БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова __________________________________________________________ Кафедра электротехники (Н7) Домашнее задание. Вариант 10-4-2. Дисциплина: «Электротехника» Тема: «Расчет установившихся процессов в электрической цепи синусоидального тока» линейной Выполнил: Пальцев А. А. Группа: И531 Преподаватель: доц. Желанкина И. К. г. Санкт – Петербург 2005 г. Содержание 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ. ..................................................................................... 5 1.1. Основные законы электрических цепей в комплексной форме. ................................................................................... 5 1.1.1. Первый закон Кирхгофа. .................................................................................................................................................. 5 1.1.2. Второй закон Кирхгофа. ................................................................................................................................................... 5 1.1.3. Закон Ома .......................................................................................................................................................................... 5 1.1.4. Расчет мощностей комплексным методом. .................................................................................................................... 5 1.1.5. Баланс мощностей. ............................................................................................................................................................ 6 1.2. Методы расчета установившегося режима в электрических цепях синусоидального тока. ................................... 6 1.2.1. Расчет по законам Кирхгофа. ........................................................................................................................................... 6 1.2.2. Метод эквивалентных преобразований........................................................................................................................... 6 1.2.3. Метод эквивалентного генератора. ................................................................................................................................. 7 1.2.4. Метод контурных токов. .................................................................................................................................................. 7 1.2.5. Метод узловых потенциалов. ........................................................................................................................................... 8 2. СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА. .............................. 9 3. РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. ............................. 10 3.1. Расчет комплекса полного входного сопротивления. .................................................................................................... 10 3.2. Расчет токов и напряжений. ............................................................................................................................................... 11 3.3. Баланс мощностей. ............................................................................................................................................................... 12 3.4. Определение показаний измерительных приборов. ...................................................................................................... 12 3.5. Построение векторной диаграммы токов и напряжений. ............................................................................................ 12 3.6. Определение влияния изменения частоты в n раз на величину сопротивления каждого сопротивления. ........ 13 4. РАСЧЕТ ТОКА В ВЕТВИ 5 МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА. ................... 13 4.1. Определение ЭДС эквивалентного генератора. .............................................................................................................. 13 4.2. Определение комплекса внутреннего сопротивления эквивалентного генератора. ............................................... 14 4.3. Определение тока в нагрузке. ............................................................................................................................................ 14 5. РАСЧЕТ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ. ......................................................................... 14 5.1. Выражение токов в ветвях через контурные токи. ........................................................................................................ 14 5.2. Составление системы уравнений....................................................................................................................................... 15 z . .................................................................................................................... 15 5.4. Определение вектора свободных членов EK ............................................................................................................... 15 5.5. Нахождение вектора контурных токов I K и токов в ветвях Ii . ............................................................................. 15 5.3. Определение матрицы коэффициентов 6. РАСЧЕТ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ. .............................................................. 16 6.1. Выражение токов в ветвях через узловые потенциалы. ............................................................................................... 16 6.2. Составление системы уравнений....................................................................................................................................... 16 Y . ................................................................................................................... 16 6.4. Определение вектора свободных членов I З . ............................................................................................................... 16 6.3. Определение матрицы коэффициентов 6.5. Нахождение вектора узловых потенциалов и токов в ветвях Ii . ....................................................................... 17 7. ВЫВОДЫ. ............................................................................................................................... 17 2 Техническое задание. рис. 1 В цепи, представленной на рис. 1, действует источник синусоидальной ЭДС e(t ) Em sin( t ) В, частота 50Гц., Em. Модули сопротивлений элементов цепи и их характер приведены ниже. Исходные данные: Em 180 В 150 e(t ) 180 sin( t ) 180 sin( t 150) В f 50 Гц n 0.4 Комплексы полных сопротивлений ветвей: Z1 = jXL = j40 = 40ej90° Ом j0° Z2 = R2 = 30 = 30e Ом j0° Z3 = R3 = 40 = 40e Ом j0° Z4 = R4 = 50 = 50e Ом -j90° Z5 = -jXC = -j60 = 60e Ом Комплекс ЭДС источника: E E m e j 127.66 e j150 110.55 j 63.83В 2 3 Требуется: 1. Составить по законам Кирхгофа алгебраических уравнений. “MathCAD”(или иной в Решить программы для комплексной ее с форме помощью решения системы систему программы линейных уравнений). 2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных преобразований. При оформлении работы привести все схемы, полученные методом эквивалентных преобразований. 3. Записать значения найденных в пп. 1 - 2 комплексов токов и комплексов напряжений на всех участках цепи в алгебраической и показательной форме. Перейти от комплексов токов и напряжений к их мгновенным значениям и записать их. 4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. 5. Определить показания амперметра, вольтметра и ваттметра. 6. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. 7. Определить сопротивление каждого элемента при изменении частоты в n раз. 8. Для одной из ветвей схемы определить ток методом эквивалентного генератора. 9. Составить и решить систему алгебраических уравнений в комплексной форме методом контурных токов. Определить токи в ветвях. Сравнить полученные значения со значениями, полученными в п.1. 10.Составить и решить систему алгебраических уравнений в комплексной форме методом узловых потенциалов. Определить токи в ветвях. Сравнить полученные значения со значениями, полученными в п.1. 4 1. Теоретическое обоснование. 1.1. Основные законы электрических цепей в комплексной форме. 1.1.1. Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма комплексов токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Входящие в узел и выходящие из узла токи берутся с разными знаками. I k 0 (1.1.1) k 1.1.2. Второй закон Кирхгофа. В замкнутом контуре алгебраическая сумма комплексов напряжений равна алгебраической сумме комплексов ЭДС, действующих в этом контуре. Напряжения и ЭДС берутся с положительным знаком, если их направление совпадает с выбранным направлением обхода контура. U m E n m (1.1.2) n 1.1.3. Закон Ома Закон Ома для участка цепи в комплексной форме записывается следующим образом: U Z I (1.1.3) где U , I - комплексы действующих значений напряжения и тока на участке цепи соответственно, а Z – комплекс полного сопротивления участка цепи: Z R jX R j ( X L X C ) z e j Также закон Ома можно записать, используя комплекс полной проводимости участка цепи: I Y U , где Y g jb 1 1 y e j - комплекс полной проводимости. Z z e j Для отдельных идеальных элементов цепи закон Ома можно записать с учетом комплекса сопротивления элемента: для резистивного элемента: U R R IR для индуктивного элемента: U L jL IL jX L IL для емкостного элемента: U C 1 I C jX C IC jC 1.1.4. Расчет мощностей комплексным методом. Комплекс полной мощности равен произведению комплекса действующего значения напряжения на сопряженный комплекс действующего значения тока: S U I , где I I e ji - сопряженный комплекс действующего значения тока 5 Тогда комплекс полной мощности можно представить в следующем виде: S U I Ue ju Ie ji Se j ( u i ) Se j UI cos jUI sin P jQ где u i - угол сдвига фаз между напряжением и током; S – полная мощность P UI cos - активная мощность Q UI sin - реактивная мощность 1.1.5. Баланс мощностей. Проверка баланса мощностей проводится в соответствии с уравнением 5 * E I ист Z k I k2 , (1.1.5) k 1 * где I ист – сопряженный комплекс тока ветви, в которую включен источник, E комплексное напряжение источника, Z k , I k – комплекс сопротивления и действующий ток ветви k . 1.2. Методы расчета установившегося режима в электрических цепях синусоидального тока. 1.2.1. Расчет по законам Кирхгофа. Метод расчета по законам Кирхгофа (1.1.1–1.1.2) является простым и универсальным методом расчета электрических цепей. Он позволяет рассчитывать как установившиеся, так и переходные режимы, как в линейных, так и в нелинейных цепях, как в цепях с сосредоточенными параметрами, так и в цепях с распределенными параметрами. Для расчета этим методом необходимо составить систему уравнений с неизвестными токами. По первому закону Кирхгофа составляется (q-1) уравнений, где q – количество узлов цепи. По второму закону составляют (p-(q-1)) уравнений, где p – количество ветвей в цепи. В итоге получится система из p уравнений, которая разрешается относительно токов. 1.2.2. Метод эквивалентных преобразований. Суть метода заключается в упрощении исходной цепи путем замены нескольких элементов одним эквивалентным. Преобразование называют эквивалентным, если напряжение, ток и угол сдвига фаз между напряжением и током на участке цепи, не затронутом преобразованием, остаются неизменными. Метод применяют: 1). для упрощения цепи; 2). в случае действия в цепи одного источника, для расчета токов и напряжений. Основные расчетные формулы метода основаны на вычислении эквивалентного полного сопротивления нескольких элементов, включенных последовательно или параллельно: 6 n Z Э Z j - полное эквивалентное сопротивление при последовательном соединении j 1 n YЭ Yk - полная эквивалентная проводимость при параллельном соединении. k 1 1.2.3. Метод эквивалентного генератора. Метод применяют в тех случаях, когда сложная линейная цепь работает на переменную нагрузку. Суть метода заключается в замене части сложной линейной цепи (за исключением цепи, содержащей нагрузку) эквивалентным генератором, т.е. метод позволяет сложную цепь свести к последовательному соединению эквивалентного генератора с параметрами E ЭГ , Z ЭГ и сопротивлению нагрузки Z Н . Тогда ток в нагрузке будет определяться формулой: I E ЭГ . Z ЭГ Z Н (1.2.3.1) Для расчета параметров эквивалентного генератора необходимо разомкнуть ветвь, содержащую нагрузку (ветвь ab). Тогда в соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе E ЭГ равно напряжению на зажимах разомкнутой цепи ab в режиме холостого хода: E ЭГ U abх.х. . (1.2.3.2) Эквивалентное полное сопротивление генератора вычисляется как полное сопротивление участка цепи ab. E ЭГ , Z ЭГ 1.2.4. Метод контурных токов. Метод контурных токов позволяет сократить число совместно решаемых уравнений за счет введения новых переменных – контурных токов. Контурный ток – расчетный ток, считаем, что в каждом контуре протекает один ток. Для расчета методом контурных токов необходимо составить и решить систему из n=p-(q-1) уравнений: z ij Расчет матрицы коэффициентов z11 IK z12 IK ... z1n IK E K производится следующим образом: элементы z 21 IK z 22 IK ... z 2 n IK E K (1.2.4) главной диагонали вычисляются как собственные ................................................... сопротивления соответствующих контуров. z I z I ... z I E Остальные элементы. вычисляются как взаимные n2 K nn K K n1 K сопротивления контуров, т.е. суммарное сопротивление ветви, являющейся общей для рассматриваемых контуров, причем сопротивление берется с положительным знаком, если направления контурных токов в рассматриваемой ветви совпадают. Вектор свободных членов E k - контурные ЭДС определяются как алгебраическая сумма комплексов ЭДС, входящих в контур. ЭДС входит в сумму с положительным знаком, если ее направление совпадает с выбранным направлением контурного тока. После решения системы уравнений и нахождения контурных токов, необходимо выразить токи в ветвях через контурные токи. Ток в ветви равен алгебраической сумме контурных токов, соответствующих контурам, через которые протекает 1 2 n 1 1 2 n 2 1 2 n n 7 рассматриваемый ток. Если направление тока совпадает с направлением контурного тока, то контурный ток берется с положительным знаком. 1.2.5. Метод узловых потенциалов. Метод узловых потенциалов позволяет сократить число совместно решаемых уравнений за счет введения новых переменных – узловых потенциалов. Так как токи в ветвях определяются разностью потенциалов, то потенциал одного из узлов можно принять равным нулю. Для расчета методом узловых потенциалов необходимо составить и решить систему из n=(q-1) уравнений: В данной системе уравнений коэффициенты, Y111 Y12 2 ... Y1n n IЗ стоящие на главной диагонали, берутся с Y211 Y22 2 ... Y2 n n IЗ знаком, остальные – с (1.2.5) положительным .......... .......... .......... .......... ......... отрицательным. Y Y ... Y I В матрице коэффициентов Yij коэффициенты, n2 2 nn n З n1 1 стоящие на главной диагонали, определяются как сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле. Остальные элементы определяются как сумма проводимостей всех ветвей, связывающих непосредственно соответствующие узлы. Вектор свободных членов IЗ - задающие токи определяются как алгебраическая сумма произведений проводимостей соответствующих ветвей, сходящихся в узле, на ЭДС, действующие в ветви, причем слагаемое берется с положительным знаком, если соответствующая ЭДС направлена к узлу: IЗ Y j E j . 1 2 n K K j После решения системы уравнений и нахождения узловых потенциалов, необходимо выразить токи в ветвях через узловые потенциалы. Для этого выражаются потенциалы конечных узлов ветви, содержащей рассматриваемый ток, через начальные потенциалы. 8 2. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа. В цепи, приведенной на рисунке, зададимся направлением токов, напряжений и направлением обхода контуров. Цепь содержит 5 ветвей и 3 узла, то есть необходимо составить 5 уравнений по законам Кирхгофа – два уравнения по первому закону Кирхгофа (1.1.1) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (1.1.2). p = 5; q = 3, общее число уравнений – n = p – (q – 1). I1 I2 I3 0, I3 I4 I5 0, Z 1 I1 Z 2 I2 E , Z 2 I 2 Z 3 I 3 Z 4 I 4 E , Z 4 I4 Z 5 I5 0 (2.1) В матричной форме уравнение (2.1) будет иметь вид: A I E . Перепишем его с числовыми значениями: 1 0 j 40 0 0 1 0 30 30 0 1 1 0 40 0 0 1 0 50 50 . 0 I1 0 . 1 I2 0 . 0 I 110.6 j 63.83 3 0 . 110.6 j 63.83 I4 j 60 . 0 I 5 (2.2) Решая матричное уравнение (2.1) с помощью ЭВМ, получим: 1.704 j1.241 2.031 j 0.145 [ I ] 0.326 j1.096 0.732 j 0.486 0.405 j 0.610 Представим токи в алгебраической и показательной форме: I1 1.704 j1.241 2.11e j143.9 A I2 2.031 j 0.145 2.04e j175.9 A I3 0.326 j1.096 1.14e j106.6 A I 0.732 j 0.486 0.879e j146.4 A 4 I5 0.405 j 0.610 0.732e j 56.4 A 9 Рассчитаем теперь напряжения по формуле (1.1.3): U 1 Z1 I1 40e j 90 2.108e143.9 84.33e j126.1 49.64 j 68.17 B U 2 Z 2 I2 30e j 0 2.036e j175.9 61.07e j175.9 60.92 j 4.34 B U Z I 40e j 0 1.144e j106.6 45.75e j106.6 13.05 j 43.85B 3 3 3 U 4 Z 4 I4 50e j 0 0.879e j146.4 43.93e j146.4 36.58 j 24.32 B U 5 Z 5 I5 60e j 90 0.732e j 56.4 43.93e j146.4 36.58 j 24.32 B 3. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований. 3.1. Расчет комплекса полного входного сопротивления. 1).Первая схема замещения. Z 45 Z4 Z5 50e j 0 60e j 90 Z4 Z5 50 j 60 38.4e j 39 29.5 j 24.6Ом Сопротивление Z 45 имеет активно-емкостной характер. 2).Вторая схема замещения. Z 345 Z 3 Z 45 40 29.508 j 24.59 69..5 j 24.6 73.7e j19 Ом Сопротивление Z345 имеет активно-емкостной характер. 3). Третья схема замещения. Z 1345 Z 1 Z 345 40e j 90 73.729e j19.482 Z 1 Z 345 j 40 69.508 j 24.59 2949.16e j 70.518 41.4e j 58 21.9 j 35.1Ом j12.5 71.196e Сопротивление Z1345 имеет активно-индуктивный характер. 10 4).Конечная схема замещения. Z в х Z 2 Z 1345 30 21.94 j 35.136 51.9 j 35.1 62.7e j 34 Ом Сопротивление Z в х имеет активно-индуктивный характер. 3.2. Расчет токов и напряжений. Ток I2 в конечной схеме замещения определяется формулой: I2 E Z вх Остальные токи и напряжения определяются из закона Ома (1.1.3). j150 I E 127.66e 2.036e j175.9 2.031 j 0.145 A 2 j 34.076 Z вх 62.708e U Z I 30 2.036e j175.924 61.1e j175 60.9 j 4.3B 2 2 2 U 2 Z 1345 I2 41.423 e j 58.018 2.036e j175.924 84.3e j126 49.6 j 68.2 B U 84.337e j126.059 I1 1 1.144e j106.6 0.326 j1.096 A j19.482 Z 1 73.729e U Z I 40 1.144e j106.577 45.8e j107 13.1 j 43.9 B 3 3 3 U 4 U 5 Z 45 I3 38.411e j 39.806 1.144e j106.577 43.9e j146 36.6 j 24.3B U 43.942e j146.383 I4 4 0.879e j146.4 0.732 j 0.487 A j 0 Z4 50e j146.383 I U 4 43.942e 0.732e j 56.4 0.405 j 0.610 A 5 j 90 Z5 60e Представим полученные значения в виде таблицы: Таблица 3.2.1. Величина I1 I 2 I3 I 4 I5 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 А А А А А В В В В В Мгновенные значения ( I m Алгебраическая форма Показательная форма 1.70 j1.24 2.11e j144 i1 3.04 sin( t 144 ) 2.03 j 0.145 2.04e j176 i2 2.93 sin( t 176 ) 0.326 j1.10 1.14e j107 i3 1.65 sin( t 107 ) 0.732 j 0.487 0.879e j146 i4 1.27 sin( t 146 ) 0.405 j 0.610 0.732e j 56 i5 1.05 sin( t 56 ) 49.6 j 68.2 84.3e j126 60.9 j 4.34 61.1e j176 13.1 j 43.9 45.8e j107 36.6 j 24.3 43.9e j146 36.6 j 24.3 43.9e j146 2I) u1 121sin( t 126 ) u 2 88.0 sin( t 176 ) u 3 65.9 sin( t 107 ) u 4 63.3 sin( t 146 ) u 5 63.3 sin( t 146 ) 11 3.3. Баланс мощностей. Проверку баланса мощностей будем проводить на основе формулы (1.1.5): 5 * E I 2 Z k I k2 , k 1 * где I 2 – сопряженный комплекс тока ветви, в которую включен источник, E комплексное напряжение источника, Z k , I k – комплекс сопротивления и действующий ток ветви k . * I 2 2.04e j176 * E I 2 127.7e j150 2.04e j176 260.508e j 34 216.0 j145.7 Pист jQист Pист 216 Вт Qист 145.7 ВАр 5 Z k 1 k I k2 j 40 4.4521 30 4.1616 40 1.2996 50 0.7726 j 60 0.5358 215.5 j145.9 Pпр Qпр Pпр 215.5Вт Qпр 145.9 ВАр Проводим оценку баланса по формулам P Q Pист Pпр Pист 100% Qист Qпр Qист 216 215.5 100% 0.23% 5% 216 100% 145.7 145.9 100% 0.14% 5% 145.7 Полученное расхождение находится в пределах погрешности вычислений. 3.4. Определение показаний измерительных приборов. Амперметр показывает действующее значение тока: I A I 2 2.04 A . Вольтметр показывает действующее напряжения: U V U 4 U 5 43.9B . Показание ваттметра определяется произведением действующих значений измеряемого напряжения и измеряемого тока, умноженным на косинус сдвига фаз между ними: Pw U 2 I 3 cos(U 2 I 3 ) 61.08 1.144 cos(U I ) 69.87552 cos 283 15.7 Вт . 2 3 3.5. Построение векторной диаграммы токов и напряжений. Для построения векторной диаграммы воспользуемся алгебраической формой записи комплексов токов и напряжений. Проверку выполнения законов Кирхгофа – можно провести пунктирными линиями – по правилу сложения векторов. Масштаб диаграммы по токам равен 0,2 А/см, по напряжениям 20 В/см. 12 3.6. Определение влияния изменения частоты в n раз на величину сопротивления каждого сопротивления. Обозначим измененную частоту: n 0.4 . Считаем, что все элементы цепи – идеальные, тогда для активных элементов сопротивление не изменится, для индуктивных и емкостных будет определяться соответствующими формулами: Z L X L Z C 1 X C В соответствии с этим получим: Z 1 jX L j 40 j L 0.4 jL 0.4Z1 j16Ом Z 2 Z 2 30Ом Z 3 Z 3 40Ом Z 4 Z 4 50Ом Z 5 jX C j 60 j 1 1 1 j Z 5 j150Ом C 0.4C 0.4 4. Расчет тока в ветви 5 методом эквивалентного генератора. 4.1. Определение ЭДС эквивалентного генератора. Для нахождения тока I5 размыкаем ветвь, по которой течет этот ток – ветвь ab. Тогда по формуле (1.2.3.2) ЭДС эквивалентного генератора будет равна: E ЭГ U abх.х. Для нахождения U abх.х. составим систему уравнений по законам Кирхгофа, решим ее относительно токов и найдем U 4 U abх. х. Для полученной цепи p=3, q=2, значит необходимо составить 1 уравнение по первому закону Кирхгофа (1.1.1) и 2 уравнения по второму закону Кирхгофа (1.1.2): I1 I2 I3 0 , в матричной форме: Z1I1 Z 2 I2 E Z 2 I 2 ( Z 3 Z 4 ) I 3 E 0 1 1 1 I1 j 40 30 0 I 110.6 j 63.8 2 0 30 90 I3 110.6 j 63.8 Решив полученное матричное уравнение с помощью ЭВМ, получим: 1.795 j1.063 I 2.267 j 0.266 0.473 j 0.798 Тогда ЭДС эквивалентного генератора будет равно: E ЭГ U abх. х. U 4 Z 4 I3 50 (0.473 j 0.798) 23.6 j 40 46.4e j121 B 13 4.2. Определение комплекса внутреннего сопротивления эквивалентного генератора. Для нахождения комплекса внутреннего сопротивления эквивалентного генератора воспользуемся Z ЭГ эквивалентной схемой. Тогда внутреннее сопротивление эквивалентного генератора будет равно полному сопротивлению ветви ab. Z12 Z1 Z 2 40e j 90 30 1200e j 90 24e j 36.9 19.2 j14.4Ом j 53.1 Z1 Z 2 30 j 40 50e Z123 Z12 Z 3 19.2 j14.4 40 59.2 j14.4 60.9e j13.7 Ом Z ЭГ Z ab Z 4 Z123 50 60.926e j13.671 3046.3e j13.7 27.7e j 6.2 27.5 j 3.0Ом j 7.5 Z 4 Z123 50 59.2 j14.4 110.1e 4.3. Определение тока в нагрузке. Найдем искомый ток в нагрузке I5 по формуле (1.2.3.1): I5 E ЭГ 46.36e j120.642 46.36e j120.642 0.732e 56.4 0.405 j 0.610 A Z ЭГ Z 5 27.497 j 2.967 j 60 63.315e j 64.26 Полученное значение для I5 совпадает со значением, полученном при расчете токов методом эквивалентных преобразований в п. 3.2. 5. Расчет методом контурных токов. Для расчета методом контурных токов (п. 1.2.4) необходимо ввести новые расчетные переменные – контурные токи, и задаться их направлением в каждом независимом контуре. 5.1. Выражение токов в ветвях через контурные токи. Выразим токи в ветвях через соответствующие контурные токи: I1 IK1 I2 IK1 IK 2 I 3 IK 2 I 4 I K 2 I K3 I 5 I K3 (5.1) 14 5.2. Составление системы уравнений. Запишем систему уравнений (1.2.4) для рассматриваемой цепи: z11IK1 z12 IK 2 z13 IK1 E K1 z21IK1 z22 IK 2 z23IK 2 E K 2 , в матричной форме: z I K EK z31I K1 z32 IK 2 z33 IK 3 E K 3 (5.2) 5.3. Определение матрицы коэффициентов z . Определим коэффициенты z ij в соответствии с п. 1.2.4: z11 Z1 Z 2 z12 z 21 Z 2 и запишем их в матричной форме: z 22 Z 2 Z 3 Z 4 , z13 z 31 0 z Z Z z z Z 4 5 32 4 33 23 0 30 j 40 30 (5.3) z 30 120 50 0 50 50 j 60 5.4. Определение вектора свободных членов EK . Определим коэффициенты E K i в соответствии с п. 1.2.4: E K1 E E 110.6 j 63.8 E K 2 E , в матричной форме: E K E 110.6 j 63.8 0 0 E K 3 0 (5.4) 5.5. Нахождение вектора контурных токов I K и токов в ветвях Ii . Подставим найденные значения (5.3) и (5.4) в уравнение (5.2): 0 IK1 110.6 j 63.8 30 j 40 30 30 I 110.6 j 63.8 120 50 K2 0 50 50 j 60 IK 3 0 (5.5) Решим матричное уравнение (5.5) с помощью ЭВМ: IK1 1.704 j1.241 I K IK 2 0.326 j1.096 IK 0.405 j 0.610 3 Подставив полученные значения контурных токов найдем искомые токи в ветвях: I1 IK1 1.70 j1.24 2.11e144 A I2 IK1 IK 2 2.03 j 0.145 2.04e j176 A I3 IK 2 0.326 j1.10 1.14e j107 A I4 IK 2 IK 3 0.731 j 0.486 0.878e j146 A I5 IK 3 0.405 j 0.610 0.732e j 56 A Полученные значения токов совпадают со значениями, полученными при расчете методом эквивалентных преобразований в п. 3.2. 15 6. Расчет методом узловых потенциалов. Для расчета методом узловых потенциалов (п. 1.2.5) необходимо ввести новые переменные – узловые потенциалы, пронумеровать все узлы цепи и принять потенциал одного из узлов равным нулю. Принимаем 3 0 . Также для составления уравнений необходимо вычислить комплексы проводимостей всех ветвей цепи: Yi 1 . Zi Y1 0.025e j 90 Ом 1 Y2 0.0333e j 0 Ом 1 Y3 0.025e j 0 Ом 1 Y4 0.020e j 0 Ом 1 Y5 0.0167e j 90 Ом 1 6.1. Выражение токов в ветвях через узловые потенциалы. Токи в ветвях определяются разностью потенциалов на между конечным и начальным узлом ветви, причем токи текут из области с более высоким потенциалом в область с более низким потенциалом. На основании этого можно выразить все токи через потенциалы узлов: 3 1 Z 1 I1 I1 Y11 1 3 Z 2 I2 E I2 Y2 ( E 1 ) 2 1 Z 3 I3 I3 Y3 (1 2 ) Z I I Y 3 2 4 4 3 2 Z 5 I5 4 4 (6.1) 2 I5 Y5 2 6.2. Составление системы уравнений. Запишем систему уравнений (1.2.5) для рассматриваемой цепи: Y111 Y12 2 IЗ1 , в матричной форме: Y I З Y211 Y22 2 IЗ2 (6.2) 6.3. Определение матрицы коэффициентов Y . Определим коэффициенты Yij в соответствии с п. 1.2.5: Y11 Y1 Y2 Y3 , Y22 Y3 Y4 Y5 Y12 Y12 Y3 и запишем их в матричной форме: 0.058 j 0.025 0.025 0.045 j 0.017 0.025 Y (6.3) 6.4. Определение вектора свободных членов I З . Определим коэффициенты I З в соответствии с п. 1.2.5: i 16 3.69 j 2.13 0 I З Y2 E 0 (6.4) 6.5. Нахождение вектора узловых потенциалов и токов в ветвях Ii . Подставим найденные значения (6.3) и (6.4) в уравнение (6.2): 0.025 1 3.69 j 2.13 0.058 j 0.025 0.025 0.045 j 0.017 2 0 (6.5) Решим матричное уравнение (6.5) с помощью ЭВМ: 1 49.6 j 68.2 84.3e j126.1 j146.4 2 36.6 j 24.3 43.9e Подставив полученные значения узловых потенциалов найдем искомые токи в ветвях: I1 Y11 0.025e j 90 84.327e j126.059 2.11e j144 1.70 j1.24 A I2 Y2 ( E 1 ) 0.0333e j 0 (110.554 j 63.830 49.636 j 68.171) 2.03e j176 2.03 j 0.145 A I Y ( ) 0.025e j 0 (49.636 j 68.171 36.584 j 24.323) 1.14e j107 0.326 j1.10 A 3 3 1 2 I4 Y4 2 0.02e j 0 43.932e j146.382 0.879e j146 0.732 j 0.486 A I5 Y5 2 0.0167e j 90 43.932e j146.382 0.734e j 56 0.406 j 0.611A Полученные значения токов совпадают со значениями, полученными при расчете методом эквивалентных преобразований в п. 3.2. 7. Выводы. В проделанной работе я научился расчитывать установившиеся процессы в линейной электрической цепи синусоидального тока различными методами, оценил их достоинства и недостатки, а также специфику их применения. В данной работе все рассмотренные методы применимы и дают одинаковые результаты с высокой степенью точности. Полученные в результате расчета токи и напряжения приведены в таблице 1. Также я оценил баланс мощностей для исследуемой цепи, полученные расхождения оказались в пределах погрешности вычислений. Определил показания измерительных приборов, включенных в цепь – амперметр, вольтметр и ваттметр: I A 2.04 A U V 43.9 B Pw 15.7 Вт Также я научился строить векторные диаграммы токов и напряжений и проверять по ним выполнение законов Кирхгофа. 17