Метод Ньютона для решения задачи Римана о распаде

МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО
РАЗРЫВА В СРЕДАХ С УРАВНЕНИЯМИ СОСТОЯНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
Н. Я. МОИСЕЕВ, Т. А. МУХАМАДИЕВА
Российский федеральный ядерный центр – ВНИИ технической физики
им. акад. Е. И. Забабахина. г. Снежинск, Россия
Введение
В работе рассмотрен новый численный метод решения задачи о распаде произвольного разрыва в средах
с уравнением состояния (УРС) общего вида методом Ньютона. Подход является обобщением приближенного
метода, который был предложен Забродиным А.В. [1], решения этой задачи, и заключается в следующем. Исходные УРС локально аппроксимируются на каждой итерации двучленными УРС, для которых решение задачи
известно [2,3] и выражается через элементарные функции. Используя эти решения, определяются новые состояния сред из исходных УРС в точках на ветвях (u , p ) -диаграмм. Задача о распаде разрыва снова решается
для новых состояний сред так же, как и на предыдущей итерации. Итерации повторяются до тех пор, пока точки состояния сред на ветвях (u , p ) -диаграмм не совпадут между собой. Для эффективности итерационного
процесса используются решения в акустическом приближении [4, 5]. Решения нелинейных уравнений для давления находятся методом обратной параболической интерполяции [6], который имеет кубическую скорость
сходимости. Для эффективного вычисления интегралов в инвариантах Римана рассмотрена кубическая аппроксимация изэнтропы, обеспечившая по сравнению с методом Симпсона более высокую точность, сходимость
и экономичность. Возможности подхода демонстрируются на примерах решения задач для сред, подчиняющихся УРС Ми-Грюнайзена. Для этого УРС получены в явном виде алгебраическое уравнение изэнтропы и
некоторые точные решения для конфигураций с волной разрежения (ВР). Результаты численных расчетов модельных задач о распаде произвольного разрыва показали эффективность рассмотренного метода, согласуются
с точными решениями и решениями, полученными по алгоритму из [7]. Метод реализован в программе, написанной на языке программирования С++ в среде WINDOWS, для решения задач на персональном компьютере
в интерактивном режиме. Программа может быть полезной для научных сотрудников, инженеров и студентов.
2. Задача о распаде разрыва
Рассмотрим решение задачи Коши для системы уравнений газовой динамики в переменных Эйлера с одной
пространственной переменной, записанной в дивергентной форме в виде:
∂ρ ∂ u
+
= 0,
∂t ∂x
∂ρu ∂ (ρu 2 + p )
+
= 0,
∂t
∂x
(1)
∂ρ( E + 0.5u 2 ) ∂ (ρu ( E + 0.5u 2 ) + pu )
+
=0
∂t
∂x
Система уравнений (1) замыкается уравнением состояния p = p (ρ, E ) . В начальный момент времени t0 = 0
заданы следующие распределения основных величин в пространстве. Пусть пространство разделено на две части, левую и правую, плоскостью x = 0. Среда слева от этой плоскости находится в состоянии: ρ1 , u1 , p1 , среда
справа - ρ2 , u2 , p2 . Среды подчиняются УРС, записанными в форме p = p1 (ρ, E ), p = p2 (ρ, E ) . Эти УРС удовлетворяют условиям Бете-Вейля и являются выпуклыми. Здесь ρ, u, p, E - это плотность, скорость, давление
и внутренняя энергия соответственно. Среды разделены перегородкой, которая в момент времени t = 0 мгновенно убирается. После этого среды приходят в соприкосновение и начинают взаимодействовать между собой.
Требуется определить состояние сред для t > 0 .
В такой постановке задача известна как задача Римана о распаде произвольного разрыва. Предполагаем, что для
давлений выполнено условие p2 ≥ p1 . Если условие не выполнено, то, изменив знаки у скоростей на противоположные, меняем состояния местами. После решения задачи делаем обратную замену. В таком случае можно
рассматривать меньшее число конфигураций, которые могут возникнуть в результате распада разрыва. Основные конфигурации - это конфигурации из двух УВ, двух ВР, одной УВ и ВР. Для каждой конфигурации выписывается своя система нелинейных уравнений, решение которых необходимо найти. Мы не будем приводить
2
вывод этих уравнений, поскольку он известен и хорошо описан в литературе, например в [1–4], а выпишем сразу соответствующие системы уравнений и опишем единый подход к решению этих систем. Системы уравнений
запишем в следующем общем виде:
P − p1
⎧
= 0,
⎪U − u1 + a
⎪
1
⎨
⎪U − u − P − p2 = 0,
2
⎪⎩
a2
(2)
⎧
P − pi
,
P > pi
⎪ai = ρi ρ*i *
ρ
i − ρi
⎪⎪
ai = ⎨
−1
⎛p 1
⎞
⎪
⎪ai = ( P − pi ) ⎜⎜ ∫ ρ c dp ⎟⎟ , P < pi
⎝ p2
⎠
⎪⎩
Здесь i = 1, 2 , U , P – это скорость и давление на КР в зонах постоянного течения, V = 1/ ρ – это удельный
объем, величины ρ*i , Ei* , Vi* – это плотность, удельная внутренняя энергия и удельный объем за фронтом УВ
соответственно. В случае УВ давление и плотность должны удовлетворять уравнению адиабаты Гюгонио
Ei* − Ei −
1⎛ 1 1 ⎞
−
( pi + P* ) = 0 ,
2 ⎜⎝ ρi ρ*i ⎟⎠
(3)
в ВР – уравнению адиабаты Пуассона:
dEi
= − pi .
dv
(4).
Из (2–4) следует, что для каждой реализовавшейся конфигурации необходимо решать свою систему уравнений.
Для конфигурации из двух УВ требуется решить систему нелинейных алгебраических уравнений, для конфигурации из двух ВР – систему интегральных уравнений, для конфигурации из УВ и ВР смешанную систему
уравнений. Решение каждой из систем (2-4) наглядно представляется в плоскости состояний сред и находится
в точке пересечения ветвей u − p -диаграмм. Вычитая второе уравнение из первого в (2), получим уравнение
для давления
F ( p ) ≡ f1 ( p ) + f 2 ( p ) = u1 − u2 .
(5)
⎧ P − pi
P − pi
, ai = ρi ρ*i
,
⎪
ρ*i − ρi
⎪ ai
Здесь fi ( p ) = ⎨ ρi
⎪ c d ρ,
⎪∫ρ
⎩ ρ*i
P ≥ pi
.
P < pi
Решив уравнение (5), найдем давление на контактном разрыве (КР), а затем определим остальные величины.
3. Решение задачи в средах с двучленными уравнениями состояния
Наибольшие трудности в решении уравнения (5) возникают в конфигурациях с ВР: необходимо решать интегральные или дифференциальные уравнения. Для простых УРС решения можно получить через элементарные функции. Так, для двучленного УРС
(6)
p = ( γ − 1)ρE + c02 (ρ − ρ0 ) ,
где γ – это показатель адиабаты, ρ0 , c0 - это параметры вещества, в [2,3] проведено полное исследование решения систем и выписаны необходимые формулы для получения решения. Функция F ( p) в этом случае является монотонной, обращена выпуклостью вверх и функции fi ( p ) выписываются в явном виде.
УРС общего вида аппроксимируем двучленным УРС (6) с эффективными локальными параметрами γ , ρ0 , c0
и для этого УРС решаем задачу о распаде разрыва. Параметры γ , c0 , p0 определяются из соотношений
γ = 1+
1 ∂p
,
ρ ∂E
c02 =
∂p E ∂p
−
,
∂ρ ρ ∂E
3
ρ0 c02 = ρ
∂p
− p,
∂ρ
p0 =
ρ0 c02
.
γ
(7)
Такая аппроксимация в случаях близких состояний оказывается удовлетворительной. В случаях сильных
перепадов величин – приближенное решение может существенно отличаться от истинного решения.
4. Метод Ньютона для решения задачи о распаде разрыва в средах с простыми уравнениями состояния
Пусть среды подчиняются УРС общего вида p = p (ρ, E ). Предположим, что для этих УРС можно выписать
в аналитической форме уравнения адиабат Гюгонио и Пуассона. Такие УРС в дальнейшем будем называть
простыми. Тогда единый алгоритм решения систем уравнений из (2) можно представить следующим образом.
Проводим линеаризацию (7) исходных УРС и решаем задачу о распаде разрыва для аппроксимирующих двучленных УРС по алгоритму из [2,3]. В результате решения получим давление P , скорость U на КР, плотности
ρ1* , ρ*2 и удельные внутренние энергии E1* , E2* в средах слева и справа от КР. Далее, по найденным плотностям
ρ1* , ρ*2 вычисляем давления p1* , p2* из исходных уравнений адиабат Гюгонио или Пуассона и скорости u1* , u2* из
уравнений (2). Найденные величины (ρ1* , p1* , u1* ), (u2* , p2* , ρ*2 ) определяют новые состояния сред в точках, которые лежат на соответствующих ветвях (u , p ) -диаграмм. Проверяем совпадение точек путем сравнения давле-
ний и скоростей в средах и на КР
p1* − P < ε,
p2* − P < ε ,
u1* − U < ε,
u2* − U < ε.
Если все равенства выполняются одновременно, то считаем, что точки находятся в окрестности точки пересечения ветвей (u , p ) -диаграмм, решение найдено и заканчиваем процесс поиска. Если хотя бы одно из неравенств не выполнено, то по найденным состояниям (ρ1* , u1* , p1* ) , (ρ*2 , u2* , p2* ) снова локально аппроксимируем ис-
ходные УРС новыми двучленными УРС и повторяем процесс перехода от этих состояний к следующим новым
состояниям. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут выполнены выписанные выше неравенства. Геометрическая интерпретация описанного итерационного процесса в конфигурациях из двух ВР и двух УВ показана на рис. 1 и 2 соответственно.
1
P
P1
3
P
1
2
1
2
2
3
P1
(a)
3
(b)
P2
P2
ρ1
ρ
ρ2
U1
U2
U
b
a
Рис. 1. Геометрическая интерпретация решения задачи о распаде разрыва
в конфигурации из двух ВР в плоскостях:
а – (p, ρ); b – (u, p)
P
A
Z1
S1
P*
S2
Z0
1
2
U
Рис. 2. Геометрическая интерпретация решения задачи о распаде разрыва
в конфигурации из двух УВ в плоскости: (u, p).
Из представленного алгоритма нахождения решения следует, что итерационный процесс сходится к решению
и соответствует методу Ньютона.
4
5. Численный метод вычисления интегралов
В конфигурациях с одной или двумя ВР для получения решения необходимо вычислять интегралы вида:
F (ρ) ≡
ρ1
c
∫ ρd ρ
ρ1*
на отрезке ⎡⎣ρ1* , ρ1 ⎤⎦ . В общем случае, значение интеграла находят каким-либо численным мето-
дом: методом трапеций, прямоугольников, Симпсона, либо аппроксимируют подынтегральную функцию другой функцией, от которой можно взять интеграл в явном виде. Здесь рассмотрен второй подход, а именно, аппроксимируем исходную изэтропу кубической параболой вида
b0 ρ3 + b1ρ2 + b2ρ + b3 = p ,
(8)
которая совпадает с изэнтропой на концах интервала вместе со своими первыми производными. Коэффициенты
кубической параболы находятся из решения системы уравнений и имеют достаточно простой вид:
b0 =
b1 =
1
(ρ2 − ρ1 )
2
2
(ρ2 − ρ1 )
2
⎛ p2 − p1 c12 + c22 ⎞
⎜⎝ ρ − ρ − 2 ⎠⎟ ,
2
1
⎡
⎛ c12 + c22 p2 − p1
−
⎢ρ1 c22 + ρ2 c12 + 3 (ρ2 + ρ1 ) ⎜
ρ2 − ρ1
⎝ 3
⎣
b2 = c12 − 3b0 ρ12 − 2b1ρ1 ,
⎞⎤
⎟⎠ ⎥ ,
⎦
b3 = p1 − b0 ρ13 − b1ρ12 − b2 ρ1
Подставив под знаком интеграла выражение c ≈ 3b0 ρ2 + 2b1ρ + b2 скорости звука, найденное из уравнения
кубической параболы (8), придем к вычислению интеграла
ρ1
∫
ρ1*
3b0ρ2 + 2b1ρ + b2
ρ
dρ ,
который точно выражается через элементарные функции [8, 9]. Такой подход к вычислению интеграла оказался
удачным, поскольку позволяет вычислять интеграл без потери точности с более крупным шагом интегрирования, что делает его по сравнению с методами трапеций, прямоугольников и методом Симпсона существеннее
экономичнее.
7. Метод обратной параболической интерполяции для нахождения корня алгебраических
и трансцендентных уравнений
Из представленного алгоритма решения задачи о распаде разрыва в средах с УРС общего вида следует, что
важной составной частью является решение задачи для двучленных УРС. Поэтому рассмотрим вопрос повышения эффективности решения в этом случае уравнения (5) для давления. Поскольку функция F ( P) удовлетворяет условиям: (∂F / ∂p ) > 0, (∂ 2 F / ∂p 2 ) < 0 [2,3], то для решения уравнения можно применить метод обратной
параболической интерполяции [5,6], который заключается в следующем. Пусть на интервале [ a, b] задана
непрерывная дифференцируемая функция f ( x ) , которая на этом интервале имеет изолированный корень и на
концах интервала принимает значения разных знаков. Тогда можно построить итерационный процесс нахождения корня, как предела сходящейся последовательности корней парабол вида:
x = Ay 2 + By + C .
Очевидно, что x (0) = C есть корень параболы, который принимается за приближенное значение корня функции f ( x ) и вычисляется из уравнения
⎤
yi ⎡ xk − xi
− yk F ' ( yi ) ⎥ .
⎢ yk
yk − yi ⎣ yk − yi
⎦
Здесь xi , xk – это левый и правый концы интервала, в котором ищется корень и на концах которого функция
xk +1 = xi +
принимает значения разных знаков, yk , yi значения функции в точках xk , xi соответственно,
x ' = F ' ( y ) = 1/ f ' ( x) . Метод имеет кубическую скорость сходимости, экономичен и надежен. Для эффективного решения уравнения мы вначале находим интервал, на котором функция F ( P) принимает значения разных
знаков, и затем переходим к поиску корня методом обратной интерполяции.
f ( x)
5
7. Определение конфигурации распада разрыва
Для определения конфигурации, которая возникает в результате распада разрыва, проводим анализ поведения функции F ( P ) [2]. Если:
1. u1 − u2 > U 2 = F ( p2 ) , то P > p2 > p1 и реализуется конфигурация из двух УВ,
2. U1 = F ( p1 ) < u1 − u2 < U 2 ,то p1 < P < p2 и реализуется конфигурация из УВ и ВР,
3. U 0 = F ( p0 ) < u1 − u2 < U1 , то P < p1 < p2 и реализуется конфигурация из двух ВР.
4. u1 − u2 < U 0 , то реализуется область вакуума со значениями ρ = 0, c = 0 .
8. Методы решения задачи на границах области
8.1. Граничное условие: «жесткая» стенка
Пусть в пространстве справа от плоскости x = 0 находится среда в состоянии - ρ2 , u2 , p2 и подчиняется
уравнению состояния P = P (ρ, E ) . На левой границе полупространства в плоскости x = 0 задано условие не
протекания вещества U = 0 . Требуется определить состояние среды для времени t > 0 . Решение задачи сводится к решению задачи о распаде разрыва, в котором состояние среды слева от плоскости x = 0 соответствует состоянию среды справа, но с противоположным знаком у скорости. Ввиду симметрии условий относительно
«жесткой» стенки уравнение для вычисления давления упрощается. Если поток набегает на стенку, то уравнение становится квадратным относительно P :
P − p2
= −u2
γ −1
⎡ γ +1
⎤
( P + p0 ) +
( p2 + p0 ) ⎥
ρ2 ⎢
2
⎣ 2
⎦
и в качестве давления следует взять наибольший корень [2]. Если поток направлен от стенки, то возникают две
ВР и давление может быть вычислено из уравнения
2γ
⎛ γ − 1 u2 ⎞ y −1
− p0 .
P = ( p + p0 ) ⎜1 −
2 c ⎟⎠
⎝
2
Далее решение ищется по описанному выше методу.
8.2. Граничное условие: - «поршень» с приложенным давлением
Пусть в пространстве справа от плоскости x = 0. находится среда в состоянии - ρ2 , u2 , p2 и подчиняются
УРС P = P (ρ, E ) общего вида. На левой границе задано постоянное давление p = P* . Требуется определить
состояние среды для времени t > 0 .
Пусть P* > p2 . Тогда внутрь области распространяется УВ. Находим плотность ρ* из уравнения адиабаты
Гюгонио для двучленного УРС и скорость на КР
U = u2 +
P* − p2
,
a2
γ −1
⎡ γ +1 *
⎤
a2 = ρ 2 ⎢
( P + p0 ) +
( p2 + p0 ) ⎥ .
2
2
⎣
⎦
Затем находим давление из уравнения адиабаты для исходного УРС. Скорость U * вычисляем из второго
уравнения в (2). Проверяем выполнение неравенства: U − U * < ε . Если неравенство выполняется, то процесс
поиска заканчивается. Если неравенство не выполняется, то заменяем предыдущее состояние новым и повторяем поиск.
Пусть P* < p2 . Тогда внутрь области распространяется ВР. Решение для двучленного уравнения состояния:
γ −1 ⎤
⎡
2 ⎢ ⎛ P* + p0 ⎞ 2 γ ⎥
U = u2 +
c 1−
.
γ − 1 ⎢ ⎜⎝ p2 + p0 ⎟⎠ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
Находим плотность ρ* из уравнения адиабаты Пуассона для двучленного УРС и давление из уравнения
адиабаты Пуассона для исходного УРС. Скорость U * вычисляем из уравнения:
U*
= u2 +
ρ2
ρ*2
6
c
∫ ρd ρ
и проверяем выполнение неравенства: U − U * < ε . Если неравенство выполняется, то процесс поиска заканчивается. Если неравенство не выполняется, то заменяем предыдущее состояние новым и повторяем поиск.
9. Метод Ньютона для решения задачи о распаде разрыва в средах со сложными уравнениями состояния
Рассмотрим адаптацию описанного алгоритма к решению задачи о распаде разрыва в средах, подчиняющихся сложным УРС, для которых нельзя выписать адиабаты Гюгонио или Пуассона в явном виде, но которые
можно аппроксимировать двучленными УРС. В случае конфигураций с УВ после решения задачи для двучленных УРС, давление будет находиться из решения системы двух уравнений
⎧
1⎛ 1 1 ⎞
⎪ Ei* − Ei − ⎜ − * ⎟ ( pi + P* ) = 0,
2 ⎝ ρi ρi ⎠
⎨
⎪ P* = P ρ* , E * .
( i i)
⎩
В случае конфигураций с ВР после решения задачи для двучленных УРС, давление и скорость звука вычисляем из исходного УРС. Затем находим параметры кубической параболы (8), которая проходит через точки
(ρi , pi ) и (ρ*i , p* ) в плоскости переменных (ρ, p ) . Предполагаем, что эта построенная парабола аппроксимирует
изэнтропу в окрестности точки (ρi , pi ) . Взяв значение плотности из этой окрестности, продолжим решение
задачи о распаде разрыва согласно описанному выше алгоритму. Естественно, что в этом случае решение будет
приближенным, и его точность будет зависеть от размеров окрестности, в которой выбирается плотность.
10. Уравнение состояния Ми-Грюнайзена
Возможности описанного подхода к решению задачи о распаде разрыва в средах с УРС общего вида рассмотрим на примере сред, подчиняющихся УРС в форме Ми-Грюнайзена:
p = ( γ − 1)ρE +
ρk ck2 ⎧
⎫
γ−μ
(1 − δμ )⎬ ,
⎨( γ − 1)(δ − 1) +
μ −1 ⎩
μ
⎭
(9)
где δ = ρ / ρk , γ, μ - это параметры уравнения состояния, ρk , ck - это параметры вещества. Выразив Е из (9) через плотность и давление и подставив это выражение вместо Е в уравнение (3), получим уравнение адиабаты
Гюгонио в виде:
ρk ck2 ⎧
⎫
1
γ−μ
(1 − δμ )⎬ + (γ − 1)ρEi + (γ − 1) (δi − 1) pi
⎨( γ − 1)(δ − 1) +
2
μ −1 ⎩
μ
ρ
⎭
, δi = .
P=
1
ρi
1 − ( γ − 1) (δi − 1)
2
Подставив в уравнение изэнтропы (4) вместо E это выражение для Е, получим следующее дифференциальное уравнение:
ρ c2
dp
v
pk = k k .
= − γp − γpk + ( γ − μ ) pk vkμ v − μ ,
(10)
dv
μ
Проинтегрировав уравнение (10) методом вариации произвольной постоянной и выбрав эту постоянную
согласованную с двучленным уравнением состояния, получим уравнение изэнтропы в аналитическом виде:
p=
1
1
σ( S )ργ − pk (1 + δ γ − δμ ) = σ( S )ργ − pk − pk (δ γ − δμ ) .
γ
γ
(11)
Скорость звука вдоль изэнтропы будет вычисляться по формуле:
c = σ( S )ρ γ −1 −
pk
( γδγ −1 − μδμ−1 )
ρk
= γ
p + pk
p δμ
+ (μ − γ ) k .
ρ
ρ
(12)
Функцию, зависящую от энтропии, будем вычислять по формуле:
σ( S ) = γ
p ( δ γ − δμ )
p + pk
+γ k
ργ
ργ
.
Полученные точные уравнения изэнтропы и энтропийной функции для УРС Ми-Грюнайзена позволяют существенно упростить решение задачи о распаде разрыва для сред с такими УРС. Если γ = μ , то формулы переходят в формулы для двучленного УРС (6).
7
11. Точные решения
Рассмотрим случаи точного вычисления интегралов I (ρ) =
ρ1
c
∫ ρ dρ
для уравнения Ми-Грюнайзена через
ρ1*
элементарные функции на основе явного уравнения (11) адиабаты Пуассона. Подставив под знаком интеграла
выражение для скорости звука из (12), получим:
ρ1
δ1
ρ1
δ1*
c
∫ ρdρ =
*
Здесь a = σ( S )ρkγ −1 −
∫δ
γ −3
2
1
(a + bδμ− γ ) 2 dδ .
γ 2
p
ρ
c , b = k μ = ck2 , δ1 = 1 . Согласно теореме Чебышева, интеграл
μ k
ρk
ρk
может быть выражен через элементарные функции, если одно из чисел
∫ x m (a + bx n )
p
dx
m +1 m +1
+ p , p целое. В нашем
,
n
n
γ−3
1
, n = μ − γ, p = . Если параметры γ, μ связаны соотношением μ = γ + 0.5 ( γ − 1) , μ − γ = n ,
2
2
то скорости u1* , u2* можно вычислять из следующих точных уравнений:
случае m =
⎧ *
2 ⎡
*n 3/ 2 ⎤
n 3/ 2
⎨ui = ui +
⎢( ai + bi δi ) − ( ai + bi δi ) ⎦⎥ , i = 1, 2. .
⎣
3
nb
⎩
i
Другие решения, в случае необходимости, можно выписать аналогичным образом. Решения задачи о распаде разрыва с такими параметрами γ, μ будем называть точными и с этими решениями будем сравнивать решения, которые найдем с помощью численного вычисления интегралов.
12. Результаты расчетов тестовых задач
Точность решений задачи о распаде произвольного разрыва в средах с УРС Ми-Грюнайзена и правильность
работы программы проверялась на решениях модельных задач путем сравнения с известными точными решениями и решениями, полученными по другим программам. Анализ результатов сравнения показывает, что численные решения совпадают с точными решениями и решениями, полученными по методу [7], до 8–10 знаков
(на второй, третьей итерациях до четырех знаков). Проведены исследования точности получаемых решений
в зависимости от точности вычисления интегралов в инвариантах Римана методами Симпсона и кубической
интерполяции изэнтропы. Исследования проводились по результатам расчетов задачи, в которой реализовывалась конфигурация с двумя ВР. Рассчитывалась следующая задача. Заданы состояния сред: слева от разрыва:
ρ1 = 4., u1 = 0, p1 = 46, E1 = 3.83(3) , и справа: ρ2 = 6, u2 = 6, p2 = 221.25, E2 = 14.125 . Среды подчиняются УРС
Ми-Грюнайзена с параметрами: ρ0 = 2, c0 = 2, γ = 3, μ = 4 и ρ0 = 3, c0 = 3, γ = 3, μ = 4 слева и справа от разрыва
соответственно. Требуется определить состояния сред в результате распада разрыва. Задача имеет точное решение, с которым сравнивалось решение, найденное по описанному алгоритму. Точность численного решения
зависит от точности вычисления интегралов, которая зависит разбиения отрезка интегрирования. Число, на которое разбивался отрезок, находилось по формуле N = ρi 2 − ρi1 / h + 1, i = 1, 2 . Здесь h – шаг интегрирования,
ρi 2 , ρi1 –- это плотности в средах до и после решения задачи о распаде разрыва с двучленными УРС. В таблицах 1,2 приводятся результаты расчетов давлений, скоростей на КР и число обращений к УРС в зависимости от
шагов интегрирования методами Симпсона (таблица 1) и кубической интерполяции изэнтропы (таблица 2).
В столбцах 2, 3 таблиц 1, 2 приведено число обращений к УРС. В первых строках таблиц приведены точные
решения.
Таблица 1.
Вычисление интегралов методом Симпсона
h шаг интегр.
0,1
0,05
0,01
0,005
0,001
Число
обращений
к УРС 1
5
38
60
230
440
2134
Число обращений
к УРС2
5
85
153
685
1353
6687
8
P
Давление на КР
U
Скорость на КР
22.100332436991
22.11
22.103
22.1004
22.10036
22.100333
1.10581609692354
1.1054
1.1057
1.105812
1.105815
1.10581606
Таблица 2.
Вычисление интегралов методом кубической интерполяции
h шаг интегр.
0.2
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
Число обращений к УРС 1
5
24
28
40
125
230
1077
Число обращений
к УРС 2
5
34
46
88
354
687
3355
P
Давление на КР
22.100332436991
22.10032
22.100330
22.100332432
22.10033243698
22.100332436993
22.10033243697
U
Скорость на КР
1.10581609692354
1.1058162
1.1058162
1.10581609695
1.1058160969232
1.10581609692329
1.10581609692357
Из анализа результатов следует, что точность вычисления интегралов при кубической интерполяции изэнтропы выше, чем точность при вычислении интегралов методом Симпсона, скорость сходимости к точному
решению существенно выше и число обращений к УРС меньше.
Для проверки работоспособности алгоритма, описанного для решения задачи о распаде разрыва в средах
со сложными УРС, эта же задача решалась без учета аналитического уравнения изэнтропы для УРС МиГрюнайзена. Результаты решения с учетом и без учета этого уравнения согласуются между собой и совпали до
двух знаков после запятой. Поэтому можно предположить, что такой подход к решению задачи о распаде разрыва в средах со сложными УРС позволит получать приближенные решения с удовлетворительной точностью.
13. Заключение
Представлен подход к решению задачи о распаде произвольного разрыва в средах с УРС общего вида методом Ньютона на основе решений простейших задач с двучленными уравнениями состояния, которые локально
аппроксимируют уравнения общего вида. Возможности метода демонстрируются на примере решения задачи в
средах с уравнением состояния Ми-Грюнайзена. Для сред, подчиняющихся уравнению состояния МиГрюнайзена, получены в явном виде алгебраическое уравнение изэнтропы и некоторые точные решения для
конфигураций с волнами разрежения. Предложен алгоритм приближенного вычисления интегралов в инвариантах Римана, обладающий более высокой точностью и сходимостью, чем алгоритм в методе Симпсона. Создана программа на персональном компьютере (ПК) в среде WINDOWS. Программа может быть полезной для научных сотрудников, инженеров и студентов.
Ссылки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. Кн. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. Изд. М., «ФИЗМАТЛИТ», 2001 г.
Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Кн. Численное решение многомерных задач газовой динамики, М., «НАУКА», 1976, с.105-274.
Г.П. Прокопов. Расчет распада разрыва для пористых сред и сплошных сред с двучленными уравнениями
состояния. ВАНТ, сер. Методики и программы численного решения задач математической физики,
вып.2(10),1982 г. с.32-40.
Овсянников Л.В. Кн. Лекции по основам газовой динамики, М., «НАУКА», 1981 г.
Кобзева Т.А., Н.Я. Моисеев. Метод неопределенных коэффициентов для решения задачи о распаде произвольного разрыва. ВАНТ, №1, сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, 2003 г.
Л. Коллац. Кн. Функциональный анализ и вычислительная математика, М., «МИР», 1969, с.297.
Куропатенко В.Ф., Коваленко Г.В., Кузнецов В.И. и др. Комплекс программ «ВОЛНА» и неоднородный
разностный метод для расчета неустановившихся движений сжимаемых сплошных сред. ВАНТ, сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, вып.2,1989г.с.19-25.
Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М., Наука, Главная редакция физикоматематической литературы 1978 г.
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М., Наука, Главная редакция физико-математической литературы 1986 г.
9