ЕН.Ф.2 Геометрия и алгебра 1 часть
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.2. ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ (специальностям)
010200 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
(код и наименование специальности/тей)
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _________О.М. Мартынов
Структура учебно-методического комплекса дисциплины «Геометрия
и алгебра»
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Авторы программы: доктор физико-математических наук, профессор,
Маренич Е.Е., кандидат физико-математических наук, доцент Маренич
А.С., кандидат физико-математических наук, доцент Верещагин Б.М.
1.2 Рецензенты: кандидат ф.-м. н., доцент Мостовской А.П., кафедра АГ и
ПМ.
1.3. Пояснительная записка:
Цель: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов. Развивать профессиональную компетентность,
определяемую как совокупность теоретических и практических навыков,
способность осуществлять профессиональные функции. В ходе изучения
курса осуществляется математическая подготовка студентов на уровне, необходимом и достаточном для:
усвоения материала специальных дисциплин;
развития точного научного мышления, повышения математической
культуры;
практической работы по специальности;
формирования умения исследовать математические модели, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные.
Задачами преподавания курса являются:
формирование математической культуры и развитие логического
мышления;
формирование практических навыков решения задач по алгебре и
геометрии, включая решение олимпиадных задач.
решение прикладных задач математическими методами;
формирование базы математического образования, позволяющей в
дальнейшем продолжить математическое образование (самообразование);
формирование умения ставить математические задачи, формулировать задания по реализации их решения.
Данная программа составлена в соответствии с Примерным учебным
планом.. Целесообразное соотношение между теоретической и
практической составляющими содержания образования – 1:1.
место курса в общей системе подготовки специалиста
2
Курс «Геометрия и алгебра» входит в раздел «Общие математические и
естественнонаучные дисциплины». В профессиональной подготовке математика данная дисциплина занимает особое положение: даёт научное обоснование основных разделов математики, ее приложений и большинства факультативных курсов по математике. Для усвоения курса необходимым
условием является прочное усвоение курса элементарной математики,
предусмотренного школьной программой.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами
теории чисел, числовых систем, математической логики, дискретной математики, элементарной математики, информационных технологий в математике,
геометрии, математического анализа, физики, информатики. Успешное усвоение алгебры - залог глубокого изучения этих курсов.
требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате изучения курса студенты
должны знать:
понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины, доказательства
теорем.
должны уметь:
решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке.
При подготовке программы использовались учебники Кострикина А.И., Куроша А.Г.
Программа составлена на основе государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 010200
Прикладная математика и информатика, утверждённого 23.03.2000 г.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО.
ЕНФ.01.2 Геометрия и алгебра:
аналитическая геометрия; теория матриц; системы линейных алгебраических уравнений; линейные пространства и операторы; элементы общей алгебры
3
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы:
№ Шифр и Кур
СеВиды учебной работы в часах
п/ наимес
местр
п нование
специТрудо- Все- ЛК ПР Л Сам.
альноемго
Б рабости
кость аудит
та
.
1
2
3
010501
Прикладная
математика и
информатика
010501
Прикладная
математика и
информатика
010501
Прикладная
математика и
информатика
ВСЕГО:
1
1
140
72
36
36
-
68
1
2
141
80
40
40
-
61
2
3
76
76
38
38
-
357
228
114
114
4
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
экзамен
Экзамен, зачет
экзамен
129
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:
№
Наименование раздела, темы
Количество часов
Все ЛК ПР/ Л Сам.
п/
го
СМ Б раб.
п
ауд
.
1 семестр (алгебра)
140 36
36
68
1 Алгебра и алгебраические системы
44 12
12
20
2 Системы линейных уравнений
48 14
14
20
3 Матрицы и определители
48 10
10
28
2 семестр (алгебра)
141 40
40
61
4 Векторные пространства
48 14
14
20
5 Линейные операторы
52 16
16
20
6 Элементы теории групп и колец
41 10
10
21
3 семестр (аналитическая геометрия)
76 38
38
7 Гл.I. Элементы векторной алгебры в евкли- 10
4
5
довом пространстве
8 Гл. II. Метод координат в пространстве и на
10
4
5
плоскости
9 Гл. III Плоскость и прямая в пространстве.
10
5
4
Прямая на плоскости.
1 Гл. IV Кривые второго порядка
10
5
4
0
1 Гл. V Преобразования плоскости
6
4
4
1
1 Гл. VI. Поверхности второго порядка
8
4
4
2
1 Гл. VII. Преобразования пространства
12
6
6
3
1 Гл. VIII. Аффинное и евклидово n-мерные
10
6
6
4 пространства
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Глава 1. Алгебры и алгебраические системы.
§1. Алгебры и алгебраические системы.
Бинарные и n-местные операции. Свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Основное свойство ассоциативных операций. Понятие алгебры. Понятие группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы групп. Подгруппы. Симметрическая группа степени n. Чётные и нечётные подстановки.
5
Лемма о нечётности транспозиций. Знак подстановки, свойства знаков подстановок. Циклы. Разложение подстановок в произведение циклов. Понятие
кольца. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Гомоморфизмы и
изоморфизмы колец. Подкольца. Понятие поля. Примеры полей. Простейшие
свойства поля. Гомоморфизмы и изоморфизмы полей. Подполя.
§2. Поле комплексных чисел.
Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Операция сопряжения комплексных чисел и её свойства.
Модуль комплексного числа. Свойства модуля: модуль произведения; неравенство
треугольника. Геометрические интерпретации комплексных чисел: интерпретация точками плоскости; интерпретация векторами плоскости. Аргумент
комплексного числа. Тригонометрическая и показательные формы записи
комплексного числа, формула Эйлера. Умножение и возведение в степень
(формула Муавра) комплексных чисел, записанных в тригонометрической и
показательной форме. Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения.
Формулы для вычисления корней. Группа комплексных корней степени n из
1. Теорема о мультисекции многочленов. Числовые поля. Упорядоченные
поля. Неупорядоченность поля комплексных чисел.
Глава 2. Системы линейных уравнений.
§1. Арифметическое векторное пространство.
n -мерные вектора над полем, операции над векторами и их свойства. Арифметическое n - мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и независимости. Линейная оболочка системы векторов. Свойства линейных оболочек.
Теорема о линейной зависимости системы из (k 1) -го вектора, принадлежащих линейной оболочке k векторов Эквивалентные системы векторов. Теорема о том, что эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат одинаковое число векторов. Элементарные преобразования системы
векторов. Эквивалентность систем векторов, одна из которых получена цепочкой элементарных преобразований из другой системы векторов. Базис и
ранг конечной системы векторов. Теорема о том, что два базиса содержат
одинаковое число векторов. Ранг конечной системы векторов. Свойства рангов.
§2. Системы линейных уравнений.
Системы линейных уравнений однородные и неоднородные. Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера - Капелли.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой. Теоремы о следствии
систем линейных уравнений.
§3. Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений.
6
Ступенчатые матрицы. Решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). Однородные системы
линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.
Глава 3. Матрицы и определители.
§1. Матрицы и определители.
Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры из
поля. Свойства операций над матрицами. Техника матричного умножения.
Неравенства для ранга произведения матриц. Транспонирование произведения матриц.
§2. Обратимые матрицы.
Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица, группа обратимых матриц. Элементарные матрицы и их свойства. Вычисление обратной
матрицы с помощью элементарных матриц. Условия обратимости матриц.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.
§3. Определители.
Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя
по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Необходимые и
достаточные условия равенства нулю определителя. Правило Крамера. Теоремы о ранге матрицы.
Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых
векторных пространств. Норма вектора. Свойства нормы. Неравенство Коши
- Буняковского, неравенство треугольника. Примеры неравенств в конкретных пространствах. Ортонормированный базис евклидова пространства.
Свойства ортонормированного базиса. Изоморфизмы евклидовых пространств.
(2 семестр)
Глава 4. Векторные пространства.
§1. Векторные пространства.
Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
§2. Подпространства векторного пространства.
Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств. Линейная оболочка множества векторов. Эквивалентные системы векторов. Сумма подпространств. Свойства
суммы подпространств. Прямая сумма подпространств. Условие того, что
сумма двух подпространств прямая. Условие того, сумма нескольких подпространств прямая. Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
§3. Базис и размерность векторного пространства.
7
Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис векторного
пространства. Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных
пространств, теорема о том, что все базисы состоят из одинакового числа
векторов. Подпространства конечномерных пространств. Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса пространства.
Представление пространства в виде прямой суммы двух подпространств.
Размерность векторного пространства. Свойства размерности. Размерность
прямой суммы. Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств. Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно данного базиса. Изоморфизм векторных пространств. Свойства
изоморфизма. Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного
арифметического векторного пространства. Тензоры. Операции над тензорами.
§4. Векторное пространство со скалярным умножением.
Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств со
скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные пространства с невырожденным скалярным умножением. Ортогональная система векторов. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации ГраммаШмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с
невырожденным скалярным умножением. Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение подпространства. Теорема о представлении пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
§5. Евклидовы векторные пространства.
Глава 5. Линейные операторы.
§1. Линейные отображения.
Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений.
Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе. Ядро
и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство.
Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора. Операции над линейными отображениями. Пространство линейных отображений.
§2. Представление линейных операторов матрицами.
Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех линейных операторов на множество всех квадратных матриц. Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) . Матрица суммы линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на скаляр. Равенство
ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора. Связь между
координатными столбцами вектора относительно различных базисов. Связь
между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие матриц и свойства подобия.
§3. Линейные алгебры.
8
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных
алгебр. Алгебры линейных операторов. Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре. Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора. Полная линейная группа. Изоморфизм
полной линейной группы группе обратимых матриц.
§4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям. Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы оператор имел простой спектр. Условия, при
которых матрица подобна диагональной матрице.
Глава 6. Элементы теории групп и колец.
§1. Группы, подгруппы, смежные классы, теорема Лагранжа.
Группы, примеры групп. Подгруппы, примеры подгрупп, пересечение подгрупп. Порядок группы, порядок подгруппы. Отношение сравнимости по
подгруппе. Свойства отношения сравнимости. Правые смежные классы. Левые смежные классы. Свойства смежных классов. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
§2. Циклические группы.
Порядок элемента группы. Свойства порядка элемента группы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Циклические группы. Изоморфизм циклической группы аддитивной группе
целых чисел или группе корней степени n из 1. Порядок элемента конечной
группы делит порядок группы. Любая конечная группа простого порядка
циклична.
Каждая подгруппа циклической группы циклична.
§3. Нормальные делители и фактор - группы. Теорема о гомоморфизмах.
Нормальные делители группы. Свойства нормальных делителей. Фактор группы. Ядро гомоморфизма. Ядро гомоморфизма - нормальный делитель,
свойства ядра. Теорема о гомоморфизмах групп.
§4. Кольца. Идеалы кольца. Фактор - кольцо.
Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового
числа, свойства нормы. Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами. Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости по идеалу. Свойства сравнений. Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец. Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец. Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является либо 0, либо простое число.
Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее под9
кольцо кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть поле.
3 семестр.
Элементы векторной алгебры в евклидовом пространстве.
Одинаково направленные лучи на прямой, в плоскости и в пространстве. Эквивалентность одинаковой направленности лучей. Направление на прямой, в
плоскости и в пространстве.
Направленные отрезки. Равные (эквиполлентные) направленные отрезки. Сумма направленных отрезков. Произведение направленного отрезка и
действительного числа.
Эквивалентность равенства направленных отрезков. Определение вектора. Сложение и вычитание векторов и его свойства. Умножение вектора на
число и его свойства.
Линейная зависимость векторов. Свойства линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. Базис системы векторов. Базисы множества
векторов прямой, плоскости, пространства. Координаты вектора. Координаты суммы, разности двух векторов; произведения вектора на число. Признак
коллинеарности двух векторов.
Ортонормированный базис множества векторов пространства. Вычисление модуля вектора через его координаты в ортонормированном базисе.
Скалярное произведение двух векторов пространства, его свойства. Скалярное произведение двух векторов плоскости.
Матрица перехода от одного базиса векторов плоскости к другому.
Свойство определителей матриц перехода от одного базиса векторов плоскости к другому. Одинаковая ориентированность двух базисов плоскости. Эквивалентность одинаковой ориентированности двух базисов плоскости. Вращение плоскости. Теорема о количестве вращений плоскости. Ориентация
плоскости. Ориентация пространства.
Векторное произведение двух векторов, его свойства.
Смешанное произведение трех векторов, его свойства.
Метод координат в пространстве и на плоскости
Система координат пространства. Аффинная система координат пространства. Нахождение координат вектора, через координаты его начала и
конца. Деление отрезка в данном отношении. Декартова система координат.
Расстояние между двумя точками. Формулы перехода от одной аффинной
системы координат к другой.
Система координат плоскости. Аффинная система координат плоскости.
Нахождение координат вектора, через координаты его начала и конца. Деление отрезка в данном отношении. Декартова система координат. Расстояние
между двумя точками. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.
Примеры других систем координат на плоскости и в пространстве. Метод координат решения задач.
Плоскость и прямая в пространстве. Прямая на плоскости.
10
Уравнения плоскости. Признак принадлежности вектора плоскости.
Расположение плоскости относительно осей координат, координатных плоскостей и начала координат. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
Полупространство. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Пучок плоскостей. Связка плоскостей.
Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых в
пространстве. Угол между прямыми. Расстояние между скрещивающимися
прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых.
Уравнения прямой в плоскости. Признак принадлежности вектора прямой. Расположение прямой относительно осей координат и начала координат. Взаимное расположение двух прямых. Полуплоскость. Расстояние от
точки до прямой. Угол между прямыми. Пучок прямых.
Кривые второго порядка
Алгебраические кривые. Порядок алгебраической кривой. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и классификация кривых второго порядка.
Преобразования плоскости
Движение плоскости. Группа движений. Инварианты группы движений.
Теорема единственности. Движения первого и второго родов. Движение в
координатах. Классификация движений по числу неподвижных точек. Подгруппы группы движений. Равномерно разрывные группы движений. Локально-евклидовы пространства.
Преобразования подобия плоскости. Группа преобразований подобия.
Инварианты группы преобразований подобия. Теорема единственности. Преобразования подобия первого и второго родов. Преобразование подобия в
координатах. Гомотетия и ее свойства.
Аффинные преобразования плоскости. Группа аффинных преобразований плоскости, ее инварианты. Аффинные преобразования первого и второго
родов. Аффинные преобразования в координатах. Классификация аффинных
преобразований по числу неподвижных точек. Родственные преобразования
и их свойства. Подгруппы группы аффинных преобразований.
Поверхности второго порядка
Алгебраические поверхности. Порядок алгебраической поверхности.
Поверхности вращения. Метод сечения исследования поверхностей. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндрические и конические поверхности. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Конические сечения.
Преобразования пространства
Аффинные преобразования пространства. Группа аффинных преобразований пространства, ее инварианты. Аффинные преобразования первого и
второго родов. Аффинные преобразования в координатах.
11
Движение пространства. Группа движений. Инварианты группы движений. Движения первого и второго родов. Движение в координатах.
Преобразования подобия пространства. Группа преобразований подобия. Инварианты группы преобразований подобия.
Аффинное и евклидово n-мерные пространства
Система аксиом Вейля n-мерного аффинного пространства. Существование аффинного пространства любой размерности. Сравнимость точек по
подпространству пространства переносов. k - плоскость. Свойства k - плоскости как класса эквивалентности. Принадлежность k - плоскостей. Пересечение k - плоскостей. Линейная оболочка k - плоскостей. Точки общего положения. Аффинная система координат n-мерного аффинного пространства,
простейшие задачи. Уравнения k - плоскости. Аффинное отображение k плоскостей, его свойства. Группа аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства, ее инварианты. Аффинные преобразования первого и
второго родов. Аффинные преобразования в координатах.
Евклидово n-мерное пространство. Связь аксиом школьного курса геометрии и системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
Наименование раздела
дисциплины.
Тема.
Форма самостоя- Кол- Форма
тельной работы
во контроля
чавыполсов
нения
самостоятельной
работы
№ 1. Алгебры и алгебраические си- подготовка к
68 Сдача
стемы.
коллоквиумам –
колло№ 2. Системы линейных уравнений. 7 коллоквиумов
квиумов
Матрицы и определители.
длительные до61 проверка
№ 3. Векторные пространства.
машние задания
и защита
№ 4. Линейные операторы.
– 3 (по одному в
длитель№ 5. Элементы теории групп.
каждом семестных до№ 6. Элементы векторной алгебры в ре)
машних
евклидовом пространстве. Метод
заданий
координат в пространстве и на плос- контрольные ра0
проверка
кости. Плоскость и прямая в проботы – по 2 в
и защита
странстве. Прямая на плоскости.
каждом семестре,
конКривые второго порядка. Преобравсего – 6.
трольных
зования плоскости.
работ
12
№ 7. Поверхности второго порядка.
Преобразования пространства. Аффинное и евклидово n-мерные пространства.
Гл.I. Элементы векторной алгебры в
евклидовом пространстве
Гл. II. Метод координат в пространстве и на плоскости
Гл. III Плоскость и прямая в пространстве. Прямая на плоскости.
Гл. IV Кривые второго порядка
Гл. V Преобразования плоскости
Гл. VI. Поверхности второго порядка
Гл. VII. Преобразования пространства
Гл. VIII. Аффинное и евклидово nмерные пространства
вопросы для самостоятельного
изучения в каждом семестре
дополнительные
вопросы
на экзамене
1.7 Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
Часы, предусмотренные учебным планом на изучение курса, поделены
приблизительно пополам на лекцию и практику. В каждом семестре предусмотрено проведение двух контрольных работ. По каждой главе проводится
коллоквиум.
В связи с различиями в уровне подготовки студентов разных годов обучения некоторые разделы курса могут выноситься на самостоятельную работу студентов. По тем разделам курса, которые выносятся на самостоятельную
работу, проводятся длительные домашние контрольные работы.
Практические занятия.
1 семестр. 36 часов
Глава 1. Алгебры и алгебраические системы.
§1. Алгебры и алгебраические системы.
1) Бинарные и n-местные операции. Свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Основное свойство ассоциативных операций. Понятие алгебры. Понятие группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы групп. Подгруппы. Симметрическая группа степени n. Чётные и нечётные подстановки.
Лемма о нечётности транспозиций. Знак подстановки, свойства знаков подстановок.
2) Циклы. Разложение подстановок в произведение циклов. Понятие кольца.
Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Понятие поля. Примеры полей. Простейшие свойства
поля. Гомоморфизмы и изоморфизмы полей. Подполя.
Литература
13
§2. Поле комплексных чисел.
1) Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Операция сопряжения комплексных чисел и её свойства.
Модуль комплексного числа. Свойства модуля: модуль произведения; неравенство
треугольника.
2) Геометрические интерпретации комплексных чисел: интерпретация точками плоскости; интерпретация векторами плоскости. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного
числа, формула Эйлера.
3) Умножение и возведение в степень (формула Муавра) комплексных чисел, записанных в тригонометрической и показательной форме. Корни из
комплексных чисел и двучленные уравнения. Формулы для вычисления корней. Группа комплексных корней степени n из 1. Теорема о мультисекции
многочленов. Числовые поля. Упорядоченные поля. Неупорядоченность поля
комплексных чисел.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Глава 2. Системы линейных уравнений.
§1. Арифметическое векторное пространство.
1) n -мерные вектора над полем, операции над векторами и их свойства.
Арифметическое n - мерное векторное пространство. Линейная зависимость
и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и независимости. Линейная оболочка системы векторов. Свойства линейных оболочек.
2) Теорема о линейной зависимости системы из (k 1) -го вектора, принадлежащих линейной оболочке k векторов Эквивалентные системы векторов.
Теорема о том, что эквивалентные линейно независимые системы векторов
содержат одинаковое число векторов. Элементарные преобразования системы векторов. Эквивалентность систем векторов, одна из которых получена
цепочкой элементарных преобразований из другой системы векторов.
14
3) Базис и ранг конечной системы векторов. Теорема о том, что два базиса
содержат одинаковое число векторов. Ранг конечной системы векторов.
Свойства рангов.
§2. Системы линейных уравнений.
1) Системы линейных уравнений однородные и неоднородные. Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
2) Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера - Капелли.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой. Теоремы о следствии
систем линейных уравнений.
§3. Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений.
1) Ступенчатые матрицы. Решения систем линейных уравнений методом
последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
2) Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система
решений однородные системы линейных уравнений.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Глава 3. Матрицы и определители.
§1. Матрицы и определители.
Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры
из поля. Свойства операций над матрицами. Техника матричного умножения.
Неравенства для ранга произведения матриц. Транспонирование произведения матриц.
§2. Обратимые матрицы..
15
1) Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица, группа обратимых матриц. Элементарные матрицы и их свойства.
2) Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных матриц. Условия обратимости матриц. Запись и решение системы n линейных уравнений с
n неизвестными в матричной форме.
§3. Определители.
1) Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка.
2) Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по
строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя. Правило Крамера. Теоремы о ранге матрицы.
3) Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых
векторных пространств. Норма вектора. Свойства нормы.
4) Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника. Примеры
неравенств в конкретных пространствах. Ортонормированный базис евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса. Изоморфизмы евклидовых пространств.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Глава 4. Векторные пространства.
§1. Векторные пространства.
Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных
пространств. Простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
§2. Подпространства векторного пространства.
16
1) Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств. Линейная оболочка множества
векторов. Эквивалентные системы векторов.
2) Сумма подпространств. Свойства суммы подпространств. Прямая сумма
подпространств. Условие того, что сумма двух подпространств прямая.
Условие того, сумма нескольких подпространств прямая. Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
§3. Базис и размерность векторного пространства.
1) Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства. Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных пространств, теорема о том, что все базисы состоят из одинакового числа векторов.
2) Подпространства конечномерных пространств. Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса пространства. Представление пространства в виде прямой суммы двух подпространств.
3) Размерность векторного пространства. Свойства размерности. Размерность прямой суммы. Связь между размерностями суммы и пересечения
подпространств. Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно данного базиса.
4) Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма. Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного арифметического
векторного пространства. Тензоры. Операции над тензорами.
§4. Векторное пространство со скалярным умножением.
1) Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств
со скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные
пространства с невырожденным скалярным умножением.
2) Ортогональная система векторов. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грамма- Шмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с невырожденным скалярным умножением. Ортогональное
дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение подпространства.
Теорема о представлении пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
§5. Евклидовы векторные пространства.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
17
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Глава 5. Линейные операторы.
§1. Линейные отображения.
1) Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений.
Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе.
2) Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и
дефекта линейного оператора. Операции над линейными отображениями.
Пространство линейных отображений.
§2. Представление линейных операторов матрицами.
1) Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех
линейных операторов на множество всех квадратных матриц. Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) . Матрица суммы линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на скаляр.
2) Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных
базисов. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие матриц и свойства подобия.
§3. Линейные алгебры.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных
алгебр. Алгебры линейных операторов. Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре. Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора. Полная линейная группа. Изоморфизм
полной линейной группы группе обратимых матриц.
§4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. 4
часа
1) Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Нахождение собственных векторов и собственных
значений линейного оператора. Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным
собственным значениям.
2) Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы оператор имел простой спектр. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
18
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
2 семестр
Глава 6. Элементы теории групп и колец.
§1. Группы, подгруппы, смежные классы, теорема Лагранжа.
Группы, примеры групп. Подгруппы, примеры подгрупп, пересечение подгрупп. Порядок группы, порядок подгруппы. Отношение сравнимости по подгруппе. Свойства отношения сравнимости. Правые смежные классы. Левые смежные классы. Свойства смежных классов. Индекс подгруппы.
Теорема Лагранжа.
§2. Циклические группы.
1) Порядок элемента группы. Свойства порядка элемента группы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
2) Циклические группы. Изоморфизм циклической группы аддитивной
группе целых чисел или группе корней степени n из 1. Порядок элемента конечной группы делит порядок группы. Любая конечная группа
простого порядка циклична. Каждая подгруппа циклической группы
циклична.
§3. Нормальные делители и фактор - группы. Теорема о гомоморфизмах.
Нормальные делители группы. Свойства нормальных делителей. Фактор группы. Ядро гомоморфизма. Ядро гомоморфизма -нормальный делитель,
свойства ядра. Теорема о гомоморфизмах групп.
§4. Кольца. Идеалы кольца. Фактор - кольцо.
1) Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового числа, свойства нормы.
2) Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости по
идеалу. Свойства сравнений.
3) Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о
гомоморфизмах колец. Характеристика кольца. Характеристикой обла19
сти целостности является либо 0, либо простое число. Наименьшее
подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее подкольцо
кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть поле.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
3 семестр.
Глава 1. Элементы векторной алгебры в евклидовом пространстве.
§ 1. Направление на прямой, в плоскости и в пространстве.
Одинаково направленные лучи на прямой, в плоскости и в пространстве. Эквивалентность одинаковой направленности лучей. Направление на
прямой, в плоскости и в пространстве.
§ 2. Равные (эквивалентно направленные) отрезки.
Направленные отрезки. Равные (эквиполлентные) направленные отрезки. Сумма направленных отрезков. Произведение направленного отрезка и
действительного числа.
1 час
§ 3. Определение вектора.
Эквивалентность равенства направленных отрезков. Определение вектора. Сложение и вычитание векторов и его свойства. Умножение вектора на
число и его свойства.
§ 4. Линейная зависимость векторов.
Линейная зависимость векторов. Свойства линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. Базис системы векторов.
1 час
§ 5. Базис системы векторов.
Базисы множества векторов прямой, плоскости, пространства.
§ 6. Координаты вектора.
Координаты вектора. Координаты суммы, разности двух векторов; произведения вектора на число. Признак коллинеарности двух векторов.
§ 7. Ортонормированный базис множества векторов пространства
20
Ортонормированный базис множества векторов пространства. Вычисление модуля вектора через его координаты в ортонормированном базисе.
§ 8. Скалярное произведение двух векторов пространства.
Скалярное произведение двух векторов пространства, его свойства. Скалярное произведение двух векторов плоскости.
§ 9. Ориентация плоскости.
Матрица перехода от одного базиса векторов плоскости к другому.
Свойство определителей матриц перехода от одного базиса векторов плоскости к другому. Одинаковая ориентированность двух базисов плоскости. Эквивалентность одинаковой ориентированности двух базисов плоскости. Вращение плоскости. Теорема о количестве вращений плоскости. Ориентация
плоскости. Ориентация пространства.
§ 10 Векторное произведение двух векторов
Векторное произведение двух векторов, его свойства.
§ 11 Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение трех векторов, его свойства.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 2. Метод координат в пространстве и на плоскости. 5 часов
§ 1. Аффинная система координат пространства.
Система координат пространства. Аффинная система координат пространства. Нахождение координат вектора, через координаты его начала и
конца. Деление отрезка в данном отношении.
§ 2. Декартова система координат.
. Декартова система координат. Расстояние между двумя точками. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.
§ 3. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.
21
Система координат плоскости. Аффинная система координат плоскости.
Нахождение координат вектора, через координаты его начала и конца. Деление отрезка в данном отношении. Декартова система координат. Расстояние
между двумя точками. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.
§ 4. Система координат плоскости.
Примеры других систем координат на плоскости и в пространстве.
§ 5. Метод координат решения задач.
Метод координат решения задач.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 3. Плоскость и прямая в пространстве. Прямая на плоскости.
§ 1. Уравнения плоскости.
Уравнения плоскости. Признак принадлежности вектора плоскости.
§ 2. Расположение плоскости относительно осей координат, координатных
плоскостей и начала координат.
§ 3. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
§ 4. Полупространство.
§ 5. Метрические задачи.
Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
§ 6. Пучок и связка плоскостей.
Пучок плоскостей. Связка плоскостей.
§ 7. Уравнения прямой в пространстве.
§ 8. Взаимное расположение прямых в пространстве.
§ 9. Метрические задачи о прямых.
Угол между прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
§ 10 Взаимное расположение прямой и плоскости.
§ 11. Взаимное расположение прямых.
22
§ 12. Уравнения прямой в плоскости.
Уравнения прямой в плоскости. Признак принадлежности вектора прямой.
§ 13. Расположение прямой относительно осей координат, и начала координат.
§14. Взаимное расположение двух прямых.
§ 15. Полуплоскость.
§ 16. Метрические задачи.
Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
§ 17. Пучок прямых.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 4. Кривые второго порядка
§ 1. Алгебраические кривые.
Алгебраические кривые. Порядок алгебраической кривой.
§ 2. Эллипс.
§ 3. Гипербола.
§ 4. Парабола.
§ 5. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и
классификация кривых второго
порядка.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
23
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 5. Преобразования плоскости. 6 часов
§ 1. Группа движений.
Движение плоскости. Группа движений. Инварианты группы движений
§ 2. Теорема единственности.
§ 3. Движения первого и второго родов.
Движения первого и второго родов. Движение в координатах.
§ 4. Классификация движений по числу неподвижных точек.
§ 5. Подгруппы группы движений.
Подгруппы группы движений. Равномерно разрывные группы движений.
Локально-евклидовы пространства
§ 6. Группа аффинных преобразований плоскости.
Преобразования подобия плоскости. Группа преобразований подобия.
Инварианты группы преобразований подобия. Теорема единственности. Преобразования подобия первого и второго родов. Преобразование подобия в
координатах. Гомотетия и ее свойства.
§ 7. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 8. Аффинные преобразования в координатах.
§ 9. Классификация аффинных преобразований по числу неподвижных точек.
§ 10. Группа преобразований подобия.
Родственные преобразования и их свойства.
§ 11. Подгруппы группы аффинных преобразований
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
24
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 6. Поверхности второго порядка.
§ 1. Алгебраические поверхности.
Алгебраические поверхности. Порядок алгебраической поверхности.
§ 2. Поверхности вращения.
§ 3. Метод сечения исследования поверхностей.
§ 4. Эллипсоид.
§ 5. Гиперболоиды.
§ 6. Параболоиды.
§ 7. Цилиндрические и конические поверхности.
§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
§ 9. Конические сечения.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 7. Преобразования пространства.
§ 1. Группа аффинных преобразований пространства.
Аффинные преобразования пространства. Группа аффинных преобразований пространства, ее инварианты.
§ 2. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 3. Аффинные преобразования в координатах.
§ 4. Группа движений пространства.
25
Движение пространства. Группа движений. Инварианты группы движений.
§ 5. Движения первого и второго родов.
§ 6. Движение в координатах.
§ 7. Группа преобразований подобия пространства.
Преобразования подобия пространства. Группа преобразований подобия.
Инварианты группы преобразований подобия.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 8. Аффинное и евклидово n-мерные пространства.
§ 1. Система аксиом Вейля n-мерного аффинного пространства.
Система аксиом Вейля n-мерного аффинного пространства. Существование аффинного пространства любой размерности. Сравнимость точек по
подпространству пространства переносов
§ 2. k - плоскость. Свойства k – плоскостей.
k - плоскость. Свойства k - плоскости как класса эквивалентности. Принадлежность k - плоскостей. Пересечение k - плоскостей. Линейная оболочка
k - плоскостей. Точки общего положения.
§ 3. Аффинная система координат n-мерного аффинного пространства, простейшие задачи.
§ 4. Уравнения k - плоскости.
Уравнения k - плоскости. Аффинное отображение k - плоскостей, его
свойства
§ 5. Группа аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства 1
час
Группа аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства,
ее инварианты. Аффинные преобразования первого и второго родов. Аффинные преобразования в координатах.
26
§ 6. Евклидово n-мерное пространство.
Евклидово n-мерное пространство. Связь аксиом школьного курса геометрии и системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Для удобства использования программы основные данные приведены
в таблице.
№
1
2
3
4
Наименование раздела темы
1 семестр
Глава 1. Алгебры и алгебраические системы.
§1. Алгебры и алгебраические системы.
§2. Поле комплексных чисел.
Глава 2. Системы линейных уравнений.
§1. Арифметическое векторное пространство.
§2. Системы линейных уравнений.
§3. Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений.
Глава 3. Матрицы и определители.
§1. Матрицы и определители.
§2. Обратимые матрицы.
§3. Определители.
Глава 4. Векторные пространства.
§1. Векторные пространства.
§2. Подпространства векторного пространства.
27
§3. Базис и размерность векторного пространства.
§4. Векторное пространство со скалярным умножением.
§5. Евклидовы векторные пространства.
5
6
Глава 5. Линейные операторы.
§1. Линейные отображения.
§2. Представление линейных операторов матрицами.
§3. Линейные алгебры.
§4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
2 семестр
Глава 6. Элементы теории групп и колец.
§1. Группы, подгруппы, смежные классы, теорема Лагранжа.
§2. Циклические группы.
§3. Нормальные делители и фактор - группы. Теорема о гомоморфизмах.
§4. Кольца. Идеалы кольца. Фактор - кольцо.
3 семестр
Гл. I Элементы векторной алгебры в евклидовом пространстве.
§ 1. Направление на прямой, в плоскости и в пространстве.
§ 2. Равные (эквивалентно направленные) отрезки.
§ 3. Определение вектора.
§ 4. Линейная зависимость векторов.
§ 5. Базис системы векторов.
§ 6. Координаты вектора.
§ 7. Ортонормированный базис множества векторов
пространства
§ 8. Скалярное произведение двух векторов пространства.
§ 9. Ориентация плоскости.
§ 10 Векторное произведение двух векторов
§ 11 Смешанное произведение трех векторов
Гл. II Метод координат в пространстве и на плоскости.
§ 1. Аффинная система координат пространства.
§ 2. Декартова система координат.
§ 3. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.
§ 4. Система координат плоскости.
§ 5. Метод координат решения задач.
Гл. III. Плоскость и прямая в пространстве. Прямая на плоскости.
§ 1. Уравнения плоскости.
§ 2. Расположение плоскости относительно осей координат,
координатных плоскостей и начала координат.
§ 3. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
§ 4. Полупространство.
28
§ 5. Метрические задачи.
§ 6. Пучок и связка плоскостей.
§ 7. Уравнения прямой в пространстве.
§ 8. Взаимное расположение прямых в пространстве.
§ 9. Метрические задачи о прямых
§ 10 Взаимное расположение прямой и плоскости.
§ 11. Взаимное расположение прямых.
§ 12. Уравнения прямой в плоскости.
§ 13. Расположение прямой относительно осей координат,
и начала координат.
§14. Взаимное расположение двух прямых.
§ 15. Полуплоскость.
§ 16. Метрические задачи.
§ 17. Пучок прямых.
Гл.IV. Кривые второго порядка
§ 1. Алгебраические кривые.
§ 2. Эллипс.
§ 3. Гипербола.
§ 4. Парабола.
§ 5. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому
виду и классификация кривых второго порядка.
Гл. V. Преобразования плоскости
§ 1. Группа движений.
§ 2. Теорема единственности.
§ 3. Движения первого и второго родов.
§ 4. Классификация движений по числу неподвижных точек.
§ 5. Подгруппы группы движений.
§ 6. Группа аффинных преобразований плоскости.
§ 7. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 8. Аффинные преобразования в координатах.
§ 9. Классификация аффинных преобразований по числу неподвижных
точек.
§ 10. Группа преобразований подобия.
§ 11. Подгруппы группы аффинных преобразований
Гл. VI. Поверхности второго порядка
§ 1. Алгебраические поверхности.
§ 2. Поверхности вращения.
§ 3. Метод сечения исследования поверхностей.
§ 4. Эллипсоид.
§ 5. Гиперболоиды.
§ 6. Параболоиды.
§ 7. Цилиндрические и конические поверхности.
§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
§ 9. Конические сечения.
29
Гл. VII. Преобразования пространства
§ 1. Группа аффинных преобразований пространства.
§ 2. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 3. Аффинные преобразования в координатах.
§ 4. Группа движений пространства.
§ 5. Движения первого и второго родов.
§ 6. Движение в координатах.
§ 7. Группа преобразований подобия пространства
Гл. VIII. Аффинное и евклидово n-мерные пространства
§ 1. Система аксиом Вейля n-мерного аффинного
пространства.
§ 2. k - плоскость. Свойства k – плоскостей.
§ 3. Аффинная система координат n-мерного аффинного пространства,
простейшие задачи.
§ 4. Уравнения k - плоскости.
§ 5. Группа аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства
§ 6. Евклидово n-мерное пространство.
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
a. Литература основная.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
6. Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
7. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
8. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
9. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
10.Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
11.Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Литература дополнительная.
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат.
литература, 2000.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 2. Линейная алгебра. – М.: Физ.мат. литература, 2000.
30
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. 3. Основные структуры алгебры. –
М.: Физ.-мат. литература, 2000.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: 1986.
5. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра: Учеб. для вузов по спец. “Физика”,
“Прикл. математика”. - М., 1978.
6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М., 1970.
7. Постников М. Линейная алгебра: Учеб. пособие для студентов вузов, обуч.
по спец. “Математика”. - М., 1986.
8. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
– М.: Просвещение, 1993.
9. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М., Просвещение, 1974
г.
10. Ефимов Н.В., Розерндорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. - М.: Наука, 1970.
11. Погорелов А.В. Геометрия. - М.: Наука, 1983.
12. Сборник задач по геометрии (под редакцией Базылева В.Т), - М.: Просвещение, 1980.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Компьютерные лаборатории «Вычислительной математики»_№313, №314.
Компьютерные программы: Mathematic; Mapl1.
Перечень используемых пособий.
1. Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
– М.: Просвещение, 1993.
2. Сборник задач по геометрии (под редакцией Базылева В.Т), - М.: Просвещение, 1980.
3. Маренич Е.Е., Маренич А.С. Линейные векторные пространства. – Мурманск, МГПУ, 2001.
1.10 Примерные зачетные тестовые задания.
Проверочный тест (контрольные работы).
1 семестр
№1. Будет ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой? Найти базис и ранг системы векторов:
I вариант а1=(2, 1, -3, 1), а2=(4, 2, -6, 2), а3=(6, 3, -9, 3), а4=(1, 1, 1, 1);
II вариант а1=(4, -1, 3, -2), а2=(8, -2, 6, -4), а3=(3, -1, 4, -2), а4=(6, -2, 8, -4);
III вариант а1=(1, 2, 3, 2), а2=(-2, 1, -2, -5), а3=(1, -1, -1, 1), а4=(-1, 2, 1, -2).
№2. Решить системы уравнений методом обратной матрицы и по формулам
Крамера:
I вариант:
3x1 x2 2 x3 6,
5 x1 3x2 2 x3 4,
4 x1 2 x2 3x3 2.
Ответ: (1;3;0).
II вариант:
31
3x1 5 x2 3x3 46,
x1 2x 2 x3 8,
x1 - 7x 2 - 2x 3 5.
III вариант:
x1 4 x2 2 x3 0,
3x1 5 x2 6 x3 21,
3x1 x2 x3 4.
№3. Найти фундаментальную систему решений для следующей системы
уравнений:
I вариант:
5 x1 6 x2 2 x3 7 x4 4 x5 0,
2 x1 3x2 x3 4 x4 2 x5 0,
7 x 9 x 3x 5 x 6 x 0,
5 x1 9 x2 3x3 x4 6 x5 0.
2
3
4
5
1
x 2 x5
Ответ: x1 0, x2 3
, x4 0 - общее решение.
3
2
1
Фундаментальная система решений: 0, ,1,0,0 , 0, ,0,0,1
3
3
II вариант:
3x1 4 x2 x3 2 x4 3x5 0,
5 x1 7 x2 x3 3x4 4 x5 0,
4 x 5 x 2 x x 5 x 0,
7 x1 10 2x x3 6 x4 5 x5 0.
2
3
4
5
1
Ответ: x1 3x3 5 x5 , x2 2 x3 3x5 , x4 0 - общее решение .
Фундаментальная система решений: (-3;2;1;0;0), (-5,3,0,0,1).
№4. Вычислить определители:
I вариант:
1
2
3
...
n 1
n
2
3
4
...
n
n
3
4
5
...
n
n
... n 2 n 1
... n 1
n
...
n
n
... ...
...
...
n
n
...
n
n
n
n
n
n
n
n
2 2 3
1 1 0 .
1 2 0
,
II вариант:
32
1 2 3
1 0 3
1 2 0
... ... ...
1 2 3
...
...
...
...
...
n
n
n ,
...
0
2 1 3
5 3 2.
1 4 3
III вариант:
x1 a12
x1 x2
x1 x2
... ...
x1 x2
a13
a23
x3
...
x3
... a1n
... a2 n
... a3n ,
... ...
... xn
3 0 1
5 2 4 .
0 3 7
2 семестр
№5.
Найти ортогональный и ортонормированный базисы пространства L(a1, a2, a3,
a4), натянутого на векторы a1, a2, a3, a4, где:
I вариант a1=(1, 2, 0, 1), a2=(1, 1, 1, 0), a3=(1, 0, 1, 0), a4=(1, 3, 0, 1);
II вариант a1=(1, 1, -1, -2), a2=(-2, 1, 5, 11), a3=(0, 3, 3, 7), a4=(3, -3, -3, -9);
III вариант a1=(2, 3, -4, -6), a2=(1, 8, -2, -16), a3=(12, 5, -14, 5), a4=(3, 11, 4, -7).
№6.
Для данного линейного оператора определить ранг и дефект. Построить базисы ядра и образа оператора; х=(х1, х2, х3) R3.
I вариант f (x)=(2 x1 - x2 - x3; x1 - 2x2 + x3; x1 + x2 - 2x3);
II вариант f (x)=( x1 + x2 + x3; x1 + x2 + x3; x1 + x2 + x3);
III вариант f (x)=(-x1 + x2 + x3; x1 - x2 + x3; x1 + x2 - x3).
№7.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора А,
заданного в базисе е1, е2, е3 матрицей М(А):
I вариант
II вариант
III вариант
2 1 2
М (А) 5 3 3
1 0 2
0 1 0
М (А) 4 4 0
2 1 2
4 5 2
М (А) 5 7 3
6 9 4
№8.
Построить таблицу сложения в фактор группе (Z, +, -, 0) по подгруппе (Zn, +,
-, 0); Zn - множество целых чисел, делящихся на n. Является ли фактор группа коммутативной, циклической?
I вариант Zn= Z5 ;
II вариант Zn= Z7.
№9.
Составить таблицу сложения и умножения в кольце классов вычетов кольца
Z по идеалу I=(n). Является ли это кольцо областью целостности, полем?
33
I вариант
II вариант
n=6;
n=5.
3 семестр
КР1_ПМИ2007.
Вариант 1
1. Определить угол между двумя прямыми: 5х—y + 7 = 0, 3x+2y = 0
2. Даны середины сторон треугольника: М1(2; 1), М2(5; 3) и М3(3; —4). Составить уравнения его сторон.
3. Определить, при каком значении т две прямые
mx + (2m + 3 + m + 6 = 0,
(2m + 1)x + (m — 1)y + m — 2= 0
пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.
4. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми
3х — 2у + 5 = 0 и 2х + у — 3 = 0,
содержит начало координат.
5. Даны уравнения двух сторон квадрата
5х+12у—10 = 0, 5х+12у+29 = 0.
Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка
M1(—3; 5) лежит на стороне этого квадрата.
6. Точка А(2; —5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х — 2у — 7 = 0. Вычислить площадь этого квадрата.
7. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения
прямых
11х + 3у —7 = 0, 12х+у—19 = 0
на одинаковых расстояниях от точек А(3;—2) и В(—1; 6). Решить задачу, не
вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
КР2_ПМИ2007.
Вариант 1
1. Доказать, что прямые
x 1 y 2 z 5
2
3
4
и x=3е+7, y=2t+2; z=-2t+1
лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости.
2. Составить канонические уравнения прямой:
x 2 y 3z 4 0
3x 2 y 5 z 2 0
34
3. Даны вершины треугольника А(1; —1; 2), В(5; —6; 2) и С(1; 3; —1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
4. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках
А (2; —1;1), В (5; 5; 4), С (3; 2; — 1) и D (4; 1; 3).
5. Найти проекцию точки Р(2; — 1; 3) на прямую
х=3t, , у=5t— 7, z = 2t + 2.
Аттестационная работа по уч. дисциплине «Геометрия и алгебра»
Системы линейных уравнений
№1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
I вариант:
6 x1 4 x2 5 x3 2 x4 3x5 1,
3x1 2 x2 2 x3 x4
-7,
9x 6 x x 3x 2 x 2,
3x1 2 x 2 4 x 3 x4 2 x5 3.
2
3
4
5
1
Ответ: ( x1, x2 ,13,34,19 3x1 2 x2 ).
II вариант:
x1 2 x2 3x3 2 x4 x5 4,
3x1 6 x2 5 x3 4 x4 3x5 5,
x 2 x 7 x 4 x x 11,
2 x1 4 x2 2 x3 3x4 3x 5 6.
2
3
4
5
1
9
25
15
Ответ: x1, x2 , x1 2 x2 , 2 x1 4 x2 , 2 x1 4 x2
2
2
2
III вариант:
6 x1 3x2 2 x3 3x4 4 x5 5,
4 x1 2 x2 x3 4 x4 3x5 4,
4 x 2 x 3x 2 x x 0,
2 x1 x2 7 x3 3x4 2 x5 1.
2
3
4
5
1
Ответ: x1, x2 ,
4
2
14
7
x1 x2 , x1 x2 1,
3
3
3
3
4
2
x1 x2 2
3
3
№2. Решить системы уравнений методом обратной матрицы и по формулам
Крамера.
I вариант:
35
3x1 x2 2 x3 6,
5 x1 3x2 2 x3 4,
4 x1 2 x2 3x3 2.
Ответ: (1;3;0).
II вариант:
3x1 5 x2 3x3 46,
x1 2x 2 x3 8,
x1 - 7x 2 - 2x 3 5.
III вариант:
x1 4 x2 2 x3 0,
3x1 5 x2 6 x3 21,
3x1 x2 x3 4.
№ 3. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений.
I вариант:
5 x1 6 x2 2 x3 7 x4 4 x5 0,
2 x1 3x2 x3 4 x4 2 x5 0,
7 x 9 x 3x 5 x 6 x 0,
5 x1 9 x2 3x3 x4 6 x5 0.
2
3
4
5
1
x 2 x5
Ответ: x1 0, x2 3
, x4 0 - общее решение.
3
2
1
Фундаментальная система решений: 0, ,1,0,0 , 0, ,0,0,1
3
3
II вариант:
3x1 4 x2 x3 2 x4 3x5 0,
5 x1 7 x2 x3 3x4 4 x5 0,
4 x 5 x 2 x x 5 x 0,
7 x1 10 2x x3 6 x4 5 x5 0.
2
3
4
5
1
Ответ: x1 3x3 5 x5 , x2 2 x3 3x5 , x4 0 - общее решение .
Фундаментальная система решений: (-3;2;1;0;0), (-5,3,0,0,1).
III вариант:
3x1 2 x2 5 x3 2 x4 7 x5 0,
6 x1 4 x2 7 x3 4 x4 5 x5 0,
3x 2 x x 2 x 11x 0,
6 x1 4 x2 x 3 4 x 4 13 x 5 0.
2
3
4
5
1
Элементы аналитической геометрии
36
№1. Даны уравнения сторон треугольника
( AB) : 3x 4 y 24 0 ,
( BC ) : 4 x 3 y 32 0 ,
( AC ) : 2 x y 4 0 .
I вариант: Составить уравнение высоты, проведенной из вершины В, и
найти ее длину;
II вариант: Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В, и
найти ее длину;
III вариант: Составить уравнение биссектрисы, проведенной из вершины В,
и найти ее длину.
Ответ: Уравнение высоты ВД: x 2 y 8 0, длина высоты: 4 5, уравнение медианы: 2 x 11y 16 0, длина медианы: 5 5,
сы: x 7 y 8 0, длина биссектрисы:
уравнение биссектри-
20 2
3.
№2.
I вариант: Написать уравнение гиперболы с асимптотами y
дящей через точку (6;
3
x , прохо4
3
). Найти расстояние между её вершинами.
2
x2 y 2
Ответ: уравнение гиперболы:
1 , расстояние между вершинами ги32 18
перболы равно 2a 8 2.
II вариант: Уравнение эллипса x2 2 y 2 4 x 16 y 0
ческом виде. Найти полуоси и координаты центра.
Ответ:
( x 2)2
6
2
( y 4)2
(3 2)
липса в точке (2;4).
2
записать в канони-
1-эллипс с полуосями a 6, b 3 2. Центр эл-
III вариант: Для гиперболы 3x 2 4 y 2 12 найти действительную и мнимую
полуоси; координаты фокусов; эксцентриситет; уравнения асимптот.
7
7
Ответ: a 2, b 3 , F1 ( 7, 0), F2 ( 7, 0),
,y
x.
2
2
№3.
I вариант: Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0;0) и (1; -3) симметрично относительно оси абсцисс.
Ответ: y 2 9 x .
II вариант: Составить уравнение параболы, проходящей через точки (0;0) и
(2; -4) симметрично относительно оси ординат.
Ответ: x 2 y.
37
III вариант: Найти уравнение параболы и её директрисы, если известно, что
парабола симметрична относительно оси абсцисс и что точка пересечения
прямых y x и x y 2 0 лежит на параболе.
1
Ответ: y 2 x, x .
4
№4. Даны координаты трёх точек: А=(-5; 2; -2), В=(-1; 4; -6),
С=(-4; 1; -6).
I вариант: Найти каноническое уравнение прямой АВ.
II вариант: Найти уравнение плоскости, проходящей через точку С, перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ.
III вариант: Найти расстояние от точки С до прямой АВ.
x5 y2 z 2
Ответ:
,
4
2
4
2 x y 2 z 5 0, D (-3, 3, - 4),
расстояние от точки С до прямой АВ равно 3.
Определители
№1. Вычислить определители.
I вариант:
1
2
3
...
n 1
n
2
3
4
...
n
n
3
4
5
...
n
n
... n 2 n 1
... n 1
n
...
n
n
... ...
...
...
n
n
...
n
n
n
n
n
n
n
n
2 2 3
1 1 0 .
1 2 0
,
II вариант:
1 2 3
1 0 3
1 2 0
... ... ...
1 2 3
...
...
...
...
...
n
n
n ,
...
0
2 1 3
5 3 2.
1 4 3
III вариант:
x1 a12
x1 x2
x1 x2
... ...
x1 x2
a13
a23
x3
...
x3
... a1n
... a2 n
... a3n ,
... ...
... xn
3 0 1
5 2 4 .
0 3 7
Системы векторов, ранг матрицы, n -мерное линейное векторное
пространство. Евклидово пространство.
38
№1. Будет ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой? Найти ранг, базис системы векторов. Будет ли вектор a4 линейной комбинацией векторов a1, a2 , a3 ?
I вариант: a1 (2;1; 3;1) , a2 (4;2; 6;2) , a3 (6;3; 9;3) , a4 (1;1;1;1) ;
II вариант: a1 (4; 1;3; 2) , a2 (8; 2;6; 4) , a3 (3; 1; 4; 2) , a4 (6; 2;8; 4) ;
III вариант: a1 (1; 2;3; 2) , a2 (2;1; 2; 5) , a3 (1; 1; 1;1) , a4 (1;2;1; 2) .
№2. Найти ортогональный и ортонормированный базисы пространства
(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ).
I вариант:
a 1 = ( 1, 2, 0, 1), a 2 = (1, 1, 1, 0), a 3 = ( 1, 0, 1, 0), a 4 =(1, 3, 0, 1).
II вариант:
a 1 = ( 1, 1, 1, 1), a 2 = (1, -1, 1, 4), a 3 = ( 1, 3, 1, 3), a 4 =(1, 2, 0, 2).
III вариант:
a 1 = ( 1, 1, 1, 1), a 2 = (2, 4, 2, 0), a 3 = ( -2, 1, 0, -3), a 4 =(3, 6, 3, -2).
№3.
I вариант: Найти базис и размерность ортогонального дополнения пространства, натянутого на векторы:
a 1 = ( 1, 3, 0, 2), a 2 = (2, 4, -1, 0), a 3 = ( 3, 7, -1, 2).
II вариант: Найти базис и размерность ортогонального дополнения пространства, натянутого на векторы:
a 1 = ( 2, -1, 5, 7), a 2 = (2, -1, -1, -5), a 3 = ( 4, -2, 7, 5).
III вариант:
Пусть L есть пространство решений однородной системы линейных уравнений
2 x1 x 2 5 x3 7 x 4 0,
2 x1 x 2 x3 5 x 4 0,
4 x1 2 x 2 7 x3 5 x 4 0.
Найти базис и размерность ортогонального дополнения пространства L .
Линейные операторы и матрицы. Собственные векторы линейных операторов.
№1. Пусть V (V ,,,0,w | R) - линейное векторное пространство,
Функция f : V V . Является ли функция f линейным оператором?
I вариант: x V , f ( x) 2 x.
II вариант: x V , f ( x) x 2.
III вариант: x V , f ( x) x 5.
39
№2. Для данного линейного оператора определить ранг и дефект. Построить
базисы ядра и образа. X ( x1, x2 , x3 ) R3.
I вариант: f (X ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ) .
II вариант: f (X ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 , x1 x2 ) .
III вариант: f (X ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ) .
№3. Линейный оператор в базисе e1, e2 , e3 имеет матрицу M ( A) . Найти его
матрицу в базисе v1, v2 , v3 если:
I вариант:
v1 2e1 3e2 ,
v2 e1 3e2 5e3 ,
v3 3e1 5e2 7e3.
II вариант:
v1 e1 3e2 5e3 ,
v2 2e2 3e3 ,
v3 3e1 5e2 7e3.
III вариант:
v1 2e1 3e2 ,
v2 e1 3e2 5e3 ,
v3 3e1 5e2 7e3.
0 0 1
M ( A) 0 1 0 .
1 0 0
0 0 1
M ( A) 0 1 0 .
1 0 0
0 1 0
M ( A) 1 0 0 .
0 0 1
№4. Найти собственные векторы и собственные значения линейных операторов, заданных в естественном базисе матрицами.
I вариант:
4 1 1
A 2 4 1 .
0 1 4
II вариант:
40
4 4 2
A 2 2 1 .
4 4 2
III вариант:
2 5 3
A 1 2 3 .
3 15 12
~
№5. Подобна ли матрица A диагональной матрице A ? Если подобна, то
~
1
найти матрицу перехода T такую, что T A T A .
I вариант:
2
0
1
A 0
2
0.
2 2 1
II вариант:
4 6 0
A 3 5 0 .
3 6 1
III вариант:
7 12 2
A 3
4
0 .
0
2
2
Комплексные числа и многочлены
№1. Какие части плоскости заданы условиями?
I вариант: z i z - i 2.
II вариант: z i 1 z i 2.
III вариант: Re z 0 z 3.
№2. Вычислить.
I вариант:
а) (1 i)26 ;
б)
5i
.
1 2i
41
II вариант:
а) (1 i)25 ;
б)
1 2i
.
3 2i
III вариант: а) (1 i )27 ; б)
2 3i
.
4 3i
№3. Вычислить все значения корней.
I вариант: Вычислить все значения корней второй степени из 1, третьей степени из числа 1 i .
II вариант: Вычислить все значения корней третьей степени из 1, третьей
степени из числа 1 i .
III вариант: Вычислить все значения корней четвёртой степени из 1, второй
степени из числа 1 i .
№4. Найти необходимое и достаточное условия делимости многочлена на
многочлен.
I вариант:
x3 px g на x 2 1.
II вариант:
x3 px g на
III вариант:
x 4 px2 g
x 2 ax 1.
на x 2 ax 1.
№5. Решить кубическое уравнение по формулам Кардано:
I вариант:
z 3 6 z 9 0.
II вариант:
z3 12 z 63 0.
III вариант:
z3 9 z 2 18 z 28 0.
№6. Найти НОД многочленов.
I вариант:
II вариант:
f ( x) x 5 x 4 x 3 2 x 1, g(x) 3x 4 2 x 3 x 2 2 x 2.
f ( x) x 4 x 3 3x 2 4 x 1, g(x) x 3 x 2 x 1.
III вариант:
f ( x) x 6 7 x 4 8 x 3 7 x 7, g(x) 3x 5 7 x 3 3x 2 7.
№7. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлены по степеням
x x0 .
42
I вариант:
II вариант:
III вариант:
f ( x) x 4 2 x 3 3x 2 4 x 1,
x 0 1.
f ( x) x 4 8 x 3 24 x 2 50 x 90,
x 0 2.
f ( x) x 5 9 x 4 7 x 3 2 x 2 11x 7,
x 0 4.
№8.
Решить уравнение четвертой степени методом Феррари.
I вариант:
II вариант:
III вариант:
z 4 2 z 3 2 z 2 4 z 8 0.
z 4 2 z 3 2 z 2 6 z 15 0.
z 4 z 3 z 2 2 z 2 0.
Квадратичные формы.
№1. Привести к каноническому виду квадратичную форму.
I вариант: x12 3x1 x 2 4 x1 x3 2 x 2 x3 x32 .
II вариант: x12 5 x22 4 x32 2 x1x2 4 x1x3 .
III вариант: 4 x12 x22 x32 4 x1x2 4 x1x3 3x2 x3 .
№2. Исследовать на знакоопределенность квадратичные формы.
I вариант: х12 4 х22 3х32 2 х1х2 .
II вариант: 2 х22 х12 х1х3 2 х2 х3 2 х32 .
III вариант: 13 х12 6 х1х2 5 х22 .
Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
№1. Будет ли система линейных неравенств совместной ? В случае совместности выяснить, будет ли множество всех решений системы ограниченным, и
найти какое-нибудь частное решение.
I вариант:
2 x1 2 x 2 3x3 1 0,
x1 x 2
2 0,
x 2 x x
0,
1 8 x 2 x 3 2 0.
2
3
Ответ: Система совместна. Частное решение систе1
14
мы: x1 2, x 2 , x3 . Множество решений системы ограничено.
8
8
II вариант:
43
x1 x 2 2 x3 2 x 4 1 0,
x1
x 3 x 4 1 0,
x x
x
0,
2x 1 2 x2 x - x 4 2 0.
2
3
4
1
Ответ: Система совместна. Частное решение: x1 1, x 2 0, x3 1, x 4 1.
Множество решений системы неограничено.
III вариант:
3x1 3x 2 x3 1 0,
2 x1 x 2 x3 1 0,
9 x 2 x3 6 0.
Ответ: Система несовместна.
№2. Для следующих задач сформулировать двойственную задачу и решить
обе задачи:
I вариант:
min (6 x1 4 x 2 7 x3 )
3x3 x4
5 0,
x1
x5 2 0,
3x1 x2 x3
x6 1 0,
x1 x2
x , x , x , x , x , x 0.
1 2 3 4 5 6
Ответ: (0,1,5/3,0,2/3,0), 47/3.
II вариант:
min ( x 4 x5 )
x4 2 x5 1 0,
x1
x2
2 x4 x5 2 0,
x3 3x4 x5 3 0,
x , x , x , x , x 0.
1 2 3 4 5
Ответ: ( 28/5, 0, 0, 1/5, 12/5), -11/5.
III вариант:
min ( x1 x 2 )
44
1 0
x1 x2 x3
x4 2 0
x1 2 x2
x , x , x , x 0
1 2 3 4
Ответ: решений нет.
Основная литература при подготовке к аттестационной работе.
1. Артамонов В.А., Бахтурин Ю.А. и др. «Сборник задач по алгебре» под ред.
А.И. Кострикина. М.: Факториал, 1995 г.
2. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1, 2. Основы алгебры. – М.:
Физматлит, 2000.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. - М.: Физматлит, 2000.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией А.И. Кострикина. – М.: Факториал, 1995.
6. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971.
8.Маренич Е.Е. Алгебра и теория чисел. Комплексные числа. Теория и практика. –Мурманск: МГПИ, 1998.
9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука,
1978.
10. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука,1984.
11. Шафаревич И.Р. «Основные понятия алгебры», Ижевск, 1999 г.
Дополнительная литература.
1. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. –
М.: Наука, 1965.
2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976.
3. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
4. Зубелевич Г.И. Сборник задач московских математических олимпиад. –
М.: Просвещение, 1967.
5. Леман А.А. Сборник задач московских математических олимпиад. Под
редакцией В.Г. Болтянского. – М.: Просвещение, 1965.
6. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
7. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу математики. – М.:
Высшая школа, 1960.
8. Морозова Е.А., Петраков И.С., Скворцов В.А. Международные математические олимпиады. – М.: Просвещение, 1976.
9. Пойа Дж., Килпатрик Ж. Конкурсные задачи по математике Станфордского Университета. – М.: «Микротех», 1964.
45
Коллоквиум №1.
Бинарные и n-местные операции.
Свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность.
Основное свойство ассоциативных операций.
Понятие алгебры.
Понятие группы. Примеры групп.
Простейшие свойства групп.
Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы групп. Подгруппы.
Симметрическая группа степени n.
Чётные и нечётные подстановки.
Лемма о нечётности транспозиций.
Знак подстановки, свойства знаков подстановок.
Циклы. Разложение подстановок в произведение циклов.
Понятие кольца. Примеры колец. Простейшие свойства кольца.
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца.
Понятие поля. Примеры полей. Простейшие свойства поля.
Гомоморфизмы и изоморфизмы полей. Подполя.
Построение поля комплексных чисел.
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Операция сопряжения комплексных чисел и её свойства.
Модуль комплексного числа. Свойства модуля: модуль произведения; неравенство треугольника.
Геометрические интерпретации комплексных чисел: интерпретация точками
плоскости; интерпретация векторами плоскости.
Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательные формы
записи комплексного числа, формула Эйлера.
Умножение и возведение в степень (формула Муавра) комплексных чисел,
записанных в тригонометрической и показательной форме.
Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения. Формулы для вычисления корней. Группа комплексных корней степени n из 1.
Теорема о мультисекции многочленов.
Числовые поля. Упорядоченные поля. Неупорядоченность поля комплексных
чисел.
n -мерные вектора над полем, операции над векторами и их свойства. Арифметическое n - мерное векторное пространство.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и независимости.
Коллоквиум №2.
Линейная оболочка системы векторов. Свойства линейных оболочек.
Теорема о линейной зависимости системы из ( k 1) -го вектора, принадлежащих линейной оболочке k векторов.
46
Эквивалентные системы векторов. Теорема о том, что эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат одинаковое число векторов.
Элементарные преобразования системы векторов. Эквивалентность систем
векторов, одна из которых получена цепочкой элементарных преобразований
из другой системы векторов.
Базис и ранг конечной системы векторов. Теорема о том, что два базиса содержат одинаковое число векторов.
Ранг конечной системы векторов. Свойства рангов.
Системы линейных уравнений однородные и неоднородные.
Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные
системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.
Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера Капелли.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой.
Теоремы о следствии систем линейных уравнений.
Ступенчатые матрицы.
Решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.
Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры из
поля. Свойства операций над матрицами.
Техника матричного умножения. Неравенства для ранга произведения матриц.
Транспонирование произведения матриц.
Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица, группа обратимых матриц.
Элементарные матрицы и их свойства.
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных матриц.
Условия обратимости матриц.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.
Коллоквиум №3.
Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке
или столбцу.
Определитель произведения матриц.
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
Правило Крамера.
47
Теоремы о ранге матрицы.
Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства векторных пространств.
Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства.
Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств.
Линейная оболочка множества векторов.
Эквивалентные системы векторов.
Сумма подпространств. Свойства суммы подпространств.
Прямая сумма подпространств. Условие того, что сумма двух подпространств прямая. Условие того, сумма нескольких подпространств прямая.
Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы
векторов.
Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства.
Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных пространств,
теорема о том, что все базисы состоят из одинакового числа векторов. Подпространства конечномерных пространств.
Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса
пространства. Представление пространства в виде прямой суммы двух подпространств.
Размерность векторного пространства. Свойства размерности.
Размерность прямой суммы. Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств.
Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно
данного базиса. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма.
Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного арифметического векторного пространства.
Тензоры. Операции над тензорами.
Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств со
скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные пространства с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональная система векторов. Ортогональный базис.
Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение
подпространства. Теорема о представлении пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых векторных пространств.
Норма вектора. Свойства нормы. Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника. Примеры неравенств в конкретных пространствах.
48
Ортонормированный базис евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Коллоквиум №4.
Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений. Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе.
Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.
Операции над линейными отображениями. Пространство линейных отображений.
Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех линейных операторов на множество всех квадратных матриц.
Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) . Матрица суммы
линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на скаляр.
Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие
матриц и свойства подобия.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных алгебр.
Алгебры линейных операторов.
Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре.
Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора.
Полная линейная группа. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых матриц.
Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.
Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным
собственным значениям.
Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы оператор имел простой спектр.
Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
Коллоквиум №5.
Группы, примеры групп. Подгруппы, примеры подгрупп, пересечение подгрупп. Порядок группы, порядок подгруппы.
49
Отношение сравнимости по подгруппе. Свойства отношения сравнимости.
Правые смежные классы. Левые смежные классы.
Свойства смежных классов.
Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
Порядок элемента группы. Свойства порядка элемента группы.
Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Циклические группы. Изоморфизм циклической группы аддитивной группе
целых чисел или группе корней степени n из 1.
Порядок элемента конечной группы делит порядок группы. Любая конечная
группа простого порядка циклична.
Каждая подгруппа циклической группы циклична.
Нормальные делители группы. Свойства нормальных делителей.
Фактор - группы.
Ядро гомоморфизма. Ядро гомоморфизма - нормальный делитель, свойства
ядра.
Теорема о гомоморфизмах групп.
Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового
числа, свойства нормы.
Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов.
Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости по
идеалу. Свойства сравнений.
Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец.
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является либо
0, либо простое число.
Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее подкольцо кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть поле.
Коллоквиум №6.
Гл. I Элементы векторной алгебры в евклидовом пространстве.
§ 1. Направление на прямой, в плоскости и в пространстве.
§ 2. Равные (эквиполлентные ) направленные отрезки.
§ 3. Определение вектора.
§ 4. Линейная зависимость векторов.
§ 5. Базис системы векторов.
§ 6. Координаты вектора.
§ 7. Ортонормированный базис множества векторов
пространства
§ 8. Скалярное произведение двух векторов пространства.
§ 9. Ориентация плоскости.
§ 10 Векторное произведение двух векторов
§ 11 Смешанное произведение трех векторов
50
Гл. II. Метод координат в пространстве и на плоскости
§ 1. Аффинная система координат пространства
§ 2. Декартова система координат
§ 3. Формулы перехода от одной аффинной системы
координат к другой.
§ 4. Система координат плоскости.
§ 5. Метод координат решения задач.
Гл. III. Плоскость и прямая в пространстве. Прямая на плоскости.
§ 1. Уравнения плоскости.
§ 2. Расположение плоскости относительно осей координат,
координатных плоскостей и начала координат.
§ 3. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
§ 4. Полупространство.
§ 5. Метрические задачи.
§ 6. Пучок и связка плоскостей.
§ 7. Уравнения прямой в пространстве.
§ 8. Взаимное расположение прямых в пространстве.
§ 9. Метрические задачи о прямых
§ 10 Взаимное расположение прямой и плоскости.
§ 11. Взаимное расположение прямых.
§ 12. Уравнения прямой в плоскости.
§ 13. Расположение прямой относительно осей координат,
и начала координат.
§14. Взаимное расположение двух прямых.
§ 15. Полуплоскость.
§ 16. Метрические задачи.
§ 17. Пучок прямых.
Гл.IV. Кривые второго порядка
§ 1. Алгебраические кривые.
§ 2. Эллипс.
§ 3. Гипербола.
§ 4. Парабола.
§ 5. Приведение уравнения кривой второго порядка к
каноническому виду и классификация кривых второго
порядка.
Гл. V. Преобразования плоскости
§ 1. Группа движений.
§ 2. Теорема единственности.
§ 3. Движения первого и второго родов.
§ 4. Классификация движений по числу неподвижных точек.
§ 5. Подгруппы группы движений.
51
§ 6. Группа аффинных преобразований плоскости.
§ 7. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 8. Аффинные преобразования в координатах.
§ 9. Классификация аффинных преобразований по числу неподвижных точек.
§ 10. Группа преобразований подобия.
§ 11. Подгруппы группы аффинных преобразований
Коллоквиум № 7.
Гл. VI. Поверхности второго порядка
§ 1. Алгебраические поверхности.
§ 2. Поверхности вращения.
§ 3. Метод сечения исследования поверхностей.
§ 4. Эллипсоид.
§ 5. Гиперболоиды.
§ 6. Параболоиды.
§ 7. Цилиндрические и конические поверхности.
§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго
порядка.
§ 9. Конические сечения.
Гл. VII. Преобразования пространства
§ 1. Группа аффинных преобразований пространства.
§ 2. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 3. Аффинные преобразования в координатах.
§ 4. Группа движений пространства.
§ 5. Движения первого и второго родов.
§ 6. Движение в координатах.
§ 7. Группа преобразований подобия пространства
Гл. III. Аффинное и евклидово n-мерные пространства
§ 1. Система аксиом Вейля n-мерного аффинного
пространства.
§ 2. k - плоскость. Свойства k – плоскостей.
§ 3. Аффинная система координат n-мерного аффинного
пространства, простейшие задачи.
§ 4. Уравнения k - плоскости.
§ 5. Группа аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства
§ 6. Евклидово n-мерное пространство.
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
1 семестр
Бинарные и n-местные операции.
Свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность.
52
Основное свойство ассоциативных операций.
Понятие алгебры.
Понятие группы. Примеры групп.
Простейшие свойства групп.
Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы групп. Подгруппы.
Симметрическая группа степени n.
Чётные и нечётные подстановки.
Лемма о нечётности транспозиций.
Знак подстановки, свойства знаков подстановок.
Циклы. Разложение подстановок в произведение циклов.
Понятие кольца. Примеры колец. Простейшие свойства кольца.
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца.
Понятие поля. Примеры полей. Простейшие свойства поля.
Гомоморфизмы и изоморфизмы полей. Подполя.
Построение поля комплексных чисел.
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Операция сопряжения комплексных чисел и её свойства.
Модуль комплексного числа. Свойства модуля: модуль произведения; неравенство треугольника.
Геометрические интерпретации комплексных чисел: интерпретация точками
плоскости; интерпретация векторами плоскости.
Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательные формы
записи комплексного числа, формула Эйлера.
Умножение и возведение в степень (формула Муавра) комплексных чисел,
записанных в тригонометрической и показательной форме.
Корни из комплексных чисел и двучленные уравнения. Формулы для вычисления корней. Группа комплексных корней степени n из 1.
Теорема о мультисекции многочленов.
Числовые поля. Упорядоченные поля. Неупорядоченность поля комплексных
чисел.
n -мерные вектора над полем, операции над векторами и их свойства. Арифметическое n - мерное векторное пространство.
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и независимости.
Линейная оболочка системы векторов. Свойства линейных оболочек.
Теорема о линейной зависимости системы из ( k 1) -го вектора, принадлежащих линейной оболочке k векторов.
Эквивалентные системы векторов. Теорема о том, что эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат одинаковое число векторов.
Элементарные преобразования системы векторов. Эквивалентность систем
векторов, одна из которых получена цепочкой элементарных преобразований
из другой системы векторов.
Базис и ранг конечной системы векторов. Теорема о том, что два базиса содержат одинаковое число векторов.
Ранг конечной системы векторов. Свойства рангов.
53
Системы линейных уравнений однородные и неоднородные.
Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные
системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.
Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера Капелли.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой.
Теоремы о следствии систем линейных уравнений.
Ступенчатые матрицы.
Решения систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.
Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры из
поля. Свойства операций над матрицами.
Техника матричного умножения. Неравенства для ранга произведения матриц.
Транспонирование произведения матриц.
Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица, группа обратимых матриц.
Элементарные матрицы и их свойства.
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных матриц.
Условия обратимости матриц.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.
Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке
или столбцу.
Определитель произведения матриц.
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
Правило Крамера.
Теоремы о ранге матрицы.
Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства векторных пространств.
Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства.
Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств.
Линейная оболочка множества векторов.
Эквивалентные системы векторов.
Сумма подпространств. Свойства суммы подпространств.
54
Прямая сумма подпространств. Условие того, что сумма двух подпространств прямая. Условие того, сумма нескольких подпространств прямая.
Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы
векторов.
Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства.
Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных пространств,
теорема о том, что все базисы состоят из одинакового числа векторов. Подпространства конечномерных пространств.
Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса
пространства. Представление пространства в виде прямой суммы двух подпространств.
Размерность векторного пространства. Свойства размерности.
Размерность прямой суммы. Связь между размерностями суммы и пересечения подпространств.
Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно
данного базиса. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма.
Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного арифметического векторного пространства.
Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств со
скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные пространства с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональная система векторов. Ортогональный базис.
Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с невырожденным скалярным умножением.
Ортогональное дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение
подпространства. Теорема о представлении пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых векторных пространств.
Норма вектора. Свойства нормы. Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника. Примеры неравенств в конкретных пространствах.
Ортонормированный базис евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
2 семестр
Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений. Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе.
Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.
Операции над линейными отображениями. Пространство линейных отображений.
55
Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех линейных операторов на множество всех квадратных матриц.
Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) . Матрица суммы
линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на скаляр.
Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие
матриц и свойства подобия.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных алгебр.
Алгебры линейных операторов.
Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре.
Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора.
Полная линейная группа. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых матриц.
Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.
Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным
собственным значениям.
Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы оператор имел простой спектр.
Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
Группы, примеры групп. Подгруппы, примеры подгрупп, пересечение подгрупп. Порядок группы, порядок подгруппы.
Отношение сравнимости по подгруппе. Свойства отношения сравнимости.
Правые смежные классы. Левые смежные классы.
Свойства смежных классов.
Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
Порядок элемента группы. Свойства порядка элемента группы.
Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Циклические группы. Изоморфизм циклической группы аддитивной группе
целых чисел или группе корней степени n из 1.
Порядок элемента конечной группы делит порядок группы. Любая конечная
группа простого порядка циклична.
Каждая подгруппа циклической группы циклична.
Нормальные делители группы. Свойства нормальных делителей.
Фактор - группы.
Ядро гомоморфизма. Ядро гомоморфизма - нормальный делитель, свойства
ядра.
56
Теорема о гомоморфизмах групп.
Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового
числа, свойства нормы.
Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов.
Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости по
идеалу. Свойства сравнений.
Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах колец.
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является либо
0, либо простое число.
Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее подкольцо кольца. Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть поле.
3 семестр
Гл. I Элементы векторной алгебры в евклидовом пространстве.
§ 1. Направление на прямой, в плоскости и в пространстве.
§ 2. Равные (эквиполлентные ) направленные отрезки.
§ 3. Определение вектора.
§ 4. Линейная зависимость векторов.
§ 5. Базис системы векторов.
§ 6. Координаты вектора.
§ 7. Ортонормированный базис множества векторов
пространства
§ 8. Скалярное произведение двух векторов пространства.
§ 9. Ориентация плоскости.
§ 10 Векторное произведение двух векторов
§ 11 Смешанное произведение трех векторов
Гл. II. Метод координат в пространстве и на плоскости
§ 1. Аффинная система координат пространства
§ 2. Декартова система координат
§ 3. Формулы перехода от одной аффинной системы
координат к другой.
§ 4. Система координат плоскости.
§ 5. Метод координат решения задач.
Гл. III. Плоскость и прямая в пространстве. Прямая на плоскости.
§ 1. Уравнения плоскости.
§ 2. Расположение плоскости относительно осей координат,
координатных плоскостей и начала координат.
§ 3. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
§ 4. Полупространство.
57
§ 5. Метрические задачи.
§ 6. Пучок и связка плоскостей.
§ 7. Уравнения прямой в пространстве.
§ 8. Взаимное расположение прямых в пространстве.
§ 9. Метрические задачи о прямых
§ 10 Взаимное расположение прямой и плоскости.
§ 11. Взаимное расположение прямых.
§ 12. Уравнения прямой в плоскости.
§ 13. Расположение прямой относительно осей координат,
и начала координат.
§14. Взаимное расположение двух прямых.
§ 15. Полуплоскость.
§ 16. Метрические задачи.
§ 17. Пучок прямых.
Гл.IV. Кривые второго порядка
§ 1. Алгебраические кривые.
§ 2. Эллипс.
§ 3. Гипербола.
§ 4. Парабола.
§ 5. Приведение уравнения кривой второго порядка к
каноническому виду и классификация кривых второго
порядка.
Гл. V. Преобразования плоскости
§ 1. Группа движений.
§ 2. Теорема единственности.
§ 3. Движения первого и второго родов.
§ 4. Классификация движений по числу неподвижных точек.
§ 5. Подгруппы группы движений.
§ 6. Группа аффинных преобразований плоскости.
§ 7. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 8. Аффинные преобразования в координатах.
§ 9. Классификация аффинных преобразований по числу неподвижных точек.
§ 10. Группа преобразований подобия.
§ 11. Подгруппы группы аффинных преобразований
Гл. VI. Поверхности второго порядка
§ 1. Алгебраические поверхности.
§ 2. Поверхности вращения.
§ 3. Метод сечения исследования поверхностей.
§ 4. Эллипсоид.
§ 5. Гиперболоиды.
§ 6. Параболоиды.
58
§ 7. Цилиндрические и конические поверхности.
§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго
порядка.
§ 9. Конические сечения.
Гл. VII. Преобразования пространства
§ 1. Группа аффинных преобразований пространства.
§ 2. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 3. Аффинные преобразования в координатах.
§ 4. Группа движений пространства.
§ 5. Движения первого и второго родов.
§ 6. Движение в координатах.
§ 7. Группа преобразований подобия пространства
Гл. III. Аффинное и евклидово n-мерные пространства
§ 1. Система аксиом Вейля n-мерного аффинного
пространства.
§ 2. k - плоскость. Свойства k – плоскостей.
§ 3. Аффинная система координат n-мерного аффинного
пространства, простейшие задачи.
§ 4. Уравнения k - плоскости.
§ 5. Группа аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства
§ 6. Евклидово n-мерное пространство.
1.12. Комплект экзаменационных билетов.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №1
Вопрос №1 Бинарные и n-местные операции. Понятие алгебры.
Вопрос №2 Равносильные системы линейных уравнений и элементарные
преобразования.
Вопрос №3 Операции над матрицами
59
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №2
Вопрос №1 Построение поля комплексных чисел.
Вопрос №2 Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Вопрос №3 Транспонирование произведения матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №3
Вопрос №1 Группа вращений треугольника.
Вопрос №2 Свойства линейной зависимости и независимости.
Вопрос №3 Свойства умножения матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
60
Е.Е.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №4
Вопрос №1 Группа вращений и симметрии треугольника.
Вопрос №2 Линейные оболочки и линейная зависимость. (Определение,
примеры; теорема 1).
Вопрос №3 Обратимые матрицы
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №5
Вопрос №1 Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Вопрос №2 Линейные оболочки и линейная зависимость. (Теорема 2; следствия 1 - 3).
Вопрос №3 Элементарные матрицы. Свойство 1 элементарных матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
61
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №6
Вопрос №1 Основное свойство ассоциативных операций.
Вопрос №2 Эквивалентные системы векторов.
Вопрос №3 Свойства 2 – 4 элементарных матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е.
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №7
Вопрос №1 Понятие группы. Примеры групп.
Вопрос №2 Элементарные преобразования системы векторов.
Вопрос №3 Вычисление обратной матрицы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №8
Вопрос №1 Симметрическая группа. Группа вращений и симметрии правильного треугольника.
Вопрос №2 Базис системы векторов.
62
Вопрос №3. Свойство обратимости.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №9
Вопрос №1 Простейшие свойства групп.
Вопрос №2 Ранг конечной системы векторов.
Вопрос №3 Условие обратимости матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №10
Вопрос №1 Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы групп.
Вопрос №2 Свойства ранга.
Вопрос №3 Запись и решение системы п линейных уравнений с п неизвестными в матричной форме.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
63
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №11
Вопрос №1 Подгруппы.
Вопрос №2 Следствие системы линейных уравнений.
Вопрос №3 Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителя.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №12
Вопрос №1 Понятие кольца. Примеры колец.
Вопрос №2 Равносильные системы линейных уравнений и элементарные
преобразования.
Вопрос №3 Основные свойства определителей (свойства 1-2).
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 5 от 22.12.2005 г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
64
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №13
Вопрос №1 Простейшие свойства кольца.
Вопрос №2 Равенство строчечные и столбцового рангов матрицы.
Вопрос №3 Основные свойства определителей (свойства 3-5).
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 5 от 22.12.2005 г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №14
Вопрос №1 Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Вопрос №2 Равносильные системы линейных уравнений и элементарные
преобразования.
Вопрос №3 Основные свойства определителей (свойства 6-8).
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 5 от 22.12.2005 г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
65
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №15
Вопрос №1 Построение поля комплексных чисел.
Вопрос №2 Равносильные системы линейных уравнений и элементарные
преобразования.
Вопрос №3 Операции над матрицами.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №16
Вопрос №1 Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Вопрос №2 Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Вопрос №3 Транспонирование произведения матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №17
Вопрос №1 Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
66
Вопрос №2 Свойства линейной зависимости и независимости.
Вопрос №3 Свойства умножения матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №18
Вопрос №1 Операция сопряжения.
Вопрос №2 Линейные оболочки и линейная зависимость. (Определение,
примеры; теорема 1).
Вопрос №3 Обратимые матрицы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №19
Вопрос №1 Модуль комплексного числа.
Вопрос №2 Линейные оболочки и линейная зависимость. (Теорема 2; следствия 1 - 3).
Вопрос №3 Элементарные матрицы. Свойство 1 элементарных матриц.
67
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №20
Вопрос №1 Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Вопрос №2 Эквивалентные системы векторов.
Вопрос №3 Свойства 2 – 4 элементарных матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №21
Вопрос №1 Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Вопрос №2 Элементарные преобразования системы векторов.
Вопрос №3 Вычисление обратной матрицы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
68
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №22
Вопрос №1 Показательная форма записи комплексного числа.
Вопрос №2. Базис системы векторов.
Вопрос №3. Свойство обратимости
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №23
Вопрос №1 Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Вопрос №2 Ранг конечной системы векторов.
Вопрос №3 Условие обратимости матриц.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
69
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, 1 курс, ПМИ, 1 семестр
Экзаменационный билет №24
Вопрос №1 Корни из комплексных чисел.
Вопрос №2 Свойства ранга.
Вопрос №3 Запись и решение системы п линейных уравнений с п неизвестными в матричной форме.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры.
Протокол № 4 от 22.12..2007г.
Е.Е.
2 семестр
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 1
1. Теорема о ранге матриц.
2. Понятие векторного пространства.
3. Линейные отображения и операторы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е.
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
70
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 2
1.Условия, при которых система «n» линейных однородных уравнений с «n» неизвестным
имеет ненулевое решение.
2. Простейшие свойства векторных пространств.
3. Ядро и образ линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 3
1. Правило Крамера.
2. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
3. Операции над линейными отображениями.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е.
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 4
1. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной.
2. Понятие подпространства.
3. Матрица линейного оператора.
71
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 5
1. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
2. Линейная оболочка множества векторов.
3. Связь между координатными столбцами векторов a и f(a).
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 6
1. Определитель произведения матриц.
2. Эквивалентные системы векторов.
3. Ранг линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е.
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
72
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 7
1. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.
2. Базис конечной системы векторов.
3. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2006 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 8
1. Основные свойства определителей (свойства 1 – 3).
2. Линейные многообразия.
3. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 9
1. Основные свойства определителей (свойства 4 –8).
2. Ранг конечной системы векторов.
3. Понятие линейной алгебры. Алгебры линейных операторов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Е.Е.
73
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 10
1. Определитель Вандермонда.
2. Базис векторного пространства (определение, примеры, теорема 1).
3. Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной группы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е.
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 11
1. Формула вычисления определителя, у которого нули ниже побочной диагонали.
2. Базис векторного пространства (теорема 2).
3. Обратимые операторы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный педагогический университет»
74
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 12
1. Формула вычисления определителя, у которого нули ниже побочной диагонали.
2.Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса пространства.
3. Полная линейная группа.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 13
1. Определитель Вандермонда.
2. Размерность векторного пространства; свойства 1 – 4 размерности.
3. Собственные векторы и собственные значения.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е.
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 14
1. Основные свойства определителей (свойства 4 –8).
2. Свойства 5 – 6 размерности векторного пространства.
3. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Е.Е.
75
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 15
1. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.
2. Координатная строка вектора относительно данного базиса.
3. Характеристическое уравнение.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е.
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 16
1. Определитель Вандермонда.
2. Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма пространств; теорема 1.
3. Линейная независимость собственных векторов линейного оператора, принадлежащих по
парно различным собственным значениям.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.20067г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
76
Экзаменационный билет № 17
1. Теорема о ранге матриц.
2. Изоморфизм векторных пространств. Теоремы 2, 3.
3. Линейные операторы с простым спектром.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 26.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 18
1. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной.
2. Скалярное умножение в векторном пространстве.
3. Ядро и образ линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 19
1. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной.
2. Ортогональная система векторов.
3. Условия, при которых матрица подобна диагональной.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
77
Е.Е
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 20
1. Теорема о ранге матриц.
2. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
3. Операции над линейными отображениями.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 21
1. Теорема о ранге матриц.
2. Ортогональное дополнение к подпространству.
3. Матрица линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е.
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 22
1. Условия, при которых система «n» линейных однородных уравнений с «n» неизвестными
имеет ненулевое решение.
2. Определение евклидова векторного пространства.
78
3. Линейные отображения и операторы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007
г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 23
1. Определитель произведения матриц.
2. Норма вектора.
3. Ранг линейного оператора.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2006 г.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 24
1. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
2. Ортонормированный базис евклидова пространства.
3. Алгебры линейных операторов.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.27 г.
Е.Е.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Мурманский государственный педагогический университет»
79
(МГПУ)
Кафедра: алгебры, геометрии и прикладной математики
Наименование дисциплины: Геометрия и алгебра, ПМИ 1 курс, 2 семестр
Экзаменационный билет № 25
1. Свойства умножения матриц.
2. Изоморфизм евклидова пространства.
3. Обратимые операторы.
Зав. кафедрой АГ и ПМ
Е.Е. Маренич
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 10 от 25.05.2007 г.
1.13 Примерная тематика рефератов.
Циклы. Разложение подстановок в произведение циклов.
Теорема о мультисекции многочленов.
Числовые поля. Упорядоченные поля. Неупорядоченность поля комплексных
чисел.
Базис и ранг конечной системы векторов.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой.
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородные системы линейных уравнений.
Техника матричного умножения. Неравенства для ранга произведения матриц.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка.
Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий.
Тензоры. Операции над тензорами.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных алгебр.
Алгебры линейных операторов.
Полная линейная группа. Изоморфизм полной линейной группы группе обратимых матриц.
Отношение сравнимости по подгруппе. Свойства отношения сравнимости.
Правые смежные классы. Левые смежные классы.
Свойства смежных классов.
Циклические группы. Изоморфизм циклической группы аддитивной группе
целых чисел или группе корней степени n из 1.
Поле частных области целостности.
80
1.14 Примерная тематика курсовых работ.
Тема 1. Алгебры и алгебраические системы.
Бинарные и n-местные операции и их применение.
Композиция бинарных отношений, полугруппа бинарных отношений относительно композиции.
Операторы замыкания. Соответствия Галуа.
Группы и их применение.
Свойства симметрических групп.
Кольца и их применение.
Поля и их применение. Конечные поля.
Комплексные числа и их применение.
Теорема о мультисекции многочленов.
Применение комплексных чисел в геометрии.
Литература
1. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. - М.: Наука, 1976.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4. Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5. С. Ленг. Алгебра. Алгебра. - М.: Мир, 1968.
6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Тема 2. Линейная алгебра.
Вычисление определителей.
Миноры и алгебраические дополнения.
Дополнение по Шуру.
Симметрические функции и их применение.
Степенные суммы и числа Бернулли.
Двойственное пространство. Ортогональное дополнение.
Ядро и образ оператора. Фактор пространство.
Базисы. Линейная независимость.
Ранг матрицы.
Подпространства. Ортогонализация.
Унитарные пространства.
След и собственные значения оператора.
Жорданова нормальная форма.
Минимальный многочлен и характеристический многочлен.
Каноническая форма Фробениуса.
Нормальная форма Смита. Элементарные делители матриц.
Тензоры. Операции над тензорами. Симметрические и кососимметрические
тензоры.
Перестановочные матрицы.
Коммутаторы. Кватернионы и числа Кэли. Алгебры Клиффорда.
Теорема Витта.
Обобщённая обратная матрица. Скелетное разложение. Матричные уравнения.
81
Функции от матриц. Дифференцирование матриц.
Матрицы с предписанными собственными значениями.
Литература
1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Наука, 1969.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988.
3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: Наука, 1966.
4. Кострикин А.И., Манин Ю.И. - Линейная Геометрия и алгебра. - М.:
Наука, 1986.
5. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1975.
6. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. - - М.: Наука, 1996.
7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
Теория Галуа.
Конечные подгруппы SO(3).
Математический аппарат теории кодирования
Применение теории матроидов в прикладных задачах
Прикладные задачи дискретной математики
Алгоритмы и их применение
Практический курс алгоритмических задач
Математические методы и модели в экономике
Композиция бинарных отношений, полугруппа бинарных отношений относительно композиции. Операторы замыкания. Соответствия Галуа.
Группы и их применение.
Свойства симметрических групп.
Кольца и их применение.
Поля и их применение. Конечные поля.
Комплексные числа и их применение.
Теорема о мультисекции многочленов.
Применение комплексных чисел в геометрии.
Дополнение по Шуру.
Симметрические функции и их применение.
Степенные суммы и числа Бернулли.
Двойственное пространство. Ортогональное дополнение.
Ядро и образ оператора. Фактор пространство.
Базисы. Линейная независимость.
Подпространства. Ортогонализация.
Унитарные пространства.
След и собственные значения оператора.
Жорданова нормальная форма.
Минимальный многочлен и характеристический многочлен.
Каноническая форма Фробениуса.
Нормальная форма Смита. Элементарные делители матриц.
82
Тензоры. Операции над тензорами. Симметрические и кососимметрические
тензоры.
Перестановочные матрицы.
Коммутаторы. Кватернионы и числа Кэли. Алгебры Клиффорда.
Теорема Витта.
Обобщённая обратная матрица. Скелетное разложение. Матричные уравнения.
Функции от матриц. Дифференцирование матриц.
Матрицы с предписанными собственными значениями.
Многочлены и их применение.
Интерполяционные формулы. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционная формула Лагранжа.
Теорема Лукаса о сравнениях для биномиальных коэффициентов. Условия,
при которых биномиальный коэффициент сравним с нулём по простому модулю.
Кольцо многочленов над полем евклидово, кольцо главных идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условия неприводимость
многочленов. Свойства неприводимых многочленов.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
в кольце многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного.
Формальная производная и её применения.
Кратность корня многочлена.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной
дроби в сумму простейших дробей.
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от многих переменных.
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены.
Формулы Виетта.
Степенные суммы. Формулы Ньютона.
Дискриминант многочлена.
Результант.
Теоремы о числе комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени n.
«Нестандартные» методы решения алгебраических уравнений. «Нестандартные» методы решения задач с параметрами.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Система многочленов Штурма и её свойства. Отделение действительных
корней многочлена с действительными коэффициентами.
Делимость и её применение.
Простые числа и их применение.
Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел. Элементарное доказательство асимптотического закона.
Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
83
Разложение действительных чисел в цепные дроби.
Разложение числа e в цепную дробь.
Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
Приближение действительных чисел подходящими дробями. Оценки сверху
и снизу для приближения действительного числа подходящей дробью.
Теорема Туэ.
Трансцендентные числа. Трансцендентность числа e.
Сравнения в кольце целых чисел, и их применение.
Мультипликативные функции и их свойства. Функция Мёбиуса и её свойства.
Функция Эйлера.
Теорема Эйлера, теорема Ферма и их применение.
Суммы Гаусса.
Квадратичные вычеты и невычеты. Критерий Эйлера.
Символ Лежандра. Закон взаимности.
Арифметические применения теории квадратичных вычетов.
Решение диофантовых уравнений.
Арифметические свойства комбинаторных последовательностей.
Числа Стирлинга первого и второго рода. Числа Белла.
Числа Каталана, их свойства и применение.
Число пересечений графа.
Комбинаторные свойства отношения пересечения. Теорема Эрдёша -Ко - Радо.
Теорема Шпернера для частично упорядоченных множеств.
Комбинаторика частично упорядоченных множеств.
Операторы замыкания упорядоченных множеств.
Алгебра пересечений.
Свойства решётки расширений.
Комбинаторные свойства разбиений.
Кольца формальных степенных рядов от многих переменных, их свойства и
применение.
Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов.
Изоморфизмы кольца формальных степенных рядов и колец последовательностей, свойства изоморфизмов.
Формула Варинга. Формула Фоа ди Бруно.
Характеризация рациональных формальных степенных рядов от одной переменной через свойства производящих последовательностей.
Комбинаторные применения формальных степенных рядов.
Комбинаторика в примерах и задачах.
Линейные рекуррентные уравнения и их применение.
Применение однородных рекуррентных линейных уравнений второго порядка к решению перечислительных задач.
Числа Фибоначчи, их свойства и применение.
Применение однородных рекуррентных линейных уравнений второго порядка к решению перечислительных задач.
84
Асимптотическое решение рекуррентных уравнений.
Нахождение кратчайшего пути в графе. Метод пометок.
Дерево, лес. Характеризация деревьев. Код Прюфера, формула Кэли.
Связность, рёберная связность графа. Компоненты связности графа их число.
Перечисление графов.
Дерево, лес. Характеризация деревьев. Код Прюфера, формула Кэли.
Эйлеровы графы, критерии эйлеровости.
Гамильтоновы графы, признаки гамильтоновости.
Паросочетания, совершенные паросочетания. Двудольные графы. Теорема
Кёнига о паросочетаниях в двудольном графе. Следствия теоремы Кёнига.
Венгерский алгоритм.
Укладка графов. Планарные графы. Плоские графы. Формула Эйлера для
полиэдров. Гомеоморфизм графов. Непланарность графов K5 и K 3,3 . Критерии планарности, теорема Понтрягина - Куратовского.
Раскраски графа. Раскрашиваемость вершин планарного графа пятью красками. Гипотеза четырёх красок.
Комбинаторика в школьном курсе математики.
Задача о числе ожерелий.
Комбинаторные свойства числовых разбиений.
Теорема Минковского - Фаркаса.
Теорема двойственности.
Симплекс - метод решения задач линейного программирования.
Транспортная задача.
Нелинейное программирование. Дискретное программирование. Динамическое программирование.
Классические неравенства.
1.16 Методика исследования (если есть).
следования.
Фундаментальные методы ис-
1.17 Для оценивания знаний студентов по дисциплине «Алгебра» применяется предусмотренная нормативными документами система оценок: «отлично»,
«хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно».
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
По дисциплине «Геометрия и алгебра» нет заочной формы обучения.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
1 семестр. 40 часов
Глава 1. Алгебры и алгебраические системы. 10 часов
§1. Алгебры и алгебраические системы. 4 часа
85
1) Бинарные и n-местные операции. Свойства бинарных операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Основное свойство ассоциативных операций. Понятие алгебры. Понятие группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы групп. Подгруппы. Симметрическая группа степени n. Чётные и нечётные подстановки.
Лемма о нечётности транспозиций. Знак подстановки, свойства знаков подстановок. -2 часа
2)
Циклы. Разложение подстановок в произведение циклов. Понятие
кольца. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Гомоморфизмы и
изоморфизмы колец. Подкольца. Понятие поля. Примеры полей. Простейшие
свойства поля. Гомоморфизмы и изоморфизмы полей. Подполя. -2 часа
Литература
§2. Поле комплексных чисел. 6 часов
1)
Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма записи
комплексного числа. Операция сопряжения комплексных чисел и её свойства. Модуль комплексного числа. Свойства модуля: модуль произведения;
неравенство
треугольника. -2 часа
2)
Геометрические интерпретации комплексных чисел: интерпретация
точками плоскости; интерпретация векторами плоскости. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа, формула Эйлера. -2 часа
3) Умножение и возведение в степень (формула Муавра) комплексных чисел, записанных в тригонометрической и показательной форме. Корни из
комплексных чисел и двучленные уравнения. Формулы для вычисления корней. Группа комплексных корней степени n из 1. Теорема о мультисекции
многочленов. Числовые поля. Упорядоченные поля. Неупорядоченность поля
комплексных чисел. -2 часа
Литература основная.
1) Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2)Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3)Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4)Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5) Маренич Е.Е. Алгебра и теория чисел. Комплексные числа. Теория и
практика. –Мурманск: МГПИ, 1998.
6)Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука,1984.
7) Шафаревич И.Р. «Основные понятия алгебры», Ижевск, 1999 г.
Глава 2. Системы линейных уравнений. 14 часов
§1. Арифметическое векторное пространство.6 часов
86
1) n -мерные вектора над полем, операции над векторами и их свойства.
Арифметическое n - мерное векторное пространство. Линейная зависимость
и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и независимости. Линейная оболочка системы векторов. Свойства линейных оболочек. -2 часа
2) Теорема о линейной зависимости системы из (k 1) -го вектора, принадлежащих линейной оболочке k векторов Эквивалентные системы векторов.
Теорема о том, что эквивалентные линейно независимые системы векторов
содержат одинаковое число векторов. Элементарные преобразования системы векторов. Эквивалентность систем векторов, одна из которых получена
цепочкой элементарных преобразований из другой системы векторов. -2 часа
3) Базис и ранг конечной системы векторов. Теорема о том, что два базиса
содержат одинаковое число векторов. Ранг конечной системы векторов.
Свойства рангов. -2 часа
§2. Системы линейных уравнений. 4 часа
1) Системы линейных уравнений однородные и неоднородные. Решения системы линейных уравнений. Следствия системы. Равносильные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. -2 часа
2) Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений, теорема Кронекера - Капелли.
Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решений ассоциированной с ней однородной системой. Теоремы о следствии
систем линейных уравнений. -2 часа
§3. Ступенчатые матрицы и системы линейных уравнений. 4 часа
1) Ступенчатые матрицы. Решения систем линейных уравнений методом
последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). -2 часа
2) Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система
решений однородные системы линейных уравнений. -2 часа
Литература основная.
2) Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
3) Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
4) Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
5) Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
6) Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
7) Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
8) Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
9) Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
87
Глава 3. Матрицы и определители. 16 часов
§1. Матрицы и операции над матрицами. 4 часа
Операции над матрицами: сложение, умножение и умножения на скаляры
из поля. Свойства операций над матрицами. Техника матричного умножения.
Неравенства для ранга произведения матриц. Транспонирование произведения матриц.
§2. Обратимые матрицы. 4 часа
1) Единичная матрица, обратимая матрица, обратная матрица, группа обратимых матриц. Элементарные матрицы и их свойства. -2 часа
2) Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных матриц. Условия обратимости матриц. Запись и решение системы n линейных уравнений с
n неизвестными в матричной форме. -2 часа
§3. Определители. 8 часов
1) Определитель квадратной матрицы. Простейшие свойства определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей n-го
порядка. -2 часа
2) Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по
строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Необходимые и
достаточные условия равенства нулю определителя. Правило Крамера.
Теоремы о ранге матрицы. -2 часа
2 семестр – 44часа
Глава 4. Векторные пространства. 20 часов
§1. Векторные пространства. 2 часа
Определение векторного пространства над полем. Примеры векторных
пространств. Простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость векторов векторного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
§2. Подпространства векторного пространства. 4 часа
3) Понятие подпространства. Примеры подпространств. Свойства подпространств. Пересечение подпространств. Линейная оболочка множества
векторов. Эквивалентные системы векторов. -2 часа
4) Сумма подпространств. Свойства суммы подпространств. Прямая сумма
подпространств. Условие того, что сумма двух подпространств прямая.
Условие того, сумма нескольких подпространств прямая. Линейные многообразия. Свойства линейных многообразий. -2 часа
§3. Базис и размерность векторного пространства. 8 часов
88
5) Базис и ранг конечной системы векторов. Свойства рангов конечной системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис векторного пространства. Теорема о существовании базиса ненулевых конечномерных пространств, теорема о том, что все базисы состоят из одинакового числа векторов. -2 часа
6) Подпространства конечномерных пространств. Дополнение линейно независимой системы векторов пространства до базиса пространства. Представление пространства в виде прямой суммы двух подпространств. -2 часа
7) Размерность векторного пространства. Свойства размерности. Размерность прямой суммы. Связь между размерностями суммы и пересечения
подпространств. Координаты вектора в базисе. Координатная строка вектора относительно данного базиса. -2 часа
8) Изоморфизм векторных пространств. Свойства изоморфизма. Изоморфизм n- мерного векторного пространства и n- мерного арифметического
векторного пространства. Тензоры. Операции над тензорами. -2 часа
§4. Векторное пространство со скалярным умножением. 4 часа
1) Скалярное умножение в векторном пространстве. Примеры пространств
со скалярным умножением. Свойства скалярного умножения. Векторные
пространства с невырожденным скалярным умножением. -2 часа
2) Ортогональная система векторов. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грамма- Шмидта. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве с невырожденным скалярным умножением. Ортогональное
дополнение к подпространству. Ортогональное дополнение подпространства.
Теорема о представлении пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения. -2 часа
§5. Евклидовы векторные пространства. 2 часа
Определение евклидова векторного пространства. Примеры евклидовых
векторных пространств. Норма вектора. Свойства нормы.
Неравенство Коши - Буняковского, неравенство треугольника. Примеры
неравенств в конкретных пространствах. Ортонормированный базис евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса. Изоморфизмы евклидовых пространств. -2 часа
Литература основная.
1)Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
2)Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
3)Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел. - М.: Просвещение, 1993.
4)Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
5)Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая
школа, 1974.
6)Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал, 1995.
89
7)Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Глава 5. Линейные операторы. 12 часов
§1. Линейные отображения. 3часа
3) Линейные отображения и операторы, примеры линейных отображений.
Теорема о единственности линейного отображения заданного на базисе. 1 час
4) Ядро и образ линейного оператора. Пространство образов и ядерное пространство. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о сумме ранга и
дефекта линейного оператора. Операции над линейными отображениями.
Пространство линейных отображений. -2 часа
§2. Представление линейных операторов матрицами. 3 часа
3) Матрица линейного оператора. Биективное отображение множества всех
линейных операторов на множество всех квадратных матриц. Связь между координатными столбцами векторов a и f (a ) . Матрица суммы линейных операторов, матрица линейного оператора, умноженного на скаляр. 1 час.
4) Равенство ранга линейного оператора и ранга матрицы этого оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных
базисов. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Подобие матриц и свойства подобия. -2 часа
§3. Линейные алгебры. 2 часа
Понятие линейной алгебры. Ранг линейной алгебры. Примеры линейных
алгебр. Алгебры линейных операторов. Изоморфизм алгебры линейных операторов полной матричной алгебре. Условия обратимости линейного оператора. Матрица обратимого оператора. Полная линейная группа. Изоморфизм
полной линейной группы группе обратимых матриц.
§4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. 4
часа
3) Простейшие свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Нахождение собственных векторов и собственных
значений линейного оператора. Характеристическое уравнение. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным
собственным значениям. -2 часа
4) Линейные операторы с простым спектром. Необходимые и достаточные
условия для того, чтобы оператор имел простой спектр. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице. -2 часа
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
90
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Глава 6. Элементы теории групп и колец. 12часов
§1. Группы, подгруппы, смежные классы, теорема Лагранжа. 2 часа
Группы, примеры групп. Подгруппы, примеры подгрупп, пересечение подгрупп. Порядок группы, порядок подгруппы. Отношение сравнимости по подгруппе. Свойства отношения сравнимости. Правые смежные классы. Левые смежные классы. Свойства смежных классов. Индекс подгруппы.
Теорема Лагранжа.
§2. Циклические группы. 4 часа
3) Порядок элемента группы. Свойства порядка элемента группы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. -2 часа
4) Циклические группы. Изоморфизм циклической группы аддитивной
группе целых чисел или группе корней степени n из 1. Порядок элемента конечной группы делит порядок группы. Любая конечная группа
простого порядка циклична. Каждая подгруппа циклической группы
циклична. -2 часа
§3. Нормальные делители и фактор - группы. Теорема о гомоморфизмах. 2
часа
Нормальные делители группы. Свойства нормальных делителей.
Фактор - группы. Ядро гомоморфизма. Ядро
гомоморфизма -нормальный делитель, свойства ядра. Теорема о гомоморфизмах групп.
§4. Кольца. Идеалы кольца. Фактор - кольцо. 4 часа.
4) Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового числа, свойства нормы. -1 час
5) Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости по
идеалу. Свойства сравнений. -2 часа
91
6) Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является либо 0, либо простое число. Наименьшее подкольцо кольца. –1час.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
3 семестр. 44 часа лекций.
Глава 1. Элементы векторной алгебры в евклидовом пространстве. 5 часов
§ 1. Направление на прямой, в плоскости и в пространстве.
Одинаково направленные лучи на прямой, в плоскости и в пространстве. Эквивалентность одинаковой направленности лучей. Направление на
прямой, в плоскости и в пространстве.
§ 2. Равные (эквивалентно направленные) отрезки.
Направленные отрезки. Равные (эквиполлентные) направленные отрезки. Сумма направленных отрезков. Произведение направленного отрезка и
действительного числа.
1 час
§ 3. Определение вектора.
Эквивалентность равенства направленных отрезков. Определение вектора. Сложение и вычитание векторов и его свойства. Умножение вектора на
число и его свойства.
§ 4. Линейная зависимость векторов.
Линейная зависимость векторов. Свойства линейно зависимой и линейно независимой систем векторов. Базис системы векторов.
1 час
§ 5. Базис системы векторов.
Базисы множества векторов прямой, плоскости, пространства.
§ 6. Координаты вектора.
Координаты вектора. Координаты суммы, разности двух векторов; произведения вектора на число. Признак коллинеарности двух векторов.
§ 7. Ортонормированный базис множества векторов пространства
Ортонормированный базис множества векторов пространства. Вычисление модуля вектора через его координаты в ортонормированном базисе.
1 час
§ 8. Скалярное произведение двух векторов пространства.
92
Скалярное произведение двух векторов пространства, его свойства. Скалярное произведение двух векторов плоскости.
§ 9. Ориентация плоскости.
Матрица перехода от одного базиса векторов плоскости к другому.
Свойство определителей матриц перехода от одного базиса векторов плоскости к другому. Одинаковая ориентированность двух базисов плоскости. Эквивалентность одинаковой ориентированности двух базисов плоскости. Вращение плоскости. Теорема о количестве вращений плоскости. Ориентация
плоскости. Ориентация пространства.
1 час
§ 10 Векторное произведение двух векторов
Векторное произведение двух векторов, его свойства.
§ 11 Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение трех векторов, его свойства.
1 час
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 2. Метод координат в пространстве и на плоскости. 5 часов
§ 1. Аффинная система координат пространства. 1 час
Система координат пространства. Аффинная система координат пространства. Нахождение координат вектора, через координаты его начала и
конца. Деление отрезка в данном отношении.
§ 2. Декартова система координат. 1 час
. Декартова система координат. Расстояние между двумя точками. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.
§ 3. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой. 1
час
93
Система координат плоскости. Аффинная система координат плоскости.
Нахождение координат вектора, через координаты его начала и конца. Деление отрезка в данном отношении. Декартова система координат. Расстояние
между двумя точками. Формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой.
§ 4. Система координат плоскости. 1 час
Примеры других систем координат на плоскости и в пространстве.
§ 5. Метод координат решения задач. 1 час
Метод координат решения задач.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 3. Плоскость и прямая в пространстве. Прямая на плоскости. 5 часов
§ 1. Уравнения плоскости.
Уравнения плоскости. Признак принадлежности вектора плоскости.
§ 2. Расположение плоскости относительно осей координат, координатных
плоскостей и начала координат.
§ 3. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
1 час
§ 4. Полупространство.
§ 5. Метрические задачи.
Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
§ 6. Пучок и связка плоскостей.
Пучок плоскостей. Связка плоскостей.
1 час
§ 7. Уравнения прямой в пространстве.
§ 8. Взаимное расположение прямых в пространстве.
§ 9. Метрические задачи о прямых.
Угол между прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
94
1 час
§ 10 Взаимное расположение прямой и плоскости.
§ 11. Взаимное расположение прямых.
§ 12. Уравнения прямой в плоскости.
Уравнения прямой в плоскости. Признак принадлежности вектора прямой.
§ 13. Расположение прямой относительно осей координат, и начала координат.
§14. Взаимное расположение двух прямых.
1 час
§ 15. Полуплоскость.
§ 16. Метрические задачи.
Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.
§ 17. Пучок прямых.
1 час
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 4. Кривые второго порядка 5 часов
§ 1. Алгебраические кривые. 1 час
Алгебраические кривые. Порядок алгебраической кривой.
§ 2. Эллипс. 1 час
§ 3. Гипербола. 1 час
§ 4. Парабола.1 час
§ 5. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и
классификация кривых второго
порядка. 1 час
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
95
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 5. Преобразования плоскости. 6 часов
§ 1. Группа движений.
Движение плоскости. Группа движений. Инварианты группы движений
§ 2. Теорема единственности.
1 час
§ 3. Движения первого и второго родов.
Движения первого и второго родов. Движение в координатах.
§ 4. Классификация движений по числу неподвижных точек.
1 час
§ 5. Подгруппы группы движений.
Подгруппы группы движений. Равномерно разрывные группы движений.
Локально-евклидовы пространства
§ 6. Группа аффинных преобразований плоскости.
Преобразования подобия плоскости. Группа преобразований подобия.
Инварианты группы преобразований подобия. Теорема единственности. Преобразования подобия первого и второго родов. Преобразование подобия в
координатах. Гомотетия и ее свойства.
1 час
§ 7. Аффинные преобразования первого и второго родов.
§ 8. Аффинные преобразования в координатах.
1 час
§ 9. Классификация аффинных преобразований по числу неподвижных точек.
1 час
§ 10. Группа преобразований подобия.
Родственные преобразования и их свойства.
§ 11. Подгруппы группы аффинных преобразований
1 час
Литература основная.
96
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 6. Поверхности второго порядка. 6 часов
§ 1. Алгебраические поверхности.1 час
Алгебраические поверхности. Порядок алгебраической поверхности.
§ 2. Поверхности вращения.1 час
§ 3. Метод сечения исследования поверхностей.
§ 4. Эллипсоид.1 час
§ 5. Гиперболоиды.
§ 6. Параболоиды.1 час
§ 7. Цилиндрические и конические поверхности.
§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.1 час
§ 9. Конические сечения.1 час
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
97
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 7. Преобразования пространства. 6 часов
§ 1. Группа аффинных преобразований пространства. 1 час
Аффинные преобразования пространства. Группа аффинных преобразований пространства, ее инварианты.
§ 2. Аффинные преобразования первого и второго родов. 1 час
§ 3. Аффинные преобразования в координатах. 1 час
§ 4. Группа движений пространства.1 час
Движение пространства. Группа движений. Инварианты группы движений.
§ 5. Движения первого и второго родов. 1 час
§ 6. Движение в координатах.
§ 7. Группа преобразований подобия пространства. 1 час
Преобразования подобия пространства. Группа преобразований подобия.
Инварианты группы преобразований подобия.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
Глава 8. Аффинное и евклидово n-мерные пространства. 6 часов
§ 1. Система аксиом Вейля n-мерного аффинного пространства. 1 час
Система аксиом Вейля n-мерного аффинного пространства. Существование аффинного пространства любой размерности. Сравнимость точек по
подпространству пространства переносов
§ 2. k - плоскость. Свойства k – плоскостей. 1 час
98
k - плоскость. Свойства k - плоскости как класса эквивалентности. Принадлежность k - плоскостей. Пересечение k - плоскостей. Линейная оболочка
k - плоскостей. Точки общего положения.
§ 3. Аффинная система координат n-мерного аффинного пространства, простейшие задачи. 1 час
§ 4. Уравнения k - плоскости. 1 час
Уравнения k - плоскости. Аффинное отображение k - плоскостей, его
свойства
§ 5. Группа аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства 1
час
Группа аффинных преобразований n-мерного аффинного пространства,
ее инварианты. Аффинные преобразования первого и второго родов. Аффинные преобразования в координатах.
§ 6. Евклидово n-мерное пространство. 1 час
Евклидово n-мерное пространство. Связь аксиом школьного курса геометрии и системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.
Литература основная.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И. Сборник задач по алгебре и теории чисел.
- М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г, Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Высшая школа, 1974.
Сборник задач по алгебре. Под редакцией Кострикина А.И. - Факториал,
1995.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.:
Наука, 1977.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.:Наука,1990.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I.-М.: Просвещение,1986.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, - М.: Просвещение, 1973. Ч. I.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глосарий).
(страницы указаны в соответствии с учебником: Л. Я. Куликов.
Алгебра и теория чисел.- М.: Высшая школа;1979)
А
Абсолютное значение элемента 151
Абелева группа94
Автоморфизм алгебры84
99
- группы 99
- кольца 107
Аддитивная группа 95, 96, 135
--векторного пространства 246
--классов вычетов 356, 400
--кольца 104
--поля 146
Аддитивный моноид натуральных чисел 123
Аксиома математической индукции 119, 120
Алгебра 82
-кватернионов 299
-линейная 298
-линейных операторов 300
-матриц 299
Алгебраическая замкнутость поля 510
-независимость элементов 487
-система 112, 113
Алгебраический элемент 528
Алгебраическое расширение поля 531, 533
-число 537
Алгоритм Евклида 379
Алфавит 117
Арифметический корень n-ой степени 154
Арифметическое векторное пространство 175
Ассоциативность 76, 347
Ассоциированные элементы 445, 446
Б
Базис векторного пространства 256
--ортогональный 271
--ортонормированный 278
--системы векторов 182
Бинарная операция 75
Бинарное отношение 48,49
В
Вектор нормированный 277
-собственный 307, 309
Векторное пространство 245, 246
--арифметическое 175
--действительное 276
--евклидово 276
--конечномерное 256
--со скалярным умножением 270
100
Взаимно-простые числа 372, 375
Включения знак 40
Вполне упорядоченное множество 73
Выпуклый конус пространства 318
Высказывания 3-5
Г
Геометрическое представление комплексных чисел 164
Главные операции алгебры 82
-элементы алгебры 83
Гомоморфизм 84
-алгебраической системы 114
-алгебры 84
-векторного пространства 283
-группы 99
-кольца 107
Граф 52
-бинарного отношения 53
График предиката 52
Группа 94
-абелева 94
-симметрическая 96, 350
-циклическая 102, 355
Д
Двучленные сравнения 418
Делимость элементов 445
Делитель 445
-нуля 104, 105
-общий наибольший 372, 453, 454
-собственный 447
Дефект оператора 286
Диагональная матрица 227, 313, 314
Диаграммы Эйлера-Венна 45
Дизъюнкция 6
Дистрибутивность 76, 128, 129
Доказательство косвенное 19, 20
-от противного 19, 20
-по индукции 121
Дополнение множества 45
Дополнение ортогональное 273
Е
Евклидово пространство 276
Единица группы 95
101
-кольца 104
Единичный идеал 430
Естественное отображение 70
Естественный гомоморфизм 92
З
Зависимость линейная 176
Закон двойного отрицания 12
-Де Моргана 45
-исключенного третьего 10
-контрапозиции 12
-сокращения 98, 125
Замкнутое подмножество 80, 87
Знак включения 40
-подстановки 224
-принадлежности 39
-числа 224
И
Идеал 430
-главный 431, 448
-единичный 430
-нулевой 430
Изоморфизм алгебры 84
--линейных операторов 301
-алгебраической системы 111
-векторного пространства 266, 283
-группы 99
-евклидова пространства 280
-кольца 364, 430
Изоморфные алгебры 84
-алгебраические системы 114
-векторные пространства 266
-группы 99
-евклидовы пространства 280
-кольца 107
Импликация 7
Индекс числа по модулю 417
Исключение переменных 502, 503
Истинностная таблица 6, 7, 13
К
Канонические задачи линейного программирования 328, 335
Каноническое разложение на простые множители 367, 474
Квантор общности 28
102
-существования 28, 29
Класс вычетов 397, 432
- смежный 352
-эквивалентности 68
Кольцо 104
-главных идеалов 448
-евклидово 451
-классов вычетов 401
-коммутативное 104
-нулевое 104
-полиномов 489
-факториальное 450, 478
-целых чисел 139-141
-числовое 163
Коммутативная группа 94
Коммутативность 76, 124, 129
Комплексные числа 161
Композиция отображений 50, 56-58
Конгруэнция 81
Конечное расширение поля 533
Конъюнкция 6
Координатная строка вектора 265
Корень из единицы 159
-полинома 467
--кратный 483
--простой 483
Кратность корня 483
Критерий неприводимости Эйзенштейна 527
-несовместности системы неравенств 323
-совместности системы линейных уравнений 191
Л
Лексикографическое упорядочение 72, 493
Лемма Гаусса 476
-Даламбера 509
Линейная зависимость системы векторов 176, 247
-независимость системы векторов 176, 247
Оболочка 176, 251
Линейно упорядоченное множество 72
Линейное многообразие 253
-отображение векторного пространства 283
Линейный оператор обратимый 303, 304
--пространства 283
--с простым спектром 312
103
-порядок 72
Логика высказываний 8
Логическое следствие 14, 26
М
Математическая индукция 121
Матрица 210
-квадратная 210
-линейного оператора 289, 290
-обратимая 215, 240
-транспонированная 213
Многообразие линейное 253
Множество 39
-вполне упорядоченное 73
-замкнутое относительно операции 80
-линейно упорядоченное 72, 150
-упорядоченное 72
-частично упорядоченное 72
Модуль комплексного числа 163
Моноид 83, 346
-натуральных чисел (мультипликативный) 130
Мономорфизм алгебры 84
Н
Наибольший общий делитель 327, 453, 454
Наименьшее общее кратное 376, 455
-подкольцо кольца 437
Натуральные числа 119, 120
Независимость линейная 247, 248
Неприводимый полином 472
-элемент кольца 447
Неравенство треугольника 277
-Чебышева 392
Нейтральный элемент 77
НОД 372, 453
НО К 376, 455
Норма вектора 277
Нормальный делитель группы 358
Нулевое кольцо 104
Нулевой идеал 430
-элемент 80
Нуль 120, 146
О
Область целостности 104
104
-значений 50, 55
-определений 50, 55
Образ линейного оператора 286
Обратимый элемент 81, 98
Обратимая матрица 215
Объединение множеств 41
Однотипные алгебры 83
Операция бинарная 75
-n-местная 75
-сложения 80
-умножения 81
-унарная 75
Определитель матрицы 227
Ортонормированная система векторов 278
Отношение 49, 52
-антирефлексивное 66
-антисимметричное 66
-бинарное 49
-делимости 143
-изоморфизма 86, 99
-конгруэнтности 81, 91
-линейного порядка 72
-n-местное 52
-порядка 71, 131,148
-рефлексивное 65
Отношение симметричное 66
-строгого порядка 71
-транзитивное 66
-эквивалентности 65, 67, 68
Отображение 54,55
-инъективное 59
-линейное 283
Отрицание высказывания 6
П
Пара упорядоченная 48
Первообразный корень 415, 416
Переменная свободная 22
-связанная 28,29
-предметная 33
Пересечение множеств 42
Период систематической дроби 421
Подалгебра 87
Подгруппа 100, 350
Подкольцо 109
105
-наименьшее 437
Подмножество 40
-замкнутое в алгебре 87, 89
Подобные матрицы 297, 313
Подполе 146
-простое 146
Подпространство векторного пространства250
Подстановка 221
-нечетная 223
-обратная 222
-четная 223
Подсистема алгебраической системы 115
Поле 146
-алгебраически замкнутое 510, 537
-алгебраических чисел 537
-действительных чисел 153
-классов вычетов 404
-комплексных чисел 157, 161
-простое 146
-рациональных чисел 148
-скаляров 245
Поле упорядоченное 150
-частных 148, 439
-числовое 162
Полином минимальный 529
-неприводимый 472
-нормированный 466
-от нескольких переменных 486
-приводимый 472
-примитивный 475
-симметрический 459, 498
Полная линейная группа 305
-система вычетов 399
Полугруппа 346
Порядок 71, 72
-группы 94
-классов вычетов 413
-нестрогий 71
-строгий 71
-числа по модулю 413
-элемента группы 354
Правила введения и удаления 18
Правило Крамера 241
-отделения 19
Предикат 23, 25, 26, 27
106
Предикатные формулы 34
Предметные переменные 33
Приведенная система вычетов 402, 403
Принадлежности знак 39
Принцип математической индукции 121
Произведение матриц 211
Производная полинома формальная 480
Простое алгебраическое расширение поля 528, 531
-поле 146
-расширение поля 459
-трансцендентное расширение кольца 459, 461
-число 365
Простой корень полинома 483
Простой элемент области целостности 446
Противоположный элемент 80, 95
Противоречие 10
Процесс ортогонализации 272
Прямая сумма подпространств 252
Прямое произведение множеств 48, 49
Пустое множество 41
Р
Равенство полиномов алгебраическое 468
-функциональное 468
-множеств 39
Равносильные формулы 15
-предикаты 26
-системы уравнений 186
Разбиение множества 68
Разложение на простые множители 366, 450, 473, 478
-определителя 235
Размерность векторного пространства 260
Разность множеств 42
Ранг линейного оператора 294
-матрицы 189, 199, 200
-операции 75
-системы векторов 183
Распределение простых чисел 389
Расширение поля алгебраическое 533
--конечное 533
--простое 528
--составное 533, 534
--трансцендентное 459
Рациональные числа 148
Результант 502
107
Рефлексивное отношение 65
Решение системы линейных неравенств 335
---уравнений 185, 206-208, 220
Решение уравнений 515, 520
Решето Эратосфена 370
С
Свободная переменная 22
Свойства группы 97
-кольца 106
-поля 146
Связанная переменная 28, 29
Симметрическая группа 96, 350
Симметрический полином 495
Симплекс-метод 335
Система действительных чисел 150, 153
-алгебраическая 112
-векторов ортогональная 271
-линейных неравенств 317
--уравнений 185
---однородная 192, 203
Скалярное произведение 270
Следствие систем линейных уравнений 180, 195, 196
---неравенств 318
Смежный класс 352, 433
--левый 353
--правый 352
Собственное значение 307, 309
Собственный вектор 307, 309
-делитель элемента 447
Сравнение по идеалу 432
-по модулю 397
Стандартные задачи линейного программирования 327, 328, 335
Старший коэффициент полинома 460
Степенные вычеты 419
Степень полинома 446, 492
-элемента 529
Строгий порядок 71
Ступенчатая матрица 198
--приведенная 201
Сужение функции 63
Сумма пространств 251, 252
Т
Таблица истинности 6, 7
108
Тавтология 10
Теорема двойственности 330, 333
-Кронекера-Копелли 193
-Кэли 351
-Лагранжа 353
-Минковского 321
-о гомоморфизмах 362
-о делении с остатком 141, 142, 469
-Ферма 408
-Штурма 523
-Эйлера 408
Тернарное отношение 52
Тождественно истинная формула 10
-ложная формула 10
Транзитивное отношение 66
Трансцендентное расширение кольца 459, 488
Тригонометрическая форма комплексного числа 166, 168
Трисекция угла 541
У
Удвоение куба 541
Универсальное множество 44
Упорядочение лексикографическое 493
Упорядоченное множество 72
-поле 150
Уравнения третьей степени 515
-четвертой степени 520
Условие с одной свободной переменной 23
-с несколькими свободными переменными 23
Ф
Фактор-алгебра 91
Фактор-группа 359, 360
Фактор-кольцо 433, 434
Фактор-множество 68
Формула логики высказываний 8
Формулы Крамера 242
Фундаментальная система решений 204
Функция 54, 55
-инъективная 59
-обратная 60-62
-Эйлера 406
Х
Характеристика кольца 436
109
Характеристическое уравнение 310, 311
Ц
Целые числа 135, 139
Циклическая группа 102, 355
Ч
Числа алгебраические 537
-действительные 153
-комплексные 161
-сопряженные 163
-натуральные 119, 120
-простые 365
-рациональные 148
-целые 135, 139
Э
Эквивалентности отношение 65,67,68
Эквивалентность 67
-логическая 15
Эквивалентные системы векторов 180
Эквиваленция 8
Элемент алгебраический 528
-множества 39
-нейтральный 77
-обратный по умножению 81
-противоположный по сложению 80
-симметрический 78, 79
Элементарные преобразования системы векторов 181
-симметрические полиномы 496
Эндоморфизм алгебры 84
Эпиморфизм 84
Я
Ядро гомоморфизма 361
-линейного оператора 286
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач.
Глава 1. Алгебры и алгебраические системы.
§1. Алгебраические системы.
Группы.
Задача №1. Указать по две подгруппы у произвольной группы, у аддитивной группы целых чисел.
Решение.
1) Пусть G,, 1 , е – группа. Определим две её подгруппы.
110
a) H G , H замкнуто относительно операций умножения и взятия обратного. Поэтому группа G,, 1 , е является подгруппой группы G,, 1 , е , то
есть сама группа является подгруппой.
b) H e , H замкнуто относительно операций умножения и взятия обратного. Поэтому группа e,, 1 , е – подгруппа группы G,, 1 , е . Группа
e,, 1 , е называется единичной подгруппой.
Подгруппы группы G,, 1 , е , определенные в a) и b) называются тривиальными подгруппами группы G,, 1 , е . Другими словами, тривиальными
подгруппами группы G,, 1 , е являются сама группа и единичная подгруппа.
2) Z ,,,0 – аддитивная группа целых чисел
a) H Z , H замкнуто относительно операций «+,-». Поэтому Z, , ,0 –
подгруппа группы Z, , ,0 .
b) H 0, H замкнуто относительно операций «+,-». Поэтому 0,,,0 –
подгруппа группы Z, , ,0 .
Подгруппы, определенные в a) и b) – тривиальные подгруппы.
Пусть Zn – множество целых чисел, кратных числу n (то есть делящихся на n ). Другими словами, Zn , 2n, n,0, n, 2n, n Z . Zn замкнуто относительно операций сложения и взятия противоположного. Поэтому
Zn , , ,0 – подгруппа аддитивной группы целых чисел Z, , ,0 . При n 1
эта подгруппа совпадает с подгруппой, определенной в а). При n 0 эта подгруппа совпадает с группой, определенной в b).
Задача №2. Найти все правые смежные классы аддитивной группы целых чисел Z, , ,0 по подгруппе целых чисел, делящихся на целое число n .
Решение. Zn , , ,0 . Обозначим через 0 – правый смежный класс, которому принадлежит число 0.
z 0 z 0(Zn ) z z 0 Zn 0 Zn 0 Zn { , 2n, n,0, n, 2n, } , то есть
0 – это множество целых чисел, которые при делении на n имеют остаток 0.
Обозначим через 1 – правый смежный класс, которому принадлежит число 1.
z 1 z 1(Z n ) z z 1 Z n z 1 {,2n,n,0, n,2n, } z
def
{,1 2n,1 n,1,1 n,1 2n,} 1 Zn , то есть 1 1 Zn – это множество всех
целых чисел, которые при делении на n имеют остаток 1. И так далее.
Обозначим через n 1 – правый смежный класс, которому принадлежит
число ( n 1) .
z n 1 z (n 1)(Zn ) z (n 1) Zn {,2n,n,0, n,2n, } z
def
{ , n 1, 1, n 1, 2n 1,3n 1, 4n 1, } (n 1) Zn , то есть n 1 (n 1) Zn – это
множество всех целых чисел, которые при делении на n имеют остаток (n 1) .
Мы определили правые смежные классы:
111
0 , 1 ,…, n 1 .
(1)
Пусть 0 i n 1. Смежный класс i состоит из чисел, которые при делении на n дают остаток i . Так как каждое число при делении на n имеет некоторый остаток i , то никаких других смежных классов, кроме указанных в (1),
нет. Поэтому в нашем случае, существует n -правых смежных классов, кото-
рые заданы (1).
Если n выбрать конкретно, например, n 3 , то мы будем иметь три правых смежных класса: 0 , 1 , 2 , где
0 0 Z3 Z3 – множество целых чисел, которые при делении на 3
имеют остаток 0;
1 1 Z3 Z3 – множество целых чисел, которые при делении на 3
имеют остаток 1;
2 2 Z3 Z3 – множество целых чисел, которые при делении на 3
имеют остаток 2.
Задача №3. Доказать, что : (a) a a R \{0} ; : R \{0} R является гомоморфизмом мультипликативных груии.
Решение. Докажем, что – гомоморфизм.
1) a, b \{0} (a b) a b a b (a) (b) ;
2) a R \{0} (a 1 ) a 1 a 1 ( (a)) 1 ;
3) (1) 1 1.
Следовательно, : (a) a – гомоморфизм.
Задача №4. Пусть G R, , , 0 – аддитивная группа и H R , ,1 ,1 –
мультипликативная группа.
: (a) e a a R ;
: R R .
Доказать, что – гомоморфизм.
Решение.
1) a, b R (a b) e ab e a eb (a) (b) ;
2) a R (a) e a (e a ) 1 ( (a)) 1 ;
3) (0) e 0 1.
Следовательно, : (a) e a – гомоморфизм.
1)
2)
3)
4)
5)
Задачи для самостоятельного решения.
Назвать 4 мультипликативные группы.
Назвать 4 аддитивные числовые группы.
Придумать 2 функциональные группы.
Привести пример некоммутативной группы.
Привести примеры групп порядка 1,2,3,6,7.
112
6) Образуют ли группу множество пар (a, b) , где a 0, a, b R, относительно операции , определённой следующим образом:
def
(a1 , b1 ) (a 2 , b2 ) (a1a 2 , a1b2 a 2 ) ?
7) Пусть X 1, 2, , n.Образует ли группу
a) Множество всех чётных подстановок на множестве X ?
b) Множество всех нечётных подстановок на множестве X ?
8) Пусть S - совокупность подстановок, определённых на множестве
X 1, 2, , n. Образует ли S группу относительно композиции, если
S , (1,2)(3,4), (1,3)( 2,4), (1,4)( 2,3), где - тождественная подстановка?
9) Решить задачу 8) для множества
S , (1,3), (2,4), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3), (1,2,3,4), (1,4,3,2).
10) Образует ли группу относительно композиции множество строго возрастающих функций на отрезке [0, 1] со значениями (0) 0 , (1) 1?
11) Образует ли группу множество
G a bi | a, b целые нечётные числа
относительно операций , 1 , 1 ?
12) Образует ли группу множество G a bi | a, b целые нечётные числа
относительно операций +, -, выделенного элемента 0?
13) Образует ли группу множество
a 0 a, b - целые нечётные
G
0 b числа
0 0
относительно операций +, -,
?
0 0
14) Пусть , , - элементы мультипликативной группы. Записать в виде
произведения ( ) 1 , ( 1 ) 1 , ( ) 2 .
15) Доказать, что каждая группа порядка 2 коммутативна.
16) Доказать, что если в мультипликативной группе для любого элемента a
выполнено a 2 e , то группа коммутативна.
17) Решить уравнение v1 x 2 3 в группе вращений и симметрий правильного треугольника.
18) Решить уравнение 3 x v 2 v3 в группе вращений и симметрий квадрата.
§2. Поле комплексных чисел.
Задачи.
1) Построить поле комплексных чисел.
113
2
Решение. Рассмотрим множество R = {(a,b) a,bR }. Определим бинарные операции сложения «+», умножения «», унарную операцию минус «» и определим элементы 0, 1.
2
Для (a,b), (c,d) R
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d);
(a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc);
-(a,b) = (-a,-b).
Обозначим: 0 = (0,0), 1 = (1,0).
2
Докажем, что алгебра (R , + , , - , 0 , 1 ) является полем. Для этого прове2
рим, что алгебра (R , +, - , 0 ) есть абелева группа.
2
1/ Для (a,b), (c,d), (e,f ) R
(a,b)+((c,d)+(e,f )) = ((a,b)+(c,d))+(e,f ).
2/ Для (a,b) R
(a,b)+0 = (a,b).
2
3/ Для (a,b) R
(a,b)+(- (a,b)) = 0.
2
2
4/ Для (a,b),(c,d) R
(a,b)+(c,d) = (c,d))+ (a,b).
Проверим, что операция «» ассоциативна, т.е. для (a,b),(c,d),(e,f ) R
(a,b)((c,d)(e,f )) = ((a,b)(c,d))(e,f ).
Действительно,
(a,b)((c,d)(e,f )) = (a,b)(ce-df,cf+de) = (ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf),
((a,b)(c,d))(e,f) = (ac-bd,ad+bc)(e,f ) = (ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce).
2
2
Проверим левый закон дистрибутивности, т.е. для (a,b), (c,d), (e,f) R
(a,b)((c,d)+(e,f )) = (a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f ).
Действительно,
(a,b)((c,d)+(e,f)) = (a,b)(c+e,d+f ) = (ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be),
(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f ) = (ac-bd,ad+bc) + (ae-bf,af+be) =
= (ac-bd+ ae-bf, ad+bc+ af+be).
Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.
2
Из выше доказанного следует, что алгебра (R , + , , - , 0 ) есть кольцо.
2
Проверим, что кольцо (R , + , , - , 0 ) коммутативно, т.е.
2
для (a,b),(c,d) R
(a,b)(c,d) = (c,d)(a,b).
Действительно,
(a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc), (c,d)(a,b) = (ca-db,cb+da).
2
Проверим, что (R , + , , - , 0 ) кольцо с единицей 1, т.е. (a,b) R
1 (a,b) = (a,b).
Действительно,
114
2
1 (a,b) = (1,0)(a,b) = (1a - 0b,1b + 0a) = (a,b).
Т.к. (1,0) (0,0), то 1 0.
2
Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца (R , + , , - , 0 ) обра2
2
тим. Пусть (a,b) (0,0), что равносильно a +b 0. Рассмотрим пару
2
2
2
2
(a/(a +b ),-b/(a +b )) и проверим, что эта пара является обратной к паре
(a,b). Действительно,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(a,b) (a/(a +b ),-b/(a +b )) = ((a +b )/ (a +b ),(-ab+ba)/(a +b )) =
= (1,0) = 1.
2
Из выше доказанного следует, что алгебра (R , + , , - , 0 , 1) – поле, которое называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными
числами.
2) Найти zC, удовлетворяющие уравнению :
2.1. ( i - z )( 1 + 2i ) + ( 1 - iz )( 3 - 4i ) = 0 ;
2.2. ( - i + z )( 1 - 2i ) + ( 1 + iz )( 3 + 4i ) = 0 .
Имеем
(-1-2i - i(3-4i)) z + (i(1+2i) + (3-4i)) = 0,
(-5-5i) z + (1-3i) = 0,
1 3i
(1 3i )(1 i ) 2 4i
1 2
z
i.
5(1 i )
10
10
5 5
n
3)Вычислить i , где nN ;
2 3 4 5 6 7 8 9 1998 1999 2000 2001 34531 47506
i ,i ,i ,i ,i ,i ,i ,i ,i
,i
,i
,i
,i
,i
.
Решение. Разделим, по теореме о делении с остатком, число n на 4, получим, что n 4q r, 0 r 4. Имеем
4q r
4 q r q r r
i
i
i 1 i i .
Ответ: i n i r , где r- остаток при делении n на 4.
3) Вычислить :
4.1.
4.5.
1 i 3
;
1 i 3
a bi
;
a bi
4.2.
4.6.
5 i
;
1 2i
4.3.
1 2i
;
3 2i
2 3i
1 i 3
; 4.7.
;
4
3
i
1 i 3
Решение примера 4.2. Имеем
115
4.4
4.8.
2 2i
1 i
1 itg
.
1 itg
(5 i )(1 2i ) 3 11i 3 11
5 i
i.
5
5 5
1 2i (1 2i )(1 2i )
5) Вычислить :
2
5.1. (1 2i )( 2 i ) 5i ;
2
2
5.3. ( 2i 1) (1 3i )
4
4
5.5. (1 i ) (1 i ) ;
5.2. (2 3i )(3 i ) (2 3i )(3 i ) ;
3
3
5.4. (1 i ) (1 i ) ;
5
5
5.6. (1 i ) (1 i ) .
Решение примера 5.4. Имеем
3
3
2 3
2 3
(1 i ) (1 i ) (1 3i 3i i ) (1 3i 3i i )
3
2( 3i i ) 2( 3i i ) 4i.
6) Какие части плоскости заданы условиями :
6.1. | z | 2 arg z = - ;
2
6.2. | z - i | 1 0 arg z ;
2
6.2. | z - 1 | 1 | z | 2 0 arg z .
2
6) Следующие числа записать в тригонометрической форме :
1 ; -1 ; 0 ; 4 ; -4 ; i ; - i ; 2i ; -2i ; 1 + i ; 1 - i ; -1 + i ; -1 - i ;
3 i ; 3 i ; 3 i ; 3 i ;
1 i 3 ; 1 i 3 ; 1 i 3 ; 1 i 3 .
1
3 1
3 1
3 1
3
i , i , i , i .
2
2 2
2 2
2 2
2
7) Записать в тригонометрической форме :
cos w - i sin w ; - cos w + i sin w ; - cos w - i sin w ;
1 + cos w + i sin w ; 1 - cos w + i sin w ;
1 + cos w - i sin w ; 1 - cos w - i sin w .
Глава 2. Системы линейных уравнений.
Задача №1.Описать линейные оболочки системы векторов:
116
a1 (1, 0, 0, 0, 0)
а) a 2 (0, 0, 1, 0, 0) ;
a 3 (0, 0, 0, 0, 1)
a1 (1, 0, 0, 1, 0)
б) a 2 (0, 1, 1, 0, 0) ;
a 3 (0, 0, 1, 0, 1)
a1 (1, 0, 0, 0, 1)
a (0, 1, 0, 1, 0)
в) a 2 (0, 0, 1, 0, 0) ;
a 3 (0, 0, 0, 1, 1)
4
a1 (1, 0, 0, 0, 1)
a (0, 1, 0, 0, 1)
г) a 2 (0, 0, 1, 0, 1) .
a 3 (0, 0, 0, 1, 1)
4
Решение:
а)
L(a1 , a2 , a3 ) {1a1 2a2 3a3 | i } {1 (1, 0, 0, 0, 0)
2 (0, 0, 1, 0, 0) 3 (0, 0, 0, 0, 1) | i } {(1 , 0, 2 , 0, 3 ) | i }
– система векторов, у которой вторая и четвертая координаты равны 0.
в) L(a1 , a2 , a3 , a4 ) {1a1 2a2 3a3 4a4 | i }
{1 (1, 0, 0, 0, 1) 2 (0, 1, 0, 1, 0) 3 (0, 0, 1, 0, 0)
4 (0, 0, 0, 1, 1) | i } {(1, 2 , 3 , 2 4 , 1 4 ) | i } –
система векторов, у которой четвертая координата зависит от второй, пятая – от первой и четвертой.
Задача №2. Пусть a1 , a2 , a3 , a 4 – система векторов, где
a1 (2, 1, 3, 1),
a 2 (4, 2, 6, 2),
a3 (6, 3, 9, 3),
a 4 (1, 1, 1, 1).
а) Будет ли данная система векторов линейно зависимой?
б) Найти какой-нибудь базис и ранг системы векторов;
в) Можно ли вектор a 4 представить в виде линейной комбинации
остальных векторов?
Решение:
а) Составим линейную комбинацию системы векторов:
1a1 2a1 3a3 4a4 0 .
Это равносильно системе уравнений:
117
21 42 63 4 0
2 3 0
1
2
3
4
.
31 62 93 4 0
1 22 33 4 0
4
6 1 1
2
1
2
3
1
2
3 6 9 1 3
2
3 1 1
1
.
1 22 33 4 0
4 0
2
4
6
2
3
6
9
3
1
1
1
1
1
0
0
0
2
0
0
0
3 1 1 2
0 1 0 0
0 4 0 0
0 0 0 0
3 1
0 1
0 0
0 0
1 , 4 – главные переменные, 2 , 3 – свободные переменные.
1 22 33
4 0
Имеем {(22 33 , 2 , 3 , 0) | 2 , 3 }
Если 2 , 3 одновременно не обращаются в 0, то система линейно
зависима. При 2 3 0 система линейно не зависима.
2
4
rank
(
a
,
a
,
a
,
a
)
rank
1
2
3
4
б)
6
1
2 1 3
0 0 0
rank
0 0 0
0 1 5
сом
могут
(a1 , a2 ), (a1 , a3 ),
1 3 1
2
2 6 2
2
rank
2
3 9 3
1 1 1
1
1 3 1
1 3 1
1 3 1
1 1 1
1
0
2. В базисе содержится два вектора. Бази0
1
являться
следующие
системы:
(a1 , a4 ), (a2 , a3 ), (a2 , a 4 ), (a3 , a 4 ) .
2 1 3 1
1 1 1 1
rank (a1 , a4 ) rank
rank
1
1
1
1
2
1
3
1
1 1 1 1
rank
2.
0 1 5 1
Значит, a1 , a 4 – базис.
в) Пусть a4 1a1 2a1 3a3 , что равносильно системе линейных
уравнений с расширенной матрицей:
118
4
6 1 1
2
3 1 1 2
3 1 1 2
2
3 1 2
4
6 1 0 0
0 1 0 0
1 2
3 6 9 1 3 6 9 1 0 0
0 4 0 0
4 1 1
2
3 1 0 0
0 1 0 0
1 2
.Ранг основной матрицы равен 1, ранг расширенной матрицы равен
3. По теореме Кронекера-Капелли система несовместна, то есть не
существует таких 1 , 2 , 3 , при которых вектор a 4 был бы линейной комбинацией a1 , a2 , a3 .
Задача №3. Установить совместна ли система линейных уравнений и решить ее методом Гаусса:
Решение.
x1 x2 x3 x4 x5 7
3x 2 x x x 3x 2
1
2
3
4
5
а)
x2 2 x3 2 x4 6 x5 23
5 x1 4 x2 3x3 3x4 x5 0
x1 2 x2 x3 x4 1
x 2 x2 x3 x4 1
б) 1
x 2 x x 5x 5
2
3
4
1
x1 2 x2 4 x3 3x4 0
3x 5 x 6 x 4 x 0
1
2
3
4
в) 4 x1 5 x2 2 x3 3 x4 0
3x1 8 x2 24 x3 19 x4 0
0
x1 x2 x3 x4
x2 x3 x4 x5 0
2
x1 2 x2 3x3
г)
x2 2 x3 3x4
2
x3 2 x4 3x5 2
Решение
119
3
0
0
0
1
4
0
0
а) По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений
совместна, когда ранг основной матрицы A равен рангу расширенной матрицы B .
7
1
1 1 7
1 1 1 1 1
1 1
3 2 1 1 3 2
0 1 2 2 6 23
rank
rank
0 1 2 2 6
0 1 2
23
2 6 23
5 4 3 3 1 12
0 1 2 2 6 23
1 1 1 1 1 7
0 1 2 2 6 23
rank
0 0 0 0 0 0 .
0 0 0 0 0 0
rank A rank B 2 система совместна.
x1 x2 x3 x4 x5 7
x2 2 x3 2 x4 6 x5 23
Подчеркиваем первую реально встречающуюся переменную в
каждом уравнении. Это главные переменные, остальные переменные – свободные, то есть x1 , x2 – главные, x3 , x4 , x5 – свободные. Выразим главные переменные через свободные, начиная с последнего уравнения.
x1 16 x3 x4 5 x5
.
x2 23 2 x3 2 x4 6 x5
x1 7 x2 x3 x4 x5 7 23 2 x3 2 x4 6 x5 x3 x4 x5
16 x3 x4 5 x5 .
Ответ: {(16 x3 x4 5x5 , 23 2 x3 2 x4 6 x5 , x3 , x4 , x5 ) |
x3 , x4 , x5 } – общее решение системы.
Замечание. Придавая свободным переменным различные значения,
получим частные решения системы уравнений.
б) По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений
совместна, когда ранг основной матрицы A равен рангу расширенной матрицы B .
1 2 1 1 7
1 2 1 1 1
rank 1 2 1 1 1 rank 1 0 0 2 2
1 2 2 5 5
1 0 0 4 4
120
1 2
rank 1 0
1 0
1
0
0
1 1
2 2 2.
0 0
rank A rank B 2 система совместна.
x1 2 x2 x3 x4 1
2 x4 2
x1 , x3 – главные, x2 , x4 – свободные переменные.
x1 1 2 x2 x3 x4
x1 2 x2 x3
x4 1
x4 1
Ответ: {(2 x2 x3 , x2 , x3 , 1) | x2 , x3 } – общее решение системы.
Задача №4. Найти фундаментальную систему решений следующих однородных систем линейных уравнений:
3x4 x5 0
x1 x2
x x 2x x
0
1
2
3
4
а) 4 x1 2 x2 6 x3 3 x4 4 x5 0
2 x1 4 x2 2 x3 4 x4 7 x5 0
2 x1 4 x2 5 x3 3x4 0
3x 6 x2 4 x3 2 x4 0
б) 1
4 x 8 x 17 x 11x 0
2
3
4
1
Решение:
а)
1 1 0 3 1 1
1 1 2 1 0 0
4 2 6
3 4 0
2 4 2 4 7 0
1
0
0
0
1 0 3 1 1
2 2 2 1 0
6 6 15 0 0
2 2 10 5 0
1 0 3 1
2 2 2 1
0
0 3 1 .
0
0 0 0
121
1 0 3 1
2 2 2 1
0
0 9 3
0
0 12 4
3x4 x5 0
x1 x2
2 x2 2 x3 2 x4 x5 0
3x4 x5 0
x1 , x2 , x4 – главные, x3 , x5 – свободные переменные.
Одной свободной переменной придаем значение 1, остальным свободным – значение 0. При этом выборе свободных переменных
найдем решение, которое будет вектором фундаментальной системы решений.
x4 0
x3 1
x2 1 S1 (1, 1, 1, 0, 0).
x5 0
x 1
1
1
x
4 3
x3 0
5
7 5
1
x2 S 2 ( , , 0, , 1).
x5 1
6
6 6
3
7
x
1 6
Ответ: S1 , S 2 – фундаментальная система решений.
Глава 3. Матрицы и определители.
Задача №1. Вычислить А В, где
1 2
A 3 4 ;
5 6
1 2
B
.
3 4
Решение. Так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B ,
то произведение A B существует (но B A в этом случае не существует).
1 способ. По определению произведения матриц:
1 2
1 (1) 2 3 1 2 2 (4) 5 6
1 2
3 4 3 4 3 (1) 4 3 3 2 4 (4) 9 10 .
5 (1) 6 3 5 2 6 (4) 13 14
5 6
2 способ. Известно, что j -й столбец матрицы A B есть произведение матрицы A на j -й столбец матрицы B . Поэтому столбцы A B вычисляем пооче122
редно. Обозначим через M ( i ) i -ю строку матрицы M , а через M ( j ) - j -й столбец матрицы M . Тогда ( A B)( j ) A B( j ) . Подробная запись такая:
1 2
5
1
A B A B1 3 4 9 ;
5 6 3 13
1
A B
2
1 2
6
2
A B 2 3 4 10 .
5 6 4 14
Тогда
5 6
A B 9 10 .
13 14
3 способ. Поскольку i -я строка матрицы A B есть произведение i -й строки
матрицы A на матрицу B , строки произведения вычисляем поочередно:
1 2
2
5, 6 ;
3 4
1 2
A B 2 A B2 3, 4
9, 10 ;
3 4
1 2
A B 3 A B3 5, 6
13, 14 .
3 4
A B 1 A B1 1,
Тогда
5 6
A B 9 10 .
13 14
Задача №2. Вычислить обратную матрицу:
1 3 2
A 2 3 4 .
3 7 5
Решение.
1
A E 2
3
3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0
5 4 0 1 0 0 1 0 2 1 0
7 5 0 0 1 0 2 1 3 0 1
123
1 3
0 1
0 0
2 1 0 0
0 2 1 0
1 1 2 1
1 3 0 3 4 2
0 1 0 2 1 0
0 0 1 1 2 1
1 0
0 1
0 0
0 3 1 2 1 0 0 3 1 2
0 2 1 0 0 1 0 2 1 0
1 1 2 1 0 0 1 1 2 1
3 1 2
A1 2 1 0 .
1 2 1
Вычислить обратные матрицы:
2 5 3
2) 4 1 2 ;
2 0 3
1 2 3
1) 4 5 6 ;
7 8 9
1 1
1 4
;
6 1
2 1
2 5 7
5) 6 3 4 ;
5 2 3
0
0
3)
2
1
0
3
7
2
1 2 2
4) 2 1 2 ;
2 2 1
3 4 5
6) 2 3 1 ;
3 5 1
Задача №3.
Решить матричные уравнения вида A X B C , где
3 1
5 6 14 16
1)
X
;
5 2
7 8 9 10
2 1
3
2)
X
3 2
5
2 2 4
;
3 3 1
2 3 1
3) 4 5 2 X
5 7 3
9 7 6 2 0 2
1 1 2 18 12 9 ;
1 1 1 23 15 11
0 3 0
4) 4 0 0 X
0 0 2
4 0 0 12 9 6
0 0 2 16 12 8 ;
0 3 0 8 6 4
1 0 0
5) 0 0 2 X
0 3 0
0 5 0 4 5 2
4 0 0 8 10 4 ;
0 0 2 12 15 6
124
0 0 3
6) 0 4 0 X
5 0 0
0 2 0 6 6 6
0 0 2 8 8 8 .
2 0 0 10 10 10
Решение.
A X B C A1 A X B B 1 A1 C B 1 X A1 C B 1 .
A E
1 1 0 3 1 1 0
2 0 1 0 1 5 3
3
5
3 0 6 3 1 0 2 1
0 1 5 3 0 1 5 3
2 1
A1
,
5 3
B E
5
7
6 1 0 5
8 0 1 0
6 1 0 5 0 20 15
2 7 5 0 2 7 5
4 3
1 8 6 ,
B 7
5
2 7 5
2
2
2 1 14 16 19 22
A1 C
,
5 3 9 10 43 50
1
A1 C B 1
1 2
1 19 22 8 6 1 2
X
.
2 43 50 7 5 3 4
3 4
2
3
2) A E
1 1 0 2
2 0 1 0
1 1 0
1 3 2
2 0 4 2 1 0 2 1
0 1 3 2 0 1 3 2
2 1
A1
,
3 2
3 2 1 0 3
5 3 0 1 0
3 2
B 1
,
5 3
B E
2 1 0 3 0 9 6 1 0 3 2
1 5 3 0 1 5 3 0 1 5 3
2 1 2 4 7 9
A1 C
,
3 2 3 1 12 14
125
7 9 3 2 24 13
24 13
A1 C B 1
X
.
12 14 5 3 34 18
34 18
Задача №4. Найти обратную матрицу A1 , используя формулу: A1
где
1 3
1)
;
4 2
a b
3)
;
c d
0 b 0
5) b 0 b ;
0 b 0
0 0 1
7) 1 0 0 ;
0 1 0
0 1 0
9) 1 0 0 ;
0 0 1
2 1 1
11) 3 1 1
1 2 1
1 1
2)
;
1 1
a
4) 0
a
1
6) a
a2
0
0
8)
1
0
0 a
a 0 ;
0 a
1 1
b c ;
b 2 c 2
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
;
0
0
2 1
10)
;
4 3
2 1 8
12) 3 5 1 ;
4 7 0
1 0 2
13) 3 0 4 ;
1 0 5
1 0 0
14) 5 2 0 ;
3 6 4
1 1 1
15) 2 3 1 ;
4 1 5
2 1
3 2
16)
1 1
2 1
Решение задания 10).
10) Вычислим определитель матрицы:
126
0
0
3
2
0
0
.
4
3
1
ad j A ,
A
2 1
2 3 1 4 2 0 ,
4 3
Найдем присоединенную матрицу по формуле:
A21
A
ad j A 11
, где A i j - алгебраическое дополнение элемента a i j .
A12 A22
3 1
ad j A
.
4 2
Тогда
A1
1 3 1
.
2 4 2
Решение задания 15). Найдем определитель матрицы:
1 1 1
2 3 1 15 2 4 12 1 10 42 0 ;
4 1 5
Вычислим алгебраические дополнения:
A11 1
3 1
14 ;
1 5
A23 1
1 1
3;
4 1
A12 1
2 1
14 ;
4 5
A31 1
1 1
4;
3 1
A13 1
2 3
14 ;
4 1
A32 1
1 1
1;
2 1
A21 1
1 1
6;
1 5
A33 1
A22 1
1 1
9 ;
4 5
2
3
4
3
4
5
4
5
6
Тогда
A11
ad j A A12
A
13
A21
A22
A23
A31 14 6 4
A32 14 9 1 .
A33 14 3 5
Следовательно
127
1 1
5 ;
2 3
14 6 4
1
A
14 9 1 .
42
14 3 5
1
Решение задания 16). Найдем определитель матрицы:
2 1
3 2
1 1
2 1
0
0
3
2
0
2 0 0
3 0 0
0
2 1 3 4 1 1 3 4 2 18 16 27 24 4 3 1 0 ;
4
1 2 3
2 2 3
3
2 0 0
A11 1 1 3 4 18 16 2 ;
1 2 3
1 0 0
A31 1 2 0 0 0 ;
1 2 3
2
4
3 0 0
A12 1 1 3 4 27 24 3 ;
2 2 3
2 0 0
A32 1 3 0 0 0 ;
2 2 3
3 2 0
A13 1 1 1 4 9 16 12 6 31 ;
2 1 3
2 1 0
A33 1 3 2 0 3 ;
2 1 3
3 2 0
A14 1 1 1 3 6 12 9 4 23 ;
2 1 2
2 1 0
A34 1 3 2 0 2 ;
2 1 2
1 0 0
A21 1 1 3 4 1 ;
1 2 3
1 0 0
A41 1 2 0 0 0 ;
1 3 4
2 0 0
A22 1 1 3 4 2 ;
2 2 3
2 0 0
A42 1 3 0 0 0 ;
1 3 4
2 1 0
A23 1 1 1 4 19 ;
2 1 3
2 1 0
A43 1 3 2 0 4 ;
1 1 4
3
5
4
6
5
7
3
5
4
6
5
7
128
2 1 0
A24 1 1 1 3 14 ;
2 1 2
2 1 0
A44 1 3 2 0 3 ;
1 1 3
6
A11
A
ad j A 12
A13
A14
A21
A22
A23
A24
A31
A32
A33
A34
A41
A42
;
A43
A44
8
Тогда
1 0 0
2
3
2
0 0
1
A
.
31 19 3 4
23 14 2 3
Задача №5. Вычислить определители n -го порядка:
2
1
1) 1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2) 1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1;
2
1
1
1;
0
a1
x
x
x
x
3) x
a2
x
x
a3
x
x .
x
x
x
an
Решение.
1 способ:
1. Приведем определитель к треугольному виду. Тогда он будет равен произведению диагональных элементов. Выполняем преобразования:
а) к первой строке прибавили все строки и результат записали в первой строке;
б) из первой строки определителя вынесли множитель n 1 ;
в) вычли первую строку из всех остальных;
129
получим
n 1 n 1 n 1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
n 1
1
1
1
1 n 1 1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1 n 1
2
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0 n 1.
1
2 способ:
Обозначим определитель через d n . Выразим d n через d n 1 .
Первую
строку
представим
как
сумму
двух
строк
1 1 1 1
1 1 0 0
0 . В соответствии с этим разло2 1 1
жим d n на сумму двух определителей:
1
1
dn 1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1 1 0
1 1 2
1 1 1
2 1 1
0
1
2
1
0
1
1.
2
Первое слагаемое приведем к треугольному виду, вычтя первый столбец из
всех остальных. Второе слагаемое после понижения порядка равно d n 1 :
1
0
dn 0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
2 1
0
1 2
0
1 1
1
1
1
1 dn 1 .
2
Получено рекуррентное соотношение dn 1 dn1 , т.е. d n является членом
арифметической прогрессии с разностью 1 . Для вычисления некоторого члена
этой прогрессии рассмотрим d 2
2 1
3.
1 2
Итак, d 2 3 . Поэтому d3 1 d2 4 тогда dn 1 n .
Задача №6. Решить системы уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы.
2 x1 2 x2 x3 x4 4,
4 x 3 x x 2 x 6,
2
3
4
1) 1
8 x1 5 x2 2 x3 4 x4 12,
3 x1 3 x2 2 x3 2 x4 6,
130
2 x1 x2 x3 2 x4 5,
x 3 x x 5 x 4,
2
3
4
2) 1
2,
5 x1 4 x2 3 x3
3 x1 3 x2 x3 6 x4 6,
x1 2 x2 3 x3 x4 8,
2 x 3 x x 5 x 19,
2
3
4
3) 1
4 x1 x2 x3 x4 1,
3 x1 2 x2 x3 2 x4 2,
x1 x2 2 x3 11,
4) x1 2 x2 x3 11,
4 x 3 x 3 x 24,
2
3
1
x1 3 x2 4 x3 4,
5) 2 x1 x2 3 x3 1,
3 x 2 x x 11.
2
3
1
Решение по правилу Крамера.
1) Найдем определитель системы:
2
4
d
8
3
2
3
5
3
1
1
3
2
0 0
1
2 1
2
2 1
4
2 1 1
1
1
3
2
0
2 1 1
0 2 0
1
1
1 2 2
2 1 1 2 1 1 2 1
20
1
1 0
1 1 0
1 1 0
0
Вычислим определители, заменяя столбцом свободных членов поочередно
столбцы основного определителя:
4
6
d1
12
6
2
3
5
3
1
1
3
2
4 2
1
2 1
2
0 1
4
2 2 1
2
4
1
1
d2
4 6 1
8 12 3
3 6 2
2
4
2
0
4
1
2
4
6
0
0
1
1
3
2
1
1
1
1
0
2
1
0
1
2
0
1
1
1
1
0 1 1
1 1
1 2 1 1 2
2;
1 0
0 1 0
0
1
2 4 1
0 2 0
2
4 1
4 6 2 2 1 1
2;
0
6 2
1 0 0
1 1 0
0
131
2
4
d3
8
3
2 4 1 1 1 2 1
1 2 1
3 6 2
1 0 0 0
2 1
1 0 0
2 ;
5 12 4
2 1 0 0
6 2
3 6 2
3 6 2
3 3 6 2
2
4
d4
8
3
2
3
5
3
2 2 1 4
1 4
2 1 2
2 1 2
2 1 0 2
2 1
1 6
2 1 0 2 1 0 2
2 ;
2 1 0 0
1 0
3 12
1 1 2
1 0 0
1 1 0 2
2 6
x1
d1 2
1;
d 2
x2
d2 2
1;
d 2
x3
d3
2
1;
d
2
d4
2
1;
d
2
Получим 1, 1,
x4
1,
1 .
Глава 4. Векторные пространства.
Задача №1. Примеры векторных пространств.
1)
Арифметическое n - мерное векторное пространство. Рассмотрим
алгебру P n Pn , , , 0, P .
Имеем V P n a1,..., an a1,..., an P , т.е. векторами являются кортежи из n - элементов поля P , / или n - мерные арифметические векторы /.
В алгебре P n определены операции:
операция сложения n - мерных арифметических векторов, задана равенством: (a1,..., an ) (b1 bn ) ( a1 b1,..., an bn ) ;
операция вычисления противоположного вектора, задана равенством:
(a1,..., an ) (a1,..., an ) ;
нулевой вектор 0 задан равенством: 0 (0,...,0) ;
операция умножения скаляра
(a1,..., an ) ( a1,..., an ) .
132
n
на
вектор
задана
равенством:
Мы проверяли, изучая арифметические пространства, что для алгебры
P , , , 0, P выполнены аксиомы 1 и 2, поэтому арифметическое
n
n - мерное векторное пространство P n является примером векторного пространства.
2) Под вектором плоскости мы будем понимать направленный отрезок
с началом в начале координат. Обозначим через V множество векторов
плоскости. Рассмотрим алгебру: V V , , , 0, R . В алгебре V за-
даны операции: операция сложения векторов " " производится по правилу
параллелограмма; операция " " каждому вектору a ставит в соответствие
противоположный вектор a , 0 -вектор изображается точкой – началом координат; операция умножения вектора a на скаляр определяется как
обычно.
Из курса геометрии известно, что для алгебры V выполнены аксиомы векторного пространства, / 1 и 2 /. Поэтому алгебра V является векторным пространством над полем действительных чисел.
3) Рассмотрим алгебру Mm,n M m,n ( P ), , ,0, P ,
где M m,n ( P ) - множество всех m n матриц над полем P . В алгебре Mm, n
определены операции: " " это обычная операция сложения матриц; " " это
обычная операция вычислении противоположной матрицы; 0 - это нулевая
матрица; операция - умножения скаляра на матрицу, определяется
единственным образом. В главе 3, /«Матрицы и определители»/, мы проверяли, что для алгебры Mm, n выполнены аксиомы 1 и 2. Поэтому алгебра
Mm,n M m,n ( P ), , ,0, P является примером векторного простран-
ства.
4) Пусть V f f : R R , т.е. векторами являются функции. Рас-
смотрим алгебру V V , , , 0, R , где в алгебре V определены
операции:
def
это операция сложения функций: f g ( x) f ( x) g ( x) , это операция
вычисления
противоположной
функции,
def
( f )( x) f ( x) , для x R ;
133
заданная
равенством:
0 - нулевая функция, значение которой задается равенством: 0( x) 0 для
x R .
Операция умножения функций на скаляр задается равенством:
def
( f )( x) f ( x) для x R .
Легко проверяется, что для алгебры V выполняется аксиомы векторного
пространства, значит алгебра V - пример векторного пространства.
5) Рассмотрим алгебру C, , ,0, R , /т.е. векторами являются
комплексные числа, скалярами являются действительные числа/, где операции заданы следующим образом: это операция сложения комплексных чисел; это операция вычисления противоположного комплексного числа; 0 это нулевое комплексное число; умножение действительного скаляра на комплексное число производится обычным образом.
Очевидно, что для алгебры C, , ,0, R выполнены все акси-
омы векторного пространства. Поэтому алгебра C, , ,0, R является примером векторного пространства над полем действительных чисел.
Задача №2. Рассмотрим пространство многочленов с действительными коэффициентами от переменной x степени, не превосходящей 2. Базисом этого пространства являются многочлены:
1, x, x 2
/*/.
Поэтому равномерность этого пространства равна 3 и это пространство изоморфно трехмерному арифметическому векторному пространству над полем
действительных чисел. Изоморфизмом является отображение f , которое
каждому многочлену ставит в соответствие его координатную строку относительно базиса /*/. Вычислим ранг системы многочленов и найдем какойнибудь базис:
a1 x2 x, a2 x2 3, a3 x2 2 x, a4 x2 x, a5 x 1.
Имеем
f a1 0,1, 1 , f a2 3,0, 1 , f a3 0,2, 1 , f a4 0, 1, 1 ,
f a5 1,1,0 .
По свойствам изоморфизма:
rank a1, a2 , a3 , a4 , a5 f f a1 , f a2 , f a3 , f a4 , f a5
0
3
rank 0
0
1
1
0
2
1
1
1
1
1 3.
1
0
134
Базисом
системы
векторов
являются
векторы
f a1 ,..., f a5
f a3 , f a4 , f a5 .
Базисом системы многочленов a1,..., a5 являются многочлены a3 , a4 , a5 .
Задача 3. Систему многочленов
a1 x5 x4 , a2 x5 3x3 , a3 x5 2 x2 , a4 x5 x дополнить до базиса пространства многочленов степени, не превосходящей 5.
Решение. Выберем в пространстве многочленов степени меньше или
равной 5 базис:
1, x, x 2 , x3 , x 4 , x5
/1/.
По доказанному в теореме 1, отображение f , ставящее в соответствие каждому многочлену его координатную строку относительно базиса /1/, является
изоморфизмом пространства многочленов меньше или равной 5 с действительными коэффициентами на шестимерное векторное пространство:
R6 , , , 0, R .
a1 x5 x 4 0 1 0 x 0 x 2 0 x3 1 x 4 1 x5 f a1 0,0,0,0,1,1 ,
a2 x5 3x3 0,0,0, 3,0,1 f a2 ,
a3 x5 2 x 2 0,0,2,0,0,1 f a3 ,
a4 x5 x 0, 1,0,0,0,1 f a4 .
Дополним систему векторов
R6 , , , 0, R .
0
0
rank 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1 rank 0
0
1
0
0
0
1
f a1 ,..., f a4
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
1
0
до базиса пространства
0
1
1 6.
1
1
1
Векторы:
f a1 0,0,0,0,1,1 , f a2 0,0,0, 3,0,1 , f a3 0,0,2,0,0,1 ,
f a4 0, 1,0,0,0,1 , f a5 1,1,0,0,0,0 , f a6 0,0,0,0,0,1
являются
базисом
пространства
R6 , , , 0, R .
Видим,
что
a5 1, a6 x5 . По свойству 3 изоморфизма векторы a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 - базис
пространства многочленов степени меньше или равной 5.
Задача 4. Для системы многочленов: 3x 2 2 x 1,4 x 2 3x 2,
3x2 2 x 3 найти ранг и какой-нибудь базис.
Имеем пространство многочленов степени ме6ньше или равной 2.
Выберем базис:
135
1, x, x 2
/2/.
dimV 3 и это пространство изоморфно трехмерному арифметическому
пространству над полем действительных чисел. Изоморфизмом является
отображение f , которое каждому многочлену ставит в соответствие его координатную строку относительно базиса /2/. Имеем:
a1 3x 2 2 x 1 f a1 1,2,3 ; a2 4 x 2 3x 2 f a2 2,3,4 ;
a3 3x 2 2 x 3 f a3 3,2,3 ; a4 x 2 x 1 f a4 1,1,1 ,
a5 4 x 2 3x 4 f a5 4,3,4 .
1
2
rank 3
1
4
2
3
2
1
3
3
1
4
0
3 rank 0
0
1
0
4
2
1
4
1
5
3
1
2
0
6 rank 0
0
2
0
6
Базисом
системы
векторов
f a1 , f a2 , f a3 .
Базисом системы многочленов
rank a1, a2 , a3 , a4 , a5 3 .
2
1
0
0
0
3
1
2
0
2 rank 0
0
0
0
2
f a1 ,..., f a5
являются
2
1
0
0
0
3
2
2 3.
0
0
является
многочлены
система
a1, a2 , a3 .
Задача №5. Найти координаты многочлена b x5 x4 x3 x2 x 1 в
базисе: 1, x 1, x 2 1, x3 1, x 4 1, x5 1 пространства многочленов.
Выберем в пространстве многочленов степени меньшей или равной 5
базис:
1, x, x 2 , x3 , x 4 , x5
/3/.
По доказанному в теореме 1, отображение f , ставящее в соответствие каждому многочлену его координатную строку относительно базиса /3/, является
изоморфизмом пространства многочленов степени меньшей или равной 5 с
действительными коэффициентами на шестимерное арифметическое векторное пространство:
R6 , , , 0, R . Имеем:
a1 1 f a1 1,0,0,0,0,0 , a2 x 1 f a2 1,1,0,0,0,0 ,
a3 x 2 1 f a3 1,0,1,0,0,0 , a4 x3 1 f a4 1,0,0,1,0,0 ,
a5 x 4 1 f a5 1,0,0,0,1,0 , a6 x5 1 f a6 1,0,0,0,0,1.
По свойству 3 изоморфизма система f a1 ,..., f a6 - базис пространства
R6 , , , 0, R .
b x5 x4 x3 x2 x 1, тогда
f b по базису: f a1 ,..., f a6 :
f b 1, 1, 1,1, 1,1 . Разложим вектор
136
f b 1 f a1 2 f a2 ... 6 f a6 . Это равенство равносильно системе
с матрицей:
1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1
0 1 0 0 0 0 1 2 1
1
0
0
1
0
0
0
1
3
A
0 0 0 1 0 0 1 4 1
0 0 0 0 1 0 1 5 1
0 0 0 0 0 1 1 1
.
6
Замечание: в первом столбце матрицы А расположены координаты вектора
f a1 , во втором – координаты вектора f a2 , ….. , в шестом - координаты
вектора f a6 , в седьмом – координаты вектора f b .
Получили, что:
f b 2 f a1 1 f a2 1 f a3 1 f a4 1 f a5 1 f a6 . Так как f -
изоморфизм, то последнее равенство равносильно равенству:
b 2a1 a2 a3 a4 a5 a6 , т.е.
x5 x 4 x3 x 2 x 1 2 1 1 x 1 1 x 2 1 1 x3 1 1 x 4 1
1 x 1 .
5
Задача №6. Показать, что в пространстве:
R , , , 0, R
2
скалярное произведение можно задать формулой:
def
a b 2a1b1 5a2b2 для любых векторов a a1, a2 ; b b1, b2 ; a, b R2 .
Для решения задачи нужно проверить два свойства скалярного умножения. Пусть c c1, c2 R2 .
a b 2a1b1 5a2b2
b a 2b1a1 5b2 a2
ab ba.
Для любых , R ,имеем:
a b c a c b c a1 b1, a2 b2 c1, c2 2 a1 b1
c1 5 a2 b2 c2 2a1c1 5a2c2 2b1c1 5b2c2 a c b c .
ледовательно, скалярное произведение можно задать такой формулой.
Задача №7. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис пространства:
L x1, x2 , x3 , x4 , ãäå x1 2,3, 4, 6 , x2 1,8, 2, 16 , x3 12,5, 14,5 ,
x4 3,11,4, 7 .
137
С
Выберем какой-нибудь базис этого пространства.
2
1
rank
12
3
3
8
5
11
1
0
rank
0
0
4
2
14
4
8
13
0
0
6
1
0
16
rank
5
0
0
7
2
0
10
0
8
13
91
13
2
0
10
10
16
1
0
26
rank
197
0
0
41
8
13
0
0
2
0
10
10
16
26
15
15
16
26
3 .
15
0
Следовательно, x1, x2 , x3 - базис.
Применим к базису процесс ортогонализации.
b1 x1 2,3, 4, 6 , b2 x2 1b1 ; 1 находится из условия ортогональности
векторов b1, b2 .
x b 2 24 8 96
b2 b1 0 x2 1b1 b1 0 x2b1 1b1b1 0 1 2 1
b1b1 4 9 16 36 Т
130
2.
65
огда, b2 x2 2x1 1,8, 2, 16 4,6, 8, 12 3,2,6,4 . Для проверки результата нужно вычислить скалярное произведение векторов b1 è b2 .
b1 b2 6 6 24 24 0 , значит, векторы b1, b2 - ортогональны.
b3 x3 1 ' b1 2b2 . Скаляры 1 ', 2 находятся из условия ортогональности
векторов b3 è b1 ; b3 è b2 .
b3 b1 0 x3 1 ' b1 2b2 b1 0 x3b1 1 ' b1 b1 2b2 b1 0
1 '
x3 b1 24 15 56 30 65
1.
b1 b1
65
65
b3 b2 0 x3 1 ' b1 2b2 b2 0 x3b2 1 ' b1 b2 2b2 b2 0
2
x3 b2 36 10 84 20
2.
b2 b2
9 4 36 16
Тогда, b3 12,5, 14,5 2,3, 4, 6 6,4,12, 8 4,6,2,3 .
b1 b3 4,6,2,3 2,3, 4, 6 8 18 8 18 0 ,
Проверка.
b1 b3 . Аналогично b2 b3 0 b2 b3 .
Построили ортогональный базис b1, b2 , b3 .
138
значит
Задача №8. Построить ортонормированный базис пространства L1 ,
натянутого на следующую систему векторов пространства
x1 2,1,3, 1, x2 7,4,3, 3 , x3 1,1, 6,0 , x4 5,7,7,8 .
Найдем сначала базис пространства L1 :
2 1 3 1
1 1 6 0
1 1 6 0
7 4 3 3
2 1 3 1
0 1 15 1
rank
rank
rank
1 1 6 0
7 4 3 3
0 3 45 3
5 7 7 8
5 7 7 8
0 2 37 8
1
0
rank
0
0
1
1
0
0
6
15
0
67
R4 :
0
1
3.
0
6
Следовательно, x1, x3 , x4 - базис.
Применяя процесс ортогонализации к найденному базису, получим ортогональный базис.
b1 x1 2,1,3, 1 , b2 x3 1b1 . Вычислим 1 , используя ортогональность векторов b1 è b2 .
x b 1,1, 6,0 2,1,3, 1 15
b1 b2 b1 b2 0 1 3 1
1 .
b1 b1
4 1 9 1
15
Тогда, b2 1,1, 6,0 2,1,3, 1 3,2, 3, 1 .
b3 x4 1 ' b1 2b2 , вычислим 1 ' , используя ортогональность векторов
b1 è b3 .
x b 5,7,7,8 2,1,3, 1
b3 b1 b3 b1 0 1 ' 4 1
2.
b1 b1
15
Вычислим 2 , используя ортогональность векторов b2 è b3 .
x b
2 4 2 0 .
b2 b2
Тогда, b3 5,7,7,8 2 2,1,3, 1 1,5,1,10 .
Для проверки вычислим скалярные произведения: b3 b1 0 , b3 b2 0 .
Построим ортонормированный базис:
139
a1
b1
b1
b
1
3
1
2
1
,
,
,
;
|| b1 ||
b1 b1
15 15 15 15 15
a2
b2
b2
b
2
3 1
3
2
,
,
,
;
|| b2 ||
b2 b2
23 23 23 23 23
a3
b3
5
1
10
1
,
,
,
.
|| b3 || 27 27 27 27
Ответ: b1, b2 , b3 - ортогональный базис,
a1, a2 , a3 - ортонормированный базис.
Глава 5. Линейные операторы.
п. 1. Определение линейного оператора.
Задача №1. Пусть (V ,,,0,{ | P}) – векторное пространство;
f : V V . Является ли f линейным оператором, если:
1.1. x V ( f ( x) a , где a V , a фиксировано);
1.2. x V ( f ( x ) x a , где a V , a фиксировано);
1.3. x V ( P) ( f ( x ) x ) ;
1.4. x V ( f ( x ) xa , где a V , a фиксировано);
1.5. x V ( f ( x) ax x , где a V , a фиксировано);
1.6. x V ( f ( x ) ax a , где a V , a фиксировано);
1.7. x V ( f ( x) x 2 ).
Решение: Для решения задачи нужно показать, что выполнены два условия
линейного оператора: 1) f ( x y) f ( x) f ( y) , 2) f (x ) f ( x ) .
1.1. Проверим, что f ( x y) f ( x) f ( y)
Имеем
f ( x y) a
f ( x y) f ( x ) f ( y) , при a 0 ,
f ( x ) f ( y) a a 2a
Значит, f не является линейным оператором при a 0 ; f – линейный оператор, если a 0 .
1.2. Проверим, что f ( x y) f ( x) f ( y)
Имеем
f ( x y) x y a
f ( x y) f ( x) f ( y) .
f ( x ) f ( y) ( x a ) ( y a ) x y 2a
Значит, f не является линейным оператором при a 0 ; f – линейный опе140
ратор, если a 0 .
1.3. Проверим, что f ( x y) f ( x) f ( y)
Имеем
f ( x y) ( x y) x y
f ( x y) f ( x) f ( y) .
f ( x ) f ( y) x y
Проверим, что f (1 x ) 1 f ( x )
f (1 x ) (1 x ) 1 x
f (1 x ) 1 f ( x ) .
1 f ( x ) 1 (x ) 1 x
Значит, f – линейный оператор.
1.4. Проверим, что f ( x y) f ( x) f ( y)
f ( x y) ( x y)a xa ya
f ( x y) f ( x) f ( y) .
f ( x ) f ( y) xa ya
Проверим, что f (x ) f ( x )
f (x ) (x )a ( xa)
f (x ) f ( x ) .
f ( x ) ( xa)
Значит, f – линейный оператор.
Задача №2. Пусть f : R 3 R 3 , x ( x1 , x2 , x3 ) . Является ли f линейным
оператором, если:
def
2.1. f ( x ) ( x1 , x2 , x32 ) ;
def
2.2. f ( x ) ( x3 , x1 , x2 ) ;
def
2.3. f ( x ) ( x3 , x1 , x2 1) ;
def
2.4. f ( x ) ( x1 2 x2 3x3 ,3x1 x2 3x3 ,2 x1 3x2 3x3 ) ;
def
2.5. f ( x ) ( x2 x3 ,2 x1 x3 ,3x1 x2 x3 ) ;
def
2.6. f ( x ) ( x1 , x2 1, x3 2) ;
def
2.8. f ( x ) ( x1 x2 x3 , x3 , x2 ) .
Решение примера 2.1.: Проверим, что f ( x y) f ( x) f ( y)
Имеем
f ( x y ) ( x1 y1 , x2 y 2 , ( x3 y3 ) 2 )
f ( x ) f ( y ) ( x1 , x2 , x32 ) ( y1 , y 2 , y 23 ) ( x1 y1 , x2 y 2 , x32 y32 )
f ( x y) f ( x) f ( y)
141
Значит, f не является линейным оператором.
Решение примера 2.2.: 1). Проверим, что f ( x y) f ( x) f ( y)
f ( x y ) ( x3 y3 , x1 y 1 , x2 y 2 )
f ( x ) f ( y ) ( x3 , x1 , x2 ) ( y3 , y1 , y 2 ) ( x3 y3 , x1 y1 , x2 y 2 )
f ( x y) f ( x) f ( y)
2). Проверим, что f (x ) f ( x ) , имеем:
f (x ) (x3 , x1 , x2 )
f ( x ) f ( x )
f ( x ) ( x3 , x1 , x2 ) (x3 , x1 , x2 )
Значит, f – линейный оператор.
Решение примера 2.3.: Проверим, что f ( x y) f ( x) f ( y) , имеем:
f ( x y ) ( x3 y3 , x1 y1 , x2 y 2 1)
f ( x ) f ( y ) ( x3 , x1 , x2 1) ( y3 , y1 , y 2 1) ( x3 y3 , x1 y1 , x2 y 2 2)
f ( x y) f ( x) f ( y)
Значит, f не является линейным оператором.
Решение примера 2.4.: 1). Проверим, что f ( x y) f ( x) f ( y) , имеем:
( x y ) ( x1 y1 , x2 y 2 , x3 y3 )
f ( x y ) ( x1 y1 2( x2 y 2 ) 3( x3 y3 ),3( x1 y1 ) ( x2 y 2 ) 3( x3 y3 ),
2( x1 y1 ) 3( x2 y 2 ) 3( x3 y 3 )) ( x1 y1 2 x2 2 y 2 3x3 3 y3 ,3x1 3 y1
x2 y 2 3x3 3 y3 ,2 x1 2 y1 3x2 3 y 2 3x3 3 y3 )
f ( x ) f ( y ) ( x1 2 x2 3x3 ,3x1 x2 3x3 ,2 x1 3x2 3x3 ) ( y1 2 y 2 3 y3 ,
3 y1 y 2 3 y3 ,2 y1 3 y 2 3 y3 ) ( x1 y1 2 x2 2 y 2 3x3 3 y3 ,3x1 3 y1
x2 y 2 3x3 3 y3 ,2 x1 2 y1 3x2 3 y 2 3x3 3 y3 )
Таким образом f ( x y) f ( x) f ( y) .
2). Проверим, что f (x ) f ( x ) , имеем:
f (x ) (x1 2x2 3x3 ,3x1 x2 3x3 ,2x1 3x2 3x3 )
f ( x ) ( ( x1 2 x2 3x3 ), (3x1 x2 3x3 ), (2 x1 3x2 3x3 ))
(x1 2x2 3x3 ,3x1 x2 3x3 ,2x1 3x2 3x3 )
Таким образом f (x ) f ( x ) ,
Значит, f – линейный оператор.
п. 2. Дефект и ранг линейного оператора.
Задача №3. Для указанных линейных операторов определить ранг и дефект.
Построить базисы ядра и образа.
x ( x1 , x2 , x3 ) R 3 .
142
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
def
f ( x ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ) ;
def
f ( x ) (2 x1 x2 x3 , x1 2 x2 x3 , x1 x2 2 x3 ) ;
def
f ( x ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ) ;
def
f ( x ) (2 x1 x2 , x1 x3 , x32 ) ;
def
f ( x ) (2 x1 3x2 3x3 , x1 2 x2 3 x3 ,3x1 x2 2 x3 ) ;
def
f ( x ) ( x1 x2 2 x3 ,2 x1 2 x2 4 x3 , x1 x2 2 x3 ) .
Решение примера 3.1.:
Ker f a | f (a ) 0
f ( x ) 0 ( x1 x2 x3 , x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ) (0,0,0)
x1 x2 x3 0
x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0
x x x 0
2
3
1
Найдем фундаментальную систему решений этой системы:
x1 – главная переменная,
x2 , x3 – свободные переменные,
x 2 1
Пусть
x1 1 S 1 (-1,1,0) 1 ,
x3 0
x 2 0
x1 1 S 2 (1,0,1) 1 ,
x3 1
векторы (1,1,0) и (1,0,1) – фундаментальная система решений, тогда
Kerf (1,1,0), (1,0,1)
Ker f ((1,1,0), (1,0,1),,,0, | P)
дефектf dim Kerf
дефектf рангf dimV , V R 3
рангf dim R 3 дефектf 3 2 1
Базис ядра: (1,1,0) , (1,0,1)
Дополним до базиса пространства:
0
1 1 0 w(1)
1 1 0
1 1
rank 1 0 1
rank 0 1 1 w(1) rank 0 1 1 3
1 0 0
0 1 0
0
0 1
(третью строчку написали сами так чтобы rank 3 ).
Тогда (1,0,0) , значит , , – базис V , тогда f ( ) – базис Ymf – базис
Пусть
143
образа оператора f .
f ( ) (1,1,1) (чтобы посчитать нужно координаты подставить в f ( x ) )
1,1,1) – базис Ymf .
п. 3. Матрица линейного оператора.
Задача №4. Оператор f действует в пространстве ( R 3 ,,,0, | R) . f
переводит линейно независимые векторы a 1 , a 2 , a 3 в векторы b1 , b2 , b3 , где
4.1. a 1 (5,3,1) , a 2 (1,3,2) , a 3 (1,2,1) ,
b1 (2,1,0) , b2 (1,3,0) , b3 (2,3,0) .
4.2. a 1 (0,0,1) , a 2 (0,1,1) , a 3 (1,1,1) ,
b1 (2,3,5) , b2 (1,0,0) , b3 (0,1,1) .
Найти матрицу оператора в базисе:
а). a 1 , a 2 , a 3 ;
б). e 1 , e 2 , e 3 .
Решение примера 4.1.: а). f переводит линейно независимые векторы
a 1 , a 2 , a 3 в векторы b1 , b2 , b3 , это значит, что:
f (a 1 ) b1
f (a 2 ) b2 ()
f ( a 3 ) b3
b1 , b2 , b3 разложим по базису a 1 , a 2 , a 3 :
b1 1a 1 2 a 2 3 a 3 – это равносильно системе с расширенной матрицей
5 1 1 2
3
3
2
1
1 2 1 0
b2 1a1 2a 2 3a 3 – это равносильно системе с расширенной матрицей
5 1 1 1
3
3
2
3
1 2 1 0
b3 1a1 2a 2 3a 3 – это равносильно системе с расширенной матрицей
5 1 1 2
3
3
2
3
1 2 1 0
Чтобы уменьшить вычисления, объединим эти матрицы в одну:
144
5 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 w(3), (5)
3
3
2
1
3
3
~
~ 3 3 2 1 3 3
1 2 1 0 0 0 5 1 1 2 1 2
1 2 1 0 0 0
1 2 1 0 0 0
~ 0 3 1 1 3 3 w(4) ~ 0 3 1 1 3 3
~
0 11 4 2 1 2
0 1 0 6 13 10 w(3)
1 2 1 0 0 0
~ 0 0 1 17 36 27
0
1
0
6
13
10
1 5
1) 2 6
17
3
b1 5a1 6a 2 17a 3 ;
1 22 3 0
1 10
2) 3 36 2 13
13
36
2
3
b2 10a1 13a 2 36a 3 ;
1 22 33 0
1 7
3 27
2 10
3)
27
2 10
3
b3 7a1 10a 2 27a 3 ;
f (a1 ) b1 5a1 6a 2 17a 3 f (a1 ) (5,6,17) ;
f (a 2 ) b2 10a1 13a 2 36a 3 f (a1 ) (10,13,36) ;
f (a 3 ) b3 7a1 10a 2 27a 3 f (a1 ) (7,10,27) ;
7
5 10
M(f ) 6
13 10 в базисе a 1 , a 2 , a 3 .
17 36 27
145
б). e1 (1,0,0) ; e 2 (0,1,0) ; e 3 (0,0,1) .
Найдем матрицу M ( f ) в этом базисе. Поскольку f (e1 ) , f (e 2 ) , f (e 3 ) мы не
знаем, то разложим векторы e 1 , e 2 , e 3 по базису a 1 , a 2 , a 3 :
e 1 1a 1 2 a 2 3 a 3 ;
e 2 1a 1 2a 2 3a 3 ;
e 3 1a 1 2a 2 3a 3 .
5 1 1 1 0 0
0 11 4 1 0 5
3 3 2 0 1 0
~ 0 3 1 0 1 3 w(4) ~
1
2
1
0
0
1
w
(
5
),
(
3
)
1
2
1
0
0
1
0 1 0 1 4 7 w3 0 1 0 1 4 7
~ 0 3 1 0 1 3 ~ 0 0 1 3 11 18
1
2
1
0
0
1
1
2
1
0
0
1
Тогда
2 1
2 1
3 3
3 3 e1 a1 a 2 3a 3 ;
1)
2 0 1
2
3
1
1
2 4
2 4
2) 3 11 3 11 e 2 3a1 4a 2 11a 3 ;
2 0 3
2
3
1
13
2 7
2 7
3 18 e 3 5a1 7a 2 18a 3 ;
3) 3 18
2 1 5
2
3
1
1
f (e1 ) f (a1 a 2 3a 3 ) f (a1 ) f (a 2 ) 3 f (a 3 ) b1 b2 3b3 (5,7,0)
5e1 7e 2 0e 3 ;
f (e 2 ) f (3a1 4a 2 11a 3 ) 3 f (a1 ) 4 f (a 2 ) 11 f (a 3 ) 3b1 4b2 11b3
(20,24,0) 20e1 24e 2 0e 3 ;
f (e 3 ) f (5a1 7a 2 18a 3 ) 5 f (a1 ) 7 f (a 2 ) 18 f (a 3 ) 5b1 7b2 18b3
(33,38,0) 33e1 38e 2 0e 3 ;
146
5 20 33
M ( f ) 7 24 38 в базисе e 1 , e 2 , e 3 .
0
0
0
Задача №5. В пространстве квадратных матриц порядка 2 фиксирован базис,
состоящий из матриц:
1 0
0 1
0 0
0 0
, e 2
, e3
, e 4
,
e1
0
0
0
0
1
0
0
1
найти в этом базисе:
5.1. Матрицу оператора транспонирования A , где
a12 a11 a 21
a
;
A 11
a 21 a 22 a12 a 22
5.2. Матрицу оператора A , где
x12 a11 a12 x11 x12 b11 b12
x
;
A 11
x 21 x 22 a 21 a 22 x 21 x 22 b21 b22
5.3. Матрицу оператора A , где
x12 a11 a12 x11 x12
x
;
A 11
x
x
a
a
x
x
21
21
22
22 21
22
5.4. Матрицу оператора A , где
x12 a11 a21 x11 x12
x
.
A 11
x
x
a
a
x
x
21
12
22
22 21
22
Решение примера 5.1.:
1 0
,
A(e1 )
0 0
1 0
или
A(e 4 )
0
0
A(e1 ) 1 e1 0 e 2 0 e 3 0 e 4 ,
A(e 2 ) 0 e1 0 e 2 1 e 3 0 e 4 ,
A(e 3 ) 0 e1 1 e 2 0 e 3 0 e 4 ,
A(e 4 ) 0 e1 0 e 2 0 e 3 1 e 4 .
1
0
M ( A)
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
.
0
1 e 1 , e 2 , e 3 , e 4
Решение примера 5.2:
147
1 0
,
A(e 2 )
0 0
1 0
,
A(e 3 )
0 0
a
Ae1 11
a 21
a12 1 0 b11 b12 a11
a 22 0 0 b21 b22 a 21
0 b11 b12 a11b11
0 b21 b22 a 21b21
a11b12
a 21b22
1 0
0 1
0 0
0 0
a11b21
a21b11
a21b12
a11b11
0
0
0
0
1
0
0
1
a11b11e1 a11b21e 2 a 21b11e 3 a 21b12 e 4 ,
a
A(e 2 ) 11
a 21
a12 0 1 b11 b12 0 a11 b11 b12 a11b21
a 22 0 0 b21 b22 0 a 21 b21 b22 a 21b21
a11b22
a 21b22
a11b21e1 a11b22 e 2 a 21b21e 3 a 21b22 e 4 ,
a
A(e 3 ) 11
a 21
a12 0 0 b11
a 22 1 0 b21
b12 a12
b22 a 22
0 b11 b12 a12 b11
0 b21 b22 a 22 b11
a12 b12
a 22 b12
a12 b11e1 a12 b12 e 2 a 22 b11e 3 a 22 b12 e 4 ,
a
A(e 3 ) 11
a 21
a12 0 0 b11
a 22 0 1 b21
b12 0 a12 b11
b22 0 a 22 b21
b12 a12 b21
b22 a 22 b21
a12 b22
a 22 b22
a12 b21e1 a12 b22 e 2 a 22 b21e 3 a 22 b22 e 4 ,
a11b11 a11b21 a12 b11 a12 b21
a
b
a
b
a
b
a
b
11 22
12 12
12 22
M ( A) 11 12
.
a 21b11 a 21b21 a 22 b11 a 22 b21
a 21b12 a 21b22 a 22 b12 a 22 b22 e 1 , e 2 , e 3 , e 4
п. 4. Действия с линейными операторами.
Задача №6.1. Оператор A в базисе a1 (1,2) , a 2 (2,3) имеет матрицу
3 5
. Оператор B в базисе b1 (3,1) , b2 (4,2) имеет матриM ( A)
a
,
a
4
3
1 2
4 6
цу M ( B)
. Найти матрицу оператора ( A B)
b
,
b
6
9
1 2
6.1.1. в базисе b1 , b2 ;
6.1.2. в базисе a 1 , a 2 ;
Задача №6.2. Оператор A в базисе a1 (3,7) , a 2 (1,2) имеет матрицу
148
2 1
. Оператор B в базисе b1 (6,7) , b2 (5,6) имеет
M ( A)
5 3 a1 , a 2
1 3
матрицу M ( B)
. Найти матрицу оператора ( A B)
2 7 b1 , b2
6.2.1. в базисе b1 , b2 ;
6.2.2. в базисе a 1 , a 2 ;
Задача №6.3. Оператор A в базисе a1 ( 2,1) , a 2 (1,1) имеет матрицу
3 5
. Оператор B в базисе b1 (5,2) , b2 (1,0) имеет матрицу
M ( A)
a
,
a
2
3
1 2
7,5 3,5
. Найти матрицу оператора ( A B)
M ( B)
4,5 1,5 b1 , b2
6.3.1. в базисе b1 , b2 ;
6.3.2. в базисе a 1 , a 2 ;
Решение примера 6.1.(I способ):
M ( A B)
M ( A)
M ( B)
.
b1 , b 2
b1 , b 2
b1 , b 2
Вычислим M (A) в базисе b1 , b2 по определению матрицы оператора:
разложим векторы b1 , b2 по базису a 1 , a 2 :
1 2 3 4 w(2) 1 2 3 4
b1 1a1 2 a 2
~
b2 1a1 2a 2
2
3
1
2
0
1
5
6
1 22 3 1 7
b1 7a1 5a 2 ,
2 5
2 5
1 22 4 1 8
b2 8a1 6a 2 .
6
6
2
2
A(b1 ) A(7a1 5a 2 ) 7 A(a1 ) 5 A(a 2 ) 7(3a1 4a 2 ) 5(5a1 3a 2 )
4a1 13a 2 4(1,2) 13(2,3) (22,31) ,
A(b1 ) A(8a1 6a 2 ) 8 A(a1 ) 6 A(a 2 ) 8(3a1 4a 2 ) 6(5a1 3a 2 )
6a1 14a 2 6(1,2) 14(2,3) (22,30) .
Разложим векторы A(b1 ) , A(b2 ) по базису b1 , b2 :
3 4 22 22
0 2 71 68
A(b1 ) 1b1 2 b2
~
w(3) 0 2 31 30 .
A(b2 ) 1b1 2 b2
1
2
31
30
149
71
2 2 71
71
2
2 A(b1 ) 40b1 b2 ,
2
1 2 2 31
1 40
2 2 68
2 34
A(b2 ) 38b1 34b2 ,
2
30
38
1
1
2
71
A(b1 ) 40b1 b2 , A(b2 ) 38b1 34b2 .
2
38
40
,
71
M ( A)
34
b1 , b2
2
M ( A B)
38 4 6 44
40
59
71
34
b1 , b2
6 9
2
2
44
.
25
(II способ): M ( A B)
M ( A)
M ( B)
,
b1 , b 2
b1 , b 2
b1 , b 2
Вычислим M (A) в базисе b1 , b2 :
M ( A)
T 1 M ( A)
T , где T – матрица перехода от базиса
b1 , b2
a1 , a2
(1) a 1 , a 2 к базису ( 2) b1 , b2 .
Разложим векторы базиса ( 2) по векторам базиса (1) . Имеем (из I способа
решения этой задачи):
b1 7a1 5a 2 ,
b2 8a1 6a 2 .
7 8
Тогда T
, | T | 2 ,
5
6
T
1
8 3 4
1 T11 T21
1 6
7 ,
5
| T | T12 T22
2 5 7
2
2
3 4 3 5 7 8 25 27 7 8
7
43
5
23
b1 , b2
4 3 5
5
6
6
2
2
2
38
40
,
71
34
2
M ( A)
150
44
M ( A B)
59
b1 , b2
2
44
.
25
п. 5. Матрица перехода.
Задача №7. Даны два базиса. Найти матрицу перехода от базиса (1) к базису
( 2) .:
7.1. a1 (3,7) , a 2 (1,2) (1) ,
b1 (6,7) , b2 (5,6) ( 2) ;
7.2. a1 (1,2,1) , a 2 (2,3,3) , a3 (3,7,1) (1) ,
b1 (3,1,4) , b2 (5,2,1) , b3 (1,1,6) ( 2) ;
7.3. 1, x, x 2 , x 3 (1) ,
1, ( x 1), ( x 1) 2 , ( x 1)3 ( 2) ;
7.4. e1 (1,0,0) , e 2 (0,1,0) , e3 (0,0,1) (1) ,
e1 (1,1,0) , e 2 (0,1,1) , e3 (1,0,1) ( 2) ;
Решение примера 7.1.: разложим векторы базиса ( 2) по векторам базиса (1) :
b1 1a1 2 a 2 ,
b2 1a1 2a 2 .
3 1 6 5 w(2) 3 1 6 5
0 1 21 17
~
~
7 27 6
1 0 5 4 w(3) 1 0 5 4
2 21
b1 5a1 21a 2 ,
5
1
2 17
b2 4a1 17 a 2 ,
4
1
5 4
Тогда T
.
21 17
Задача №8. Оператор A в базисе a 1 , a 2 имеет матрицу M ( A)
матрицу этого оператора в базисе b1 , b2 . Если M ( A)
торов имеют вид:
2 1
,
a1 , a 2 5 3
a1 (3,7) , a 2 (1,2) , b1 (6,7) , b2 (5,6) ;
3 5
,
8.2. M ( A)
a1 , a 2 4 3
8.1. M ( A)
151
a1 , a 2
. Найти
a1 , a 2
и координаты век-
a1 (1,2) , a 2 ( 2,3) , b1 (3,1) , b2 ( 4,2) ;
3 5
8.3. M ( A)
,
a1 , a 2 2 3
a1 ( 2,1) , a 2 (1,1) , b1 (5,2) , b2 (1,0) .
Решение примера 8.1.:
M ( A)
T 1 M ( A)
T
b1 , b2
a1 , a2
1 T11 T21
.
T 1
| T | T12 T22
5 4
Из задачи №7 имеем T
,
21 17
5 4
det T | T |
5 (17) 4 21 1 ,
21 17
T11 T21 17 4
,
T
T
21
5
12
22
17 4 17 4
,
T 1 1
21
5
21
5
M ( A)
17 4 2 3 5 4 14 5 5 4
b1 , b2 21 5 5 1 21 17 17 6 21 17
35 29
.
41 34
Задача №9.1. Линейный оператор A в базисе e 1 , e 2 , e 3 имеет матрицу
15 11 5
M ( A)
20 15 8 . Найти его матрицу в базисе
e1 , e 2 , e 3
8 7 6
v1 2e1 3e 2 e3 ,
v 2 3e1 4e 2 e3 ,
v 3 e1 2e 2 2e3 .
Задача №9.2. Линейный оператор A в базисе e1 , e 2 , e 3 , e 4 имеет матрицу
152
1 2 0
3 0 1
M ( A)
e1 , e 2 , e 3 , e 4
2 5 3
1 2 1
9.2.1. v1 e1 ,
v 2 e1 e 2 ,
v 3 e1 e 2 e3 ,
v 4 e1 e 2 e3 e 4 ;
9.2.2. v1 2e1 e 2 e3 e 4 ,
v 2 3e1 2e 2 e3 e 4 ,
v 3 4e1 3e 2 2e3 e 4 ,
v 4 5e1 4e 2 3e3 2e 4 ;
9.2.3. v1 2e1 e 2 2e3 3e 4 ,
v 2 3e1 2e 2 2e3 2e 4 ,
v 3 2e1 2e3 2e 4 ,
v 4 2e1 e 2 e3 2e 4 ;
9.2.4. v1 2e1 3e 2 4e3 5e 4 ,
v 2 3e1 3e 2 4e3 5e 4 ,
v 3 4e1 4e 2 3e3 5e 4 ,
v 4 5e1 5e 2 5e3 5e 4 ;
1
2
. Найти его матрицу в базисе:
1
3
Решение примера 9.1.:
M ( A)
T 1 M ( A)
T .
v1 , v 2 , v 3
e1 , e 2 , e 3
Имеем:
2 3 1
T 3 4 2 – матрица перехода от базиса e 1 , e 2 , e 3 к базису v 1 , v 2 , v 3 .
1 1 2
| T | 2 6 3 4 1 (1) 12 12 1 1,
6 5 2 6 5 2
T 1 1 4 3 1 4 3 1 ,
1 1 1 1 1 1
6 5 2 15 11 5 2 3 1
M ( A)
4 3 1 20 15 8 3 4 2
v1 , v 2 , v 3
1 1 1 8 7 6 1 1 2
153
6 5 2 2 3 1 1 0 0
8 6 2 3 4 2 0 2 0 .
3 3 3 1 1 2 0 0 3
в базисе (1) : a1 (8,6,7) ,
1 18 15
a 2 (16,7,13) , a 3 (9,3,7) имеет матрицу 1 22 20 . Найти его
1 25 22
матрицу в базисе ( 2) b1 (1,2,1) , b2 (3,1,2) , b3 (2,1,2) .
10.2. Линейный оператор A в базисе (1) : e 1 , e 2 , e 3 имеет матрицу
15 11 5
20 15 8 . Найти его матрицу в базисе ( 2) f1 2e1 3e 2 e3 ,
8 7 6
f 2 3e1 4e 2 e3 , f 3 e1 2e 2 2e3 .
10.3. Линейный оператор A в базисе (1) : e1 , e 2 , e 3 , e 4 имеет матрицу
1 2 0 1
3 0 1 2
2 5 3 1 . Найти его матрицу в базисе ( 2) :
1
2
1
3
10.3.1. e1 , e 3 , e 2 , e 4 ;
10.3.2. e1 , e1 e 2 , e1 e 2 e3 , e1 e 2 e3 e 4 .
Задача №10.1. Линейный оператор
A
Решение примера 10.1:
M ( A)
T 1 M ( A)
T
b1 , b2 , b3
a1 , a 2 , a 3
Найдем матрицу перехода T :
b1 1a1 2 a 2 3 a3
b2 1a1 2a 2 3a3
b3 1a1 2a 2 3a3
8 16 9 1 3 2
8 16 9 1 3 2
6 7
3 2 1 1 w(1) ~ 6 7
3 2 1 1 ~
6 4 1 1 3 w
7 13 7 1 2 2
1
154
0 32 23 9 5 22
~ 0 29 21 8 5 19 ,
1
6
4
1
1
3
1 6 2 43 1
1 6 2 43 1 1 6 2 43 1
1 23
2
292 213 8 292 213 8
3
32 23 9
3 2 1
2
3
2
3
32( 1 (1 23 )) 233 9
3
1 1
2 1 b1 a 1 a 2 a3 ;
1
3
1 62 43 1 1 1
292 213 5 2 2 b2 a 1 2a 2 3a3 ;
32 23 3 3
2
3
3
1 62 43 3
1 3
292 213 19 2 5 b3 3a 1 5a 2 6a 3 ;
32 23 22 6
2
3
3
1 1 3
T 1 2 5 .
1 3 6
T11 T21
1
Вычислим T
T12 T22
|T |
T13 T23
| T | 1 3 1 (1) 3 1 1,
T11 3 T21 3 T31 1
T12 1 T22 3 T32 2
T13 1 T23 2 T33 1
3 3 1 1 18
1
T 1 1 3 2 1 22
1 2 1 1 25
1
T31
T32 ,
T33
15 1 1 3 7 13 7 1 1 3
20 1 2 5 6 2 1 1 2 5
22 1 3 6 4 1
3 1 3 6
155
2
1 2
3 1 2.
2 3 1
Задача №11.1. Оператор A в базисе a1 (3,7) , a 2 (1,2) имеет
2 1
. Оператор B в базисе b1 (6,7) , b2 (5,6) имеет
5
3
1 3
. Найти матрицу оператора A B в базисе e 1 , e 2 .
M ( B)
b1 , b2 2 7
Задача №11.2. Оператор A в базисе a1 (1,2) , a 2 ( 2,3) имеет
3 5
. Оператор B в базисе b1 (3,1) , b2 ( 4,2) имеет
4
3
4 6
. Найти матрицу оператора A B в базисе e 1 , e 2 .
M ( B)
b1 , b2 6 9
Указание: M ( A)
e1 , e 2
M ( B)
e1 , e 2
M ( A B)
e1 , e 2
матрицу
матрицу
матрицу
матрицу
.
Решение примера 11.1.:
M ( A)
T 1 M ( A)
T
e1 , e 2
a1 , a 2
3 1 1 0 w(2) 3 1 1 0
0 1 7 3
e1 1a1 2 a 2
~
~
e 2 1a1 2a 2
7 2 0 1
1 0 2 1 w(3) 1 0 2 1
2 7
e1 2a1 7a 2 ,
1 2
2 3
e 2 a1 3a 2 .
1 1
2 1
,
T
7
3
2 1
det T | T |
6 7 1 ,
7 3
3 1 3 1
.
T 1 1
7 2 7 2
3 1 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1
.
M ( A)
e1 , e 2 7 2 5 3 7 3 4 1 7 3 1
1
M ( B)
e1 , e 2
T 1 M ( B)
b1 , b2
T
156
6 5 1 0 w 6 5 1 0
0 1 7 6
e1 1b1 2 b2
~
~
1 1 1 1 w(6) 1 1 1 1
e 2 1b1 2 b2
7
6
0
1
1 2 1 1 6
e1 6b1 7b2 ,
7
7
2
2
1 2 1 1 5
e 2 5b1 6b2 .
2 6
2 6
6 5
,
T
7
6
6 5
36 35 1,
7 6
6 5 6 5
.
T 1 1
7 6 7 6
det T | T |
M ( B)
6 5 1 3 6 5 4 17 6 5 143 122
.
e1 , e 2 7 6 2 7 7 6 5
21 7 6 177
151
M ( A B)
2 1 143 122 109 93
.
e1 , e 2 1
1 177
151 34 29
п. 6. Собственные векторы. Собственные значения.
Задача №12. Найти собственные векторы и собственные значения линейных
операторов, заданных в базисе e 1 , e 2 , e 3 матрицами:
2 1 2
5 3 3 ;
12.1. M ( A)
e1 , e 2 , e 3
1 0 2
0 1 0
4 4 0 ;
12.2. M ( A)
e1 , e 2 , e 3
2 1 2
0 1 0
3 4 0 ;
12.3. M ( A)
e1 , e 2 , e 3
2 1 2
157
1 3 4
4 7 8 ;
12.4. M ( A)
e1 , e 2 , e 3
6 7 7
7 12 6
10 19 10 ;
12.5. M ( A)
e1 , e 2 , e 3
12 24 13
1 1 2
1 2 2;
12.6. M ( A)
e1 , e 2 , e 3
2 1 0
3 6 9
1 2 3 .
12.7. M ( A)
e1 , e 2 , e 3
3 6 9
Решение примера 12.1.: Найдем собственные значения оператора A . Они являются корнями уравнения E M (A) 0
2
1
2
0 0 2 1 2
0 0 5 3 3 0 5 3 3 0
0 0 1 0 2
1
0
2
( 2)
3
0
3
5 3
5 3
1
2
0
2
1 2
1
0
( 2) ( 2) ( 3) 5 ( 2) 3 2( 3) 0
3 32 4 12 7 13 0 3 32 3 1 0 ( 1)3 0
1 – собственное значение.
Найдем собственные векторы. Координаты собственных векторов, принадлежащих собственному значению 1, являются ненулевыми решениями
однородной системы линейных уравнений с основной матрицей
(E M ( A)) , где 1.
1 0 0 2 1 2 3 1 2
1 0 1 0 5 3 3 5 2 3,
0 0 1 1 0 2 1 0 1
3 x1 x2 2 x3 0
5 x1 2 x2 3x3 0 ,
x1 x3 0
158
3 1 2
0 1 1 w(2) 0 1 1
~ 0 2 2
~ 0 0 0 ,
5 2 3
1 0 1 w(3,5) 1 0 1
1 0 1
x2 x3 0 x1 x3 0
,
, x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная пере
x1 x3 0 x2 x3 0
менная.
x1 x3
1
x1 x3
x
x
x
x
,
2 3 3 1 , где x3 0 , x3 R .
x 2 x3
x x
1
3 3
1
Собственный вектор x x3 1 , принадлежит собственному значению
1
1.
Задача № 13. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A:
4 5 2
13.1. A 5 7 3 ;
6 9 4
1 3 3
13.2. A 2 6 13 ;
1 4 8
4 5 7
13.3. A 1 4 9 ;
4 0 5
2 1 1
13.4. A 1 1 1 ;
1 1 1
2 1 0
13.5. A 0 2 1 ;
2 1 3
1 0 0 0
0 0 0 0
13.6. A
;
0 0 0 0
1
0
0
1
159
3 1
1 1
13.7. A
3 0
4 1
0 0
0 0
.
5 3
3 1
Решение примера 13.1.:
Найдем собственные значения
4
5
2
0 0 4 5 2
| E A | 0 0 0 5 7 3 0 5 7 3 0
0 0 6 9 4
6
9
4
( 4)
7
9
3
5 3
5 7
5
2
0
4
6 4
6
9
(2 8 16) ( 7) 27 ( 4) 25 (4) 90 90 12 ( 7) 0
( 7) (2 8 16 12) 52 ( 4) 180 0
3 82 16 12 72 56 28 52 208 180 0
3 2 0 2 ( 1) 0 1 0, 2 1 – собственные значения.
Найдем собственные векторы:
0
4 5 2
(E A) 5 7 3
6 9 4
4 5 2 w(1) 4 5 2
0 3 2 0 3 2
5
7
3
~
1
2
1
w
(
4
),
(
6
)
~
1
2
1
~
1
2
1
6 9 4
6 9 4
0 1 2 0
0
0
x1 2 x2 x3 0
, x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная переменная.
3
x
2
x
0
2
3
2
x
x3
2
3 , x ( x , x x ) ( 1 x , 2 x , x ) x ( 1 , 2 , 1), x R, x 0 .
1
1
2 3
3
3
3
3
3
3
1
3 3
3 3
x1 x3
3
1
160
1 0 0 4 5 2 3 5 2
(E A) 0 1 0 5 7 3 5 8 3
0 0 1 6 9 4 6 9 3
3 5 2 w(2) 3 5 2
0 1 1 0 1 1
~ 1 2 1 w(3) ~ 1 2 1 ~ 1 2 1
5 8 3
6 9 3
0 1 1
0 1 1 0 0 0
x1 2 x2 x3 0
, x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная переменная.
x
x
0
2
3
x 2 x3
, x 2 ( x1 , x2 x3 ) ( x3 , x3 , x3 ) x3 (1, 1, 1), x 3 R, x3 0 .
x
x
1
3
п. 7. Матрица, подобная диагональной.
Задача №14. Подобна ли матрица диагональной? Если да, то найти матрицу
T такую, что T 1 A T – диагональная матрица.
1 3 1
14.1. A 3 5 1 ;
3 3 1
6 5 3
14.2. A 3 2 2 ;
2 2 0
8 15 36
14.3. A 8 21 46 ;
5 12 27
1
6
3
2
6 ;
14.4. A 3
3 2 7
6 5 3
14.5. A 3 2 2 ;
2 2 0
1 0 1
14.6. A 1 2 0 ;
8 0 1
161
1
2
14.7. A
.
5 2
Решение примера 14.1.: Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A :
1
0 0 1 3 1 1 3
E A 0 0 3 5 1 3
5
1
0 0 3 3 1
3
3 1
( 1) ( 5) ( 1) 3 ( 1) 3 (3 ( 1) 3) (9 3 ( 5))
(3 52 5) 3 3 9 9 9 3 15 9 3 52 8 4
( 1) (2 4 4) ( 1) ( 2) 2 ,
E A 0 ( 1) ( 2) 2 0 1 1, 2 2 .
Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям
1 1 и 2 2 . В этой задаче нам не нужны все собственные векторы. Нам
нужна хотя бы одна линейно независимая система собственных векторов.
Поэтому находим фундаментальную систему решений.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению
1. Строим основную матрицу:
2 3 1 w(1) 2 3 1 0 1 1
E A 3 4 1
~ 1 1 0 ~ 1 1 0,
3 3 0
3 3 0 0 0 0
x 2 x3 0
, x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная переменная.
x1 x2 0
Пусть x3 1 x2 1, x1 1
a1 (1,1,1) – собственный вектор, соответствующий собственному значению
1.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению
2 . Строим основную матрицу:
3 3 1 w(1) 3 3 1
E A 3 3 1
~ 0 0 0 ,
3 3 1
0 0 0
3x1 3x2 x3 0 , x1 – главная переменная, x2 , x3 – свободные переменные.
Пусть x2 1, x3 0 x1 1
a 2 (1,1,0) – собственный вектор, соответствующий собственному значению
2.
1
Пусть x2 0, x3 1 x1
3
162
1
a3 ( ,0,1) – собственный вектор, соответствующий собственному значе3
нию 2 .
Векторы a 1 , a 2 , a 3 – базис пространства собственных векторов. Значит, матрица A подобна диагональной, так как есть базис.
Найдем матрицу T (ее столбцами являются собственные векторы a 1 , a 2 , a 3 )
1
1 1 1 1 1
3
T 1 1 0 ~ 1 1 0 .
1 0 1 1 0 3
Действительно имеем:
1 0 0
1
T A T 0 2 0 . На главной диагонали – собственные значения.
0 0 2
Задача №15. Выясним, можно ли матрицу A , линейного отображения ,
вещественного пространства L , привести к диагональному виду путем перехода к новому базису, и, если можно, то найдем этот базис и соответствующую ему диагональную матрицу. Если матрица A :
1 0 2
15.1. A 1 1 1 ;
0 0 2
5 0 2
15.2. A 8 1 4 ;
12 0 5
4 1 6
15.3. A 4 0 4 ;
4 0 6
1
1
1 1
1 1 1 1
15.4. A
;
1 1 1 1
1
1
1
1
4 3 1 2
5
8
5
4
15.5. A
;
6 12 8 5
1 3 2 2
163
0
0
15.6. A
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
.
0
0
Решение примера 15.1.: Находим характеристический многочлен матрицы A :
1
0
2
A E 1
1
1 3 22 2 ( 1) ( 2) ( 1) .
0
0
2
Он имеет три корня 1 , 2 и 1 , т.е. отображение имеет столько различных
собственных значений из поля R , какова размерность пространства L над
полем R . Следовательно, его матрица приводится к диагональному виду –
элементами ее главной диагонали будут собственные значения 1 , 2 и 1 .
1 0 0
0 2 0 .
0 0 1
Для отыскания базиса, нужно найти собственные векторы, отвечающие полученным собственным значениям.
При 1
1 0 0 1 0 2 2 0 2 2 x1 2 x3 0
(E A) 0 1 0 1 1 1 1 0 1 x1 x3 0
0 0 1 0 0 2 0 0 1 x 0
3
2 0 2
0 0 0
1
0
1
w
(
2
)
~
1
0
1
,
0 0 1
0 0 1
x1 x3 0
, где x1 , x3 – главные переменные, x 2 – свободная переменная.
x
0
3
Пусть x2 1 a1 (0,1,0) – собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1.
При 2
2 0 0 1 0 2 3 0 2
3x1 2 x3 0
(E A) 0 2 0 1 1 1 1 1 1
,
0 0 2 0 0 2 0 0 0 x1 x2 x3 0
164
3 0 2
0 3 1
1 1 1 w(3) ~ 1 1 1 ,
0 0 0
0 0 0
3 x 2 x3 0
, где x1 , x2 – главные переменные, x 3 – свободная перемен
x1 x2 x3 0
ная.
1
2
2 1
Пусть x3 1 x2 , x1 a 2 ( , ,1) – собственный вектор, принад3
3
3 3
лежащий собственному значению 2 .
При
1
0 1 0 2 0
0 2
2 x3 0
1 0
E A 0 1 0 1 1 1 1 2 1 x1 x3 2 x2 0
0
0 1 0 0 2 0
0 3
3 x3 0
0 2 w(3) 0
0 2
0
~ 1 2 1 ,
1 2 1
0
0 3 w(2) 0
0
0
2 x3 0
, где x1 , x3 – главные переменные, x 2 – свободная пере
x1 2 x2 x3 0
менная.
Пусть x2 1 x1 2 a3 (2,1,0) – собственный вектор, принадлежащий
собственному значению 1.
Все векторы заданы своими координатами в том же базисе, в каком задана
матрица A . Эти векторы и составляют искомый базис.
165
