Н.Н. Сирота. Магниторезистивность металлов, закон Капицы

МАГНИТОРЕЗИСТИВНОСТЬ МЕТАЛЛОВ, ЗАКОН КАПИЦЫ*
Н.Н. Сирота
Введение.
А.К. Богушем
Обнаруженные
значительные
В.И. Павловым,
Г.Л.
магниторезистивности
Бычковым
[1],
и
выявленные
гигантские магниторезистивные эффекты [2–4] вызвали большой научный и
практический интерес, стимулировавший широкий фронт работ по изучению
их природы, возможности применения и изыскания новых соответствующих
материалов. Для понимания природы этих эффектов ключевым является
закон Капицы [5–7].
1. Краткая предыстория и постановка вопроса. Исследуя изменение
электросопротивления металлов в широком диапазоне продольных и
поперечных магнитных полей (эффекта Томпсона), впервые используя
сильные поля, П.Л. Капица [5], на примере 35 изученных элементов разных
групп
периодической
системы
Д.И. Менделеева,
установил
общую
закономерность, получившую название закона Капицы. Согласно этому
закону в слабых магнитных полях удельное электросопротивление H
возрастает пропорционально квадрату напряженности магнитного поля, а в
сильных магнитных полях пропорционально первой степени напряженности.
Указанный
эмпирический
закон
получил
объяснение,
скорее
качественное, основанное на представлении о том, что при наложении на
проводник с током магнитного поля под воздействием
силы Лоренца
изменяются траектории движения носителей тока (в дальнейшем будем
подразумевать электроны) и, соответственно, при их перемещении по длине
образца изменяется число соударений с центрами рассеяния [4,8–10]. Однако
до
сих
пор
отсутствует
определенное
обоснованное выражение закона Капицы.
586
количественное
достаточно
Через
десять
лет
после
работы
сформулировано правило. Согласно
изменение
удельного
Капицы
Колером
[14]
было
этому правилу, относительное
сопротивления
металла
пропорционально
напряженности магнитного поля, отнесенного к его начальному удельному
сопротивлению. Правило применимо к сильным полям и по существу
является частным случаем закона Капицы. Ниже приводится вывод
количественного выражения этого закона и его следствия, правила Колера.
При
последующем
рассмотрении
неферромагнитными
металлами
закона
с
Капицы
замкнутой
мы
ограничимся
поверхностью
Ферми
простейшей формы, например сферической, отсутствием еѐ деформации в
зависимости от напряженности магнитного поля, также как отсутствием
зависимости от H концентрации носителей тока, рассеивающих центров и их
эффективного сечения рассеяния. Для простоты рассуждений ограничимся
также рассмотрением продольного эффекта магнитосопротивления. При
этом мы полагаем, что за время t перемещения электронов вдоль образца
длиной l0 значительно большая часть [(Н)] в своем хаотическом движении
с нулевыми и тепловыми скоростями движется в плоскости, нормальной к

направлению магнитного поля и под действием силы Лоренца FH и

кулоновской силы Fe совершает спиралевидное движение с переносной
скоростью, независимой от Н, вдоль образца. Считаем также, что величина
поперечного эффекта пропорциональна продольному (с коэффициентом ,
зависящим от Н).
2. Вывод количественного выражения закона Капицы.
Пусть

результирующая сила F , действующая на носители тока, складывается из

кулоновской силы Fe воздействия на них напряженности электрического
поля E, совпадающей с направлением тока, текущего вдоль образца длиной
l0, поперечного сечения S0, и, нормальной к направлению тока, силе Лоренца
587

 
FH ( Fe FH ). Тогда
F 2  Fe2  FH2
(1)
При отсутствии внешнего магнитного поля, при H=0, носители тока
движутся с переносной скоростью вдоль образца и длина их пути равна l0.

При наложение магнитного поля под воздействием силы Лоренца FH
электроны движутся по спирали длиной L при прохождении всего образца


длиной l0 за время t. Синус угла  между векторами F и FH будет:
sin  
Fe
F e2  F H2
1

F
1   H
 Fe



(2)
2
Поскольку траектория движения электрона при H=0 определяется


силой Fe , а траектория при наложении магнитного поля силой F , то
очевидно
l0
 sin  
L
1
F
1   H
 Fe



2
(2a)
.
При равномерном распределении центров рассеяния движущихся
носителей тока в квазиизотропном кристалле числа актов рассеивания на
единицу длин траекторий l0 и L будут одинаковы. В рассматриваемом случае
предполагается, что магнитное поле не влияет на плотность рассеяния, а
также на эффективное сечение рассеяния этих центров. При этом отношение
электрического сопротивления движению носителей тока вдоль траектории
L к сопротивлению движущихся носителей вдоль траектории l0 будет равно
отношению длин этих траекторий:
F 
RL   L



   1   H 
R0
l0
sin 
 Fe 
В дальнейшем мы считаем =1.
588
2
(3)
Относя сопротивления RL и R0 к длине l0 и сечению S0 образца,
отношение
RL
R0
равно отношению удельных сопротивлений
H
0
(при
наличии магнитного поля  H и его отсутствия  0 ).
 H  0
F
1   H
 Fe



2
(4)
Длина траектории L в поперечном поле больше чем длина L в
продольном. Мы принимаем, в соответствии с экспериментальными
данными, что L=L и
H

  H  (знаки:  –для перпендикулярного и 
0
0
– для параллельного направлению тока магнитных полей). Величина 
зависит от напряженности поля и от формы образца.
F
H
  1   H
0
 Fe
где   1   (1  e  kB ) , величина k 
2

 ,

(4a)
1
.
100

При постоянстве кулоновской силы Fe и при изменении лишь
напряженности магнитного поля H, отношение
FH
можно представить как
Fe


FH
 C  H , тогда  H   0 1  C 2  H 2 .
Fe
(5)
Это выражение (5) является точной формулировкой закона Капицы при
принятых выше условиях, при =1, =1.
589

 H

Производная  0
H



C2  H
1 C2  H 2

 H

или  0
H
2


  2C 2  H . Значение
коэффициента С2 экспериментально определяется по величине, отнесенной к

 H
1  0
2H производной
2Н
H
2


  C2 .
На рисунке 1 для иллюстрации показано изменение
H
в зависимости
0
от H (B) при постоянном значении С. (На рис. 1 С=1 в единицах «Си»,
магнитная индукция В, Тл).

HH/
03
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
Рис.1. Изменение
0.5
1
1.5
2
2.5
B, Тл
H
в зависимости от В, Тл при =1, =1.
0
590
 
Как видно из приведенного рисунка в слабых полях изменение  H 
 0 
2
F 
имеет вид параболы, а в сильных полях, при которых  H   1 , является
 Fe 
практически линейной функцией.
Кривая изменения
H
( H ) при С2H2>>1 приближается к касательной,
0
проходящей через начало координат.
В таблице приведены значения отношений сопротивления в магнитном
поле 300000 э (30 Тл)  H к исходному 0 сопротивление для испытанных
П.Л. Капицей образцов [6], а также, вычисленные нами значения С2
элементов Cu, Ag, Au, Al разного происхождения с различным исходным
удельным сопротивлением. Для сравнения приведены также значения
постоянной Холла RH.
На рисунках 2 и 3 приведены кривые
H
0
в функции В, Тл по
вычисленным значениям С2. На кривых нанесены экспериментальные точки.
591
/ 0
H /
H
0
1.7
1.6
1
1.5
3
1.4
2
1.3
4
1.2
1.1
1
0
5
10
15
20
25
Ag(1)
Ag(1) эксп
Au(1)
Au(1) эксп
Al(1)
Al(1) эксп
Cu(1)
Cu(1) эксп
30
B, Tл
H
в зависимости от В, Тл в поперечном магнитном поле Cu(3),
0
Ag(1), Au(1), Al(1). На расчетные кривые нанесены экспериментальные точки
из [6], соответствующие значения С2,  помещены в Таблицу №1. 1 – Al(1),
2 – Ag(1), 3 – Cu(3), 4 – Au(1)
Рис.2. Изменение
592
H/
0
H/
1.4 0
1.35
1
1.3
1.25
1.2
2
1.15
1.1
1.05
1
0
10
Al(4)
30B, Tл
20
Cu(4)
H
в зависимости от В, Тл в продольном магнитном поле Cu(4),
0
Al(4). На расчетные кривые нанесены экспериментальные точки из работы
[6], соответствующие значения С2 помещены в Таблицу №1. 1 – Al(4), 2 –
Cu(4)
Рис.3. Изменение
1  1 H

На рис. 4 нанесены значения
C   0




2
1
 2
 1 , вычисленные для

каждой экспериментальной точки в функции В.
Как видно из приведенного рисунка, вычисленные значения функции
по экспериментальным точкам практически ложатся на одну прямую.
Разброс точек соответствует разбросу экспериментальных данных.
Поскольку при высоких магнитных полях величина С2H2 значительно
превышает единицу (СH>>1), то в выражение (5) единицей можно
пренебречь и тогда:
 H

 0


 СH ,
 при CH 1
593
(5а)
что является одной из форм выражения правила Колера, как частного случая
закона Капицы.
 Тл
35
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
Ag(1)
Au(1)
2

1   H 
  
  1
C   0 


30
B, Тл
Al(1)
1
2
Рис.4. Рассчитанные по экспериментальным точкам значения
1  1 H

C   0




2

 1

1
2
в функции В
Значение величины C определяют из отношения силы Лоренца FH к
кулоновской силе Fe:
FH H  i  l H  l


.
Fe i  t  E t  E
594
Учитывая закон Ома, выражение плотности тока через усреднѐнное
число его носителей в единице объема n, их заряда e и переносную скорость
v - j nev ne
Откуда C 
l0
, указанное отношение будет
t
FH
H
H


.(6)
Fe n  e   0
0
1


n  e  0 0
(6а)
При СH>>1 в сильных полях :
 H

 0

H

.


0
 при CH 1
(5в)
Эта формула также является одной из формулировок правила Колера.
Соотношение
1
H
 H

 0

1



n

e
 приCH 1
позволяет найти величину
RH, соответствующей постоянной Холла.
При постоянстве зарядовой плотности электронов проводимости
 
1
en=const, тангенс угла наклона касательной к кривой  H  ( H )

0
  0  при CH 1
будет тем круче, чем меньше исходное удельное сопротивление металла  0 ,
чем чище металл.
Подставляя из (6а) значения C в выражение (5) видим, что исходное
удельное
сопротивление
в
значительной
мере
определяет
полевую
зависимость магнитного сопротивления (при =1, =1)
 H  0
 H
1  
 e  n  0



2
(7)
или
 H   02    H 2 .
(7a)
В приближении правила Матиссена, поскольку  0   a   T , получим
 H  (  a   T ) 2    H 2 ,
595
(7в)
где а – температурно практически не зависимая, а Т – температурнозависимая части удельного сопротивления 0.
Отметим, что чем ниже начальное сопротивление образцов  0 , тем
кривая  H (H ) ближе располагается к касательной, тем при более низких
 H (H ) приближается к касательной. На это
значениях H кривая
обстоятельство особое внимание обращал П.Л. Капица.
3. Обобщенное правило Матиссена. Согласно первоначальной
формулировке правила Матиссена, удельное сопротивление выражается
суммой двух членов: независимого от температуры (атермического) a и
зависимого от неѐ T.
Уточняя это правило, заметим, что удельное сопротивление металлов с
электронной проводимостью может быть представлено суммой, по крайней
мере, трех составляющих =00+T+St. (9)
Две из них, 00 и St, являются атермической составляющей a=00+St
практически независимой (слабо зависимой) от температуры. Составляющая
T является функцией температуры и при T0, T0.
Величина
каждой
из
указанных
составляющих
удельного
электросопротивления определяется произведением числа в единице объѐма
металла соответствующих центров рассеяния носителей тока и их
эффективных сечений, а также плотностью и подвижностью носителей тока.
Пользуясь ранее высказанными представлениями Мотта и Джинса [18]
и [19], удельное сопротивление металла в квазиклассическом приближении
можно представить в виде:

2m e
N
e
2
v 2 [n00   00  nT   T  n St   St ] ,
V
596
(10)
k
n
2
где v  v00
 vT2 , v00 – нулевая скорость, v 00   ,  - ближайшие
 8k
межатомные расстояния, vT  
 me



1/ 2
 м
T 1 / 2  0.621  10 4 T 1 / 2   - тепловая
с
скорость, n00, 00 – число центров рассеяния нулевыми колебаниями атомов,
и, соответственно, их сечение рассеяния, nTT – плотность центров
рассеяния тепловыми колебаниями (плотность фононов) и их сечения
рассеяния, n St ,  St -плотность примесных и дефектных центров рассеяния и
их сечений рассеяния. me* - эффективная масса, е – заряд,  - число носителей
тока, приходящихся на один атом , V – молярный объем.
Эффективное сечение рассеяния носителей тока на нулевых и
тепловых
колебаниях
можно
принять
равным
среднеквадратичному
2
динамическому смещению атома u 00
- нулевых и uT2 - тепловых колебаний.
Количественно они определяются выражением Дебая-Валлера.
u 2  u2  uT2 
6 2
m H kA
 Ф(x) 1 
 x  4 
(11)
где mH – масса атома водорода, A – атомная масса,  - дебаевская
характеристическая
температура
элемента,
x

T
,
1 x xdx
Ф(x)   x
x 0 e 1
-
2
6 2
18 Дж  с  К
 2.89  10
табулируемая функция. Величина
.
mH k
кг
Величина
2
u00
 2.89  10 18
среднеквадратичных
смещений
1
, тепловых колебаний
4 A
нулевых
uT2  2.89  10 18
колебаний
Ф(x)
. Сечения
x
рассеяния на примесных дефектах, и, соответственно, эквивалентные им
величины среднеквадратичных смещений атомов зависят от рода и
концентрации примесей и дефектов.
597
Плотность центров рассеяния нулевых колебаний n 00 можно принять
N
, плотность динамических центров
V
равной числу атомов в единице объѐма
равна числу фононов в единице объема металла: n ф 
UT

Vk
1T
C v dT
V 0
k
.
Тогда
2me v2  6  Ф(x) 1



2 
Ne  mH kA  x k
T
0

CV dT N 


n

 s s
v
4V 

(12)
При гелиевых и более низких температурах температурно-зависимой
частью Т удельного сопротивления металла в силу ее малости можно
пренебречь. Удельное сопротивление металла при гелиевых температурах в
основном складывается из примесной St и 00, обусловленное нулевыми
колебаниями.
Отметим, что, вопреки распространенному мнению, при нулевой
температуре
нельзя
не
учитывать
наличие
сопротивления
00,
обусловленного нулевыми колебаниями.
Переход к сверхпроводимости при Т0 возникает в результате
“электронного” фазового перехода. Нормальные проводники при Т0, как
правило,
не
являются
сверхпроводящего
сверхпроводниками.
перехода
при
Т0
(Вопрос
заслуживает
об
условиях
специального
рассмотрения).
4.
Закон
Капицы
при
низких
температурах.
Для
всех
рассмотренных поликристаллических образцов металлов при низких
температурах,
включая
гелиевые,
большинства
исследованных
закон
Капицы
П. Л. Капицей
598
выполняется
металлов,
(для
исключая
ферромагнетики и полупроводники, указанный закон практически имел
место).
Для одного и того же металла при понижении температуры характер
H
( H ) сохраняется. После квазипараболического
0
полевой зависимости
участка при малых полях, в высоких полях
функцией и кривая
H
( H ) выражается линейной
0
H
( H ) приближается к касательной. С изменением
0
степени чистоты и дефектности металла изменяется угол  касательной к
кривой
H
( H ) с осью абсцисс и изменяется величина магнитного поля, при
0
которой величина
H
( H ) подходит к касательной.
0
По мере понижения температуры все в большей мере проявляется роль
примесной
составляющей
температурно-независимой
составляющей
удельного электросопротивления.
Заключение.
рассмотрение
В
настоящей
изменения
работе
относительного
проведено
количественное
магнитного
сопротивления
квазиизотропных металлов с электронной проводимостью в зависимости от
напряженности
магнитного
поля
(от
слабого
до
сильного)
в
квазиклассическом приближении, без учета размерных и квантовых
эффектов. Соотношение величин продольных и поперечных эффектов при
указанном рассмотрении учитываются введением коэффициента .
Полученное количественное выражение изменения значения
соответствует экспериментальным данным и =1,
H
(H )
0
=1 является точной
аналитической формулировкой эмпирического закона Капицы и правила
599
Колера.
Правило
Колера
является,
фактически,
частным
случаем
аналитического выражения закона Капицы.
Количественная
формулировка
закономерности
изменения
магнитосопротивления от напряженности магнитного поля для принятых в
этой работе исходных условий позволяет по новому рассмотреть проблему
гигантских эффектов магниторезестивности.
Список литературы
1. В.И. Павлов, Г.Л. Бычков, А.К. Богуш. Вестник БГУ, Физ.-мат., 1984,
№1, с. 53-59.
2. R.v.Helmholt, J.Wecker, B.Holzapfel e.a. // Phys. Rev. Lett.-1993.-Vol.71,
№14.-p.2331-2333
3. K.Chahara, T.Ohno, M.Kasai, Y.Kozono //Appl. Phys. Lett.-1993.- Vol.63,
№14.-p.1990-1992
4. Э.Л. Нагиев. УФН, 1996, 116, №8, с.833-838.
5. П.Л. Капица. Сильные магнитные поля, М. Наука, 1988, статья №21,
147-242 с.
6. П.Л. Капица. Proc. Roy. Soc., A, 1928, 119, p.458-463.
7. П.Л. Капица. Сильные магнитные поля, М. Наука, 1988, статья №22,
243-301 с.
8. П.Л. Капица. Proc. Roy. Soc. A, 1929, 125, p. 292.
9. П.Л. Капица. Сильные магнитные поля, М. Наука, 1988, статья №24,
313-318 с.
10.П.Л. Капица. Metallwirtschube, 1929, 19, p. 443.
11.П.Л. Капица. Сильные магнитные поля, М. Наука, 1988, статья №25,
318-320 с.
12. П.Л. Капица. Proc. Roy. Soc. A, 1930, 126, p. 683.
600
13. П.Л. Капица. Сильные магнитные поля, М. Наука, 1988, статья №31,
435-440 с.
14. П.Л. Капица. Leipziger Vortrage. Magnetismus. LeipzigsHirsel, 1938, p.1.
15. С.В. Вонсовский. Магнетизм, М. 1971.
16. Н.Б. Брандт, С.М. Чудинов. Электронные структуры металлов. М.,
МГУ, 1973, с. 332.
17. Дж. Займан. Электроны и фононы. М., ИЛ, 1962, с. 488.
18. Ю.П. Гайдуков, Ю.М. Гальперин, М.И. Каганов.
19. Гальваномагнитные явления. Физическая энциклопедия, М., 1988, Т.
1, с. 393-398.
20. Kohler M. Ann. d Phys, 1938 (s), 32, 211.
21.Дж. Эмсли. Элементы. М. Мир, 1993. С. 256.
22.Спр.
Свойства
элементов,
ч.
1,
физические
свойства.
Ред.
Г.В. Самсонов, М., Металлург, 1976, с. 600.
23.Спр. Физические величины. Ред. И.С. Григорьев, Е.З. Мейлихов. М.,
Энергоатомиздат, 1991, 1232 с.
24.N.F. Mott, Johns T. The Theory of the Properties of Metals and
Alloys.Oxford, 1936.
25.Н.Н.
Сирота.
ДАН
СССР,
ДАН СССР, 1962, 147, №2, с. 270.
601
1962,
143,
№2,
с.
567-569,