Дифракция света. 1. Принцип Гюйгенса – Френеля. 2. Метод зон

1
Дифракция света.
1.
2.
3.
4.
Принцип Гюйгенса – Френеля.
Метод зон Френеля. Виды дифракции.
Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
Дифракция Фраунгофера на одной щели и отдельной дифракционной
решетке.
5. Разрешающая способность оптических приборов.
6. Дифракция на пространственной решетке.
7. Понятие о голографии.
Принцип Гюйгенса-Френеля.
Совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и
наблюдаются при его распространении в среде с резко выраженной оптической
неоднородностью (при прохождении через отверстия в экранах, вблизи границ
непрозрачных тел), называется дифракцией света.
Под дифракцией света понимают огибание светом встречных препятствий,
т.е. отклонение от законов геометрической оптики.
Геометрическая оптика рассматривает законы распространения света в
прозрачных средах на основе представлений о свете как о совокупности световых лучей – линий, вдоль которых располагается световая энергия.
1. Закон отражения.
2. Закон преломления.
3. Закон прямолинейного распространения.
Прямолинейность распространения света в однородной среде кажется очевидной. Подтверждением этого закона может служить образование тени позади
непрозрачного препятствия, находящегося на пути света, излучаемого точечным источником. Границы тени определяются лучами света, которые проходят
мимо препятствия, касаясь его поверхности.
Прямолинейность распространения света легко объясняется теорией Ньютона. Согласно теории, свет представляет собой поток особых частиц (световых
корпускул), которые в однородной среде движутся прямолинейно и равномерно.
Однако, с позиций волновой теории света, прямолинейность света не столь
очевидна. Более детальное наблюдение показывают, что световая волна заходит
в область геометрической тени, причем на границе между областями света и
тени появляется чередующиеся максимумы и минимумы света, свидетельствующие о некотором перераспределении световой энергии на этой границе.
1
2
Кривая aB показывает распределение на экране интенсивности света, испытавшего дифракцию от края пластинки P .
Проникновение световых волн в область геометрической тени объясняется
принципом Гюйгенса (1978 г.).
Согласно принципу Гюйгенса каждую точку поля волны можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся вперед по всем направлениям, в том числе и в область геометрической тени препятствия. Т.е.
волны должны огибать препятствия.
Фронт волны – геометрическое место точек среды, в которых в рассматриваемый момент времени фаза волн имеет одно и то же значение.
Принцип Гюйгенса также позволяет найти положение фронта волны в момент времени t  t , зная его положение в предыдущий момент времени t и
скорость волны V . Согласно этому принципу, все точки поверхности S (t ) , через которые проходит фронт волны в момент времени t , следует рассматривать
как источники вторичных волн, а искомое положение S (t  t ) фронта в момент времени t  t совпадает с поверхностью, огибающей все вторичные волны. Считается, что в однородной среде вторичные волны излучаются только
вперед, т.е. в направлениях, составляющих острые углы с внешней нормалью к
фронту волн. В однородной изотропной среде вторичные волны сферические.
Однако, этот принцип не дает сведений об амплитуде и интенсивности
волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил
принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн.
Принцип Гюйгенса – Френеля:
1.
При расчете амплитуды A световых колебаний, возбуждаемых источником S 0 в точке M . источник S 0 можно заменить эквивалентной ему системой вторичных источников малых участков dS
любой замкнутой вспомогательной поверхности S , проведенной
так, чтобы она охватывала S 0 и не охватывала M .
2
3
2.
3.
4.
Вторичные источники когерентны и S 0 между собой, следовательно, вторичные волны интерферируют при наложении; желательно, чтобы поверхность являлась S было волновой поверхностью для S 0 (т.к. при этом фазы колебаний одинаковы). Это связано с упрощением расчета интерференции.
adS
. Амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке M
r
вторичным источником, пропорционально отношению площади dS
соответствующего участка волновой поверхности S к расстоянию
r от него до точки M и зависит от угла  между внешней нормалью к волновой поверхности и направлением от элемента dS в
точке M . a - величина, пропорциональная амплитуде первичной
волны в точках элемента dS . f ( ) - монотонно убывает от 1 (при

  0 ) до 0 (при   ).
2
Если часть поверхности S занята непрозрачными экранами, то соdA  f ( )
ответствующие вторичные источники не излучают, а остальные излучают так же, как и в отсутствие экранов.
2. Метод зон Френеля. Виды дифракции.
В ряде дифракционных задач, обладающих осевой симметрией, расчет интерференции вторичных волн значительно упрощается с помощью метода разбиения волновой поверхности (фронта волны) на кольцевые участки, называемые зонами Френеля.
Разбиение на зоны осуществляется так, чтобы оптическая разность хода от
сходственных границ каждой пары соседних зон до рассматриваемой точки
равнялась  2 (т.е. расстояние от краев каждой зоны до точки М).
3
4
S 0 - источник монохроматического света.
M - точка наблюдения.
S - вспомогательная поверхность.
R - радиус волновой поверхности R  L  OM .
Поверхность S разобьем на небольшие по площади кольцевые участки –
зоны Френеля.
Вторичные волны от сходственных точек двух соседних зон приходят в
точку M в противоположных фазах и взаимно обособляют друг друга при наложении.
A рез  A1  A2  A3  A4  ...
Величина Ai зависит от площади  i , i зоны Френеля.
Ai - амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке M вторичными источниками, находящимися в предшествующей i зоне, т.к. R и L   , то при не
слишком большом i площади первых i зон Френеля одинаковы.
RL
1   2  ...   i 
.
RL
С увеличением номера зоны i для сферического волнового фронта угол 
увеличится и согласно принципу Гюйгенса – Френеля уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки M .
A1  A2  A3  ...  Ai .
3. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
1. Дифракция Френеля – дифракция в сходящихся пучках.
На препятствие падает сферическая или плоская волна. Дифракционная
картина наблюдается на экране, находящемся за препятствием. На экране получается «дифракционное изображение» препятствия.
2. Дифракция Фраунгофера - дифракция в параллельных лучах. На препятствие падает плоская волна, дифракционная картина наблюдается на экране,
который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной
на пути прошедшего через препятствие света. При дифракции Фраунгофера получают дифракционное изображение удаленного источника света.
Различают два вида дифракции: дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера.
4
5
3.1 Дифракция Френеля на небольшом круглом отверстии в непрозрачном экране.
Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном параллельно плоскости отверстия на расстоянии L .
Построим на открытой части BC фронта волны S зоны Френеля.
Если в BC укладывается m зон, то:
A рез  A1  A2  A3  ...  (1) m 1 Am , т.е. A рез зависит от четности и
нечетности m .
1
 2  A1  Am 
A рез  
.
( m  1,3,5,...) - max .
1
 A
 2 1 Am
( m  2,4,6,...) - min .


Дифракционная картина представляет собой чередование световых и темных колес
Число зон не зависит от d отверстия и L . Следовательно, при изменении
d и L результат интерференции в точке M меняется.
Если d велико, так что Am  A1 - интерференция не наблюдается, свет
распространяется так же, как и в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием, т.е. прямолинейно.
Расчет A в других точках экрана сложен, т.к. зоны частично закрыты экраном.
Значительно увеличить A можно с помощью зонной пластинки. Зонная
пластинка это - стеклянная пластинка, на которой нанесено непрозрачное покрытие, закрывающее все четные (или нечетные) зоны. Если число зон, умещающихся на пластинке равно 2k , то A рез  A1  A3  ...  A2 k 1 , следовательно, освещенность экрана в точке M в k 2 раз больше. Зонная пластинка
действует на свет подобно собирающей линзе.
3.2 Дифракция Френеля на небольшом диске (круглом непрозрачном
экране).
5
6
Интерференционная картина (в точке M центр) имеет вид концентрических темных и светлых колец. В точке M всегда находится интерференционный максимум (пятно Пуассона).
A  A1 2 , соответствует действию в точке M одной только первой открыd
той зоны Френеля. При повышении
яркость пятна Пуассона понижается, а
l
следующее за ним темное кольцо расширяется, образуя область тени за диском.
Недостатки дифракции Френеля:
1. Не учитывается влияние материала экрана на поле электромагнитной волны, т.е. предположение, что A и  0 колебаний в точках
поверхности S , не закрытых непрозрачными экранами такие же,
как и в отсутствие последних не верно. L   .
2. Теорема Френеля дает неправильные значения фазы результирующей волны.
4. Дифракция Фраунгофера на одной щели и дифракционной решетке.
4.1 Дифракция Фраунгофера на одной щели.
Рассмотрим дифракцию в параллельных лучах. Для получения пучка параллельных лучей света, падающих на препятствие, пользуются небольшим источником света, который помещается в фокусе собирающей линзы.
Пусть параллельный пучок монохроматического света падает нормально
на непрозрачный экран, в котором имеется узкая щель BC , шириной b и длин-
6
7
ной l  b .
Согласно принципу Гюйгенса – Френеля все точки щели BC являются
вторичными источниками волн, колеблющимся в одной фазе, т.к. плоскость
щели совпадает с фронтом падающей волны. Если бы при прохождении света
через щель соблюдался закон прямолинейного распространения света, то на экране, установленном в фокальной плоскости собирающей линзы получилось бы
изображение источника света. Однако, вследствие дифракции на узкой щели,
на экране наблюдается система интерференционных max (размытых изображений источника света), разделенных промежутками интерференции min .
В побочном фокусе F линзы собираются все параллельные лучи, падающие пол углом  к оптической оси OF0 перпендикулярно фронту падающей волны.
Оптическая разность хода между крайними лучами CN и BM
  CD  b sin , n  1 (для воздуха).
Для расчета воспользуемся методом зон Френеля. Разобьем щель BC на
зоны, имеющие вид полос параллельных ребру B щели. Ширина зоны
a   2 sin , следовательно, оптическая разность хода лучей, проведенных из
краев зоны параллельно BM :     2 .
Все зоны в заданном направлении излучают свет одинаково.
рез
При интерференции света от каждой пары соседних зон A
 0 , так как эти
зоны вызывают колебания с одинаковыми Ai , но противоположными фазами.
Следовательно, результат интерференции в точке F определятся тем,
сколько зон Френеля укладывается в цепи (щели).
Если число зон четное – наблюдается дифракционный минимум
b sin   2m  2 , где
( m  1,2,...)
знак “-“ соответствует F , т.к.
| 0 F || 0 F |   
Если число зон нечетное, то наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной зоны Френеля
b sin   (2m  1)  2 , где
( m  1,2,...)
- порядок дифференциального максимума.
m
В направлении   0 наблюдается центральный максимум нулевого порядка: колебания, вызываемые в точке F0 всеми участками щели, совершаются
в одной фазе.
Дифракционная картина на Э зависит от отношения ширины в щели к
длине волны  света.
Если b  m ( m  1,2,...), значит,  соответствующий минимуму т-го
порядка равен  / 2 . То есть сколь бы не были велики размеры линзы,  и Э, на
экране нельзя наблюдать дифракционные максимумы, порядок которых больше
m  1.
Шириной дифракционного максимума на экране называется расстояние
между двумя, ограничивающими его дифракционными минимумами.
7
8
При освещении белым светом центральный максимум имеет по краям
радужную окраску. Полное гашение света не происходит ни в одной точке экрана.
4.2. Дифракция на дифракционной решетке.
Простейшая одномерная дифракционная решетка представляет собой
систему из большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг
другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине. Периодом или постоянной дифракционной
решетки называется величина d  a  b , где
b - ширина щелей,
a - ширина непрозрачных промежутков.
Колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе. Так как эти
точки находятся на одной волновой поверхности.
Найдем A результирующих колебаний в точке F* Э , в которой собираются лучи от всех щелей решетки, падающие на линзу Л под углом  к оптической оси OF0 .
Воспользуемся методом векторных диаграмм
 N 
A   Ai ,
i 1
где N - число щелей,
Ai - вектор амплитуды колебаний, вызываемых действием одной i - щели.
8
9
В одном и том же направлении все щели решетки излучают свет одина
ково, следовательно, | Ai | A .
Сдвиг фаз  0  Фi 1 (t )  Фi (t ) между Ai и Ai 1 колебаниями определяется оптической разностью хода  от сходственных точек двух соседних щелей
до F .
Так для щелей ВС и DE сходственными являются точки B и D, С и Е.
 | DK | d sin  ,
 0  2    2d sin  
( n  1 ),
следовательно,
sin(Nd sin  
A рез  A
.
sin(d sin  
Условие для главных максимумов:
d sin   n ,
где n =1,2,… - порядок главного максимума.
Условие главных минимумов:
b sin   m , где
m  1,2,... - порядок главного минимума.
Главный минимум соответствует углам  для которых A  0 , то есть
свет полностью поглощается в результате интерференции.
При наблюдении дифракционной картины кроме главных максимумов
имеется и большое число побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами.
Дополнительные минимумы определяются из условия:
d sin    p / N
где p - любые целые значения кроме N, 2N, 3N и так далее.
При освещении решетки белым светом на экране наблюдается неокрашенный центральный максимум нулевого порядка, а по обе стороны от него –
дифракционные спектры, в которых наблюдается непрерывный переход от сине-фиолетовой окраски у внутреннего края спектра к красной у внешнего края.
5. Разрешающая способность оптических приборов.
Изображение объекта в любом оптическом приборе получается с помощью ограниченного пучка света, пропускаемого в прибор апертурной диафрагмой.
[ лат. "apertus" открытый ] – действующее отверстие оптического прибора, определяемое размерами линз или диафрагмами.
Угол апертуры - угол между крайними лучами светового конуса, попадающего в оптический прибор.
Роль такой диафрагмы играет, например, дифрагма фотоаппарата, оправа
объектива телескопа.
Уменьшение диаметра апертурной диафрагмы способствует ослаблению
различных искажений изображений, обусловленных использованием широких
9
10
пучков света и называемых геометрическими аберрациями оптической системы (от латинского «отклоняться», «заблуждаться» - искажение изображения).
Вследствие дифракции света в оптическом приборе изображение светящейся точки имеет вид светлого пятна, окруженного системой концентрических интерференционных колец. Это явление ограничивает разрешающую способность оптического прибора, то есть давать четкие раздельные изображения
двух близких друг к другу объектов. При очень малом угловом расстоянии между двумя точками, их изображения полученные с помощью оптического прибора наложатся друг на друга и дадут одно светящееся пятно, то есть две очень
близкие друг к другу точки не будут восприниматься (разрешатся) прибором
отдельно.
Обозначим через  наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются оптическим прибором.
Величина обратная  , называется разрешающей силой прибора:
1
R
.

Найдем разрешающую силу объектива фотоаппарата для случая, когда
фотографируются удаленные предметы. При этом лучи, попадающие в объектив можно считать параллельными.
Согласно критерию Рэлея близкие точки будут еще разрешены, если середина центрального дифракционного максимума для одной точки совпадает с
краем центрального максимума (то есть с первым минимумом) для второй точки.
По существу, рассматриваемый нами пример это дифракция плоской
волны при прохождении через круглое отверстие. (Картина – центральное светлое пятно в главном фокусе линзы, окруженной системой чередующихся темных и светлых колец). В этом случае угол  , соответствует первому темному
кольцу и определяется из условия sin 1  1,22 D ,
где D - диаметр отверстия. Интенсивность светлых колец будет очень
мала по сравнению с интенсивностью главных центральных максимумов.
В том случае, если угловое расстояние  между точками окажется
равным угловому радиусу. Диаметр оправы объектива D   .
Угловой предел разрешения прибора равен   1,22 D , следовательно,
R  D 1,22 , то есть разрешающая сила объектива тем больше, чем больше его
диаметр.
10
11
Угловой предел разрешения глаза определяется дифракцией на зрачке
( D ~ 2 нм) и зернистой структурой сетчатки глаза.
0,5  10 3
  1,22
 0,305  10 3 рад  1 .
2
То есть угловое расстояние между точками при котором глаз воспринимает их
раздельно равно 1 минуте (такое же расстояние между элементами сетчатки
глаза).
6. Дифракция на пространственной решетке.
Пространственной, или трехмерной, дифракционной решеткой называется такая оптически неоднородная среда, неоднородность которой периодически
повторяется при изменении всех трех пространственных координат.
Примером может служить кристаллическая решетка твердого тела. Частицы, образующие эту решетку, играют роль упорядочено расположенных
центров, когерентно рассеивающих падающий на них свет.
Пусть d1 , d 2 , d 3 - периоды решетки по трем осям координат  ,  ,  .
При дифракции Фраунгофера главные максимумы удовлетворяют уравнениям Лауэ:
d1 (cos   cos  0 )   n1 ;
d 2 (cos   cos  0 )   n2  ;
d 3 (cos   cos 0 )   n3 ;
где  ,  0 ,  ,  0 ,  ,  0 - углы между осями координат и направлениями распространения падающего и дифрагированного света;
n1 , n 2 , n3 - числа, определяющие порядок максимумов.
Из условия Лауэ следует, что при   2d max ( d max - наибольшее значение
d1 , d 2 , d 3 ) должны отсутствовать все дифракционные максимумы, кроме нулевого ( n1  n 2  n3  0 ). Свет с такими длинами волн распространяется в среде,
не замечая ее неоднородности, то есть не испытывая дифракции.
  2d max - условие оптической однородности среды.
для видимого света кристаллы являются оптически однородной средой
для рентгенового излучения кристаллы - дифракционной решетки
Русский физик Вульф и английский Брэгг в 1913 году предложили более
простой метод расчета дифракции на кристаллической решетке при рентгеновском излучении.
Дифракцию рентгеновского излучения можно рассматривать как результат его отражения от системы параллельных сетчатых плоскостей кристалла, то
есть плоскостей в которых лежат узлы кристаллической решетки.
11
12
Это отражение осуществляется при условиях падения лучей на кристалл, которые соответствуют интерференционному максимуму для лучей, отраженных от разных плоскостей.
Интерференционные максимумы отражения удовлетворяют условию
Брэгга-Вульфа:
2d sin  ,
где  - угол между падающим и отраженным лучами и плоскостью (угол
скольжения).
Наблюдение дифракционного максимума возможно только при определенных соотношениях между  и  или дополнительным ему углом падения
i  2.
 sin    cos i  2d n
Данный результат лежит в основе спектрального анализа рентгеновского
излучения (определяют  по известным d и n ).
С помощью дифракции рентгеновского излучения на кристаллах можно
осуществить их рентгено-структурный анализ (исследование строения кристаллических решеток).
7. Понятие о голографии.
При фотографировании, изображение трехмерного предмета проецируется на плоскость. При этом резкое изображение получается только для тех частей предмета, которые лежат в плоскости наводки фотоаппарата. Полученное
этим способом плоское изображение практически не содержит информации об
объемности предмета. Это объясняется тем, что информация о фазе световой
волны при фотографировании полностью теряется и происходит регистрация
только квадрата напряженности электрического вектора светового поля, усредненного по всем фазам световой волны.
Отсутствие объемности предмета и ощущения глубины пространства при
фотографировании объясняется отсутствием эффекта параллактического смещения.
Голография (с греческого «полная запись»), как новый метод регистрации
объекта был предложен Д. Габором в 1947 году (1971 – Нобелевская премия). В
основе голографии лежат законы интерференции и дифракции.
Распределение интенсивности в интерференционной картине определяется амплитудами интерферирующих волн и разностью фаз. Поэтому, для регистрации как фазовой, так и амплитудной информации необходимо кроме волны, идущей от предмета (предметная или сигнальная волна), иметь еще одну
когерентную с ней волну (опорная волна).
Идея голографии: для регистрации и восстановления волны, дифрагированной предметом (промодулированной по  , A ), необходимо заставить ее
проинтерферировать с когерентной опорной волной с известной фазой, затем с
12
13
помощью опорной волны извлечь из общей интерференционной картины
предметную волну.
Уширенный с помощью оптического устройства пучок лазера направляется на
объект и зеркало одновременно. Отраженная от зеркала опорная волна и рассеянная объектом световая волна падают на фотопленку, где происходит регист13
14
рация возникшей сложной интерференционной картины, полученной при наложении опорной и предметной волн.
Полученная таким образом (после проявления) голограмма внешне похожа на равномерно засвеченную пластинку.
Для восстановления волнового поля предмета (получения его объемного
изображения) голограмму помещают в то место, где была расположена фото
пластинка при фотографировании, и затем освещают голограмму световым
пучком того же лазера и под тем же углом, что и при экспонировании. При этом
происходит дифракция опорной волны на голограмме и можно наблюдать
мнимое изображение предмета. Кроме мнимого изображения получается и действительное, если наблюдать справа от голограммы.
Цветную голограмму можно получить используя монохроматический
свет трех цветов: красный, зеленый, синий.
В 1962 году Денисюк, впервые получил объемные голограммы, используя
толстослойные фотоэмульсии. Объект освещается сквозь эмульсию. При этом
рассеянная объектом волна, встречаясь в объеме фотоэмульсии с падающим
опорным излучением, интерферирует, производя запись голограммы. Проявленная голограмма представляет собой трехмерную решетку с полупрозрачными отражающими слоями металлического серебра – слоями Липпмана. После
освещения голограммы прежней опорной волной, частично отраженные от слоев Липпмана когерентные световые волны, временно усиливая друг друга, дадут изображение объекта в исходном положении. Если объемную голограмму
экспорировать в красном, зеленом, синем цветах, то каждая длина волны образует свою систему полупрозрачных отражающих поверхностей и при восстановлении в белом свете волна отразится от своих поверхностей и в результате
получится цветное объемное изображение.
14