фемтосекундных спектральных суперконтинуумов в оптоволоконных световодах из кварцевого стекла. Демонстрируются два основных сценария взаимодействия спектральных суперконтинуумов в нелинейной оптической среде. Показано, что первый сценарий – столкновения и последующего расхождения импульсов – реализуется, когда их спектры не перекрываются на всем протяжении взаимодействия импульсов, второй – столкновения и формирования единой полевой структуры, – когда спектры импульсов при взаимодействии перекрываются из-за их сверхуширения в нелинейной среде. Типичный пример реализации суперконтинуумов первого приведен сценария на взаимодействия Рис. 1, где спектральных изображена динамика взаимодействия двух 26-фемтосекундных импульсов в оптоволокне из кварцевого стекла. Импульсы на входе в среду имеют центральные частоты, соответствующими первой и второй гармоникам излучения Ti:S лазера (780 нм и 390 нм), равные входные интенсивности 2·1012 Вт/см2 и начальную Dt= 40 фс. временную задержку координат, движущейся с Импульсы групповой 11 изображены скоростью на в системе полусумме их центральных частот на входе в среду. В процессе распространения импульсы смещаются друг относительно друга в соответствии с разницей их групповых скоростей. Низкочастотный импульс обгоняет высокочастотный, оба импульса при этом претерпевают эффект самоуширения спектра, а также дисперсионное расплывание. Самоуширение спектров, тем не менее, оказывается недостаточным для того, чтобы они начали перекрываться, поэтому импульсы после взаимодействия расходятся. Взаимодействие импульсов в процессе распространения проявляется в генерации новых комбинационных частот. Рис. 1. Типичный пример первого сценария взаимодействия фемтосекундных импульсов, при котором спектры импульсов не перекрываются на всем протяжении их взаимодействия. Второй сценарий взаимодействия фемтосекундных импульсов реализуется, когда спектры импульсов в результате сверхуширения начинают перекрываться на некотором расстоянии от входа в среду. При этом формируется единая полевая структура, центральная часть которой представляет собой последовательность импульсов с частотой повторения несколько десятков терагерц. Типичный пример генерации подобной последовательности приведен на Рис. 2. Параметры импульсов и среды на этом рисунке такие же, как на Рис. 1, за исключением интенсивности (она 12 увеличена в 10 раз по сравнению с Рис. 1 и составляет 2·1013 Вт/см2). На Рис. 2а изображена динамика огибающей электрического поля импульса, достроенной численно. Расчет при этом проводился без использования формализма медленно меняющейся огибающей. На врезке сверху Рис. 2а приведена структура электрического поля в центре последовательности (выделены два центральных импульса последовательности), при этом видно, что каждый из импульсов последовательности состоит из 20-25 колебаний светового поля. На Рис. 2б приведена динамика спектров взаимодействующих импульсов. Спектры в результате взаимодействия образуют единую квазидискретную структуру. Каждый импульс в последовательности имеет собственную центральную частоту, которой соответствует собственная выделенная компонента квазидискретного спектрального суперконтинуума. а) б) Рис. 2. Типичный пример второго сценария взаимодействия фемтосекундных импульсов. Изображены: динамика огибающей электрического поля (а), динамика спектров взаимодействующих импульсов (б). На врезке изображена структура электрического поля в центре последовательности импульсов. В параграфе 2.3 демонстрируются возможности управления основными параметрами генерируемой последовательности, в частности, демонстрируется возможность изменения частоты повторения импульсов за 13 счет изменения начальной временной задержки между импульсами. Увеличение этой задержки приводит к увеличению частоты повторения импульсов, однако общая длительность последовательности при этом уменьшается. Глава 3 посвящена взаимодействию фемтосекундных импульсов в объемных средах. Наличие эффекта самофокусировки оказывает существенное влияние на взаимодействие фемтосекундных импульсов, однако основные сценарии соответствуют сценариям параграфе 3.1 взаимодействия взаимодействия приводятся демонстрирующих эти При объемных в оптическом результаты сценарии. в средах волокне. В численных расчетов, интенсивностях импульсов, недостаточных для такого сверхуширения спектров, чтобы они начали перекрываться, как и в оптическом волокне, низкочастотный импульс обгоняет высокочастотный и дальше они распространяются независимо. Однако импульсы при прохождении друг через друга существенно усиливают самофокусировку друг друга. Если же спектры импульсов начинают перекрываться, то, как и в оптоволокне, возможна генерация последовательности импульсов. Каждый из импульсов последовательности при дальнейшем распространении фокусируется. Поперечная ширина каждого из импульсов уменьшается из-за фокусировки. На Рис. 3 приведен типичный пример последовательности импульсов, сформировавшейся в результате нелинейного взаимодействия фемтосекундных импульсов в объемном кварцевом стекле. Рис. 3а изображает распределение интенсивности в пространственно-временной плоскости (чем темнее участок, тем выше интенсивность), а Рис. 3б – 14 распределение интенсивности на оси пучка. Поперечная ширина импульсов в сгенерированной последовательности – 15-20 мкм. a) б) Рис. 3. Типичный пример последовательности импульсов, сгенерированной в процессе взаимодействия двух фемтосекундных импульсов в объемной среде. Изображены (а) распределение интенсивности в пространственно-временной плоскости; (б) распределение интенсивности на оси пучка. В параграфе 3.2 приводятся экспериментальные результаты, полученные соавторами по формированию квазидискретного суперконтинуума при интерференции импульсов со сверхуширенными в кварцевом стекле и отличающимися центральной частотой спектрами, которые косвенно подтверждают возможность генерации квазидискретного спектрального суперконтинуума при взаимодействии в нелинейной среде фемтосекундных импульсов с разными частотами. В четвертой главе обсуждается возможность использования получаемых последовательностей импульсов для кодирования информации в системах передачи данных. В связи с тем, что каждому импульсу во временной последовательности соответствует своя выделенная компонента квазидискретного спектра, то оказывается возможным управление этой последовательностью путем подавления 15 полосовыми фильтрами определенных компонент в спектре последовательности. В параграфе 4.1 сформулирован основанный ограниченного блока на этом принципе информации в метод одном кодирования волновом пакете (последовательности импульсов). В параграфе 4.2 приводятся оценки эффективности использования полученного излучения со сверхшироким квазидискретным спектром в системах сверхбыстрой передачи информации, основанных на принципе частотного разделения каналов. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации: · Разработан алгоритм и программа расчета для численного моделирования взаимодействия импульсов со сверхширокими континуумными спектрами в изотропных прозрачных средах с нерезонансной дисперсией и безынерционной кубичной нелинейностью. · Произведены аналитические оценки частоты повторения, а также несущей частоты последовательности взаимодействии импульсов, сонаправленных генерируемой фемтосекундных импульсов при в оптическом волокне. · На основе численных расчетов демонстрируются два основных сценария взаимодействия фемтосекундных импульсов в оптических волокнах, а также в объемных средах с нерезонансной дисперсией и безынерционной кубичной нелинейностью. · Показана возможность генерирования терагерцовой последовательности импульсов из малого числа колебаний светового поля при взаимодействии двух фемтосекундных импульсов в волноводах, а также объемных оптических средах. · Показана зависимость частоты повторения импульсов в последовательности от начальной временной задержки между импульсами, что дает эффективную возможность управления этими параметрами. · Продемонстрирован метод кодирования блока информации с помощью полученной последовательности фемтосекундных импульсов. 16 ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Бахтин взаимодействия М.А., Козлов С.А., Шполянский фемтосекундных лазерных импульсов Ю.А. с Сценарии различными спектральными составами в объемном кварцевом стекле. – Оптический журнал, 2007, т. 74, №11, с. 24-29. 2. Бахтин М.А. Взаимодействие сонаправленных фемтосекундных спектральных суперконтинуумов в диэлектриках с нормальной групповой дисперсией и нерезонансной нелинейностью. В кн.: Труды международной конференции молодых ученых и специалистов “Оптика-2007”, СПб, с. 32-33. 3. Bakhtin M.A. Kozlov S.A. Generation of the discrete spectral supercontinuum in two intensive ultrashort pulses interaction. – Optical Memory and Neural Networks, 2006, Vol. 15; N 1, p. 1-10 4. Бахтин М.А., Козлов С.А. Управление параметрами терагерцовой последовательности световых импульсов. – Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО, СПб, 2006, с. 22-26. 5. Бахтин М.А., Берковский А.Н., Шполянский Ю.А. Нелинейное взаимодействие фемтосекундных импульсов с различными спектральными составами в объемном кварцевом стекле. – В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПбГУ ИТМО, СПб, 2006, с.178-183. 6. Бахтин М.А., Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Взаимодействие фемтосекундных спектральных суперконтинуумов в прозрачных нелинейных средах. В кн.: Труды международной конференции “Фундаментальные проблемы оптики – 2006”, СПб, с. 230-231. 7. Бахтин М.А., Козлов С.А. Формирование последовательности сверхкоротких сигналов при столкновении импульсов из малого числа колебаний светового поля в нелинейных оптических средах. – Оптика и спектроскопия, 2005, Т. 98, N 3, с. 425-430. 17 8. Kozlov S.A., Bakhtin M.A., Bespalov V.G. Generation of THz repetition rate signals by nonlinear interaction of two femtosecond pulses. – Proceedings SPIE, 2005, v. 5907, p. 273-280. 9. Бахтин М.А. Метод генерации последовательности сверхкоротких сигналов с тактовой частотой 30-50 ТГц. – В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. СПбГУ ИТМО, СПб, 2004, c. 203-211. 10. Бахтин М.А., Козлов С.А. Генерация последовательности сверхкоротких сигналов при взаимодействии двух импульсов из малого числа колебаний светового поля в нелинейной диэлектрической среде. В кн.: Труды международной конференции “Фундаментальные проблемы оптики - 2004”, СПб, с. 167-168. 11. Shpolyanskiy Yu.A., Belov D.L., Bakhtin M.A., Kozlov S.A. Analytic study of continuum spectra pulse dynamics in optical waveguides. – Applied Physics B: Lasers and Optics, 2003. v. 77. N.2 3, p. 349-355. 12. Bakhtin M.A., Berkovsky A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu. A. Paraxial (2+1)-dimensional self-focusing of extremely short pulses. – Proceedings SPIE, 2001, v. 4423, p. 274-279. 13. Бахтин М.А., Шполянский Ю.А. Колесникова С.Ю. Сравнение точности аппроксимации дисперсии кварцевого стекла в методах медленно меняющейся огибающей и медленно меняющегося профиля. – В кн.: Современные технологии, СПб, 2001, c.196-203. 14. Бахтин М.А., Берковский А.Н., Крылов Р.А. Граница применимости метода медленно меняющейся огибающей при анализе 2+1-мерной динамики предельно коротких импульсов. - В кн.: Труды международной конференции молодых ученых и специалистов “Оптика-2001”, СПб, с. 87-88. 15. Бахтин М.А., Шполянский Ю.А. О границе применимости метода медленно меняющейся огибающей в оптике сверхкоротких импульсов. – В кн. Современные технологии, СПб, 2000, c. 19-23. 18
