Дополнительный материал: Справочные сведения из теории групп Определения, предполагающиеся известными: группа, изоморфизм, подгруппа, прямое произведение, фактор–множество, фактор–группа, линейное пространство, базис, скалярное произведение. Примеры матричных групп. • U (1) — множество комплексных чисел z: |z| = 1 (z = eiφ ). • U (n) — группа унитарных матриц n × n, U † U = 1. • SU (n) ⊂ U (n): det U = 1. • O(n) — действительные ортогональные матрицы OT O = 1 ⇒ det O = ±1. • SO(n) ⊂ O(n): det O = +1. Матричные группы Ли соответствуют гладким многообразиям в пространстве матриц. Касательное пространство в единице — алгебра Ли (действительное линейное пространство той же размерности, что и групповое многообразие). Любая кривая в группе вблизи единицы: g(t) = 1 + At + O(t2 ), где t – действительный параметр, A – элемент алгебры Ли. Коммутатор [A1 , A2 ] = A1 A2 − A2 A1 принадлежит алгебре. Алгебры основных матричных групп Ли: • U (n): A† = −A (в других обозначениях g = 1 + iAt + . . ., тогда A† = A). • SU (n): A† = −A, Tr A = 0. • SO(n): AT = −A. Алгебра Ли как линейное пространство. Размерность равна размерности группы, например, у SU (n) это n2 − 1. Базис – генераторы Ti . [Ti , Tj ] = Cijk Tk , где Cijk – структурные константы. Для группы SU (n), если генераторы эрмитовы, [Ti , Tj ] = iCijk Tk . Например, для SU (2) эрмитовы генераторы Ti = τi /2, где τi – матрицы Паули, Cijk = ijk . Представление группы: каждому элементу g ∈ G ставится в соответствие линейный оператор T (g), действующий в линейном пространстве представления V , причем это соответствие согласовано с групповой операцией. Представление алгебры Ли: каждому элементу A из алгебры Ли ставится в соответствие линейный оператор T (A), действующий в линейном пространстве представления V , причем это соответствие согласовано с операциями алгебры Ли: сложением, умножением на число и коммутацией. 1 Если известно представление группы, то по нему можно построить представление алгебры: T (1 + tA + . . .) = 1 + tT (A) + . . . (1) Эквивалентность представлений T (g) и T 0 (g): действуют в одном пространстве, и существует обратимый оператор S : V → V, T 0 (g) = ST (g)S −1 ∀g ∈ G (один оператор на все g). Если выбрать базис {ei } в пространстве представления V , то любой вектор ψ ∈ V разлагается ψ = ψi ei , T (g)ψ = ψi Tji (g)ej , так что (T (g)ψ)j = Tji ψi . Примеры простейших представлений. • Фундаментальное: G — любая группа матриц n × n, V — n-мерное пространство столбцов, T (g) — умножение матрицы g на столбец, (T (g)ψ)i = gij ψj . • Сопряженное фундаментальному: (T (g)ψ)i = gij∗ ψj , или в пространстве строк φ: † (T (g)φ)i = φj gji . • Присоединенное представление группы Ли G: V — алгебра Ли группы G, Ad(g) A = gAg −1 . • Присоединенное представление алгебры Ли: V — сама алгебра Ли, ad(A) B = [A, B]. Матрицы совпадают со структурными константами: ad(ti ) tj = [ti , tj ] = Cijk tk . • Тензорные представления SU (n): векторы с верхними индексами преобразуются по фундаментальному представлению, с нижними – по сопряженному. Тензоры преобразуются как прямые произведения векторов: 0 0 0 ...c ∗ ∗ ∗ ab...c T (U )ψia0 jb0 ...k 0 = (Uaa0 Ubb0 . . . Ucc0 ) Uii0 Ujj 0 . . . Ukk 0 ψij...k (2) Инвариантные тензоры не меняются при преобразовании (2). Это δji и i1 ...in (n – то же, что в SU (n)). Симметричный и антисимметричный тензоры второго ранга преобразуются не смешиваясь. 2 Компактные группы – групповые многообразия которых помещаются в шар конечного радиуса. Группа Ли компактна ⇔ в ее алгебре Ли существует скалярное произведение, инвариантное относительно действия присоединенного представления: (Ad(g) A, Ad(g) B) = (A, B), (A, A) ≥ 0, (A, A) = 0 ⇔ A = 0. Для матричных алгебр (A, B) = −Tr(AB). Генераторы можно выбрать так, чтобы они образовывали ортонормированный базис: 1 Tr(ti tj ) = − δji . 2 Литература: Рубаков, ч.1, глава 3. Ченг, Ли, §4.1 – 4.3. Задачи 1001. Доказать, что коммутатор принадлежит алгебре Ли, используя определение с кривыми. 1002. Показать, что алгебры Ли SU (2) и SO(3) изоморфны. Показать, что для групп справедливо SU (2)/Z2 = SO(3), где Z2 — центр группы SU (2). Таким образом, хотя локально (вблизи единицы) группы SU (2) и SO(3) одинаковы, в целом (глобально) они различны. 1003. Пусть G = G1 × G2 — прямое произведение групп Ли G1 и G2 . Показать, что алгебра Ли группы G изоморфна прямой сумме алгебр Ли групп G1 и G2 , т. е. AG = AG1 + AG2 . 1004. Показать, что фундаментальное представление группы SU (2) эквивалентно своему сопряженному. 1005. Как уже отмечалось, алгебры SU (2) и SO(3) изоморфны. Пусть T — фундаментальное представление алгебры SU (2). Ему соответствует некоторое представление алгебры SO(3), обозначим его T̃ . Показать, что не существует представления группы SO(3), которое генерировало бы представление T̃ алгебры SO(3) по формуле (1). 1006. Показать, что −Tr(A2 ) положителен для всех ненулевых A из алгебры SU (2). Показать, что −Tr(A2 ) бывает как положительным, так и отрицательным для алгебры GL(2, C). 1007. Доказать, что структурные константы в ортонормированном базисе полностью антисимметричны. 1008. Показать, что алгебра SO(4) изоморфна алгебре SU (2) + SU (2). 1009. Показать, что группа SU (5) × U (1) – подгруппа группы SO(10). 3