Задание Течение газа. 1. Показать, что в трубе переменного

Задание
Течение газа.
1. Показать, что в трубе переменного сечения скорость адиабатного движения газа как
u
2
2 du
=
функция сечения трубы описывается уравнением Гюгонио ( u − c )
,с–
dS S
скорость звука.
2. Определить максимальный массовый расход воздуха, вытекающего из сосуда по трубе,
минимальное сечение которой равно Smin. Газ в сосуде покоится и имеет давление р0 и
плотность ρ0.
3. Найти плотность первоначально покоящегося воздуха после прохождения очень
сильной ударной волны.
4. Доказать соотношение Прандтля для газа, прошедшего прямой скачок плотности
Вариационные методы МСС.
1. Получить уравнения движения упругого твердого тела с плотностью ρ и модулем Юнга
Е (коэффициент Пуассона пренебрежимо мал), используя принцип наименьшего
действия Гамильтона.
2. Получить уравнения движения одномерного упругого тела плотностью ρ и линейным
модулем Юнга Е, используя принцип наименьшего действия Гамильтона.
3. Построить лагранжиан и уравнения движения адиабатного одномерного газа в трубе,
используя принцип наименьшего действия Гамильтона.
4. Получить уравнения потенциального одномерного течения несжимаемой жидкости
плотностью ρ в эластичной трубе, используя принцип наименьшего действия
Гамильтона. Модуль Юнга материала стенок трубы задан, а масса стенок
пренебрежимо мала.
Волновые уравнения
1. Распространение волн в сплошной среде описывается квазилинейным уравнением
∂ρ
ρ ∂ρ
+ V0
= 0 . В начальный момент времени t = 0 профиль волны задан функцией
∂t
ρ0 ∂x
 ρ 0 x / 2l , 0 < x < l / 2

ρ ( x ) =  2 ρ 0 (1 − x / l ) , l / 2 < x < l . Определить момент образования ударной волны и

0, x < 0, x > l

скорость движения ее фронта.
2. Показать, что в изотропной идеальной сплошной среде адиабатические процессы в коγ
торой описываются адиабатой Пуассона p = p0 ( ρ / ρ 0 ) , малые возмущения могут
иметь волновой характер, а волны являются продольными.
3. Показать, что сильные адиабатические возмущения сплошной среды в одномерном
∂ρ
∂ρ
+ ( u( ρ ) ± c )
= 0 , где
случае описываются квазилинейным уравнением
∂t
∂x
c 2 ( ρ ) = γ p( ρ ) / ρ .
4. Показать, что для сильных адиабатических возмущений сплошной среды в одномерном
случае связь между скоростью и плотностью среды удовлетворяет уравнению
du
c
= ± , где c 2 ( ρ ) = γ p ( ρ ) / ρ .
dρ
ρ
Скорость волн
1. Определить скорость распространения паводковой волны в канале, наклоненном под
углом α к горизонту, если сопротивление течению пропорционально квадрату скорости
потока.
2. Определить скорость распространения ударной волны (прыжка воды) в горизонтальном
канале, заполненном жидкостью с плотностью ρ. Глубина покоящейся жидкости в канале
H, высота волны над поверхностью жидкости равна h. Какова мощность диссипативных
сил в канале шириной d?
3. Найти фазовую скорость гравитационной волны в глубоком водоеме. Как зависит эта
скорость от длины волны?
4. Определить групповую скорость гравитационных волн в глубоком водоеме. Как связаны
фазовая и групповая скорость гравитационных волн?
5. Показать, что квазиодномерное течение жидкости в горизонтальном канале (мелкая
вода) описывается теми же уравнениями, что и адиабатное одномерное течение газа в
трубе с показателем адиабаты γ = 2 .
6. Показать, что волны в жидкости в эластичной трубе описываются квазилинейным
уравнением (волны Римана). Найти скорость этих волн в жидкости плотностью ρ, если
∂p
= 1 , где р – избыточное давление.
упругость стенок трубы описывается уравнением DS
∂S
Сечение трубы в равновесном состоянии S0.
Излучение и распространение звука
1. Определить давление в звуковой волне, создаваемой шаром радиуса а, на расстоянии r
от шара. Шар пульсирует в воздухе, так, что его радиус изменяется по закону
a ( t ) = a0 + a1 e iω t , а амплитуда пульсаций мала а1 < < a0 . Скорость звука в воздухе равна с,
атмосферное давление – р0. Длина волны, создаваемой источником, значительно больше
радиуса шара.
2. Определить давление в звуковой волне, создаваемой шаром радиуса а, на расстоянии r
от шара. Шар пульсирует в воздухе, так, что его радиус изменяется по закону
a ( t ) = a0 + a1 e iω t , а амплитуда пульсаций мала а1 < < a0 . Скорость звука в воздухе равна с,
атмосферное давление – р0. Длина волны, создаваемой источником, мала по сравнению с
радиусом шара.
3. Определить мощность звуковой волны, излучаемой шаром радиуса а, центр которого
колеблется по закону x ( t ) = A sin ω t . Радиус шара и амплитуда колебаний малы по
сравнению с длиной излучаемой волны.
4. Воздушный шарик радиуса а, содержащий воздух под давлением р0, лопнул в момент
времени t = 0 . Найти зависимость давления воздуха от времени в точке r * < a .
5. Воздушный шарик радиуса а, содержащий воздух под давлением р0, лопнул в момент
времени t = 0 . Определить характер изменения давления со временем во внешней области
в точке r0 > a .
6. Определить коэффициент отражения звуковой волны от границы раздела упругих сред,
плотность и модуль Юнга которых ρ1 и ρ2, Е1, Е2, соответственно.