1. двоичное дерево. двоичное дерево поиска

Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
1. ДВОИЧНОЕ ДЕРЕВО. ДВОИЧНОЕ ДЕРЕВО
ПОИСКА
Двоичное дерево — абстрактная структура данных, являющееся программной
реализацией двоичного дерева (графа). Оно состоит из узлов (вершин) - записей вида
(data, l, r), где data — некоторые данные привязанные к узлу, l, r — ссылки на узлы,
являющиеся детьми данного узла. Узел l называется левым ребёнком (сыном), а узел r —
правым.
Пример:
Двоичное дерево поиска — это двоичное дерево, в котором данные, привязанные к
каждому узлу, представляют собой пару (ключ и значение), причём на ключах определена
операция сравнения "меньше", и для всех узлов дерева выполнено свойство, называемое
свойством дерева поиска:
ƒ
у всех узлов левого поддерева произвольного узла n значение ключей меньше,
нежели значения ключа узла n,
ƒ
у всех узлов правого поддерева произвольного узла n значение ключей не меньше,
нежели значения ключа узла n.
Основное назначение двоичных деревьев заключается в повышении эффективности
поиска.
Пример:
Aleksei Tepljakov
1
03.06.2009
Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
2. AVL-ДЕРЕВО
AVL-дерево – балансированное по высоте двоичное дерево поиска: для каждой его
вершины высота её двух поддеревьев различается не более чем на 1. Поиск, добавление и
удаление элемента занимают O(log n) времени в среднем и худшем случаях. Операции
добавления и удаления могут привести к необходимости перебалансировать дерево.
Балансным фактором вершины является высота правого поддерева минус высота левого
поддерева. Вершина с балансным фактором 1, 0 или -1 считается сбалансированной.
Любое другое значение фактора означает, что необходимо осуществить перебалансировку
дерева.
Правила ротации:
При помощи правил ротации можно сбалансировать AVL-дерево.
Пример:
Aleksei Tepljakov
2
03.06.2009
Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
3. SPLAY ДЕРЕВО
Splay дерево — самобалансирующееся двоичное дерево поиска с дополнительным
свойством, которое заключается в том, что наиболее часто используемые элементы
доступны вновь для быстрого использования. Операции выполняются за время O(log n).
Все стандартные операции сопровождаются сплееровнием (в переводе — скашиванием
или расширением — требуется специальный перевод), суть которого в том, что
определённый элемент по правилам ротации помещается на место вершины.
В конечном итоге, наиболее часто используемые элементы дерева оказываются близко к
вершине, что во много раз ускоряет их нахождение. Поскольку сплей-деревья достаточно
легко реализуются, во многих случаях их использование более приоритетно, чем
использование АВЛ-деревьев или Красно-Чёрных деревьев. Сплей-деревья нашли
применение в таких алгоритмах, как кэширование и сбор мусора (garbage collection).
4. B-ДЕРЕВО, B* ДЕРЕВО, B+ ДЕРЕВО
В-деревом порядка m называется дерево, обладающее следующими свойствами:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
каждая вершина имеет не более m потомков;
каждая вершина, кроме корня и листьев, имеет не менее m/2 потомков ;
невесячая вершина с k потомками содержит k-1 ячеек информации;
корень, если он не является листом, имеет не менее 2 потомков;
все листья расположены на одном уровне и не содержат информации.
B-деревья используются, в основном, при реализации файловых систем и баз данных.
В стандартных B-деревьях ключи и данные хранятся как во внутренних узлах, так и в
листьях (концевых узлах). Если при спуске по дереву во время вставки встречен
заполненный узел, его содержимое перераспределяется между братьями. Если братья тоже
полны, создается новый узел и половина ключей потомка пересылается в него.
Пример B-дерева:
B* дерево — деревья устроены аналогично обычным B-деревьям, единственное отличие узлы заполняются на 2/3. Это приводит к лучшему использованию места, занимаемого
деревом, и чуть лучшей производительности.
Aleksei Tepljakov
3
03.06.2009
Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
B+ дерево — все ключи такого хранятся в листьях, там же хранится и информационная
часть узла. Во внутренних узлах хранятся копии ключей — они помогают искать нужный
лист. У указателей смысл иной, чем при работе с обычными B-деревьями: левый
указатель ведет к ключам, которые меньше заданного значения, правый - ключам, которые
больше или равны.
5. RED-BLACK ДЕРЕВО
Красно-черное дерево - это бинарное дерево с следующими свойствами:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Каждый узел покрашен либо в черный, либо в красный цвет;
Листьями объявляются NIL-узлы (т.е. "виртуальные" узлы, наследники узлов,
которые обычно называют листьями; на них "указывают" NULL указатели);
Листья покрашены в черный цвет;
Если узел красный, то оба его потомка черны;
На всех ветвях дерева, ведущих от его корня к листьям, число черных узлов
одинаково.
Пример:
Наиболее важным свойством RB-деревьев является то, что самый длинный путь от корня
до одного из листьев длиннее самого короткого пути не более чем в два раза.
Aleksei Tepljakov
4
03.06.2009
Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
6. ДИГИТАЛЬНОЕ ДЕРЕВО ПОИСКА
В каждой вершине такого дерева хранится полный ключ, но переход по левой или правой
ветви происходит не путем сравнения ключа-аргумента со значением ключа, хранящегося
в вершине, а на основе значения очередного бита аргумента.
Поиск начинается от корня дерева. Если содержащийся в корневой вершине ключ не
совпадает с аргументом поиска, то анализируется самый левый бит аргумента. Если он
равен 0, происходит переход по левой ветви, если 1 - по правой.
Если не обнаруживается совпадение ключа с аргументом поиска, то анализируется
следующий бит аргумента и т.д., пока либо не будут проверены все биты аргумента, или
мы не попадём на вершину с отсутствующей левой или правой ссылкой.
Пример:
7. TRIE ДЕРЕВО
TRIE дерево —структура данных, позволяющая хранить ассоциативный массив, ключами
которого являются строки. В отличие от бинарных деревьев, в листьях дерева не хранится
ключ. Значение ключа можно получить просмотром всех родительских узлов, каждый из
которых хранит один или несколько символов алфавита. Корень дерева связан с пустой
строкой.
Таким образом, потомки узла имеют общий префикс, откуда и произошло название
данного АТД. Значения, связанные с ключем, обычно не связаны с каждым узлом, а
только с листьями и, возможно, некоторыми внутренними узлами.
Aleksei Tepljakov
5
03.06.2009
Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
Пример:
8. ТРОЙНОЕ (TERNARY) ДЕРЕВО
Ternary search дерево — это структура данных, комбинирующая в себе эффективность
по времени, присущую дигитальным деревьям с пространственной эффективностью
двоичных деревьев поиска. Полученная таким образом структура данных быстрее
хеширования для решения большого числа проблем поиска и может разрешить большее
количество проблем.
Обычно тройные деревья содержат строки символов. Пример:
Aleksei Tepljakov
6
03.06.2009
Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
9. КУЧА (HEAP)
Кучей называется структура данных, представляющая собой дерево, которая
характеризуется свойством кучи: если Б является дочерней вершиной А, то ключ при А
больше или равен ключу при Б. Отсюда вытекает, что элемент с наибольшим ключом
всегда является корнем.
Кучи используются для реализации очередей с приоритетами. Эффективность операций с
кучами имеет огромное значение в некоторых алгоритмах с использованием графов.
Типичные операции:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Удаление максимального (или минимального — в зависимости от типа кучи)
элемента;
Обновление ключа;
Вставка ключа;
Соединение двух куч.
Кучи используются, например, в сортировке кучами (heapsort).
Пример:
10. LEFTIST ДЕРЕВО
Рангом бинарного дерева T назовем длину правого пути от корня до листа и будем
обозначать как rank(T).
Назовем бинарное дерево Leftist, если для каждого его поддерева T выполняется Leftist
условие:
rank(left(T)) >= rank(right(T))
Бинарное дерево с вышеприведенными операциями является Leftist кучей, если оно
удовлетворяет свойству кучи и Leftist условию.
Aleksei Tepljakov
7
03.06.2009
Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
Пример:
11. БИНОМИАЛЬНОЕ ДЕРЕВО И
БИНОМИАЛЬНАЯ КУЧА
Биномиальными деревьями называются деревья с порядком на детях B0, B1, B2, …,
определяемые индуктивно.
Дерево В0 состоит из единственной вершины.Дерево Bk склеено из двух экземпляров
дерева Bk-1: корень одного из них объявлен самым левым ребёнком корня другого.
Лемма (свойства биномиальных деревьев). Дерево Bk:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Содержит 2k вершин;
Имеет высоту k;
Имеет Сki вершин глубины i;
Имеет корень, являющийся вершиной степени k; все остальные вершины имеют
меньшую степень; дети корня являются корнями поддеревьев Bk-1, Bk-2, …, B1,
B0 (слева направо).
Следствие. Максимальная степень вершины в биномиальном дереве с n вершинами равна
log n.
Aleksei Tepljakov
8
03.06.2009
Algoritmid ja Andmestruktuurid
Teooria — puud ja mõned operatsioonid nendega
Биномиальная куча— это набор Н биномиальных деревьев, в вершинах которых
записаны ключи и, возможно, дополнительная информация. При этом должны быть
выполнены следующие свойства биномиальной кучи:
ƒ
ƒ
Каждое дерево в Н обладает свойством кучи, т. е. ключ каждой вершины не
меньше, чем ключ её родителя;
В H нет двух биномиальных деревьев одного размера (с одинаковой степенью
корня).
Первое свойство гарантирует, что корень каждого из деревьев имеет наименьший ключ
среди его вершин.
Из второго свойства следует, что суммарное количество вершин в биномиальной куче Н
однозначно определяет размеры входящих в неё деревьев. В самом деле, общее число
вершин, равное n, есть сумма размеров отдельных деревьев, которые суть различные
степени двойки, а такое представление единственно (двоичная система счисления).
Отсюда вытекает также, что куча с n элементами состоит из не более чем [log n]+1
биномиальных деревьев.
Aleksei Tepljakov
9
03.06.2009