Разрезания металлического прямоугольника

Ðàçðåçàíèÿ ìåòàëëè÷åñêîãî
ïðÿìîóãîëüíèêà
Ì.ÑÊÎÏÅÍÊÎÂ, Ì.ÏÐÀÑÎËÎÂ, Ñ.ÄÎÐÈ×ÅÍÊÎ
Ç
ÀÄÀ×È ÍÀ ÐÀÇÐÅÇÀÍÈÅ ÍÀÃËßÄÍÛ È ÊÐÀÑÈ-
âû, íî èíîãäà èõ ñîâñåì íå ïðîñòî ðåøèòü. Ñ
äàâíèõ ïîð îíè âäîõíîâëÿëè äèçàéíåðîâ è àðõèòåêòîðîâ. Ó÷åíûå îáðàòèëè íà íèõ âíèìàíèå, êîãäà
îáíàðóæèëàñü èõ íåîæèäàííàÿ ñâÿçü ñ ôèçèêîé è
òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Îá îäíîé èç òàêèõ çàäà÷ è
ïîéäåò ðå÷ü â ýòîé ñòàòüå.
Êàê íàéòè ñòîðîíû êâàäðàòîâ
Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíî ôîòî 2 ïðÿìîóãîëüíîãî
øêàôà ñ êâàäðàòíûìè ïîëêàìè. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî
ìû õîòèì èçãîòîâèòü òàêîé æå øêàô. Äëÿ ýòîãî íàì â
Êàêèå ïðÿìîóãîëüíèêè ìîæíî ðàçðåçàòü
íà êâàäðàòû
Ïðÿìîóãîëüíèê ðàçìåðîì a × b , ãäå a è b –
öåëûå ÷èñëà, ëåãêî ðàçðåçàåòñÿ íà a ⋅ b îäèíàêîâûõ êâàäðàòîâ
(ðèñ.1). Òàê æå ëåãêî
ðàçðåçàòü íà ðàâíûå
êâàäðàòû ïðÿìîóãîëüÐèñ.1. Ïðÿìîóãîëüíèê a × b ðàç- íèê ñ ðàöèîíàëüíûì îòðåçàåòñÿ íà a ⋅ b îäèíàêîâûõ íîøåíèåì ñòîðîí.
êâàäðàòîâ
Åñòåñòâåííûé âîïðîñ:
êàêèå ïðÿìîóãîëüíèêè
ìîæíî ðàçðåçàòü íà êâàäðàòû íå îáÿçàòåëüíî îäíîãî è
òîãî æå ðàçìåðà? Îêàçûâàåòñÿ, îòâåò òîò æå ñàìûé:
Òåîðåìà Äåíà î ðàçðåçàíèè ïðÿìîóãîëüíèêà. Åñëè
ïðÿìîóãîëüíèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà êâàäðàòû (íå
îáÿçàòåëüíî ðàâíûå), òî îòíîøåíèå äëèí åãî ñòîðîí
ðàöèîíàëüíî.
Ýòó òåîðåìó îòêðûë Ìàêñ Äåí â 1903 ãîäó.
Åãî äîêàçàòåëüñòâî áûëî äîâîëüíî ñëîæíûì. Âïîñëåäñòâèè ïîÿâèëèñü áîëåå ïðîñòûå. Ìû ïðèâåäåì îäíî
èç íèõ, ïðèíàäëåæàùåå Ð.Ë.Áðóêñó, Ê.À.Á.Ñìèòó,
À.Ã.Ñòîóíó è Ó.Ò.Òàòòó. Îíè ïðèäóìàëè åãî, åùå
áóäó÷è ñòóäåíòàìè. 1 Ýòî äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà
ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè, èñïîëüçóþùåé ýëåêòðè÷åñêèå öåïè. Ïðè ýòîì ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ ñëóæàò îòïðàâíîé òî÷êîé, à ñàìî äîêàçàòåëüñòâî ÷èñòî
ìàòåìàòè÷åñêîå.
Èòàê, ïóñòü ïðÿìîóãîëüíèê ðàçðåçàí íà êâàäðàòû.
×òîáû íàéòè îòíîøåíèå åãî ñòîðîí, äîñòàòî÷íî íàéòè
ñòîðîíû ýòèõ êâàäðàòîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ïîêàæåì íà ïðèìåðå, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü.
1 Óâëåêàòåëüíûé ðàññêàç îá ýòîì ìîæíî ïðî÷èòàòü â ãëàâå
«Êâàäðèðîâàíèå êâàäðàòà» êíèãè Ì. Ãàðäíåðà «Ìàòåìàòè÷åñêèå ãîëîâîëîìêè è ðàçâëå÷åíèÿ» (Ì.: Ìèð, 1999).
Ðèñ.2. Ïðÿìîóãîëüíûé øêàô ñ êâàäðàòíûìè ïîëêàìè
ïåðâóþ î÷åðåäü íóæíî óçíàòü ðàçìåðû ïîëîê. Ïðîñòî
èçìåðèòü ýòè âåëè÷èíû íà ôîòîãðàôèè íå óäàñòñÿ, òàê
êàê ìû âèäèì øêàô «ïîä óãëîì», à çíà÷èò, èñòèííûå
äëèíû èñêàæåíû.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ýòè ðàçìåðû, çàíóìåðóåì
êâàäðàòû (ïîëêè), êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3. Áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî ãîðèçîíòàëüíàÿ ñòîðîíà ïðÿìîóãîëüíèêà
(øêàôà) ðàâíà 1, à âåðòèêàëüíóþ ñòîðîíó (áåç ó÷åòà
íîæåê) îáîçíà÷èì ÷åðåç x. Ñòîðîíó êâàäðàòà k îáîçíà÷èì ÷åðåç xk .
2 Ôîòî ñ ñàéòà http://www.mynl.com/ww/project11.html
ÐÀÇÐÅÇÀÍÈß
ÌÅÒÀËËÈ×ÅÑÊÎÃÎ
Ê ëåâîé ñòîðîíå ïðÿìîóãîëüíèêà ïðèìûêàþò êâàäðàòû 2, 3 è 8, îòêóäà
x = x2 + x3 + x8 . Ê ïðàâîé
ñòîðîíå êâàäðàòà 3 ïðèìûêàþò êâàäðàòû 1 è 4:
x3 = x1 + x4 . Àíàëîãè÷íî,
x6 + x8 = x7 ,
x1 + x2 =
= x5 + x6 , x4 + x5 = x9 . Ðàâåíñòâî äëÿ ïðàâîé ñòîðîíû
ïðÿìîóãîëüíèêà ìû íå çàÐèñ.3. Íóìåðàöèÿ êâàäðà- ïèñûâàåì, ïîñêîëüêó îíî
òîâ
ñëåäóåò èç ïðåäûäóùèõ (ïîëó÷àåòñÿ ñëîæåíèåì âñåõ âûïèñàííûõ ðàâåíñòâ). Ñôîðìóëèðóåì íàøå íàáëþäåíèå, (ðèñ. 4):
Óñëîâèå âåðòèêàëüíîé ñòûêîâêè.
Äëÿ êàæäîãî âåðòèêàëüíîãî ðàçðåçà ñóìÐèñ.4. Óñëîâèå âåðòèêàëüíîé ñòûìà ñòîðîí êâàäðàêîâêè: x1 + x 2 = x 5 + x6
òîâ, ïðèìûêàþùèõ ê
ðàçðåçó ñëåâà, ðàâíà ñóììå ñòîðîí êâàäðàòîâ, ïðèìûêàþùèõ ñïðàâà. Âåðòèêàëüíàÿ ñòîðîíà ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ñóììå ñòîðîí ïðèìûêàþùèõ ê íåé
êâàäðàòîâ. 3
Çàìåíÿÿ ñëîâî «âåðòèêàëüíûé» íà «ãîðèçîíòàëüíûé», à ñëîâà «ñëåâà» è
ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊÀ
Èç ýòîãî óñëîâèÿ â íàøåì ïðèìåðå ñî øêàôîì
ïîëó÷èì: 1 = x3 + x4 + x9 , x4 = x1 + x5 , x1 + x3 = x2 ,
x5 + x9 = x6 + x7 , x2 + x6 = x8 . Óñëîâèå äëÿ íèæíåé
ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ìû íå çàïèñûâàåì, ïîñêîëüêó îíî ñëåäóåò èç îñòàëüíûõ.
Èòàê, îñòàëîñü ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
x = x2 + x3 + x8 , x3 = x1 + x4 , x6 + x8 = x7 ,
x1 + x2 = x5 + x6 , x4 + x5 = x9 ,
x3 + x4 + x9 = 1 , x4 = x1 + x5 , x1 + x3 = x2 ,
x5 + x9 = x6 + x7 , x2 + x6 = x8 .
Òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè.
Êàê ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
4
Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî âûðàæàòü íåèçâåñòíûå. Â
ïåðâîì óðàâíåíèè íåèçâåñòíàÿ x âûðàæåíà ÷åðåç äðóãèå íåèçâåñòíûå. Áîëüøå x íèãäå íå ó÷àñòâóåò, ïîýòîìó
ïåðåõîäèì êî âòîðîìó óðàâíåíèþ. Â íåì íåèçâåñòíàÿ
x3 âûðàæåíà ÷åðåç x1 è x4 . Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå
â äðóãèå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ñîäåðæàùèå íåèçâåñòíóþ
x3 – â ïåðâîå, øåñòîå è âîñüìîå. Ïîëó÷èì ñèñòåìó
x = x2 + x1 + x4 + x8 , x3 = x1 + x4 , x6 + x8 = x7 ,
x1 + x2 = x5 + x6 , x4 + x5 = x9 ,
x1 + 2x4 + x9 = 1 , x4 = x1 + x5 , 2x1 + x4 = x2 ,
x5 + x9 = x6 + x7 , x2 + x6 = x8 .
Îíà ðàâíîñèëüíà èñõîäíîé. Íî òåïåðü íåèçâåñòíàÿ x3
ó÷àñòâóåò òîëüêî âî âòîðîì óðàâíåíèè. Ïåðåéäåì ê
òðåòüåìó óðàâíåíèþ. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå
x7 = x6 + x8 â äåâÿòîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì ñèñòåìó,
ñîäåðæàùóþ x7 òîëüêî â òðåòüåì óðàâíåíèè:
x = x2 + x1 + x4 + x8 , x3 = x1 + x4 , x6 + x8 = x7 ,
x1 + x2 = x5 + x6 , x4 + x5 = x9 ,
x1 + 2x4 + x9 = 1 , x4 = x1 + x5 , 2x1 + x4 = x2 ,
Ðèñ.5. Óñëîâèå ãîðèçîíòàëüíîé ñòûêîâêè: x 5 + x 9 =
= x6 + x 7
Ðèñ.6. Â òàêîì ðàçðåçàíèè
îäèí ãîðèçîíòàëüíûé è äâà
âåðòèêàëüíûõ ðàçðåçà
«ñïðàâà» – íà «ñâåðõó» è «ñíèçó», ìû ïîëó÷àåì
óñëîâèå ãîðèçîíòàëüíîé ñòûêîâêè, (ðèñ. 5).
3 Äëÿ ðàçðåçàíèé, ó êîòîðûõ â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ñõîäèòñÿ
ñðàçó 4 êâàäðàòà (êàê íà ðèñóíêàõ 1 èëè 6), íàäî óòî÷íèòü
ïîíÿòèå ðàçðåçà. Ïîêðàñèì âñå ãîðèçîíòàëüíûå ñòîðîíû êâàäðàòîâ, íå ëåæàùèå íà ïåðèìåòðå ïðÿìîóãîëüíèêà, â çåëåíûé
öâåò. Îíè îáúåäèíÿòñÿ â íåñêîëüêî çåëåíûõ îòðåçêîâ, êîòîðûå ìû è íàçîâåì ãîðèçîíòàëüíûìè ðàçðåçàìè. Âåðòèêàëüíûå
ñòîðîíû êâàäðàòîâ, íå ëåæàùèå íà ïåðèìåòðå, ïîêðàñèì â
îðàíæåâûé öâåò. Ïîëó÷åííûå îðàíæåâûå îòðåçêè äåëÿòñÿ
ãîðèçîíòàëüíûìè ðàçðåçàìè íà ÷àñòè, èìåííî ýòè ÷àñòè ìû è
íàçîâåì âåðòèêàëüíûìè ðàçðåçàìè (ðèñ. 6).
x5 + x9 = 2x6 + x8 , x2 + x6 = x8 .
Áóäåì ïðîäîëæàòü òàêèì æå îáðàçîì äàëüøå. Â èòîãå
ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó «óðàâíåíèé»
x = 33 32 , x3 = 9 32 , x7 = 1 2 , x1 = 1 32 ,
x4 = 1 4 , x9 = 15 32 , x5 = 7 32 , x2 = 5 16 ,
x8 = 7 16 , x6 = 1 8 .
Ðåøåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû íàéäåíî! Çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ x1,…, x9 – ýòî è åñòü ñòîðîíû êâàäðàòîâ. Â
íàøåì ïðèìåðå ïðÿìîóãîëüíèê îêàçàëñÿ ðàçðåçàí íà
ïîïàðíî ðàçëè÷íûå êâàäðàòû.
Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîñêîñòü ìîæíî çàìîñòèòü
ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè êâàäðàòàìè, äëèíû ñòîðîí êîòîðûõ:
à) ðàöèîíàëüíûå; á) öåëûå ÷èñëà.
À ìîæíî ëè êâàäðàò ðàçðåçàòü íà ïîïàðíî ðàçëè÷íûå êâàäðàòû? Çàäà÷à ýòà ïîÿâèëàñü â íà÷àëå ïðîøëîãî âåêà è îêàçàëàñü î÷åíü ñëîæíîé. Ðåøèëè åå òîëüêî
4 Ïîäðîáíî îá ýòîì ðàññêàçûâàåòñÿ â ñòàòüå Â.Ãóòåíìàõåðà «Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé» â «Êâàíòå» ¹1 çà
1984 ãîä.
ñïóñòÿ íåñêîëüêî äåñÿòèëåòèé óæå èçâåñòíûå íàì ÷åòûðå ñòóäåíòà è íåçàâèñèìî îò íèõ Ð.Øïðàã. Íî åñëè
Ð.Øïðàã èñïîëüçîâàë ñëîæíûé ïåðåáîð, òî íàøèì
ñòóäåíòàì íàéòè ðåøåíèå ïîìîãëà ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ. Ïîòîì áûëî íàéäåíî ìíîãî ðàçíûõ ïðèìåðîâ, ïðèìåð ñ íàèìåíüøèì êîëè÷åñòâîì êâàäðàòîâ
èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 7.
ñèñòåìà, ïîñòðîåííàÿ ïî ðåàëüíîìó ðàçðåçàíèþ, èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî âñåãäà
òàê: íàø ìåòîä ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü âñå
ðàçìåðû ïî ôîòîãðàôèè ðàçðåçàíèÿ (åñëè ìû ñ÷èòàåì
ãîðèçîíòàëüíóþ ñòîðîíó
ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíîé 1).
Ìû äîêàæåì ýòî ñ ïîìîùüþ ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè. À òåîðåìà Äåíà î
ðàçðåçàíèè ïðÿìîóãîëüíèêà îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò ïî
òåîðåìå î ðåøåíèè ñèñòåìû.
Çàäà÷à 3. Àðõèòåêòîð íàðèñîâàë ïëàí êâàðòèðû. Íà
ïëàíå (ðèñ. 8) ïîêàçàíî, êàê Ðèñ.8. Ïëàí êâàðòèðû
äîëæíû ïðèìûêàòü êîìíàòû
äðóã ê äðóãó, íî èõ ðàçìåðû èñêàæåíû. Ìîæíî ëè ñäåëàòü
âñå êîìíàòû êâàäðàòíûìè?
Ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ
Ðèñ.7. Êâàäðàòíîå îäåÿëî, ñøèòîå èç êâàäðàòíûõ ëîñêóòêîâ
Çàäà÷à 2*. Ìîæíî ëè êóá ðàçðåçàòü íà íåñêîëüêî ïîïàðíîðàçëè÷íûõ êóáèêîâ?
Êîãäà íàø ìåòîä ðàáîòàåò
Èòàê, äëÿ øêàôà ìû íàøëè âñå èíòåðåñóþùèå íàñ
ðàçìåðû. Íî áóäåò ëè òàê è äëÿ ëþáîãî äðóãîãî
ðàçðåçàíèÿ? ßñíî, ÷òî åñëè ðåøåíèå ñèñòåìû, ïîñòðîåííîé ïî óñëîâèÿì ñòûêîâêè, åäèíñòâåííî, òî ìû
íàéäåì åãî íàøèì ìåòîäîì. È, êîíå÷íî æå, îíî áóäåò
ðàöèîíàëüíûì: âåäü êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ðàöèîíàëüíû, à ìû, âûðàæàÿ íåèçâåñòíûå, èñïîëüçóåì òîëüêî ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è äåëåíèå. Ýòî
ïðîñòîå íàáëþäåíèå ìû íàçîâåì òàê:
Òåîðåìà î ðåøåíèè ñèñòåìû. Ïóñòü ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Òîãäà ýòî ðåøåíèå
ñîñòîèò èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
Áûâàþò ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ó êîòîðûõ
ðåøåíèå íå åäèíñòâåííî. Íàïðèìåð, ñèñòåìà
x1 + x2 = 0 , x1 + x3 = 1
èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé: â êà÷åñòâå x1 ìîæíî
âçÿòü ëþáîå ÷èñëî t, â êà÷åñòâå x2 ÷èñëî –t, à â
êà÷åñòâå x3 ÷èñëî 1 – t. Ó íåå åñòü è èððàöèîíàëüíûå
ðåøåíèÿ (êîãäà t èððàöèîíàëüíî).
Ñîâåðøåííî íå î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèé ñòûêîâêè
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàéòè ñòîðîíû êâàäðàòîâ, ò.å. ÷òî
Îêàçûâàåòñÿ, êàæäîìó ðàçðåçàíèþ ïðÿìîóãîëüíèêà
íà êâàäðàòû ìîæíî ñîïîñòàâèòü ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü.
Åñëè ìû íàéäåì òîêè â ýòîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, òî ìû
íàéäåì è ñòîðîíû êâàäðàòîâ. Íî îáî âñåì ïî ïîðÿäêó.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. 5 Âìåñòî ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è
îïûòíûõ ôàêòîâ ó
íàñ áóäóò îïðåäåëåíèÿ, àêñèîìû, òåîðåìû.
Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé
òî÷êè çðåíèÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü – ýòî
ñâÿçíûé ïëîñêèé
ãðàô, êàæäîìó ðåáðó êîòîðîãî ñîïîñòàâëåíî íåêîòîðîå
ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ïðè÷åì êîíöû
îäíîãî èç ðåáåð îòìå÷åíû çíàêàìè «+»
è «–». Ðåáðî ñ îòìå÷åííûìè êîíöàìè
íàçûâàåòñÿ áàòàðåéêîé, îñòàëüíûå –
ðåçèñòîðàìè. ×èñëî, ñîïîñòàâëåííîå
áàòàðåéêå, íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì áàòàðåéêè, à ÷èñëà, ñîïîñòàâëåííûå ðåçèñòîðàì, – èõ ñîïðî- Ðèñ.9. à) Ïîñòðîåíèå ýëåêòðè÷åñêîé
òèâëåíèÿìè. Âåð- öåïè ïî ðàçðåçàíèþ.
øèíû ãðàôà íàçû- á) Îáùåïðèíÿòîå èçîáðàæåíèå
âàþòñÿ óçëàìè, îò- ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
5 Æåëàþùèì ïîäðîáíî ðàçîáðàòüñÿ â ôèçèêå ïðîèñõîäÿùåãî
ðåêîìåíäóåì, íàïðèìåð, ñòàòüþ «Ïðàâèëà Êèðõãîôà» â «Êâàíòå» ¹1 çà 1985 ãîä.
ÐÀÇÐÅÇÀÍÈß
ÌÅÒÀËËÈ×ÅÑÊÎÃÎ
ìå÷åííûå óçëû áàòàðåéêè – ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé êëåììàìè.
Ïî ðàçðåçàíèþ öåïü ñòðîèòñÿ òàê (ðèñ. 9,à). Íà
êàæäîé âåðòèêàëüíîé ëèíèè ðàçðåçà îòìåòèì ïî òî÷êå
– ýòî áóäóò óçëû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Íà âåðòèêàëüíûõ ñòîðîíàõ ïðÿìîóãîëüíèêà âûáåðåì ïî êëåììå,
îòìåòèì èõ çíàêàìè «+» (íà ëåâîé ñòîðîíå) è «–» (íà
ïðàâîé ñòîðîíå) è ñîåäèíèì ñ áàòàðåéêîé.
Êàæäûé êâàäðàò îãðàíè÷åí ñëåâà è ñïðàâà äâóìÿ
âåðòèêàëüíûìè ðàçðåçàìè.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè åãî
èçîáðàæåíèåì ñëóæèò ðåçèñòîð, ñîåäèíÿþùèé äâà óçëà
íà ýòèõ ðàçðåçàõ (óçëû ìîãóò îêàçàòüñÿ íà ïðîäîëæåíèÿõ ñòîðîí êâàäðàòà). Ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî ðåçèñòîðà ïîëîæèì ðàâíûì 1. 6 Íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè
òàêæå ïîëîæèì ðàâíûì 1. Íóæíàÿ íàì ýëåêòðè÷åñêàÿ
öåïü ïîñòðîåíà (ðèñ. 9, á).
Êàê íàéòè òîêè â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
Òåïåðü îáúÿñíèì, ÷òî òàêîå òîêè â ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè è êàê èõ ìîæíî íàéòè.
Çàíóìåðóåì ðåçèñòîðû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 10
(ò.å. òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå êâàäðàòû). Íàðèñóåì íà êàæäîì ðåçèñòîðå ñòðåëêó ñëåâà íàïðàâî, à íà
áàòàðåéêå – ñïðàâà
íàëåâî, ò.å. îò îòðèöàòåëüíîé êëåììû ê
ïîëîæèòåëüíîé. 7
Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü
äåëèò ïëîñêîñòü íà
÷àñòè. Îáõîäÿ ãðàíèöó ëþáîé ÷àñòè ïî
÷àñîâîé ñòðåëêå, ïîëó÷èì çàìêíóòóþ öåïî÷êó ðåáåð, íàçûâàåìóþ êîíòóðîì. 8
Ñèëà òîêà ÷åðåç
Ðèñ.10. Íóìåðàöèÿ ðåçèñòîðîâ è k-é ðåçèñòîð – ýòî
âûáîð íàïðàâëåíèé íà ðåçèñòî- ïðîñòî íåêîòîðîå äåéðàõ è áàòàðåéêå
ñòâèòåëüíîå ÷èñëî
Ik , ñîïîñòàâëåííîå
ðåçèñòîðó. Ñèëà òîêà ÷åðåç áàòàðåéêó – ýòî íåêîòîðîå
äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî I. Íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå –
ýòî ïðîèçâåäåíèå ñèëû òîêà íà ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà. (À äëÿ áàòàðåéêè íàïðÿæåíèå âîîáùå îò òîêà íå
çàâèñèò. Òàêàÿ áàòàðåéêà â ôèçèêå íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé.) Ñèëû òîêà îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè àêñèîìàìè (ïðàâèëàìè), ïðîèëëþñòðèðîâàííûìè íà ðèñóíêàõ
12, 13, 14.
6 Ìû ðàç è íàâñåãäà ôèêñèðóåì åäèíèöû èçìåðåíèÿ: ñîïðîòèâëåíèÿ áóäåì èçìåðÿòü â êèëîîìàõ, íàïðÿæåíèÿ – â âîëüòàõ, òîêè – â ìèëëèàìïåðàõ.  äàëüíåéøåì åäèíèöû èçìåðåíèÿ
íå óêàçûâàþòñÿ.
7 Ìû íàðèñîâàëè ïðåäïîëàãàåìûå íàïðàâëåíèÿ òîêà. ×èòàòåëÿ ìîæåò ñìóòèòü, ÷òî â îäíîì èç ðåáåð òîê íàïðàâëåí îò
«ìèíóñà» ê «ïëþñó». Íî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê: òîê â
ðåçèñòîðàõ èäåò îò «ïëþñà» ê «ìèíóñó», à âîò â áàòàðåéêå –
íàîáîðîò.
8 Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíòóð íå ïðîõîäèò
íè ÷åðåç êàêîå ðåáðî äâàæäû. Ýòî íå âñåãäà òàê (ðèñ. 11).
Îäíàêî â äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî ýòî òàê äëÿ ëþáîé öåïè,
ïîñòðîåííîé ïî ðàçðåçàíèþ ïðÿìîóãîëüíèêà.
ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊÀ
Ðèñ.11. Êîíòóð, ïðîõîäÿùèé ïî
ðåáðó äâàæäû
Ðèñ.12. Ïåðâîå ïðàâèëî
Êèðõãîôà: 1 + 1 = 1 # + 1 $
Ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà. Â êàæäîì óçëå ñóììà âõîäÿùèõ òîêîâ ðàâíà
ñóììå âûõîäÿùèõ.
Äëÿ íàøåãî ïðèìåðà (ñì.
ðèñ.10) ïîëó÷àåì òàêèå
óðàâíåíèÿ:
I = I2 + I3 + I8 ,
I3 = I1 + I4 , I6 + I8 = I7 ,
I1 + I2 = I5 + I6 ,
I4 + I5 = I9 .
Ðèñ.13. Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà áåç áàòàðåéêè: 1 # + 1 ' - 1 $ - 1 % = (ó÷òåíî, ÷òî âñå ñîïðîòèâëåíèÿ â
íàøåì ïðèìåðå ðàâíû 1)
(Ìû íå çàïèñûâàåì óðàâíåíèå äëÿ ïðàâîé êëåììû,
ïîñêîëüêó îíî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îñòàëüíûõ.)
Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà. Äëÿ ëþáîãî êîíòóðà
ñóììà íàïðÿæåíèé íà ðåçèñòîðàõ (ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíàêàìè) ðàâíà
íàïðÿæåíèþ áàòàðåéêè (ñ ñîîòâåòñòâóþùèì çíàêîì), åñëè êîíòóð ñîäåðæèò áàòàðåéêó, à èíà÷å – ðàâíà
íóëþ. Íàïðÿæåíèå íà
ðåçèñòîðå áåðåòñÿ ñî
çíàêîì «+», åñëè íàïðàâëåíèå ñòðåëêè íà
ðåçèñòîðå ñîâïàäàåò
ñ íàïðàâëåíèåì îáõî- Ðèñ.14. Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà
äëÿ êîíòóðà ñ áàòàðåéêîé: –I3 –
äà êîíòóðà, à èíà÷å – – I – I = –1 (ó÷òåíî, ÷òî íàïðÿ4
9
ñî çíàêîì «–». Òàê æå æåíèå
áàòàðåéêè â íàøåì ïðèìåîïðåäåëÿåòñÿ çíàê äëÿ ðå ðàâíî 1)
áàòàðåéêè.
Ïîñêîëüêó ó íàñ íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ðàâíî 1 è âñå
ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâíû 1, ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ
–I3 – I4 – I9 = –1, I4 − I1 − I5 = 0 ,
I1 + I3 − I2 = 0 , I5 + I9 − I6 − I7 = 0 , I2 + I6 − I8 = 0 .
(Ìû íå çàïèñûâàåì óðàâíåíèå äëÿ êîíòóðà âîêðóã âñåé
öåïè, ïîñêîëüêó îíî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îñòàëüíûõ.) Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäèì âñå ñèëû òîêîâ:
I = 33 32 , I3 = 9 32 , I7 = 1 2 , I1 = 1 32 , I4 = 1 4 ,
I9 = 15 32 , I5 = 7 32 , I2 = 5 16 , I8 = 7 16 , I6 = 1 8 .
Ó íàñ åñòü àêñèîìû (ïðàâèëà Êèðõãîôà), êîòîðûå
ìû çàèìñòâîâàëè èç ôèçèêè, à âñå îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ îá ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ìû âûâîäèì èç íèõ
÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêè.
Çàäà÷à 4. Âûâåäèòå èç âòîðîãî ïðàâèëà Êèðõãîôà áîëåå
îáùåå ïðàâèëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè çàìåíèòü â ôîðìóëèðîâêå êîíòóð íà ëþáóþ çàìêíóòóþ öåïî÷êó ðåáåð (íå
ïðîõîäÿùóþ íè ÷åðåç êàêóþ âåðøèíó äâàæäû).
Ïðàâèëà Êèðõãîôà ñîâïàäàþò
ñ óñëîâèÿìè ñòûêîâêè
Óäèâèòåëüíûì îáðàçîì ïðàâèëà Êèðõãîôà äàþò íàì
òó æå ñàìóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé íà ñèëû òîêîâ, ÷òî è
óñëîâèÿ ñòûêîâêè íà äëèíû ñòîðîí êâàäðàòîâ! Äîêàæåì ýòî.
Ðàññìîòðèì ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà. Çàôèêñèðóåì âåðòèêàëüíûé ðàçðåç è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó óçåë.
Âõîäÿùèå â óçåë òîêè
ñîîòâåòñòâóþò ñòîðîíàì êâàäðàòîâ, ïðèìûêàþùèì ê ðàçðåçó
ñëåâà, à âûõîäÿùèå
èç óçëà – ñòîðîíàì
êâàäðàòîâ ñïðàâà
(ðèñ. 15). Çíà÷èò,
ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà â ýòîì óçëå äëÿ
òîêîâ ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëîì âåðòèêàëüíîé
ñòûêîâêè.
Ðàññìîòðèì âòîðîå
ïðàâèëî Êèðõãîôà.
Âîçüìåì ëþáîé ãîðèÐèñ.15. Ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà çîíòàëüíûé ðàçðåç.
è óñëîâèå âåðòèêàëüíîé ñòûêîâêè ßñíî, ÷òî ðåçèñòîðû,
ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìûêàþùèì ê íåìó êâàäðàòàì,
îáðàçóþò êîíòóð (ðèñ. 16). Êâàäðàòû ñâåðõó îáðàçóþò
âåðõíþþ ÷àñòü êîíòóðà, à êâàäðàòû ñíèçó – íèæíþþ.
Ïîñêîëüêó âñå ñîïðîòèâëåíèÿ åäèíè÷íû, íàïðÿæåíèå
íà êàæäîì ðåçèñòîðå ðàâíî ñèëå òîêà íà íåì. Çíà÷èò,
ïðàâèëî ãîðèçîíòàëüíîé ñòûêîâêè äëÿ íàøåãî ðàçðåçà
ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ïðàâèëîì Êèðõãîôà.
Íàîáîðîò, âîçüìåì ëþáîé
êîíòóð. Åãî ñàìûé ëåâûé
óçåë ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó âåðòèêàëüíîìó ðàçðåçó. Ê ðàçðåçó ïðèìûêàþò
ñïðàâà äâà êâàäðàòà, ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì âûõîäÿùèì èç óçëà ðåçèñòîðàì êîíòóðà. Ðàññìîòðèì ãîðèçîíòàëüíûé ðàçðåç, ê êîòîðîìó
ïðèìûêàþò ýòè êâàäðàòû.
Ñíîâà, âñå êâàäðàòû, ïðèìûêàþùèå ê ðàçðåçó ñâåðõó,
îáðàçóþò âåðõíþþ ÷àñòü íàÐèñ.16. Âòîðîå ïðàâèëî øåãî êîíòóðà, à âñå ïðèìûÊèðõãîôà è óñëîâèå ãîðè- êàþùèå ñíèçó – íèæíþþ.
çîíòàëüíîé ñòûêîâêè
Çíà÷èò, âòîðîå ïðàâèëî
Êèðõãîôà äëÿ íàøåãî êîíòóðà ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëîì
ãîðèçîíòàëüíîé ñòûêîâêè.
Èòàê, ïðàâèëà Êèðõãîôà ñîâïàäàþò ñ óñëîâèÿìè
ñòûêîâêè. Çíà÷èò ëè ýòî, ÷òî òîêè ñîâïàäàþò ñ äëèíàìè
ñòîðîí êâàäðàòîâ? Äà, íî òîëüêî åñëè íàøà ñèñòåìà
óðàâíåíèé èìååò ëèøü îäíî ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå,
èçãîòîâèâ ïî ðàçðåçàíèþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, äëèíû
ñòîðîí êâàäðàòîâ ìîæíî áûëî áû íàéòè... ïðîñòî
èçìåðèâ òîêè!
Åäèíñòâåííîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ
â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Ïóñòü ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ
ðåçèñòîðîâ öåïè ïîëîæèòåëüíû. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé, ïîñòðîåííàÿ ïî ïðàâèëàì Êèðõãîôà, â êîòîðîé ñèëû òîêà – íåèçâåñòíûå, à íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè è ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ èçâåñòíû, èìååò íå
áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ.
Íà «ôèçè÷åñêîì óðîâíå ñòðîãîñòè» ýòà òåîðåìà ïî÷òè î÷åâèäíà. Ïóñòü ðåøåíèé äâà. Âû÷òåì îäíî èç
äðóãîãî. Òîãäà íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ñòàíåò íóëåâûì,
à òîê íå âåçäå áóäåò ðàâåí íóëþ, ÷åãî íå áûâàåò.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè ýòî îáúÿñíåíèå íåëüçÿ
ñ÷èòàòü äîêàçàòåëüñòâîì. Íåëüçÿ èñêëþ÷èòü âîçìîæíîñòü, ÷òî íàøà ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò êàêèå-òî
«ïîñòîðîííèå» ðåøåíèÿ, êîòîðûõ íå áûâàåò â «ðåàëüíîé» ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Äà è â íàøåì ðàññóæäåíèè
ìû íèãäå íå èñïîëüçîâàëè, ÷òî ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ
ðåçèñòîðîâ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû. À áåç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìà íåâåðíà: â êîëüöå èç ñâåðõïðîâîäíèêà (ò.å. ðåçèñòîðà ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì) ìîæåò
òå÷ü íåíóëåâîé òîê ïðè íóëåâîì íàïðÿæåíèè!
Âîò êàê ìîæíî ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãî äîêàçàòü òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè:
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè. Ïóñòü
åñòü äâà ðåøåíèÿ. Ïåðâîå áóäåì îáîçíà÷àòü I1, I2,…,
âòîðîå J1, J2,… Íàøà öåëü – äîêàçàòü, ÷òî èõ ðàçíîñòü
I1 − J1, I2 − J2,… íóëåâàÿ.
Ðàññìîòðèì ëþáîå óðàâíåíèå íàøåé ñèñòåìû. Ïóñòü,
íàïðèìåð, îíî çàïèñàíî äëÿ óçëà, èçîáðàæåííîãî íà
ðèñóíêå 12. Ïîäñòàâèâ â íåãî ïåðâîå ðåøåíèå, ïîëó÷èì: I1 + I2 = I5 + I6 . Ïîäñòàâèâ âòîðîå, ïîëó÷èì
J1 + J2 = J5 + J6 . Âû÷òåì îäíî ðàâåíñòâî èç äðóãîãî:
( I1 − J1 ) + ( I2 − J2 ) = ( I5 − J5 ) + ( I6 − J6 ) . Ïîëó÷àåòñÿ,
÷òî ðàçíîñòü íàøèõ ðåøåíèé óäîâëåòâîðÿåò òîìó æå
ñàìîìó óðàâíåíèþ. Òàê áóäåò è äëÿ óðàâíåíèÿ, çàïèñàííîãî äëÿ ëþáîãî äðóãîãî óçëà èëè ëþáîãî êîíòóðà,
íå ñîäåðæàùåãî áàòàðåéêó.
Ïóñòü òåïåðü óðàâíåíèå çàïèñàíî äëÿ êîíòóðà, ñîäåðæàùåãî áàòàðåéêó, íàïðèìåð äëÿ êîíòóðà íà ðèñóíêå
14. Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óðàâíåíèå íàøè ðåøåíèÿ, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà I3 + I4 + I9 = 1 è J3 + J4 + J9 = 1 . Âû÷òåì îäíî ðàâåíñòâî èç äðóãîãî: ( I3 − J3 ) + ( I4 − J4 ) +
+ ( I9 − J9 ) = 0 . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ðàçíîñòü íàøèõ ðåøåíèé óäîâëåòâîðÿåò òîìó æå ñàìîìó óðàâíåíèþ, òîëüêî
ñ íóëåâîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Íî â ïðàâîé ÷àñòè èñõîäíîãî
óðàâíåíèÿ ñòîÿëî íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè. Ïîëó÷àåì,
÷òî ðàçíîñòü íàøèõ ðåøåíèé ïîä÷èíÿåòñÿ ïðàâèëàì
ÐÀÇÐÅÇÀÍÈß
ÌÅÒÀËËÈ×ÅÑÊÎÃÎ
Êèðõãîôà äëÿ òîé æå öåïè, òîëüêî ñ íóëåâûì íàïðÿæåíèåì áàòàðåéêè.
Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè ñâåëàñü ê òàêîìó óòâåðæäåíèþ:
Ïðèíöèï òåõíèêè áåçîïàñíîñòè. Åñëè íàïðÿæåíèå
áàòàðåéêè ðàâíî íóëþ, òî è âñå ñèëû òîêà â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íóëåâûå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â öåïè åñòü íåíóëåâûå òîêè.
Åñëè ñèëà òîêà íà êàêèõ-òî ðåáðàõ îòðèöàòåëüíà, òî
ïîìåíÿåì íà êàæäîì èç íèõ íàïðàâëåíèå ñòðåëêè, çíàê
ñèëû òîêà è çíàê íàïðÿæåíèÿ. ßñíî, ÷òî ïðàâèëà
Êèðõãîôà ïî-ïðåæíåìó áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, à âñå ñèëû
òîêà ñòàíóò íåîòðèöàòåëüíû. Íà÷íåì äâèæåíèå ñ ðåáðà, íà êîòîðîì ñèëà òîêà íåíóëåâàÿ, è áóäåì äâèãàòüñÿ
â íàïðàâëåíèè ñòðåëîê. Èç ïåðâîãî ïðàâèëà Êèðõãîôà
ñëåäóåò, ÷òî ìû ìîæåì íåîãðàíè÷åííî ïðîäîëæàòü
äâèæåíèå (âåäü åñëè ó âåðøèíû åñòü ïîëîæèòåëüíûé
âõîäÿùèé òîê, òî åñòü è âûõîäÿùèé). Ðàíî èëè ïîçäíî
ìû âïåðâûå âåðíåìñÿ â âåðøèíó, â êîòîðîé óæå
ïîáûâàëè. Çíà÷èò, ìû ïîëó÷èì çàìêíóòóþ öåïî÷êó
ðåáåð, íà êîòîðûõ ñèëà òîêà íåîòðèöàòåëüíà, ïðè÷åì
õîòÿ áû íà îäíîì èç íèõ îíà áîëüøå íóëÿ. Ïî çàäà÷å
4 ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñî âòîðûì ïðàâèëîì Êèðõãîôà, ïîòîìó ÷òî íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ðàâíî íóëþ.
Ïðèíöèï òåõíèêè áåçîïàñíîñòè, à âìåñòå ñ íèì è
òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè äîêàçàíû.
Çàäà÷à 5*. Âûâåäèòå èç ïðàâèë Êèðõãîôà, ÷òî åñëè
íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ïîëîæèòåëüíî, òî ñèëà òîêà ÷åðåç
íåå: à) íå ðàâíà íóëþ; á) ïîëîæèòåëüíà.
Çàäà÷à 6. Íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè óâåëè÷èëè â n ðàç.
Äîêàæèòå, ÷òî âñå ñèëû òîêà â öåïè òàêæå óâåëè÷èëèñü â n
ðàç.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Äåíà
î ðàçðåçàíèè ïðÿìîóãîëüíèêà
Ïóñòü ïðÿìîóãîëüíèê ðàçðåçàí íà êâàäðàòû. Ðàñïîëîæèì åãî òàê, ÷òîáû äâå åãî ñòîðîíû áûëè âåðòèêàëüíû, à äâå äðóãèå – ãîðèçîíòàëüíû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
äëèíà ãîðèçîíòàëüíîé ñòîðîíû ðàâíà 1. ßñíî, ÷òî
ñòîðîíû âñåõ êâàäðàòîâ ëèáî âåðòèêàëüíû, ëèáî ãîðèçîíòàëüíû. Ðàññìîòðèì ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçðåçàíèþ. Ñèñòåìà óðàâíåíèé, ïîñòðîåííàÿ ïî ïðàâèëàì Êèðõãîôà äëÿ ýòîé öåïè, èìååò
ðåøåíèå – â êà÷åñòâå ñèë òîêîâ ìîæíî âçÿòü äëèíû
ñòîðîí êâàäðàòîâ. Ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòè äðóãèõ
ðåøåíèé ó ýòîé ñèñòåìû íåò. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå î
ðåøåíèè ñèñòåìû îíî ñîñòîèò èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
Ïîýòîìó äëèíû ñòîðîí âñåõ êâàäðàòîâ, à ñëåäîâàòåëüíî, è îòíîøåíèå ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà ðàöèîíàëüíû.
Òåîðåìà Äåíà äîêàçàíà.
Çàäà÷à 7. Ïîêàæèòå, ÷òî êâàäðàò íåëüçÿ ðàçðåçàòü íà
ïîäîáíûå (íî íå îáÿçàòåëüíî ðàâíûå) ïðÿìîóãîëüíèêè ñ
îòíîøåíèåì ñòîðîí 2 .
Äåñåðò
Ìû îòâåòèëè íà âñå âîïðîñû, ïîñòàâëåííûå â ñòàòüå,
íî åå íàçâàíèå îñòàëîñü çàãàäêîé. Îáúÿñíåíèå íàçâàíèÿ ìû îñòàâèëè íà äåñåðò: ýòî áóäåò íàãëÿäíàÿ
êàðòèíêà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîñòðîåííîé ïî ðàçðåçàíèþ. Ðàíüøå ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ âûãëÿäåëà
ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊÀ
êàê íåêîòîðûé òðþê, òåïåðü íàøà öåëü – ïîêàçàòü, êàê
äî íåå ìîæíî äîäóìàòüñÿ.
Ïóñòü áîëüøîé ïðÿìîóãîëüíèê ðàçðåçàí íà ìåíüøèå
(íå îáÿçàòåëüíî êâàäðàòû), è òðåáóåòñÿ âûðàçèòü îòíîøåíèå ñòîðîí áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ÷åðåç îòíîøåíèÿ ñòîðîí ìåíüøèõ. Ðàñïîëîæèì áîëüøîé ïðÿìîóãîëüíèê òàê, ÷òîáû äâå åãî ñòîðîíû áûëè âåðòèêàëüíû,
à äâå äðóãèå – ãîðèçîíòàëüíû. Îòíîøåíèåì ñòîðîí
ïðÿìîóãîëüíèêà äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü îòíîøåíèå äëèíû åãî ãîðèçîíòàëüíîé ñòîðîíû ê äëèíå âåðòèêàëüíîé.
Ïðèìåð 1. Ïðÿìîóãîëüíèê ñ îòíîøåíèåì ñòîðîí R
ðàçäåëåí âåðòèêàëüíûì ðàçðåçîì íà äâà ïðÿìîóãîëüíèêà ñ îòíîøåíèÿìè ñòîðîí R1 è R2 (ðèñ.17,à).
Ïîêàæåì, ÷òî R = R1 + R2 . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âåðòèêàëüíàÿ ñòîðîíà áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà x.
Òîãäà ãîðèçîíòàëüíûå ñòîðîíû ìåíüøèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàâíû R1x è R2 x . Çíà÷èò, R = ( R1x + R2 x ) x =
= R1 + R2 .
Ðèñ.17. Ðàçðåçàíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà íà 2 ïðÿìîóãîëüíèêà
Ïðèìåð 2. Ïðÿìîóãîëüíèê ñ îòíîøåíèåì ñòîðîí R
ðàçäåëåí ãîðèçîíòàëüíûì ðàçðåçîì íà äâà ïðÿìîóãîëüíèêà ñ îòíîøåíèÿìè ñòîðîí R1 è R2 (ðèñ.17,á).
R1R2
Ïîêàæåì, ÷òî R =
. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ãîR1 + R2
ðèçîíòàëüíàÿ ñòîðîíà áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà y. Òîãäà âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû ìåíüøèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàâíû y R1 è y R2 . Çíà÷èò,
R=
y
R1R2
=
.
y R1 + y R2 R1 + R2
Äà ýòî æå ôîðìóëû ñîïðîòèâëåíèÿ öåïåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî è ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ!
Îáúÿñíåíèå î÷åíü ïðîñòîå (ðèñ. 18, 19).
Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ó íàñ åñòü ïðÿìîóãîëüíàÿ
ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà. Ñîåäèíèì åå âåðòèêàëüíûå
ñòîðîíû ñ êëåììàìè áàòàðåéêè (òî÷íåå, ê êàæäîé èç
âåðòèêàëüíûõ ñòîðîí ïî âñåé äëèíå ïðèëîæèì ïðîâîäíèê, ñîåäèíåííûé ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êëåììîé). Òîãäà
÷åðåç ïëàñòèíêó ïîéäåò òîê â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè. Ïëàñòèíêà èãðàåò ðîëü ðåçèñòîðà. Êàê èçâåñòíî
èç ôèçèêè, åå ñîïðîòèâëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî îòíîøåíèþ äëèíû ê ïëîùàäè âåðòèêàëüíîãî ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, ñîïðîòèâëåíèå ïëàñòèíêè
ïðîïîðöèîíàëüíî îòíîøåíèþ åå ñòîðîí. Äëÿ ïðîñòîòû
áóäåì ñ÷èòàòü êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ðàâíûì 1.
Äëÿ ïðèìåðà 1 ïðèñòàâèì äðóã ê äðóãó äâå ïðÿìîóãîëüíûå ïëàñòèíêè îäèíàêîâûìè âåðòèêàëüíûìè ñòî-
Ðèñ.18. Ôîðìóëû äëÿ îòíîøåíèÿ ñòîðîí òàêèå æå, êàê è äëÿ
ñîïðîòèâëåíèÿ
ðîíàìè. Îñòàâøèåñÿ âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû ñîåäèíèì ñ ïîëþñàìè áàòàðåéêè. Ïîëó÷èì öåïü èç äâóõ
ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ (ðèñ.19,à).
Åñëè îòíîøåíèÿ ñòîðîí ýòèõ ïëàñòèíîê R1 è R2 , òî
èõ ñîïðîòèâëåíèÿ – òîæå R1 è R2 . Ñîïðîòèâëåíèå
áîëüøîé ïëàñòèíêè, ñîñòàâëåííîé èç äâóõ, ðàâíî
R1 + R2 êàê ñîïðîòèâëåíèå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ. Âîò «ôèçè÷åñêîå» îáúÿñíåíèå
òîãî, ÷òî îòíîøåíèå ñòîðîí áîëüøîé ïëàñòèíêè ðàâíî R1 + R2 .
Ïåðåéäåì ê ïðèìåðó 2. Ïðèñòàâèì äâå ïëàñòèíêè
äðóã ê äðóãó îäèíàêîâûìè ãîðèçîíòàëüíûìè ñòîðîíàìè, à âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû ñîåäèíèì ñ ïîëþñàìè
áàòàðåéêè (ðèñ.19,á). Ïîñêîëüêó òîê òå÷åò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, òî ÷åðåç ëèíèþ ñòûêîâêè òîê íå
èäåò. Èçîëèðóåì ïëàñòèíêè äðóã îò äðóãà: òîê è
ñîïðîòèâëåíèå öåïè íå èçìåíÿòñÿ. Ìû ïîëó÷èì ïàðó
ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ, çíà÷èò, îòíîøåíèå ñòîðîí áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ ïî
R1R2
ôîðìóëå
.
R1 + R2
Ýòî æå ïîñòðîåíèå ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ëþáîãî
ðàçðåçàíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà íà ïðÿìîóãîëüíèêè, ñêàæåì äëÿ èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 3. Ïðåäñòàâèì ñåáå
áîëüøóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ïëàñòèíêó, ðàçáèòóþ íà ìåíüøèå. Âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû áîëüøîé ïëàñòèíêè ñîåäèíèì ñ ïîëþñàìè áàòàðåéêè. Âäîëü ãîðèçîíòàëüíûõ
ëèíèé ðàçðåçà èçîëèðóåì ìåíüøèå ïëàñòèíêè äðóã îò
äðóãà, à âäîëü âåðòèêàëüíûõ ëèíèé ðàçðåçà ïóñòü îíè
ñòûêóþòñÿ. Ìû ïîëó÷èì ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîé ðàâíî îòíîøåíèþ ñòîðîí áîëüøîé
ïëàñòèíêè (ðèñ.19,â). Íà ñàìîì äåëå ýòî òà æå ñàìàÿ
ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, êîòîðóþ ìû ïîñòðîèëè ðàíüøå.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè îòíîøåíèå ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà, äîñòàòî÷íî èçìåðèòü ñîïðîòèâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîñòðîåííîé ïî ðàçðåçàíèþ! Îá ýòîì
ìû ïîäðîáíî ðàññêàæåì â îäíîì èç ñëåäóþùèõ íîìåðîâ æóðíàëà.
Çàäà÷à 8. Ïðÿìîóãîëüíèê ðàçäåëåí íà ïÿòü ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ îòíîøåíèÿìè ñòîðîí R1 = R2 = R3 = 1 , R4 = R5 = 3
òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 20. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîí
áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà.
Çàäà÷à 9**. Íà ïëîñêîñòè äàíà ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü èç ðåçèñòîðîâ
ñîïðîòèâëåíèåì 1 è áàòàðåéêè íàïðÿæåíèåì 1.
Ïðåäïîëîæèì, âñå ñèëû
òîêîâ â öåïè íåíóëåâûå,
à âñå êîíòóðû – òðåó- Ðèñ. 20. Ðàçðåçàíèå ïðÿìîóãîëüãîëüíûå 9 . Ïîïðîáóéòå íèêà íà 5 ïðÿìîóãîëüíèêîâ
äîêàçàòü, ÷òî òîãäà ýòà
öåïü ïîëó÷àåòñÿ èç íåêîòîðîãî ðàçðåçàíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà
íà êâàäðàòû.
Àâòîðû áëàãîäàðíû Åâãåíèþ Âûðîäîâó, Ñåðãåþ Ìàðêåëîâó, Åâãåíèþ Ìîãèëåâñêîìó, Âëàäèìèðó Ïðîòàñîâó, Àëåêñàíäðó Ïðîõîðîâó, Ñâÿòîñëàâó Ôåëüäøåðîâó è Áîðèñó
Ôðåíêèíó çà öåííûå çàìå÷àíèÿ.
Ì.Ñêîïåíêîâ áëàãîäàðåí çà ïîìîùü Èíñòèòóòó ïðîáëåì
ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ÐÀÍ è Óíèâåðñèòåòó íàóêè è òåõíèêè êîðîëÿ Àáäóëëû (Ñàóäîâñêàÿ Àðàâèÿ).
9 Íà ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî â êàæäîì
êîíòóðå ïîòåíöèàëû âåðøèí ïîïàðíî ðàçëè÷íû.
Ðèñ.19. Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè èç ìåòàëëè÷åñêèõ ïëàñòèíîê