МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) 14-Я СТОЛИЧНАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА МФТИ 1 декабря 2012 года МАТЕМАТИКА 7-8 класс М1. У Пети и Коли в стаканах налито равное количество молока. Вначале Петя перелил половину молока из своего стакана в стакан Коли, затем Коля перелил третью часть молока из своего стакана (c учетом молока, добавленного Петей) в Петин. Затем Петя перелил четверть молока из своего стакана в Колин, затем Коля перелил пятую часть и т.д. Сколько молока будет в стаканах у ребят после 101-го переливания? М2. Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (но не обязательно записанных по порядку). М3. В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите угол ABC, если AC = 2AB. М4. Сумма трех ненулевых чисел x, y, z равна нулю. Какие значения может x2 y 2 z 2 ? принимать выражение yz zx xy М5. Перед уроком математики ученики договорились с учителем, что некоторые из них на любой его вопрос будут отвечать только правду, а некоторые – только неправду. Когда учитель вышел из класса, все 26 ребят встали в круг. Затем, когда они сели на свои места, учитель вернулся и попросил написать на листочках ответы на два вопроса: «Кто стоял слева от тебя» и «Кто стоял справа от тебя». Все ответили одинаково: «Мальчик». Докажите, что по кругу ребята чередовались: мальчик – девочка – мальчик – девочка …