ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В КАНАЛЕ ПРИ

УДК 81.29.14
Н. К. Н и к у л и н, О. А. Ш е м а р о в а
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В КАНАЛЕ
ПРИ НАПРАВЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ПОТОКА
ПАРА МЕТАЛЛА МЕТОДОМ ПРОБНОЙ
ЧАСТИЦЫ
Для исследования течения газа в канале через поток пара металла
предложена математическая модель, сочетающая в себе два принципиально разных подхода, основанных на статистическом методе для моделирования течения газа и на газодинамических методах
сплошной среды — для металлического пара.
E-mail: nkn@bmstu.ru
Ключевые слова: вакуум, канал, металлический пар, метод, плотность
потока частиц, разреженный газ, расчет, скольжение, скорость, статистическое моделирование, течение.
Объектом исследования является течение газа в канале, где движется поток металлического пара высокой концентрации, на переходном
или даже вязкостном режиме. Относительно большая концентрация
металлического пара позволяет описать его течение ламинарными законами, в то время как для моделирования течения разреженного газа
применяется метод Монте-Карло.
Статистический подход позволяет создать относительно простую
математическую модель, с помощью которой можно довольно точно
описать процесс течения газа через поток пара металла. Достоинством
данного подхода является относительно легко реализуемая возможность введения новых факторов и оценки влияния сопутствующих
процессов; в частности, данная методика позволяет учесть поглощение молекул газа металлическим паром и влияние вектора скорости
потока пара на газ.
При описании течения металлического пара необходимо принять
во внимание, что при уменьшении давления в канале возникает скачок
скорости на поверхности стенки, т.е. скорость потока газа в отличие
от ламинарного течения, при котором скорость на поверхности стенки
считается равной нулю, имеет конечное значение, отличное от нуля.
Такое течение газа называют течением со скольжением. Физически
такую задачу можно рассматривать как предельный случай течения
Куэтта. Математически задача состоит в решении уравнения Больцмана с соответствующими граничными условиями на стенке.
В качестве расчетной схемы (рис. 1) рассмотрим течение газа в
прямом тонком цилиндрическом канале (R L), в котором движется
металлический пар. Направление движения пара задается следующим
образом: прямой поток (диффузия) — поток пара вместе с газом движется в направлении откачки; встречный поток — противодиффузия.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
41
Рис. 1. Расчетная схема
Геометрическая структура состоит из поверхностей входа, боковой и
выхода. Вся поверхность трубы разбита на тонкие кольца шириной
Δx. В качестве легкоплавкого металла рассматривается кадмий, исследуемый газ — азот, причем давление пара кадмия намного больше,
чем давление азота pN2 /pCd ≈ 10−5 .
Для построения относительно простой (легко модифицируемой и
не требующей большой вычислительной мощности) математической
модели a priori вводятся следующие допущения: распределение скоростей соответствует закону Максвелла; при взаимодействии молекул
газа и стенки коэффициент аккомодации равен единице; соударение
молекул рассматривается как упругий удар жестких сфер; влиянием
потенциальных полей можно пренебречь; распределение скорости потока пара металла в сечении представляет собой параболический профиль с поправкой на скорость скольжения; влиянием газа на движение
пара металла можно пренебречь; для учета сорбирующих свойств пара
кадмия и поверхности трубы вводятся коэффициенты K и β, задаваемые как исходные данные.
Математическая модель. При статистическом моделировании течения газа в системе исследуют большое число траекторий движения
молекул от момента старта с входного сечения системы до момента
42
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
возвращения к сечению входа или выхода либо до момента поглощения молекул поверхностью трубы или паром кадмия. Вероятность
перехода молекул через вакуумную систему (коэффициент проводимости) будет определяться как отношение
N1
P =
,
N
где N1 — число молекул, попавших в выходное сечение; N — общее
число рассматриваемых молекул.
Аналогично определяются другие молекулярные характеристики.
Процедура вычисления конкретных молекулярных характеристик методом Монте-Карло (методом пробной частицы) приведена на рис. 2
в виде структурной схемы для случая вычисления коэффициента проводимости.
Рассматривая элементарное событие и его вероятность, не составляет труда вывести выражения для определения координат старта,
траектории частицы и координат точек пересечения траектории с поверхностью [1–3]. Подробнее стоит рассмотреть взаимодействие молекул газа с паром кадмия.
Необходимо найти расстояние, которое пройдет молекула до столкновения. Средняя длина свободного пути молекулы [4] определяется
по формуле
1
,
λ=
nπσ 2
где n — число молекул в единице объема; σ — эффективное сечение
столкновения.
Пусть концентрация кадмия n0 , тогда на длине пути dx с поперечным сечением S содержится n0 πσ 2 молекул, сумма поперечных
сечений которых dS = n0 πσ 2 Sdx, следовательно, вероятность попадания молекулы азота в одну из частиц кадмия составляет
dS
dP =
= n0 πσ 2 dx.
S
Далее нужно определить число молекул, которые столкнулись на
участке от l до l+dl. Пусть число молекул газа, которые пролетели расстояние l без столкновения, равно N , а число молекул, пролетевших
расстояние l + dl, составляет N − dN . Относительное число убывших
частиц из потока нерассеянных частиц равно
dN
dl
(1)
= −n0 πσ 2 dl = − .
N
λ
После интегрирования, учитывая, что число падающих частиц при
начальной координате x = 0 равно N0 , получаем
−
N = N0 · e
l
λ
2
= N0 · e−ln0 πσ .
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
(2)
43
Рис. 2. Структурная схема определения вероятности перехода молекул через
элемент вакуумной системы методом Монте-Карло
Формулой (2) определяется число молекул, прошедших путь l без
столкновений, т.е. вероятность прохождения пути l без столкновений
составляет
l
N (l)
−
P (l) =
= e λ.
N0
44
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
Чтобы получить функцию распределения p(l) (плотность вероятности), надо определить вероятность столкновения частицы на участке
от l до l + dl:
l
− dl
l
λ
−
N
e
0
l
d(N0 e λ )
dN
λ = 1 e− λ dl;
dP (l) =
=
=
N0
N0
N0
λ
l
1 −
dP (l) = p(l)dl = e λ dl.
λ
Итак, плотность вероятности (или функция распределения вероятности) столкновения частицы
1 − rст
p(rст ) = e λ ,
λ
где
kT
λ=
2 MN2
σN2 + σCd
1+
πp
2
MCd
— средняя длина свободного пробега [1].
Расстояние rст , пролетев которое молекула газа столкнется с частицей пара, определяется из выражения
rст
p(x)dx = ξ;
0
rст
0
1 −x
e λ dx = ξ ⇒ rст = −λ ln(1 − ξ),
λ
где ξ — случайное число, равномерно распределенное на участке от 0
до 1, генерируемое ДСЧ.
Таким образом, если расстояние, пройденное молекулой газа, меньше rст , то столкновения не произойдет, если больше — молекула азота
столкнется с кадмием, пройдя расстояние rст . В последнем случае
вводится поправка на массовую скорость, после чего уточняется траектория молекулы и координаты столкновения.
Давление пара кадмия относительно высокое, порядка 1 Торр, что
соответствует переходному режиму течения. Это позволяет описать
течение потока пара металла с помощью законов ламинарного течения
жидкости. За основу взято течение Пуазейля [2].
Скорость скольжения, как отмечалось ранее, определяется по методике, основанной на рассмотрении предельного случая течения Куэтта. Считаем, что на расстоянии нескольких длин свободного пробега любые особенности функции распределения, обусловленные влияISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
45
нием стенки, полностью исчезают и справедливо обычное гидродинамическое решение.
Чтобы не усложнять задачу, стоит принять простейшую модель
линеаризованного оператора столкновений, а именно линеаризованную модель БГК [5], а также учесть, что в рассматриваемой задаче состояние газа меняется только в направлении x, гидродинамическая скорость имеет только z-компоненту, а изменениями плотности и
температуры можно пренебречь. Таким образом, необходимо решить
уравнение Больцмана:
∂ϕ(x, C)
−3/2
−C 2
3 Cx
=ν π
Cz Cz e
ϕ (x, C ) d C −ϕ (x, C) ,
∂x
где C — безразмерная собственная скорость; ϕ — потенциал межмолекулярного взаимодействия; r — радиус-вектор молекулы; ν — показатель отталкивания межмолекулярного потенциала.
Введем граничные условия на диффузное отражение без изменения температуры, означающее, что в результате столкновения со стенкой молекулы приобретают максвелловское распределение скоростей
с нулевой гидродинамической скоростью ϕ(0, С ) = 0 при Сx > 0.
Граничные условия задают лишь половину функции распределения. Чтобы завершить постановку задачи, остается потребовать, чтобы функция ϕ менялась при x → ∞ по линейному закону, т.е. чтобы
гидродинамическая скорость на больших расстояниях от стенки росла
линейно относительно расстояния: ϕ ∼ νx (x → ∞).
В результате решения данной задачи о течении со скольжением получили соотношение для безразмерной гидродинамической скорости:
∞
∞
2
e−Cx g(x, Cx )dCx = x + a+ + A(λ)e−x/λ dλ.
(3)
vz (x) =
−∞
0
Первый член уравнения (3) представляет собой как раз гидродинамическое решение и его роль важна вдали от стенки. Последний член
исчезает на расстоянии от стенки порядка нескольких длин свободного пробега, и обычно вблизи стенки он тоже мал. Таким образом,
поправка определяется вторым слагаемым.
В потоках разреженных газов эффект скольжения может стать значительным. Его, по крайней мере, можно частично учесть, заменив
обычное граничное условие газовой динамики vx (0) = 0 граничным
условием вида
dvz ,
vz (0) = a+
dx x=0
46
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
или в размерной форме
dvz vz (0) = a+ λ
,
dx x=0
где использовано соотношение между длиной свободного пробега λ и
коэффициентом вязкости η, вычисленным на основе модели БГК [5];
ρ — плотность массы. Численное значение коэффициента а+ составляет 1,0161.
В соответствии с принятыми допущениями течение потока пара в
трубе может быть описано уравнением [2]
ρ
dvM
=
Δp,
(4)
dρ
2Lη
где vM — массовая скорость (скорость потока пара кадмия); ρ — расстояние от оси трубы.
После интегрирования уравнения (4) с учетом граничного условия
(скорость пара на самой поверхности трубки равна скорости скольжения)
dvM
|ρ=R
vM (R) = a+ L
dρ
получаем зависимость
ρ
Δp 2
(R − ρ2 ) + a+ L
Δp.
vM (ρ) =
4Lη
2Lη
Максимальная скорость в сечении и скорость на оси трубы определяются как массовый расход газа через единицу поперечного сечения
Δp 2
R .
vM max =
(5)
4Lη
По закону Пуазейля расход пара в трубе определяется по формуле
πΔp 4
V =
R , следовательно, поток пара в трубе составляет
8Lη
πΔp 4
R p0 .
Q=
(6)
8Lη
Пользуясь зависимостями (5) и (6), можно переписать уравнение
распределения скоростей потока пара металла в зависимости от расстояния до оси трубы в удобной форме:
2vM max
ρ2 ,
vM (ρ) = vM max 1 − 2 + a+ Lρ
R
R2
где ρ = y 2 + z 2 — расстояние от оси трубы; R и L — радиус и длина
трубы.
Теперь можно найти массовую скорость в произвольной точке сечения. Тепловая скорость определяется из выражения для функции
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
47
распределения Максвелла модуля скорости в безразмерной форме
4
2
v(c) = √ e−c c2 dc,
π
T
vH
— безразмерная скорость молекулы; VH = 129
—
где c =
VH
MCd
наиболее вероятная скорость.
Тепловая скорость частицы кадмия vH определяется из выражений:
c
4
2
√ e−c c2 dc = f (c);
ξ=
π
0
T
.
MCd
Тепловую скорость молекулы азота можно найти аналогично.
Скорость атома кадмия складывается из тепловой (vH ) и массовой
(vM ) составляющих скорости в данной точке сечения. Теперь, когда
известны обе составляющие скорости, необходимо определить траекторию. Из треугольников скоростей определяют новые координаты θ
и ψ для случаев диффузии и противодиффузии (рис. 3):
c=f
−1
(ξ) ⇒ vH = c(ξ) · 129
v = vH + vM ;
2
2
(v )2 = vH
+ vM
− 2vH vM cos
sin θ =
tg
+θ ⇒
2
2
2
⇒ v = vH
+ vM
− 2vH vM sin θ ;
π
vH sin θ ± vM
vH sin θ ± vM
⇒ θ = arcsin
;
v
v
π
v sin θ ± v
H
M
tg
− ψ =
−ψ ⇒
vH sin θ
2
2
π
vH sin θ ± vM π
−ψ
.
⇒ ψ = − arctg
tg
2
2
vH sin θ
π
Выражения, где встречается “±” или “+”, применяются в случае
диффузии (рис. 3, а), выражения, где встречается “−”, — в случае противодиффузии (рис. 3, б). Под диффузией в данном случае понимается
течение разреженного газа и пара металла в направлении откачки,
под противодиффузией — течение газа в направлении откачки через
встречный поток металлического пара.
Теперь можно определить скорость и траекторию молекулы азота
после столкновения, воспользовавшись уравнениями сохранения импульса и энергии в проекциях на оси X и Z:
48
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
mN2 v1 sin θ1 cos ψ1 + mCd v2 sin θ2 cos ψ2 =
= mN2 v3 sin θ3 cos ψ3 + mCd v4 sin θ4 cos ψ4 ;
mN2 v1 cos θ1 + mCd v2 cos θ2 = mN2 v3 cos θ3 + mCd v4 cos θ4 ;
2
2
2
2
mCd v2x
mN2 v3x
mCd v4x
mN2 v1x
+
=
+
;
2
2
2
2
2
2
2
2
mN2 v1z
mCd v2z
mN2 v3z
mCd v4z
+
=
+
,
2
2
2
2
где vix = vi sin θi cos ψi , viz = vi cos θi ; v1 и v3 — скорости молекул
азота до и после столкновения с кадмием; v2 и v4 — скорости молекул
кадмия до и после столкновения.
Решив данную систему, получим скорость v3 и траекторию молекулы азота после столкновения. Траектория движения молекулы азота
после соударения с частицей кадмия определяется углами ψ3 и θ3 .
Частицы кадмия после соударения с молекулами азота не рассматриваются, так как азот не влияет на статистическую картину распределения пара кадмия (давление пара кадмия много выше, чем давление
газа).
Поглощающие свойства поверхности трубы учитываются c помощью коэффициента захвата β > 0, задаваемого как исходные данные.
С использованием ДСЧ генерируется случайное число μ. Если в точке
столкновения с поверхностью μ β, то молекула считается захваченной и фиксируется счетчиком Nпогл.тр , а при μ > β — отраженной.
Аналогично с помощью коэффициента K поглощения газа кадмием
учитываются и сорбирующие свойства пара кадмия.
Численный эксперимент. Для построения зависимостей плотностей потока падающих (viпад ) и поглощенных (viпогл ) молекул азота
на поверхность трубы по ее длине вся поверхность разбивается на
кольца, в каждом из которых фиксируется число падающих (Niпад ) и
поглощенных (Niпогл ) молекул:
Niпад
,
viпад =
N Fi
Niпогл
,
viпогл =
N Fi
где Fi — площадь поверхности i-го кольца.
Для расчета модели в среде Matlab 7.9.0 была написана программа,
с помощью которой проведен численный эксперимент.
Распределения плотностей потоков падающих молекул газа по относительной длине трубы, построенные для обоих случаев (диффузии
и противодиффузии) при различных значениях коэффициента прилипания трубы β, представлены на рис. 4.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
49
Рис. 3. Расчетная схема для уточнения траектории с поправкой на массовую
скорость v M в случае диффузии (а) и противодиффузии (б)
Рис. 4. Изменение плотности потока падающих частиц по длине трубы при
различных значениях коэффициента прилипания трубы β в случае диффузии
и противодиффузии
50
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
Рис. 5. Изменение плотности потока падающих частиц по длине трубы при
различных значениях коэффициента сорбции K для случая диффузии
Изменение плотности потока падающих частиц по относительной
длине трубы при разных значениях коэффициента сорбции K, характеризующего поглощающую способность металлического пара, в случае
диффузии приведено на рис. 5. Очевидно, что чем выше сорбирующие
свойства пара, тем ниже плотность потока молекул газа.
Влияние на вероятность перехода молекул направления и значения
потока пара кадмия Q показано на рис. 6. Эти данные также позволяют
оценить влияние потока кадмия на проводимость системы. В случае,
когда потоки газа и пара сонаправлены, наблюдается дополнительный откачной эффект, вероятность перехода молекул увеличивается
(рис. 6, а), в случае противодиффузии — уменьшается (рис. 6, б).
Выводы. Из анализа полученных графических зависимостей для
рассмотренной математической модели следует, что в случае сонаправленного движения газа и пара металла наблюдается увеличение числа
частиц в направлении потока диффундирующего газа, что ведет к увеличению вероятности перехода (8 % при потоке пара кадмия 1 м3 ·Па/с
и до 40 % при больших потоках). Аналогично в случае противодиффузии это ведет к уменьшению вероятности перехода (4 % при потоке
10−3 м3 ·Па/с, с увеличением потока до 1 м3 ·Па/с падает на 70 % и до
99 % при больших потоках).
После уточнения значений коэффициентов захвата поверхностью
трубы и сорбции паром данная модель может использоваться для определения параметров течения газа в канале (распределение давления по
длине канала), определения молекулярных характеристик (например,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.
51
Рис. 6. Зависимость вероятности перехода P молекул газа через трубу от
потока пара кадмия Q для сонаправленного (а) и встречного (б) движения
потоков газа и пара кадмия в случае диффузии (а) и противодиффузии (б)
коэффициента проводимости), в котором присутствуют пары легкоплавких металлов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. В а к у у м н а я техника: Справочник / К.Е. Демихов, Ю.В. Панфилов, Н.К. Никулин и др. – М.: Машиностроение, 2009. – 590 с.
2. Л о й ц я н с к и й Н. Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. – М.:
Высш. шк., 2003. – 840 с.
3. С а к с а г а н с к и й Г. Л. Молекулярные потоки в сложных вакуумных структурах. – М.: Атомиздат, 1980. – 216 с.
4. Я в о р с к и й Б. М., Д е т л а ф А. А. Справочник по физике. – М.: Наука,
1979. – 942 с.
5. Ф е р ц и г е р Д ж., К а п е р Г. Математическая теория процессов переноса
в газах. – М.: Мир, 1976.
Статья поступила в редакцию 15.06.2011
52
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011.