817 kb
реклама
41
Раздел 2
Произведения векторов
Раздел 2
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
§2.1. Ортогональное проектирование
Определение
2.1.1.
M
a
Прямую l, с расположенным на ней
ненулевым вектором
называть осью.
b , будем
Вектор b называется направляющим вектором оси l.
l
M*
b
Prl a
Определение
2.1.2.
e
Пусть дана точка M , не лежащая на
оси l , тогда основание перпендикуляра, опущенного из M на ось l точку M* будем называть ортогональной проекцией точки M на ось .
Рисунок 2.1.1.
Примером оси может служить ось координат - прямая, проходящая через начало координат, направляющим вектором которой служит один из базисных векторов.
Определение
2.1.3.
Ортогональной проекцией вектора a на ось l называется вектор Prl a , лежащий на оси l, начало которого есть ортогональная проекция начала век
тора a на ось l, а конец - ортогональная проекция конца вектора a 1).
) Верхний символ
будет использоваться для условного обозначения различного рода операций, например:
проектирования, поворота, отражения, дифференцирования и т.д.
1
42
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Выполним нормировку направляющего вектора b , то есть заменим его на вектор
b
e
и рассмотрим нормированный базис { e } на оси l. (Рис. 2.1.1.)
|b|
Определение
2.1.4.
Численным значением ортогональной проекции вектора a на ось l называ
ется координата вектора Prl a в базисе { e} .
Определение
2.1.5.
Углом между ненулевыми векторами a и b называется величина
наименьшего из двух углов, образуемых этими векторами при совмещении
их начал.
Численное значение ортогональной проекции вектора a на ось l обозначим как
Пр a . Из рис. 2.1.2. очевидно, что Пр l a a cos , где есть угол между a и e .
l
a
Prl a
e
Рисунок 2.1.2.
Свойства ортогональных проекций
1.1.
Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций этих векторов
Prl (a1 a 2 ) Prl a1 Prl a 2 .
Данное свойство иллюстрирует рис. 2.1.3.
a1
a2
a1 a2
l
e
Рисунок 2.1.3.
43
Раздел 2
Произведения векторов
1.2.
Если вектор умножить на вещественное число, то его проекция также
умножится на это число
Prl ( a ) Prl a .
Заметим, что свойства 1.1 и 1.2 можно объединить в следующее утверждение:
Проекция линейной комбинации векторов равна той же линейной комбинации проекций
Prl (1 a1 2 a 2 ) 1 Prl a1 2 Prl a 2 .
Справедливость свойств 1 и 2 вытекает из определения операции ортогонального
проектирования и правил действия с векторами.
Свойства численных значений ортогональных проекций
2.1. Пр l (a1 a 2 ) Пр l a1 Пр l a 2 ;
2.2. Пр l a Пр l a .
Или, объединяя 2.1 и 2.2,
Пр l (1 a1 2 a 2 ) 1 Пр l a1 2 Пр l a 2 .
Отметим, что эти равенства следуют из свойств ортогональных проекций и свойств
координат векторов.
§2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение
2.2.1.
Скалярным произведением ненулевых векторов a и b называется число,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
В случае, когда хотя бы один из сомножителей есть нулевой вектор, скалярное произведение считается равным нулю.
44
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Скалярное произведение векторов a и b обозначается как ( a , b ) . По определению:
( a , b ) | a || b | cos , где - угол между векторами-сомножителями. При этом, согласно
определению 2.1.5., 0 .
Заметим также, что, если b o , то справедливо равенство ( a , b ) b Пр a .
b
Свойства скалярного произведения
1.
( a , b ) 0 при a o и b o тогда и только тогда, когда a и b взаимно ортогональны;
2.
( a , b ) ( b , a ) (коммутативность). Следует из определения скалярного произведения и свойств косинуса);
3.
(a1 a2 , b ) (a1 , b ) (a2 , b ) (дистрибутивность).
Доказательство:
Если b o , то 3 очевидно. Пусть b o , тогда
(a1 a 2 , b ) b Пр (a1 a 2 ) b Пр a1 b Пр a 2 (a1 , b ) (a 2 , b ) .
b
b
b
Свойство доказано.
4. ( a , b ) ( a , b ) ;
5. ( a , a ) | a |2 0 a ; | a | ( a , a ) ;
(заметим также, что условия ( a , a ) 0 и a o равносильны);
6. При a o и b o cos
(a, b)
|a| |b|
.
45
Раздел 2
Произведения векторов
§2.3. Выражение скалярного произведения в координатах
Пусть задан базис {g1 , g 2 , g 3 } и два вектора a и b , координатные разложения кото
рых в этом базисе имеют вид a 1 g1 2 g 2 3 g 3 и b 1 g1 2 g 2 3 g 3 .
По свойствам 3 и 4 скалярного произведения
(a, b ) ( 1 g1 2 g 2 3 g 3 , 1 g1 2 g 2 3 g 3 )
11 ( g1 , g1 ) 1 2 ( g1 , g 2 ) 1 3 ( g1 , g 3 )
21 ( g 2 , g1 ) 2 2 ( g 2 , g 2 ) 2 3 ( g 2 , g 3 )
31 ( g 3 , g1 ) 3 2 ( g 3 , g 2 ) 3 3 ( g 3 , g 3 )
3
3
3
( j1 ( g j , g1 ) j 2 ( g j , g 2 ) j 3 ( g j , g 3 ) ) j i ( g j , g i ).
j 1
j 1 i 1
В случае ортонормированного базиса {e1 , e2 , e3 } эта формула упрощается, поскольку для попарных скалярных произведений базисных векторов справедливо равенство:
1, i j
(ei , e j ) i j
,
0, i j
где ij так называемый символ Кронекера. Откуда, для скалярного произведения векторов в
ортонормированном базисе, получаем формулу
(a, b ) 1 1 2 2 3 3 ,
из которой следуют полезные соотношения:
a 21 22 23 ,
а для a o и b o
cos
1 1 2 2 3 3
12 22 32 12 22 32
.
Отметим, что последнее равенство в сочетании с условием cos 1 приводит к неравенству Коши-Буняковского :
11 22 33 12 22 32 12 22 32
;
i ,i , i 1, 2,3 .
46
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Задача
2.3.1.
Найти расстояние между двумя точками в ортонормированной системе
координат, если известны радиус-векторы этих точек.
Решение:
Пусть задана ортонормированная система координат {O, e1 , e2 , e3 } и ради-
1
ус-векторы двух точек OM 2 2
3
1
и OM 1 2
3
в ней. Тогда, используя
решение задачи 1.7.1., из равенства
M 1 M 2 (1 1 ) e1 (2 2 ) e2 (3 31 ) e3
и свойств скалярного произведения, получаем
| M1 M 2 | (1 1 ) 2 (2 2 ) 2 (3 3 ) 2 .
§2.4. Векторное произведение векторов и его свойства
Определение
2.4.1.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов { a , b , c } называется
правой, если (после совмещения их начал) кратчайший поворот от вектора a
к вектору b виден из конца вектора c совершающимся против часовой
стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векто
ров { a , b , c } называется левой.
Определение
2.4.2.
Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b называется
вектор c такой, что
1. | c | | a | | b | sin , где - угол между векторами a и b .
2. Вектор c ортогонален вектору a и вектору b .
3. Тройка векторов { a , b , c } правая.
В случае, когда сомножители коллинеарны (в том числе, когда хотя бы один
из сомножителей есть нулевой вектор), векторное произведение считается
равным нулевому вектору.
Векторное произведение векторов a и b обозначается как [ a , b ] . Из определения
2.4.2. следует, что
47
Раздел 2
Произведения векторов
1. [ a , b ] равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .
2. Для коллинеарности ненулевых векторов a и b необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю.
Свойства векторного произведения
1. [ a , b ] [ b , a ] (антикоммутативность, следует из определения 2.4.2. и нечетности функции sin )
2. [ a , b ] [ a , b ] (следует из определения векторного произведения и того факта,
что векторы [ a , b ] и [ a , b ] ортогональны одной и той же плоскости при не
коллинеарных a и b и 0 ).
3. [a b , c ] [a , c ] [b , c ] (дистрибутивность).
Для доказательства дистрибутивности векторного произведения воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями:
Пусть даны два вектора a и b , начала которых находятся в общей
Лемма
2.4.1.
точке на оси l. Тогда результат поворота суммы векторов a и b на
угол вокруг оси l равен сумме результатов поворота каждого из этих
векторов вокруг оси l на угол .
Утверждение леммы 2.4.1. будем обозначать как
l
П о в ,l ( a b ) П о в ,l a П о в ,l b .
Его справедливость ясна из рис. 2.4.1.
Рисунок 2.4.1.
Лемма
2.4.2.
Если
e 1 , то вектор [ p, e ] равен результату поворота проекции
вектора p на плоскость, перпендикулярную вектору e , вокруг векто
ра e на угол
2
по часовой стрелке.
48
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Доказательство:
Проведем две плоскости, одна из которых про-
[ p, e ]
ходит через точку O - общее начало векторов p
2
O
и e , перпендикулярно e , а вторая проходит че
Ортогональная проекция вектора p на плос-
e
Pr e p
рез векторы p и e .
кость, перпендикулярную e , будет лежать на
линии пересечения построенных плоскостей, и
тогда из определения векторного произведения
следует
[ p, e ] p e sin p cos ( ) ,
2
p
Рисунок 2.4.2.
поскольку e 1 . (Рис. 2.4.2.)
Следовательно, в рассматриваемом случае
[ p , e ] Пов
2
где Pr
,e
Pr
e
p,
e
p означает ортогональное проектиро
вание вектора p на плоскость, перпендикуляр
Лемма доказана.
ную вектору e .
Докажем теперь дистрибутивность векторного произведения.
Доказательство свойства 3:
Если c o , то 3 очевидно.
Пусть c o , тогда в силу утверждений лемм 2.4.1., 2.4.2. и свойства 1.1 из §2.1.
c
[a b, c ] | c | [a b,
|c|
2
| c | (Пов (Pr
2
| c | (Пов Pr
,c
| c | ( [ a,
2
c
|c |
Свойство доказано.
c
,c
] | c |Пов Pr ( a b )
c
] [b ,
c
a Pr
c
,c
b ))
a Пов Pr
c
|c|
2
,c
c
b)
] ) [ a , c ] [ b , c ].
49
Раздел 2
Произведения векторов
§2.5. Выражение векторного произведения в координатах
Пусть задан базис {g1 , g 2 , g 3 } такой, что векторы g1 , g 2 , g 3 образуют правую трой
ку, и два вектора a и b , координатные разложения которых в этом базисе имеют вид
a 1 g1 2 g 2 3 g 3 и b 1 g1 2 g 2 3 g 3 .
По свойствам 2 и 3 векторного произведения
[a, b ] [ 1 g1 2 g 2 3 g 3 , 1 g1 2 g 2 3 g 3 ]
11[ g1 , g1 ] 1 2 [ g1 , g 2 ] 1 3 [ g1 , g 3 ]
21[ g 2 , g1 ] 2 2 [ g 2 , g 2 ] 2 3 [ g 2 , g 3 ]
31[ g 3 , g1 ] 3 2 [ g 3 , g 2 ] 3 3 [ g 3 , g 3 ]
3
3
3
( j1[ g j , g1 ] j 2 [ g j , g 2 ] j 3 [ g j , g 3 ] ) j i [ g j , g i ].
j 1
j 1 i 1
Обозначим через f1 , f 2 и f 3 попарные векторные произведения базисных векторов
[ g i , g j ] следующим образом: f 1 [ g 2 , g 3 ] ;
f 2 [ g 3 , g1 ] ;
f 3 [ g1 , g 2 ] .
Подставив эти обозначения в выражение для [a, b ] и использовав формулу связывающую
определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков (см. теорему 1.1.1.), получим
[a, b ] ( 23 3 2 ) f1 (13 31 ) f 2 (1 2 21 ) f 3
f1
f2
f
3
2 3
1 3
1 2
det
f det
f det
f det 1 2 3 .
2 3 1
1 3 2
1 2 3
1 2 3
Случай ортонормированного базиса
Пусть исходный базис {e1 , e2 , e3 } ортонормированный, образующий правую тройку
векторов, тогда по определению 2.4.2., f 1 e1 ,
f 2 e2 ,
f 3 e3 .
50
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Тогда для векторного произведения векторов в ортонормированном базисе получаем
[a, b ] ( 23 3 2 ) e1 (13 31 ) e2 (1 2 21 ) e3
det
e1
e2
e3
2 3
3
2
e1 det 1
e2 det 1
e det 1 2 3 .
2 3
1 3
1 2 3
1 2 3
Из вышеприведенных формул вытекают полезные следствия:
Следствие
2.5.1.
det
Следствие
2.5.2.
Для того чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы в любой декартовой системе координат
2 3
3
2
det 1
det 1
0 , или же, 1 2 3 .
1 2 3
2 3
1 3
1 2
В ортонормированной системе координат площадь параллелограмма,
построенного на векторах a и b , вычисляется по формуле
S det 2
2 3
3
2
,
det 2 1
det 2 1
2 3
1 3
1 2
причем для плоского случая S det
1 2
.
1 2
§2.6. Смешанное произведение
Определение
2.6.1.
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов a , b и
c , обозначаемым как ( a , b , c ), называется число ( [ a , b ], c ).
51
Раздел 2
Произведения векторов
Абсолютная величина смешанного произведения векторов ( a , b , c )
Теорема
2.6.1.
равна объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c .
При этом, если тройка векторов a , b , c некомпланарная и правая, то
их смешанное произведение положительно, а если тройка некомпланарная и левая, то - отрицательно.
Доказательство:
Если a коллинеарен b , то утверждение теоремы очевидно. Пусть a неколлине
арен b , тогда, по определению скалярного произведения,
(a , b , c ) | [a , b ] | П р c ,
[ a ,b ]
где S = | [ a , b ] | есть площадь параллелограмма, по
строенного
c
на
векторах
a
и
b,
а
| П р c | | c ||cos | - высота параллелепипеда с
[ a ,b ]
основанием S, откуда (см. рис. 2.6.1.)
V (a , b , c ) .
b
Наконец,
( a , b , c ) | [ a , b ] | | c | cos ,
a
что и позволяет сделать заключение о знаке смешанного произведения.
Рисунок 2.6.1.
Теорема доказана.
Свойства смешанного произведения
Для смешанного произведения справедливы тождества:
1. ( a , b , c ) ( c , a , b ) ( b , c , a ) ( b , a , c ) ( c , b , a ) ( a , c , b ) ;
2. ( a , b , c ) ( a , b , c ) ;
3. ( a1 a 2 , b , c ) ( a1 , b , c ) ( a 2 , b , c ) ,
справедливость которых следует из определения смешанного произведения и теоремы 2.6.1.
52
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Отметим, наконец, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей имеется хотя бы одна пара коллинеарных векторов.
§2.7. Выражение смешанного произведения в координатах
Пусть задан базис {g1 , g 2 , g 3 } и три вектора a , b и c , координатные разложения
которых в этом базисе имеют вид
a 1 g 1 2 g 2 3 g 3 ,
b 1 g1 2 g 2 3 g 3
и
c 1 g1 2 g 2 3 g 3 .
По свойствам векторного произведения имеем
[a, b ] det
2 3
3
2
f1 det 1
f 2 det 1
f ,
2 3
1 3
1 2 3
где векторы f 1 , f 2 , f 3 были определены в §2.5.
Из этого определения вытекает, что
( g k , f j ) ( g1 , g 2 , g3 ), k j , поэтому для
0, k j
( a , b , c ) , получим
(
(a, b, c ) 1 det
2 3
3
2
2 det 1
3 det 1
2 3
1 3
1 2
1
2
3
)(g , g , g )
1 2 3
det 1 2 3 ( g1 , g 2 , g 3 ),
1 2 3
поскольку выражение, стоящее в больших круглых скобках, является разложением определителя 3-го порядка по последней строке. (См. теорему 1.1.1.)
Замечания:
1.
Из последней формулы и теоремы 2.6.1. следует справедливость теоремы 1.6.3.
2. В случае ортонормированного правого базиса ( e1 , e2 , e3 ) 1 , поэтому в
1 2 3
таком базисе (a, b, c ) det 1 2 3 .
1 2 3
53
Раздел 2
Произведения векторов
3. Для введенных в §2.5. векторов f 1 , f 2 , f 3 справедлива
Тройка векторов { f 1 , f 2 , f 3 } образует базис (называемый взаимным ба-
Теорема
2.7.1.
зису {g1 , g2 , g3 } ).
Доказательство:
Для доказательства достаточно показать, что векторы f 1 , f 2 , f 3 линейно независимы.
Предположим противное. Пусть существуют, не равные одновременно нулю, числа
1 , 2 , 3 такие, что 1 f1 2 f 2 3 f 3 o . Умножив последовательно обе части этого
равенства скалярно на g j , j [1,3] , получим
1 ( f1 , g j ) 2 ( f 2 , g j ) 3 ( f 3 , g j ) 0 ,
j [1,3] .
(2.7.1.)
, i j
Для девяти выражений ( f i , g j ) , i [1,3], j [1,3] имеем ( fi , g j )
, где 0 .
0, i j
Действительно, выражения ( f i , g i ) , i [1,3] суть смешанные произведения некомпла
нарных векторов g1 , g2 , g3 и потому отличны от нуля. Остальные шесть выражений
( f i , g j ) , i j будут смешанными произведениями векторов, среди которых имеется
пара равных, и, следовательно, равными нулю.
Подставляя значения выражений в систему равенств (2.7.1.), получим, что все i 0 ,
i [1,3] , что противоречит сделанному предположению о линейной зависимости век
торов f 1 , f 2 , f 3 .
Теорема доказана.
§2.8. Двойное векторное произведение
Определение
2.8.1.
Двойным векторным произведением векторов a , b и c называется вектор
[ [ a ,[ b , c ]] .
54
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Для ряда задач оказывается полезным применение формулы
[ a ,[ b , c ] ] b ( a , c ) c ( a , b ) ,
доказательство которой приводится в приложении 4 (см. §Пр.4.5.).
§2.9. Замечания об инвариантности произведений векторов
Операции векторных произведений были введены независимо от координатного
представления сомножителей и, значит, независимо и от используемого базиса. С другой
стороны, естественным представляется вопрос о возможности (и, соответственно, целесообразности) введения операций произведения векторов непосредственно в координатной форме.
В общем случае, каждой упорядоченной паре векторов a и b , имеющих в базисе
1
1
{g1 , g 2 , g 3 } координатные представления 2 и 2 , естественно поставить в соответствие
3
3
девятку попарных произведений ki ; k , i 1,2,3 , которую можно записать в виде матрицы
11 1 2 13
(2.9.1.)
21 2 2 23
31 3 2 33
На первый взгляд, зависимость компонент этой матрицы от выбора базиса делает
координатный способ введения произведений векторов малоцелесообразным, ибо, в общем
случае, придется давать их определение для каждого из возможных базисов. Однако было
замечено, что существуют некоторые линейные комбинации чисел k i ; k , i 1,2,3 , инвариантные (то есть не изменяющиеся) при замене базиса, которые можно принять за определение произведений векторов в координатном представлении.
Покажем, в качестве примера, что сумма элементов матрицы 2.9.1., стоящих на ее
главной диагонали, не меняется при переходе от одного ортонормированного базиса к другому.
Пусть даны два ортонормированных базиса {e1 , e2 , e3 } и {e1 , e2 , e3 } с матрицей пе-
11 12 13
рехода S 21 22 23 .
31 32 33
55
Раздел 2
Произведения векторов
Согласно §1.8., в этом случае для базисных векторов имеют место соотношения
3
et pt e p ; t 1,2,3 , а для координат соответственно
p 1
3
3
i 1
t 1
s si i ; s 1,2,3 ; s stt ; s 1,2,3 .
Пусть it - символ Кронекера (см. §2.3.). Из условия ортонормированности базисов
{e1 , e2 , e3 } и {e1 , e2 , e3 } имеем
3
3
3
3
3
3
3
(ei, et) it ( si es , pt e p ) si pt (es , e p ) si pt sp si st .
s 1
p 1
s 1 p 1
s 1 p 1
Отметим, что полученные здесь соотношения
3
s 1
s 1
st it ; i, t 1, 2,3 являются
si
свойством матрицы перехода S от одного ортонормированного базиса к другому.
Найдем теперь выражение для линейной комбинации 11 22 33 в базисе
{e1 , e2 , e3 } , используя зависимости между компонентами матрицы перехода и определение
символа Кронекера
3
3
3
3
s 1
s 1
i 1
t 1
3
3
3
3
3
3
ss ( sii)( stt) it si st it it tt .
i 1 t 1
s 1
i 1 t 1
t 1
Полученное равенство доказывает инвариантность суммы 11 22 33 при замене одного ортонормированного базиса другим, которая может быть принята в этих базисах за определение скалярного произведения векторов.