А.Г.Муравьев МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОХЛАЖДЕНИЯ КАПЛИ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ ПОТОКОМ ГАЗА

1999
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№13
УДК 536.248.2
А.Г.Муравьев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОХЛАЖДЕНИЯ КАПЛИ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ
ЖИДКОСТИ ПОТОКОМ ГАЗА
There is considered a mathematic model of cooling the liquid drop by gaz flow under the constant
temperature values and partical pressure of steam in the depth of gaz phase. In addition to it includes all
particular cases of relations between humidity and the surrounding gaz temperature, it also permits to use
different models of heat transfer inside the drop. The model suggested can be used to estimate heat exchange
in contact heat exchangers with the polydisperse distribution of liquid in the gaz layer.
При расчете контактных теплообменных аппаратов, в которых однокомпонентная
жидкость охлаждается потоком газа, используются усредненные по поверхности теплообмена коэффициенты теплоотдачи или связанные с ними коэффициенты охлаждения [1]. Это
может быть оправдано для расчета теплообмена в насадочном слое, где процесс близок к
стационарному. Однако при расчете тепломассообмена в зоне диспергированной жидкости,
особенно если она полидисперсна, данный подход к описанию процесса представляется
малоэффективным. Более строгим является расчет процесса охлаждения единичной капли в
потоке газа с последующим усреднением температуры жидкой фазы с помощью функции
распределения диспергированных частиц жидкости по размерам.
Для того, чтобы рассчитать процесс тепломассопереноса при охлаждении капли потоком газа с учетом испарения жидкости, необходимо решить систему дифференциальных
уравнений теплопереноса внутри капли и тепломассопереноса вне капли с учетом соответствующих начальных и граничных условий. Однако аналитическое решение указанной системы дифференциальных уравнений до сих пор не получено.
В настоящей статье на основе ранее разработанного нами метода [2,3] по известному
решению внутренней задачи, когда температура на поверхности капли считается постоянной, находится решение сопряженной задачи тепломассообмена в обеих фазах. Такой подход обусловлен тем, что процессы переноса тепла и массы внутри единичных капель изучены достаточно хорошо. Если пренебречь движением внутренней фазы, то можно использовать решение задачи теплопроводности внутри шара [4]. Если внутри капли возникает циркуляционное движение, имеющее вид вихря Хилла, распределение скоростей в котором
получено Дж.Адамаром [5] и В.Рыбчинским [6], то перенос тепла в дисперсной фазе можно
описать при помощи модели Кринига — Бринк [7]. Если при движении капля начинает осциллировать, то можно воспользоваться моделью Хандлоса — Барона [8]. Предлагаемый
нами метод позволяет решить поставленную задачу, когда теплоперенос внутри капли описывается любой из представленных моделей.
Пусть в начальный момент времени капля имеет одинаковую по всему объему температуру T0 . Вдали от капли газ имеет постоянные значения температуры T0 и парциального давления пара P0 . Температура не претерпевает разрыва при переходе через поверхность капли, а пар вблизи межфазной границы находится в состоянии насыщения. Тепло- и
массоперенос в сплошной фазе описываются с помощью усредненных по поверхности капли коэффициентов тепло- и массоотдачи.
Рассмотрим баланс тепла на границе раздела фаз:
q L = q v + Mr ,
(1)
где q L , q v — плотности теплового потока соответственно в жидкой и газовой фазах; r —
удельная массовая теплота парообразования; M — плотность массового потока пара на
поверхности капли.
Запишем выражения для тепловых и массовых потоков в газовой фазе через коэффициенты тепло- и массоотдачи:
q v = α v ⋅ (T f − Tc ) , M = β v ⋅ (P f − Pc ) ,
где α v — коэффициент теплоотдачи в газовой фазе; β v — коэффициент массоотдачи в
газовой фазе; T f , P f — соответственно температура и парциальное давление пара на межфазной поверхности.
Проинтегрируем выражение (1) по поверхности капли, предполагая, что температура
и парциальное давление пара на границе раздела фаз зависят только от времени:
∫∫ q
L dS
= α v (T f − Tc )S + β v (P f − Pc ) r ,
(2)
S
где S — площадь поверхности капли; здесь и далее черта над коэффициентами тепло- и
массоотдачи означает усреднение по поверхности капли.
Левая часть соотношения (2) представляет собой тепловой поток, покидающий каплю, который определяет скорость ее остывания:
dT L
d T L dτ
⋅ ,
q L dS = −
C L dV = −C LV ⋅
(3)
dt
dτ dt
∫∫
S
∫∫∫
V
где V — объем капли; t — время; τ — безразмерное время, характерное для внутренней
модели тепломассопереноса; C L — удельная объемная теплоемкость жидкой фазы; T L —
температура жидкой фазы; здесь и далее черта над значением температуры означает усреднение по объему капли.
Предположим, что равновесную зависимость парциального давления пара от температуры в рассматриваемом интервале температур можно описать линейной зависимостью с
коэффициентом пропорциональности η , тогда
(4)
P f − Pc = η ⋅ (T f − Tc ) + ( Pcs − Pc ),
где Pcs — давление насыщенного пара при температуре Tc .
Введем безразмерные температуры
Ф = ( Т 0 − Т L ) / (T0 − Tc ) и Ф f = (T0 − T f ) / (T0 − Tc ) .
(5)
Решение поставленной задачи будем искать в виде зависимости безразмерной температуры Ф внутри капли от времени.
В начальный момент Ф = 0. Предположим, что Ф конечна в любой точке внутри капли, а граничное условие на поверхности раздела фаз (2) с учетом выражений (3)-(5) можно
представить следующим образом:
Ф f = 1 − γ ( dФ / dτ ) + θ,
(6)
dτ
/ (S ⋅ (α v + r β v η)) ; θ = β v r ⋅ ( Pcs − Pc ) / ((T0 − Tc ) ⋅ (α v + r β v η)) .
dl
Нам известно решение задачи теплопереноса внутри капли при постоянном значении
температуры на поверхности во всех указанных выше моделях [4,7,8]:
Ф R = (T0 − T LR ) / (T0 − Tc ) ,
где γ = С LV
где T LR — температура жидкой фазы при постоянном значении температуры на поверхности.
Это решение можно представить в виде
∞
ФR = 1 −
∑Ae
i
− µi τ
,
(7)
i =1
где Ai , µ i — константы.
Воспользовавшись формулой Дюамеля [9], получим связь между решением задачи
во внутренней фазе Ф R , безразмерной температурой на поверхности Ф f и решением
задачи при учете сопротивления теплопереносу в обеих фазах Ф :
τ
∫
Ф( τ) = Ф f (λ )[d (Ф R ( τ − λ )) / dτ] dλ .
(8)
0
Подставим в выражение (8) соотношения (6) и (7). Полученное интегро-дифференциальное уравнение решаем с помощью преобразования Лапласа
∞
∑Aµ
F (σ ) = [(1 + θ) / σ − γσF (σ )]
i
i
/ (σ + µ i ),
(9)
i =1
где F (σ ) — изображение функции Ф(τ ) , σ — комплексная переменная.
Из уравнения (9) выразим в явном виде F (σ ) :
∞
∞
  

F (σ ) = (1 + θ) 
Ai µ i / (σ + µ i ) /  σ 1 + γσ
Ai µ i / (σ + µ i ) 
 i =1
  

i =1
Для определения Ф(τ ) требуется выполнить обратное преобразование Лапласа.
Можно показать, что эта функция имеет вид
∞


(10)
Ф( τ) = (1 + θ)1 −
B k c − τS k  ;
 k =1

в случае, когда можно ограничиться n членами ряда (10), S k находится из алгебраического уравнения
∑
∑
∑
n
n
n
∏ (µ j − S k ) − γS k ∑∏ Ai µ i (µ j − S k ) = 0,
i =1 j =1
j ≠i
j =1
а для определения коэффициентов B k нужно воспользоваться формулой


n
n
n

 

(µ j − S k ) 1 − (1 + γS k ) Ai µ i / (µ i − S k ) / 1 + γ Ai µ i  S k (S j − S k ) .
 
 

i =1
i =1
j =1
j =1

j≠k


В качестве примера рассмотренного расчета возьмем охлаждение капли воды диаметром 1 мм, имеющей начальную температуру 25°С, свободно падающей в воздухе с температурой 18°С и влажностью 80%. Экспериментальные исследования [10] показывают, что
каплю данного размера можно считать сферической и при расчете теплопереноса не учитывать внутреннее движение жидкости. Тогда в качестве известного решения задачи с постоянной температурой на поверхности берется решение, полученное в рамках модели, учитывающей только теплопроводность [4]. В этом случае в формуле (7) µ i = π 2 i 2 ; Ai = 6 / µ i .
Для определения коэффициентов тепло- и массоотдачи в газовой фазе можно воспользоваться формулами, приведенными в [10]. Результаты расчета представлены на рисунке. По оси абсцисс отложено безразмерное время τ = 4a L t / d 2 , где a L — коэффициент
температуры теплопроводности внутри капли; d — диаметр капли. По оси ординат — величина Ф x = 1 − Ф , которая в начальный момент равна 1, а затем уменьшается при остывании капли. Когда температура капли становится равной температуре окружающего воздуха,

Bk = 

n
∏
∑
∑
∏
величина Ф x становится равной нулю.
В общем случае, представленном линией 1, величина Ф x с течением времени становится отрицательной и стремится к постоянному
значению. Это значение соответствует температуре мокрого термометра и показывает, на сколько капля может охладится по отношению к
окружающему воздуху. Если рассмотреть случай остывания капли
при влажности окружающего воздуха 100%, то безразмерная темпераЗависимость безразмерной температуры внутри капли Фx от
тура капли будет изменяться со врепараметра τ. 1 — влажность в глубине газовой фазы 80%; 2
менем
в соответствии с линией 2.
— влажность 100%; 3 — отсутствие испарения; 4 — постоянная температура на поверхности
Линия 3 показывает, как остывает
капля, если испарение с ее поверхности отсутствует, т.е. при отсутствии массопереноса. Линия 4 соответствует решению задачи остывания капли при постоянной температуре на поверхности [4].
Полученная модель охлаждения газом единичной капли жидкости не только включает в себя все частные случаи соотношений между влажностью и температурой окружающего газа, но и позволяет воспользоваться различными моделями теплопереноса внутри капли. Это важно при расчете теплообмена в полидисперсном слое жидкости, когда капли различных размеров отличаются друг от друга механизмами теплопереноса во внутренней фазе.
Данная модель может быть использована при разработке методов расчета градирен
без насадок или полых скрубберов, а также для расчета отдельных узлов технологических
аппаратов, в которых капли жидкости контактируют с охлаждающим газом.
1.
Контактные теплообменники / Е.И.Таубман, В.А.Горнев, В.Л.Мельцер и др. М.:
Химия, 1987. 256 с.
2. Муравьев А.Г. Дис. ... канд. техн. наук. Л.,1985. 131 с.
3. Муравьев А. Г. / Деп. в ВИНИТИ от 07.05.90. №2409-В90. 14 с.
4. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 599 с.
5. Hadamard J. S. // Compt. rend. 1911. V.152. P.1735-1738.
6. Rybczynski W. // Bull. Acad. Sci. Cracovie Ser. A. 1911. V.40. P.40-46.
7. Kronig R., Brink J.C. // Res. 1950. V.A2. N 2. P.142-148.
8. Handlos A., Baron T. // A. I. Ch. E. Journ. 1957. V.3. N 1. P.127.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. 832 с.
10. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. Bubbles, Drops and Particles. N. Y.: Academic Press,
1978. P.380.