Костоусов A.B. Некоторые аспекты теоретического

Информатика и вычислительная техника
1
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
МОДЕЛИ „ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ“
Костоусов A.B.1
В данной работе проводится сравнение двух различных методов задания
модели „лесных пожаров“- при помощи параметра плотности высадки леса и
при помощи вероятности возгорания. На основе теоретических выкладок и
компьютерного моделирование делается вывод о предпочтительности использования второго метода.
Опишем модель „лесных пожаров“. Будем представлять ее себе в виде
прямоугольного клетчатого поля, каждая клетка которого может быть занята деревом или свободна . В пустых клетках поля могут вырастать деревья.
Деревья же могут загораться, в этом случае возникает пожар, и вместе с
первым загоревшимся деревом сгорают его соседи-деревья и соседи его соседей, а также соседи этих соседей, и т.д. Деревья считаются соседними, если
и только если занимаемые ими клетки имеют общую сторону. Связные в описанном смысле куски леса мы будем называть кластерами. Чтобы исключить
влияние пограничных эффектов, будем считать поле склеенным следующим
образом: верхний край - с нижним, а правый - с левым.
Чтобы задать модель полностью остается указать правила, по которым
происходит появление на поле деревьев и пожаров. Приведем два различных
способа задания этих правил. Первый из них подразумевает введение параметра плотности посадки ∆p, задающего количество попыток посадки деревьев между двумя попытками поджога [1]. В этом случае моделирование происходит следующим образом: мы пытаемся посадить дерево ∆p×размер_поля
раз (попытка заключается в случайном выборе клетки поля и помещения туда дерева; если выбранная клетка уже занята, то ничего не происходит);
после этого мы бросаем на поле спичку (в случайно выбранную клетку),
при этом, если клетка пуста, то ничего не происходит, в противном случае
возникает пожар; далее процесс повторяется. Второй способ, принятый в [2],
предполагает введение двух параметров: вероятности вырастания дерева p
и вероятности возгорания f . В этом случае моделирование заключается в
выполнении Монте-Карло шагов (на каждом шаге мы случайным образом
выбираем клетку поля, и если она оказывается пустой, то с вероятностью p
мы помещаем в нее дерево; если в выбранной клетке оказывается дерево, то
с вероятностью f возникает пожар с очагом в этой клетке). Ясно, что в последнем случае определяющим поведение системы является не абсолютные
значения f и p, а их отношение. Поэтому, без ограничения общности можно
брать p = 1.
В процессе моделирования мы будем измерять плотность леса и распределение кластеров по занимаемой ими площади, поскольку в этом распределении содержится полная информация о текущем состоянии модели.
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты №00–01–00346, №01–07–90210.
2
Труды XXXIII Молодежной школы-конференции
Несмотря на кажущуюся эквивалентность описанных способов задания
модели, не исключено, что они порождают совершенно разные по характеру
поведения системы. Чтобы судить об эквивалентности или неэквивалентности описанных двух систем правил, необходимо установить соответствие
между параметрами, отвечающими одним и тем же состояниям системы. Грубо это можно сделать следующим образом: согласно первому способу число
деревьев, вырастающих в системе между двумя последовательными пожарами, примерно равно ∆p×размер_поля, согласно второму способу это число
равно f1 (здесь и далее, говоря о моделировании вторым способом, мы подразумеваем, что p = 1). Неточность этого равенства состоит в том, что при
моделировании первым способом, во-первых, не каждая попытка посадки
завершается появлением нового дерева в системе, а, во-вторых, не каждая
попытка поджога завершается пожаром. Тем не менее, это соотношение отражает очевидную связь f и p - они обратно пропорциональны.
Чтобы уточнить это соответствие обратимся к теория критических показателей или теории масштабирования (Scaling Theory [3]), которая имеет дело
с моделью лесных пожаров, построенной на втором из описанных способов
задания правил перехода пустых клеток в занятые и обратно (т.е. с привлечением параметров f и p). Причем в условиях, когда пожары происходят очень
редко по сравнению с посадками (отношение fp мало) и пожар проходит мгновенно (пока идет горение, на поле не появляются новые деревья). При таких
условиях в системе возникают пожары разных мощностей: от мелких, размером в несколько деревьев, до крупных, занимающих ощутимую долю поля.
И именно при этих условиях модель демонстрирует поведение типа самоорганизованной критичности, которое выражается в проявлении степенных
закономерностей между характеристиками системы (такими как максимальный размер кластера, корреляционная длина, средний радиус кластера и др.)
и отношением fp .
Рассмотрим некоторые результаты, полученные в рамках теории масштабирования [3]. Прежде всего, обозначим через ρt плотность деревьев в системе. В рамках данной теории постулируется, что система, какими бы ни
были параметры f и p, через некоторое время приходит в стабильное состояние, в том смысле, что плотность деревьев можно считать постоянной. Этот
постулат согласуется с экспериментом: флюктуации плотности со временем
затухают [2]. Из этих соображений ясно, что среднее число деревьев, вырастающих между двумя последовательными пожарами, s, равно среднему
размеру пожара или, что то же самое, среднему размеру кластера. Среднее
число деревьев, вырастающих между двумя последовательными пожарами,
связано с fp следующим образом:
s=
p(1 − ρt )
f ρt
(1)
В пределе fp → 0 s ведет себя как ( fp )−1 , поскольку плотность стремится к
некоторому постоянному значению. Обозначим через n(s) среднее количество
кластеров мощности s на единицу объема. Тогда средняя плотность деревьев
Информатика и вычислительная техника
в системе
ρt =
∞
X
3
sn(s)
s=1
Из соображения, что среднее число деревьев, вырастающих между двумя
последовательными пожарами, равно среднему размеру кластера, получаем
что
∞
X
s2 n(s)
s=
ρt
s=1
Поскольку ρt ( fp → 0) конечна, а s растет как ( fp )−1 , приведенные уравнения влекут тот факт, что n(s) убывает по крайней мере как s−2 , но не
быстрее, чем s−3 . Таким образом, мы приходим к критическому показателю,
связывающему количество кластеров данной мощности с этой мощностью:
n(s) ∼ s−τ , где 2 < τ ≤ 3. Экспериментально установлено, что для двумерных прямоугольных полей τ ≈ 2.14(3).
Используя полученное соотношение для s, мы можем установить соответствие между двумя способами задания правил перехода для модели, о
которых речь шла во втором разделе. Согласно [1], и учитывая, что при
использовании первого способа задания правил пожар реально случается с
вероятностью ρt , реальное число деревьев вырастающих между попытками
поджога выражается через ∆p следующим образом
s = (1 − (1 − ρt )e−∆p − ρt )
N2
, где N 2 - это размер поля
ρt
(2)
Приравнивая правые части (1) и (2) получаем соотношение для ∆p и отношения fp :
f
1
N2 =
(3)
p
1 − e−∆p
После того, как соответствие между параметрами моделирования разными способами установлено, для того, чтобы ответить на вопрос об эквивалентности двух способов задания модели остается сравнить результаты моделирования тем и другим способом для соответствующих параметров модели.
Для этого промоделируем поведение модели первым способом для достаточно большого количества значений параметра ∆p, а затем промоделируем
поведение модели вторым способом для того же количества параметров fp ,
вычисленных по формуле (3). Можно, например, в качестве значений ∆p
взять точки разбиения отрезка [0, 1] на равные части (мы брали 500 точек).
Чтобы для каждого значения параметра моделирования (∆p или fp ) получить значимые результаты необходим довольно длительный счет, но зато
моделирования для разных значений параметра моделирования между собой
независимы. Поэтому данную задачу легко распараллелить [5], используя
технологию процессорной фермы, когда на на разных процессорах считается
модель со своим значением параметра моделирования.
4
Труды XXXIII Молодежной школы-конференции
Анализ полученных результатов показывает, что, вообще говоря, модели, построенные по разным правилам, ведут себя по-разному, однако их
усредненные характеристики совпадают. При этом если при моделировании
первым способом мы получаем графики зависимости характеристик модели
с определенной регулярной структурой [1, 4], то при моделировании вторым способом аналогичные графики носят более случайный характер. Повидимому, такое отличие объясняется большей степенью детерминизма, заложенного в первый способ моделирования: мы все время делаем одно и то
же число попыток посадки деревьев между последовательными бросаниями
спичек.
Другое наблюдение касается влияния размеров поля на качество моделирования. А именно, при фиксированной вероятности пожара увеличение
размера поля приводит к глобально более стабильной системе. Например, это
видно из анализа графика зависимости плотности от времени [2]: плотность
после некоторого периода стабилизации начинает колебаться около среднего значения практически с постоянной амплитудой; при увеличении размера
поля эта амплитуда уменьшается и среднее значение уточняется.
Список литературы
[1]. Костоусов В.Б., Костоусов А.В., Онучин И.Г. Эффективная реализация и исследование модели Forest-Fire. //Сб. „Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений“, ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2000, вып.4. С. 173-195.
[2]. A. Honecker and I. Peschel Length scales and power laws in the twodimensional forest-fire model, Physica A, 1996.
[3]. B. Drossel and F. Schwabl Formation of space-time structure in a forest-fire
model, Physica A, 204 (1994) 212-229.
[4]. Онучин И.Г. Результаты исследования модели Forest-Fire. Тезисы докл.
молодеж. конф. №30, - Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 287-291.
[5]. Костоусов А.В. Кластерная реализация модели Forest-Fire и применение
параллельных вычислений. Тезисы докл. молодеж. конф. №30, - Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 280-284.