- MSC Software

Возможности MSC.Nastran и MSC.Patran для статического расчета с
использованием p-элементов.
Кравченко Е.Е.
Научно-исследовательский и конструкторский институт
криогенного машиностроения ОАО "Криогенмаш"
В ОАО “Криогенмаш” внедрен полный комплекс программных продуктов
MSC.Software. Но в первую очередь используются программы MSC.Patran, MSC.Nastran,
MSC.Marc для решения статических задач. MSC.Patran и MSC.Nastran позволяют
создавать конечно-элементные (КЭ) модели и решать задачи линейной статики с
использованием не только h-элементов, но и p-элементов. Была поставлена цель:
определить применимость КЭ моделей на основе p-элементов для расчета конструкций,
проектируемых в ОАО “Криогенмаш”.
При использовании p-элементов аппроксимация задается с использованием
полиномов высокого порядка, что позволяет получить более точное распределение
напряжений. Также имеется возможность более точно задать геометрию, нагрузки и
граничные условия (например, можно задать криволинейную границу в конечном
элементе вместо прямолинейной, распределенные нагрузки и граничные условия в
элементе вместо сосредоточенных и т.д.). За счет полиномов высокого порядка обычно
требуется меньшее число p-элементов, чем обычных h-элементов с сохранением точности
вычислений.
Точность расчета регулируется не только топологией конечных элементов, но
также и степенью аппроксимационного полинома. Расчетчик может задать количество
конечных элементов в модели, необходимое для описания геометрии. А затем задать
степень полинома только в интересующей его зоне (в зонах концентрации напряжений).
Естественно можно использовать p-элементы на всей конечноэлементной модели, но это
менее эффективно с точки зрения вычислительной трудоемкости. Если необходимо
получить более точный результат, то можно увеличить степень полинома вручную, или
автоматически программой по заданному критерию без изменения конечноэлементной
сетки. Используя полиномы высокого порядка вместо перестроения КЭ сетки можно
быстрее получить нужный результат.
Порядок аппроксимационного полинома задается в свойствах КЭ в каждом из трех
направлений. Для адаптивного анализа необходимо задать начальный, минимальный и
максимальный
порядок
аппроксимации
(рис.1).
Если
минимальный
порядок
аппроксимации равен начальному, то порядок полинома не будет уменьшаться. А если
начальный порядок равен максимальному, то элементы имеют постоянный порядок
1
аппроксимации в процессе расчета. Для оценки погрешности вычислений используется не
разница между двумя расчетами, а результаты одного расчета конечноэлементной модели.
Для КЭ с линейной аппроксимацией оценка погрешности основана на скачках
напряжений в узловых точках (grid-point stress discontinuity), для элементов высокого
порядка также учитывается вклад скачков напряжений по ребрам и граням конечных
элементов.
Используя
оценку
погрешности
вычисления
напряжений,
порядок
аппроксимации может изменяться независимо в каждом из 3-х направлений. В разных
областях КЭ модели можно задать различные критерии и различную максимально
допустимую погрешность.
Рис.1 Параметры адаптивного расчета в MSC.Patran.
Перед запуском на расчет в меню Analyze/ Solution Type/Solution Parameters/Max pAdaptive Cycles выбирается максимально допустимое число циклов адаптивного анализа.
В MSC.Nastran p-элементы можно использовать совместно с h-элементами.
Совместимость
элементов различного порядка
аппроксимации
обеспечивается
в
MSC.Nastran автоматически. При создании расчетной модели не нужно задавать
специальные элементы или уравнения связи перемещений для получения непрерывности
перемещений. Адаптивные P-элементы можно использовать в линейной статике (SOL
101) и расчете собственных частот (SOL 103). P-элементы с постоянным порядком
аппроксимации
можно
использовать
в
динамических
расчетах
(SOL
107,108,109,110,111,112).
В MSC.Nastran можно использовать 6 адаптивных p-элементов: 3d-solid элементы
CHEXA, CPENTA, CTETRA; 2-d элементы CQUAD, CTRIA; и балочный элемент
CBEAM. MSC.Patran позволяет использовать в КЭ модели элементы TET4, TET10, TET16,
TET40, WEDGE6, WEDGE15, WEDGE52, HEX8, HEX20, HEX64 для 3d анализа; TRIA3,
TRIA6, TRIA7, TRIA9, TRIA13, QUAD4, QUAD8, QUAD9, QUAD12, QUAD16 для 2dsolid и оболочечных элементов, BAR2, BAR3, BAR4 для балочных элементов.
2
Рекомендуется при создании новой модели использовать КЭ высокого порядка: HEX64,
WEDGE52, TET40, TET16, TRIA13, QUAD16, BAR4. КЭ высокого порядка позволяют
более точно определить топологию модели, а также удобнее для анализа результатов
расчета в постпроцессоре. Элементы низкого порядка в основном используются для
модификации уже созданных КЭ моделей.
Используя при создании конечноэлементной модели элементы высокого порядка
можно задать криволинейные границы конечных элементов. MSC.Patran передает в
MSC.Nastran ребра КЭ в виде кривых третьего порядка. В этом случае границы элементов
в MSC.Nastran определяются оператором FEEDGE Bulk Data, а 2 дополнительных точки
на ребрах КЭ задаются в MSC.Nastran оператором POINT Bulk Data. Расположение
дополнительных точек определяется Pat3Nas транслятором таким образом, чтобы
обеспечить C1 непрерывность функций формы соседних конечных элементов.
При
использовании
p-элементов
в
MSC.Patran
необходимо
использовать
распределенные нагрузки и граничные условия. Использование сосредоточенных
нагрузок (Force в Bulk Data MSC.Nastran) и узловых закреплений (SPC и SPC1 в Bulk Data
MSC.Nastran) приводит к сингулярностям полей напряжений (рис.2).
а)
б)
Рис.2. Распределение напряжений в пластине вдоль оси Y. P-элементы 3-го порядка.
Граничные условия заданы в узлах (а), по границам элементов (б).
Для просмотра результатов расчета с использованием p-элементов в MSC.Patran
существует 2 подхода. Оба метода основаны на том, что MSC.Nastran выводит результаты
для сетки view-элементов (VU-mesh), т.е. каждый p-элемент представлен в виде
нескольких элементов меньшего размера. По умолчанию MSC.Nastran создает VU-mesh
размерами: 3x3x3 для объемных элементов, 3x3 для оболочечных, и 3 элемента для
балочных элементов. В случае если порядок аппроксимации равен 3, результаты
3
достоверно отображаются в MSC.Patran c помощью элементов высокого порядка. Если
порядок аппроксимации выше 3, то VU-mesh размером 3x3x3 не позволяет достоверно
отображать результаты. В этом случае, можно задать вручную с помощью параметра
OUTRCV Bulk Data число элементов VU-сетки, а затем импортировать модель и
результаты расчета во вновь созданную модель MSC.Patran.
Рассмотрим использование pэлементов
на
примере
задачи
приведенной на рис.3. Прямоугольная
пластина, два противоположных края
которой
свободно
свободен,
находится
оперты,
четвертый
под
третий
заделан,
воздействием
равномерно распределенной нагрузки q.
Данные для расчета: модуль упругости
материала
E = 2⋅105 МПа,
коэффициент Пуассона μ = 0,3, a = 1 м,
Рис. 3
b = 2 м, h = 20 мм, q = 15 ⋅ 10 3 Н/м2.
Аналитическое решение приведено в (1). Результаты решения задачи с использованием
одного конечного элемента приведены в таблице 1.
Таблица 1
Величина
Аналитичес-
Численное решение с использованием MSC.Nastran.
кое решение
1 КЭ CQUAD4
Порядок аппроксимации
4
6
8
10
(σ x )max ∗,МПа
29,48
32,11;
29,53;
29,29;
29,26;
(σ )
28,13
20,83;
27,06;
28,27;
28,22;
1,536
1,591;
1,557;
1,554;
1,554;
6.567E+00
5.812E-02
1.212E-02
1.082E-02
y max
∗,МПа
wmax ∗∗, мм
max error (f06
file)
∗ –максимальное значение вычисляется в узлах VU-элементов (число VU-элементов равно
порядку аппроксимации для каждого направления);
∗∗ - значения в узлах VU-элементов.
4
а)
б)
Рисунок 4. Изгибные напряжения в узлах в направлении X(а) и Y (б), МПа.
Использован один КЭ CQUAD4 8 порядка аппроксимации. Для отображения результатов
используется VU-сетка 8x8 элементов.
Таким образом, 1 элемент 8 порядка позволяет получить решение близкое к
точному. Для решения этой же задачи с использованием элементов 1-3 порядка требуется
увеличить число КЭ (таблица 2).
Таблица 2
Аналитическое решение
Величина
MSC.Nastran, КЭ CQUAD4
h - элементы
Значение
1
(σ x )max ∗,
МПа;
(σ )
y
∗,
max
МПа;
wmax ∗∗, мм;
29,48
28,13
1,536
p – элементы
Порядок аппроксимации
2
Сетка∗∗∗
3
26,63; 24,88
30,754; 25,662
29,128; 26,332
6×4
29,08; 27,84
29,60; 28,116
29,20; 28,222
12×8
29,16; 28,35
29,435; 28,64
29,214; 28,676
20×10
9,993; 8,431;
21,502; 8,4239;
28,116; 6,9225;
6×4
16,76; 16,22;
26,890; 16,329;
28,031; 15,830;
12×8
20,67; 20,25;
27,625; 20,433;
28,048; 20,224;
20×10
1,446
1,546
1,545;
6×4
1,517
1,5424
1,5429
12×8
1,525
1,5425
1,5428
20×10
∗ – значение в узле; значение в центре элемента, для p-элементов значение в центре КЭ
5
определено постпроцессором MSC.Patran;
∗∗ – значения в узлах КЭ (h-элементы) и узлах VU-элементов (p-элементы);
∗∗∗ – количество конечных элементов по длине пластины b и ширине пластины a;
Результаты расчетов показали, что конечно-элементная модель с использование pэлементов позволяет получить более точное решение задачи, чем модель на основе hэлементов (CQUAD4, CTRIA3) и том же числе степеней свободы. Решение близкое к
точному можно получить двумя способами: используя сравнительно большое число
конечных элементов низкого порядка (2,3,4) или малое число элементов высокого
порядка. В рассмотренном примере эффективным с точки зрения размерности задачи
является расчет с использованием порядка аппроксимации не ниже третьего.
Также было проведено сравнение результатов расчета цилиндрических и
сферических оболочек с использованием p- и h- элементов.
Для более точного
приложения нагрузок и получения верного результата расчета число p-элементов вдоль
криволинейных образующих необходимо увеличить (2-3 КЭ вдоль ¼ дуги окружности не
достаточно).
Пример КЭ модели из p-элементов и близкая по точности расчета напряжений
модель из h-элементов приведена на рис.5. Рассматривается ¼ тройника, нагруженного
внутренним давлением. При создании модели учитывалось свойство симметрии. Края
труб были закреплены так, чтобы полностью исключить возможность возникновения
безмоментного состояния, обусловленного эффектом закрепления самого края (2).
а)
б)
Рисунок 5. Конечно-элементная модель тройника.
а) p-элементы CQUAD4 б) h-элементы CQUAD8.
Результаты расчета напряжений в КЭ моделях с использованием p- и h- элементов
приведены на рис. 6-9 (a – меридиональное направление, б – окружное направление).
6
а)
б)
Рис.6. Распределение напряжений на наружной поверхности основной трубы (вдоль AB).
а)
б)
Рис.7 Распределение напряжений на внутренней поверхности основной трубы (вдоль AB).
а)
б)
Рис.8 Распределение напряжений на наружной поверхности патрубка (вдоль AC).
а)
б)
Рис.9 Распределение напряжений на внутренней поверхности патрубка (вдоль AC).
7
В модели из p-элементов был задан начальный порядок аппроксимации 2 и
максимальный порядок 5. Допустимый error tolerance был установлен 0.05. Расчет
завершился через 3 итерации.
Рис. 10. Оценка погрешности на 3 итерации адаптивного анализа.
Максимальное значение для оценки погрешности вычисления средствами
MSC.Nastran 2005 составила 0,047. При этом максимальный порядок аппроксимации
достиг 5 в зоне пересечения труб, а КЭ удаленные от зоны концентрации напряжений
имеют 2-3 порядок аппроксимации. В КЭ модели на 3 итерации используется 4818
степеней свободы (76 КЭ). Для сравнения, КЭ модель из h-элементов содержит 8166
степеней свободы (420 КЭ). В КЭ моделях из p- и h- элементов, а также в работе 3
получены близкие результаты по напряжениям и на основной трубе, и на патрубке.
max
Максимальная разность по результатам расчета напряжений составляет 10% от σ p−
эл. на
внутренней поверхности патрубка. При решении задачи с КЭ сеткой, как на рис. 5a и КЭ
второго порядка аппроксимации CQUAD8 максимальные напряжения в зоне пересечения
оказываются ниже на 40%. Этот пример показывает, что p-элементы действительно
позволяют получить точный результат, сохранив число КЭ. Использование p-элементов
для оболочечных моделей вполне оправдано, т.к. позволяет достаточно просто перейти от
КЭ модели с использованием h-элементов к модели из p-элементов. На поверхностях
второго порядка для точного описания топологии достаточно КЭ модели, созданной из
элементов второго порядка, соответственно для создания модели из p-элементов
8
достаточно только исправить свойства КЭ.
В то же время необходимо внимательно прикладывать нагрузки и граничные
условия в препроцессоре, таким образом, чтобы транслятор учел особенности
аппроксимирующих функций p-элементов. В противном случае можно увеличить
размерность задачи, но не получить повышение точности.
Использование объемных p-элементов сильно ограничено из-за сложностей с
созданием качественной КЭ сетки для реальных изделий, спроектированных в программах
твердотельного моделирования (CATIA). В примерах к MSC.Nastran приводятся
решенные задачи с использованием объемной КЭ сетки из p-элементов. Но в этих
примерах задание геометрии осуществлено вручную, а не средствами препроцессора. При
решении реальных задач все значительно сложнее. Проведенные расчеты показали, что
использование TETRA p-элементов
не приводит к существенному уточнению
напряженно-деформированного состояния модели. Создание HEX сетки построенной на
геометрической модели имеет очень высокую трудоемкость и в настоящее время мало
оправдано. В случае разработки простых в использовании генераторов HEX КЭ сетки pэлементы могли бы найти применение и для объемных КЭ моделей.
Также серьезным ограничением для широкого применения p-элементов является
невозможность использовать p-элементы в нелинейной статике.
Литература.
1. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 1963,
стр. 56, 235.
2. Куликов Ю.А. Расчет тройникового соединения тонкостенных труб методом конечных
элементов. Дисс. канд. техн. наук. 1974.
3. Бандурин Н.Г. Николаев А.П. К расчету сочлененных оболочек с помощью
четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36. – В кн.: Расчеты
на прочность. М.: Машиностроение, 1980, вып.21, стр.225-236.
9