Документ 258496

1.определение линейного векторного пространства и следсвия из аксиом.
Множество V, в котором определены операции сложения( внутренняя операция) его
элементов и умножения (внешняя операция) элементов множества на произвольные числа
из R и эти операции удовлетворяют указанным выше аксиомам, называются
вещественным линейным или векторным пространством.
Аксиомы:
x, y  V
x  y   z  x   y  z  x, y V
1. x+y = y+x
2.
3. в множестве V существует элемент ( который будем называть нулевым и обозначать
О ), такой, что x+О = x x  V
4. Для каждого элемента xV существует элемент( который будем называть
противоположным элементу x и обозначать –x), такой, что x   x  0 .


5. Для любого xV 1x = x.
6.
7.
x   x.
 x  y   x  y
  x  x  y .
8.
2. Определение подпространства линейного векторного пространства, критерий
подпространства. Примеры подпространства.
Множество V1 элементов линейного пространства называется подпространством
пространства, если выполняются следующие условия:
1. В множестве V1 операции сложения элементов и умножения элемента на число
определяются так же, как в множестве V.
y  V1 ,то x  y  V1 ;
x  V1 , то x  V1 , где  - вещественное число, когда V- вещественное
2. если x,
3. если
пространство, и комплексное, когдаV- комплексное.
Теорема: Пусть V1  V , где V- линейное пространство, V1 является подпространством,
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1.
2.
x, y  V1 , x  y  V1 ( т.е. операция сложения должна быть замкнута на V1 )
x V1 ,   R, x  R ( т.е. операция умножения на число замкнута на V1 )
Доказательство: Все аксиомы, кроме 3., 4., выполняются очевидным образом,
поскольку они верны не только для множества V1 , но и для всего множества V ,
содержащее V1 .
0 V1
x  V1
0  xV1  0,V1  0
 x V1 ,  1xV1   xV1 ,V1   1
3. Определение и свойства линейной зависимости и независимости векторов линейного
пространства. Критерий линейной зависимости.
Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная линейная
комбинация этих векторов является нулевым вектором, и линейно зависимой, если
существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, которая является
нулевым вектором.
Свойства:
1. Если совокупность векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если к линейно зависимой совокупности векторов добавить еще один вектор, то
получиться линейно зависимая совокупность. (Лена, я тебя очень люблю(твой
Сергей))
3. Если из линейно независимой совокупности удалить какой – либо вектор, то
получится линейно независимая совокупность.
Теорема: Совокупность векторов линейного пространства зависима, тогда и только тогда,
когда в ней существует вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов.
Если все коэффициенты линейной комбинации векторов равны нулю, то такая
комбинация называется тривиальной и представляет собой нулевой вектор. Если хотя бы
один из коэффициентов отличен от нуля, то комбинация векторов называется
нетривиальной.
4. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе и их
единственность.
Максимальный набор линейно независимых векторов конечномерного пространства
называется базисом этого ространства. Нетрудно видеть, что различные базисы данного
пространства имеют одинаковое число векторов, это количество векторов в базисе
называется размерностью данного пространства.
Теорема: Совокупность линейно независимых векторов e1 , e2 ,..., en линейного
пространства V является базисом тогда и только тогда, когда для любого вектора x из V
является линейной комбинацией векторов.
Доказательство: Пусть e1 , e2 ,..., en - базис и xV докажем, что x- является
линейной комбинацией базисных векторов. Рассмотрим набор векторов e1 , e2 ,..., en , x данная совокупность векторов линейной зависимости, потому что в ней больше векторов
чем в базисе. Значит существуют числа 1 ,  2 ,...,  n ,  n 1 не все равные нулю, такие
что 1e1   2 e2  ...   n en   n 1 x  0 . Утверждаем что число  n 1 не может
быть равным нулю. Действуя в противоположном направлении мы получим
1e1   2 e2   n en  0 , причем существует 1  0 из начального набора
векторов e1 , e2 ,..., en - линейно зависимы и поэтому не являются базисом, тогда (Лена,
я тебя очень люблю(твой Сергей))
 e
1e1  2 e2

 ...  n n  x .
en1 en1
en1
5. матрица перехода от старого базиса к новому. Преобразование координат вектора
при переходе к новому базису.
6. Определение евклидова пространства. Следствие из аксиом. Примеры.
Линейное конечномерное пространство E на множестве R называется Евклидовым, если
на нем задано скалярное произведение.
Аксиомы(Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей)):
1.
2.
3.
4.
x, y    y, x  x, y  E
, x y  x, y    R; x, y  E
x  y, z   x, z    y, z  x, y  E, z  R
x, x   0
x;  x, x   0  x  0
Следствие из аксиом:
1.
2.
( x, y)  ( x, y)
( x, y  z)  ( x, y)  ( x, z)
0x  0.
3.
7. Неравенство Коши-Буняковского.
Теорема: Пусть x, y - элементы Евклидового пространства, тогда
x, y  
( x, x)  ( y, y) , причем знак равно возможен, только если x, y
-
линейно зависимы.
Доказательство :утверждение теоремы очевидно при x  0 , или y  0 . Пусть далее
x  0, y  0 . Рассмотрим вектор
z  x  y , где  - некоторое неопределенное число.
( z, z )  0 - согласно утверждению аксиомы. (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))
( x  y, x  y)  0
( x, x)  2( x, y)  2 ( y, y)  0 .
( x, y )
( x, y ) 2 ( x, y ) 2
( x, y) 2
Возьмем  
, ( x, x )  2

 0 , ( x, x) 
 0,
( y, y )
( y, y ) ( y, y )
( y, y )
( y, y )( x, x)  ( x, y ) 2 . т.к. ( y, y)  0 ( x, x)  ( y, y )  ( x, y ) .
( z, z )  0 , если z  0 , т.е. x  y  0 , т.е. x, y
x  y .
Согласно аксиоме 4
зависимы,
- линейно
8. Определение и свойства нормы в Евклидовом пространстве.
Пусть x - вектор из Евклидового пространства. Нормой вектора называется число
x  ( x, x) . В частности для пространства R n норма будет выглядеть так:
x  x1  x2  ...  xn
так x  y  x  y .
2
2
2
. Неравенство Коши-Буняковского можно переписать
Свойства нормы:
1.
2.
3.
x  0 , причем x  0 , когда x  0 (4-ая аксиома скалярного произведения)
, x    x (2-ая аксиома скалярного произведения)
Неравенство треугольника: x  y  x  y .
Доказательство:
x y
2
 ( x  y )( x  y )  ( x  x)  2 xy  ( y  y ) ,
( x  x)  2 xy  ( y  y )  x  2 x y  y
 ( x  y ) 2 . Извлекаем
квадратный корень из квадратного неравенства, получаем: x  y  x  y .
2
2
9. Определение и свойства расстояния в Евклидовом пространстве.
Пусть x, y - 2 вектора из Евклидового пространства. Расстоянием между x, y будет
называться
S ( x, y )  x  y
.
x  ( x1 , x2 ,..., xn ) ,
Rn
y  ( y1 , y 2 ,..., y n ) ,
S ( x, y )  ( x1  y1 ) 2  ( x2  y 2 ) 2  ...  ( xn  y n ) 2 .
Свойства:
S ( x, y)  0 , S ( x, y) `0 , x  y .
2. S ( x, y)  S ( y, x) ,
3. Неравенство треугольника S ( x, z )  S ( x, y)  S ( y, x) - для любого x, y , z .
1.
Доказательство:
S ( x, z )  x  z  ( x  y)  ( y  z )  x  y  y  z  S ( x, y)  S ( y, z )
.
10.
Угол между векторами в Евклидовом пространстве. Ортогональность и
свойства.
Неравенство Коши-Буняковского можно переписать в следующем виде:
при
x  0, y  0 ,
1 
( x, y )
 1,
x y
( x, y )
 1.
x y
Угол  между векторами x, y будет считаться угол  [0; ] , такой, что
cos  
( x, y )
.
x y
Векторы называются ортогональными, если скалярное произведение равно 0.
В пр-ве
n
R x  y   x1 yi  0 .
n
i 1
Свойства ортогональности:
( x, y)  0 для любого y  E , то x  0 .
2. Если ( x, z )  ( y, z ), z  E, то x  y .
1. Если
( x, z)  ( y, z)  0 , ( x  y, z)  0 z  E  x  y  0, x  y .
11.
Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов евклидова
пространства.
12.
Ортогональный и ортонормированный базис евклидова пространства. Процесс
ортогонализации.
x (1) , x ( 2) ,..., x ( k )  некоторые системы элементов евклидового пространства.
(i )
(i )
Данная система векторов наз. ортогональной, если x  x
i  j .
Пусть
Теорема: всякая система попарно ортогональна ненулевых векторов линейно независима.
(1)
Док-во: пусть x , x
линейно независима:
( 2)
,..., x ( n)  ортогональная система векторов, покажем, что она
x1  x (1)   2 x ( 2 )  ...   n x ( n )  0 , где 1 ,  2 ,...,  n  R . Умножим это
равенство скалярно на вектор x
(1)
:(Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))
(1 x (1)   2 x ( 2)  ...   n x ( n ) , x (1) )  0  x (1) ,
1 ( x (1) , x (1) )   2 ( x ( 2) , x (1) )  ...   n ( x ( n ) , x (1) )  0
1 ( x (1) , x (1) )  0  1  0 , тогда  2  0,  n  0 .
Замечание: если ортогональная система ненулевых векторов содержит n-векторов, где nразмерность пространства, то данная система векторов является базисом пространства. Если
кроме того в ортогональном базисе все векторы имеют единую систему, то базис называется
ортонормированным. (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))
Теорема: во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный
базис.
x (1) , x ( 2) ,..., x ( n)  какой-нибудь базис. По данному базису будем строить
(1)
( 2)
ортонормированный базис V ,V
,...,V ( n) .
Док-во: пусть
V (1)  x (1) - выберем (в качестве V 1 выберем x (1) ).
V ( 2)  x ( 2)  V (1) , число  подберем таким образом, чтобы вектор V (1) был
( 2)
( 2)
ортогонален V
,V
 V (1) .
( x ( 2) ,V (1) )  (V (1) ,V (1) )  0
( x ( 2) ,V (1) )
( x ( 2) ,V (1) )
   (1) (1)  
.
2
(
1
)
(V ,V )
V
V ( 3)  x ( 3)  1V (1)   2V ( 2 ) , где 1 , 2 - такие, что V (3) - ортогонален двум
предыдущим.
x ( 3)  1V (1)   2V ( 2 )  0 .
( x ( 3) ,V (1) )  1 (V (1) ,V (1) )   2 (V ( 2 ) ,V ( 2 ) )  0 .
( x (3) ,V (1) )
1   (1) (1) .
(V ,V )
( x ( 3 ) ,V ( 2 ) )
Аналогично получим  2  
,
(V ( 2) ,V ( 2) )
V ( 4)  x ( 4)  1V (1)   2V ( 2)   3V ( 3) .
1 ,  2 ,  3
- такие, что V
( 4)
 V ( i ) , i  1, 3 .
Продолжим этот процесс дальше, мы получим ортогональный базис. Такой процесс
получения ортогонального базиса наз. процессом ортогонализации. Покажем как из
ортогонального базиса получить ортонормированный.
V (i )
U 1  (i ) , i  1, n .
V ,..,V ,
V
В результате U 1 ,U 2 ,..,U n остается ортогональным базисом и все векторы в этом базисе
(1)
( n)
имеют норму (1)
V (i ) V ( j )
1
1
( (i ) , ( j ) )  (i )
(V (i ) ,V ( j ) )  0 .
( j)
V
V
V
V
13.
Матрица Грамма. Скалярное произведение и координаты векторов в
ортонормированном базисе.
Пусть U
(1)
,U ( 2) ,...,U ( n) - базис.
x, y  E .
x  U (1) x1  U ( 2 ) x2  ...  U ( n ) xn
y  U (1) y1  U ( 2 ) y 2  ... U ( n ) y n
( x, y )  ( x1U
(1)
 x2U
( 2)
 ...  xnU
(n)
, y1U
(1)
 y2U
( 2)
 ...  ynU
(n)
)   xi y j (U
Матрица Грамма, состоящая из всевозможного скалярного произведения всевозможных
базисных векторов. (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))
 (U (1) ,U (1) ) (U (1) ,U ( 2 ) )
 ( 2 ) (1)
( 2)
( 2)
 (U ,U ) (U ,U )
F 
...
...

 (U ( n ) ,U (1) ) (U ( n ) ,U ( 2 ) )

Свойства:
1. Симметрична
... (U (1) ,U ( n ) ) 

( 2)
(n)
... (U ,U ) 

...
...

(n)
(n) 
... (U ,U ) 
n
i , j 1
2. Если базис ортогональный, то матрица диагональна
3. Если базис ортонормированный, то матрица единичная
n
( x, y)   xi yi .
i 1
В ортонормированном базисе координаты всякого вектора равны скалярному произведению
данного вектора на базисный.
x  U (1) x1  U ( 2 ) x2  ...  U ( n ) xn , то
( x1U (1)  ...  xnU ( n ) )U (1)  x1U (1)U (i )  ...  xnU ( n )U (i )  xiU (i )  U ( i )  xi
Если
.
По аналогии с геомет. векторами,
xU (i ) - проекция вектора x на направление базисного вектора U (i ) .
n
T
x   ( xU ( i ) )U ( i ) ,если x, y - столбцы координат векторов x, y , то x Ty  ( x, y ) .
i 1
17.
Сумма, умножение на число и произведение линейных операторов. Их свойства и
матрицы.
 :V  U ;  : V  U
Определим сумму этих операторов следующим образом:
определим произведение числа
A, B матрицы  , 

на оператор  :
 : V  U
 x   x 
(   )  A  B
( )  A

Замечание: множество L   : V
относительно введенных операций.
Пусть 
    : V  U
   x    x    x 
 U
:U  W ;  : V  U
- само является линейным оператором


V 
U

W.
Рассмотрим композицию операторов. Такая композиция называется произведением двух
данных операторов:
 :V  W
.
  x      x 
1)      
2)        
3)         .
4)     
5)  
Свойства введенных операций:


 , В – оператора  . V 
U

W . Матрицей
произведения будет произведение этих матриц   AB .
Пусть А - матрица оператора


x x 
y

z .Каждому элементу можно
  B Y  BX
поставить в соответствие столбец координат: X , Y , Z .
;
  A Z  AY  ( AB ) X
Доказательство: Выберем элемент
Z  ( AB) X .
18.
Обратный оператор. Его существование и линейность. Матрица обратного
оператора.
Пусть  :V  U . Будем считать, что dimU  dimV (размерность).  невырожденный оператор, т.е.
ker  0, def  0 .
Невырожденный оператор  имеет невырожденную матрицу, т.е., если А – матрица этого
оператора, то матрица невырожденная
 x  0  x  0
.
x  0  x  0
Отметим, что  осуществляет взаимно однозначное отображение между векторами
пространства V и U . Это значит, что разные векторы имеют различные образы.
  x1     x2 
Действительно, предположим что   x1     x2   0 . Т.к.  - невырожденная, то
  x1  x2   0
x1  x2  0 , т.е. x1  x2 . Учитывая, что dimU  dimV , образ  - это все
пространство U . Тогда для каждого y  U , существует единственный верный элемент
x такой, что можно определенно отображать  1 : U  V .  1  y   x , где
 x   y .
 y  y  - свойства обратного отображения.
 x  x 
1
1
Можно показать, что отображение 
x  является линейным.
 1 1 y1  2 y2    1 1 x1   2 x 2    1  1 x1  2 x 2  
 1 x  2 x  1
1

1
2
1
y     y 
1
1
A1 .
Y  AX
1
X A Y
.
2
- обратный оператор к оператору
матрицу
2
 . Если А – матрица оператора  , то  1 имеет
.
19.
Сопряженные операторы. Теорема о существовании, единственности и
линейности (б/д). Свойства сопряженного оператора и его матрица.
Самосопряженные операторы.
Пусть
f : En  Em
n, m
- размерность. Определитель
называется сопряженным к оператору
f
, если
x  En ; y  Em .
f
*
: En  Em
  f  x , y   x, b*  y ,
Теорема: Сопряженный оператор для всякого оператора
единственный и линейный.
f : En  Em
если для
существует
Свойства:
1)   тождественный оператор
*
 
2) f *   f
*
3) f1  f 2   f1*  f 2*
*
.
4)(f )*  f *   R
5) f1  f 2   f 2* f1*
*
6) f 1    f * 
*
1
f имеет матрицу А; f * имеет матрицу A* 
в
матричном
виде:
x  X y  Y , X , Y - столбцы координат.
 AX , Y    AX T Y  X T AT Y   X , AT Y   X , A*Y  X , Y .
Матрица сопряженного оператора. Пусть
A*  AT
(из свойств скалярного произведения).
Таким образом, матрица сопряженного оператора равна трансформированной матрице
исходного оператора.
f : En  Em
называется самосопряженной, если
оператора симметрична.
f*  f
. Матрица
A
у такого
21. Ортогональные операторы. Теорема о критериях ортогонального оператора (б/д).
Свойства ортогонального оператора и его матрица.
f : En  Em . Оператор f
произведение ( f  x , f  y )  ( x, y ) .
Пусть
называется ортогональным, если скалярное
Следующие утверждения равносильны:
1)
f
- ортогональный оператор;
2) f переводит ортонормированный базис в ортонормированный (образы базисных
элементов снова образовывают ортонормированный базис).
3)
f*  f
(Сопряженный оператор совпадает с обр. оператором).
Свойства:
1) Тождественный оператор ортогонален;
2) Произведение ортогональных операторов является ортогональным
3) Обратный оператор к ортогональному также является ортогональным.
f
  1
4) Пусть
- ортогон.,
f
- ортогональн., где
R
это равносильно тому что
Теорема. Для того чтобы оператор f : En  Em был ортогональным, необходимо и
достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональна.
Матрица ортогонального вектора. Для ортогонального оператора
определению). Если А – матрица
AT  A1 (у ортогонального
A  AT  I
матрица):
A A I
f
, то
AT  у f * , A1  у f 1 .
f *  f 1 (по
Для матриц
оператора обратной матрицей явл. Трансформированная
.
T
Свойство матрицы
A:
Произведение всякого столбца этой матрицы на себя равно 1 , а произведение всякого
столбца на другой столбец равно 0 . Такие матрицы называются ортогональными. Столбцы
ортогональной матрицы могут служить базисом соответствующего Евклидова пространства.
23. Собственные значения и собственные векторы матриц. Их свойства.
Пусть
An n ,   R , x  R n , x  0.
Число  называется собственным значением, а x - собственным вектором
матрицы A , если выполняется свойство Ax  x . Множество всех собственных значений
матрицы A называется спектром матрицы A .
Свойства:
1) Если x - собственный вектор матрицы A , отвечающий собственному значению
 , то kx также собственный вектор, отвечающий собственному значению k  0 .
Д-во:
Ax  x
Akx   k  Ax   k x    kx 
kx - удовлетворяет определению собственного вектора при k  0 .
2) Если матрица
A невырожденная, то все собственные значения не равны 0.
Д-во:
Предположим что 0 не является собственным значением.
Ax  0 x
Ax  0
x - ненулевое решение, A - невырожденная. A  0 .
3) пусть A - невырожденная матрица, x - собственный вектор,  соответствующее собственное значение. Тогда x является собственным вектором матрицы
A1 , отвечающим собственному значению
1

.
Ax  x
AA 1 x  A1x
x   ( A1 x)
1
A1  x

x
- собственный вектор для матрицы
4) Если
значению
x1 , x2 , ..., xn
A1 ,
1

- собственное значение.
A , отвечающий собственному
1 x1   2 x2  ...   n xn (  i - числа),
- собственный вектор матрицы
 , то всякая линейная комбинация
так же является собственным вектором, отвечающий тому же собственному значению
5)
x(1) , x( 2) ,..., x( k )
- собственные векторы, отвечающие
значения), тогда система векторов
(Можно доказать по индукции).
Замечание:
R
n
A
имеет
n различных
x(1) , x( 2) ,..., x( k )
.
1 , 2 ,..., k (собственные
является линейно независимой.
собственных значений, то сущ. базис пространства
,сост. из собственных векторов матрицы
A.
24. Теорема о собственных векторах, отвечающих различным собственным
значениям матрицы.
25. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен матрицы.
Вычесление собственных значений и собственных векторов.
Ax  x
x A  I   0 * *.
Из определения
преобразуем и получим
Ax  x  0 ; Ax  Ix  0 ;
Данное равенство можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений с
A  I . Т.к.
x  0 , то существует
данной системы. Определитель матрицы равен 0 A  I  0 .
квадр. матрицей
После вычисления определитель полуил. (*)
нетривиальное решение
f ( )  0 , где f ( )
- многочлен степени
Уравнение (*) называется характеристическим уравнением матрицы A , а многочлен
f ( ) - характеристическим многочленом. Собственное значение матрицы является
корнями характеристического уравнения. Надя корни характеристического уравнения и
подставив их в (**), можно найти собственный вектор.
n.
26. Собственные значения, собственные векторы и характеристический многочлен
линейного оператора. Их независимость от выбора базиса.
f :V  V с матрицей A в некотором базисе V . Пусть V  - новый базис.
1
Тогда матрица A в новом базисе равна A  T AT , T - матрица перехода от старого
базиса V к новому V  .
Пусть
Предложение: Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические
многочлены и, следовательно, одинаковые спектры ( совокупного множества собственных
значений).
Д-во:
A1  I  T 1 AT  T 1IT  T 1T  A  I   T 1  A  I  T  A  I
Определение: Собственными значениями и собственными векторами f называются
собственное значения и собственные векторы матрицы этого оператора в каком-либо базисе.
det( A  E)  0
-
характеристическое
уравнение
матрицы
характеристические числа линейного оператора, а также матрицы
A,
его
корни
–
A.
27. Теорема об ортогональности собственных векторов симметричной матрицы,
отвечающих различным собственным значениям.
Теорема 1. Собственные векторы самосопряженного оператора (симметричной матрицы),
отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
28. Теорема о существовании ортогонального базиса евклидова пространства,
состоящего из собственных векторов самосопряженного оператора.
Теорема Для любого самосопряженного оператора существует ортогональный базис
соответствующего пространства, состоящий из собственных векторов данного оператора.
29. Диагонализация матрицы линейного оператора.
Диагонализация матриц линейных операторов – это процесс перехода к новому
базису, в котором матрица данного оператора имеет диагональный вид.
Теорема: Для того чтобы матрица линейного оператора имела диагональный вид в
некотором базисе, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из векторов данного
оператора. .(Утв1  Утв.2).
 Если матр. диагон., то базис состоит из собственных векторов
Д-во: Пусть матрица
Покажем,
что
 1 0

 0 i
A 
. .

0 0
векторы
e
. 0

. 0
, e1 , e2 ,..., en

. .

. n 
являются
- соотв. базис.
собственными
 1 0 0  0 

 
Aei  ei   0 i 0  i   i ei .
 0 0   0 

n  
 если базис состоит из собственных векторов…
Пусть базисный вектор e1 , e2 ,..., en является собственным вектором, отвечающий
собственным значениям 1 , 2 ,..., n матрицы A . По определению матрицы линейного
оператора столбцы – это образы базисных векторов при соответствующих отношениях.
Таким образом
0
 
 ... 
0
 i
 

Aei  i ei   i  A   0
0
0

 
 ... 
 
0
0 0

... 0  . Диагональный вид матрицы
0 n 
линейного оператора (в базисе есть собственный вектор) называемый каноническим.
Есть T - матрица перехода к базису, состоящему из собственных векторов, то
матрицы, соответствующая диагональному виду,   T AT .
T состоит из собственных векторов данного оператора, записывается по столбцам. Базис из
соотв. вект. сущ. у самосопряженного оператора, который имеет симметричную матрицу
1
AT  A . В этом случае существует ортонормированный базис, состоящий из собственных
векторов;
переход к такому базису
- это переход от ортонормированного базиса к
ортонормированному   T AT .
30. Квадратичные формы. Приведите к каноническому виду с помощью
ортогонального преобразования.
Множество X является ограниченным, если существует некоторое фиксированное число М
1
x  M , x  X . Если такое условие для X не выполнено, то множество
называется неограниченным. Множество X называется ограниченным сверху, если
существует фиксированное число М такое, что x  M , x  X . Множество
X называется ограниченным снизу, если существует фиксированное число m такое, что
такое, что
x  m, x  X .
М и
m называется верхней и нижней гранью множества.
Ограниченное множество является ограниченным сверху и снизу.
Пусть Х - ограниченное сверху множество. Наименьшей из всех верхних граней этого
множества называют точной верхней гранью множества Х (супремизм). SupX данного
множества. Если Х - ограниченное снизу множество, то наибольшая из нижних граней
называется точной нижней гранью (инфимум).
Если множество Х неограничено сверху, то по определению SupX =  
Если множество Х неограничено снизу, то по определению .=   .
Если точная верхняя грань принадлежит данному множеству, то SupX= maxx. Если infX
принадлежит множеству, то infX=minx.
31. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Квадратичная
форма
называется
положительно
определенной,
если
Qx
Q( x)  0x  0 .
Квадратичная
форма
Q( x)  0x  0 .
 
Q x 
называется
отрицательно
 
определенной,
если
Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма Q x  x Ax , была положительно
(отрицательно) определена, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения
матрицы А были положительны (отрицательны).
Q( x)  1 x12  ...  n xn2 .
 a11 ... a1n 


... 
Пусть матрица A   ... ...
a

 n1 ... ann 
T
. Главными минорами этой матрицы называются
миноры
1  a11
a11
2 
a21
a12
a22
a11
3  a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 .....n  A .
a33
Теорема (Критерий Сильвестра).
1) Квадратичная форма Q x положительно определена тогда и только тогда, когда все
главные миноры в матрице к-ф положительны.
2) Квадратичная форма Q x отрицательно определена тогда и только тогда, когда
знаки главных миноров чередуются следующим образом:
 
 
1  0
2  0
3  0, .....