Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 31 (285). Физика. Вып. 15. С. 16–19. О. Н. Лямина, В. П. Семёнов, С. И. Кадченко НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ РАСТЕКАНИЕ КАПЛИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ТРУБЕ Действие поверхностных сил обусловливает стекание жидкой пленки при конденсации пара в пучке горизонтальных труб в виде отдельных капель и струй. Предложена математическая модель неизотермического процесса растекания капель вязкой жидкости по горизонтальным цилиндрическим поверхностям. Ключевые слова: растекание капли, цилиндрическая поверхность, конденсация. Основополагающей идеей для расчета процессов теплообмена при конденсации пара является теория Нуссельта. Эта теория конденсации пара на вертикальном ряде горизонтально расположенных труб основана на допущении о непрерывном характере течения по каждой трубе и перетекания конденсата с трубы на трубу в виде сплошной пленки. Исследование реального механизма накопления и отвода конденсата в межтрубном пространстве горизонтальных трубных пучков показало, что отвод конденсата происходит в виде капель или струй. Они формируются из массы конденсата, скапливающегося в поддонном слое. Переход от режима течения пленки без отрыва капель с боковой поверхности к режиму со срывом определяется числом Вебера, характеризующим связь динамического напора и сил поверхностного натяжения в конденсате. Распределение капель вдоль нижней образующей зависит от удельной плотности теплового потока, условий натекания пара на поверхность конденсации и взаимного расположения трубок в трубном пучке. Рядом экспериментальных исследований установлено влияние эффектов дискретного перетекания на местную теплоотдачу. С помощью метода скоростной киносъемки авторы показали, что теплообмен при конденсации пара на горизонтальных трубах во многом определяется картиной отрыва и падения капель конденсата с вышележащих труб на нижележащие [1–3]. В известной нам научной литературе подробно изучены задачи растекания капель по плоским твердым поверхностям и полностью отсутствует теоретическое описание процесса неизотермического растекания капель по горизонтальным цилиндрическим поверхностям. Постановка и методика решения задачи Положим, что капля вязкой несжимаемой жидкости, боковая поверхность которой в на- чальный момент времени ограничена сферической поверхностью, а поверхность основания — частью цилиндрической поверхности, начинает растекаться по нагретой горизонтальной цилиндрической поверхности (рис. 1). Введем цилиндрическую систему координат с началом в точке 0, лежащей на пересечении оси цилиндрической трубы и перпендикуляра к оси трубы, проходящего через центр пятна контакта капли с подложкой. Допустим, что течение жидкости в капле происходит симметрично относительно плоскостей z = 0 и φ = π/2, поэтому исследуем процесс нагрева и растекания капли в облаπ ⎧ ⎫ сти W = ⎨r ≥ rmò ,0 ≤ φ φ ≤ , z ≥ 0 ⎬ (рис. 1). Ось 0z 2 ⎩ ⎭ направим по оси цилиндрической трубы. Пусть кинематическая вязкость ν , теплопроводность λ и теплоемкость c жидкости зависят от температуры. Для нахождения области исследования Ω в начальный момент времени необходимо знать величину угла φ0 и значение полярного радиуса r для точек, принадлежащих внешней границе капли ∂ Ω . Нетрудно показать, что в начальный момент времени ⎛ r2 ⎞ ϕo0 = arcsin ⎜1 − k 2 ⎟ , ⎝ 2 ròm ⎠ а значение полярного радиуса r для точек, принадлежащих границе ∂ Ω , r ∂Ω = rmò sin ϕ + rêk2 − z 2 − rmò2 cos 2 ϕ. Массовая сила тяжести F , действующая на каплю жидкости, имеет следующие проекции на оси цилиндрической системы координат: Fr = –g sinφ, Fφ = –g cosφ, Fz = 0. Рассмотрим процесс растекания капли жидкости при условии, что кинематическая вязкость, теплопроводность и теплоемкость жидкости зависят от температуры. 17 Неизотермическое растекание капли вязкой жидкости по горизонтальной трубе y rк ∂Ω М rт x z Рис. 1. Принципиальная схема расположения одной четвертой части капли и части цилиндрической трубы в начальный момент времени. Здесь rт — радиус трубы; rк — радиус капли; ∂Ω — подвижная граница капли жидкости, соприкасающаяся с нагретым газом Используя общепринятые обозначения в безразмерном виде, система дифференциальных уравнений, описывающая исследуемый процесс, имеет вид ⎧ ∂V 1 ν F − Eu ∇p + + V ∇V = ΔV , ⎪ Sh Fr Fr Re ∂t ⎪ ⎪ ∇ V = 0, ⎨ ⎪ ⎡∂T ⎤ ⎪ c⎢ Fo ∇ ( λ ∇ T ) , + V ( ∇ T ) ⎥ = Fo ⎣ ∂t ⎦ ⎩⎪ ( ) (1) ( r , ϕ, z ) ∈ Ω. . Здесь V — вектор скорости жидкости; p — давление; t — время; F — массовая сила тяжеr V2 Fr = * — сти; Sh = * — число Струхаля; Fr V*t* r* F* p число Фруда; Eu = * 2 — число Эйлера; ρ* V* V r Re = * * — число Рейнольдса; T — темпераν* λ* Fo = тура; Fo — число Фурье. Звездочкой c* ρ* V* r* обозначены характерные величины. Система дифференциальных уравнений (1) решается при следующих начальных и граничных условиях: V (r , ϕ, z ,0) = V0 (r , ϕ, z ), p (r , ϕ, z ,0) = p0 (r , ϕ, z ), T (r , ϕ, z ,0) = T0 (r , ϕ, z ), T (rmò , ϕ, z , t ) = Tmò (ϕ, z , t ), −λ ∂T ∂r = Bi (T − Tãг ) ∂Ω ∂Ω , V (rmò , ϕ, z , t ) = 0, p (rmò , ϕ, z , t ) = pаà + ρ* g* r* h, p* (2) 2 h = r ∂Ω − ròm2 cos 2 ϕ − rmò sin ϕ, ∂T ∂V ∂p = 0, = 0, = 0, ∂ z z =0 ∂ z z =0 ∂ z z =0 ∂T ∂V ∂p = 0, = 0, = 0, ∂ ϕ ϕ= π ∂ ϕ ϕ= π ∂ ϕ ϕ= π 2 2 2 где V0 — вектор начальной скорости, p0 — гидродинамическое давление в капле в начальный момент времени; T0 — начальная температура ρgr сред; * * * h — добавочное давление на подp* ложке. Кроме того, на границе ∂Ω выполняются условия динамического равновесия [4]: −σ K nr = σ′r r nr + σ′r ϕ nϕ + σ′r z nz + −σ K nϕ = σ′ϕ r nr + σ′ϕϕ nϕ + σ′ϕ z nz + ∂σ , ∂r 1 ∂σ , r ∂ϕ −σ K nz = σ′z r nr + σ′z ϕ nϕ + σ′z z nz + (3) ∂σ . ∂z Здесь σ — поверхностное натяжение воды; K — кривизна поверхности капли; σ′rr, σ′rφ, σ′rz, σ′φφ, σ′zφ, σ′zz — компоненты тензора вязких 18 О. Н. Лямина, В. П. Семёнов, С. И. Кадченко напряжений в цилиндрической системе координат; nr , nφ, nz — проекции единичной нормали к поверхности капли на соответствующие оси цилиндрической системы координат, направленные внутрь капли. Система уравнений (1) решается численными методами. Для разработки алгоритма решения начально-краевой задачи (1–3) проведем процесс дискретизации системы уравнений (1) и области исследования, заменяя частные производные по времени на n-м временном шаге δt-эквивалентными им конечно-разностными выражениями: n n n −1 n ⎛ ∂V ⎞ V − V ⎛ ∂ T ⎞ T n − T n −1 = , . (4) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = δt δt ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠ Подставляя (4) в (1), получим n n −1 δt ⎡ 1 n −1 ⎤ Eu∇p n ⎥ + V = V + ⎢ F − Eu ⎪ Sh Sh ⎣ Fr Fr ⎦ ⎪ ⎪ (5) n −1 n −1 n −1 n −1 ⎤ δt ⎡ ν ⎪ + Δ V − V ∇ V , ⎪ ⎢ ⎥ Sh Sh ⎣ Re ⎨ ⎦ ⎪ n ⎪ ∇ V = 0, ⎪ ⎪ n−1 δδt t ⎡ ⎪ n n −1 n −1 n −1 n −1 n −∇ 1 T n)−1− V ∇ λ ∇ T∇nT−1n)−⎤⎥1 ⎤ . ⎡Fo ( ( ⎪TT n ==TT n −1++ n −1 ⎢ Fo ∇ λ ∇ − Fo T V ( ) ( ⎦ )⎦⎥ c c n −1⎣ ⎣⎢ ⎩ + После элементарных преобразований получим дифференциальное уравнение Пуассона вида ( 1 ⎡ 1 n −1 ν n −1 n −1 n −1 n −1 ∇ ΔV − V ∇V F + Eu ⎢⎣ Fr Re Fr Δp n = ∂ pn 1 ⎡ 1 n −1 ⎤ = Δp n − ∇ F ⎥+ Eu ⎢⎣ Fr Fr ∂τ ⎦ 1 ⎡ ν n −1 n −1 n −1 n −1 ⎤ + ∇⎢ ΔV − V ∇V ⎥. Eu ⎣ Re ⎦ ⎧⎪ n −1 δt ⎡ 1 n −1 n ∇ ⎨V + ⎢ Fr F − Eu ∇p + Sh ⎣ Fr ⎩⎪ T 100 (p ) n m ( ) = pn m −1 n −1 −V ( ⎧⎪ 1 ⎡ 1 n −1 νn −1 n −1 + δτ ⎨ ∇⎢ F + ΔV − Re ⎪⎩ Eu ⎣ Fr n −1 ⎤ n −1 n −1 ∇V −V ∇V , ⎥⎦ ) (8) Процесс решения уравнения (7) с использова- нием (8) прекращается, когда | ( p 40 0,0061 )} ( m = 1, ∞. 60 0,006 (7) Решение уравнения (7) ищется с помощью итерационной схемы 80 20 ) ( ) Для нахождения итерационной схемы вычисления значений гидродинамического давления n p n на n -м временном слое подставим V из первого уравнения системы (5) во второе уравнение. В результате получим )⎤⎥⎦ .(6) При решении дифференциального уравнения (6) воспользуемся псевдонестационарным методом [5], идея которого состоит в получении решения стационарной задачи путем построения эквивалентной нестационарной задачи и ее решения маршевым методом вплоть до достижения стационарного состояния. Рассмотрим соответствующее нестационарное уравнение ⎧⎧⎪ ( ) ( ν n −1 n −1 n −1 n −1 ⎤ ⎪⎫ ΔV − V ∇V ⎥ ⎬ = 0. Re ⎦ ⎭⎪ 0,0062 0,0063 0,0064 Рис. 2. Графики температурного поля капли при t = 0,0272c с n ) m0 − ( pn ) m0 −1 |< 19 Неизотермическое растекание капли вязкой жидкости по горизонтальной трубе < ε p , m0 ∈ N . В этом случае p n ≈ ( p n ) и мы получаем численное решение уравнения (6). Далее, применяя первое равенство системы n V ; потом, используя третье урав(5), находим n нение (5), находим T . Зная поле скоростей и применяя закон сохранения массы, находим форму капли на n -м временном шаге. Для проведения численного эксперимента составлена программа в среде Maple, позволяющая находить решение поставленной задачи на основе разработанного выше алгоритма. На рис. 2 построены графики распределения температуры жидкой капли в момент времени t = 0,0272 с после начала ее растекания по цилиндрической трубе в плоскости z = 0 . Графики температурного поля капли изображены в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывается радиус поверхности жидкой капли, а по оси ординат — температура капли. Снизу вверх от горизонтальной оси изображены графики температуры капли при различных π значениях полярного угла φ с шагом в диа8 π до 0 . Расчет проведен при rm = пазоне от 2 = 0,006 м, rk = 0,002 м, Tm = 80 °C, Tг = 100 °C. m0 Выводы Разработан алгоритм решения задачи неизотермического растекания вязкой несжимаемой жидкости по горизонтальной цилиндрической трубе с учетом сил поверхностного натяжения. Проведенные численные расчеты показали вычислительную эффективность разработанного алгоритма. Список литературы 1. Шкловер Г. Г., Буевич А. В. О механизме течения пленки при конденсации пара в горизонтальных трубных пучках // Теплоэнергетика. 1978. № 4. С. 62–65. 2. Шкловер Г. Г., Семенов В. П., Росинский А. З. Анализ механизма стекания пленки в горизонтальном трубном пучке при конденсации // Теплообмен, температурный режим и гидродинамика при генерации пара. Л. : Наука, 1981. С. 87–93. 3. Видин Д. В. Теоретические основы теплотехники. Тепломассобмен. М. : РГБ, 2004. 175 с. 4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. М. : Наука, 1988. 5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1. М. : Мир, 1991.