A t - Тульский государственный университет

Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Тульский государственный университет
Кафедра физики
Семин В.А.
Семина С.М.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическии занятиям
по дисциплине
ФИЗИКА
Механика и молекулярная физика
Тула 2011
Методические указания к практическим занятиям составлены
доц. Семиным В.А. и асс. Семиной С.М., обсуждены на заседании кафедры физики ЕНФ
протокол
от " "
2011 г.
Зав. кафедрой физики ___________ Д.М. Левин
Методические указания пересмотрены и утверждены на заседании
кафедры физики ЕН факультета
протокол № ___ от «____» ________ 200_ г.
Зав. кафедрой физики ___________ Д.М. Левин
2
1. Цели и задачи практических занятий:
а) Изучение основных физических явлений и идей, овладение фундаментальными понятиями, законами и теориями современной и классической
физики, а также методами физического исследования.
б) Формирование научного мировоззрения и современного физического
мышления.
в) Овладение приемами и методами решения конкретных задач из различных областей физики.
Объём и сроки выполнения данного вида работ соответствуют учебным планам студентов дневной формы обучения инженерных направлений.
2. План занятий.
1. Разбор вопросов студентов по домашнему заданию.
2. Решение типовых задач на доске.
3. Самостоятельное решение студентами некоторых задач на занятии и
подведение итогов.
4. Формулировка домашнего задания.
3. Темы занятий.
1. Кинематика поступательного и вращательного движения. Тангенциальное и нормальное ускорение, радиус кривизны.
2. Динамика поступательного и вращательного движения.
3. Законы сохранения импульса, момента импульса и механической энергии
4. Контрольная работа из 4 задач по темам, рассмотренным на первых
трех занятиях.
5. Механические колебания: собственные незатухающие и затухаюшие,
вынужденные.
6. Идеальный газ: уравнение состояния, работа, внутренняя энергия, теплоемкость. Первое начало термодинамики.
7. Второе начало термодинамики. КПД тепловой машины. Распределения
Максвелла и Больцмана.
8. Контрольная работа из 4 задач по темам, рассмотренным на 5-7 занятиях.
3
Занятие 1.
Кинематика поступательного и вращательного движения.
Тангенциальное и нормальное ускорение, радиус кривизны.
Положение частицы в пространстве определяется радиус-вектором
G
r ( t ) , который начинается в начале системы координат и заканчивается на
частице.
G
dr
G
(перемещение за единицу времени). Кроме
Скорость частицы v ( t ) =
dt
G
∆r
G
понятия скорости часто используют понятие средней скорости v =
.
∆t
G
dv
G
(изменение скорости за единицу времени)
Ускорение частицы a ( t ) =
dt
Для решения кинематических задач поступательного движения
удобно пользоваться декартовой системой координат, в которой любой
вектор можно разложить на три проекции вдоль осей х, y и z:
G
G
G
G
Радиус-вектор r ( t ) = i ⋅ x ( t ) + j ⋅ y ( t ) + k ⋅ z ( t ) .
(1.1,а)
G
G
G
G
Скорость частицы v ( t ) = i ⋅ vx ( t ) + j ⋅ v y ( t ) + k ⋅ vz ( t ) .
(1.1,б)
G
G
G
G
Ускорение частицы a ( t ) = i ⋅ ax ( t ) + j ⋅ a y ( t ) + k ⋅ az ( t ) . (1.1,в)
G G G
Здесь i , j , k – единичные векторы (орты), направленные по осям
x, y, z соответственно.
Прямая задача кинематики
Если известны зависимости x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , то можно определить
проекции скорости и ускорения на оси x, y, z ,:
dx
dy
dz
, v y (t ) = , v z (t ) =
(1.2,а)
dt
dt
dt
dvy
dv
dv
ax ( t ) = x , a y (t ) =
, az ( t ) = z
(1.2,б)
dt
dt
dt
Величины (модули) векторов можно найти, используя теорему Пифагора:
v x (t ) =
r = x 2 + y 2 + z 2 ; v = vx2 + v 2y + vz2 ; a = a x2 + a 2y + a z2 .
4
(1.3)
Обратная задача кинематики
Если известны зависимости a x ( t ) , a y ( t ) , az ( t ) и начальные условия x0 , y0 , z0 , v0x , v0 y , v0z , то можно определить проекции скорости,
а затем и координаты частицы в любой момент времени, т.е. определить
закон ее движения:
t
t
t
vx = v0 x + ∫ a x ( t ) dt ; v y = v0 y + ∫ a y ( t ) dt ; vz = v0 z + ∫ a z ( t ) dt
0
0
t
0
t
t
x = x0 + ∫ vx ( t ) dt ; y = y0 + ∫ v y ( t ) dt ; z = z0 + ∫ vz ( t ) dt
0
(1.4,а)
0
(1.4,б)
0
Величина перемещения частицы
G
∆r =
( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 )
2
2
2
(1.4,в)
есть кратчайшее расстояние между начальным и конечным положением
частицы в пространстве. Если движение частицы происходит не по прямой линии, то длина траектории, называемая путем, больше перемещения
G
∆r . Путь, пройденный частицей за время t:
t
S = ∫ v ( t ) dt
(1.5)
0
Кинематика вращательного движения.
Если твердое тело вращается вокруг закрепленной оси z и известна
зависимость угла поворота ϕ ( t ) , то можно рассчитать проекции на ось
G
G
вращения его угловой скорости ω и углового ускорения ε :
ωz = d ϕ dt
ε z = d ωz dt .
(1.6)
Если известна зависимость ε z ( t ) и начальные условия ω0 z и ϕ0 , то
G
можно найти проекцию ω и угол поворота в зависимости от времени:
t
ωz = ω0 z + ∫ ε z dt
0
t
и
ϕ − ϕ0 = ∫ ωz dt
(1.7)
0
Связь линейных и угловых величин в кинематике.
При криволинейном движении ускорение частицы имеет тангенциальную aτ и нормальную an составляющие, причем
aτ = d v dt ,
an = v 2 R ,
где R – радиус кривизны траектории. Полное ускорение
5
(1.8)
a = aτ2 + an2 .
(1.9)
Линейные и угловые величины связаны следующим образом:
v = ωR ;
aτ = εR ;
an = ω2 R
(1.10)
1.1. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону:
G
G
G
G
r ( t ) = 3t ⋅ i + 4t 2 ⋅ j + 5k . Найдите тангенс угла между вектором скорости
G
v и осью х в момент времени t = 2 с.
1.2. Частица начала свое движение из начала координат с начальной
G G
G
скоростью v 0 = 5 ( i − j ) м/с, и с ускорением, которое зависит от времени
G
G
по закону a ( t ) = 4t ⋅ j м/с2. Каков модуль скорости частицы в момент
времени t = 3 с.
1.3. Маленькая лягушка находится на расстоянии l = 1 м от стенки и прыгает с начальной скоростью v 0 = 4 м/с. Стенку какой наибольшей высоты
может перепрыгнуть лягушка? Принять g = 10 м/с 2.
2
Ответ: hmax
v0
gl 2
=
−
= 48,75 см.
2 g 2v 0 2
1.4. Колесо начинает вращаться вокруг своей оси с угловым ускорением ε = 4 рад / c 2 . Через какой промежуток времени угол между вектором скорости и вектором ускорения точки на ободе колеса станет равным
α = 450 ? Ответ: t = (tg α) / ε = 0,5 c.
1.5. Кузнечик прыгает с некоторой начальной скоростью под углом
α = 60 o к горизонту. Определить радиус кривизны его траектории сразу
после прыжка, если в верхней точке траектория имеет радиус кривизны R
= 40 см.
Ответ: R(t = 0) = R / cos3 α = 3,2 м.
Качественные задачи.
1.6к. Радиус-вектор частицы изменяется во
времени по закону r = 2t 2 ⋅ i + t 3 ⋅ j .
В момент времени t = 1 с частица оказалась в
некоторой точке А. Выберите правильное направление скорости частицы в этот момент
времени.
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4;
д) на рисунке нет правильного направления
6
1.7к. Материальная точка M свободно без
трения скользит в поле силы тяжести по гладким
стенкам симметричной ямы (A и B – наивысшие
точки подъема). При этом величина тангенциальной
(касательной к траектории) проекции ускорения
точки М:
а) отлична от нуля в точке В;
б) максимальна в нижней точке траектории О;
в) равна нулю в точке А;
г) одинакова во всех точках траектории;
1.8к. Камень бросили под углом к горизонту со скоростью V0. Его траектория в однородном поле тяжести изображена на рисунке. Сопротивления воздуха нет. Модуль
тангенциального ускорения aτ на участке АВ-С:
1) уменьшается
2) увеличивается
3) не изменяется
1.9к. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 10 м/с под
углом 45° к горизонту. Если сопротивлением воздуха пренебречь и принять g = 10 м/с2, то радиус кривизны траектории в верхней точке (в метрах) равен .....
1.10к. Из-за неисправности мотора величина скорости автомобиля
синусоидально изменялась во времени, как показано на графике зависимости V(t). В момент времени t1 автомобиль поднимался по участку дуги.
Куда может быть направлена результирующая всех сил, действующих на автомобиль в этот момент времени?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
1.11к. Диск вращается вокруг
своей оси, изменяя проекцию своей
угловой скорости так, как показано
на рисунке. На каких участках графика зависимости ωz ( t ) вектор угG
ловой скорости ω и вектор угловоG
го ускорения ε направлены в одну
сторону?
1) 0 - А и А-В 2) 0 -А и В - С 3) В - С и С - D
4) всегда направлены в одну сторону
7
1.12к. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью,
проекция которой изменяется во времени,
как показано на графике. В какой момент
времени угол поворота тела относительно
начального положения будет максимальным?
а) 10 с
б) 1 с
в) 2 сг) 9 с
1.13к. Диск радиуса R начинает
вращаться из состояния покоя в горизонтальной плоскости вокруг оси Z,
проходящей
перпендикулярно
его
плоскости через его центр. Зависимость
проекции углового ускорения от времени показана на графике. Во сколько
раз отличаются величины тангенциальных ускорений точки на краю диска в
моменты времени t1 = 2 с и t2 = 7 с?
а) в 2 раза б) в 4 раза в) оба равны нулю г) трудно определить точно
1.14к. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z. Зависимость углового ускорения ε Z от
времени представлена на графике. Соответствующая зависимость угловой скорости ωZ от времени
представлена графиком ...
а)
б)
в)
г)
1.15к. Прямолинейное движение точки описывается уравнением
x = −1 + 3t 2 − 2t 3 (в единицах СИ). Средняя скорость точки за время
движения до остановки в м/с равна ....
8
Задачи для самостоятельной работы.
1.1с. Радиус-вектор частицы зависит от времени по закону
G
G
G
G
r ( t ) = i ⋅ 5t 3 − 3t 4 + j ⋅ 4 cos ( ωt ) + k ⋅ 2t 3 . Через сколько секунд перпенди-
(
)
кулярной оси х окажется а) скорость частицы; б) ускорение частицы
1.2с. Частица начала свое движение из точки с радиусом-вектором
G G
G
r0 = 4 ( j + i ) (м), со скоростью, которая зависит от времени по закону
G
G
G
v ( t ) = i ⋅ 5t + j ⋅ 6t 2 (м/с). На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени t = 4 с.
1.3с. Равнозамедленно вращающийся шкив повернулся на угол
ϕ = 4 рад к тому моменту, когда его угловая скорость уменьшилась в три
раза. Найти величину углового ускорения шкива. Его начальная скорость
ω 0 = 6 рад/ с.
1.4с. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется во времени, как
показано на графике. На какой угол относительно начального положения окажется
повернутым тело через 11 секунд?
а) 8 рад б) 12 рад в) 24 рад г) 0 рад
1.5с.. Частица движется вдоль окружности с радиусом 1 м в соот-
(
)
ветствии с уравнением ϕ(t ) = 2π t 2 − 4 t + 6 , где ϕ − угол в радианах,
t − время в секундах. Величина нормального ускорения частицы равна
нулю в момент времени (в секундах), равный: а) 1, б) 2, в) 3, г) 4
1.6с. Материальная точка M движется по
G
окружности со скоростью v . На рис.1 показан
график зависимости проекции скорости v τ на орт
G
G
τ , направленный вдоль скорости v . На рис.2
укажите направление силы, действующей на точку
M в момент времени t1:
а) 1
б) 2
в) 3
г) 4
9
Занятие 2
Динамика поступательного и вращательного движения.
Основной закон динамики поступательного движения это второй
закон Ньютона – закон изменения импульса системы тел под действием
результирующей внешних сил:
G
G dpG сист
dv C
G
(2.1)
∑ Fi = dt = mсист dt = mсист aC ,
G
G
где vC и aC – скорость и ускорение центра масс системы тел, а mсист –
суммарная масса всех тел в системе. Часто в физической задаче рассматривается движение только одного тела, тогда необходимо исследовать
скорость и ускорение центра масс именно этого тела.
Из (2.1) можно расчитать импульс силы, т.е. изменение импульса
системы (или одного тела) при действии результирующей силы в течение
некоторого времени ∆t :
∆t
G
G
G
G
∆p = Fрез ∆t ,
∆p = ∫ Fрез dt или
(2.2)
0
G
G G
G
где Fрез – средняя сила, а изменение импульса ∆p = p2 − p1 .
Основным уравнением динамики вращательного движения является
закон изменения момента импульса ситемы под действием
результирующего внешнего момента сил:
G
G
dLсист
(2.3)
∑ M i = dt ,
G
G
G G
где M i =  r × Fi  – момент силы Fi , приложенной к частице, характериG
зуемой радиус-вектором r относительно заданной точки отсчета;
G
G
G
G G
Lсист = ∑ Li – момент импульса системы частиц, где Li = [ r × pi ] – момент импульса одной частицы.
Из (2.3) можно расчитать изменение момента импульса системы
(или одного тела) при действии результирующего момента силы в течение
некоторого времени ∆t :
G
G
G ∆t G
∆L = M рез ∆t ,
∆L = ∫ M рез dt или
(2.4)
0
Часто в физической задаче рассматривается случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае выражение для момента
импульса системы можно упростить:
G
G
Lсист = I ⋅ ω ,
(2.5)
10
где I = ∑ mi ri 2 – момент инерции твердого тела относительно оси вращеG
ния, ri – расстояние от частицы с массой mi до оси вращения, ω – угловая скорость вращения этого тела вокруг этой оси.
Подставляя (2.5) в (2.3), получим уравнение динамики тела, вращающегося вокруг некоторой оси Z:
(2.6)
∑ M iZ = I Z ε Z ,
где ε Z = d ωZ dt – угловое ускорение тела.
Рассчет моментов инерции твердых тел это отдельная математическая задача, иногда достаточно сложная. Но в некоторых случаях можно
воспользоваться готовым решением для тел с простой геометрической
формой. В таблице указаны формулы для рассчета моментов инерци некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс тел:
IC = mR 2 – кольца относительно
оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости.
IC = ( 2 5 ) mR 2 – однородного шара
относительно оси, проходящей через центр шара.
IC = mR 2 2 – диска относительно
IC = ml 2 12 – стержня относительоси, проходящей через центр диска но оси, проходящей через середину
перпендикулярно его плоскости.
стержня перпендикулярно к нему.
Для нахождения моментов инерции этих тел относительно других осей
необходимо применить теорему Штейнера:
Момент инерции I O твердго тела относительно произвольной оси О
равен сумме момента инерции этого тела I C относительно оси С, параллельной оси О и проходящей через центр масс тела, и произведения
массы этого тела m и квадрата расстояния d между осями О и С.
I O = I C + md 2
(2.7)
2.1. Небольшой шарик массы m = 1 кг летит со скоростью V1 = 5 м/с
под углом α =30° к горизонтальной плоскости. После неупругого удара он отскакивает со скоростью
V2 = 3 м/с под углом β =60° к плоскости. Время
соударения τ = 0,001 с. Найти модуль средней силы трения шарика о плоскость, действовавшей во
время удара.
Ответ: 2830 Н
11
2.2. На вершине неподвижной призмы с
углами α=300 и β=600 установлен невесомый
шкив, который может вращаться без трения. Через него перекинута нить, к концам которой
прикреплены грузы с массами m1 = m2 = m = 1
кг. Коэффициенты трения грузов о плоскости призмы µ 1 = µ 2 = µ = 0,2.
Найти ускорение грузов и силу натяжения нити.
g
a = [sin β − sin α − µ (cos β + cos α )] = 0,455 м/c 2 ;
2
Ответ
:
mg
[sinβ + sinα + µ(cosα − cosβ )] = 7,06 H .
T=
2
2.3. Модель самолёта в аттракционе вращается с
частотой ν = 30 оборотов в минуту в вертикальной плоскости, совершая “мёртвую петлю“ с радиусом R = 5 м. Во
сколько раз сила, прижимающая человека к сиденью самолёта в нижней точке, больше такой же силы в верхней
точке? Принять π2 = g . Ответ: в ( g + 4π2 ν 2 R ) ( 4π2 ν 2 R − g ) =1,5 раз.
2.4. Два одинаковых диска массой m = 1 кг и
радиусом R = 1 м каждый положили на плоскость и
приварили друг к другу. Найти момент инерции
получившейся детали относительно оси,
проходящей перпендикулярно плоскости дисков через точку О (см. рис.).
Ответ: 11 кг⋅м2
2.5. Тонкий однородный стержень массы m =
1 кг и длины l= 1 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. В оси действует момент сил трения Мтр. = 1 Н⋅м.
Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают без толчка.
Найдите угловое ускорение в начальный момент времени. g = 10 м/с2.
Ответ: 12 рад/с2
2.6. Невесомая нить перекинута через сплошной цилиндрический блок, способный вращаться вокруг горизонтальной закреплённой оси симметрии. К концам нити
привязаны грузы m1 = 2m и m2 = m; масса блока m3 = m,
а его радиус равен R. Найти величину момента сил трения в оси блока, если нить движется с ускорением a = g / 7
Ответ: M тр = mgR / 2.
12
Качественные задачи.
2.7к. Импульс тела p1 изменился
под действием короткого удара и скорость тела стала равной v2 , как показано
на рисунке. В каком направлении могла
действовать сила?
а) 2, 3, 4 б) 1 в) только 4 г) 1, 2
2.8к. Теннисный мяч летел с импульсом p1 в
горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью ∆t = 0,1 с.
Изменившийся импульс мяча стал равным p2 (масштаб указан на рисунке). Найти среднюю силу удара. а)30 Н
б) 5 Н
в) 50 Н
г) 0,5 Н
д) 0,1 Н
2.9к. Из жести вырезали три одинаковые
детали в виде эллипса. Две детали разрезали:
одну - пополам вдоль оси симметрии, а вторую - на четыре одинаковые части. Затем все
части отодвинули друг от друга на одинаковое
расстояние и расставили симметрично относительно оси OO' (см. рис.). Выберите правильное соотношение между моментами
инерции этих деталей относительно оси OO'.
а) I1 < I 2 = I3 б) I1 < I 2 < I3 в) I1 = I 2 < I3 г) I1 > I 2 > I3
2.10к. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Груз опускается с ускорением a = 2
м/с2. Момент инерции барабана равен ...
2.11к. Обруч, раскрученный в вертикальной плоскости и посланный
по полу рукой гимнастки, через несколько секунд сам возвращается к ней.
Начальная скорость центра обруча равна v = 10 м/с, коэффициент трения
между обручем и полом равен µ = 0,5. Максимальное расстояние, на которое откатывается обруч от гимнастки, равно ...
2.12к. Тонкий обруч радиусом 1 м, способный
свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, отклонили от вертикали на угол 90° и отпустили.
В начальный момент времени угловое ускорение обрув) 5 с–2
г) 10 с–2
ча равно ... а) 20 с–2 б) 7 с–2
13
2.13к. Зависимость импульса частицы от времени описывается за-
G
G
G
G
G
коном p = 2ti + 3t 2 j , где i и j – единичные векторы координатных
осей Х, Y соответственно. Зависимость горизонтальной проекции силы
Fx , действующей на частицу, от времени представлена на графике ...
в)
г)
2.14к. На графике показана зависимость силы, действующей на тело, от
времени. За первые три секунды импульс тела изменился на ...
а) 80 Н⋅с
б) 300 Н⋅с
в) 150 Н⋅с
г) 50 Н⋅с
2.15к. При выстреле орудия снаряд вылетел из ствола с угловой скоростью ω = 200 с–1 под углом α =60° к горизонту. Момент инерции снаряда относительно его продольной оси I = 15 кг⋅м2, растояние между коа)
б)
лесами орудия l = 1,5 м, время движения снаряда в стволе t = 2 ⋅ 10−2 с.
Силы давления (в килоньютонах) земли, действующие на колеса во время
выстрела, отличаются на ...
Задачи для самостоятельной работы.
2.1с. Импульс тела p1 изменился под
действием короткого удара и стал равным
p2 , как показано на рисунке. В каком направлении действовала сила?
а) 1
б) 2
в) 3
г) 4
2.2с. Через невесомый блок перекинут невесомый
шнур, к концу которого привязан человек массы m = 60 кг.
С какой силой человек должен тянуть за другой конец шнура,
чтобы подниматься вверх?
14
2.3с. Теннисный мяч летел с импульсом p1 (масштаб и направление указаны на рисунке). В перпендикулярном направлении на короткое время ∆t = 0,1 с на мяч
подействовал порыв ветра с постоянной силой F = 40 Н.
Какова стала величина импульса p2 после того, как ветер
утих?
а) 5 кг⋅м/с
б) 0,5 кг⋅м/с
в) 43 кг⋅м/с
г) 50 кг⋅м/с
д) 7 кг⋅м/с
2.4с. Найти угловую скорость, с которой начал
вращаться вокруг вертикальной закреплённой оси
тонкий стержень массы m = 200 г и длины l = 80 см,
лежащий на горизонтальной плоскости. Ось проходит
через середину стержня, и в оси вращения возникает постоянный момент
сил трения M тр= 0,15 H . Повернувшись на угол ϕ = 8 рад, стержень останавливается.
2.5с.. Два одинаковых диска массой m = 1 кг и
радиусом R = 1 м каждый положили на плоскость и
приварили друг к другу. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков через центр масс одного из дисков О.
2.6с. Два одинаковых однородных тонких стержня массой m = 1 кг и длиной l = 1 м каждый приварили концами
перпендикулярно друг к другу. Через конец одного из
стержней проходит ось О, перпендикулярная плоскости
стержней. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О.
2.7с. Тонкий однородный стержень массы
m= 1 кг и длины l = 1 м может вращаться в горизонтальной плоскости без трения вокруг вертикальной оси С, проходящей через середину
стержня. К концу стержня в плоскости вращения под углом α = 30° к
стержню прикладывают силу F =1 Н. Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.
2.8с. Небольшой шарик массы m = 1 кг летит со скоростью V1 = 5 м/с под углом α = 60° к горизонту и падает на
вертикальную стену. После неупругого удара он отскакивает
со скоростью V2 = 3 м/с под углом β =30° к горизонту. Время
соударения τ = 0,001 с. Найти модуль средней силы нормальной реакции со стороны стены.
15
Занятие 3
Законы сохранения импульса, момента импульса
и механической энергии
Исходя из закона изменения импульса (2.1), можно рассмотреть частный случай, когда сумма внешних сил равна нулю. Тогда импульс системы не изменяется во времени (закон сохранения импульса):
G
G
F
(3.1)
∑ i = 0 ⇒ pсист = const
Исходя из закона изменения момента импульса (2.3), можно рассмотреть частный случай, когда сумма внешних моментов сил равна нулю. Тогда момент импульс системы не изменяется во времени (закон сохранения момента импульса):
G
G
M
=
0
⇒
L
(3.2)
∑ i
сист = const
Очень часто в физических задачах рассматривается модель очень
краткого взаимодействия двух или нескольких тел (столкновение двух
тел в полете, взрыв сняряда и разлет осколков, столкновение свободного
тела с телом, подвешенным на шарнире, и т.д.). Если в таких ситуациях
результирующая сила или момент сил за время столкновения не существенно изменяют импульс (2.2) или момент импульса (2.4), то законы (3.1)
и (3.2) можно считать почти точными.
В случаях существенного изменения импульса или момента импульса
остается возможность применения законов сохранения (3.1) и (3.2) только
в проекции на ось, проекция результирующей силы или момента силы на
которую равны нулю:
(3.3)
Fxi = 0 ⇒ px сист = const
∑
∑M
Zi
=0 ⇒
LZ сист = const
(3.4)
Третьим основным законом механики является закон изменения
полной механической энергии системы Eсист = Eп + Eк , где Eп – потенциальная энергия системы тел, Ek – кинетическая энергия этой системы:
Aнеконс = ∆Eсист ,
(3.5)
где Aнеконс – работа неконсервативных сил.
Если работа неконсервативных сил равна нулю, то выполняется закон сохранения механической энергии:
Aнеконс = 0 ⇒ Eсист = Ek + Eп = const
(3.6)
В механических задачах чаще всего учитываются два типа потенциальных
энергий и два типа кинетических.
16
Гравитационная потенциальная энергия и потенциальная энергия
упругой деформации
Eп. грав.1 = mgh или Eп.грав.2 = −G
mM
r
Eп. упр = kx 2 2
(3.7)
где h – высота центра масс тела над произвольным нулевым уровнем, m
– масса тела, g – ускорение свободного падения, G – гравитационная
постоянная, M – масса планеты, r – расстояние от центра планеты до
центра масс тела, k – коэффициент жесткости пружины, x – деформация
пружины.
Понятие потенциальной энергии связано с выделением особых консервативных сил. Связь между консервативной силой и потенциальной
энергией задается оператором "набла", действие которого на скалярную
функцию Eп называется градиентом потенциальной энергии:
G
G
 ∂E G ∂E G ∂E
Fконс = −∇Eп = − grad Eп = −  п i + п j + п
∂y
∂z
 ∂x
G
k ,

(3.8)
Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения
Ek пост = mvC2 2 ,
Ek вращ = I ω2 2
(3.9)
где v C – скорость центра масс системы тел с суммарной массой m ,
I – момент инерции системы тел относительно оси вращения (2.5), проходящей через центр масс С этой системы, ω – угловая скорость вращения
вокруг этой оси (чаще всего для системы из одного вращающегося тела).
3.1. Маленький пластилиновый шарик массы m1 =
0,1 кг движется горизонтально со скоростью v1 = 1 м/с.
Под углом α = 30° к направлению его движения летит
второй шарик массы m2 = 0,2 кг со скоростью v2 = 2
м/с и сталкивается с первым. Шарики слипаются и
движутся под углом β к первоначальному направлению движения
первого шарика. Найдите tgβ . Ответ: 0,448
3.2. На горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень массы m =0,1 кг и длины l = 1 м,
который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через
центр масс стержня С. Под углом α =30° к стержню в той же плоскости
движется маленький пластилиновый шарик такой же массы m со скоро-
17
стью v = 1 м/с. Шарик прилипает к концу стержня, и система приобретает
угловую скорость вращения ω. Найти угловую скорость вращения системы после удара. Ответ: 0,75 рад/с.
3.3. Тонкий однородный диск массы m = 1 кг
и радиуса R = 1 м скатывается без проскальзывания с горки высоты h = 1 м, совершая плоское
движение. Начальная скорость центра масс диска
равна v0 = 1 м/с. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало, g = 10 м/с2. Найдите скорость центра масс диска , после того, как он скатится с горки.
Ответ: 3,79 м/с;
3.4. Резиновая шайба массы m = 1 кг, двигаясь со скоростью v0 = 1 м/с, соскальзывает с горки
высоты h = 1 м и приобретает скорость v у подножия горки. Во время движения над шайбой была совершена работа сил трения, модуль которой
равен Атр=1 Дж (g = 10 м/с2). Найдите скорость шайбы v Ответ: 4,36 м/с
3.5. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кг и
длины l = 1 м может вращаться в вертикальной плоскости
вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец
стержня О. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало, g = 10 м/с2. В момент прохождения им положения равновесия найдите скорость нижнего конца стержня. (5,48 м/с)
Качественные задачи.
3.6к.. В начальный момент времени t = 0 тонкий
обруч с массой m = 0,1 кг и с радиусом R = 0,5 м не
вращался, а поступательно скользил по горизонтальной поверхности с кинетической энергией 800 Дж.
Под действием силы трения он начал катиться без
проскальзывания с кинетической энергией поступательного движения 200 Дж. Сила трения совершила работу:
а) 300 Дж
б) 600 Дж
в) 500 Дж
г) 400 Дж
3.7к. Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на
расстоянии r1 друг от друга. Стержень может
вращаться без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками. Стержень раскрутили
из состояния покоя до угловой скорости ω, при этом была совершена ра-
18
бота А1. Шарики раздвинули симметрично на расстояние r2 = 2r1 и раскрутили до той же угловой скорости. Какая работа при этом была совершена?
1
1
2) А2 = 2А1
3) А2 = А1 4) А2 = 4А1
1) А2 = А1
4
2
3.8к. Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезG
да массы M . r − радиус-вектор планеты (см.рисунок).
Выберите правильное утверждение:
а) момент импульса планеты относительно центра звезды меняется и максимален при наибольшем ее удалении r от звезды
б) момент силы тяготения, действующей на планету (относительно центра
звезды), изменяется, но направлен перпендикулярно плоскости орбиты
в) величина момента импульса планеты относительно центра звезды в
любой момент времени определяется выражением L = m vr
г) момент импульса планеты относительно центра звезды не изменяется
3.9к. Два невесомых стержня длины b соединены
под углом α1 = 60° и вращаются без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси О с угловой скоростью ω. На конце одного из стержней прикреплен очень маленький массивный шарик. В некоторый момент угол между стержнями самопроизвольно увеличился до α2 = 120°. С какой угловой скоростью стала вращаться такая система? 1) 3ω 2) 3ω 3) ω 3 4) ω 3 5) ω
3.10к. Небольшая шайба начинает
движение без начальной скорости по
гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо
мало. Зависимость потенциальной
энергии шайбы от координаты х изображена на графике U ( x ) . Кинетическая энергия шайбы в точке С
а) в 2 раза больше, чем в точке В
б) в 2 раза меньше, чем в точке В
в) в 1,75 раза больше, чем в точке В
г)в 1,75 раза меньше, чем в точке В
19
3.11к. На рисунке показан график зависимости
потенциальной энергии W p от координаты х. График
зависимости проекции силы Fx от координаты х
имеет вид ...
а)
б)
в)
г)
3.12к. Находясь на расстоянии r R , по направлению к Луне летит метеорит, скорость которого v 0 . Для расчета минимального прицельного
расстояния ОВ, при котором метеорит не упадет на
поверхность Луны, используют законы сохранения
механической энергии и момента импульса. Выберите из предложенных вариантов верную запись
этих законов . Радиус R и массу M Луны, гравитационную постоянную G , скорость метеорита
вблизи поверхности Луны v считать известными.
mv02
mM mv 2
=G
+
;
а)
2
R
2
mv02
mM mv 2
= −G
+
;
б)
2
R
2
mv02
mM mv 2
в)
= −G
+
;
2
R
2
mv0 OB = mvR.
mv0 OA = mvR.
mv0 OB = mvR.
3.13к. Кинетическая энергия тела (спутника), движущегося по круговой орбите вокруг Земли, меньше его гравитационной потенциальной
энергии, взятой по модулю в ______ раза.
3.14к. Шарик массой m упал с высоты H на стальную плиту и упруго отскочил от нее вверх. Изменение импульса шарика в результате
удара равно ...
а) 2m gH
б) m 2 gH
в) m
1
gH
2
20
г) m 8 gh
3.15к. Экспериментатор, стоящий на неподвижной скамье Жуковского, получает от помощника колесо, вращающееся вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью ω. Если экспериментатор повернет ось вращения колеса на угол 180°,
то он вместе с платформой придет во вращение с
угловой скоростью ω/5. Отношение момента
инерции экспериментатора со скамьей к моменту
инерции колеса равно ... а) 10 б) 2,5 в) 5 г) 4
Задачи для самостоятельной работы.
3.1с. Маленький пластилиновый шарик массы m1
= 0,1 кг движется горизонтально со скоростью v1 = 1
м/с. Под углом α = 45° к направлению его движения летит второй шарик массы m2 = 0,2 кг со скоростью v2 =
2 м/с и сталкивается с первым. Шарики слипаются и
движутся под углом β к первоначальному направлению движения второго
шарика. Найдите tgβ .
3.2с. На горизонтальной
плоскости лежит тонкий однородный стержень массы m =0,1 кг и
длины l = 1 м, который может
вращаться вокруг вертикальной
оси, проходящей через конец
стержня О. Под углом α =30° к стержню в той же плоскости движется маленький пластилиновый шарик такой же массы m со скоростью v = 1 м/с.
Шарик прилипает к концу стержня, и система приобретает угловую скорость вращения ω. Найти угловую скорость вращения системы после удара
3.3с. Тело массы m = 10 кг начинает движение со скоростью v0 = 4 м/с по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха
пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии этого тела от координаты х изображена на графике U ( x ) . В точке В тело, уда-
рившись, прилипает к стене. Сколько теплоты
выделилось в результате абсолютно неупругого
удара в точке В?
а) 140 Дж
б) 160 Дж в) 20 Дж
г) 150 Дж
21
3.4с. Однородный шар массы m = 1 кг и радиуса R = 1 м скатывается без проскальзывания с
горки высоты h = 1 м. Начальная скорость центра
масс шара равна v0 = 1 м/с. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало, g = 10 м/с2. Найдите кинетическую энергию шара, после того, как он скатится с горки
3.5с. Тонкий однородный стальной стержень массы m = 1
кг и длины l = 1 м может вращаться в вертикальной плоскости
вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец O.
Горизонтально в той же плоскости на стержень налетает
стальной шарик той же массы m со скоростью v = 1 м/с и отскакивает со скоростью u после абсолютно упругого удара.
Стержень начинает вращаться с угловой скоростью ω = 1
рад/с. Найти скорость шарика u.
Занятие 4
Механические колебания:
собственные незатухающие и затухаюшие, вынужденные.
Если на тело действует сила, пропорциональная смещению тела из
положения равновесия и направленная в противоположную смещению
сторону, то тело будет колебаться по гармоническому закону:
(4.1)
x = A cos ( ω0t + α 0 )
где x – смещение из положения равновесия, ω0 = 2πν – циклическая
частота колебаний, ν = 1 T – частота, а T – период колебаний, α 0 – начальная фаза колебаний, A – амплитуда или максимальное смещение.
Примером такого движения является колебания тела на пружине вдоль
некорой оси x , начало отсчета которой находится в положении равновесия. Такое движение удовлетворяет условию гармонических колебаний,
так как проекция силы упругости равна Fx = − kx , где k – коэффициент
жесткости пружины. Такое тело массы m на пружине с жесткостью k
называется пружинным маятником. Циклическую частоту и период его
колебаний определяют по формулам:
ω0 =
k
,
m
T = 2π
22
m
k
(4.2)
Если на тело, способное вращаться вокруг некоторой закрепленной
оси, действует момент силы, пропорциональный углу отклонения ϕ от положения равновесия и стремящийся вернуть тело в положение равновесия, то угол отклонения ϕ будет меняться по гармоническому закону
(только в случае малости угла, т.е. если tg ϕ ≈ sin ϕ ≈ ϕ рад:)
ϕ = ϕ0 cos ( ω0t + α 0 ) ,
(4.3)
где ϕ0 – угловая амплитуда колебаний или максимальный угол отклонения от положения равновесия. Примером таких
колебаний может служить физический маятник, то
есть любое твердое тело, колеблющееся вокруг закрепленной оси О, лежащей выше центра масс С
этого тела, под действием момента силы тяжести.
В случае горизонтальной оси О циклическая частота и период колебаний физического маятника
определяются по формулам:
ω0 =
mgd
,
I
T = 2π
I
,
mgd
(4.4)
где g – ускорение свободного падения, d= OC – расстояние от центра масс
до оси вращения, I – момент инерции твердого тела относительно оси
вращения (см. (2.5) – (2.7)).
Для системы твердых тел, совершающих колебание как единое целое, при расчете циклической частоты (4.4) необходимо учесть, что
m = ∑ mi , I = ∑ Ii , где mi и Ii – массы и моменты инерции каждого тела в отдельности. Также необходимо рассчитать расстояние d от центра
масс СИСТЕМЫ ТЕЛ до оси вращения.
Частный случай физического маятника – математический маятник
– подвешенное на невесомой нерастяжимой нити тело, рамеры которого
намного меньше длины нити l . Циклическая частота и период колебаний
такого маятника определяется по формулам:
ω0 =
g
,
l
T = 2π
l
g
(4.5)
Из (4.1) можно найти скорость тела на пружине в любой момент
v x = − Aω0 sin ( ω0t + α 0 ) ,
(4.6)
времени:
где v max = Aω0 – амплитуда скорости (максимальная скорость).
23
Их (4.3) можно найти угловую скорость вращения физического или
математического маятника:
ωугл =
dϕ
= −ϕ0 ω0 sin ( ω0t + α 0 )
dt
(4.7)
где ωmax = ϕ0 ω0 – максимальная угловая скорость вращения.
Если маятник любого типа находится в вязкой среде, то колебания такого маятника будут затухающими (или вообще могут не возникнуть), т.е.
назвать их гармоническими уже нельзя. Кинематическое уравнение колебаний для пружинного маятника (4.1) изменяется:
x = A0 e −βt cos ( ωt + α 0 ) ,
(4.8)
A = Ao e −βt
(4.9)
где
– амплитуда затухающих колебаний, уменьшающаяся со временем по
экспоненциальному закону (не путать с максимальным отклонением от
положения равновесия!), A0 – начальная амплитуда колебаний (не путать
с начальным смещением из положения равновесия!),
Коэффициент затухания характеризует скорость уменьшения ам1
β= ,
(4.10)
плитуды
τ
где τ – время релаксации, или время, за которое амплитуда уменьшится в е
раз, где е = 2,72 – основание натурального логарифма).
ω = ω02 − β2
(4.11)
– циклическая частота затухающих колебаний, где ω0 – циклическая частота колебаний в отсутствие вязкой среды (без диссипативных сил). Видно, что если ω0 < β , то действительного значения для ω не существует, т.е.
колебания не возникают (слишком вязкая среда, например, мед или дёготь).
2π
2π
=
T=
.
Период затухающих колебаний
2
2
ω
ω −β
0
Логарифмический декремент затухания
θ = βT
(4.12)
характеризует уменьшение амплитуды колебаний за один период.
Все вышесказанное относится к математическому и физическому
маятникам, кроме переменной – вместо смещения х надо рассматривать
угловое смещение ϕ:
ϕ = ϕ0 e −βt cos ( ωt + α 0 )
24
(4.13)
Если к пружинному маятнику вдоль оси колебаний приложить
внешнюю гармоническую силу F = F0 cos ( ωв t ) , то маятник будет совершать вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы ωв по заx = A cos ( ωв t − α ) ,
кону:
где
F0
A=
m
(
)
2
ω02 − ωв2
(4.14)
+ 4β2 ωв2
– амплитуда вынужденных колебаний.
 2βωв 
(4.15)
α = arctg 

 ω2 − ω2 
в 
 0
– отставание по фазе смещения от внешней силы.
Если затухание колебаний мало ( β ≈ 0 ) , то выражение для амплитуды
упростится:
A=
F0
m
ω02
− ωв2
, α = 0.
4.1. Два одинаковых диска массы m = 1 кг и радиуса R =1 м
положили на одну плоскость и приварили в одной точке. Затем
получившуюся фигуру подвесили на горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через точку О.
Точка О и центры масс двух дисков лежат на одной прямой.
Трением в оси пренебречь. Найдите период малых колебаний
фигуры вокруг точки О.
Ответ: 3,29 c
4.2. Грузик массой m = 1 кг прикреплен к пружине жесткости k = 1
Н/м и совершает незатухающие гармонические колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой A = 1 см. В начальный момент грузик вышел
из положения равновесия. За какое время он пройдет путь, равный
3A 2 ?
Ответ: 1,05 с
4.3. Маленький шарик подвешен на длинной нерастяжимой нити
длины l = 1 м и совершает гармонические колебания под действием силы
тяжести. В нижней точке траектории шарик имеет угловую скорость ω = 2
рад/с. Найдите максимальный угол (в радианах), на который отклоняется
нить в процессе движения. g = 10 м/с2.
Ответ: 0,63 рад
4.4. Пружинный маятник совершает малые вертикальные колебания
по закону
x = Ae −4 t cos ( 3 t + π / 3) . Найти массу маятника, если коэф-
фициент жёсткости пружины k = 1 H/м.
25
Ответ: m = 40 г.
4.5. Однородный тонкий диск радиуса R осциллирует около закреплённой горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно плоскости
диска через его край. Вследствие трения его колебания затухают. Найти
период таких колебаний, если логарифмический декремент затухания колебаний равен
λ
.
Ответ: T =
(
)
3R
4π 2 + λ 2 .
2g
4.6. Грузик массы m совершает вертикальные колебания
на пружинке с коэффициентом жёсткости k = 6 H / м под
действием внешней гармонической силы с амплитудой F 0 = 0,1
Н. Найти частоту этой силы, если амплитуда колебаний грузика
А = 2 см. Трением пренебречь.
Ответ: ω =
k F0
−
= 5 c −1 .
A m
Задачи для самостоятельной работы.
4.1с. Тонкий однородный стержень массы m = 2 кг и длины l
= 1,5 м подвешен на горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец. К нижнему концу прикрепили
небольшой свинцовый шарик такой же массы m. Найдите частоту малых колебаний такого маятника. Трением в оси пренебречь.
Принять g = 10 м/с2. Ответ: 0,534 Гц
4.2с. Грузик массой m = 100 г прикреплен к пружине жесткости k = 200 Н/м и совершает незатухающие гармонические колебания в
горизонтальной плоскости с амплитудой А = 2 мм. В начальный момент
грузик находился в крайнем положении. За какое время он пройдет путь,
равный 1,5 A ?
4.3с. Тонкий однородный стержень длины l = 50 см и массы m 100
г совершает гармонические незатухающие колебания под действием силы
тяжести относительно горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и
проходящей через его конец. В положении равновесия стержень имеет угловую скорость ω = 0,5 рад/с. Найдите максимальный угол (в радианах),
на который отклоняется стержень в процессе движения. g = 10 м/с2.
4.4с. Грузик массы m 200 г совершает собственные затухающие колебания на пружинке жесткости
k =100 Н/м по закону
π

x = 3e− at cos  20t +  см. Найдите логарифмический декремент затуха4

ния.
26
4.5с. Невесомая пружинка жесткости k = 10
Н/м одним концом прикреплена к стене, а другим –
к бруску массы m = 50 г, лежащему на горизонтальной поверхности. Вдоль поверхности на брусок действует гармоническая сила F = 5cos ( 4t ) Н. Найдите
амплитуду вынужденных колебаний бруска. Диссипативные силы в системе отсутствуют. Собственными колебаниями пренебречь.
Занятие 5
Идеальный газ: уравнение состояния, работа, внутренняя энергия,
теплоемкость. Первое начало термодинамики.
Идеальный газ это модель, в которой принимаются следующие упрощения:
1) суммарным объемом всех молекул можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда;
2) молекулы взаимодействуют только при соударениях друг с другом и со стеной сосуда, но взаимодействием молекул на расстоянии можно пренебречь.
Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона)
связывает три макропараметра термодинамической системы (газа) – давление p , объем V и абсолютную температуру T , измеряемую в Кельвинах:
pV = νRT ,
(5.1)
где ν = m µ – количество вещества или число молей, m – масса газа в
сосуде, µ – молярная масса газа.
Абсолютная температура является мерой средней кинетической
энергии молекулы:
i
Eкин. мол. = kT
2
(5.2)
где i = iпост + iвращ + 2 ⋅ iколеб – число степеней свободы молекулы газа
или число независимых координат, с помощью которых можно описать
положение молекулы в пространстве, причем iпост = 3 – число поступательных степеней свободы, iвращ – число вращательных степеней свободы, iколеб – число колебательных степеней свободы, k = 1,38 ⋅ 10−38 Дж/К
– постоянная Больцмана. Для жестких молекул, у которых не возбуждены колебательные степени свободы, существует всего три значения i :
27
для одноатомных молекул i = iпост = 3 ;
для двухатомных молекул; i = 3пост + 2вращ = 5 ;
для трех- и более атомных молекул i = 3пост + 3вращ = 6 .
Внутренняя энергия идеального газа это суммарная кинетическая энергия
i
U = νRT ,
2
всех молекул:
(5.3)
Примерами одноатомных молекул могут быть молекулы таких газов,
как гелий He , неон Ne , аргон Ar , криптон Kr , ксенон Xe – благородные газы. Двухатомные молекулы у молекулярного водорода H 2 , кислорода O2 , азота N 2 . Трехатомные молекулы у углекислого газа CO2 , водяного пара H 2O , озона O3 . Многоатомные молекулы у метана CH 4 ,
этилового спирта (этанола) C2 H 5OH и т.д.
Если изменять объем газа, то газ при этом совершает работу:
A = ∫ pdV .
(5.4)
Из (5.4) видно, что работа газа при расширении положительная, а
при сжатии – отрицательная. Если объем газа не менятся (изохорический
процесс), то газ работу не совершает.
Первое начало термодинамики: тепло, данное газу, идет на изменение внутренней энергии газа и на совершение газом работы над внешδQ = dU + δA ,
ними телами.
(5.5)
где dU =
i
νRdT – изменение внутренней энергии идеального газа,
2
δA = pdV – элементарная работа газа при изменении объема на малую
величину dV .
Теплоемкостью газа называется величина, характеризующая количество тепла, необходимое для нагревания всего газа на 1 К.
C=
δQ
dT
(5.6)
В зависимости от способа изменения состояния газа, теплоемкость
может принимать разные значения и даже может быть функцией температуры C = C (T ) . Если теплоемкость газа является постоянной величиной
C = const , то такой поцесс называется политропическим.
В качестве примера политропического процесса можно привести
изохорический процесс с теплоемкостью
28
i
CV = νR ,
2
(5.7)
изобарический процесс с теплоемкостью
Cp =
i+2
νR
2
(5.8)
Из (5.6) следует, что при известной зависимости C (T ) можно найти
тепло Q , необходимое для нагревания газа от тепературы T1 до T2 :
T2
Q = ∫ C (T ) dT
(5.9)
T1
5.1. Сколько тепла надо сообщить m = 220 г углекислого газа, чтобы при неизменной температуре t 0 = 27 0 С расширить его в e2 = (2,72)2
раз?
Ответ: Q = 24,93 кДж.
5.2. Идеальный одноатомный газ в количестве 4 моль
находится в сосуде под незакреплённым поршнем массы
m = 1 кг и площади S = 0,1 м 2 . Газу сообщено тепло Q =
1001 Дж. На какую высоту h поднялся поршень?
Атмосферное давление p а = 10 5 Па , g = 10 м/с 2 .
2Q
Ответ: h =
= 4 см.
(i + 2)(mg + p a S)
5.3. Какую работу надо совершить над m = 16 г кислорода, чтобы
очень быстро (адиабатически) охладить его на ∆ T = 40 K ? (415,5 Дж.)
5.4. Некоторое количество идеального газа имело объём 1 л и давление 105 Па. Какую работу совершает этот газ, расширяясь до вдвое
3
большего объёма в процессе T/V 2 = const? Ответ: A = p 1 V1 = 150 Дж .
2
5.5. Один моль идеального газа совершает процесс p = bVT 3 , где
b = const. Чему равна теплоемкость газа в этом процессе? ( C = C p + R )
5.6. Теплоемкость одного моля идеального одноатомного газа зависит
T 
от температуры по закону C = C0 exp   , где C0 = 1 Дж/К, T0 = 300 К.
 T0 
Найти работу, совершенную газом, при изменении температуры газа от
T0 до T1 = 600 К. Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/моль⋅К;
Ответ: –2334 Дж
29
Качественные задачи
5.7к. Идеальный газ совершает циклический процесс
1-2-3-1, как показано на рисунке, где процессы 2-3 –
изохорический, а 3-1 – изотермический. Площадь
S2 фигуры 1-2-3 равна 10 Дж, а площадь S1 фигуры
1-3-В-А равна 15 Дж. В процессе 3-1 газ отдал окружающей среде тепло...
Ответ: 15 Дж
5.8к. На диаграмме (p, V) изображен цикл Карно
для идеального газа. Для величины работы адиабатического расширения газа A2−3 и адиабатического сжатия A4 −1 справедливо утверждение ...
а) работы невозможно сравнить
б) A2−3 = A4−1
в) A2−3 > A4−1
г) A2−3 < A4−1
5.9к. Молярные теплоемкости азота в процессах 1 → 2
и 1 → 3 равны C 1 и C 2 соответственно. Их отношение
б) 5
в) 5
г) 7
C 1 C 2 равно: а) 3
5
3
7
5
5.10к. Средняя кинетическая энергия молекул газа
при температуре Т зависит от их конфигурации и структуры, что связано
с возможностью различных видов движения атомов в молекуле и самой
молекулы. При условии, что имеет место только поступательное и вращательное движение молекулы как целого, средняя кинетическая энергия
молекулы азота ( N 2 ) равна ...
а)
3
kT
2
б)
1
kT
2
в)
5
kT
2
г)
7
kT
2
5.11к. Одноатомному идеальному газу в результате изобарического
процесса подведено количество теплоты ∆Q . На увеличение внутренней
энергии газа расходуется часть теплоты ∆U ∆Q , равная в процентах ...
5.12к. Если не учитывать колебательные движения в линейной трехатомной "молекуле" газа (см.рис.), то отношение кинетической энергии
вращательного движения к полной кинетической
энергии молекулы равно ...а)
30
3
3
2
2
б)
в)
г)
6
5
5
13
5.13к. Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении равна C p =
9
R , где R = 8,31 Дж/(кг⋅моль) – универсальная газо2
вая постоянная. Число вращательных степеней свободы молекулы равно ..
а) 9 б) 1 в) 2 г) 3
Задачи для самостоятельной работы.
5.1с. Идеальный газ массы m = 22 г с молярной массой µ = 44
г/моль, имевший первоначальную температуру T = 300 К , вначале охлаждается при неизменном объёме так, что его давление уменьшается в два
раза. Затем газ расширяется при постоянном давлении до тех пор, пока
его температура не сравняется с первоначальной. Найти работу, совершённую газом.
5.2с. ν = 2 моля идеального газа охлаждаются на ∆ T = 10 K в процессе pV 2 = const. Определить совершаемую при этом газом работу.
5.3с. В воздушном шарике находится один моль одноатомного идеального газа. Газ расширяется от объема V0 = 2 м3 до объема V1 = 5 м3,
при этом его температура меняется по закону p 2 T = b , где b = 3 ⋅ 107
Па2/К – некоторая постоянная. Найти работу (в МДж), совершенную газом
в
этом
процессе.
Универсальная
газовая
постоянная
R = 8,31Дж моль ⋅ К .
5.4с. 2 г молекулярного водорода находятся в закрытом сосуде при
нормальных условиях ( p = 105 Па, t = 0°C ). Во сколько раз увеличится
давление этого газа, если ему сообщить тепло Q = 8,31 кДж?
5.5с. Теплоемкость одного моля идеального двухатомного газа зависит
от температуры по закону C = bT , где b = 0,01 Дж/К2. На сколько джоулей изменилась внутренняя энергия газа, если при увеличении температуры в два раза он совершил работу A = – 1925 Дж. Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/моль⋅К;
31
Занятие 6
Второе начало термодинамики. КПД тепловой машины.
Распределения Максвелла и Больцмана.
Изучая процесс превращения теплоты в работу, Р.Клаузиус в 1865 г
ввел понятие энтропии S , которое определил через ее приращение dS :
dS =
δQ
,
T
(6.1)
где δQ – бесконечно малое приращение тепла, полученное термодинамической системой при данной температуре.
Энтропия – функция состояния системы. Если известен явный вид
зависимости энтропии от термодинамических параметров (температуры,
давления, объема), то из (6.1) можно рассчитать количество тепла, полученное системой в заданном процессе:
T2
Q = ∫ TdS
(6.2)
T1
Если дана зависимость температуры от энтропии в
виде графика, то теплота, полученная газом определяется, как площадь под кривой T ( S ) (см. рис.).
Теормодинамическую систему, совершающую циклический процесс
и совершающую работу за счет получения тепла от нагревателя, называют
тепловой машиной. Характерным параметром тепловой машины является
коэффициент полезного действия:
η=
Aцикл
Qн
или η =
Qн − Qх
Qн
.
(6.3)
где Aцикл – работа, совершенная машиной за цикл. Чтобы тепловая машина могла работать непрерывно, она должна совершать циклический
процесс, получая некоторую порцию тепла от нагревателя Qн и обязательно отдать часть тепла холодильнику Qх . Нагревателем и холодильником могут служить более нагретое тело с температурой Tн (печь) и менее нагретое с температурой Tx (холодная вода), с которыми по очереди
контактирует рабочее тело (например газ в цилиндре под поршнем).
Самый большой КПД при одинаковых Tн и Tx будет у тепловой
машины, работающей по циклу Карно, состоящего из двух изотерм и двух
адиабат. Такую машину называют идеальной тепловой машиной и ее КПД
32
ηид =
Tн − Tx
Tн
(6.4)
Если рабочий цикл тепловой машины изображен
графически в виде замкнутой фигуры в координатах
T ( S ) , то работа газа за цикл будет равна площади
этой фигуры (см. рис. цикл 1-2-3-1). Тепло, полученное
от нагревателя, находится при этом как площадь под
кривой 1-2, где энтропия возрастает (на участке 2-3 тепло отдается холодильнику).
Продолжателем идей Р.Клаузиуса в молекулярно-кинетической теории газов, в которую тот ввел элементы теории вероятности, был
Д.К.Максвелл, получивший функцию распределения молекул идеального
газа по модулям их скоростей f м ( v ) :
32
 m 
f м ( v ) = 4π  0 
 2πkT 
 m0 v 2 
v exp  −
,
 2kT 


2
(6.5)
Дж
– постоянная Больцмана; m0 – масса одной молеК
кулы. С помощью этой функции можно рассчитать относительную долю
молекул, обладающих скоростями в диапазоне от v до v + d v .
dN
f м ( v ) dv =
.
(6.6)
N
Интегрируя выражение (6.6), можно убедиться, что относительная
доля молекул, обладающих скоростями в бесконечном диапазоне скоро-
где k = 1,38 ⋅10−23
∞
стей, равна 1:
∫ f м ( v ) dv = 1
(6.7)
0
Рис.6.1. Распределение
Максвелла
На рис.6.1 показан вид функции распределения Максвелла, имеющий максимальное значение при некоторой скорости,
которая называется средней вероятной
скоростью:
2kT
2 RT
=
,
(6.8)
vвер =
m0
µ
где R = 8,31Дж моль ⋅ К – универсальная
газовая постоянная; µ – молярная масса газа.
33
Анализируя формулы (6.8) и (6.7) можно прийти к выводу, что при
увеличении температуры положение максимума функции распределения
смещается вправо по оси скоростей, но при этом площадь под кривой не
меняется и равна всегда 1.
Кроме средней вероятной скорости (6.8) в молекулярнокинетической теории используется понятие средней скорости
∑ vi = 8kT = 8RT
v =
(6.9)
N
πm0
πµ
и среднеквадратичной скорости
vкв =
∑ vi2
N
=
3kT
3RT
=
.
m0
µ
(6.10)
Используя распределение Максвелла по проекциям скоростей, можно найти число ударов молекул dN в единицу времени dt (частоту
ударов) о поверхность единичной площади dS
dN
1
(6.11)
ν=
= n v
dt ⋅ dS 4
и среднюю длину свободного пробега молекулы
1
1
,
(6.12)
λ=
=
2σn
2πd 2 n
где n – концентрация молекул газа, σ = πd 2 – эффективное сечение молекулы, d – эффективный диаметр молекулы.
Кроме распределения Максвелла по скоростям молекул (6.5) необходимо упомянуть распределение Больцмана по высоте молекул в равновесном изотермическом столбе газа (например в изотермической модели
атмосферы):
 µgh 
n = n0 exp  −
,
RT


(6.13)
где n ( h ) и n0 – концентрации молекул газа на высоте h от поверхности
Земли и на нулевой высоте соответственно, µ – молярная масса газа, g –
ускорение свободного падения, которое считается постоянным в пределах
всего столба газа, T – абсолютная температура, постоянная по всему
столбу газа.
Формула для давления газа
p = nkT
(6.14)
34
в сочетании с (6.13) позволяет определить давление газа на разных высотах в изотермической равновесной атмосфере или барометрическую
формулу:
 µgh 
p = p0 exp  −

 RT 
(6.15)
Необходимо учесть тот факт, что давление атмосферы около поверхности
Земли не зависит от температуры, так как масса всего воздуха в атмосфере, который своим весом давит на площадь Земли, не меняется ни зимой,
ни летом.
6.1. Два моля азота сначала изобарически нагревают в два раза, а затем изотермически сжимают в два раза. Найти суммарное изменение энДж
i
тропии в этих двух процессах.
Ответ: ∆S = ν Rln2 = 28,8
.
К
2
6.2. Теплоёмкость термодинамической системы (не идеального газа)
в некотором процессе изменяется с температурой по закону C = b/T2 , где
b = 800 кДж . К. Найти изменение энтропии системы в этом процессе при
её нагревании от T 1 = 100 K до T 2 = 200 K.
b 1
1 
Дж
Ответ: ∆S =  2 − 2  = 30
.
2  T1
К
T2 
6.3. Идеальный трёхатомный газ совершает циклический процесс, изображённый на диаграмме, где p 1 =
3p 2 , V 2 = 5V 1 . Найти к.п.д. этого процесса.
Ответ: η = 20 % .
6.4. К.п.д. циклического процесса,
изображённого на T – S – диаграмме, равен η = 20 %.
Найти температуру T1, если T3 = 300 К, а T 2 = 350 К.
Ответ: T1 = 400 K.
6.5. Идеальный газ находился в закрытом сосуде, а
средняя квадратичная скорость молекул была равна vкв . Потом газ был
нагрет так, что средняя вероятная скорость молекул стала равна vвер .
vкв =500 м/с; vвер =450 м/с. Найти: отношение частоты ударов молекул о
единичную площадку в первом и во втором состояниях ν1 ν 2 .
35
Качественные задачи
6.7к. На рисунке представлен прямой цикл тепловой
машины в координатах T − S , где T − термодинамическая температура, S − энтропия. Укажите участки, на которых тепло поступает в рабочее тело машины от нагревателей, и участки, где тепло отдается холодильнику:
а) 12, 23 – поступает; 41 – отдается б) 23 – поступает; 41 – отдается
в) 12, 23 – поступает; 34, 41 – отдается г) 12 – поступает; 34 – отдается
6.8к. Идеальная тепловая машина работает по циклу
Карно (две изотермы 1-2 и 3-4 и две адиабаты 2-3 и 4-1).
Как изменится энтропия рабочего тела в процессе изотермического расширения 1-2?
1) энтропия возрастет
2) энтропия уменьшится
3) энтропия не изменится
6.9к.
На
рисунке
представлен
график
распределения молекул идеального газа по величинам
скоростей (распределение Максвелла). С ростом
температуры T газа площадь под этим графиком
будет:
а) оставаться неизменной
б) расти пропорционально
в) расти пропорционально T
T
г) расти пропорционально T 3 2
6.10к. На рисунке изображен цикл Карно в координатах (Т, S), где S – энтропия. Адиабатное расширение происходит на этапе ...
а) 3 – 4 б) 4 – 1 в) 2 – 3 г) 1 – 2
6.11к. Если количество теплоты, отдаваемое рабочим телом холодильнику, увеличится в два раза, то коэффициент полезного действия тепловой машины...
а) уменьшится на Q2 Q1 ; б) увеличится на Q2 Q1 ;
в) увеличится на Q2 2Q1 ; г) уменьшится на Q2 2Q1
36
6.12к. Зависимость концентрации молекул идеального газа во
внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных температур (T2 > T1 ) представлена на рисунке ...
а)
б)
в)
г)
6.12к. Зависимость давления идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных температур (T2 > T1 )
представлена на рисунке ...
а)
б)
в)
г)
Задачи для самостоятельной работы.
6.1с. Два моля азота сначала изобарически нагревают в два раза, а
затем изотермически сжимают в два раза. Найти суммарное изменение
энтропии в этих двух процессах.
6.2с. Машина, работающая по циклу Карно, совершает за цикл работу в три раза меньшую, чем отдаваемое за цикл тепло. Найти температуру холодильника, если температура нагревателя t н0 = 99 0 С.
6.3с. Первая тепловая машина совершает
циклический процесс 1–2–3–4–1, а вторая 4–3–
5–6–4 (см. график). На сколько процентов больше коэффициент полезного действия второй тепловой машины. Принять T1 = 300 К; T2 = 600 К.
S1 = 1 Дж/К; S2 = 2 Дж/К; S3 = 3 Дж/К.
6.4с. Идеальный газ находился в закрытом сосуде, а средняя квадратичная скорость молекул была равна vкв =500 м/с. Потом газ был нагрет
так, что средняя скорость молекул стала равна v =470 м/с. Найти: отношение частоты ударов молекул о единичную площадку во втором и в первом состояниях ν 2 ν1 .
37
6.5с. На берегу моря атмосферное давление составляет p0 , а температура воздуха t = 27 °С одинакова на разных высотах. Молярная масса
воздуха µ = 29 г/моль. Универсальная газовая постоянная
R = 8,31Дж моль ⋅ К , g = 10 м/с2. Если подняться на высоту Н =1 км над
уровнем моря, то во сколько раз уменьшится давление p?
38