Лекция 50

Лекция 50
Тема:
Опыт Майкельсона-Морли. Постулаты теории относительности.
Понятие одновременности. Преобразования Лоренца. Релятивистское сложение
скоростей. Понятие интервала. Релятивистский эффект Доплера. Красное
смещение.
Рассмотрим распространения звука в воздухе. Если среда, в которой
распространяется звук, движется относительно наблюдателя (дует ветер), то согласно
классическому закону сложения скоростей, скорость звука будет увеличиваться или
уменьшаться, в зависимости от направления
ветра. Можно доказать, что время движения
в неподвижной среде (рис.1. а) меньше, чем
время, затрачиваемое на прохождения того
же участка в оба конца в подвижной среде
(рис. 1.б): t1=2L/v, t2=L/(v-u)+L/(v+u). t1<t2.
Если применить к электромагнитным волнам
тот же принцип, что и к механическим, то
должна быть среда, в которой они
распространяются. Такую среду назвали
"эфиром". Так как свет распространяется во
вселенной на большие расстояния, то эфир
должен заполнять все вселенную. Это
выделяет "эфир" в особую "абсолютную"
систему отсчета, относительно которой
движутся все объекты и свет. Если измерить скорость света в движущейся системе
отсчета и сравнить со скоростью света относительно
эфира (300 000 км/с), то можно было бы обнаружить
"эфирный ветер", то есть узнать скорость движения
инерциальной системы отсчета относительно "мирового
эфира". Опыт по обнаружению "эфирного ветра" был
осуществлен американскими учеными Майкельсоном и
Морли в 1981 г. Установка, на которой осуществлялся
эксперимент, называется "интерферометром
Майкельсона" и показана на рисунке 2. Измерительная
система крепилась на гранитной плите, которая плавала
в емкостью с ртутью, чтобы установка могла свободно и
плавно поворачиваться. Идея опыта заключалась в
следующем. Луч света от источника попадал на
полупрозрачную пластину В, которая разделяла свет на
два взаимноперпендикулярных луча (рис. 3). Эти лучи
были когерентны и , потому, после отражения от зеркал
C и D и попадания на экран можно было наблюдать
интерференционную картину. Время прохождения
лучей на участках BC и BD будет различно, так как
"эфирный ветер", обдуваемый Землю увеличивал время
движения луча, направленного параллельно скорости
Земли. Направление "эфирного ветра" было неизвестно,
но при вращении установки менялась ориентация лучей,
относительно скорости движения Земли, то есть должна
была изменяться картина интерференции. Однако этого не происходило. Точность
экспериментов была такова, что позволяла бы обнаружить скорость движения 2 м/с
(скорость Земли
30 км/с). Найти "абсолютную"
систему отсчета не удалось.
Решить противоречия смог
Альберт Эйнштейн ( в то время
рядовой сотрудник
швейцарского патентного
бюро). В 1905 году он
опубликовал специальную
теорию относительности,
которая базируется на двух
постулатах.
1. Все инерциальные системы
отсчета равноправны, то
есть все явления природы (не
только механические)
протекают одинаково в
любой системе отсчета. 2.
Скорость светам в вакууме одинакова во всех инерциальных системам отсчета и не
зависит от скорости движения источника и приемника света. Из этих постулатов
вытекают следующие следствия:
1. Относительность одновременности.
В связи с ограниченностью скоростью передачи сигналов, одновременность событий,
наблюдаемых в разных системах отсчета относительна. Два события одновременных в
одной системе не
одновременны в другой.
Рассмотрим две системы
отсчета: связанную с Землей и с
движущимся вагоном. В
момент, когда точка К' вагона
находилась напротив точки К,
точках А и В, равноудаленных
от них происходят два события,
например вспышки света.
Очевидно, что в системе
отсчета, связанной с вагоном, эти события происходят одновременно. Однако, из-за
движения вагона, свет в точку К' приходит от источника В раньше, чем от источника А.
Относительно вагона эти события не одновременны.
2. Преобразования координат (преобразования Лоренца).
Рассмотрим две системы координат: 1- связанную с Землей, 2- связанную с
движущимся вагоном (рис. 5). Как и в случае преобразований Галилея положим y'=y, z'=z.
Преобразования координат должно быть линейны – это вытекает из однородности
пространства-времени: во все моменты времени любые точки пространства равноценны.
Иначе бы одни и те же отрезки имели различную длину в разных точках пространства или
в разные моменты времени. Поэтому преобразования будем искать в виде:
x'=a(x-vt)
(1),
где а – коэффициент, который не может
зависеть от координат и времени. Для
преобразований Галилея а=1. Аналогично
x=b(x'+vt') (2).
Испустим в момент времени t=0 из общего
для данного момента времени начала
координат световой сигнал. Через некоторый
промежуток времени этот сигнал достигнет
точки Р. Так как скорость света одинакова
для обеих систем (2-й постулат), то x=ct,
x'=ct'. Возводим оба уравнения в квадрат и
вычитая из первого второе получаем:
X2-x'2=c2t2-c2t'2.
(3). Исключая из
уравнений (1) и (2) x' получим:
Если в уравнение (3) подставить x' из (1), а t' из (4), то:
Так как это уравнение должно выполняться при любых x и t, то коэффициенты при
них должны равняться 0. То есть
–с2-а2v2+a2c2=0
(6)
a2v-a2c2/v+c2a/bv=0
(7)
2
2 2 2
2 2 2
2
2
1-a +c a /v +c /v b -2c a/v b=0
Из уравнения (6) следует, что
Подставляя значение а в уравнение (7) получим, что b=a.
Подставляя значения в уравнения (1) и (2) получим преобразования Лоренца в
окончательном виде:
3. Относительность расстояний.
Пусть стержень длины l0 , расположенный вдоль оси х, покоится в системе К' .
Тогда l0=x'2-x'1. Его длина в системе К l=x2-x1. Используя преобразования Лоренца
получим, что
То есть при движении тел их размеры уменьшаются в неподвижной системе
отсчета.
4. Относительность промежутков времени.
Пусть в системе К' происходит событие длительностью Δt0=t2'-t1'. В системе К это
событие имеет длительность Δt=t2-t1 . С помощью преобразований Лоренца найдем
связь между ними:
Время, измеренное по часам системы, в которых события покоятся, называется
собственным временем. Оно меньше, чем время измеренное в системе, относительно
которой события движутся. Явления замедления времени можно обнаружить
экспериментально. Под действием космического излучения на границе атмосферы
рождаются частицы, которые называются мюоны. Их время жизни очень мало, они
распадаются через 10-6с. Двигаясь даже со скоростью света максимальное расстояние,
которое они могут пройти составляет порядка 600м. Однако их обнаруживают у
поверхности Земли, то есть они пролетают 200-300км.
С относительностью промежутков времени связан парадокс близнецов. Пусть один
из двух близнецов, живущих на Земле, отправляется в космическое путешествие со
скоростью близкой к скорости света. Согласно принципам относительности его часы
идут медленнее часов на Земле и по возращении, он будет моложе своего брата,
оставшегося на Земле. Однако, Землю то же можно считать движущейся относительно
корабля. Кто же постареет меньше? На самом деле парадокса не существует, так как
выведенная в этом разделе формула справедлива для инерциальных систем отсчета,
каковой космический корабль является не все время полета. Для определения
промежутков времени следует использовать выводы общей теории относительности,
которая так же показывает, что Δt>Δt0.
5. Релятивисткий закон сложения скоростей.
Используя преобразования Лоренца выразим интервал
( va – скорость тела в системе К – абсолютная скорость). Разделив числитель и
знаменатель последней дроби на Δt' и учитывая, что Δx'/Δt'=v' (скорость тела в системе
К' – относительная скорость), получим релятивистский закон сложения скоростей:
. Из последней формулы вытекают два следствия: 1) при скоростях
значительно меньших скорости света формула преобразуется в классический закон
сложения скоростей. 2). Относительная скорость движения тел не может превысить
скорость света. Действительно, если две частицы сближаются со скоростями равными
с, то
Интервал.
Представим две точки пространства: А(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2). В момент времени t1 в
точке A происходит одно событие, а в точке В в момент t2 другое событие. Интервалом
между двумя событиями называется величина
, где τ=t2-t1, а
.
Интервал является инвариантом, то есть его значение не
меняется при переходе из одной инерциальной системы
в другую. Если значение интервала действительное
число, то он называется времениподобным. Это значит,
что в точку В можно передать информацию о событии,
происшедшем в точке А и эта информация попадет в
точку В раньше, чем произойдет событие t2. Между
двумя событиями может существовать причинноследственная связь. В противном случае (интервал
мнимый и называется пространственноподобным) это
невозможно.
Наглядно это представляется с помощью светового
конуса (рис. 6). Световой конус можно определить как
множество всех точек, для которых интервал,
отделяющий их от данного события (вершины светового
конуса), светоподобен (то есть равен нулю). Вершина
разделяет поверхность светового конуса на две части.
Одна часть поверхности лежит в области будущего по
отношению к вершине и содержит все события, на
которые можно влиять из настоящего (вершины конуса),
другая является прошлым (синяя область). Координаты
поверхности конуса равны ct.
Релятивистский эффект доплера:
где с — скорость света, v — относительная скорость приѐмника и источника
(положительная в случае их удаления друг от друга), θ - угол между волновым вектором
(направление фронта волны на приѐмник) и вектором скорости источника в СО
приѐмника. В случае удаления источника света от наблюдателя мы будем наблюдать
уменьшение частоты колебаний (увеличение длины волны, то есть красное смещение).
Изучая спектры звезд, астрономы сделали вывод, на основании красного смещения линий
излучений в спектре, о том, что наша вселенная расширяется.